Bíc 3 : KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn.. 8.[r]
(1)tổng hợp kiến thức toán 9 1 Điều kiện để thức có nghĩa.
A cã nghÜa A
2 Các công thức biến đổi thức. a
2 A A
b AB A B (A0;B0)
c
( 0; 0)
A A
A B B B d
2 ( 0)
A B A B B
e
2 ( 0; 0) A B A B A B
2 ( 0; 0) A B A B A B
f
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
i
( 0)
A A B B B
B
k
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B A B
A B
m
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B A B
A B
3 Vị trí tơng đối hai đờng thẳng
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a a'
(d) // (d') a = a' vµ b b' (d) (d') a = a' vµ b = b'
4 Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng cong. Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P)
(d) (P) cắt hai ®iĨm: nghiƯm ph©n biƯt (d) tiÕp xóc víi (P) điểm: có nghiệm kép (d) (P) điểm chung: vô nghiệm 5 Phơng trình bậc hai.
Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0)
C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän
= b2 - 4ac
Nếu > : Phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1=
− b+√Δ
2a ; x2=
− b −√Δ 2a NÕu = : Phơng trình có nghiệm kép :
x1=x2=− b 2a
NÕu < : Phơng trình vô nghiệm
' = b'2 - ac víi b = 2b'
- NÕu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1= b
'
+√Δ'
a ; x2=
− b'−√Δ' a - NÕu ' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp:
x1=x2=− b
'
a
- NÕu ' < : Ph¬ng trình vô nghiệm 6 Hệ thức Viet ứng dụng.
- HƯ thøc Viet:
NÕu x1, x2 lµ nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:
1
1
b S x x
a c P x x
a
- Mét số ứng dụng:
+ Tìm hai số u v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = 0 (§iỊu kiƯn S2 - 4P 0)
+ Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =
c a NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 =
c a 7 Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình ( k)
(2)Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm thích hợp với toán vµ kÕt ln
8 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0có 2 nghiệm phân biệt.
§iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ph©n biƯt
¿
a≠0 Δ>0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0 Δ'>0
¿{
¿
9 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 1 nghiệm.
§iỊu kiƯn cã mét nghiÖm:
¿
a=0 b≠0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0 Δ=0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0 Δ'=0
¿{
¿
10 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm kép.
§iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:
¿
a ≠0 Δ=0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0 Δ'=0
¿{
¿
11 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = vơ nghiệm.
§iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:
¿
a≠0 Δ<0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0 Δ'<0
¿{
¿
12 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm dấu.
§iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:
¿
Δ≥0 P=c
a>0
¿{
¿
hc
¿
Δ'≥0 P=c
a>0
¿{
¿
13 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm d ơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:
Δ≥0 P=c
a>0 S=−b
a>0
¿{ {
¿
hc
¿
Δ'≥0 P=c
a>0 S=−b
a>0
¿{ {
¿
14 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm âm.
§iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ©m:
¿
Δ≥0 P=c
a>0 S=−b
a<0
¿{ {
¿
hc
¿
Δ'≥0
P=c a>0 S=−b
a<0
¿{ {
¿
15 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có 2 nghiệm trái dấu. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P <
16 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x = x1. Cách giải:
- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = m - Thay giá trị cđa m vµo (*) x1, x2
(3)17 Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cú nghim x
1, x2 thoả mÃn các ®iỊu kiƯn:
a αx1+βx2=γ b x12+x22=k c x1+
1
x2=n d x1
+x22≥h
e x13+x23=t
Điều kiện chung: ' (*)
Theo định lí Viet ta có:
¿
x1+x2= −b
a =S(1) x1.x2=c
a=P(2)
¿{
¿
a Trêng hợp: x1+x2=
Giải hệ
x1+x2=b a αx1+βx2=γ
¿{
¿
Thay x1, x2 vµo (2) m
Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trờng hợp: x1+x2
2
−2x1x2=k
x12+x22=k ↔¿ Thay x1 + x2 = S = − b
a vµ x1.x2 = P = c
a vào ta có: S2 - 2P = k Tìm đợc giá trị m thoả mãn (*) c Trờng hợp:
x1+
x2=n ↔ x1+x2=nx1.x2↔− b=nc Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*) d Trờng hợp: x12+x22≥h S22P h 0
Giải bất phơng trình S2 - 2P - h chän m tho¶ m·n (*) e Trờng hợp: x13+x23=t S33 PS=t
Giải phơng trình S33 PS=t chọn m thoả mÃn (*) 18 Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0
Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt
at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0
v« nghiƯm v« nghiƯm
2 nghiệm âm vô nghiệm
nghiệm kép âm vô nghiÖm
1 nghiệm dơng nghiệm đối
2 nghiệm dơng 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm
19 Giải phơng trình A(x2+
x2)+B(x+
x)+C=0 Đặt x+1
x = t x2 - tx + = Suy t2 = ( x+1
x )2 = x
+
x2+2 x
+ x2=t
22
(4)20.Giải phơng tr×nh A(x2+
x2)+B(x −
x)+C=0 Đặt x 1
x = t x2 - tx - = Suy t2 = ( x −1
x )2 = x
+
x2−2 x
+ x2=t
2 +2
21 Giải hệ phơng tr×nh
¿
ax+by=c a ' x+b ' y=c '
{
Các phơng pháp giải:
+ Phơng pháp cộng + Phơng pháp thÕ
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
22 Giải phơng trình dạng f(x)=g(x) (1)
Ta cã
√f(x)=g(x)↔
g(x)≥0(2)
f(x)=[g(x)]2(3)
¿{
Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghim thớch hp nghim ca (1)
23.Giải phơng trình dạng f(x)+h(x)=g(x)
Điều kiện có nghĩa phơng trình
f(x)0 h(x)0 g(x)0
¿{ {
¿
Với điều kiện thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x 24 Giải phơng trình dạng |f(x)|=g(x)
Phơng pháp 1: |f(x)|=g(x)
g(x)0
[f(x)]2=[g(x)]2 {
Phơng pháp 2: XÐt f(x) f(x) = g(x) XÐt f(x) < - f(x) = g(x) Phơng pháp 3: Với g(x) ta có f(x) = g(x) 25 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn. - Biến đổi hàm số y = f(x) cho:
y = M - [g(x)]2n ,n Z y M Do ymax = M g(x) =
- Biến đổi hàm số y = f(x) cho:
y = m + [h(x)]2k kZ y m Do ymin = m h(x) =
Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm. Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức 26 Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số
y = f(x) vµ y = g(x)
Hãy khảo sát tơng giao hai đồ thị
Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phơng trình hồnh độ điểm chung: f(x) = g(x) (*)
(5)- NÕu (*) cã nghiƯm th× (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung
27 Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k. Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình (D)
28 Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b
(D) qua A B nªn ta cã:
¿ yA= axA+ b
yB= axB+ b
¿{
¿
Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D)
29 Lập phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b
Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đ ợc b suy phơng trình (D)
30 Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) cã nghiƯm kÐp
Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Từ (**) (***) a b Phơng trình đờng thẳng (D)
1 Hệ thức lợng tam giác vuông.
b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc
a2 = b2 + c2
h2= b2+
1 c2 2 TØ số lợng giác góc nhọn
0 < sin < < coss < tgα=sinα
cosα cotgα= cosα sinα sin2 + cos2 = 1
tg.cotg = 1+tg2α=
cos2α 1+cotg 2α
=
sin2α 3 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông.
b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B 4 Đờng tròn.
- Quan h vng góc đờng kính dây.
+ §êng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây
ấy
+ Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm
vuông góc với dây
- Liờn hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây cách tâm
+ Hai dây cách tâm
+ Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn
a b' c'
b c
h
H B
C A
b a c
C B
A
PhÇn II:
(6)- Liên hệ cung dây:
Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây bng
+ Hai dây căng hai cung b»ng
+ Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn 5 Tiếp tuyến đờng tròn
- TÝnh chÊt tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính ®i qua tiÕp ®iĨm
- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:
+ Đờng thẳng đờng tròn có điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm đờng trịn đến đờng thẳng bán kính
+ Đờng thẳng qua điểm đờng tròn vng góc với bán kính qua điểm
- TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t nhau
MA, MB hai tiếp tuyến cắt th×: + MA = MB
+ MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB Chú ý: Trong đờng trịn
- C¸c gãc néi tiÕp b»ng chắn cung
- Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung
- Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng ngợc lại góc vng nội tiếp chắn nửa đờng trịn
- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung 6 Độ dài đờng tròn - Độ dài cung trịn.
- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180
Rn l 7 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:
2
360
R n lR S 8 Các loại đờng tròn
Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiếp tam giác Tâm đờng tròn
giao ba đờng trung trực tam
gi¸c
Tâm đờng tròn giao ba đờng phân giác
của tam giác
9 Các loại hình không gian.
a H×nh trơ.
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2 - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = r2h
b H×nh nãn:
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - DiƯn tÝch toµn phần: Stp = 2rl + r2
c Hình nón cơt:
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V =
2 2
1
( )
3h r r r r d Hình cầu.
B O A
M
O
C B
A
O
C B
(7)- ThĨ tÝch h×nh trơ: V =
1 r
3 h
- DiƯn tÝch mỈt cầu: S = 4R2 = d - Thể tích hình cÇu: V =
3
4 3R
10 Tø gi¸c néi tiÕp:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc 11 Chứng minh MT tiếp tuyến đờng trịn (O;R)
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh OT MT t¹i T (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp
12 Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lợng giác