Chuyên đề góc giữa hai mặt phẳng

Kinh nghiệm: Muốn sử dụng được phương pháp này thì ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm đã cho của bài toán thì ta có thể xác định hoặc dựng được 2 đường thẳng lần lượt vuông gó[r]

CHUYÊN ĐỀ:

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Tác giả: Trần Mạnh Tường Nhóm giáo viên Tốn tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng bất kì, vng góc với hai mặt phẳng

Trong hình vẽ trên, ta thấy    P ; Q n p;  Một số phương pháp tính góc hai mặt phẳng:

Có phương pháp sau hay sử dụng để tính giá trị góc hai mặt phẳng

- Phương pháp 1:Dùng định nghĩa

Kinh nghiệm: Muốn sử dụng phương pháp ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm cho tốn ta xác định dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng mà tốn u cầu tính góc chúng hay không?

- Phương pháp 2:Xác định góc

Ý tưởng phương pháp ta dựng rõ hình hài góc hai đường thẳng, sau dùng hệ thức lượng để tính giá trị góc

Kinh nghiệm: Cách thường dùng mặt phẳng xác định giao tuyến có yếu tố vng góc Có loại phương pháp sử dụng phương pháp

-) Phương pháp xác định góc loại 1:

Bước 1: Tìm giao tuyến  hai mặt phẳng

Bước 2: Chọn điểm I thích hợp , từ I ta dựng đường thẳng, đường thẳng a nằm mặt phẳng  P

và vuông góc với , đường thẳng b nằm mặt phẳng  Q vng góc với 

Khi    P ; Q  a b;

b a

(Δ) (P)

(Q)

-) Phương pháp xác định góc loại 2:

Bước 1: Tìm giao tuyến  hai mặt phẳng

Bước 2: Chọn điểm M thích hợp nằm mặt phẳng, từ điểm M dựng hình chiếu vng góc H đến mặt phẳng cịn lại

Bước 3: Dựng hình chiếu vng góc I điểm M điểm H đến giao tuyến 

Khi    P ; Q MIH

- Phương pháp 3:Dùng khoảng cách

Cho hai mặt phẳng    P  Q d Từ A P , dựng AK d AH;  Q

Khi dAKH nên    P ; Q  AKH  Khi sin AH

AK

  , hay   

 

; sin

;

d A Q d A d

 

Bình luận:Phương pháp có ưu điểm ta khơng cần xác định rõ hình hài góc hai mặt phẳng, cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng điểm đến đường thẳng, khoảng cách lại tính thơng qua tỉ số diện tích tam giác với cạnh tỉ số thể tích đa diện với diện tích mặt

II VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: (Phương pháp xác định góc loại 1) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a. A A A B A C'  '  ' 2 a Gọi M N, trung điểm BB CC', ' Xác định cosin góc A BC'  A MN' 

A

15 B

8

15 C

8 15

 D

15 Lời giải

Chọn B

Phân tích: Rõ ràng hai mặt phẳng A BC'  A MN' có điểm chung A'và có BC MN, đường thẳng song song nên giao tuyến chúng xác định dễ dàng Từ ta theo ý tưởng sử dụng phương pháp “ xác định góc” Lại tam giác 'A BC A MN A B C, ' , ' ' 'là tam giác cân nên từ A'ta thấy xuất nhiều đường thẳng vng góc với giao tuyến Từ ta lựa chọn “Phương pháp xác định góc loại 1”

Gọi K trung điểm BC. Do tam giác ABCđều tam giác A BC cân A nên (Δ)

(P)

(Q)

M

I H

P

Q

d

α

A

H

; '

AKBC A K BC

Gọi I trung điểm MN Ta có A I' MN

(do tam giác A MN' cân 'A )

Ta có:  

 

//

' ' , '

' ' , '

MN BC

A I A MN A I MN

A K A BC A K BC

 

 



  



   

 A MN' ; A BC'  A I A K' ; '  

  

 cos cosKA I'

 

Để tính cosKA I' ta sử dụng ý tưởng áp dụng định lí cosin tam giác KA I' Muốn ta tìm cách tính độ dài cạnh tamgiác xong Thật vậy, ta có:

2 2 15

'

4

a a

A K  AB BK  a  

2

IK BB a

2 2

2 ' ' ' '

'

2

A B A B BB a

A M      ' ' 2 5.

2 a A I  A M MI 

 ' ' 2

cos '

2 ' ' 15

A K A I KI KA I

A K A I

 

  cos

15 

 

Câu 2: (Sử dụng phương pháp khoảng cách)Cho hình lăng trụ ABC A B C    có BACA AA2a

, BA BC a  , ABC1200 Gọi  góc hai mặt phẳng ABB A  BCC B , tính

sin

A sin 5

  B sin

4

  C sin

4

   D sin

2  

Lời giải Chọn A

Phân tích:

- Nhìn tên hai mặt phẳng, ta thấy chúng có giao tuyến đường thẳng BB' nên ta lựa chọn phương pháp xác định góc phương pháp khoảng cách

- Từ BACA AA2a, ta thấy A'cách đỉnh tam giác ABC, từ suy A'thuộc trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, hay đường nối từ A'đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC

Qua phân tích trên, ta thấy việc lựa chọn phương pháp khoảng cách hợp lí Sau đây, ta tìm hiểu cách vận dụng phương pháp này:

Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt đáy ABC Vì A A A B A C     nên H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác, tam giác ABC có BA BC , ABC1200 nên

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm đối xứng điểm B qua trung điểm M đoạn AC Ta có hình vẽ

Vì  góc hai mặt phẳng ABB A  BCC B  nên   

 

, sin

,

d A BCC B d A BB

   



Trong đó:

- //

//

AA BB AH BC

 

  

 

 

// //

AA BCC B

AH BCC B

  



   



AHA // BCC B  

BCC B  ABC

 

 

 ,   ,   , 

2 a d A BCC B  d A BC d H BC

   

-  ,   ,  15

4

BAA

S a

d A BB d B AA

AA  

     



 

 

 

, 2 5

sin

,

d A BCC B d A BB

    



Câu 3: (Sử dụng phương pháp dùng định nghĩa) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a. Cạnh bên SAx vng góc với mặt phẳng ABCD Xác định x để hai mặt phẳng

SBC SCD tạo với góc 60 A

2 a

x B

2 a

x C x a D x2a Lời giải

Chọn C

Phân tích: Rõ ràng ta thấy hai mặt phẳng SBC SCD có giao tuyến SC nên nghĩ

đến phương pháp xác định góc phương pháp khoảng cách Tuy nhiên, thử tư theo phương pháp dùng định nghĩa để rèn luyện linh hoạt tư phong phú cách làm Để sử dụng phương pháp dùng định nghĩa, ta cần xác định đường thẳng vng góc với mặt phẳng Ta làm sau

Từ A kẻ AH vng góc với SB H SB

Ta có SA BC BC SAB BC AH AB BC

 

      

suy AHSBC

Từ A kẻ AK vng góc với SD K SD Tương tự, chứng minh AK SCD

Như vậy, đến ta xác định đường thẳng lần

lượt vng góc với mặt phẳng AH AK

Khi SCAHK suy

SBC ;SCD AH AK; HAK60 0

Lại có SAB SADAHAK mà HAK600 suy tam

giác AHK

Tam giác SAB vuông S, có

2 2 2 2

1 1

xa AH

AH SA AB   x a

Suy 2 2

2

2

x SH x SH SA AH

SB x a x a

      

Vì HK//BD suy 2 2

2 2

1

SH HK x xa x

x a SB  BD x a  x a a  x a   

Qua ví dụ trên,chúng ta thấy rằng, để xác định góc mặt phẳng, cần có tư linh hoạt, chủ động, nhãn quan sắc bén Mời độc giả tiếp tục rèn luyện thơng qua ví dụ sau:

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có mặt bên tam giác có diện tích 3

a

Gọi  P mặt phẳng qua A vng góc với SC Tính góc hai mặt phẳng  P ABCD

A 300. B. 450. C. 600. D.

90

Câu 2: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành, AB3,AD4,BAD1200 Cạnh bên

2

SA vng góc với mặt đáy Gọi M N P, , trung điểm cạnh SA AD BC, , Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (MNP)

A 30 0 B. 45 0 C.

60 D 900

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông C; ABC 30 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M điểm thuộc SC cho mặt phẳng MAB tạo với mặt phẳng SAB mặt phẳng ABC góc Tính SM

MC A

5 B

5

2 C

1

3 D

1

H

K

C A

D

B

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60 Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC Trên cạnh SA lấy điểm

N cho SN 2NA Khi đó, sin góc hai mặt phẳng DMN ABCD bằng: A 19

19 B

57

19 C

3

4 D

3 19 19

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C, BC a BAC ,30o, đường thẳng SC

tạo với đáy góc 60o Biết hình chiếu điểm

S mặt phẳng đáy trung điểm H

của AB Gọi E F, hình chiếu H lên SA SC, Tính tan góc mặt phẳng HEF

và mặt phẳng ABC A

4 B C

4

3 D

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Tính sin với  góc hai mặt phẳng AB D' ' BA C' '

A sin 2 

 B sin

2 

 C sin

3 

 D sin

3 



Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AB2 AA 2 Gọi M N P, , trung điểm cạnh A B A C   , BC Côsin góc tạo hai mặt phẳng AB C 

MNP A 13

65 B

13

65 C

17 13

65 D

18 13 65

Câu 8: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bên 2a,đáy a Gọi I trung điểm DD' Tính cosin góc tạo IA C' ' , ACC A' '

A

3 B

3

2 C

2

6 D

1

Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông cân AB AC 2a,

'

AA a Tính góc hai mặt phẳng ACC A' 'và A BC' 

A 30 0 B 90 0 C 45 0 D 60 0

Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a. A A A B A C'  '  ' 2 a Gọi ,

M N trung điểm BB CC', ' Xác định cosin góc A BC'  A MN'  A

15 B

8

15 C

8 15

 D

Câu 11: Lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a A A A B A C a      Gọi M điểm cạnh AA cho

4

a

AM  Tang góc hợp hai mặt phẳng MBC

và ABC là: A

2 B C

1

2 D

3

Câu 12: Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A,SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBCbằng Gọi  góc mặt phẳng SBC ABC, tính cos thể tích khối chóp S ABC nhỏ

A cos

 B cos

2

  C cos

3

 D cos

3



ĐÁP ÁN

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có mặt bên tam giác có diện tích

2

3

a

Gọi  P mặt phẳng qua A vng góc với SC Tính góc hai mặt phẳng  P ABCD

A 300 B 450 C 600 D

90 Lời giải

Chọn B

Gọi O tâm hình vng ABCD ta có SOABCD

Theo định nghĩa góc hai mặt phẳng ta có :   P , ABCD SC SO, CSO

Vì mặt bên hình chóp tam giác có diện tích bằng3

a

nên cạnh hình chóp có độ dài a

Trong tam giác SCO vng Ocó : SC a 3,

2

AC a

Suy sin  450

2 OC

CSO CSO

SC

Câu 2: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành, AB3,AD4,BAD1200 Cạnh bên

2

SA vng góc với mặt đáy Gọi M N P, , trung điểm cạnh SA AD BC, , Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (MNP)

A 300 B 450 C

60 D 900

Lời giải Chọn B

Ta có: (SAD) ( SBC)Sx AD BC|| || Gọi I trung điểm SB

|| ||

MI NP AB NP MI

   





Dễ dàng chứng minh IP MN Sx, , đồng quy

J Như I trung điểm JP, M trung điểm JN

Gọi  góc hai mặt phẳng (SBC) (MNP) sin ( ,( )) ( , ) d M SBC d M IP 

 

1

( ,( )) ( ,( ))

2

d M SBC  d A SBC

Hạ AKBC AE, SKAE(SBC)d A SBC( , ( )) AE

 3

.sin 3.sin 60

AKAB ABK 

2 2

1 1 75 3

: ( ,( ))

12 27 324 5

SAK AE d M SBC

AE AS AK

         

Ta có ( , ) ( , )

d M PI  d N PI

2 2

: cos 60 13 13

ABC AC AB CB AB CB AC

      

2 13 12

JP IP SC    , JN2MN SD 2 7, PN  AB3

JPN S

  Mặt khác ( , ) ( , ) 6 ( , )

2 5

JPN

S  d N JP JPd N JP  d M IP  Vậy sin 450

2

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông C; ABC 30 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M điểm thuộc SC cho mặt phẳng MAB tạo với mặt phẳng SAB mặt phẳng ABC góc Tính SM

MC A

5 B

5

2 C

1

3 D

1 Lời giải

Chọn B

Gọi H trung điểm AC

            SAC ABC SH AC SH ABC

AC SAC ABC

SH SAC              

Gọi 1 góc mặt phẳng MAB mặt phẳng ABC

và 2 góc mặt phẳng SABvới mặt phẳng ABC Ta có:   

  d ; sin d ; S MAB S AB   ;      d ; sin d ; C MAB C AB  

Gọi K hình chiếu C lên AB; I trung điểm AK Giả sử AC a BC a 3;

2 a SH

 

d C AB;

  CK CB sin 30 a

 ;

2

CK a

HI  

Do SH AB SI AB

HI AB

  



  nên  

2 15

d ;

4 a S AB SI  SH HI  Mặt khác sin1sin2 nên

 

 

     

d ; d ;

d ; d ;

S MAB C MAB

S AB  C AB

 

 

 

   

d ; d ;

d ;

d ;

S MAB S AB

C AB C MAB

  

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60 Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC Trên cạnh SA lấy điểm

N cho SN 2NA Khi đó, sin góc hai mặt phẳng DMN ABCD bằng: A 19

19 B

57

19 C

3

4 D

3 19 19 Lời giải

Chọn B

Đáy ABCD hình thoi cạnh a

ABC 60 nên tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB

 

SH ABCD

Gọi E MN AC, ABDE Q ,

QNSH I Khi ta có

   

ED DMN  ABCD

Xét tam giác SAC có MS EC NA EC 2EA

MC EA NS    Suy A trung điểm EC

Xét tam giác ECD có / /

AQ CDAQ CDHA AQ Và

2

EC

AC AD AE CDDE HQDE

Ta có SHABCDSHDE Suy DESHQ Từ góc mặt phẳng DMN

và mặt phẳng ABCD góc HQN

Xét tam giác SHA có QA IH NS IH IH IS QH IS NA  IS   

Kẻ HK QN có sinHQN HK HQ 

Ta có tam giác SAB tam giác cạnh a nên 3

2

a a

SH IH  Tam giác HIK có 2 12 2 57

19

a HK

HK  HI HQ  

Vậy sin 57 19

HK HQN

HQ

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C, BC a BAC ,30o, đường thẳng

SC

tạo với đáy góc 60o

Biết hình chiếu điểm S mặt phẳng đáy trung điểm H

của AB Gọi E F, hình chiếu H lên SA SC, Tính tan góc mặt phẳng HEF

và mặt phẳng ABC A

4 B C

4

3 D

Lời giải Chọn B

+ AB2 ,a BC a

+SC ABC; SC HC; SCH45o + Vì H trung điểm AB, suy CH a

+ Gọi I trung điểm ACvà D đối xứng với H qua I + DA HA DA SHA DA HE

DA SH



    

 



+ Ta có DA HE HE SAD HE SD 1

SA HE



    

 



+ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh HFSD 2 + Từ    1 ; ta suy SDAEF, mà SHABC Từ suy AEF ; ABCSH SD; HSD

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Tính sin với  góc hai mặt phẳng AB D' ' BA C' '

A sin 2 

 B sin

2 

 C sin

3 

 D sin

3 



Lời giải Chọn A

Gọi I A C' 'B D K' ',  A B' AB' Khi đó,  ' '  ' '

IK AB D  BA C

Ta có,   

 

', ' ' sin

',

d A AB D d A IK

 

Vì ' '

2 a

IK A I A K  nên tam giác 'A IK Gọi E trung điểm IK

 ',  ' a d A IK A E

  

Gọi Hlà hình chiếu 'A AB D' ' Khi đó, d A AB D ', ' ' A H' Ta có 2 2 2 2 12 12 12 32

' ' ' ' ' '

A H  A A  A B  A D a a a  a

3 '

3 a A H

 

Vì vậy,   

 

3 ', ' ' 3 2 2 sin

',

4

a d A AB D

d A IK a

   

Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AB2 AA 2 Gọi M N P, , trung điểm cạnh A B A C   , BC Cơsin góc tạo hai mặt phẳng AB C 

MNP A 13

65 B

13

65 C

17 13

65 D

18 13 65 Lời giải

Chọn B

Gọi I ACNC K,  ABBM Suy IKAB C   MNP

Ta có MN đường trung bình tam giác A B C  

/ / / /

MN B C  IK B C 

 

Gọi Q trung điểm B C  AQB C 

AQ IK

 

Từ ta suy góc AB C  MNP góc AQ EP

Xét hình chữ nhật AA QP có AA 2 A Q  A B .sin 60 3AQ 13 Gọi E MN A Q nên E trung điểm A Q

2

EP

 

1

EH HQ EQ

HP HA AP

   

3

HE EP

   13

3

HQ AQ Tam giác HEQ có 

2 2 13

cos

2 65

HE HQ EQ

EHQ

HE HQ

 

  

Do cơsin góc tạo hai mặt phẳng AB C  MNP 13 65

Câu 8: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bên 2a,đáy a Gọi I trung điểm DD' Tính cosin góc tạo IA C' ' , ACC A' '

A

3 B

3

2 C

2

6 D

1

Lời giải Chọn A

Do    

   

' ' ' ' ' , ' ' ' ' ' ' ' ' '

CC A B C D CC ACC A

ACC A A B C D

 

 

Kẻ D H' A C' 'D H' ACC A' ' , ' ' A C B D' 'H Do ' ' '

2

B D a

D H  

Mặt khác tứ diện D IA C' ' ' có ' , ' ', ' 'D I D C D A đơi vng góc với

Kẻ D K' A IC' ' nên K trực tâm đồng thời trọng tâm A IC' '(vì A IC' 'đều) Ta có 2 2 2 2 32 '

' ' ' ' ' '

a D K D K  D I  D C  D A  a  

Khi IA C' ' ; ACC A' 'D K D H' ; ' KD H'

Xét D KH' vng K có cos' '

'

2

a D K KD H

D H a

Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông cân AB AC 2a,

'

AA a Tính góc hai mặt phẳng ACC A' 'và A BC' 

A 30 0 B 90 0 C 45 0 D 60 0

Lời giải Chọn D

Ta có ACC A' '  A BC' A C' Xét tam giác A AC' vng A có

   

2 2

1 1

, '

, ' '

a d A A C

d A A C  A A  AC  

Xét tứ diện A ABC' có AA AB AC', , đơi vng góc, suy

 

  2   

2

1 1

, ' '

, ' A A AB AC d A A BC a

d A A BC     

Suy       

 

, '

sin ' ' , '

, '

d A A BC

ACC A A BC

d A A C

 

Vậy ACC A' ' , A BC' 600

Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a. A A A B A C'  '  ' 2 a Gọi ,

M N trung điểm BB CC', ' Xác định cosin góc A BC'  A MN'  A

15 B

8

15 C

8 15

 D

15 Lời giải

Chọn B

Gọi K trung điểm BC. Do tam giác ABCđều tam giác A BC cân A nên ; '

AK BC A K BC

Gọi I trung điểm MN Ta có A I' MN (do tam giác '

A MN cân 'A )

Ta có:  

          // ' ' , ' ' ' , ' ' ; ' ' ; ' MN BC

A I A MN A I MN

A K A BC A K BC

A MN A BC A I A K

              cos cosKA I'

 

2

2 4

4

15 '

2

a a

A K  AB BK  a   

2

IK BB a

2 2

2 ' ' ' '

'

2

A B A B BB a

A M      ' ' 2 5.

2 a A I  A M MI 

 ' ' 2

cos '

2 ' ' 15

A K A I KI KA I

A K A I

 

  cos

15 

Câu 11: Lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a A A A B A C a      Gọi M điểm cạnh AA cho

4

a

AM  Tang góc hợp hai mặt phẳng MBC

và ABC là: A

2 B C

1

2 D

3 Lời giải

Chọn B

Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó, A O ABC

Trong mặt phẳng ABC, dựng AHBC Vì tam giác

ABC nên a AH

Ta có BC AH BC A HA BC MH

BC A O

     

 

 

Do đó, MBC , ABCMH AH, MHA Xét tam giác A AB ta có



2 2 2 . .cos 13

16

MB MA AB  MA AB MAB a 13 2

4

MB a MH MB BH a

     

 2

cos

2

AH MH AM

MHA

AH MH

 

   cos tan

3

 

   

Câu 12: Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A,SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBCbằng Gọi  góc mặt phẳng SBC ABC, tính cos thể tích khối chóp S ABC nhỏ

A cos

 B cos

2

  C cos

3

 D cos

3



Lời giải Chọn B

Gọi M trung điểm BC, Hlà giao điểm đường thẳng qua A vng góc với

SM Ta được:

Góc mặt phẳng SBC ABC 

SMA

; sin AM



3 cos SA



 ;

2 AM  BC

Suy

1

3 sin cos

S ABC

V AM SA

 

 

Thể tích khối chóp nhỏ

Xét hàm số f x sin cos2x xcosxcos3x với 0

2 x      sin 3cos sin

f x   x x x,

sin

( ) 3

cos

3

x f x

x

  

   

  

Suy sin2.cos lớn cos 3.

3