Hình Học 12: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( PHẦN 1

( Chưa đầy đủ) Dạng 1 : Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.. Phƣơng pháp giải[r]

PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHỦ ĐỀ : PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( PHẦN 1)

Thầy : Đoàn Ngọc Lan TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng

 Vectơ n 0 vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n 

vng góc với mặt phẳng ( )

 Chú ý:

 Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) k n (k 0) VTPT mặt phẳng ( )

 Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT  Nếu ,u v  có giá song song nằm mặt phẳng ( ) n[ , ]u v  VTPT

( )

II Phƣơng trình tổng quát mặt phẳng

 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng có dạng phương trình:

AxBy Cz  D vớiA2B2C2 0

 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình AxBy Cz  D có VTPT ( ; ; )

n A B C



 Phương trình mặt phẳng qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) nhận vectơ n A B C( ; ; )



khác 0 VTPT là: A x( x0)B y( y0)C z( z0)0

 Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng ( ) : AxBy Cz  D với 2

0

A B C 

 Nếu D0thì mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O

 Nếu A0,B0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Ox  Nếu A0,B0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oy  Nếu A0,B0,C0 mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oz

Chú ý:

 Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn  :x y z

a b c

    Ở ( ) cắt trục tọa độ

tại điểm a; 0; 0, 0; ; 0b , 0; 0;c với abc0

III- CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( Chưa đầy đủ) Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến nó. Phƣơng pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm A2; 3; 2 có vectơ pháp tuyến n2; 5;1  có phương trình

A 2x5y z 170 B 2x5y z 170 C 2x5y z 120 D 2x3y2z180

Lời giải Chọn A

Phương trình mặt phẳng 2x 2 5 y 3 1 z20 2x5y z 170

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M0x y z0; 0; 0và song song với mặt phẳng   :AxBy Cz  D 0cho trước.

Phƣơng pháp giải

Cách 1: Thực theo bước sau: VTPT   n A B C; ; 

2   //  nên VTPT mặt phẳng   n  n A B C; ;  Phương trình mặt phẳng   :A x x0B y y0C z z00

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M3; 1; 2   mặt phẳng   : 3x y 2z 4 Phương trình phương trình mặt phẳng qua M song song với   ?

A 3x y 2z140 B 3x y 2z 6 C 3x y 2z 6 D 3x y 2z 6

Lời giải Chọn C

Do mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng ( ) nên VTPT n n (3; 1; 2) Vậy mặt phẳng qua M song song với   có phương trình là:

     

3 x 3 y 1 z2 0 hay 3x y 2z 6 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 3x y 2z 6 Cách 2:

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A3; 2;1 mặt phẳng  P :x3y2z 2 Phương trình mặt phẳng  Q qua A song song mặt phẳng  P là:

A  Q :x3y2z 4 B  Q :x3y2z 1 C  Q : 3x y 2z 9 D  Q :x3y2z 1

Lời giải Chọn D

Vì mặt phẳng  Q song song  P :x3y2z 2 nên phương trình  Q có dạng  Q :x3y2z m 0m 2

 Q qua A3; 2;1 nên thay tọa độ vào ta có m1 Vậy phương trình  Q :x3y2z 1

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm A, B, C không thẳng hàng Phƣơng pháp giải

1 Tìm tọa độ vectơ:  AB AC,

2 Vectơ pháp tuyến của  : n   AB AC,  Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C)

4 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n

Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1, B2; 1;0 , C1;1;3 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C

A 4x   y z B 7x2y z 120 C 7x2y z 100 D x   y z

Lời giải Chọn B

Ta có AB1; 3; 1  , AC0; 1; 2  suy  AB AC,         7; 2; 1 n 7; 2;1

Mặt phẳng ABC qua điểm A1; 2;1 có véc tơ pháp tuyến n7; 2;1 có phương trình 7x2y z 120

Dạng 4: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A2;0;0, B0; 3;0 , C0;0;5 Viết phương trình mặt phẳng ABC

A

2

x y z

  

 B 2

x y z

   C 2x3y5z1 D 2x3y5z0 Lời giải

Chọn B

Ta nhận xét thấy A Ox B ; Oy; COz

Áp dụng PTMP theo đoạn chắn, ta có phương trình mp ABC  là:

x  y z

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng   Phƣơng pháp giải

2 Tìm tọa độ vectơ AB

3 VTPT mặt phẳng   là: n   n,AB

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT

Ví dụ : Trong không gian Oxyz, mặt phẳng   qua hai điểm A2; 1; 4 , B3; 2; 1  vng góc với mặt phẳng   :x y 2z 3 có phương trình

A 11x7y2z21 0 B 11x7y2z 7 C 11x7y2z21 0 D 11x7y2z 7

Lời giải Chọn A

Ta có AB1;3; 5  véc tơ pháp tuyến mặt phẳng   n 1;1; 2 Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng   ta có n AB n, 11; 7; 2  

Phương trình mặt phẳng   qua A2; 1; 4  có véc tơ pháp tuyến n11; 7; 2   11x7y2z21 0

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và vng góc với hai mặt phẳng    P , Q cho trước

Phƣơng pháp giải

1 Tìm VTPT  P  Q nP nQ  VTPT mặt phẳng   là: n  n n P; Q

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;1;1 hai mặt phẳng

 P : 2x y 3z 1 0,  Q :y0 Viết phương trình mặt phẳng  R chứa A, vng góc với hai mặt phẳng  P  Q

A 3x y 2z 4 B 3x y 2z 2 C 3x2z0 D 3x2z 1

Lời giải Chọn D

 P : 2x y 3z 1 có véctơ pháp tuyến n P 2; 1;3   Q :y0 có véctơ pháp tuyến n Q 0;1;0

Do mặt phẳng  R vng góc với hai mặt phẳng  P  Q nên có véctơ pháp tuyến  R  P ,  Q

n  n n  n R   3;0; 2

Vậy phương trình mặt phẳng  R là:  3x 2z 1 03x2z 1