Hình Học 12: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( PHẦN 1

( Chưa đầy đủ) Dạng 1 : Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.. Phƣơng pháp giải[r]

PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHỦ ĐỀ : PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( PHẦN 1)

Thầy : Đoàn Ngọc Lan TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng

 Vectơ n 0 vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n 

vng góc với mặt phẳng ( )

 Chú ý:

 Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) k n (k 0) VTPT mặt phẳng ( )

 Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT  Nếu ,u v  có giá song song nằm mặt phẳng ( ) n[ , ]u v  VTPT

( )

II Phƣơng trình tổng quát mặt phẳng

 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng có dạng phương trình:

AxBy Cz  D vớiA2B2C2 0

 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình AxBy Cz  D có VTPT ( ; ; )

n A B C



 Phương trình mặt phẳng qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) nhận vectơ n A B C( ; ; )



khác 0 VTPT là: A x( x0)B y( y0)C z( z0)0

 Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng ( ) : AxBy Cz  D với 2

0

A B C 

 Nếu D0thì mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O

 Nếu A0,B0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Ox  Nếu A0,B0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oy  Nếu A0,B0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oz

Chú ý:

 Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

 

:x y z

a b c

    Ở ( ) cắt trục tọa độ

tại điểm



a; 0; 0



,



0; ; 0b



,



0; 0;c



với abc0

III- CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( Chưa đầy đủ) Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến nó. Phƣơng pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm A



2; 3; 2



có vectơ pháp tuyến n



2; 5;1



có phương trình

A 2x5y z 170 B 2x5y z 170 C 2x5y z 120 D 2x3y2z180

Lời giải Chọn A

Phương trình mặt phẳng 2



x 2

 

5 y 3

 

1 z2



0 2x5y z 170

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua điểm M0



x y z0; 0; 0



và song song với mặt phẳng

 

 :AxBy Cz  D 0cho trước.

Phƣơng pháp giải

Cách 1: Thực theo bước sau: VTPT

 

 n 



A B C; ;



2

 

 //

 

 nên VTPT mặt phẳng

 

 n  n 



A B C; ;



Phương trình mặt phẳng

 

 :A x



x0



B y



y0



C z



z0



0

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M



3; 1; 2 



mặt phẳng

 

 : 3x y 2z 4 Phương trình phương trình mặt phẳng qua M song song với

 

 ?

A 3x y 2z140 B 3x y 2z 6 C 3x y 2z 6 D 3x y 2z 6

Lời giải Chọn C

Do mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng ( ) nên VTPT n n (3; 1; 2) Vậy mặt phẳng qua M song song với

 

 có phương trình là:



 

 



3 x 3 y 1 z2 0 hay 3x y 2z 6 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 3x y 2z 6 Cách 2:

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A



3; 2;1



mặt phẳng

 

P :x3y2z 2 Phương trình mặt phẳng

 

Q qua A song song mặt phẳng

 

P là:

A

 

Q :x3y2z 4 B

 

Q :x3y2z 1 C

 

Q : 3x y 2z 9 D

 

Q :x3y2z 1

Lời giải Chọn D

Vì mặt phẳng

 

Q song song

 

P :x3y2z 2 nên phương trình

 

Q có dạng

 

Q :x3y2z m 0



m 2



 

Q qua A



3; 2;1



nên thay tọa độ vào ta có m1 Vậy phương trình

 

Q :x3y2z 1

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua điểm A, B, C không thẳng hàng Phƣơng pháp giải

1 Tìm tọa độ vectơ:  AB AC,

2 Vectơ pháp tuyến của

 

 : n   AB AC,  Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C)

4 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n

Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho ba điểm A



1; 2;1



, B



2; 1;0



, C



1;1;3



Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C

A 4x   y z B 7x2y z 120 C 7x2y z 100 D x   y z

Lời giải Chọn B

Ta có AB



1; 3; 1 



, AC



0; 1; 2



suy  AB AC,       



7; 2; 1



n



7; 2;1



Mặt phẳng



ABC



qua điểm A



1; 2;1



có véc tơ pháp tuyến n



7; 2;1



có phương trình 7x2y z 120

Dạng 4: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A



2;0;0



, B



0; 3;0



, C



0;0;5



Viết phương trình mặt phẳng



ABC



A

2

x y z

  

 B 2

x y z

   C 2x3y5z1 D 2x3y5z0 Lời giải

Chọn B

Ta nhận xét thấy A Ox B ; Oy; COz

Áp dụng PTMP theo đoạn chắn, ta có phương trình mp ABC





là:

x  y z

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng

 

 Phƣơng pháp giải

2 Tìm tọa độ vectơ AB

3 VTPT mặt phẳng

 

 là: n   n,AB

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT

Ví dụ : Trong không gian



Oxyz



, mặt phẳng

 

 qua hai điểm A



2; 1; 4



, B



3; 2; 1



vng góc với mặt phẳng

 

 :x y 2z 3 có phương trình

A 11x7y2z21 0 B 11x7y2z 7 C 11x7y2z21 0 D 11x7y2z 7

Lời giải Chọn A

Ta có AB



1;3; 5



véc tơ pháp tuyến mặt phẳng

 

 n 



1;1; 2



Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng

 

 ta có n AB n, 



11; 7; 2 



Phương trình mặt phẳng

 

 qua A



2; 1; 4



có véc tơ pháp tuyến n



11; 7; 2 



11x7y2z21 0

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua điểm M và vng góc với hai mặt phẳng

   

P , Q cho trước

Phƣơng pháp giải

1 Tìm VTPT

 

P

 

Q nP nQ  VTPT mặt phẳng

 

 là: n  n n P; Q

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A



1;1;1



hai mặt phẳng

 

P : 2x y 3z 1 0,

 

Q :y0 Viết phương trình mặt phẳng

 

R chứa A, vng góc với hai mặt phẳng

 

P

 

Q

A 3x y 2z 4 B 3x y 2z 2 C 3x2z0 D 3x2z 1

Lời giải Chọn D

 

P : 2x y 3z 1 có véctơ pháp tuyến n P 



2; 1;3



 

Q :y0 có véctơ pháp tuyến n Q 



0;1;0



Do mặt phẳng

 

R vng góc với hai mặt phẳng

 

P

 

Q nên có véctơ pháp tuyến  R  P ,  Q

n  n n  n R  



3;0; 2



Vậy phương trình mặt phẳng

 

R là:  3x 2z 1 03x2z 1