Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn Ví dụ 1 : ax = b (1) -3x + 5 = 7 3 13 5 8 343 4 4 x x x − + = 2 3 x = − Ví dụ 2 : -7x = 0 0 0 7 x = = − Ví dụ 3 : 3 3 20 13 8 7 4 4 x x x− + = 7 32 7x x+ = 0. 32x = − Ví dụ 4 : 0x = 0 0 = 0 (hiển nhiên đúng) Dạng tổng quát : I. Các ví dụ : ax = b Cụ thể, xét hệ số a trước x và hệ số tự do b với số 0 : i. Trường hợp 1.1 : a = 0 và b = 0 (1) : Pt (1) ↔ 0.x = 0 Nhận xét , dù x thay đổi với bất kỳ giá trị nào ta thấy VT và VP luôn bằng nhau và cùng bằng 0. Nghĩa là (1) đúng. → pt (1) có vô số nghiệm x Є R → S = R ii. Trường hợp 1.2 : a = 0 và b ≠ 0: Pt (1) ↔ 0.x = b Nhận xét , dù x thay đổi với bất kỳ giá trị nào ta thấy VT = 0 còn VP luôn khác 0. Nghĩa là (1) luôn sai. → pt (1) có vô nghiệm → S = ɸ iii. Trường hợp 2 : a ≠ 0 → pt (1) có nghiệm duy nhất : b x a = b S a   =     Vậy : II. Phương trình bậc nhất một ẩn : Ví dụ : Giải và biện luận các phương trình sau : a. (x+2)m + 3 = 3x + m b. kx( x + k ) + 2k + 3 = k(x2 – 1) +kx Giải : a. (x+2)m + 3 = 3x + m mx + 2m + 3 = 3x + m mx – 3x = m – 2m – 3 (m – 3)x = –m – 3 ⇔ ⇔ ⇔ (1) Biện luận : TH 1: m – 3 = 0 ↔ m = 3 → pt(1) trở thành : 0.x = – 6 (vô lý) → pt(1) vô nghiệm. Do đó , tập nghiệm S = Ф TH 2: m – 3 ≠ 0 ↔ m ≠ 3 → pt(1) có nghiệm duy nhất : 3 3 m x m − − = − Do đó , tập nghiệm là : 3 3 m S m − −   =   −   b. kx( x + k ) + 2k – 3 = k(x2 – 1) +kx ⇔ kx2 + k2x + 2k – 3 = kx2 – k + kx k2x – kx = – k – 2k + 3 ⇔ ⇔ k(k – 1)x = – 3k + 3 ⇔ k(k – 1)x = – 3(k – 1) (1) Biện luận : TH1: k(k – 1) = 0 ⇔ 0 1 k k =   =  *TH1.1: k = 0 → pt(1) trở thành : 0.x = –3(0 – 1) ↔ 0.x = 3 (vô lý) → pt(1) vô nghiệm . Do đó: S = Ф *TH1.2: k = 1 → pt(1) trở thành : 0.x = 0 (luôn đúng VxЄR ) → pt(1) có vô số nghiệm VxЄR. Do đó: S = R TH2: k(k – 1) ≠ 0 ⇔ 0 1 k k ≠   ≠  → pt(1) có nghiệm duy nhất : 3( 1) 3 ( 1) k x k k k − − = = − − Do đó , tập nghiệm là : 3 S k   = −     Bất phương trình bậc nhất một ẩn i. ax > b ii. ax < b iv. ax ≤ b iii. ax ≥ b Xét cho ví dụ : i. ax > b Trường hợp 1.1 : a = 0 và b = 0: Bpt (i) ↔ 0.x > 0 ( vô lý) Bpt (i) vô nghiệm Trường hợp 1.2 : a = 0 và b < 0 : Bpt (i) ↔ 0.x > b ( đúng) với mọi x Bpt (i) có vô số nghiệm x Trường hợp 1.3 : a = 0 và b > 0 : Bpt (i) ↔ 0.x > b ( vô lý) Bpt (i) vô nghiệm Lưu ý: khi nhân hay chia hai vế của một bất pt với số âm thì bất pt sẽ đổi chiều. Bpt (i) b x a < Trường hợp 2 : a < 0 Trường hợp 3 : a > 0 Bpt (i) b x a > Tương tự cho ii, iii, iv Ví dụ : Giải và biện luận các bất phương trình sau : (m + 1)x + (2 – 3x)m – 5 < m2 – 1 ↔ mx + x + 2m – 3mx – 5 < m2 – 1 ↔ x – 2mx < m2 – 2m + 4 ↔ (1 – 2m)x < (m – 2)2 (1) TH 1: 1 – 2m = 0 → bpt(1) trở thành: 9 0. 4 x < 1 2 m⇔ = (luôn đúng VxЄR ) → bpt(1) có vô số nghiệm VxЄR. Do đó: S = R TH 2: 1 – 2m > 0 1 2 m⇔ < → bpt(1) có nghiệm: ( ) 2 2 1 2 m x m − < − Giải: ( ) 2 2 ; 1 2 m S m   − = −∞  ÷  ÷ −   → Tập nghiệm của bpt(1) là: TH 2: 1 – 2m < 0 1 2 m⇔ > → bpt(1) có nghiệm: ( ) 2 2 1 2 m x m − > − → Tập nghiệm của bpt(1) là: ( ) 2 2 ; 1 2 m S m   − = +∞  ÷  ÷ −   Luyện tập : Giải và biện luận các phương trình và bất phương trình sau : 1) 2 – m(x2 – 3) = m(m + x)(4 – x) 2) m2x + 3 + mx ≥ 4m – x(1 – m) Bài tập : Làm tất cả các bài tập SGK Thầy Tuấn, KP5 – F. TMT, Q.12 , TPHCM. ĐT : 0939.889.444 . (1) có nghiệm duy nhất : b x a = b S a   =     Vậy : II. Phương trình bậc nhất một ẩn : Ví dụ : Giải và biện luận các phương trình sau : a. (x+2)m. pt(1) có nghiệm duy nhất : 3( 1) 3 ( 1) k x k k k − − = = − − Do đó , tập nghiệm là : 3 S k   = −     Bất phương trình bậc nhất một ẩn i. ax > b