Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm tuyệt đối có chứa tham số

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán max, min của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số.. GTLN - GTNN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAM SỐ..[r]

(1)

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn a b;  - Tìm nghiệm x ii( 1, 2, ) y 0 thuộc a b; 

- Tính giá trị f x i ;f a ;f b  so sánh giá trị, suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

BÀI TẬP MẪU:

Gọi S tập tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f x  x33xm

trên đoạn 0;3 16 Tổng tất phần tử S

A. 16 B.16 C. 12 D. 2

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây dạng tốn max, hàm trị tuyệt đối có chứa tham số. 2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn a b;  - Tìm nghiệm (x ii 1, 2, ) y 0 thuộc a b; 

- Tính giá trị f x i ;f a ;f b  so sánh giá trị, suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 3 HƯỚNG GIẢI: Tìm giá trị lớn hàm số y f x  , ta xét hàm số y f x 

B1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y f x 

B2: Giá trị lớn hàm số y f x  max f x  f x  Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:

Lời giải Chọn A

Đặt g x x33x m  

3

g x  x  ;       0;3

1 0;3

x g x

x

       

  

 0 ;  1 ;  3 18

g m g   m g  m Suy

0;3  

maxg x 18m;

0;3  

ming x   2 m

(2)

Để giá trị lớn hàm số y f x là 16

18 16

2 16 14

18 16

m m

     

 

 

     

 

 

 

      

 

   

 

 

Vậy S   2; 14 nên tổng 14   16

Bài tập tương tự phát triển:

Câu 42.1: Gọi tập S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số

3 3

y x  xm đoạn 0; 2 Số phần tử S

A.1 B. C. D.

Lời giải Chọn B

Xét

3

ux  xm Ta có: u'3x23 ;  

0 0;

u    x Khi đó:

0;2         

max max , , max , 2, 2

A u u u u  m m m m

0;2         

min , , , 2, 2

a u u u u  m m m m

Ta có:

0;2    

2

2 1

max max , max ,

1

2

m

m m m

y A a m m

m m

   

   

 



       

 

   

 



    

Vậy S  1

Câu 42.2:Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số

y x  x m thỏa mãn  2; 2

miny

  Tổng tất phần tử S A 31

4

 B. 8 C 23

4

 D.

4 Lời giải

ChọnC

Xét hàm số

ux xm đoạn 2; 2, có: 1

u   x  x 

 2;2    

1

max max , ,

2

u u u u m



   

      

 

 

;

 3;2    

1

min , ,

2

u u u u m



   

      

 

 

Nếu

m  hay

m  2; 2

1

min

4

y m m

      (thỏa mãn) Nếu m 6 hay m 6

min2; 2y m 6 2m 8 (thỏa mãn)

Nếu

4

m

    2; 2 miny

(3)

Ta có: 8;9 S  

  Vậy tổng phần tử S

23



Câu 42.3: Gọi M giá trị lớn hàm số f x  3x44x312x2m đoạn 1;3 Có số thực m để 59

2

M  ?

A. B. C.1 D.

Lời giải Chọn C

Xét hàm số: u3x44x312x2m

Có

12 12 24

u  x  x  x

0

2 x

u x

x

   

    

  

Khi đó:  

       

   

            

1;3

min , , , 32

max max , , , 3 27

u u u u u u m



     

 

    

 

Do đó: max 32 , 27 59

M  m m 

59 32

2

32 27 5

2 59

27

27 32

m

m m

  

 

 

   



  



  

 

   

 

Vậy có số thực m để 59

M 

Câu 42.4:Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số

2

x m m

y x

 



 thỏa max 1;2 y1

Tích phần tử S

A. 16 B. 4 C.16 D.

Xét

2

x m m

u x

 



 , ta có:    

2

0 , 1; ,

m m

u x m

x

 

      

 

Do

   

2 1;2

2

max

4

m m

A uu     ;

   

2 1;2

1

min

3

m m

a uu    

 

2

1;2

2

max max ,

4

m m m m

y      

 

 

1 17 m  

(4)

Ta có: 17 S   

 

 

Vậy tích phần tử S 4

Câu 42.5: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số

2

1 x mx m y

x

 



  1; Số phần tử S

A.1 B. C. D.

Xét hàm số:

2

1 x mx m u

x

 





 

2

x x

u x

  

 ; u 0  

2

x x

x



 



2

x x

    

  1;

2 1;

x x

    

   

Ta có: u   0 x  1; nên 1;2

4

max ,

3

ym m 

 

1;2 maxy2

2

10

m m

    

   

Vậy 2; 10 3 S  

 

Câu 42.6: Xét hàm số  

f x  x axb , với a, blà tham số Gọi M giá trị lớn hàm số 1;3 Khi Mnhận giá trị nhỏ tính T  a 2b

A. T3 B. T 4 C. T  4 D. T2

Ta có: max ,   1 A B

A B   Dấu  xảy AB

Ta có: max ,   2

A B

A B   Dấu  xảy A B Xét hàm số g x x2ax b , có  

2

a

g x   x 

Trường hợp 1:  1;3

a

     a  6; 2 Khi Mmax 1  a b, 3 ab Áp dụng bất đẳng thức  1 ta có M 2 a 8

Trường hợp 2:  1;3

a

     a  6; 2 Khi

2

M max , , a a b a b b

 

 

       

 

 

(5)

Áp dụng bất đẳng thức  1  2 ta có

2

M max ,

4 a a b b

 

 

     

 

 

2

1

M 20

8 a a

   

 2

1

M 16

8 a

   

Suy M2

Ta có: M nhận giá trị nhỏ M 2

2

1

a

a b b

a b a b

   

 

   

 

    

 

2

a b

    

  

Vậy a2b 4

Câu 42.7: Cho hàm số

3

y x  x m (với m tham số thực) Hỏi 1;2

maxy có giá trị nhỏ

A. B. C.1 D.

Xét hàm số : tx33x2 với x 1; 2 .

Ta có  

 

2 1;

3

2 1;

x

t x x

x

        

  

; t 1  2, t 2  4 Nên  1;2

maxt 2  1;2

mint 4 Do

 1;2  1;2  

maxymax m t max m4 ;m2

   4 2 

max ;

2

m m

m m      

     

Dấu đạt m  4 mm3

Câu 42.8: Cho hàm số  

8

f x  x ax b , a, b tham số thực Tìm mối liên hệ a b để giá trị lớn hàm số f x  đoạn 1;1

A. b8a0 B. b4a0 C. b4a0 D. b8a0 Lời giải

Chọn D Đặt

tx , x  1;1 nên t 0;1

Ta có: g t 8t2at b , parabol có bề lõm quay lên có tọa độ đỉnh

2

; 32

a a

I  b

 

Trường hợp 1: 0;1

a

(6)

   

2

1

1 1

1

32

g g a

b



  

 

  

 

     



2

1

32 32 32

b

a b

b a

   

     

   



   

 

2

1 1

1

32 32 32 b

a b

a b

   

     



   



Lấy  1 32 3  ta có :

64 a 64

    8 a8 Lấy  3 32 2  ta có :

64 a 32a 256 64

    

Suy :

32 192

a  a   24a 8

Khi ta có : a 8 b1

Thử lại: g t 8t28t12 2 t121 Vì 0 t nên  1 2t 1  2

0 2t 1

      1 g t 2 2 t12 1 Ta có: max g t  1 t 1 x 1 Nên a 8 b1 (thỏa mãn) Trường hợp : 0;1

6

a

  Theo yêu cầu tốn ta có:  

 

1

1 1

g g

  

  

  

 

1

b a b

   

 

     

1

b a b

   

 

     

2 a 10 a

          (loại)

Vậy a 8 b1

Câu 42.9: Cho hàm số f x  x44x34x2a Gọi M,

m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 0; 2 Có số nguyên a thuộc đoạn 3;3 cho

2 M  m?

A. B. C. D.

Lờigiải

Chọn A

Xét hàm số g x x44x34x2a

 

4 12

g x  x  x  x; g x 0

4x 12x 8x

   

0 x x x

  

 

  

(7)

`

TH1: a  1 m a1 ; M  a  2a1        a a a  3; 2 TH2: 1 a0 m0;M 0 M 2m (loại )

TH3: a0  ma M; a1 2a     a a a 1; 2;3 Vậy có giá trị a thỏa mãn đề

Câu 42.10: Cho hàm số

4

1

x ax a

y

x

 



 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ

hàm số đoạn  1; Có số nguyên a cho M 2m?

A.15 B.14 C.16 D.13

Lờigiải

Chọn C Xét

4

1

x ax a

u x

 



 đoạn  1; , ta có  

4

2

3

0

x x

u x



  

 ,  x  1;

Do đó,

1;2  

16

max

3

uu a ,

 1;2  

1

min

2

uu a

TH1:

a 

16

M a

m a



  

  

   



1

16

2

3

a

a a



 

   

 

     

  



1 13

2 a

   

TH2: 16

a 

1 16

M a

m a

  

    

  

 

 

   

 

  



16

1 16

2

a

a a



 

   

   

      

    



61 16

6 a

    

TH3: 16

2

a a

   

  

   

    m0,

1 16

max ,

2

M  a a 

 

2

M m

  ( thỏa mãn)

Ta có: 61 13

6 a

   a  10; ; 4 Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn

Câu 42.11: Cho hàm số f x  8 cos4xacos2x b ,

a, b tham số thực Gọi M giá trị lớn hàm số Tính tổng a b M nhận giá trị nhỏ

A. a b  8 B. a b  9 C. a b 0 D. a b  7

(8)

Chọn D

Đặt

cos

t x, t 0;1 , ta có hàm số g t  8t2atb Khi

0;1   max

M  g t

Do đó:  0 M g  b;

 1

M g   a b;

1

2

M g    a b  M   a b

  ;

Từ ta có

   

4M  b 8ab    4 a 2b  b 8ab    4 a 2b 4 Hay M 1

Dấu đẳng thức xảy 2

a b

b   a b      b, 8 a b,

  4 a 2b dấu

1

a b

    

 

Vậy a b  7

Câu 42.12: Cho hàm số   

2

y xx  x x m Có tất giá trị thực tham số

m để maxy3?

A.1 B. C. D.

Hàm số xác định khi: x1 3 x0  1 x3

Đặt t x1 3 x 3 2 xx2t0; 2 2

2xx t 3

Khi ta cần tìm giái trị lớn hàm số y t2  t m đoạn 0; 2 Với

3

ut   t m ta có:

0;2 0;2

13 max 1;

4

um um

Do max max ; 13 4;

4

y m m  m m

 

Câu 42.13: Cho hàm số y 2xx2 x1 3 xm Khi giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Mệnh đề sau đúng?

A. 17

8 B.

9

8 C.

7

8 D.

15 Lời giải

(9)

Hàm số xác định khi: x1 3 x0  1 x3

Đặt t x1 3 x 2 xx2t0; 2 2

2xx t 3 Khi ta cần tìm giái trị lớn hàm số

3

y t   t m đoạn 0; 2 Với

3

ut   t m ta có:

0;2 0;2

13 max 1;

4

um um

Do

13 13

1

13 4

max max ;

4 2

m m m m

y m m

     

 

      

 

Dấu xảy 13 17

4 8

m  m  m

Câu 42.14: Gọi Slà tập hợp tất số nguyên m để hàm số 19 30

4

y x  x  x m có giá trị lớn đoạn 0; 2 khơng vượt 20 Tổng phần tử S

A. 195 B. 210 C.195 D. 210

Xét 19

30

4

u x  x  xm đoạn 0; 2 có

5

19 30;

2 x

u x x u x

x

   

     

   

Do đó:

0;2  0;2

maxumax u(0); (2)}u max{ ;m m6}m6 ; minum

Do đó: 0;2

6 20 13

max max{ ; } 20 20

20 13

6 20

m m m

y m m m

m

m m

       

            

   



Mà m nên m { 20; 19; , 6}  Vậy

20

6

195 S k 

Câu 42.15: Cho hàm số y 2x33x2m Có số nguyên m để

 1;3   f x

  ?

A.4. B.8 C.31 D.39

Lời giải Chọn D

Xét u2x33x2m, ta có:

' 6

u  x  x; 0

x u

x

      



Do đó:  

       

   

            

1;3

min , , , 5, 27, , max max , , , max 5, 27, , 27

u u u u u m m m m m



        

 

       

 

(10)

TH1:

 1;3    

5 5; 6; 7;8

m m f x m m m



           

TH2:

 1;3    

27 27 ( 27) 30 30; 29; 28; 27

m m f x m m m



                  

TH3: (m5)m270 27m 5 min1;3 f x 0(thỏa mãn) Vậy m  30; 29; 28; ; 7;8  

Câu 42.16: Cho hàm số f x( )ax2bx c , f x( )   1, x [0;1] Tìm giá trị lớn f(0)

A. B. C. D.

( ) (0)

f x  ax b f b

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn b với điều kiện f x( )   1, x [0;1]

Ta có  

(1) (0) (0)

1

1 4 (0) (1) (0)

2

1

(0)

2

a b f f

f c

f a b c a b f f b f f f

a b

c f

f c



  



 

 

     

          

     

   

 

 

         



     

1 (0)

1

( ) 1, [0;1] 1 (1) (0)

2

1

2

f

f x x f b f f f

f



  



  

                 

  

     

  



Đẳng thức xảy

1

1,

2

(1) 1, ( ) 8

(0) 1

1

f

c a

f a b c b f x x x

f a b c

c

     

      

 

 

              

      



    

 



Vậy giá trị lớn f(0)

Câu 42.17: Cho hàm số y x42x3x2a Có số thực a để

 1; 2  1; 2 miny maxy 10

    ?

A. B. C. D.

Xét

2

ux  x x a đoạn1; 2, ta có :

'

u  x  x  x;

0

'

1

x

u x

x

      

   

(11)

Suy ra:  

         

           

1;

1

max max , , , 1

2

min , , , 1

2

M u u u u u u u a

m u u u u u u u a



    

        

  

 

  



   

      

   

    



TH1: m0a0 Khi đó:

 1; 2  1; 2 miny m; maxy M

   

Ta có điều kiện :

4 10

a

a a a

 

 



   

TH2: M   0 a Khi :

 1; 2  1; 2

miny M; maxy m

     

Ta có điều kiện :

 

4

7

4 10

a

a a

  

   

   



TH3: m 0 M   4 a0

Khi đó:

 1; 2  1; 2    

miny 0; maxy max a , a max a 4, a 10

        

Suy

 1; 2  1; 2

miny maxy 10 10

      (loại) Vậy a3; 7 

Câu 42.18: Cho hai số thực x; y thỏa mãn x2y24x6y 4 y26y10 64xx2 Gọi

M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 2

T  x y a Có giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10 tham số a để M 2m?

A.17 B.16 C.15 D. 18

Biến đổi giả thiết có: x2y24x6y 4 y26y10  64xx2

2 6 10 6 10 6 4 6 4

y y y y x x x x

            (*)

Đặt f t  t t t, 0; Ta có f t  đồng biến 0;

Do ta có: (*)  f  y26y10  f 6 4 xx2 y26y10 6 4xx2

  

2 2 2 2

4 4 6

x y x y x y x y x y

             

2 2

13 x y 13 x y a  13 a;3 13 a

(12)

TH1: 13 3  a

 

13

13 9 13

3 13 13

3 13

a

m a

ycbt a

a a

M a

   

   

 

       

    

  

 

 

TH2: 13 3  a

 

     

13 3 13

3 13 13

13 13

3 13

m a a

ycbt a

a a

M a

        

 

       

      

    

 



TH3:  13 3 13  13 13

0

m

a a a

M

 

           

 

(M2m) Vậy a 13 9;9  13 Đối chiếu với a  10;10  a  5; ;10

Câu 42.19: Cho hàm số f x( ) 2x39x212xm Có số nguyên m ( 20; 20) để với ba số thực a b c, ,  1;3 ( ), ( ), ( )f a f b f c độ dài ba cạnh tam giác?

A.10 B. C. 25 D. 23

Xét

2 12

u x  x  xm  1;3 , ta có:

6 18 12

u  x  x ; 0

2

x u

x

      



 

[1;3]

minumin u(0), (1), (2), (3)u u u m4

 

[1;3]

maxumax u(0), (1), (2), (3)u u u m9

Để ( ), ( ), ( )f a f b f c độ dài ba cạnh tam giác ta phải có ( )f a  f b( ) f c( ) Chọn

[ 2;1] [ 2;1]

( ) ( ) ( ), ( ) max ( ) f a f b f x f c f x

 

   ta có điều kiện

[ 2;1] [ 2;1]

2 ( )f x max ( )f x

  

Ngược lại: với

[ 2;1] [ 2;1]

2 ( )f x max ( )f x

   , ta có : f a( ) f b( ) f c( )2 ( )[ 2;1] f x max ( )[ 2;1] f x 0 Vậy điều kiện cần đủ để f a( ), ( ), ( )f b f c độ dài ba cạnh tam giác

[ 2;1] [ 2;1]

2 ( )f x max ( )f x

  

TH1:

[1;3] [1;3]

4

4 ( ) 4; m ( )

2( 4)

m

m f x m ax f x m m

m m

  

         

  



TH2:

[1;3] [1;3]

9

9 ( ) 9; m ( ) 14

2( 9)

m

m f x m ax f x m m

m m

  

            

     

TH3:

[1;3] [1;3]

(13)

Câu 42.20: Cho hàm số  

3

f x  x  xm Có số nguyên m  20; 20 để với ba số thực a b c, ,   2;1thì f a ,f b ,f c  độ dài ba cạnh tam giác nhọn

A.18 B.16 C.14 D. 12

Xét ux33xm đoạn , ta có: u 03x2 3 0 x 1

Khi đó:  

     

   

          

2;1

max u max , , max m 2, m 2, m 2 u , , m 2, m 2, m 2

u u u m



         

 

        

 

Để f a , f b , f c  độ dài ba cạnh tam giác nhọn ta phải có

     

2 2

f a  f b  f c Chọn    

 2;1      2;1  

min ; max

f a f b f x f c f x

 

   ta có điều kiện

       

2

2;1 2;1

2 f x max f x

 

 

  

   

   

Ngược lại với

       

2

2;1 2;1

2 f x max f x

 

 

  

   

    , ta có

     

       

2

2 2

2;1 2;1

2 max

f a f b f c f x f x

 

 

       

   

Vậy điều kiện cần đủ để f a , f b ,f c  độ dài ba cạnh tam giác

       

2

2;1 2;1

2 f x max f x

 

 

  

   

   

TH1:   

       

2

2;1 2;1

2 2 2.0 m ax

m m f x f x

 

 

        

  (loại)

TH2: m 2

 2;1    2;1    2  2

2

min 2; m ax

2 2

m

f x m f x m m

m m

 

   

        

  

 

TH3: m 2

 2;1      2;1      2  2

2

min ; m ax

2 2

m

f x m f x m m

m m

 

   

           

  

 

Suy m  19, 18, , 12,12,13, ,19   Vậy có 16 số nguyên m thỏa mãn

Câu 42.21:Gọi tập S tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số

3

y x  x m đoạn 0; 2 Số phần tử S

(14)

Xét

3

ux  x m có:  

' 3 ; ' 0;

u  x  u   x  Khi đó:

0;2         

max max , , max , 2, 2

A u u u u  m m m m

0;2         

min , , , 2, 2

a u u u u  m m m m

Vậy

0;2    

2

2 1

max max , max ,

1

2

m

m m m

y A a m m

m m

  



   

 



       

 

   

 



   



Câu 42.22:Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số

 

8

f x  x  x m đoạn 1;1 Tổng tất phần tử S

A. 7 B.7 C. D. 5

Xét hàm số g x x48x2m x,   1;1, ta có   16 ;   0 x

g x x x g x

x

 

      

  

 1  1

g  g   m, g 0 m

Do đó:

 1;1    

7

7 2

max max ,

5

7

m

m m m

f x m m

m m



    

  

  

     



  

 

    

 

Vậy S2;5 Vậy tổng giá trị S

 

3 x m f x

x

 



 đoạn 2; 2 Tổng tất phần tử S

A. 16 B.16 C.2 D. 14

Xét hàm số   ,  2; 2

x m

g x x

x

 

  

 , ta có    2

12

m g x

x



 



 2 ,  2

m

(15)

Do :

 2;2  

8

6

8 2

8 5

max max ,

14

8

5

m

m m

m

f x m

m m



 

 

 

 

   

  

   

      

     



 

   

 

Vậy S2;14 Vậy tổng giá trị S 16

Câu 42.24:Có giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số

2

y x  xm

trên đoạn 2;1 4?

A.1 B. C. D.

 

2

f x x  x m  có f x 2x2, f x 0x 1 Do

   

2 2;1

max x 2x m max m ;m ;m

       

Ta thấy m 5 m 4 m1 với m, suy  2;1 maxy



m5 m1

Nếu  2;1

maxy m

  

5

m

m m

   



  

 

1

m

 

Nếu  2;1

maxy m   

1

m

m m

   



  

 

5

m

 

Vậy m1; 5

Câu 42.25:Cho hàm số 2

x m

y x

 

 với mlà tham số, m 4 Biết xmin0;2f x maxx0;2 f x  8 Giá trị tham số mbằng

A.10 B. C. D. 12

Xét hàm số xác định tập D0; 2 Ta có

 2

4

m y

x

  



Nhận xét m 4 hàm số đồng biến nghịch biến 0; 2nên giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 0; 2 đạt x0 , x2 Theo ta có  0  2 8 12

2

m m

(16)

Câu 42.26:Cho hàm số

( )

f x  x  x m Có số nguyên m để

 1;3   minf x

 

?

A.4 B.8 C 31. D. 39

Xét

2

u x  x m có 6 ; 0 x

u x x u

x

 

    

 

Do  

       

   

            

1;3

min , , , 5, 27, , max max , , , max 5, 27, , 27

u u u u u m m m m m

 

        

 

       

 

+ Nếu m 5 0m5thì

 1;3    

min f x m m m 5;6; 7;8

       

+ Nếu m27 0 m 27thì

 1;3  

min f x (m 27) m 30

       

 30; 29; 28; 27

m

     

Nếu(m5)m27  0 27m5thì

 1;3   minf x

  (thỏa mãn) Vậy m  30; ;8 có tất 39 số nguyên thỏa mãn

Câu 42.27:Cho hàm số y x33x2m Có số nguyên m để

 1;3  

min f x 3?

A.4 B.10 C.6 D.11

Với ux33x2m có ; 0 x

u x x u

x

 

    

 

Do  

       

   

            

1;3

min , , , 2, , 4

max max , , , max 2, ,

u u u u u m m m m

      

 

    

 

+ Nếu m  4 m4

 1;3    

min f x m  4 m 7 m 4;5; 6;7

+ Nếu m0

 1;3    

min f x  m 3 m  3 m  3; 2;1; + Nếu 0m4thì

     

  1;3 1;3 1;3

minu0; maxu 0 f x 0 (thỏa mãn) Vậy m  3; ; 7 có tất 11 số nguyên thỏa mãn

Câu 42.28:Cho hàm số y x2 x m Tổng tất giá trị thực tham số

m để

min2; 2y2 A 31

4

 B. 8 C 23

4

 D.

4 Lời giải

(17)

Xét hàm số

ux  x m đoạn 2; 2, có: 1

u   x  x 

Khi đó:  

   

     

2;

1

max , ,

2

1

min , ,

2

u max u u u m

u u u u m



    

     

  

 

  



   

     

   

    



+ Nếu

m  hay m

 2; 2

1

min

4

y m m

      (thỏa mãn) + Nếu m 60 hay m  6

 2; 2

miny m m

        (thỏa mãn)

+ Nếu m

  

min2; 2y0 (khơng thỏa mãn) Vậy có hai số thực

4

m m  8 thỏa mãn yêu cầu tốn Tổng giá trị 23

4



Câu 42.29:Gọi  , giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

 

3 12

y f x  x  x  x m đoạn 3; 2 Có giá trị nguyên  2019; 2019

m  để 2 

A. 3209 B. 3215 C. 3211 D. 3213

Xét hàm số yg x 3x44x312x2myg x 12x312x224x

 

0

0 12 12 24

2

x

g x x x x x

x

  

         

  

 0 ;  1 5;  2 32;  3 243 g m g  m g m g   m

3;2 3;2

maxg m 243; ming m 32 



   

+Nếu m32 0 m32  m243,  m32 Khi đó: 2  m307 +Nếu m243 0 m 243   m32 ;   m243

Khi đó: 2 m 518

+Nếu 243m32m32m2430

   

max m243 ,m32 max m243,32m 0;0 Khi đó, khơng thỏa điều kiện 2 

(18)

Câu 42.30:Cho hàm số  

4

f x  x  x  x a Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 0; 2 Có số nguyên a thuộc đoạn 3;3 cho

2

M  m?

A. B. C. D.

Xét hàm số g x x44x34x2a

 

4 12

g x  x  x  x; g x 0

4x 12x 8x

   

0

x x x

  

 

   

Bảng biến thiên

Do 2mM 0 nên m0 suy g x 0 x 0; 2

Suy 1

0

a a

   

 



   

 

Nếu a 1 M  a, m  a 2 a 1 aa 2 Nếu a0 M a1, m a 2aa1a1

Do a 2 a1, a nguyên thuộc đoạn 3;3 nên a   3; 2;1; 2;3 Vậy có giá trị a thỏa mãn đề

Câu 42.31:Xét hàm số  

f x  x ax b , với a, blà tham số Gọi M giá trị lớn hàm số 1;3 Khi Mnhận giá trị nhỏ được, tính a2b

A. B. C. 4 D.

Ta có max ,   1

A B

A B   Dấu  xảy AB

Ta có max ,   2

A B

(19)

Xét hàm số g x x2ax b , có  

2

a

g x   x 

Trường hợp 1:  1;3

a



    a  6; 2 Khi Mmax 1  a b, 3 ab Áp dụng bất đẳng thức  1 ta có M 2 a 8

Trường hợp 2:  1;3

a



    a  6; 2 Khi

2

M max , , a a b a b b

 

 

       

 

 

Áp dụng bất đẳng thức  1 và 2 ta có

2

M max ,

4 a a b b

 

 

     

 

 

2

1

M 20

8 a a

   

 2

1

M 16

8 a

   

Suy M2

Vậy M nhận giá trị nhỏ M2

2

1

a

a b b

a b a b

   

 

   

 

    

 

2

a b

    

  

Do a2b 4

Câu 42.32:Có số thực m để hàm số

3 12

y x  x  x m có giá trị lớn đoạn 3; 2 275

2 ?

A.4 B.0 C.2 D.1

 

4

275

3 12 ; 3;

275 2

3 12 ; 3;

275

3 12 ; 3;

2

x x x m x

y x x x m x

x x x m x



      

 

         

        

 

 

   

4

275 275

3 12 ; 3; ; 3;

2

275 275

3 12 ; 3; max ; 3;

2

m x x x x m g x x

 

            

 

 

              

 

 

Xét    

3 12 ; 3;

g x   x  x  x   x

Khảo sát hàm số đoạn 3; 2 ta min 243; max32

275 211

243

211

2

275 211

32

2

m m

m

m m

 

    

 

    

     

 

(20)

Như 211 4 12 275;  3; 2

2

m  y x  x  x m    x

Dấu = xẩy 211

m  nên có giá trị cần tìm

2

y x  xm (với m tham số thực) Hỏi  2;1 maxy

 có giá trị nhỏ

A. B. C.1 D.

Đặt t x22x4, ta có t 2x2

 

2 2;1

t  x  x   

 2

t    , t 1  5, t 1  1 Suy ra:

 2;1    2;1 

max t m m 1, t m m 

       ,

 2;1  2;1    

5

max max max , max , m

2

m m

y t m m m m

 

  

        

 5 1  2

m  m

  dấu đặt m  5 mm3

3

y x  x m (với m tham số thực) Hỏi  1;2

maxy có giá trị nhỏ bao nhiêu?

A. 2 B. 4 C.1 D.

Xét hàm số: tx33x2 với x1; 2

Ta có  

 

2 1;

3

2 1; x

t x x

x

  

     

  

; t 1  2, t 2  4 Nên 1;2

maxt 2  1;2

mint 4 Do

1;2 1;2   max ymax mt max m4 ;m2

   4 2 

max ;

2

m m

m m      

     

Dấu đạt m42mm3

Câu 42.35:Cho hàm số  

2

1 2

2

x m x m

y

x

   



 (với m tham số thực) Hỏi max1;1 y có giá trị nhỏ bao nhiêu?

A 3

2 B.

1

2 C. D.

(21)

Ta có

2

2 x x

y m t m

x

 

   

 ,    

2

2; , 1;1 x x t x x                 2 1;1 4 1;1 x x x t t x x               

 1 4, 0  1, 1 

t    t   t  

Do

 1;1  1;1    

maxy maxt m max m ,m max m , m

          

 2  1

2 1

2 2

m m

m   m    

  

Dấu đạt

2

m    m m 

2

1 x mx m y

x

 



  1; 2 Số phần tử S

A. B.1 C. D.

Tập xác định: D\ 1 Xét hàm số:  

2

1 x mx m f x x         2 x x f x x   

 ; f x 0  

2 2 x x x     2 x x        1;

2 1; x x         

  0,  1; f x   x nên

1;2

4

max max ,

3

y m m 

 

1;2 Maxy2

4

4 2

3 3

5 2 m

m m m

m m m m                                       

Vậy có hai giá trị mthỏa mãn

Câu 42.37:Cho hàm số  

1 27

y x x  m  x Giá trị lớn hàm số đoạn  3; 1 có giá trị nhỏ

A. 26 B.18 C. 28 D. 16

(22)

Chọn B

Xét  

1 27

ux x  m  x đoạn  3; 1 ta có: 2

3 0,

u  x  x m   x Do

   

2 3;

max 26

A u u m

 

     ;

   

2 3;

min

a u u m

 

    

Do

   

2

3;

M maxy max 26 m , 3m

 

    4M 3 26m2  6 3 m2 72

Vậy M 18

Dấu xảy 26m2  3 m2 18m 2

Câu 42.38:Xét số thực dương x y, thoả mãn  

 

2

2 2018

1

x y x y

x

  

 

Giá trị nhỏ Pmin biểu thức P2y3x

A min

P  B min

6

P  C min

8

P  D min

2

P 

Ta có:

 

   

         

2

2018 2018

2

2018 2018

2 2018

1

2( 1) log log

log 2 log 2 *

x y x y

x

x y x y x x

x x x x x y x y

  

 

       

         

Xét hàm: f t log2018t2 ,t t0 Suy ra:   ,

ln 2018

f t t

t

     

Do hàm f t  đồng biến khoảng 0;

Mà  *  f x 22x1 f2xyx22x 1 2xy yx21 Khi đó:

2

2 7

2 3 2

4 8

P y x x  x  x   

 

Kết luận: min

P 

x

Câu 42.39:Cho hàm số f x  8x4ax2b , a, b tham số thực Biết giá trị lớn hàm số f x  đoạn 1;1 Hãy chọn khẳng định đúng?

A. a0, b0 B. a0, b0 C. a0, b0 D. a0, b0 Lời giải

(23)

Xét g x 8x4ax2b, g x 32x32ax0 2 16 x a x         Ta có

 1;1   max f x

  g 0   b  1;1

TH1 a0 Ta có g 1 g 1    8 a b Suy

 1;1   max f x

  không thỏa YCBT TH2 a0

Nếu 16

16

a

     Ta có g 1 g 1     8 a b Suy

 1;1   max f x

 

không thỏa YCBT

Nếu 16

16

a

     Ta có BBT

▪

 1;1   max f x b

  

Khi YCBT

2 1 32 a a b             64 a a        a

   (thỏa a 16)

▪

 1;1  

max f x a b

     Khi đó, YCBT

2 1 32 b a b           32 a a a            24 a a           a

   b1

▪     1;1 max 32 a f x b

    Khi đó, YCBT

2 32 1 a b a b b                 2 32 32 a b a a a                 a b       

(24)

Đặt

tx ta có g t 8t2at b Vì x  1;1 nên t 0;1

Theo u cầu tốn ta có: 0g t 1 với t 0;1 có dấu xảy

Đồ thị hàm số g t  parabol có bề lõm quay lên điều kiện dẫn đến hệ điều kiện sau xảy :

   

1

1 1

1

32

g g



  



  



 

   

2

1

32 32 32

b a b

b a

   

      

   



   

 

2

1 1

1

32 32 32 b

a b

a b

   

     



   



Lấy  1 32 3  ta có :

64 a 64

   8 a8 Lấy  3 32 2  ta có : 64a232a25664

Suy :

32 192

a  a   24a 8

Khi ta có a 8 b1

Kiểm tra : g t 8t28t12 2 t121

Vì 0 t nên 2  t 1 102t121  1 g t 2 2 t12 1 Vậy max g t  1 t 1 x 1 (t/m)

2

sin 2sin

y x x m Số phần tử S

A.0 B.1 B.4 D.3

Đặt sinxt t   1;1y t22tm

Xét hàm số f t t22tm có f ' t 2t     2 t  1;1

Có f  1 m3, f 1 m1 Khi

   

 

   

 

1;1

max max 3;

min 3; 1

f x m m m



    

  

    

 

(25)

     

max

4

m l

f x m

m l

  

     

  

TH1: m3 m 1 m 1

   

 

max 1

0

m l

f x m

m l

 

     

 