Phương trình - Hệ phương trình

phần 1: hệ phương trình i. Củng cố lý thuyết A. Hệ phương trình dạng chuẩn đã biết cách giải 1. Hệ phương trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn ' ' ' ax by c a x b y c + =   + =  2. Hệ phương trình trong đó có 1 Phương trình dạng tuyến tính bậc nhất 2 ẩn (1) ( , ) ( , ) (2) ax by c f x y g x y + =   =  Từ phương trình (1) tính x theo y thay vào (2) → tìm được y → tìm được nghiệm (x,y) của Hệ phương trình 3. Hệ phương trình 2 0 (1) ( , ) ( , ) (2) ax bx c f x y g x y  + + =  =  Từ phương trình (1) tính x, thay vào phương trình (2) → tìm (x,y) của Hệ phương trình. 4. Hệ phương trình dạng , x y S x y P + =   =  → x, y là 2 nghiệm của phương trình: X 2 - SX + P = 0 ( 4 )S P ≥ 5. Dạng hệ phương trình đối xứng a. Hệ phương trình đối xứng loại 1. Dạng ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y =   =  với ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y g x y g y x =   =  Nghĩa là trong từng phương trình, khi ta thay đổi vai trò của x và y thì phương trình không thay đổi Phương pháp Đặt ( ) , S x y I P x y = =   =  Ta được hệ: ( , ) 0 ( ) ( , ) 0 F S P II G S P =   =  Giải hệ này tìm được S và P → x, y là 2 nghiệm của phương trình t 2 - St + P = 0 Chú ý: hệ (I) có nghiệm ⇔ Hệ (II) có nghiệm thoả mãn 2 0S P ∆ = − ≥ b. Hệ đối xứng loại 2 Là hệ phương trình nếu đổi vị trí 2 ẩn trong hệ thì phương trình này trở thành phương trình kia. Dạng ( , ) 0 ( , ) 0 f x y f y x =   =  1 Phương pháp * Trừ theo vế của 2 phương trình ta được phương trình dạng tích. * nếu (x 0 , y 0 ) là nghiệm của hệ thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ. B. Hệ phương trình đặc biệt Một số hệ phương trình không đưa được về các dạng chuẩn nhưng có thể giải được bằng các phương pháp khác nhau: Phương pháp tham số hoá. Phương pháp đánh giá, phương pháp dùng hệ thức Viet mở rộng. Phương pháp dùng phương trình hệ quả, phương pháp đặt ẩn phụ……… ……………………………………………………………………………. Đây là những hệ phương trình giải theo phương pháp đặc biệt chúng ta sẽ đề cập đến ở phần sau bài viết này. ii. các dạng bài tập và phương pháp giải chúng Phương pháp chung để giải hệ phương trình là người làm Toán cố gắng đưa hệ phương trình về dạng chuẩn để giải chúng. A. Phương pháp biến đổi đồng nhất. Loại 1:Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x,y → ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại (Dạng 2 phần lý thuyết). Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 2 4 8 2 xy y xy x  − = −   = +   Lời giải Nếu xy 4≥ ta có hệ 2 2 2 4 8 (1) 2 (2) 2 xy y xy x x  − = −   = + ⇒ ≥   Từ (2) → x # 0 và 2 2 x y x + = Thay vào phương trình (1) → 2 + x 2 - 4 = 8 - 2 2 2 x x   +  ÷   Hay x 4 - 3x 2 + 2 = 0 → (x 2 - 2)(x 2 - 1) = 0 Mà 2 2 2 2x x ≥ → = Hệ có 2 nghiệm: (x,y) là ( ) ( ) 2; 8 ; 2; 8 − − Nếu xy < 4 ta suy ra x 2 < 2 2 Và ta có: 2 2 4 8 2 xy y xy x  − = −   = +   2 2 2 2 2 4 2 8 2(2 ) 0 x x x x   + ⇒ − − = − ⇔ − =  ÷   2 2x ⇔ = (loại) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm như trên. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2 2 2 ( 1)( 1) 3 4 1(1) 1 (2) x y x y x x xy x x  + + + = − +   + + =   Lời giải Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình (2) Với x # 0 từ (2) → y + 1 = 2 1x x − thay vào (1) ta có phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 3 4 1 1 2 1 1 3 1 1 2 2 1 1 3 1 0 1 2 2 0 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x   − − + = − +  ÷   ⇒ − − = − − ⇔ − + − − = − − =   ⇔ − + = ⇔ =   =−  Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (1;-1); 5 2; 2   − −  ÷   Loại 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2 2 2 (1) 2 1 2 2 (2) xy x y x y x y y x x y  + + = −   − − = −   Lời giải Điều kiện: 1; 0x y ≥ ≥ Phương trình (1) 2 2 2 ( ) 0x xy y x y⇔ − − − + = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 1 0 x xy xy y x y x y x y ⇔ + − + − + = ⇔ + − − = 2 1 0x y ⇔ − − = ( Do có đk có x + y > 0) 2 1x y ⇔ = + Thay vào phương trình (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2(2 1) 2 2 1 2 1 y y y y y y y y y + − = + − ⇔ + = + ( ) ( ) 1 2 2 0 2y y y⇔ + − = ⇔ = ( Do y ≥ 0) Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5 Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2) Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn (chẳng hạn ẩn y). Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn được y theo x bằng cách giải phương trình bậc 2 ẩn y. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 5 4 4 (1) 5 4 16 8 16 0 (2) y x x y x xy x y  = + −   − − + − + =   Lời giải: Biến đổi phương trình (2) về dạng: ( ) 2 2 ' 2 4 8 5 16 16 0 5 4 9 4 y x y x x y x x y x − + − + + = = +  ∆ = →  = −  Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) → (5x + 4) 2 = (5x+ 4)(4-x) ( ) ( ) ( ) 4 4 , ;0 5 5 0 , 0,4 x y x x x y     = − =−  ÷   ⇔ ⇒     =  =   Với y = 4 - x thay vào (1) ta được: ( ) ( ) ( ) 2 4 0 4 5 4 4 0 4 x y x x x x y = ⇒ =  − = + − ⇔  = ⇒ =  Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (- 4 5 ; 0). ii. phương pháp đặt ẩn phụ Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ u = f(x,y) v = g(x,y) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0 để đưa hệ về dạng đơn giản hơn. 4 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình Lời giải: Dễ thấy khi x = 0 thì y = 0 Hệ phương trình có nghiệm: (x = 0; y = 0) Khi x ≠ 0 → y ≠ 0 Chia hai về của phương trình (1) cho xy và chia hai vế của phương trình (2) cho x 2 y 2 ta được hệ: 2 2 2 2 1 1 18 1 1 208 x y x y x y x y      + + + =   ÷  ÷            + + + =  ÷  ÷       Đặt: 1 1 x X x y Y y + = + = Ta có hệ phương trình: 2 2 18 18 14; 4 (1) 56 4; 14 (2) 212 X Y X Y X Y XY X Y X Y + = + = = =    ⇔ ⇔    = = = + =    Trường hợp thứ nhất hệ có 4 nghiệm (x,y) là: ( ) ( ) ( ) 7 4 3;2 3 ; 7 4 3;2 3 ; 7 4 3;2 3 ;(7 4 3;2 3) + + + − − + − − Trường hợp thứ (2) hệ có thêm 4 nghiệm (x,y) là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ;7 4 3 ; 2 3 ;7 4 3 ; 2 3 ;7 4 3 ; 2 3 ;7 4 3 + + + − − + − − Kết luận hệ phương trình có 9 nghiệm Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 (1) 1 2 (2) x y y x y x y x y  + + + =   + + − =   Lờigiải Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với ( ) 2 2 1 4 1 2 1 x y x y x y x y  = + + =    =  + − =   Đặt 2 1 , x u y + = 2v y x= + − ta có hệ ( ) 2 1; 1 1 u v u v uv + =  ⇔ = =  =  Ta có hệ ( ) ( ) 2 1; 2 1 1 2; 5 x y x y x y x y  = =  + =  ⇔   + = = − =   Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm 5 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 7 1 2 3 xy x y x y x x y x y  + + + =  +    + + − =  +  Đặt 1 u x y x y = + + + ( ) 2u ≥ V= x -y ta có hệ phương trình 2 2 3 13 3 u v u v  + =  + =  Giải hệ (với lưu ý 2u ≥ ta có u = 2 ; v = 1 Ta có Hệ phương trình 1 2 1 x y x y x y  + + =  +   − =  ⇔ (x = 1 ; y = 0) vậy Hệ phương trình có nghiệm: (x,y) là (1;0) phương pháp hàm số loại 1: Một phương trình trong hệ có dạng f(x) = f(y) phương trình còn lại giúp ta giới hạn được x.y để trên hàm f đơn điệu. Từ đó suy ra x = y Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 3 3 8 4 5 5 (1) 1 (2) x x y y x y  − = −   + =   Lời giải Từ phương trình (2) → 8 4 1; 1x y≤ ≤ ⇒ 1 ; 1x y≤ ≤ xét hàm f(t) = t 3 - 5t t ∈ [-1 ; 1] Ta có f’(t) = 3t 2 - 5 < 0 ∀ t ∈ [-1 ; 1] ⇒ hàm f(t) → x = y thay vào phương trình (2) → x 8 + x 4 -1 = 0 Đặt a = x 4 ≥ 0 ta có a = 4 1 5 1 5 2 2 y x − + − + ⇒ = = ± Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thường dẫn đến một trong 2 phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) Trong đó f là hàm đơn điệu Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 2 1 2 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x y y x y −  + − + = +   + − + = +   Lời giải Đặt a = x - 1 b = y - 1 6 Ta được hệ 2 2 1 3 1 3 b a a a b b  + + =   + + =   Trừ theo vế của 2 phương trình trên ta được 2 2 1 3 1 3 (3) a b a a b b+ + + = + + + xét hàm f(x) = 2 1 3 t t t+ + + có f’(x) = 2 2 1 3 ln 3 1 t t t t + + + + và 2 1t + > 2 t t≥− → f(x) >0 ∀ t → f(t) đồng biến trên R Từ phương trình (3) → a = b thay vào phương trình (1) ta có ( ) 2 2 1 3 (4) 1 3 0 a n n a a l a a al + + = ⇒ + + − = Xét hàm g(a) = ( ) 2 ( ) 1 3 n n g a l a a al = + + − Có: ' 2 1 ( ) 3 1 3 0 1 n n g a l l a R a = − < − < ∀ ∈ + Nên hàm g(a) nghịch biến và do phương trình (4) có nghiệm a = 0 nên ta có nghiệm ban đầu của hệ là (x = 1; y= 1) v. phương pháp đánh giá Với phương pháp này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản. Ví dụ 10. Giải hệ phương trình 1 (1) 1 (2) 1 (3) x y y z z x  − =   − =   − =   Lời giải: Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0 Không giảm tính tổng quát giả sử : 1x y y z y z≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ Ta lại có 1 1 1 0z x y x x y z x x y z x x = + ≥ + = ⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ = = ⇒ − − = Do x dương ( ) 2 5 1 : 4x ⇒ = + Vậy hệ phương trình có nghiệm: x = y = z= ( ) 2 5 1 4 + Ví dụ 11. Giải hệ phương trình 7 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z  =  +   =  +   =  +  Lời giải: Nếu x = 0 → y = 0 → z = 0 → hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0) Nếu x ≠ 0 → y > 0 → z > 0 → x > 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 x x y x x x z z x z y x z y z z y y z y x y z y y = ≤ = + = ≤ = ⇒ ≤ ≤ ≤ + = ≤ = ⇒ = = = + Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (0; 0; 0) và (1; 1; 1) Ví dụ 12: Giải hệ phương trình 2 3 2 2 2 3 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y  + = +  − +    + = +  − +  Lời giải: Cộng theo vế 2 phương trình của hệ ta có: 2 2 3 2 2 3 2 2 2 9 2 9 xy xy x y x x y y + = + − + − + Ta có: 3 2 2 3 2 2 3 3 2 9 ( 1) 8 2 2 9 ( 1) 8 2 x x x y x y − + = − + ≥ − + = − + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 xy xy VT xy xy x y ⇒ ≤ + = ≤ ≤ + 8 Dấu “ = “ khi 1 0 x y x y = =   = =  Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm như trên. Ví dụ 13. Giải hệ phương trình 3 3 3 4 2 6 2 y x x x y y  = − + +   = − − −   Lời giải: Hệ đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 (1) 2 2 1 2 (2) y x x x y y  − = − + −   − = + −   Nếu x > 2 thì từ (1) → y = 2 < 0 Điều này mâu thuẫn với phương trình (2) có x - 2 và y - 2 cùng dấu. Tương tự với x 2 ≤ ta cũng suy ra điều mâu thuẫn. Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 2 vi. các phương pháp khác 1. Phương pháp sử dụng phương trình hệ quả Ví dụ 13: Giải hệ phương trình 1 2 3 x y y z x z + =   + =   + =  Lời giải: Cộng theo vế (1), (2), (3) rồi chia cho 2 ta có phương trình: x + y + z = 3 (4) Trừ theo vế của (4) cho (1) → z = 2 Trừ theo vế của (4) cho (2) → x = 1 Trừ theo vế của (4) cho (3) → y = 0 Hệ phương trình có nghiệm: (x; y; z) = (1; 0; 2) 9 Ví dụ 14: Giải hệ phương trình 2 1 2 7 2 2 xy x y yz y z xz x z = + +   = + +   = + +  Lời giải: Viết hệ về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 (1) 2 1 2 1 15 (2) 2 1 2 1 5 (3) x y y z x z  − − =  − − =   − − =  Nhân theo vế của 3 phương trình trên ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 225 2 1 2 1 2 1 15 (4) 2 1 2 1 2 1 15 (5) x y z x y z x y z − − − =  − − − = ⇔  − − − = −   Các phương trình (4) và (5) là các phương trình hệ quả Trường hợp thứ nhất ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 (1) 2 1 3 (2) ; ; 1;2;3 2 1 5 (3) x y x y z z  − =  − = ⇔ =   − =  Trường hợp thứ hai ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 3 2 1 5 x y z  − = −  − = −   − = −  Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; - 1; - 2) Kết luận: Hệ phương trình có 2 nghiệm (như trên). 2. Phương pháp sử dụng hệ thức Viet mở rộng Ta sử dụng kết quả: nếu x, y, z thoả mãn 10 [...]...  Phương trình có tập nghiệm là: { 31 − 3; 4 2 − 4} Ví dụ 5: Giải phương trình (x - 8)2 + (x - 6)4 = 16 (1) Lời giải Đặt y = x - 7 Khi đó phương trình (1) trở thành (y - y)4 + (y + 1)4 = 16 ⇔ y4 - 4y3 6y2 - 4y + 1 + y4 - 4y3 6y2 + 4y + 1 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16 ⇔ y4 - 6y2 - 7 = 0 ⇔ (y2+7) (y 2-1 ) = 0 (do y2+7 > 0) ⇔ y2 y = 1 ⇔  y = −1 7=1 → x -1 =0 Với y = 1 ta có x =8 Với y = -1 ta có x - 7 = -1 ... 8)4 = (8 - x)4 > 16 (x -6 )4 > 0 → (x - 8)4 + (x -6 )4 > 16 nên x < 6 không thoả mãn Với 6 < x < 8 phương trình (1) viết về dạng: (x - 6)4 + (8 - x)4 = 16 Khi đó (x - 6)4 + (8 - x)4 < (x - 6 + 8 - x)4 = 16 Vậy phương trình vô nghiệm khi: 6 < x < 8 Tóm lại tập nghiệm của phương trình là: {6; 8} Ví dụ 9 Giải phương trình x 2 + 6 x + 13 + x 2 + 6 x + 18 = 34 − x 2 − 6 x Lời giải: 18 Biến đổi phương trình về... 2007 = 1 x2 - 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 < 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1 Thử x = 2008 thoả mãn Với x > 2008 thì: 3 2016 − x − x − 2017 < 3 2016 − 2008 − 2008 − 2007 = 1 x2 - 2007x - 2007 = x(x- 2007) - 2007 > 2008(2008 - 2007) - 2007 = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Ví dụ 12: giải phương trình 5 2+7 + 4x = 3 2 − 1 x +1 Lời giải: Điều kiện: x + 1 > 0 hay x > -1 Viết phương trình về dạng:... 0 phương trình này vô nghiệm  −5 + 13 −5 − 13    ;  2 2     Kết luận: tập nghiệm của phương trình là  3 Phương pháp đánh giá Ví dụ 8: Giải phương trình: (x - 8)4 + (x -6 )4 = 16 (1)’ Lời giải: Dễ thấy x = 8 hoặc x = 6 là 2 nghiệm của phương trình đã cho Nếu x > 8 ta có (x -6 )4 > 24= 16 (x - 8)4 > 0 → (x - 8)4 + (x -6 )4 > 16 Vậy x > 8 không là nghiệm của phương trình Nếu x < 6 ta có: (x - 8)4... 6) x, y, z là 3 nghiệm của phương trình x3 - 4x2 + 5x - 2 = 0 ⇔ (x-1)2 (x- 2) = 0 → (x, y, z) = (1; 1; 4) và các hoán vị của nó hệ phương trình có các nghiệm: (x, y, z) (1; 1; 4), (1; 4; 1) ,(4; 1; 4) Phần iii Các bài toán liên quan 1 Bài toán giải phương trình Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta được bài toán giải phương trình về giải hệ phương trình Ví dụ 15: Giải phương trình x3 + 1 = 2 3 2 x − 1... 6 Tập nghiệm của phương trình là {6 ; 8} Ví dụ 6: Giải phương trình X4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 10 = 0 Lời giải đây là phương trình đối xứng bậc 4 để giải phương trình này ta nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình nên phương trình ⇔ ⇔ x2 1 1 - 6x + 10 - 6 x + x 2 =0 (chia 2 vế cho x2) 1   1  ⇔  x 2 + 2 ÷− 6  x + ÷+ 10 = 0 x   x  1 Đặt x + x = t ( t ≥ 2 ) Ta có phương trình: Khi t = 2...  2 Hệ ⇔  x y − 3 xy + 2 x + 6 = 0  x 2 y 2 + 2 y + 12 − 4 z ≤ 0  ⇒ (x2 - 6x - 2y - 15) + 2(x2y -3 xy + 2z + 6) + (x2y2 + 2y + 12 - 4z) ≤ 0 ⇒ (xy + x)2 - 6(xy + x) + 9 ≤ 0 ⇒ (xy + x - 3)2 ≤ 0 ⇒ xy + x = 3 ⇒ x(y + 1) = 3 Giải các trường hợp ta tìm được nghiệm nguyên của hệ là: (x= -1 ; y = - 4; z = 5) iv một số sai lầm khi giải 1 Làm mất nghiệm của hệ phương trình: 12 Ví dụ 17: Giải hệ phương trình. .. giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá sử dụng các bất đẳng thức cơ bản sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thích hợp và các phương pháp đặc biệt khác, điều đó đòi hỏi học sinh phải tích cực học tập, tìm tòi, đọc tài liệu, sáng tạo hơn trong cách đọc và luyện tập của mình 14 Phần ii Phương trình 1 Phương pháp biến đổi đồng nhất 1 3 Ví dụ 1: Giải phương trình : x3 - x 2 - x = Lời giải Phương trình. .. + z = d  (Dùng phương trình hệ quả) Bài 5: Cho a, b, c là 3 số khác 0  ay + xz = c  Giải hệ phương trình:  cx + az = b (Dùng phương trình hệ quả)  bz + cy = a  Bài 6: Trong các nghiệm của hệ x 2 + y 2 = 9  2 2 z + t = 16 xt + yt ≥ 12  Tìm nghiệm sao cho x + z đạt Giá trị lớn nhất (Dùng phương pháp đánh giá) Bài 7: Giải phương trình 3 14 − x3 + x = 2(1 + x 2 − 2 x − 1 (Dùng phương pháp đánh... = -3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 3 Ví dụ 10: Giải phương trình: x(2008 - x2007) = 2007 Lời giải: 2007 ) ≤0 loại Nếu x ≤ 0 thì x (2008 −x Vậy x ≥ 0 Viết phương trình về dạng: x2008 + 2007 = 2008x Theo bất đẳng thức côsi cho 2008 số dương Ta có: x2008 + 2007 = x2008 + 1 + 1 +… +1 ≥ 2008x 2007 số 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 Ví dụ 11: Giải phương trình . của Hệ phương trình 3. Hệ phương trình 2 0 (1) ( , ) ( , ) (2) ax bx c f x y g x y  + + =  =  Từ phương trình (1) tính x, thay vào phương trình (2) → tìm (x,y) của Hệ phương trình. 4. Hệ. mình. 14 Phần ii. Phương trình 1. Phương pháp biến đổi đồng nhất Ví dụ 1: Giải phương trình : x 3 - x 2 - x = 1 3 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 3x 3 - 2x 2 - 3x = 1 ⇔ 3x 3 . =   =−  Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (1 ;-1 ); 5 2; 2   − −  ÷   Loại 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2