Chuẩn kiến thức toán 12

§Þnh nghÜa luü thõa víi sè mò nguyªn, sè mò h÷u tØ, sè mò thùc.. L«garit thËp ph©n. Hµm sè mò.. Nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông 1.. B¶ng nguyªn hµm cña mét sè hµm sè s¬ cÊp. TÝnh nguy[r]

Chủ đề Mức độ cần đạt Ghi chú I ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số

1 Sự liên quan tính đơn điệu hàm số dấu của đạo hàm cấp của hàm số đó.

VỊ kiÕn thøc :

- Biết tính đơn điệu hàm số

- Biết mối liên hệ đồng biến, nghịch biến hàm số dấu đạo hàm cấp Về kỹ năng:

Biết cách xét đồng biến, nghịch biến hàm số khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp

Ví dụ Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số: y = x4 - 2x2 + 3, y = 2x3 - 6x + 2,

y = 3x

1 x   .

Ví dụ Xét đồng biến, nghịch biến của

hµm sè y=x2− x+1 x −1 . Cùc trị hàm số

nh ngha iu kin đủ để có cực trị

VỊ kiÕn thøc :

- Biết khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị hàm số

- Biết điều kiện đủ để có điểm cực trị ca hm s

Về kỹ năng:

Biết cách tìm điểm cực trị hàm số

Ví dụ Tìm điểm cực trị hµm sè y = x3(1 - x)2, y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10 VÝ dô Cho hµm sè y=x2+2x

x −1 (1)

a) Tính khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

b) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị đồ th hm s (1)

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số.

Về kiÕn thøc :

BiÕt c¸c kh¸i niƯm gi¸ trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tập hợp số

Về kỹ năng:

Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn, khoảng

VÝ dô Tính cạnh hình chữ nhật có chu vi nhỏ tất hình chữ nhật có diện tích 48m2

Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất hàm số y=

63x đoạn [ 1; 1]

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số y = 2cos 2x + sin x trên

đoạn 0;

2



 



. Đồ thị hàm số VÒ kiÕn thøc :

Hiểu số phép biến đổi đơn giản đồ thị hàm số (phép tịnh tiến song song với trục toạ độ, phép i xng qua trc to

Về kỹ năng:

Vận dụng đợc phép biến đổi đơn giản đồ thị hàm số (phép tịnh tiến song song với trục toạ độ, phép đối xứng qua trục toạ độ

Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số sau cách tịnh tiến lấy đối xứng đồ thị hàm số biết:

a y = (x + 12 từ đồ thị hàm số y = x2

b y =

2

x

- từ đồ thị hàm số y =

2

x

c y = - (x + 22 từ đồ thị hàm số y = x2. Đờng tiệm cận đồ thị

hàm số Định nghĩa cách tìm đờng tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.

VÒ kiÕn thøc :

Biết khái niệm đờng tiệm cận đứng, đờng tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ th

Về kỹ năng:

Tỡm c ng tiệm đứng, tiệm cận ngang, tiệm

Ví dụ Tìm đờng tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số

a) y = 3x 2x



 ; b) y = x x

cận xiên đồ thị hàm số Ví dụ Tìm đờng tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

y =

 



2

3x 2x 2x . Khảo sát vẽ đồ thị

hàm số Giao điểm hai đồ thị Sự tiếp xúc hai đờng cong.

VÒ kiÕn thøc :

- Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, v th

Về kỹ năng:

- Bit cách khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a  0),

y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

y = ax b cx d



 (ac  0) y = ax

2

+bx+c

mx+n , a, b, c, d, m n số cho trớc, am 

- Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm phơng trình

- Biết cách viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị hàm số

- Biết cách viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng cong điểm chung.

Có giới thiệu điểm uốn đồ thị hàm số bậc ba, bậc bốn

Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số :

y =

4

x

2 - x2 -

2 ; y = - x3 + 3x +1 ;

y = 4x 2x 

 ; y =

 



2

3x 2x 2x .

Ví dụ Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, biện luận số nghiệm phơng trình x3 + 3x2 + m = theo giá trị ca tham s m

Ví dụ a) Khảo sát hµm sè y=x

2

−2x+4

x −2 (1)

a) Tìm m để đờng thẳng d(m): y = mx + –2m

Ví dụ Chứng minh hai đờng cong y

= x3 +

5

4x – vµ y = x2 + x – tiÕp xóc

với điểm Viết phơng trình tiếp tuyến chung hai đờngcong đã cho điểm đó.

II Hµm sè l thõa, hµm số mũ hàm số lôgarit Luỹ thừa

Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực Các tính chất

Về kiÕn thøc :

- BiÕt c¸c kh¸i niƯm l thõa víi sè mị nguyªn cđa sè thùc, l thừa với số mũ hữu tỉ luỹ thừa víi sè mị thùc cđa sè thùc d¬ng.

- BiÕt c¸c tÝnh chÊt cđa l thõa víi sè mị nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ luỹ thừa với số mũ thực

Về kỹ năng:

- Biết dùng tính chất luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh biểu thức có chứa luỹ thừa

VÝ dô TÝnh

0,75

2

1

0, 25 16





    

  .

VÝ dơ Rót gän biĨu thøc

4

3 3

1

4 4

a a a

a a a





 



 

 

 



 

  ( víi a > 0)

VÝ dô Chøng minh r»ng

2

1

3

   



   

    .

VÝ dô Cho x = + 2a vµ y = + 2-a TÝnh y

theo x

VÝ dơ Rót gän biĨu thøc

(

2x+ y

2

)

−1

[

(2x)−1+

(

y 2

)

−1

]

2 Lôgarit

Định nghĩa lôgarit số a cđa VỊ kiÕn thøc :

mét số dơng (a > 0, a 1) Các tính chất lôgarit Lôgarit thập phân Số e lôgarit tự nhiên

- Biết khái niệm lôgarit số a (a > 0, a 1) cđa mét sè d¬ng

- Biết tính chất lôgarit (so sánh hai lôgarit số, quy tắc tính lơgarit, đổi số lơgarit

- Biết khái niệm lôgarit thập phân, số e lôgarit tự nhiên

Về kỹ năng:

- Biết vận dụng định nghĩa để tính số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

- Biết vận dụng tính chất lơgarit vào tập biến đổi, tính tốn biểu thức chứa lơgarit

VÝ dô TÝnh a

1 27 l g

3

o

; b log 6.log 9.log 23

VÝ dơ BiĨu diƠn log 830 qua log 530 vµ 30

log

VÝ dơ So s¸nh c¸c sè: a log 53 vµ log 47 ; b log 20,3 vµ log 35 .

VÝ dơ T×m x nÕu log2

(

log3

(

log4x

)

)

= 0

3 Hµm sè l thõa Hµm sè mị Hµm sè l«garit.

Định nghĩa, tính chất, đạo hàm đồ thị

VỊ kiÕn thøc :

- BiÕt kh¸i niƯm vµ tÝnh chÊt cđa hµm sè l thõa, hµm số mũ, hàm số lôgarit

- Bit c dng đồ thị hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit

- Biết cơng thức tính đạo hàm hàm số luỹ thừa, hàm số m, hm s lụgarit

Về kỹ năng:

- Biết vận dụng tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ lôgarit

- Bit v đồ thị hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit

- Tính đợc đạo hàm hàm số luỹ thừa, mũ

Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số : a y = 3.2x b y = 2x −4 Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số:

a y = 2

log x

; b y =

2

log x

Ví dụ Tính đạo hàm hàm số: a y = 2xex + 3sin 2x ;

b y = 5x2 - ln x + 8cos x

Ví dụ Tính đạo hàm hàm số:

l«garit b) y=x+ln|sinx+cosx| . Phơng trình, hệ phơng

trình, bất phơng trình mũ và

lôgarit. Về kỹ năng:

- Gii c phng trỡnh, bt phng trỡnh mũ: phơng pháp đa luỹ thừa số, phơng pháp lơgarit hố, phơng pháp dùng ẩn số phụ, phơng pháp sử dụng tính chất hàm số

- Giải đợc phơng trình, bất phơng trình lơgarit: ph-ơng trình đa lơgarit số, phph-ơng pháp mũ hoá, phơng pháp dùng ẩn số phụ, phơng pháp sử dụng tính chất hàm số.

- Giải đợc số hệ phơng trình, hệ bất phơng trình mũ, lơgarit đơn giản.

VÝ dơ Gi¶i phơng trình

2 3

7 11

11

x x

   



   

    .

VÝ dụ Giải phơng trình 2.16x - 17.4x + = .

Ví dụ Giải phơng trình 5x + 12x = 13x.

Ví dụ Giải phơng tr×nh log4 (x + 2 = log2 x Ví dụ Giải hệ phơng trình:

a

3

2

x y

x y

  



 

 b

2

2

log log y

4 12

x

y x

 

 

  



Ví dụ Giải bất phơng trình 9x - 3x + < . Ví dụ Giải bất phơng trình log0,5 (4x +11) < log0,5 (x2 + 6x + 8).

Định nghĩa tính chất nguyên hàm Kí hiệu họ nguyên hàm hàm số Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Phơng pháp đổi biến số Tính nguyên hàm phần

VỊ kiÕn thøc :

- HiĨu khái niệm nguyên hàm hàm số - Biết tính chất nguyên hàm Về kỹ năng:

- Tỡm c nguyờn hm ca mt số hàm số tơng đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần.

- Sử dụng đợc phơng pháp đổi biến số (khi chỉ rõ cách đổi biến số khơng đổi biến số q một lần) để tính ngun hàm.

Dùng kí hiệu

∫

f(x)dx để họ nguyên hàm f(x)

VÝ dô TÝnh

2

x dx x

∫

VÝ dô TÝnh

2

(e x 5)e dxx



∫

.

VÝ dô TÝnh

∫

xsin 2x dx VÝ dô TÝnh

∫

√

3x+1dx (Hớng dẫn: đặt u = 3x + 1) Ví dụ Tính

∫

sin2x

2dx TÝch ph©n

Diện tích hình thang cong Định nghĩa tính chất tích phân Phơng pháp tích phân phần phơng pháp đổi biến số để tính tích phân

VỊ kiÕn thøc :

- Biết khái niệm diện tích hình thang cong - Biết định nghĩa tích phân hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn  Lai-bơ-nit.

- Biết tính chất của tích phân Về kỹ năng:

- Tớnh c tớch phõn ca mt số hàm số tơng đối đơn giản định nghĩa phơng pháp tính tích phân phần.

- Sử dụng đợc phơng pháp đổi biến số (khi rõ cách đổi biến số không đổi biến số lần) để tính tích phân

VÝ dô TÝnh 2

3

2

x x

dx x



∫

VÝ dô TÝnh

2

sin sin 7x x dx



 

∫

VÝ dô TÝnh

1

2

(x 2)(x 3) dx



∫

  .

VÝ dô TÝnh

∫

VÝ dô TÝnh

∫

−1

2x+1

√

x2+x+1dx

(Hớng dẫn: đặt u =x2 + x + 2).

VÝ dô TÝnh

∫

0 π

(

ecosx

+x

)

sin xdx

.

ứng dụng hình học tích

phân.

Về kiến thức :

Biết công thức tÝnh diƯn tÝch, thĨ tÝch nhê tÝch ph©n

VỊ kỹ năng:

Tớnh c din tớch mt số hình phẳng, thể tích số khối nhờ tích phân

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = - x2 đờng thẳng y = - x. Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn trục hoành parabol y = x(4 - x quay quanh trục hoành

IV Sè phøc

1 Dạng đại số số phức Biểu diễn hình học số phức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức.

VỊ kiÕn thøc :

- Biết dạng đại số số phc

- Biết cách biểu diễn hình học số phức, môđun số phức, số phức liên hợp

Về kỹ năng:

Thc hin c cỏc phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức

VÝ dô TÝnh:

a + 2i - 3(-7 + 6i

b (2 - 3i(

1

2+ 3i

c (1 + 2i2

d

2 15

i i

.

2 Căn bậc hai số phức. Giải phơng trình bậc hai víi hƯ sè phøc.

VỊ kiÕn thøc :

- Biết khái niệm bậc hai số phức.

- Biết công thức tính nghiệm phơng trình bậc hai với hệ số phức.

Về kỹ năng:

- Biết cách tính bậc hai số phức.

Ví dụ Tính bậc hai cđa c¸c sè phøc 3 + 4i, - 12i

- Giải đợc phơng trình bậc hai với hệ số phức. phức):

a) x2 + x + = 

b) x2 - 3x + - 6i = 

c) 2x2 + ix - - 2i = 

3 Dạng lợng giác của số phức ứng dơng.

VỊ kiÕn thøc :

- BiÕt d¹ng lợng giác số phức. - Biết công thức Moa-vrơ ứng dụng.

Về kỹ năng:

- Biết cách nhân, chia số phức dới dạng lợng giác.

- BiÕt c¸ch biĨu diƠn cos3α, sinn4a, qua cosα vµ sinα.

VÝ dụ Viết số + i dới dạng lợng giác råi tÝnh (1 + i)15.

V Khèi ®a diƯn

1 Khái niệm khối đa diện Khối lăng trụ, khối chóp, khối đa diện Phân chia lắp ghép khối đa diện

Về kiÕn thøc :

- BiÕt kh¸i niƯm khèi đa diện

- Biết khái niệm khối lăng trơ, khèi chãp, khèi chãp cơt, khèi ®a diƯn

2 Giới thiệu khối đa diện

VÒ kiÕn thøc :

- Biết khái niệm khối đa diện - Biết loại khối đa diện đều.

3 Kh¸i niƯm vỊ thĨ tÝch khèi đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật Công thức thể tích khối lăng trụ khối chóp

VỊ kiÕn thøc :

- BiÕt kh¸i niƯm vỊ thĨ tÝch khèi ®a diƯn

- Biết công thức tính thể tích khối lăng trụ khối chóp

Về kỹ :

Tính đợc thể tích khối lăng trụ khối chóp

h×nh chãp S.ABCD

VÝ dơ : Cho khèi hép MNPQM'N'P cã thÓ tÝch V TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn P'MNP theo V

Ví dụ Trên cạnh PQ tứ diện MNPQ lấy ®iÓm I cho PI=1

3PQ TØ sè thĨ tÝch cđa hai khèi tø diƯn MNIQ vµ MNIP

VI Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Mặt cÇu

Giao mặt cầu mặt phẳng Mặt phẳng kính, đờng trịn lớn Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Giao mặt cầu với đờng thng

Tiếp tuyến mặt cầu Công thức tính diện tích mặt cầu

Về kiến thức :

- Hiểu khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đ-ờng tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến mặt cầu

- Biết công thức tính diện tích mặt cầu Về kỹ năng:

Tính đợc diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Ví dụ Một mặt cầu bán kính R qua đỉnh hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'

a) Tính cạnh hình lập phơng theo R

b) Mặt phẳng kính chứa cạnh AB cắt hình

lËp ph¬ng theo mét thiÕt diƯn TÝnh thiÕt diện tạo thành.

Vớ d Cho hỡnh chúp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABCD

Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác có tất cả cạnh a Tính diện tích của mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ.

2 Khái niệm mặt tròn xoay.

Về kiến thức:

Biết khái niệm mặt tròn xoay MỈt nãn Giao cđa mỈt

nãn víi mặt phẳng Diện tích xung quanh hình nón

VỊ kiÕn thøc :

BiÕt kh¸i niƯm mặt nón công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Về kỹ năng:

Tính đợc diện tích xung quanh hình nón.

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAB 300 Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh O, đáy đờng trịn ngoại tiếp ABCD

4 MỈt trụ Giao mặt trụ với mặt phẳng Diện tích xung quanh cđa h×nh trơ

VỊ kiÕn thøc :

Biết khái niệm mặt trụ công thøc tÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh trơ

Về kỹ :

Tớnh c din tớch xung quanh hình trụ Ví dụ Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục khối trụ đợc hình vng cạnh a Tính diện tích xung quanh khối trụ VII Phơng pháp toạ độ không gian

1 Hệ toạ độ không gian

Toạ độ vectơ Biểu thức toạ độ phép toán vectơ Toạ độ điểm Khoảng cách hai điểm Phơng trình mặt cầu

VỊ kiÕn thøc :

- Biết khái niệm hệ toạ độ không gian, toạ độ vectơ, toạ độ điểm, biểu thức toạ độ phép toán vectơ, khoảng cách hai điểm

- BiÕt kh¸i niƯm số ứng dụng tích vectơ (tích có hớng hai vectơ)

- Biết phơng trình mặt cầu Về kỹ năng:

- Tớnh c to tổng, hiệu, tích vectơ với số; tính đợc tích vơ hớng hai vectơ

- Tính đợc tích có hớng hai vectơ Tính đợc diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp bằng cách dùng tích có hớng hai vectơ.

- Tính đợc khoảng cách hai điểm có toạ độ cho trớc

VÝ dơ Cho ba vect¬ ⃗a = ( 1; 2; 4), ⃗

b = ( 5, 2; 3), ⃗c = ( 1; 1; 2)

a)Tính toạ độ vectơ ⃗d = 2 ⃗a + 3 ⃗

b  ⃗c

b) TÝnh ⃗a ⃗b

VÝ dô. Cho ⃗a=(1;2;3) vµ

⃗

b=(5;−1;0) Xác định vectơ ⃗c sao cho ⃗c⊥a⃗ ⃗c⊥b⃗ .

Ví dụ Trong không gian Oxyz cho hình hép ABCD.A'B'C'D', biÕt A(



1; 1; 2), B(1; 0; 1), D(



1; 1; 0), A'(2;



1;



2).

a) Tính diện tích đáy ABCD. b) Tính thể tích hình hộp

- Xác định đợc toạ độ tâm bán kính mặt cầu có phơng trình cho trớc

- Viết đợc phơng trình mặt cầu

phát từ đỉnh A'.

Ví dụ Xác định toạ độ tâm bán kính của mặt cầu có phơng trình sau đây:

a x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + =  b x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - =  VÝ dụ Viết phơng trình mặt cầu:

a Cú đờng kính đoạn thẳng AB với A(1; 2; -3 B(- 2; 3; 5

b §i qua ®iĨm O(; ; , A(2; 2; 3, B(1; 2; - 4, C(1; - 3; - 1

2 Phơng trình mặt phẳng Véctơ pháp tuyến mặt phẳng Phơng trình tổng quát mặt phẳng Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

VÒ kiÕn thøc :

- Hiểu khái niệm vectơ pháp tuyến mặt phẳng - Biết phơng trình tổng qt mặt phẳng, điều kiện vng góc song song hai mặt phẳng, cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Về kỹ năng:

- Xỏc nh c vect pháp tuyến mặt phẳng - Biết cách viết phơng trình mặt phẳng tính đợc khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

VÝ dô Viết phơng trình mặt phẳng qua ba điểm A(- 1; 2; 3, B(2; - 4; 3, C(4; 5; Ví dụ Viết phơng trình mặt phẳng ®i qua hai ®iÓm A(3; 1; - 1, B(2; - 1; vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - = 

Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm A(3; - 4; 5 đến mặt phẳng x + 5y - z + = 

3 Phơng trình đờng thẳng Phơng trình tham số ờng thẳng Điều kiện để hai đ-ờng thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song vng góc với

VỊ kiÕn thøc :

Biết phơng trình tham số đờng thẳng, điều kiện để hai đờng thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song vng góc với

Về kỹ năng:

- Bit cỏch vit phơng trình tham số đờng thẳng

- Biết cách sử dụng phơng trình hai đờng thẳng

Có thể giới thiệu phơng trình tắc đ-ờng thẳng nhng không tách thành mục riêng Sử dụng thuật ngữ "phơng trình tắc đờng thẳng" ba toạ độ vectơ phơng khác

để xác định vị trí tơng đối hai đờng thẳng Ví dụ Viết phơng trình tham số đờng thẳng qua điểm A(3; 2; - 1 song song

với đờng thẳng

1

2

x y z

 

 .

Ví dụ Xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng:

d1:

4

2

x y z

 

d2:

7

x t

y t

z t

  