Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:
1. Hai véctơ u=(a a a1, 2, 3);v=(b b b1; 2; 3)
cặp véc tơ phương (VTCP) mặt phẳng (α) ⇔ ,u v ≠0
; không phương giá chúng song song nằm mặt phẳng (α)
2 Véctơ n=(a b c; ; )
véc tơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng (α) ⇔ (α) ⊥ giá n
3 Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vơ số cặp véctơ phương vô số véctơ pháp tuyến đồng thời n//[u v, ]
Nếu
( )
( )
1
1 , , ; ;
u a a a
v b b b
=
=
cặp VTCP mp(α) VTPT là:
[ ] 3 1
2 3 1
, a a ; a a ; a a
n u v
b b b b b b
= =
II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
1 Phương trình tham số:
Phương trình mp(α) qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP
( )
( )
1
1 , , ; ;
u a a a
v b b b
=
=
là:
( )
0 1
0 2 2
0 3 ,
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
= + +
= + + ∈
= + +
2 Phương trình tổng qt:
2.1 Phương trình tắc: Ax+By+Cz+D=0 với A2 +B2 +C2 >0 Nếu D = Ax+By+Cz=0 ⇔ (α) qua gốc tọa độ
(2)2.2. Phương trình tổng quát mp(α) qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP
( )
( )
1
1 , , ; ;
u a a a
v b b b
=
=
hay VTPT [ ] 3 1
2 3 1
, a a ; a a ; a a
n u v
b b b b b b
= =
là:
( ) ( ) ( )
2 3 1
0 0
2 3 1
0
a a a a a a
x x y y z z
b b − + b b − + b b − =
2.3 Phương trình tổng quát mp(α) qua điểm
( 1, 1, 1) (; 2, 2, 2) (; 3, 3, 3)
A x y z B x y z C x y z khơng thẳng hàng có VTPT là:
2 2 2 3 3 3
, y y z z , z z x x , x x y y
n AB AC
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
= =
− − − − − −
nên phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
3 3 3
0
y y z z z z x x x x y y
x x y y z z
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
− + − + − =
− − − − − −
Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng qua A a( ; 0; ,) B(0; ; ,b ) C(0; 0;c) là:
( )
1
y
x z abc
a+ b + c = ≠
3 Phương trình chùm mặt phẳng:
Cho mặt phẳng cắt
( )α1 :a x1 +b y1 +c z1 +d1 =0 ;(α2):a x2 +b y2 +c z2 +d2 =0 với
( )∆ = α( ) (1 ∩ α2)
Mặt phẳng (α) chứa (∆) p a x( +b y1 +c z1 +d1)+q a x( +b y2 +c z2 +d2)=0 với p2 +q2 >0
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1=0 có VTPT n1=(A B C1, 1, 1)
(α2): A x2 +B y2 +C z2 +D2 =0 có VTPT n2 =(A B C2, 2, 2)
Nếu n n1,2 khơng phương (α1) cắt (α2)
(3)IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1 =0 (α2):
2 2
A x+B y+C z+D = ϕ (0 ≤ ϕ≤ 90°) thỏa mãn:
1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
cos n n A A B B C C
n n A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
với n n1,2 VTPT (α1), (α2)
V KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 là:
( ) 0
2 2
, Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
2. Khoảng cách mặt phẳng song song: d(α β =; ) d M( ;β ∀) M∈ α( ) ( ; ) ( ; ) ( )
d α β =d M α ∀M∈ β
VI CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1. Lập phương trình tổng quát mp(α) qua A(2; 1; −1) vng góc với đường thẳng xác định điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1) Mp(α) qua A nhận BC=(1; 2; 3− )
làm VTPT nên phương trình mp(α) là:
( ) ( ) ( )
1 x−2 −2 y−1 +3 z+1 =0 ⇔ x−2y+3z+ =3
Bài 2. Lập phương trình tham số phương trình tổng quát mp(α) qua (2; 1; 4)
A − , B(3; 2; 1− ) vng góc với ( )β :x+ y+2z− =3
HD: AB=(1; 3; 5− )
, nβ=(1;1; 2) Do mp(α) qua A, B ( )α ⊥ β( ) nên (α) nhận AB n, b làm cặp VTCP Suy VTPT (α) là:
( )
3 5 1
; ; 11; 7;
1 2 1
n= − − = − −
Mặt khác (α) qua A(2; 1; 4− ) nên
phương trình mp(α): 11(x−2)−7(y+1)−2(z−4)= ⇔0 11x−7y−2z−21 0=
Bài 3. Lập phương trình mp(α) qua A(1; 0; 5) // mp(γ): 2x− + −y z 17 0= Lập phương trình mp(β) qua điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) tính góc nhọn ϕ tạo mp(α) (β)
(4)mp(β) nhận véc tơ BC=(0; 2; ,− ) BD= −( 1; 3; 1− )
làm cặp VTCP nên có
VTPT là: ; ; (1;1; 2)
3 1 1
nβ= − − =
− − − −
Vậy phương trình mp(β): x+(y−1)+2z= ⇔0 x+y+2z− =1
( )
2
2 1 1
cos cos , 60
6
2 1 1
n nβ ⋅ − ⋅ + ⋅ π
ϕ = = = = ⇒ϕ = = °
+ + + +
Bài 4. Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆):
2
3
x z
x y z
− =
− + − =
vng góc với mặt phẳng (P): x−2y+ + =z
HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là:
( 2 ) (3 2 3) 0 ( , ; 2 0)
m x− z +n x− y+ −z = m n∈ m +n > ⇔ (m+3n x) −2ny+(n−2m z) −3n=0
⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT u=(m+3 ; ;n − n n−2m)
Mặt phẳng (P) có VPPT v=(1; 2;1− ) nên để (α) ⊥ (P) u v⋅ =0
( ) ( ) ( )
1 m 3n 2n n 2m
⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = ⇔8n−m=0
Cho n=1 suy m=8, phương trình mp(α) là: 11x−2y−15z− =3
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz lập với mặt phẳng (α): 2x+y− 5z=0 góc 60°
HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz⇒ (P) có dạng: mx+ny=0 (m2 +n2 >0) ⇒ VTPT u=(m n; ; 0) Mặt phẳng (α) có VTPT v=(2;1;− 5) suy
( )
2 2
2 1
cos , cos 60
2
2
m n
u v
m n
+ −
= ° ⇔ =
+ + +
( )2 ( 2 2) 2m n 10 m n
⇔ + = +
( 2) ( 2) ( 2)
4 4m 4mn n 10 m n 3m 8mn 3n
⇔ + + = + ⇔ + − =
Cho n=1 ⇒ 3
3
m + m− = ⇔m= − ∨m=
(5)Bài 6. Viết phương trình tổng quát mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) tạo với (Oxy) góc 60°
HD: (α): Ax+By+Cz+D=0 qua M, N suy ra: C+D=0; 3A+D=0 ⇒ C=3 ;A D= −3A Mặt phẳng (Oxy) có VTPT (0; 0;1) suy
2 2
2 2 2
3
cos 60 36 10
2 10
C A
A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +
2
26A B B 26A
⇔ = ⇔ = ± Do A2 +B2 +C2 ≠0 ⇒ A≠0
Cho A=1 suy mp(α): x− 26y+3z− =3 x+ 26y+3z− =3
Bài Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c số dương thay đổi luôn thỏa mãn a2 +b2 +c2 =3 Xác định a, b, c cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) đạt Max
HD: (ABC): x y z
a+ b + c − = Suy ( ) 2
1 1
;
d O ABC = a +b +c
⇒
2 2
1 1
d =a +b + c
⇒ ( 2 2) 2
1 1 1 3
3 a b c a b c
= + + + + ≥ ⋅ =
2 1
3 3
d d
⇒ ≤ ⇒ ≤ Với a= = =b c Max
d =
Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( )Pm : 2x+y+ + +z m x( +y+ +z 1)=0 Chứng minh rằng: (Pm) qua (d) cố định ∀m
Tính khoảng cách từ O đến (d) Tìm m để (Pm) ⊥ ( )P0 : 2x+y+ + =z
HD: Với m, (Pm) qua đường thẳng cố định (d): 1
x y z
x y z
+ + + =
+ + + =
Mặt phẳng 2x+y+ + =z có VTPT: u=(2;1;1) x+ y+ + =z có VTPT v=(1;1;1) suy (d) có VTCP là: a=[u v; ]=(0; 1;1− )
Mặt khác (d) qua M(0; 0; 1− ) ⇒ ( ( )) [ ]
2
1 0
,
2
0 1
OM a d O d
a
⋅ + +
= = =
+ +
( )Pm :(m+2)x+(m+1)y+(m+1)z+m+ =1 có VTPT n1=(m+2;m+1;m+1); Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( )P0 có VTPT n2 =(2;1;1)
Để (Pm) ⊥ (P0) 1 2 2( 2) 1( 1) 1( 1)
(6)Bài 9. Cho điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) CMR: O ∈ (ABC) OABC hình chữ nhật Cho S(9; 0; 0) Tính thể tích chóp S.OABC Viết phương trình mặt phẳng chứa AB qua trung điểm OS
HD: AB=(2; 2; ,− ) AC=(2;1; 3− )
⇒ VTPT n=AB AC, = −( 5; 4; 2− ) Do (ABC) qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:
( ) ( ) ( )
5 x y z 5x 4y 2z
− − + − − − = ⇔ − + =
O(0; 0; 0) 5.0−4.0+2.0=0 nên O ∈ (ABC) Ta có: OA=(0;1; 2)
,OC=(2; 2; 1− )
OC AB
⇒ =
0.2 1.2 2.1
OA OC⋅ = + − = suy OABC hình chữ nhật Gọi H hình chiều S lên (OABC) suy
1 2 2.
3 OABC ABC SABC
V = S ⋅SH= ⋅ S ⋅SH = V ,
6 AB AC AS
= ⋅ ⋅
Ta có: AS=(9; 1; 2− − )
AB AC, = −( 5; 4; 2− ) ⇒ 9( 5) 2( 2) 45 15
3
V = − − ⋅ − − = − =
Trung điểm OS (9 ;0;0)
M ⇒ (9 ; 1; 2)
2
AM = − −
⇒ Mặt phẳng chứa AB qua M có VTPT là: [ ] ( 5; 1; 11)
n= AB AM = − − −
⇒ Phương trình mặt phẳng: 10x+y+22z−45=0
Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo hai mặt phẳng ( )P :x−3y+7z+36=0 ;( )Q :2x+y− −z 15=0 biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến α
Giải
Mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo (P) (Q) nên có phương trình dạng: ( 3 7 36) (2 15) 0 ( 2 0)
m x− y+ z+ +n x+y− −z = m +n >
(m 2n x) (n 3m y) (7m n z) 36m 15n 0
(7)( )
( )
( )2 ( )2 ( )2
36 15
, 3
2
m n
d O
m n n m m n
−
α = ⇔ =
+ + − + −
2 2
12m 5n 59m 16mn 6n 19n 104mn 85m
⇔ − = − + ⇔ − + =
(n m) (19n 85m) n m 19n 85m
⇔ − − = ⇔ = ∨ =
+ Cho n = m = nhận ( )α1 : 3x−2y+6z+21 0= + Cho m = 19, n = 85 ta có (α2): 189x+28y+48z−591 0=
Bài 11 Lập phương trình mặt phẳng ( )α qua điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) khoảng cách từ điểm (0; 0; 1)
2
M đến mặt phẳng ( )α
Giải
Gọi phương trình mặt phẳng ( )α là: Ax+By+Cz+D=0(A2 +B2 +C2 >0) Ta có A∈ α( )⇒2A−B+D=0 ;( ) B∈ α( )⇒5A+B+C+D=0 ( )2
Mặt khác: ( ,( )) 7 2
2
6
d M α = ⇔ C+D = A +B +C
( )2 ( 2 2) ( )
27 C 2D 49 A B C
⇔ + = + +
Từ (1) (2), ta có C= −3A−2 ,B D=B−2A ( )4
Thế (4) vào (3), ta được: 27.49A2 =49A2 +B2 +(3A+2B)2
2 17
5 12 17
5
B + AB− A = ⇔B=A∨ B= − A
+ Chọn A = B = ⇒ C = –5, D = –1 nhận ( )α1 :x+ y−5z− =1 + Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 ( )
2 : 5x 17y 19z 27
α − + − =
VII CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
Bài 1. Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O vng góc với
( )P :x− y+ − =z , ( )Q : 3x+2y−12z+ =5
Bài 2. Viết PT mp(α) qua M(1; 2;1) chứa giao tuyến
( )P :x+ y+ − =z 0,( )Q : 2x− y+3z=0
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa ( )
3 :
3
x y z
x y z
− + − =
∆
+ + − =
(8)Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết PT mp(ABC) Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC) Viết PT mặt phẳng:
a. Qua O, A // BC; Qua C, A ⊥ (α): x−2y+3z+ =1
b. Qua O ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) chứa giao tuyến (α), (ABC)
Bài 5. Xác định tham số m, n để mặt phẳng 5x+ny+4z+m=0 thuộc chùm mặt phẳng có phương trình:
(3x 7y z 3) (x 9y 2z 5)
α − + − + β − − + =
Bài 6. Cho mặt phẳng ( )α : 2x−y+3z+ =1 0, ( )β :x+y− + =z điểm M(1; 0; 5) Tính khoảng cách từ M đến mp(α)
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến (d) (α) (β) đồng thời vng góc với mặt phẳng (Q): 3x− y+ =1
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3) Tính khoảng cách từ gốc O đến (P)
Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện OABC
Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N trung điểm OA BC; P, Q điểm OC AB cho
3
OP
OC =
2 đường thẳng MN, PQ cắt
Viết phương trình mp(MNPQ) tìm tỉ số AQ
AB
Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > Gọi A’, B’ hình chiếu O lên DA, DB Viết phương trình mặt phẳng chứa đường OA’, OB’ Chứng minh mặt phẳng vng góc CD
Tính d theo a để số đo góc A OB′ ′ =45°
Bài 10.Tìm Oy điểm cách mặt phẳng
( )α :x+y− + =z 0,( )β :x− y+ − =z
Bài 11.Tính góc mặt phẳng (P) (Q) qua điểm I(2; 1; −3) biết (P) chứa Oy (Q) chứa Oz
Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng (P) (Q)
Bài 12.Cho ∆OAB cạnh a nằm mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy Điểm A nằm phần tư thứ mp(Oxy) Cho điểm (0; 0; )
3
a
S