Phương trình mặt phẳng trong không gian - ôn thi thpt

Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD[r]

(1)

PH

ƯƠ

NG TRÌNH M

Ặ

T PH

Ẳ

NG TRONG KHƠNG GIAN

I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:

1. Hai véctơ u=

(

a a a

)

v

(

b b b

)

cặp véc tơ phương (VTCP) mặt phẳng (α) ⇔ ,u v ≠0

; không phương giá chúng song song nằm mặt phẳng (α)

2 Véctơ n=

(

a b c

)

véc tơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng (α) ⇔ (α) ⊥ giá n

3 Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vơ số cặp véctơ phương vô số véctơ pháp tuyến đồng thời n//

[

u v

]

Nếu

(

)

(

)

1

1 , , ; ;

u a a a

v b b b

 =  

= 

cặp VTCP mp(α) VTPT là:

[

]

2 3 1

, a a ; a a ; a a

n u v

b b b b b b

 

= = 

 

II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG

1 Phương trình tham số:

Phương trình mp(α) qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP

(

)

(

)

1

1 , , ; ;

u a a a

v b b b

 =  

= 

là:

(

)

0 1

0 2 2

0 3 ,

x x a t b t

y y a t b t t t

z z a t b t

= + +

 

= + + ∈

 

= + +



2 Phương trình tổng qt:

2.1 Phương trình tắc: Ax+By+Cz+D=0 với A2 +B2 +C2 >0 Nếu D = Ax+By+Cz=0 ⇔ (α) qua gốc tọa độ

(2)

2.2. Phương trình tổng quát mp(α) qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP

(

)

(

)

1

1 , , ; ;

u a a a

v b b b

 =  

= 

hay VTPT

[

]

2 3 1

, a a ; a a ; a a

n u v

b b b b b b

 

= = 

 

là:

(

)

(

)

(

)

2 3 1

0 0

2 3 1

0

a a a a a a

x x y y z z

b b − + b b − + b b − =

2.3 Phương trình tổng quát mp(α) qua điểm

(

) (

)

A x y z B x y z C x y z khơng thẳng hàng có VTPT là:

2 2 2 3 3 3

, y y z z , z z x x , x x y y

n AB AC

y y z z z z x x x x y y

− − − − − −

 

 

=  = 

− − − − − −

 

nên phương trình là:

(

)

(

)

(

)

2 2 2

1 1

3 3 3

0

x x y y z z

− − − − − −

− + − + − =

− − − − − −

Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng qua A a

(

)

B

(

b

)

C

(

c

)

( )

1

y

x z abc

a+ b + c = ≠

3 Phương trình chùm mặt phẳng:

Cho mặt phẳng cắt

( )

a x

b y

c z

d

(

)

a x

b y

c z

d

( )∆ = α

( ) (

)

Mặt phẳng (α) chứa (∆) p a x

(

b y

c z

d

)

q a x

(

b y

c z

d

)

p

q

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG

Cho mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1=0 có VTPT n1=

(

A B C

)

(α2): A x2 +B y2 +C z2 +D2 =0 có VTPT n2 =

(

A B C

)

Nếu n n1,2 khơng phương (α1) cắt (α2)

(3)

IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Góc mặt phẳng (α1): A x1 +B y1 +C z1 +D1 =0 (α2):

2 2

A x+B y+C z+D = ϕ (0 ≤ ϕ≤ 90°) thỏa mãn:

1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

cos n n A A B B C C

n n A B C A B C

+ +

ϕ = =

+ + + +

với n n1,2 VTPT (α1), (α2)

V KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 là:

(

)

2 2

, Ax By Cz D

d M

A B C

+ + +

α =

+ +

2. Khoảng cách mặt phẳng song song: d

(

)

d M

(

)

M

(

)

(

)

( )

d α β =d M α ∀M∈ β

VI CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1. Lập phương trình tổng quát mp(α) qua A(2; 1; −1) vng góc với đường thẳng xác định điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1) Mp(α) qua A nhận BC=

(

)

làm VTPT nên phương trình mp(α) là:

( )

(

)

1 x−2 −2 y−1 +3 z+1 =0 ⇔ x−2y+3z+ =3

Bài 2. Lập phương trình tham số phương trình tổng quát mp(α) qua

(

)

A − , B

(

)

( )

x

y

z

HD: AB=

(

)

, nβ=

(

)

( )

AB n

b

(

)

3 5 1

; ; 11; 7;

1 2 1

n= − − = − −

 

Mặt khác (α) qua A

(

)

phương trình mp(α): 11(x−2)−7

(

y

)

z

x

y

z

Bài 3. Lập phương trình mp(α) qua A(1; 0; 5) // mp(γ): 2x− + −y z 17 0= Lập phương trình mp(β) qua điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) tính góc nhọn ϕ tạo mp(α) (β)

(4)

mp(β) nhận véc tơ BC=

(

)

BD

(

)

làm cặp VTCP nên có

VTPT là: ; ;

(

)

3 1 1

nβ= − − =

− − − −

 

Vậy phương trình mp(β): x+

(

y

)

z

x

y

z

(

)

2

2 1 1

cos cos , 60

6

2 1 1

n nβ ⋅ − ⋅ + ⋅ π

ϕ = = = = ⇒ϕ = = °

+ + + +

Bài 4. Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆):

2

3

x z

x y z

− =

 

− + − =

 vng góc với mặt phẳng (P): x−2y+ + =z

HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là:

( 2 )

(

)

(

)

m x− z +n x− y+ −z = m n∈ m +n > ⇔ (m+3n x) −2ny+(n−2m z) −3n=0

⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT u=

(

m

n

n n

m

)

Mặt phẳng (P) có VPPT v=

(

)

u v

( ) ( ) ( )

1 m 3n 2n n 2m

⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = ⇔8n−m=0

Cho n=1 suy m=8, phương trình mp(α) là: 11x−2y−15z− =3

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz lập với mặt phẳng (α): 2x+y− 5z=0 góc 60°

HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz⇒ (P) có dạng: mx+ny=0 (m2 +n2 >0) ⇒ VTPT u=

(

m n

)

v

(

)

(

)

2 2

2 1

cos , cos 60

2

m n

u v

m n

+ −

= ° ⇔ =

+ + +

(

)

(

)

m

n

m

n

⇔ + = +

(

)

(

)

(

)

4 4m 4mn n 10 m n 3m 8mn 3n

⇔ + + = + ⇔ + − =

Cho n=1 ⇒ 3

3

m + m− = ⇔m= − ∨m=

(5)

Bài 6. Viết phương trình tổng quát mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) tạo với (Oxy) góc 60°

HD: (α): Ax+By+Cz+D=0 qua M, N suy ra: C+D=0; 3A+D=0 ⇒ C=3 ;A D= −3A Mặt phẳng (Oxy) có VTPT

(

)

2 2

2 2 2

3

cos 60 36 10

2 10

C A

A A B

A B C A B

= ° ⇔ = ⇔ = +

+ + +

2

26A B B 26A

⇔ = ⇔ = ± Do A2 +B2 +C2 ≠0 ⇒ A≠0

Cho A=1 suy mp(α): x− 26y+3z− =3 x+ 26y+3z− =3

Bài Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c số dương thay đổi luôn thỏa mãn a2 +b2 +c2 =3 Xác định a, b, c cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) đạt Max

HD: (ABC): x y z

a+ b + c − = Suy

(

)

1 1

;

d O ABC = a +b +c

⇒

2 2

1 1

d =a +b + c

⇒

(

)

1 1 1 3

3 a b c a b c

 

=  + +  + + ≥ ⋅ =

 

2 1

3 3

d d

⇒ ≤ ⇒ ≤ Với a= = =b c Max

d =

Bài 8. Cho chùm mặt phẳng

( )

Pm

x

y

z

m x

(

y

z

)

m

Tính khoảng cách từ O đến (d) Tìm m để (Pm) ⊥

( )

P

x

y

z

HD: Với m, (Pm) qua đường thẳng cố định (d): 1

x y z

+ + + = 



+ + + = 

Mặt phẳng 2x+y+ + =z có VTPT: u=

(

)

x

y

z

v

(

)

a

[

u v

]

(

)

Mặt khác (d) qua M

(

)

(

)

[

]

2

1 0

,

2

0 1

OM a d O d

a

⋅ + +

= = =

+ +

( )

Pm

m

x

m

y

m

z

m

n

(

m

)

( )

P

n

(

)

Để (Pm) ⊥ (P0) 1 2 2( 2) 1( 1) 1( 1)

(6)

Bài 9. Cho điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) CMR: O ∈ (ABC) OABC hình chữ nhật Cho S(9; 0; 0) Tính thể tích chóp S.OABC Viết phương trình mặt phẳng chứa AB qua trung điểm OS

HD: AB=

(

)

AC

(

)

⇒ VTPT n=AB AC, = −

(

)

( )

(

)

5 x y z 5x 4y 2z

− − + − − − = ⇔ − + =

O(0; 0; 0) 5.0−4.0+2.0=0 nên O ∈ (ABC) Ta có: OA=

(

)

,OC=

(

)

OC AB

⇒ =

0.2 1.2 2.1

OA OC⋅ = + − = suy OABC hình chữ nhật Gọi H hình chiều S lên (OABC) suy

1 2 2.

3 OABC ABC SABC

V = S ⋅SH= ⋅ S ⋅SH = V ,

6 AB AC AS

 

= ⋅  ⋅

Ta có: AS=

(

)

AB AC, = −

(

)

3

V = − − ⋅ − − = − =

Trung điểm OS

(

)

M ⇒

(

)

2

AM = − −

⇒ Mặt phẳng chứa AB qua M có VTPT là:

[

]

(

)

n= AB AM = − − −

⇒ Phương trình mặt phẳng: 10x+y+22z−45=0

Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo hai mặt phẳng ( )P :x−3y+7z+36=0 ;

( )

Q

x

y

z

Giải

Mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo (P) (Q) nên có phương trình dạng:

(

)

(

)

(

)

m x− y+ z+ +n x+y− −z = m +n >

(m 2n x) (n 3m y) (7m n z) 36m 15n 0

(7)

( )

(

)

( )2 ( )2 ( )2

36 15

, 3

2

m n

d O

m n n m m n

−

α = ⇔ =

+ + − + −

2 2

12m 5n 59m 16mn 6n 19n 104mn 85m

⇔ − = − + ⇔ − + =

(n m) (19n 85m) n m 19n 85m

⇔ − − = ⇔ = ∨ =

+ Cho n = m = nhận

( )

x

y

z

m

n

(

)

x

y

z

Bài 11 Lập phương trình mặt phẳng ( )α qua điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) khoảng cách từ điểm

(

)

2

M đến mặt phẳng ( )α

Giải

Gọi phương trình mặt phẳng ( )α là: Ax+By+Cz+D=0

(

A

B

C

)

A

B

D

B

A

B

C

D

Mặt khác:

(

)

2

6

d M α = ⇔ C+D = A +B +C

( )2

(

)

27 C 2D 49 A B C

⇔ + = + +

Từ (1) (2), ta có C= −3A−2 ,B D=B−2A ( )4

Thế (4) vào (3), ta được: 27.49A2 =49A2 +B2 +(3A+2B)2

2 17

5 12 17

5

B + AB− A = ⇔B=A∨ B= − A

+ Chọn A = B = ⇒ C = –5, D = –1 nhận

( )

x

y

z

(

)

2 : 5x 17y 19z 27

α − + − =

VII CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI

Bài 1. Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O vng góc với

( )P :x− y+ − =z ,

( )

Q

x

y

z

Bài 2. Viết PT mp(α) qua M(1; 2;1) chứa giao tuyến

( )P :x+ y+ − =z 0,

( )

Q

x

y

z

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa ( )

3 :

3

x y z

− + − = 

∆ 

+ + − =

(8)

Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết PT mp(ABC) Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC) Viết PT mặt phẳng:

a. Qua O, A // BC; Qua C, A ⊥ (α): x−2y+3z+ =1

b. Qua O ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) chứa giao tuyến (α), (ABC)

Bài 5. Xác định tham số m, n để mặt phẳng 5x+ny+4z+m=0 thuộc chùm mặt phẳng có phương trình:

(

x

y

z

)

(

x

y

z

)

α − + − + β − − + =

Bài 6. Cho mặt phẳng ( )α : 2x−y+3z+ =1 0,

( )

x

y

z

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến (d) (α) (β) đồng thời vng góc với mặt phẳng (Q): 3x− y+ =1

Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3) Tính khoảng cách từ gốc O đến (P)

Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện OABC

Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N trung điểm OA BC; P, Q điểm OC AB cho

3

OP

OC =

2 đường thẳng MN, PQ cắt

Viết phương trình mp(MNPQ) tìm tỉ số AQ

AB

Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > Gọi A’, B’ hình chiếu O lên DA, DB Viết phương trình mặt phẳng chứa đường OA’, OB’ Chứng minh mặt phẳng vng góc CD

Tính d theo a để số đo góc A OB′ ′ =45°

Bài 10.Tìm Oy điểm cách mặt phẳng

( )α :x+y− + =z 0,

( )

x

y

z

Bài 11.Tính góc mặt phẳng (P) (Q) qua điểm I(2; 1; −3) biết (P) chứa Oy (Q) chứa Oz

Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng (P) (Q)

Bài 12.Cho ∆OAB cạnh a nằm mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy Điểm A nằm phần tư thứ mp(Oxy) Cho điểm

(

)

3

a

S