Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI = 2BI, tam giác ACB có diện tích bằng 12 , điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm ... Trong mặt phẳng toạ độ đề các [r]
(1)Nguyễn Phú Khánh Bài tập tự luyện Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − y + = cho ∆ABC vuông C , biết A (1; −2) ,B (1; −3) b Cho tam giác ABC có A ( 3; ) và phương trình hai đường trung tuyến BM : 3x + 4y − = 0,CN : 3x − 10y − 17 = Tính tọa độ các điểm B, C c Cho tam giác ABC có A ( −3; ) và phương trình hai đường phân giác BD : x − y − = 0,CE : x + 2y + 17 = Tính tọa độ các điểm B, C d Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Xác định tọa độ đỉnh tam giác để đường thẳng AC qua điểm N ( 7; ) , M ( 2; −3 ) thuộc AB và nằm ngoài AB , phương trình BC : x + 7y − 31 = e Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có B ( 1; ) , đường cao có phương trình x − y − = Tìm tọa độ AH : x + 2y − = 0, phân giác ACB điểm A Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( −1;3) và đường thẳng ( ∆ ) : x − 2y + = Người ta dựng hình vuông ABCD cho điểm B và C nằm trên đường thẳng ( ∆ ) và các tọa độ đỉnh C dương a Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D ; b Tìm chu vi và diện tích hình vuông ABCD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác MNP có N ( 2; −1) , đường cao hạ từ M xuống NP có phương trình: 3x − 4y + 27 = và đường phân giác đỉnh P có phương trình: x + 2y − = Viết phương trình các cạnh chứa các cạnh tam giác b Cho tam giác ABC có C ( 5; −3 ) và phương trình đường cao AA' : x − y + = , đường trung tuyến BM : 2x + 5y − 13 = Tính tọa độ các điểm A, B c Cho tam giác ABC có B ( 1; −3 ) và phương trình đường cao AD : 2x − y + = , đường phân giác CE : x + y − = Tính tọa độ các điểm A, C 549 Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh d Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E ( 1; −1) là tâm hình vuông, các cạnh nó có phương trình x − 2y + 12 = Viết phương trình các cạnh còn lại hình vuông e Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có chu vi , đỉnh A thuộc trục Ox ( A có hoành độ dương) và hai đỉnh B,C thuộc đường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường thẳng BD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 2 a Cho tam giác ABC vuông cân A có trọng tâm G 0; Viết phương trình 3 1 1 chứa các cạnh tam giác để I ; − là trung điểm cạnh BC 2 2 b Cho tam giác ABC có M ( 2; ) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A có phương trình là 7x − 2y − = và 6x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC c cho điểm C ( 2; −5 ) và đường thẳng ∆ : 3x − 4y + = Tìm trên ∆ hai điểm A 5 và B đối xứng qua I 2; cho diện tích tam giác ABC bằng15 2 ? d Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 , tâm I là giao điểm đường thẳng ( d1 ) : x − y − = 0, ( d ) : x + y − = Trung điểm cạnh là giao điểm ( d1 ) với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD e Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x − 2y − = , đường chéo BD : x − 7y + 14 = và đường chéo AC qua điểm E ( 2;1) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có cạnh theo thứ tự nằm trên đường thẳng là : ( d1 ) : x + y − = , ( d2 ) : x − 4y + 14 = 0, ( d3 ) : 4x − y − 19 = Hãy xét hình dạng tam giác b Cho điểm A ( 2; ) và hai đường thẳng: d1 : x + y − = 0, d : x + y − = Tìm tọa độ điểm B,C thuộc d1 ,d cho tam giác ABC vuông cân A 550 Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh c Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB, AC là: x + 2y − = và 2x + y + = , điểm M (1; ) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D cho DB.DC có giá trị nhỏ d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y + 2x − 2y − 14 = có tâm I và đường thẳng ( d ) : x + y + m = Tìm m để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B đồng thời diện tích tam giác IAB lớn e Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB, BD là: x − 2y + = và x − 7y + 14 = , đường thẳng AC qua M ( 2; 1) Tìm toạ độ điểm N thuộc BD cho NA + NC nhỏ Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có A ( 4; −1) và phương trình hai đường trung tuyến BB1 : 8x − y − = 0, CC1 : 14x − 13y − = Tính tọa độ các điểm B, C 4 b Cho hình chữ nhật ABCD, với toạ độ các đỉnh A ( 1;1) Gọi G 2; là trọng 3 tâm tam giác ABD Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình chữ nhật biết D nằm trên đường thẳng có phương trình: x − y − = c Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 22 Đường thẳng AB có phương trình 3x + 4y + = 0, đường thẳng BD có phương trình x + y − = Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C, D? d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M ( 4; ) là trung điểm AB Giao điểm I hai đường chéo nằm trên đường thẳng ( d ) có phương trình 3x – 5y + = 0, điểm N ( 6; ) thuộc cạnh CD Hãy viết phương trình cạnh CD biết tung độ điểm I lớn Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có A ( 4; −1) , phương trình hai đường phân giác BE : x − = 0,CF : x − y − = Tính tọa độ các điểm B, C b Cho tam giác ABC vuông C , biết A ( 3; ) , đỉnh C thuộc trục tung, điểm B nằm trên đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 12 = Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC , biết diện tích tam giác ABC 551 Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh c Cho hình bình hành ABCD có B ( 1; ) và đường cao AH có phương trình có phương x + 2y − = , với H thuộc BC, đường phân giác góc ACB trình là x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A,C, D d Cho tam giác ABC với hai điểm A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) và trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : x + y − = Tìm tọa độ điểm C, biết diện tích tam giác ABC e Cho hình bình hành ABCD có D ( −6; −6 ) Đường trung trực đoạn DC có phương trình ( d ) : 2x + 3y + 17 = và đường phân giác góc BAC có phương trình ( d' ) : 5x + y − = Xác định toạ độ các đỉnh còn lại hình bình hành Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có C ( −4; −5 ) và phương trình đường cao AD : x + 2y − = , đường trung tuyến BB1 : 8x − y − = Tìm tọa độ các điểm A, B b Cho hình thang vuông ABCD, vuông A và D Phương trình AD x − y = Trung điểm M BC có tọa độ M (1;0 ) Biết BC = CD = 2AB Tìm tọa độ điểm A c Cho ∆ABC ,biết tọa độ điểm A ( 2; −3 ) và B ( 3; −2 ) , diện tích tam giác ∆ABC là và trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng ∆ : 3x − y − = Tìm tọa độ điểm C d Cho tam giác ABC vuông A, biết B và C đối xứng qua gốc tọa độ có phương trình là: x + 2y − = Tìm tọa Đường phân giác góc ABC độ các đỉnh tam giác biết đường thẳng AC qua điểm K ( 6; ) e Cho tam giác ABC cân C có phương trình cạnh AB là : x − 2y = , điểm 9 I ( 4; ) là trung điểm AB , điểm M 4; thuộc cạnh BC , diện tích tam giác 2 ABC 10 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có B ( 1; ) và phương trình đường cao AD : x + 2y − = , đường phân giác CC1 : x − y − = Tính tọa độ các điểm A, C 552 Lop12.net (5) Nguyễn Phú Khánh b Cho tam giác ABC vuông cân A, phương trình BC : 2x − y − = 0, đường thẳng AC qua điểm M ( −1;1) , điểm A nẳm trên đường thẳng ∆ : x − 4y + = Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ dương ( d1 ) : 2x − 3y − = và ( d2 ) : 5x + 2y − 17 = Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm ( d1 ) c Cho đường thẳng có phương trình là AB , ( d ) cắt các tia Ox, Oy A và B cho đạt giá trị nhỏ S ∆OAB ( P ) : y = x2 + 2x − Xét hình bình hành ABCD A ( −1; −4 ) , B ( 2; ) thuộc ( P ) và tâm I hình bình hành thuộc cung AB ( P ) cho tam giác IAB có diện tích lớn Hãy xác định tọa độ hai điểm d Cho parabol C, D e Cho tam giác ABC cân A, có đỉnh B và C thuộc đường thẳng d1: x + y + = Đường cao qua đỉnh B là d : x − 2y − = , điểm M ( 2;1) thuộc đường cao qua đỉnh C Viết phương trình các cạnh bên tam giác ABC Hai đường cao xuất phát từ B và C có phương trình: d1 : x − y + = 0, d : 2x + y − = Tìm f Cho tam giác ABC có A nằm trên Ox với < x A < tọa độ A, B, C cho diện tích tam giác ABC là lớn Bài tập 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có phương trình các đường cao AD : 2x − y + = 0, BE : x + y − = , C thuộc đường thẳng d : x + y − = và BC qua M ( 0; ) Tìm tọa độ các đỉnh tam giác b Cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AB : 2x + y − = 0, và C, D thuộc đường thẳng d1 : 3x − y − = 0, d : x + y − = Tính diện tích hình vuông c Cho hình bình hành ABCD có A ( 2;1) , đường chéo BD có phương trình x + 2y + = Điểm M nằm trên đường thẳng AD cho AM = AC Đường thẳng MC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình bình hành ABCD 553 Lop12.net (6) Nguyễn Phú Khánh d Cho tam giác ABC vuông cân A Biết phương trình cạnh BC là ( d ) : x + 7y − 31 = , điểm N ( 7; ) thuộc đường thẳng AC, điểm M ( 2; −3 ) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 4 1 a Cho tam giác ABC cân A có trọng tâm G ; , phương trình đường 3 3 thẳng BC : x − 2y − = và phương trình đường thẳng BG : 7x − 4y − = Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C b Cho hình thang ABCD ( AB CD ) Biết hai đỉnh B ( 3; ) và C ( 5; −3 ) Giao điểm I hai đường chéo nằm trên đường thẳng ∆ : 2x + y − = Xác định tọa độ các đỉnh còn lại hình thang ABCD để CI = 2BI, tam giác ACB có diện tích 12 , điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm Bài tập 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x − 4y − = , cạnh BC song song với d , phương trình đường cao BH : x + y + = và trung điểm cạnh AC là M ( 1;1) Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C b Cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB và AD theo thứ tự là x + 2y − = và 2x + y + = Cạnh BD chứa điểm M (1; ) Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi Bài tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A ( 6; ) , đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm E ( 1; −3 ) nằm trên đường cao qua đỉnh C tam giác đã cho b Cho hai đường thẳng d1 : x − y − = 0, d : 2x + y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc tọa độ O cắt d1 , d A , B cho OA.OB = 10 Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC , biết C ( 4; ) và các đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ A có phương trình x + 2y − = 0, 4x + 13y − 10 = Tìm tọa độ điểm A, B 554 Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A( −1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC 18 Bài tập 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC với A ( 2; −4 ) , B ( 0; −2 ) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x − y + = Hãy tìm tọa độ C , biết diện tích tam giác ABC Bài tập 17 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông A , có đỉnh C( −4;1) , phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương Bài tập 18 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có M ( 1; ) , N ( 4; −3 ) là trung điểm AB, AC ; D ( 2; ) là chân đường cao hạ từ A lên BC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Bài tập 19 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có M ( −2;2) là trung điểm BC và phương trình cạnh ( AB) : x − 2y − = 0, ( AC ) :2x + 5y + = Hãy xác định tọa độ 3đỉnh tam giác Bài tập 20 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ( −2; −1) và phương trình các cạnh là ( AB) : 4x + y + 15 = 0, ( AC ) :2x + 5y + = Tìm tọa độ đỉnh A , trung điểm M BC , đỉnh B,C Bài tập 21 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có B (3;5) , đường kẻ từ A có phương trình : 2x − 5y + = và trung tuyến kẻ từ C có phương trình : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A , trung điểm M ∈ AB Bài tập 22 Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD , biết M ( 0; ) ∈ AB, N ( 5; −3 ) ∈ BC, P ( −2; −2 ) ∈ CD, Q ( 2; −4 ) ∈ DA Bài tập 23 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( −1;1 ) ,B ( 2;2) Tìm điểm C trên đường thẳng ( d ) : y = , cho SABC = (đvdt) Khi đó tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 555 Lop12.net (8) Nguyễn Phú Khánh Bài tập 24 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có B (1;5) , đường cao AH : x + 2y − = , đường phân giác d góc có phương trình ACB x − y − = Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình bình hành Bài tập 25 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A , các đỉnh A, B,C nằm trên các đường thẳng d : x + y − = 0, d1 : x + = 0, d : y + = và BC = Tìm tọa độ đỉnh A, B,C tam giác Bài tập 26 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có C ( 1;1) và AB = và AB : x + 2y − = , trọng tâm ∆ABC thuộc đường thẳng x + y − = Tìm tọa độ điểm A, B Bài tập 27 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có A ( −2; ) , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x − 2y + = Gọi M, N là hai điểm trên cạnh BC,CD cho BM = CN Xác định tọa độ đỉnh C , biết 14 AM cắt BN I ; 5 Bài tập 28 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A ( 2; ) , đường thẳng AB cắt trục Oy E cho AE = 2EB , đồng thời ∆AEC cân 13 A và có trọng tâm G 2; Viết phương trình chứa cạnh BC 3 Bài tập 29 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 , tâm I là giao điểm đường thẳng d1 : x − y − = và d2 : x + y − = Trung điểm AB là giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật Bài tập 30 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD biết M ( 2;1 ) , N ( 4; −2) ; P ( 2;0) ; Q (1;2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các cạnh hình vuông 556 Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh Bài tập 31 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm 1 I(2; 1) và AC = 2BD Điểm M 0; thuộc đường thẳng AB; điểm N ( 0; ) thuộc 3 đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương Bài tập 32 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 2; ) và đường thẳng d1 : x − y = 0, d : x + 2y + = Tìm các điểm B ∈ d1 , C ∈ d để tam giác ABC vuông cân A Bài tập 33 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy cho hai đường thẳng d1 : x − 2y + = 0,d : 2x + 3y = Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD , biết A thuộc đường thẳng d1, C thuộc đường thẳng d2 và hai điểm B, D thuộc trục Ox 7 5 Bài tập 34 Cho hình bình hành ABCD Biết I ; là trung điểm cạnh CD , 2 2 3 D 3; và 2 có phương trình là ∆ : x − y + = Xác định tọa độ đỉnh đường phân giác góc BAC B Bài tập 35 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ba điểm I (1; 1) , J ( −2; 2) , K ( 2; −2) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD cho I là tâm hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD Bài tập 36 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ba đường thẳng d1 : 4x + y − = 0, d2 :2x − y + = 0, d3 : x − y + = Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD , biết hình thoi ABCD có diện tích 15 , các đỉnh A,C thuộc d3 , B thuộc d1 và D thuộc d2 Bài tập 37 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A ( 2;2) ,B(7;2) và đường thẳng ( ∆ ) : x + 3y − = Hãy tìm trên ( ∆ ) các điểm C và D cho : a ∆ABC cân A ; 557 Lop12.net (10) Nguyễn Phú Khánh b ( AD + BD ) ngắn Bài tập 38 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( −1; −1) , B ( 0; ) , C ( 0;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho tổng khoảng cách từ B và C tới ∆ là lớn Hướng dẫn giải x = t − y = t Bài tập 1.a ( d ) : x − y + = ⇔ t ∈ R ; C ∈ ( d ) nên C ( t − 2;t ) AC = ( t − 3;t + 2) ,BC = ( t + 1;t − 3) ∆ABC vuông C AC ⊥ BC ⇔ AC.BC = ⇔ ( t − 3)( 2t + 3) = 3 ⇔ t = ⇒ C1 (1;3) t = − ⇒ C2 − ; − 2 b Gọi G là tâm tam giác, suy tọa độ G là nghiệm hệ 3x + 4y − = 7 x = ⇔ ⇒ G ; −1 3 3x − 10y − 17 = y = −1 5 Gọi E là trung điểm BC , suy EA = GA ⇒ E 2; − 2 Giả sử B ( a; b ) , suy C ( − a; −5 − b ) Từ đó ta có hệ: 3a + 4b − = 3a + 4b − = a = ⇔ ⇔ ( − a ) − 10 ( −5 − b ) − 17 = −3a + 10b + 45 = b = −3 Vậy, B ( 5; −3 ) ,C ( −1; −2 ) c Gọi A1 đối xứng với A qua BD , suy A1 ∈ BC và A1 ( 1; −4 ) 43 56 A đối xứng với A qua CE , suy A ∈ BC và A − ; − Suy phương trình BC : 3x − 4y − 19 = x − y − = x = −15 Tọa độ B là nghiệm hệ: ⇔ ⇒ B ( −15; −16 ) 3x − 4y − 19 = y = −16 x + 2y + 17 = x = −3 Tọa độ C là nghiệm hệ: ⇔ ⇒ C ( −3; −7 ) 3x − 4y − 19 = y = −7 558 Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh Vậy, B ( −15; −16 ) ,C ( −3; −7 ) d AB qua M ( 2; −3 ) có phương trình: a ( x − ) + b ( y + ) = ABC vuông cân A ⇔ 12a − 7ab − 12b2 = Giả sử AB : 4x + 3y + = ⇒ AC : 3x − 4y + = ⇒ A ( −1;1) , B ( −4; ) , C ( 3; ) , ta tìm e BC : 2x − y + = Gọi A' là điểm đối xứng B qua phân giác ACB A' ( 6; ) Tọa độ điểm A là giao điểm A'C và AH ⇒ A ( 4; −1) Bài tập 2.a Dựng đường thẳng ( d ) qua A ( −1;3) và ( d ) ⊥ ( ∆ ) ⇒ ( d ) :2( x + 1) + 1( y − 3) = hay ( d ) :2x + y − = ( ∆ ) ∩ ( d ) = {B(0;1)} ⇒ AB = xC − 2y C + = Gọi C ( xC ;y C ) ,xC > 0;y C > Ta có ⇒ C ( 2;2) 2 xC + ( y C − 1) = Hình ABCD là hình vuông nên : BA = CD ; ta có : −1 = x D − x D = ⇒ ⇒ D (1;4 ) 2 = y D − y D = b Chu vi hình vuông : P = 4.AB = ⇒ S = AB2 = Bài tập a NP qua N và vuông góc với đường cao hạ từ M , nên có phương trình: 4x + 3y − = P ( −1; ) là tọa độ giao điểm NP và phân giác = IPN góc P Giả sử PI là phân giác P thì MPI PM : y − = 0, MN : 4x + 7y − = Gợi ý cách khác: MH : 3x − 4y + 27 = 0, phân giác PI : x + 2y − = Lấy N' đối xứng với N qua PI Viết NP qua N và vuông góc MH Viết PM qua P có uPM = PN' b Ta có phương trình BC : x + y − = x + y − = x = −1 ⇔ ⇒ B ( −1; ) Suy tọa độ B là nghiệm hệ: 2x + 5y − 13 = y = 559 Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh a + a −1 Gọi A ( a; a + ) , suy tọa độ trung điểm AC là M ; Mà M ∈ BM nên a+5 a −1 +5 − 13 = ⇔ a = ⇒ A ( 3; ) 2 Vậy, A ( 3; ) , B ( −1; ) c Ta có phương trình BC : x + 2y + = x + y − = x = Tọa độ điểm C là nghiệm hệ ⇔ ⇒ C ( 9; −7 ) x + 2y + = y = −7 Gọi B' là điểm đối xứng với B qua CE , suy B' ( 5;1) và B' ∈ AC Do đó, ta có phương trình AC : 2x + y − 11 = 2x − y + = 5 x = Tọa độ điểm A là nghiệm hệ: ⇔ ⇒ A ;6 2x + y − 11 = 2 y = 5 Vậy, A ; ,C ( 9; −7 ) 2 d Gọi hình vuông đã cho là ABCD ( AB ) là x − 2y + 12 = Gọi H là hình chiếu E lên đường thẳng AB Suy H ( −2; ) A, B thuộc đường tròn tâm H , bán kính EH = 45 có phương trình: ( x + )2 + ( y − )2 = 45 x − 2y + 12 = Toạ độ hai điểm A, B là nghiệm hệ: 2 ( x + ) + ( y − ) = 45 Giải hệ tìm A ( 4; ) , B ( −8; ) Suy C ( −2; −10 ) AD : 2x + y − 16 = , BC : 2x + y + 14 = , CD : x − 2y − 18 = 3 A thuộc Ox và d ( A,Ox ) = ⇒ A ( 2; ) 2 x − y + = 1 3 B là hình chiếu A trên d nên có toạ độ : ⇒ B ; x + y − = 2 2 BD hợp với d góc 450 và có VTPT n = ( a; b ) ≠ thoả : e Chu vi ⇒ AB = 560 Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh a.1 − b.1 2 a +b = cos 450 ⇒ BD : 2x − = 2y − = Bài tập 4.a Gọi B ( x B ; y B ) , C ( xC ; yC ) là tọa độ cần tìm G là trọng tâm tam giác nên có: GI = AI ⇒ I ( −1; ) I là trung điểm BC và tam giác ABC vuông cân A nên có: x B + xC = 2xI = y B + yC = 2yI = −1 B ( 4;1) ,C ( −3; ) ⇒ = AC B ( −3; ) ,C ( 4;1) AB ABAC = 7x − 2y − = b Tọa độ A thỏa mãn hệ: ⇒ A ( 1; ) 6x − y − = Vì B đối xứng với A qua M nên suy B ( 3; − ) Đường thẳng BC qua B và vuông góc với đường thẳng: 6x − y − = nên suy phương trình BC : x + 6y + = 7x − 2y − = 3 Tọa độ trung điểm N BC thỏa mãn3hệ: ⇒ N 0; − 2 x + 6y + = Suy AC = 2.MN = ( −4; − ) Phương trình đường thẳng AC : 3x − 4y + = 3a + 16 − 3a c Gọi A a; ⇒ B − a; Khi đó diện tích tam giác ABC là: S ABC = AB.d ( C, ∆ ) = 3AB 2 − 3a Theo giả thiết ta có: AB = ⇔ ( − 2a ) + = 25 ⇔ a = a = Vậy hai điểm cần tìm là A ( 0;1) và B ( 4; ) 9 3 d I ; Giả sử M là trung điểm AD ⇒ M ( 3; ) AB = 2IM = 2 2 ⇒ AD = 2 , MA = MD = ( AD ) : x + y − = 561 Lop12.net (14) Nguyễn Phú Khánh x + y − = Tọa độ A, D là nghiệm hệ: 2 ( x − ) + y = ⇒ A ( 2;1) , D ( 4; −1) ,C ( 7; ) , B ( 5; ) e Ta có: B = AB ∩ BD suy tọa độ B là nghiệm hệ: x − 2y − = x = ⇔ ⇒ B = ( 7; ) x − 7y + 14 = y = Giả sử A ( 2a + 1; a ) ∈ AB, D ( 7d − 14; d ) ∈ BD ⇒ AB = ( − 2a; − a ) , BD = ( 7d − 21; d − ) , AD = ( 7d − 2a − 15; d − a ) Do AB ⊥ AD ⇒ AB.AD = ⇔ ( − a )(15d − 5a − 30 ) = ⇔ 3d − a − = ⇒ a = 3d − ⇒ AD = ( d − 3; − 2d ) Lại có: BC = ( xC − 7; yC − ) Mà ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC d − = xC − x = d + ⇒ C ⇒ C = ( d + 4; − 2d ) 6 − 2d = yC − yC = − 2d ⇒ EA = ( 6d − 13; 3d − ) , EC = ( d + 2; − 2d ) với E = ( 2;1) Mặt khác điểm E ( 2;1) ∈ AC ⇒ EA, EC cùng phương ⇔ ( 6d − 13 )( − 2d ) = ( d + )( 3d − ) ⇔ d − 5d + = ⇒ d = ⇒ a = Vậy A = (1; ) , B = ( 7; ) , C = ( 6; ) , D = ( 0; ) là các đỉnh hình chữ nhật cần tìm 34 Bài tập 5.a ⇒ ϕ1 = ϕ2 cosϕ2 = cos ( d1 ;d3 ) = 34 cosϕ1 = cos ( d1 ;d2 ) = Vậy, ∆ABC cân có cạnh đáy là x + y − = b Vì B ∈ d1 ⇒ B ( b; − b ) ,C ∈ d ⇒ C ( c; c − ) AB.AC = ( b − 1)( c − ) = Ta có hệ: ⇔ 2 AB = AC ( b − 1) − ( c − ) = x = x = −2 xy = Đặt x = b − 1; y = c − ta có hệ: ⇔ x − y = y = −1 y = Vậy, B ( 3; −1) ,C ( 5; ) B ( −1; ) ,C ( 3; ) 562 Lop12.net (15) Nguyễn Phú Khánh c Gọi vectơ pháp tuyến AB, AC, BC là: n1 ( 1; ) , n ( 2;1) , n ( a; b ) Phương trình BC có dạng: a ( x − 1) + b ( y − ) = 0,a + b > Tam giác ABC cân A nên: cos B = cos C ⇔ cos n1 , n = cos n , n ( ⇔ a + 2b 2 = a +b ) ( ) 2a + b a = − b ⇔ a = b a +b 2 −2 Với a = − b , chọn b = −1 ⇒ a = ⇒ BC: x − y + = ⇒ B ( 0;1) ,C ; Không 3 thỏa mãn M thuộc đoạn BC Với a = b , chọn a = b = ⇒ BC: x + y - = ⇒ B ( 4; −1) ,C ( −4; ) Thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung điểm BC là K ( 0; ) BC2 BC2 Ta có: DB.DC = DK + KB DK + KC = DK − ≥− 4 ( )( ) Dấu xảy D ≡ K Vậy D ( 0; ) d Ta có x + y + 2x − 2y − 14 = ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = 16 2 Do đường tròn ( C ) có tâm I ( −1;1 ) và bán kính R = Đường thẳng d cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B ⇔ d ( I,d ) < −1.1 + 1.1 + m < ⇔ m < ⇔ −4 < m < ( ∗ ) 12 + 12 Với điều kiện ( ∗) , đường thẳng d cắt ( C ) A, B phân biệt ⇔ = R sin AIB = sin AIB ≤ IA.IB.sin AIB 2 = ⇔ AIB = 900 Đẳng thức xảy và sin AIB Diện tích tam giác IAB : S ∆IAB = Suy tam giác IAB vuông cân I m m = R Do d ( I,d ) = =2 ⇔ =2 2⇔ (thỏa ( ∗) ) 2 m = −4 Vậy, diện tích tam giác IAB lớn m = −4 m = e ABCD là hình chữ nhật nên góc AC và AB góc AB và BD , Gọi vectơ pháp tuyến AB, BD, AC là n AB ( 1; −2 ) , n BD ( 1; −7 ) , n AC ( a; b ) (với a + b2 > ) Khi đó ta có: cos n AB , n BD = cos n AC , n AB ( ) ( ) 563 Lop12.net (16) Nguyễn Phú Khánh a = − b a + b ⇔ 7a + 8ab + b = ⇔ a = − b Với a = − b , chọn a = ⇒ b = −1 ⇒ AC : x – y – = ⇔ a − 2b = b , chọn a = ⇒ b = −7 ⇒ AC : x – 7y + = ( không thỏa vì AC không cắt BD ) Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC ∩ BD nên toạ độ I là nghiệm hệ: x= x − y − = ⇒I ; ⇔ 2 2 x − 7y + 14 = y = Hơn A, C khác phía so với BD nên: NA + NC ≥ AC Với a = − 7 5 Đẳng thức xảy N = AC ∩ BD ⇒ N ≡ I Vậy N ; 2 2 Bài tập a B ∈ BB1 ⇒ B ( b; 8b − ) , C1 là trung điểm AB nên có b+4 C1 ; 4b − Mặt khác: C1 ∈ CC1 nên suy A ( b + ) − 13 ( 4b − ) − = ⇔ b = −1 ⇒ B ( −1; −11) C1 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy B1 tọa độ G là nghiệm hệ : x = 8x − y − = 1 1 ⇔ ⇒ G ;− 14x − 13y − = 3 3 y = − B C x = 3xG − x A − x B = −2 Suy C ⇒ C ( −2;11) yC = 3yG − y A − y B = 11 b Cách 1: Gọi I là giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên A,G,I thẳng hàng Theo tính chất trọng tâm tam giác ta 564 Lop12.net (17) Nguyễn Phú Khánh 3 dễ dàng tìm tọa độ điểm I ; Vì I là trung điểm AC nên biết tọa độ A,I 2 2 ta tìm tọa độ C ( 4;2 ) Vì D thưôc đường thẳng x − y − = mà C thỏa mãn phương trình này Do đó DC: x − y − = Biết phương trình DC viết phương trình AB mà ABCD là hình chữ nhật nên biết pháp tuyến AB ta biết pháp tuyến AD từ đó viết phương trình AD Tọa độ D là giao điểm AD và DC Ta tìm D Vì I là trung điểm BD nên ta tìm nốt B Cách 2: Gọi I là trung điểm BD Theo tính chất trọng tâm ta có : x = xG − x A = ( xI − xG ) I AG = 2GI ⇔ ⇔ y = yG − y A = ( yI − yG ) I Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có I là trung điểm AC Từ đó : xC = 2xM − x A = ⇒ C ( 4; ) xC = 2yM − y A = D ∈ d : x − y − = ⇒ D ( x; x − ) AD ⊥ DC ⇒ DA.DC = { } c AB ∩ BD = B ( 9; −7 ) Gọi I là giao điểm AC và BD , suy I ( a; − a ) , D ( −9 + 2a;11 − 2a ) Vì BC ⊥ AB ⇒ BC : 4x − 3y + m = BC qua điểm B nên ta tìm m Theo giả thiết diện tích hình chữ nhật là 22 nên ta có: AB ⋅ BC = 22 Hơn BC ⊥ AB ⇒ BC.AB = dễ dàng tìm tọa độ C, D 4 + xP = 2xI d Gọi P ( xP ; yP ) đối xứng với M ( 4; ) qua I nên 6 + yP = 2yI ( + xP ) ( + yP ) + = ⇔ 3xP − 5y P − = ( 1) 2 Lại có PM ⊥ PN ⇔ PM.PN = ⇔ ( xP − )( xP − ) + ( y P − )( y P − ) = I thuộc ( d ) nên − Từ ( 1) và ( ) , suy ra: 34yP − 162yP + 180 = ⇔ yP = yP = (2) 30 17 Bài tập 7.a Gọi M là điểm đối xứng với A qua CF , suy M ∈ BC Vì AM ⊥ CF nên AM : x + y − = 565 Lop12.net (18) Nguyễn Phú Khánh Do đó AM ∩ CF I ( 2;1) , M đối xứng với A qua I ⇒ M ( 0; ) Tương tự, gọi N là điểm đối xứng A với A qua BE , suy N ∈ BC và N ( −2; −1) I Suy MN = ( 2; ) ⇒ phương F E trình BC : 2x − y + = x − = B = BE ∩ BC ⇒ B : 2x − y + = M B N C x = ⇔ ⇒ B ( 1; ) y = x − y − = x = −4 C = CF ∩ BC ⇒ C : ⇔ ⇒ C ( −4; −5 ) 2x − y + = y = −5 b Giả sử rằng: B ( 3b; −4b + ) ,C ( 0; c ) Ta có: AC = ( −3; c ) , BC = ( −3b; 4b + c − ) Giả thiết tam giác ABC vuông C 3ta có: AC.BC = ⇔ 9b + 4bc + c − 4c = (1) S ∆ABC = 3c − 12 AB.d ( C; AB ) , đó: AB = b − , d ( C; AB ) = Theo bài toán, ta có: 3c − 12 b − = ⇒ ( b − 1)( c − ) = (2) c BC qua B ( 1; ) và vuông góc AH nên BC : − 2x + y – = −2x + y − = Toạ độ C là nghiệm hệ: ⇒ C ( −4; −5 ) x − y − = Gọi A' là điểm đối xứng B qua đường phân giác ( d ) : x − y − = 0, BA ∩ ( d ) = K Đường thẳng KB qua B và vuông góc ( d ) nên KB có phương trình : x + y – = x + y − = 7 5 Toạ độ điểm K là nghiệm hệ: ⇒ K ; ⇒ A' ( 6; ) x − y − = 2 2 Phương trình AC : x – 2y – = , A = CA'∩ AH ⇒ A ( 4; −1) 566 Lop12.net (19) Nguyễn Phú Khánh Trung điểm I ( 0; −3 ) AC, đồng thời I là trung điêm BD nên D ( −1; −11) d AB : x – y – = Giả sử G ( m; − m ) ∈ d ⇒ C ( 3m − 3; − 3m ) S ∆ABC = 6m − 15 m = 3 3 ⇒ AB.d ( C; AB ) = ⇒ d ( C; AB ) = ⇒ = ⇒ 2 2 2 m = e Phương trình DC qua D và vuông góc ( d ) là: 3x − 2y + = Giao điểm DC và ( d ) là: M ( −4; −3 ) và là trung điểm DC Suy tọa độ C ( −2; ) Gọi C′ là điểm đối xứng C qua d' thì C′∈ AB, phương trình CC′ : 1 1 x − 5y + = Giao điểm CC′ và d' là I ; Suy tọa độ C' ( 3;1) 2 2 Phương trình AB qua C′ vuông góc ( d ) là: 3x − 2y − = Bài tập 8.a Vì BC ⊥ AD nên phương trình BC : 2x − y + = 8x − y − = B = BC ∩ BB1 ⇒ B : 2x − y + = A x = ⇔ ⇒ B ( 1; ) y = B1 Do A ∈ AD , suy A ( − 2a; a ) B a−5 Do đó B1 −a − 1; Mà B ∈ BB1 nên ta có: ( −a − 1) − C a−5 − = ⇔ a = −1 ⇒ A ( 4; −1) b Gọi H là hình chiếu M ⇒ BC = CD = 2x ⇒ MH = D lên AD ta có 2 2 H ; Đặt AB = x 3 3x Vậy, AD = = 3 567 Lop12.net (20) Nguyễn Phú Khánh Gọi A t= ( 2a; a ) và H là trung điểm AD suy D ( ; ) và AD = suy 2 2 ⇒ A ; 3 5 5 c Gọi M là trung điểm AB ⇒ M ; − ⇒ AB : x − y − = 2 2 1 Vì G là trọng tâm ∆ABC ⇒ S ∆ABG = S ∆ABC = Giả sử G ( x0 ; y ) , ta có: x − y − 2S ∆ABG d ( G; AB ) = = = ⇔ x0 − y0 − = ( 1) AB 2 Vì G ∈ ∆ : 3x − y − = ⇒ 3x0 − y − = ( ) Từ ( 1) v à ( ) suy G ( 1; −5 ) ⇒ C ( −2; −10 ) G ( 2; −2 ) ⇒ C ( 1; −1) d Gọi tọa độ điểm B ( −2b − 5; b ) ⇒ C ( 2b + 5; − b ) Điểm O ∈ BC Lấy đối xứng O qua phân giác góc B ta điểm M ( 2; ) ∈ AB ⇒ BM = ( + 2b; − b ) CK = ( − 2b; + b ) Vì tam giác ∆ABC vuông A nên có: BM.CK = ⇒ b = −3 b = e Gọi tọa độ điểm B ( 2y B ; y B ) ⇒ A ( − 2y B ; − y B ) Phương trình đường thẳng CI : 2x + y − 10 = Gọi tọa độ điểm C ( xC ;10 − 2xC ) ⇒ CI = − xC , AB = 20 y B − Diện tích tam giác ABC là: S ABC = CI.AB = 10 ⇔ 4y B + 2xC − xC y B − = 2 ⇔ xC y B − 4y B − 2xC = −6 ( 1) xC y B − 4y B − 2xC = −10 ( ) 4 − xC = k ( 2y B − ) Vì M ∈ BC ⇒ CM = kMB ⇔ 11 vì y B ≥ − + 2xC = k y B − 2 ⇒ 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = ( ) x y − 4y B − 2xC = −6 y = −1 − Từ ( 1) và ( ) ta có hệ: C B ⇒ B 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = xC = −1 + x y − 4y B − 2xC = −10 y = Từ ( ) và ( ) ta có hệ: C B ⇔ B 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = xC = 568 Lop12.net (21)