Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 A. Mở đầu I. Lý do chọn đề tài Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với chơng trình sách giáo khoa mới trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chơng IV Đại số 8 tôi nhận thấy học sinh thờng lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải thành thạo các phơng trình chứa đấ giá trị tuyệt đối. Khi học sinh không nắm vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng nh các phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi. Mà kiến thức về trị tuyệt đối và các bài tập liên quan rất quan trọng trong chơng trình, đặc biệt là chơng trình toán lớp 9 và toán cấp 3 sau này. Vì sao học sinh thờng không nắm vững các bớc giải phơng trình chứadấu gía trị tuyệt đối? Bài toán giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó chứa đựng nhiều kiến thức nh tính chất của thứ tự và các phép toán cộng, nhân, kiến thức về trị tuyệt đối, kiến thức về giải phơng trình, giải bất phơng trình .Khi gặp dạng toán nào có chứadấu giá trị tuyệt đối học sinh thờng ngại khó vì vậy ít lu tâm khi phải tiếp thu kiến thức. Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm đợc các kiến thức, nắm vững các phơng pháp, các bớc giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối. Trong 2 năm qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và các tài liệu tôi rút ra đợc hệ thống các dạng phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối cơ bản thờng gặp và các bớc giải từng dạng sau đây. Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ tiếp thu và giải thành thạo các phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối cơ bản trong chơng trình toán 8. II. Đối t ợng và phạm vi nghiên cứu 1. Đối tợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 8. 2. Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 8B, 8C, 8G Trờng THCS Diễn Bích năm học 2008-2009. 1 Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 III. Tài liệu tham khảo -Sách giáo khoa Toán 8 -Sách bài tập Toán 8 - Tập 2 -Sách giáo viên Toán 8 -Thiết kế bài soạn Toán 8 -Để học tốt Toán 8 (Nhà xuất bản DG) -Để học tốt Toán 8 (Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội) -Tài liệu bồi dỡng Toán 8 -Chuyên đề nâng cao Toán 8. B. nội dung Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 Với số a ta có: a nếu a 0 a a nếu a <0 = Xuất phát từ kiến thức trên ngời ta phát triển thành yêu cầu giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần hớng dẫn cho học sinh quan tâm tới 3 dạng phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối, bao gồm: Dạng 1: Phơng trình: f(x) k= , với k là hằng số không âm. Dạng 2: Phơng trình: f(x) g(x)= Dạng 3: Phơng trình: f(x) g(x)= . Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phơng pháp giả ta cần hớng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể nh sau: Ví dụ1: Giải các phơng trình sau: a, 2x 3 1 = b, x 1 x + - 2 = 0 a, ta có 2x 3 1 2x 4 x 2 2x 3 1 2x 3 1 2x 2 x 1 = = = = = = = Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2. 2 Bài toán 1: Giải phơng trình: f(x) k= , với k là hằng số không âm. Phơng pháp giải: Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần). Bớc 2: Khi đó f(x) k= f(x) k f(x) k = = nghiệm x. Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình. Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 b, Điều kiện xác định của phơng trình là x 0. x 1 x 1 2 x 1 2x x 1 x 1 x 2 1 x x 1 x 1 2x 3x 1 x 2 3 x + = = + = = + = + + = = = = Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 1 3 và x = 1. Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau: a, 2x 3 x 3+ = b, 2 x x 2 x 0 x 1 + = + . c, Giải: a, Biến đổi tơng đơng phơng trình: 2x 3 x 3 2x x 3 3 x 6 2x 3 x 3 2x 3 x 3 2x x 3 3 x 0 + = = = + = + = + + = = Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0. b, Điều kiện xác định của phơng trình là x 0. Biến đổi tơng đơng phơng trình: 2 2 x x 2 x x 2 x 0 x x 1 x 1 + + = = + + 2 2 2 2 2 x x 2 x 2x 2 x x 2 x(x 1) x 1 x 1 2x 2 vô nghiệm x x 2 x x 2 x(x 1) x x 1 + = = + = + + = = + + = + = + Vậy phơng trình có nghiệm x = 1 Ví dụ 3: Giải phơng trình: 2x 3m = x 6+ , với m là tham số. Giải : Biến đổi tơng đơng phơng trình: 3 Bài toán 2: Giải phơng trình: f(x) g(x)= Phơng pháp giải: Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần). Bớc 2: Khi đó f(x) g(x)= f(x) g(x) f(x) g(x) = = nghiệm x. Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình. Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 2x 3m x 6 2x x 3m 6 x 3m 6 2x 3m x 6 2x 3m x 6 2x x 3m 6 3x 3m 6 = + = + = + = + = + = = x 3m 6 x m 2 = + = Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m - 2 Ví dụ 4: Giải phơng trình: x 4 3x 5+ + = . Cách 1: Xét hai trờng hợp: -Trờng hợp 1: Nếu x + 4 0 x -4 (1) Phơng trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 4x = 1 x = 1 4 thoả mãn điều kiện (1) -Trờng hợp 2: Nếu x + 4 < 0 x < - 4 (2) Phơng trình có dạng: -x - 4 + 3x = 5 2x = 9 x = 9 2 không thoả mãn tra điều kiện (2). Vậy phơng trình có nghiệm x = 1 4 . Cách 2: Viết lại phơng trình dới dạng x 4 3x 5+ = + 4 Bài toán 3: Giải phơng trình: f(x) g(x)= Phơng pháp giải: Ta có thể lựa chọn một trong hia cách giải sau: Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực hiện các bớc: Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần). Bớc 2: Xét hai trờng hợp: -Trờng hợp 1: Nếu f(x) 0 (1) Phơng trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1) -Trờng hợp 2: Nếu f(x) < 0 (2) Phơng trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2) Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình. Cách 2: Thực hiện các bớc: Bớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x) 0. Bớc 2: Khi đó: f(x) g(x)= f(x) g(x) f(x) g(x) = = Nghiệm x Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đa ra kết luận nghiệm cho phơng trình. Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 Với điều kiện - 3x + 5 0 - 3x - 5 x 5 3 Khi đó phơng trình đợc biến đổi: x 4 3x 5+ = + ( ) 1 x x 4 3x 5 4 x 4 3x 5 9 x không thoả mãn * 2 = + = + + = = Vậy phơng trình có nghiệm x = 1 4 . Lu ý1: Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức tạp nh nhau. Vậy trong trờng hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngợc lại? Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bâc 1 ta nên sử dụng cách 1 vì khi sử dụng cách 2 thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp hơn. Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dung cách 1 vì sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất phơng trình f(x) 0 và f(x) < 0. Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ thực hiện các bớc biến đổi phơnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu. Ví dụ 5: Giải các bất phơng trình: a, 2 x 1 x x+ = + b, 2 x 2x 4 2x + = Giải: a, Xét hai trờng hợp. -Trờng hợp 1: Nếu x + 1 0 x -1 (1) Khi đó phơng trình có dạng: x + 1 = x 2 + x x 2 = 1 x = 1 (thoả mãn đk 1) -Trờng hợp 2: Nếu x + 1 < 0 x < -1 (2) Khi đó phơng trình có dạng: - x - 1 = x 2 + x x 2 + 2x + 1 = 0 (x+1) 2 = 0 x = -1 ( không thoả mãn đk 2). Vậy phơng trình cób hai nghiệm x = 1 b, Viết lại phơng trình dới dạng: 2 x 2x 2x 4 = với điều kiện 2x - 4 0 2x 4 x 2 (*) Ta có: 2 2 2 2 2 x 2x 2x 4 x 4x 4 0 x 2x 2x 4 x 2x 2x 4 x 4 = + = = = + = ( ) 2 x 2 (x 2) 0 x 2 không thoả mãn * x 2 = + = = = Vậy phơng trình có nghiệm x = 2. 5 Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 Lu ý 2: - Đối với một số dạng phơng trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có những cách giải khác phù hợp chẳng hạn nh phơng pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Côsi. Ví dụ 6: Giải phơng trình 2 2 x 1 x 2x 2 = Viết lại phơng trình dới dạng 2 (x 2x 1) 2 x 1 3 0 + = 2 (x 1) 2 x 1 3 0 = (1) Đặt x 1 = t ( t 0) Khi đó từ (1) ta có phơng trình t 2 - 2t - 3 = 0 t 2 + t - 3t - 3 = 0 t(t + 1) - 3(t + 1) = 0 (t + 1)(t - 3) = 0 t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m) Với t = 3 ta đợc x 1 = 3 x 1 3 x 4 x 1 3 x 2 = = = = Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -2 và x = 4. Ví dụ 7: Giải phơng trình x 1 3 2 x 1 3 + + = + (1) Điều kiện xác định của phơng trình là x -1 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1 : Đặt t = x 1 3 + điều kiện t > 0 Khi đó (1) 2 1 t 2 t 2t 1 0 t 1 t + = + = = x 1 3 x 2 x 1 1 x 1 3 3 x 1 3 x 4 + = = + = + = + = = Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VT = x 1 3 x 1 3 + + + x 1 3 2 . x 1 3 + + =2 Ta thấy dấu bằng xảy ra (Tức là x 1 3 2 x 1 3 + + = + ) khi 2 x 1 3 x 2x 1 3 9 (x 1) x 1 3 x 1 3 x 4 + = =+ = = + + + = = Vậy phơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2 Đối với những phơng trình có giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm. NHững giá trị x này sẽ 6 Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt đối là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải phơng trình tìm đợc. Ví dụ 8: Giải phơng trình x 1 + x 3 = 2 Ta thấy x - 1 0 x 1 x - 3 0 x 3 Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trờng hợp. +Trờng hợp 1: Nếu x < 1 Khi đó phơng trình có dạng: - x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk) +Trờng hợp 2: Nếu 1 x < 3. Khi đó ta có phơng trình: x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 luôn đúng => 1 x < 3 là nghiệm. +Trờng hợp 3: Nếu x 3 Khi đó phơng trình có dạng: x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m đk) Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 3 C. kết quả đạt đ ợc: Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn đối với HS lớp 8 và truyền thụ cho học sinh hệ thống các dạng và phơng pháp giải nêu trên tôi nhận thấy đa số học sinh nắm vững dợc kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phơng trình chứađấu giá trị tuyệt đối. Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phơng pháp giải đợc xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy đã hình thành cho học sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này. Đơng nhiên hệ thống kiến thức trên chỉ dừng lại đối với đối tợng học sinh có học lực trung bình và khá, còn đối với học sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu hơn và bổ sung các dạng toán phong phú hơn. D. Kết luận Nh vậy, từ chỗ họ sinh còn lúng túng trong kiến thức và phơng pháp giải thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở mức cơ bản. Khi nắm vững kiến thức và phơng pháp giải học sinh sẽ có đợc sự hứng thú 7 Các dạng cơ bản và phơng pháp giải phơng trình chứadấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8 góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập từ đó nâng cao đợc chất lợng đại trà trong dạy học bộ môn Toán. Với hệ thống kiến thức cơ bản đợc xây dựng và truyền thụ nh trên học sinh sẽ chủ động để tiếp thu những kiến mới hơn trong chơng trình ở các lớp trên. Có thể nói, trên đây là một số điều mà bản thân tôi đã rút đợc qua dạy học. Tuy nhiên trong những điều đó cũng đợc qua tìm tòi từ các tài liệu, sách báo và học hỏi từ đồng nghiệp nên cũng còn có những hạn chế nhất định. Rất mong nhận đợc các ý kiến đóng góp, chỉ bảo của hội đồng khoa học các cấp và các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn ! Diễn Bích, ngày 30 tháng 4 năm 2009 Ngời làm đề tài Nguyễn Hữu Vinh 8 . các bớc giải phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối? Bài toán giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó chứa đựng nhiều kiến thức. phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần hớng dẫn cho học sinh quan tâm tới 3 dạng phơng trình chứa dấu giá trị