PHẦN 1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A.. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I.. Các dạng khác - Ta thường xét dấu các biểu thức tro
Trang 1PHẦN 1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A) PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1) Dạng có bản
B A A B A A B A B B A
B A B A
0
0 0
2
2) Các dạng khác
- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi khoảng Giải phương trình trên mỗi khoảng đó
- Có thể đặt ẩn phụ
II) MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 1 1
x x
Giải
1 1
2
x
x
0 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 (
1
0
1
1
1
2 2 2
2
2
x x x x x x x x x x x x x x
x
x x
Vậy x=1; x= 0
Ví dụ2 :Giải phương trình x2 x 2x 4 3 1
Giải:
+ Lập bảng xét dấu Từ đó ta có 3 trường hợp:
Trường hợp 1: 0
x x
ta có:
2
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2:0x1 ta có
2
2
x thỏa mãn
Trường hợp 3: x > 2 ta có
2
2
x thỏa mãn
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm
2
1 29 2
x x
Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 2 5 9
x
Giải
9 5
x
3 1
9 5
6
9 5
6
2 2
x x
x x
x
x x
x
Vậy: x= 1; x= 3
Ví dụ 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9
Trang 2Giải (|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9
Đặt t= |x| với t 0
PT: (t+ 1)2 = 4t + 9
) ( 2
4 0
8 2
2
loai t
t t
t
Với t= 4 thì |x|= 4 x 4
Vậy x= 4; x= – 4
Ví dụ 5: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0
Giải
|x2 – 2x +m|+x=0
m có
Ta
m x x m x x x m x x
x
x m x x
4 1 4 9
) 2 ( 0 ) 1 ( 0 3 0 2
2
2
2 2
2
Biện luận
+
2
4 1 1 2
4 9 3
+ m> 0: Vô nghiệm
III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1) 2x1 2x 1 4 ( x 1) 7) 2 1 2 2 8
2
x
2) x 2 x 3 4 1 9
2 2
x
x
2 1
2
2
x
3) 2x2 2 x1 5 (PTVN) 9) 5
2 3
2
2 3
x x
x x
9 23
x
4) 3x 4 x 2 1
2
2
2 ( 2)
x x
(x=5) 6) 2 1 1
Bài 2: Giải các phương trình sau
2
x
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau
0 2
2 4 ).
2
1 3
).
1
2
m m
x x x
x m x
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
|x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1
Trang 3B) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1) Các dạng cơ bản
2 2
2 2
2 2
0 0 0
0
0 0
0
0 ) )(
(
B A B B
A A B A B
A B A B
A
B A B
A A B A B
A B B
A
B A B A B
A B A
2) Các dạng khác
- Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bất phương trình trên từng khoảng
- Dùng ẩn phụ
II) MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
1 2 4 1
).
2
3 3 3 2 ).
1 2
x x
x x
x
Giải
3 3 3
2
).
1 2
x x
x
5 2 2 3 5 0 3 1
0 3 2
0 5
0 2
3
3
2
0
2
3
3
2
0
2
2
2
2
2
x x x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Vậy: 2< x< 5
1 2
4
1
).
2 x x
1 1 1 4
1 2 4
1
0 4
1
1 2 4
1
0 4
1
x x x x x x x
Vậy x 0 hoac x 1
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a bất phương trình: x2 2x a x2 3x a
Giải: Bất phương trình tương đương với:
2
2
5 0
( ) 2
2
5
2
x
I
x
II
2
5 0
2 2
x
Vậy nghiệm hệ là 5
2
2
0
a x
x
Trường hợp 3:
0
2
x
.Vậy nghiệm hệ là
0 5
2 2
x
III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Trang 4Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
2
2
2
2
1
2
2
3
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
2
2
2 2
2
2
3
5).
x
2
3
4
x
C) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
I) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2 2
x x m x m có nghiệm
Giải:Đặt t x 1 0 ta có t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm t 0
Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0 P 0 m21 0 m 1
Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2 P 0 m2 1 0 1 m1
Trang 5 Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm
2 2
1 2
0
0
m m
m
m
m
Đáp số: 1 2 3
3
m
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2x m x 1
a) Giải phương trình với m=0
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt
Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành t2m1t (*)
a) Với m = 0 ta có 2 2
0
2
2
t
x
b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
(*)
.Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi phương trình t2 – t + m – 1 = 0 và t2 + t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm phân biệt Nhưng phương trình t2 + t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0)
Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
2
2
2
2
x x
II) PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ : Thường sử dụng phương pháp này khi tham số đứng độc lập.
Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :x x 2 m
Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số y x x 2 ;y m
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
)( 3) 1
Trang 6
PHẦN 2
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ
A) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1) Các dạng cơ bản
3 3
2 0
) 0 (
0
B A B A
B A B
A
B A
B
h ay A
B A
2) Các dạng khác
- Đặt điều kiện cho 2 0
A là A
n , nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức
Lưu ý:
1 2 1 2
2 2
0
n n
n n B A
B A
B A B A B
A
- Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
II) MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
2
2
2
3) 3 9 1 2
Giải 2
2
3
x
x
2
4
x
2
3 1
3
2
x
x
Trang 7Ví dụ 2: Giải các phương trình :
2
2
4 1 2 (1 )(1 2 ) 1 2 (1 )(1 2 ) 2 1
1 4
2
0 7
2
0
x
x
III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.
Ví dụ 1: Cho phương trình :( 3)( 1) 4( 3) 1 (1)
3
x
x
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
3
x
x
nên pt (1) đưa về :X2+4X-m=0 (2) a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành 2 4 3 0 1
3
X
X
+ Nếu
2 3 3
1
1 ( 3)( 1)
3
x x
x
x
x x
+ Nếu
2
3 3
1
9 ( 3)( 1)
3
1 13
1 13
x x
x
x
x x
b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm 0 4m 0 m4
Giả sử nghiệm là X0 thì ( 3) 1 0
3
x
x
+ Nếu X0 = 0 thì x = – 1
0
3
( 3)( 1)
x
Trang 8+ Nếu X0 < 0 thì 2 02
0
3
( 3)( 1)
x
Vậy với m 4 thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình 3 x 6 x (3x)(6 x) 3
Hướng dẫn: Đặt X 3 x 6 x.Đưa về phương trình:X2 – 2X – 3 = 0
Ví dụ 3: Giải phương trình x3 1 2 23 x1
Hướng dẫn: Đặt
3 3
3
3
1 2
1 2
2
x
Ví dụ 4: Giải bất phương trình 5 5 2 1 4
2 2
x x
2
x
Bất phương trình trở thành 2
2
2
t
t
Trường hợp 1:
3 2 2 2
3
2
x t
x
Trường hợp 2: 1
2
t Bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình
– 4 ( 4 x )( 2 x ) = 2
x – 2x – 8 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = ( 4 x )( 2 x ) (t0)
(1) trở thành: – 4t = – t 2
4 t
0 t
* Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình Cụ thể:
+ Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức chính phương ( = g 2 ( x )
, g(x) là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x
và t) thì đặt x = ty.
Ví dụ 6: Giải phương trình
(4x – 1) x 2 1
= 2x + 2x + 1 (1) 2
Hướng dẫn: Đặt t = x 2 1
(t 1) (1) trở thành (4x – 1)t = 2t 2 + 2x – 1
= ( 4 x 3 ) 2 (chính phương)
t =
4
) 3 x 4 ( ) 1 x 4
1 x 2 1 x
2
1 1 x
2 2
Ví dụ 7: Giải phương trình
2x – 3x + 2 = x2 3 x 2 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = 3 x 2 (t 0)
(1) trở thành t 2 + xt – 2x = 0.2
Cách 1: = 9x (chính phương) 2 t =
2
x
x
x 2 2 x 3
x 2 x 3
Cách 2: phương trình đẳng cấp đặt x = ty:
Trang 9t + yt 2 – 2y t 2 = 0 t 2(1 + y – 2y ) = 0
Ví dụ 8: Giải phương trình
2(1 – x) x 2 x 1
= x – 2x – 1.2
+ Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và cũng không chính phương thì coi t và x là
2 ẩn của 1 hệ phương trình.
Ví dụ 9: Giải phương trình
2
x + x 5 = 5 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = x 5 (t 0)
Ta có hệ phương trình
5 x t
5 t x
2 2
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0
1 x
t
x t
1 x 5 x
x 5 x
Ví dụ 10: Giải phương trình
2
x + 4x = x 6 (1)
Hướng dẫn:
Nếu đặt t = x 6 (t 0) ta được hệ
6 x t
t x 4 x
2 2
khó khăn
Ta dự kiến đặt x 6 = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:
Ta có hệ phương trình:
2 2
2 2
b 6 x abt 2 t a
b at x x
hệ này đối xứng nếu
2 2
b 6
b
1 a
4
a b 2
1 a
2 b 1 a
Như vậy ta đặt t + 2 = x 6 (t – 2)
Khi đó có hệ pt đối xứng:
2 x t 4 t
2 t x 4 x
2 2
(ĐS 3 17 5 13
Ví dụ 11: Giải phương trình
7x + 7x = 2 4 x289 (x > 0)
Hướng dẫn:
Dự đoán đặt
28
9 x
4 = at + b ta tìm được a = 1, b =
2
1
để có hệ phương trình đối xứng Như vậy
sẽ đặt t +
2
1
=
28
9 x
4
Ví dụ 12: Giải phương trình
1
x
x
+
x
1
x =
2
3
(1)
Hướng dẫn:
Đặt t =
1 x
x
x
1
x
=
t
1
(t > 0) (1) trở thành: t +
t
1
=
2
3
2 t2 – 3t + 2 = 0
Ví dụ 13: Giải phương trình
1
x + 4 x + ( x 1 )( 4 x ) = 5 (1)
Hướng dẫn:
Đặt t = x 1 + 4 x ( x 1 )( 4 x ) =
2
5
t 2
(1) trở thành: t +
2
5
t 2
= 5
Ví dụ 14: Giải phương trình
x
x 2
+ 7 x ( 1 x ) = 3 + 2 (1)
Trang 10Hướng dẫn:
Đặt x 2 x
= t (t 0)
(1) trở thành: t + t 2 7
= 3 + 2 t 2 7
= 3 + 2 – t (dạng 1 căn)
2
2 7 ( 3 2 )
t
0 2
3
Ví dụ 15: Giải phương trình
x
x 2
+ x 2 x 7
= 3 + 2 (1)
Hướng dẫn:
Đặt
7 x x v
x x u
2 2
(1) trở thành: u + v = 3 + 2
Ta có hệ phương trình
7 u v
2 3 v u
2 2
Ví dụ 16: Giải phương trình
3(2 + x 2) = 2x + x 6
Hướng dẫn:
Đặt
6 x v
2 x 3 u
Ví dụ 3: Giải phương trình
1
x + 2 x 4 + 2 x 9 + 4 3 x 1 = 25 (1)
Giải.
Đặt f(x) = VT(1), xét trên [
2
9
, )
Ta thấy f ’(x) > 0, x >
2
9
f(x) đồng biến trên [
2
9
, ) nếu (1) có nghiệm thì nghiệm
đó duy nhất Xét thấy f(5) = 0 x = 5 là nghiệm duy nhất
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
1) x 1 4 x 1 (x=3)
2) x 5 2x 8 7 (x=4)
Bài 1:Tìm điều kiện của m để phương trình x22x m 2x1
a) Có nghiệm thực
b) Có 1 nghiệm thực
c) Có 3 nghiệm thực
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với:
2
1 2
x
Dùng đồ thị
Bài 2: Tìm điều kiện của m để phương trình 16 2 2 4 0
16
m x
x
có nghiệm thực
Hướng dẫn: Đặt t 16 x2 t 0;4 Phương trình trở thành t m 4 0 t2 4t m
t
Lập bảng biến thiên của hàm số y = t2 – 4t, ta có:4m0
IV) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1:Giải các phương trình
Trang 112
2
27583
9
1
2 11
3
47
24
x x
).
9 x=0
Bài 2: giải các phương trình
1) x 2 x 4 (x=6)
2) 3 2 9 1 2 0
x (x 1)
2
3) 2 4 3 2 5
x x x (
5
14
4) 2x 2x 1 7 (x 5)
5) 2 2 3 2 1
3
15
3
x
4)
2 4 4 4
2
x
(x 2 2 )
Bài 3: Giải các phương trình sau
1) 2x 9 4 x 3x 1 (x 0 x 11)
3
2) 5x 1 3x 2 x 1 0 (x=2) 3) 3x 2 x 7 1 (x 9)
4) x 8 x x 3 (x 1)
5) x x 1 x 2 (
3
3 2
3
6) x 1 3 x 4 (x 0)
Bài 4: Giải các phương trình
1) (x + 5)(2 – x) = 3 x 2 x
(x=1;x=-4) 2) 3 x + x 1 – 4 x x 2 3
= – 2 (x=2) 3) x + 2 x 7 = 7 x=2 ; ( 1 1
29
2 2
4) 3 2
) x
2
) x 7 ( – 3 ( 2 x )( 7 x ) = 3 ptvn
6) 2 3 3 2 3 6 3
5
2 2
Trang 128) 2 2 5 2 2 2 2 5 6 1
1;
2
x x )
10) x 4 x2 2 3x 4 x2 (x=2;x=0; 2 1
14
12) 4 1 2 1 2 2 2 1
3
x )
Bài 5: Giải các phương trình
1) (x 5 )( 2 x) 3 x2 3x
(x 1 x 4) 2) x 1 4 x (x 1 )( 4 x) 5 (x 0 x 3)
3) 2 1 2 3 1 0
x (x 1 x 2 2 ) 4) 3 2 x 1 x 1 (x 1 x 2 x 10)
5) x 2 5 x (x 2 )( 5 x) 4 (
2
5 3
3
x ) 6) 4 4 2 12 2 2 16
7) 2 3 3 2 3 6 3
8) 3 2 1 4 9 2 3 2 5 2
B) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1) Dạng cơ bản
2
A 0
A B
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x2 3x 2 x2 4x 3 2 x2 5x4
Giải: Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 4
1
x x
Trường hợp 1: x 4 Ta viết bất phương trình dưới dạng :
Vì x 4 nên vế trái dương còn vế phải âm, bất phương trình được nghiệm đúng Vậy x 4
Trường hợp 2:x 1 Ta viết bất phương trình dưới dạng :
(1 x)(2 x) (1 x)(3 x) 2 (1 x)(4 x) 1 x 2 x 3 x 2 1 x 4 x
Khả năng 1: x = 1 là nghiệm
Khả năng 2: x < 1 bất phương trình tương đương với
2 x 3 x2 4 x 2 x 4 x 4 x 3 x
Vế trái âm, vế phải dương, bất phương trình vô nghiệm
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 4 hoặc x =1
C) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Trang 13Bài 1: giải các bất phương trình sau
1) 2 6 2
x (x 3)
2) 2 ( 2 1 ) 1
x (x 1 1 x 3)
3) x2 x 12 x (x 4)
4) 2x2 5x 6 2 x (x 10 x 1)
5)
3
7 3 3
) 16 (
x
x x
x x
Bài 3: Giải các bất phương trình
2
2
2
1
3 2
3
1
6 7
2
5) x 3 – x < 1 x 2 ( 2
21 3
6) 2 2 6 1 2 0
7; 3
2 2
7) 5x 1 4x 1 3 x ( 1
4
x ) 8) 7 x 1 3 x 18 2 x 7 ( x 9)
9) 5 x 1 x 1 2 x 4 ( x 10 x 2)
3
x x x x x 11)
2
51 2
1
x x
x
12)
2
x
x
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
1) x 11 x 4 2x 1 (4 x 5)
2) 3 x 5x 5 1 (x 4)
3) x 2 x 1 x (
3
3 2
3
4) x2 2 x 5 4 2 x2 4 x 3 ( x 1; x 1 2 6; x 1 2 6; x 1) 5) 2 x2 4 x 3 3 2 x x 2 1 ( x 3; x 1)
6) 5x2 10x 1 7 x2 2x
(x 3 x 1) 7) ( 1 )( 4 ) 5 2 5 28
x (– 9< x< 4)
Trang 14Bài 5: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
1) 2 x m x
2) x 2 3
< x – m 3) x m – x 2 m > x 3 m
III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Phương pháp này dựa vào việc khảo sát một vài tính chất đặc biệt nào đó của hàm số để dẫn đến kết luận nghiệm cho phương trình, bất phương trình đang xét.
Ví dụ : Giải bất phương trình: x 9 2x4 5
Giải: Xét hàm số y x 9 2x , ta thấy ngay hàm số này đồng biến trên tập xác định 4 x 2.Ta
có f(0) = 5 do đó :
+ Với x > 0 thì f(x) > f(0) = 5 nên x > 0 là nghiệm
+ Với 2 x 0 f x( )f(0) 5 nên 2 x 0 không là nghiệm.Tóm lại: x>0 là nghiệm
IV ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
1) MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 4 x và áp dụng để giải phương trình:
2
x xx x
Giải: Áp dụng bất đẳng thức : 2(a2b2) ( a b )2.ta có:
2(x 2 4 x) x 2 4 x 2 Do đó y lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi:y
x x x Mặt khác x2 6x11 ( x 3)2 2 2 x nên:
2
2
6 11 2
Ví dụ 2: Giải phương trình
x
x
1
= 48 x (1)
Giải.
MXĐ: x > 0
Có
4
x
1
x
3
=
8
x
1 x
1 x x x x x
x
8 x (2) x > 0 (BĐT Côsi)
Vậy (1) dấu “=” ở (2) xảy ra x =
x
1
x = 1
Ví dụ 3: Giải phương trình
2
x + 4 x = x – 6x + 11 (1)2
Giải.
* Cách 1
2
)
1
(
VT (1 + 2 1 )(x – 2 + 4 – x) = 4 (BĐT Bunhiacopxki)2
VT 2
VP(1) = ( x 3 ) 2 + 2 2
Vậy (1)
2 ) 1 ( VP
2 ) 1 ( VT
0 3 x
1 x 4 1
2 x
x = 3
* Cách 2
Đặt A x 2 4 x
A 2 2 (x 2)(4 x) A 2 (x 2) (4 x) A 4 (BĐT Côsi)