PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Vấn đề 1: Phương pháp chia khoảng. Dùng định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 ; 0 f x f x f x f x f x ≥ = − < Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên cùng một bảng. Chia ra một số khoảng trên trục số mà mỗi khoảng này ta đã biết dấu của các biểu thức trong trị tuyệt đối. Giải phương trình, bất phương trình trong khoảng đang xét. Thí dụ: Giải phương trình: ( ) 2 2 1 1 1x x x− + − = Giải: Bảng xét dấu: x −∞ 0 1\ 2 1 +∞ 2 x x− + 0 - - 0 + 2 1x − - - 0 + + i/ 0x ≤ : ( ) 2 2 1 1 2 1 3 0x x x x x⇔ − + − = ⇔ − = ( ) 0 0 3 x x x L = ⇔ ⇔ = = . ii/ 1 0 2 x< ≤ : ( ) 2 2 1 1 2 1 0x x x x x⇔ − + − = ⇔ − − = ( ) 0 1 x L x = ⇔ = − . iii/ 1 1 2 x< ≤ : ( ) 2 2 1 1 2 1 3 2 0x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + = . iv/ 1x > : ( ) 2 2 1 1 2 1 2 0x x x x x⇔ − − + = ⇔ + − = ( ) 1 2 x L x = ⇔ = − Vậy: { } 0;1S = Bài tập tương tự: 1. Giải các phương trình: a. 7 2 5 3 2x x x− = − + + b. ( ) 2 1 1 1 2 x x x x − + + = − c. 2 1 1x x− + = 2. Giải các bất phương trình. a. 2 2 4 3 1 5 x x x x − + ≥ + − . b. 2 3 1 1 x x − ≤ + c. 2 1 1x− − ≤ d. 9 3 5 3 x x ≥ − − − 3. Giải phương trình. 2 2 5 4 9 5 4 10 0x x x x x x− + − − + + = 4. Giải và biện luận. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1m x m m x m x m m x+ + + = + − + 5. Giải hệ 1 2 2 2 2 3 x y x y + − + = − − + = 6. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của hệ. 2 1 0 2 1 1 0 y x x y x − − − ≥ − + + − ≤ Vấn đề 2: Phương pháp biến đổi tương đương. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f x g x f x g x f x g x= ⇔ = ⇔ = ± . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0g x f x g x f x g x ≥ = ⇔ = ± ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f x g x f x g x< ⇔ < ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x⇔ − + < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x g x f x g x< ⇔ − < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x < − > ⇔ > Thí dụ: Giải và biện luận phương trình: 2 2 2x x m x x+ + = − + + . Giải: Để phương trình có nghiệm ta phải có điều kiện: 2 2 0 1 2x x x− + + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Khi đó phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 2 2 2 2x x m x x+ + = − + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0x m x m⇔ + − + + = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 m x x m m x m x − = + − = ⇔ ⇔ + + + = = − ( ) 1 có nghiệm ( ) 2 0 *m− ≥ khi đó nghiệm của nó là: 1 2 2 2 ; 2 2 m m x x − − = = − Kiểm tra điều kiện: 1 2 1 2 2 6 2 m x m − − ≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ − . Kết hợp với ( ) * ta có 6 2m− ≤ ≤ 2 2 1 2 1 0 2 2 m x m − − ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≤ ≤ 2 1 2 6 0 2 m x m + − ≤ = − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Gọi 3 3 2 m x + = − . Kết luận: 6 2 :m m S< − ∨ > = ∅ { } 6: 2m S= − = 2 3 6 0 : ; 2 2 m m m S − + − < < = − { } 0 : 1;1m S= = − 2 2 0 2 : ; 2 2 m m m S − − < < = − { } 2 : 0m S= = Bài tập tương tự: 1. Giải các phương trình và bất phương trình. a. 2 2 2 2 1x x x− = − b. 2 5 4 1x x x− + > − c. 2 2 3 2 1x x x x− − ≤ − 2. Giải và biện luận các phương trình: a. 2 2 2 1 1 2x mx m x mx m− + − = + + + b. 2 1 1mx x x+ = − + c. 2 2 1 1x mx x+ + = + 3. Giải và biện luận các bất phương trình. a. 2 5 4x x a− + < b. 2 2 2 3x x a x x a− + ≤ + + 4. Định a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: ( ) 2 1 2x x a− = − Vấn đề 3: Phương pháp đặt ẩn phụ Thí dụ: Định m để phương trình có nghiệm: 2 2 2 1 0x x m x m− − − + = Giải: Đặt 1 ; 0t x t= − ≥ Phương trình đã cho được viết: ( ) 2 2 1 0 1t mt m− + − = . Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ ( ) 1 có ít nhất 1 nghiệm 0t ≥ . i/ ( ) 1 có nghiệm 0t = 2 1 0 1m m⇔ − = ⇔ = ± . ii/ ( ) 1 có hai nghiệm trái dấu 2 1 0 1 1m m⇔ − < ⇔ − < < . iii/ ( ) 1 có các nghiệm đều dương 2 2 3 4 0 0 0 1 0 0 0 m P m S m − + ≥ ∆ ≥ ⇔ > ⇔ − > > > 2 3 2 3 3 3 1 1 0 m m m m − ≤ ≤ ⇔ < − ∨ > > 2 3 1 3 m⇔ < ≤ . Kết hợp các kết quả đã được, ta đi đến: 2 3 1 3 m− ≤ ≤ . Vậy: 2 3 1 3 m− ≤ ≤ . Bài tập tương tự: 1. Giải và biện luận bất phương trình: 2 2 2 2x m mx x− < − − 2. Định m để bất phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 1 0x x m m m+ − + + − ≤ 3. Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: ( ) 2 2 1 2 2mx m x mx− − + = − 4. Định m để 2 2 2 2 0x mx x m− + − + > với mọi x . Vấn đề 4: Phương pháp đồ thị. Thí dụ: Tìm m để phương trình 2 2 2 4x x x x m− − + + = có nghiệm. Giải: 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 y=f(x) y=m O -1 -3 Ta có ( ) 2 2 2 2 3 2; 1 2 2 4 5 2; 1 2 x x x x f x x x x x x x + − ≤ − ∨ ≥ = − − + + = + − < < Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x= và đường thẳng y m= Dựa vào đồ thị ta suy ra: phương trình có nghiệm 3m⇔ ≥ − . Vậy: 3m ≥ − . Bài tập tương tự: 1. Định a để phương trình 2 0x x a− + = có nghiệm. 2. Định m để phương trình 2 2 2 3 2 5 8 2x x m x x− − = − − có nghiệm. . PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Vấn đề 1: Phương pháp chia khoảng. Dùng định nghĩa: ( ) ( ) ( ) (. Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên cùng một bảng. Chia ra một số khoảng trên trục số mà mỗi khoảng này ta đã biết dấu của các biểu thức trong trị tuyệt đối. Giải phương trình, . với mọi x . Vấn đề 4: Phương pháp đồ thị. Thí dụ: Tìm m để phương trình 2 2 2 4x x x x m− − + + = có nghiệm. Giải: 8 6 4 2 -2 -4 -6 -1 0 -5 5 10 y=f(x) y=m O -1 -3 Ta có ( ) 2 2 2 2 3 2; 1