PHƯƠNG PHÁP đặc sắc GIẢI hệ phương trìnhhệ bất phương trình tập 3

Trang 1

TS HUYNH CONG THAI CAC PHƯƠNG PHÁP DAC SAC : TAP 3 ® Sách dung cho:

e Học sinh ôn thi Đại Học

e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,

Thành Phố

e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia

e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho

giáo viên

Trang 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP DAC SAC | TẬP 3 ® Sách dùng cho:

e Học sinh ôn thì Đại Học

e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,

Thành Phô

e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia

e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho

giáo viên

Trang 4

a, b, D= = a,b> — a:B¿; a, b, C, b, D, = = C1b2 — Cob; C, b, a, C, Dy = = a7;Co — aC a, C, a) Néu D = 0: + D, z 0 hoặc Dy z 0 thì hệ đã cho vô nghiệm + Nếu D, = D›= 0 thì hệ có thể vô

nghiệm hoặc có vô số nghiệm

(nên thay giá trị cụ thể của tham

Trang 5

Phuong phap 2: Dung phép thé

Phuong phap 3: Dung phép cong dai so Phương phap 4: Dat 4n phu ll Bai tap ap dung: Bài 1: Cho hệ phương trình: 6ax+(2-a)y=3 Vente a 1) Giai va biénluan hé phuwong trinh

2) Giả sử (x,.y) là nghiệm của hệ

Trang 7

a=-1 e Nếu D =0 2 a=— 5 Khi do D, # 0 va Dy # 0 nén hé da

cho vô nghiệm

Trang 8

nghiệm (x, y) thỏa x > y

2) Với các giá trị của m đã tìm

được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A = x + y Giải 1) Ta co: m 4 = =(m.— 1)(m+ 4 1 m+3 ( M ) D, = m?+4 4 2m+3-m+3 = m(m- 1)(m + 4) m'`mˆ+4 Dy = =(m-1)(m+ 4 “l1 2m+3 im =H

eVoOim = 1 vam z -4 thì D z 0 nên hệ đã cho có nghiệm duy nhât:

x=m

y=1

Trang 9

e Hệ có nghiệm (x, y) thỏa x > y

c<m> |

Đối chiếu với điều kiện D z 0 ta

được giá trị của m can tim la: m > 1 2) Khi m > 1 thì tổng A=x+zy=m+*† Ta thấy hàm A = m +1 là hàm tăng wm > 1 nên nó không đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1; +») Bài 3: Cho hệ phương trình: axt+y=b say =C°+C 1) Với c ='1 giải và biện luận hệ theo a và b

2) Tìm b để với mọi a ta luôn tìm

được c đê hệ có nghiệm

3) Tìm b để tồn tại c sao cho hệ có nghiệm với Va

Trang 11

*Néu a= 1 thi D=0; D,=b-—-2; Dy=2—b + Nếu b = 2 thi D, = Dy = 0 khi dé hệ có nghiệm với Vx, y + Nếu b z 2 thì hệ vô nghiệm * Nếu a = —1 thì D = 0; D„= —b; Dy=-b—2 + Nếu b # —2 thì D¿z.0; D, z 0 => hệ vô nghiệm * Nếu b = -2 thì D„ = Dy = 0 = hệ có nghiệm vx,y 2) Xét D = aˆ~ + Nếu D #00 © a z +1 thì hệ đã

cho có nghiệm duy nhật với ve

nên không cân điêu kiện cho b

+ Nếu a = 1 thì hệ trở thành:

X+y=b

Trang 12

oCr+o=boc+c—-b=0 Để có c tồn tại thì A = 1 +4b> 0 cœb>_—1 4 + Nếu a = —1 thì hệ trở thành: —-x+y=b x-y=-b X-V= y=cC°+cC 2 © X-y=C°+C _SP_ 2 Hé nay cé nghiém.<sc? +c + b=0 Để có c tồn tại thì A = 1 — 4b > 0 ob<i 4

* Tom lai gia tri b can tim dé yéu

Trang 13

Như vậy ta cần quan tâm đến hai

giá trị của a là: a = 1; a = —1 thì hệ

cũng phải có nghiệm Điêu này

được thỏa mãn khi và chỉ khi tôn tại b để hai phương trình cŸ + c— b = 0 (1) và cŸỔ + c+b = 0 (2) có nghiệm chung Giả sử cọ là nghiệm chung của (1) và (2) Thế thì: c¿+c,+b=0 2 >b=0 ci +c, -—b=0 với b = 0 thì (1) và (2) trở thành: c+c=0<> bi =0 c=-†1

hõ ràng hai nghiệm này là hai

nghiệm chung của (1) và (2)

* Tóm lại giá trị của b cần tìm là: b = 0

Trang 14

ax + by = c(1) bx + cy =a(2) cx + ay = b(3) có nghiệm Chứng minh rằng a” + b® + c° = 3abc Giai

Nhan (1) véi c*; nhan (2) voi a’:

Trang 16

D 1+m D, 1+3m D 1+m eNéuD=0<o m= +1 + Néu m = 1 thi D = Dy = Dy khi đó hệ có nghiệm Vx, y + Nếu m = —1 thì Dy Ova Dy z 0, khi đó hệ vô nghiệm

Trang 23

ae |- 2 0; 3 1; ° a 5 2 Bài 8: Định a để hệ sau có bốn nghiệm phân biệt: l0 liNn (a- 2)(x”+2x)+a|y |=3a- 2 Giải Nhận xét: hệ này chưa có dạng là hệ bậc nhát hai- ấn, ta chuyển hệ này về dạng đó bằng cách đặt: X=x?+Z2x=(x+1)ˆ—1> —Í ty Iyl0 Khi đó hệ này trở thành: (C oyccav -aa 20D (a—2)X+aY =3a-2

Các hệ số của hệ (II) không thể đông thời băng 0 nên ta tính:

q)

Trang 24

a-2 a 1-3a -a-1 3a - 2 a 2a 1-3a a-2 3a-2 e Điều kiện cần: hệ (I) có nghiệm thì hệ (Il) có nghiệm <SDzO<ca#†1vàa#-2/3

Trang 27

_ -(1+m) Thé x 2 mˆ.+m-†1 vay=—/*™ vào(3) ta được: mˆ.+m-† -(I+m]' (4-m)(1+m) mˆ+m-1 m+m-† © (1 +m)[4-m + mˆ+m-— 1- (1 + m)]J= 0 © m=+f Vậy các giá trị của m cần tìm là: =~(1 + m) m=1vm=~‡

II Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải các hệ phương trình

¬

Mos —+—=12

xX y

Trang 32

mx + 4y =6 Định m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa: x > 1 vày >2 2x +by =ac*+c bx+2y=c-†1

Dinh a dé voi b bat ky, ton tai it

Trang 34

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẢN SÓ f(x) = 0 (1) 1 Dang hé: g(x) = 0(2) 2 Cach giai: + Khử tham só giữa'hai phương trình (1) và (2) (néu có thể) được một trong hai phương trình chứa tham số

+ Sau đó, giải tìm x, rồi thế vào hệ

Trang 43

At =(8x +16)? —16(x* + 8x? +16) >0

—-16xÝ - 64x? + 256x > 0

©<0<x<2 @)

Từ (a) và (b), suy ra: x = 2

Thê x = 2 vào (2) ta được:

16m + 64m + 64 =0 =m=-~2

Vậy giá trị của m cân tìm là: m = —2

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 44

THUC HAI AN X, Y I CÁC PHƯƠNG PHÁP: Phương pháp 1: cộng, trừ đại số đưa vê các dạng sau: 1) dạng phương trình tích

2) dạng phương trình bậc hai theo một ân x (hay y)-có A là biểu thức chính phương

3) A"=B";(A#‡B) =0

4) phương bậc nhát theo hai ẩn x,

y Sau đó dùng phép thê

5) Xem hệ là bậc nhất đối với hai

cụm ân và khử Sau đó đưa vê

phương trình theo một cụm ẩn

Phương pháp 2: Sử dụng các phép thế đã biết

Trang 45

Phương pháp 3: Dat 4n phu

Trang 50

= 8 y=Ì=x=Š 2 4 + Với tạ = 3(2x - y) & 2x + y = 3(2x -y) <= x= y thê vào (2) ta được: 3x+ =3 ©3x2~3X+1=0 X

= phuorng trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 3 3 x=`Š 8 V |x>* 4 a4 Y= 4 2 *_ Cách khác:

Vi 2x — y # 0 nén chia hai về của

Trang 51

2x+y ˆ_g2X+Y +6=0 2x—y 2x—y Dễ dàng giải ra ta được: 2x+Vy =2; 2x+y =3 2x—y 2x—y

Từ đây ta giải như trên

Trang 60

ta xét các trường hợp sau: 1) Phương trình (3) có nghiệm kép và (4) có nghiệm kép khác nhau: A; = 4mˆ - m(1- 8m) =0 A› = 4m -m(4m +1)= 0 x, =2 ) x,=2

Hệ nay không thỏa mãn do Xo = Xo

2) Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt và (4) vô nghiệm: Ai >0 4m” -m(1- 8m) > 0 c© > A, <0 4mˆ -m(4m +1) <0 << ¬ 12

Trang 62

= + 2(a—1)x —3a* —1=0(3)

Hé da cho co hai nghiém phan biét

Trang 63

Bai 8: Cho hé: fee mys x? +y* +bxy =3 1) Giải hệ khi a = b = 1 2) Xác định tất cả các giá trị của a, b đê hệ trên có nhiêu hơn bôn

Trang 67

x+y=1 x? +y* + bxy -3=0 y=1-x & x? +(1-x)? +bx(1- x) -3=0 y=1-x = (2-b)x” +(b-2)x-2=0 Ta thay hé nay co tdi.da hai nghiém (x, y) * Xét hé (A) y=X+a Mm y=x+a © ĐĂNG con cự -5-00

Hệ đã cho có nhiều hơn bốn

nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

phương trình (*) có nhiều hơn bốn

nghiệm mà (”) là phương trình bậc

hai nên để nó có hơn hai nghiệm thì

Trang 70

phan biét:

© A’=(1+m)*-2m*>0

o1-J2<m<1+/2

Dễ thấy hai nghiệm của hệ (A) và

hai nghiệm của hệ (B) luôn khác

nhau Do đó hệ đã cho có bốn

nghiệm phân biệt hệ (A) có hai nghiệm phân biệt và:hệ (B) có hai

Trang 71

1) Giai hé khi m = 0

2) Dinh m để hệ có đúng ba

nghiệm (X:,Vị), (Xa, Y2); (Xs, ys)

trong do: X1, X2, X3 lap thanh cap

sô cộng và trong ba sô đó có hai

Trang 72

(x:2y] tŸy'+s=0

=> 2 4

x+y=-1

(hệ này vô nghiệm)

Vậy nghiệm của hệ là: x = y = >

2) Hệ đã cho luôn có.nghiệm xạ = y =

= với Ym và hiển nhiên giá trị tuyệt đối của xạ (của nghiệm trên)

luôn < 1 Do vậy hai nghiệm x có

giá trị tuyệt:đôi lớn hơn 1 phải năm

trong hé (Il)

* Yêu cầu bài toán được thỏa man

thì trước hêt hệ (II) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của hệ (J)

(xét vê hoành độ)

Trang 73

2 2 _ © xˆ—X(†+X)+(1+x}-m=0 y=-1-x x*+x+1-m=0 & y =-1-x

Trang 74

xa lập thành cấp số cộng nên theo đề bài thì thứ tự của ba nghiệm trên là: X, Xa, Xa Ta CO: X; + Xp = 2x3 = —1 = ludén luôn thỏa mãn

(ap dụng định lý Viét.-cho phương

Trang 75

Phương trình (1) Jy =-a+x x»>a OQ y=(x-a) Thế vào (2) ta được: xX⁄x+(16—a)Nx = 74(x—a)? +10+6a © xxx -7x + (16- a)X— 10+a= 0 Đặt: 4x = t > 0 thì (3) trở thành: t! — 7 + (16 - a)t— 10 + a = 0 (3) © (t— 1)( - 6t +10 -a) = 0 f{=1<x=>fl OQ f(t)=t<6t+10-a=0(4) (4) có nghiệm < a = 1 Khi do: x>aot=vx> Va

Như vậy hệ đã cho có ba nghiệm

phân biệt (4) có nghiệm phân biệt thỏa các điêu kiện sau:

Trang 76

Ja<t,<t f(Va) >0 t, 41 21s ——=a>0 2 va > t, 41 f(1) z0 25 o1<a< — 9 Vậy các giá trị của a cần tìm là: 1<a< 2,

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

yey =12

3xy* + 4xy = y? +6y+4

2 + 3x? + y? +12xy + 2y =0

Trang 77

3) 4) 5) 6) 7) 8) x°+y*+x=3 2xy —-4 x? — 4y* + = x+y-1

X*y* + 2y* +4 =7xy x°+ 2y? +6y = 3xyˆ

Trang 80

phương trình sau: ?) xXy+x+1=7y x*y? + xy +1=13y" x(x+y-1)=3 2 x+yŸ~ 5+1=0 Bài 7: Cho hệ phương trình sau: yˆ-2x+y+4z0 ev" =m

Tìm m để hệ có ba nghiệm phân biệt

Bài 8: Cho hệ phương trình sau:

yˆ+X°=x+y+m+†

ư +y* —2x° —2y°+x+y=m’?-m

Trang 82

+ Dat P= xy art với SZ - 4P >0 (A) + Đưa hệ đã cho về hệ theo S và F(S,P) = P: (SP) =0 (I) G(S,P) = 0 + Giải hệ (I) tim S va‘P thỏa (A) + Thế S, vào (*), giải tìm x, y * Biện luận hệ:

e Hệ đã cho vô nghiệm nếu hệ (I)

vô nghiệm-hoặc hệ (l) có nghiệm

(S, P) mà SˆT— 4P < 0

e Hệ đã cho có nghiệm, nếu hệ (I)

có nghiệm (S, P) thỏa:

Sˆ—4P>0

eUng với nghiệm (So, P,) của hệ (1) thỏa điều kiện SẼ — 4P > 0 thì

Trang 83

hé da cho co hai nghiém phan

x= (8, 2 /S2—4P]

y=„(S, + (S2 = 4P)

e Khi (So, Po) thỏa: S? —4P, = 0 thì

hệ đã cho có nghiệm duy nhất biệt:

X=y= So 2 * Chú ý:

1) Nếu hệ đã cho có chứa dạng

tổng Œ + y), tích @y) thì ta đặt ân phu dé dua vé dạng trên

2) Nếu (xo, yo) là một nghiệm của

hệ đã cho thì (yo, xo) cũng là một nghiệm của hệ đã cho Do vậy,

hệ đã cho có nghiệm duy nhất

khi Xo = Yo

Trang 96

phương trình:

É—at+s (8= a) = 0 (1)

Trang 102

hoặc: 42 y=0 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: oe Geo 1 1 (0 5} [95° 9] 2) Định m để hệ'đã cho có bốn nghiệm phân biệt: Từ (1) P+m> 0<P>-m + Khi P > —m thì (1) <= S = +vm+P (hai gia tri S khac nhau) + Khi P = —m thì (1) S = 0 (một giá trị)

+ Khi P < —m thì (1) vô nghiệm

Trang 103

phuwong trinh: X* - SX + P=0 e Với A = S’?-4P>0 =m+P-4P>0©P< Khi đó hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt “Voi A = 0 <> P= 7 thi hệ đã cho có một nghiệm “Voi A <0 <> P&T thi hệ đã cho vô nghiệm

Do vậy: hệ đã cho có bôn nghiệm

phân biệt 'khi phương trình (2) có

nghiệm duy nhất P thỏa:

-m<P < (a)

Mat khac: Goi P,, P2 la hai nghiém

của (2) thì: F1 rare = =—m

Trang 105

Giai

Hệ này đối xứng với x, y Do đó, nếu gọi (Xo, yo, Zo) là một nghiệm

của hệ thì (yo, Xo, Zo) cũng là một

nghiệm của hệ Như vậy, hệ có nghiệm duy nhất thì cần xo = yo, thế

vào hệ đã cho ta được:

2ax,+Z,=a

a = 2x*

Z, = 2x? - (rs +2ax, -a=0\

Vì nghiệm:xạ là duy nhất nên

Trang 108

2 J2

SARV SL kas et

2 Xét: xy = 2a” - 6a + 4) = f(a)

Taco: f(a)=O co a=1

Bang bién thién:

2+2 2

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:

Trang 109

Bài 9: Giả sử hệ phương trình: a +y?+z?2=8 q) xy + yZ+zx=4 có nghiệm (x, y, z) Chứng minh rằng: -3< X,ÿ,Z< : Giải Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức của một'số nào đó trong ba số, chẳng hạn là x Ta tìm miền giá

tri cua x, ta tim x sao cho hé da cho

đối với hai ân y và z có nghiệm

Hệ () © MA es

X(y+Z)+yz=4

Trang 115

Từ (a) và (b) ta được giá trị a cần

tìm là: a < —2va> 2

Bài 11: Tìm các giá trị của m đề đồ

thị sau có đúng hai nghiệm:

_ +y)` =256

x°+y°=2+m

Giải

* Nhận xét: Nếu gọi:(Xo, yo) là một

nghiệm của hệ thì: (xạ, -yo) và

(-Yo, —Xo) cũng là nghiệm của hệ

Trang 117

BAI TAP TU LUYEN

Trang 121

Bài 6: Cho hệ phương trình sau: X+l+y+=40 X y 3, 1, 3, 1 X +-z+Y +-;=15m+5 X y Tìm m để hệ có nghiệm dương Bài 7: Cho hệ sau: ee cite x°+yˆ-2(x+y)=8 có nghiệm dương Bài 8: Cho hệ Sau: (* +y?x =4m? — 2m X+Y+Xy=4m-†

1) Chứng minh răng: hệ luôn có nghiệm 2) Tìm m đê hệ có nghiệm duy nhât

3) Tìm m để hệ có đúng 4 nghiệm

phân biệt

Tìm m để hệ

Trang 122

1 Dinh nghĩa:

Hệ đói xứng loại 2 là hệ mà khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình

này trở thành phương trình kia

2 Dạng của hệ: le 0)

Q(y, x)= 0(2)

3 Cac cach giai:

Cach 1:

Trang 126

1) Tu hé da cho ta suy ra: x > 0, y > 0 3yx* =y*+2 (1) 3xy* =x? +2 (2) Lay (1) — (2) ta được: 3xy(x—Y) = Y” - X” ©(x-y)(3xy+x+y)=0 2 b x 3xy+x+y=0 *Voi 3xy + x #y = 0 v6 nghiém do x>0vày>0 * Thế y = xVào (2) được: 3x'-x”-2=0©>x=1>y=† Vậy hệ có nghiệm x = y = 1

2) Điều kiện: -2 < x,y <6

Trang 129

y=X © x? +xy+y? +m—-3(x+y) =0 + Với x = y thế vào (2) ta được: xỶ — 5x2 + mx = 0 > x(x? — 5x + m) = 0 © x-5x+m=0 (3)

Ta thấy hệ đã cho luôn có nghiệm x = y = 0 với vm nên đê hệ có

nghiệm duy nhâtfhì điêu kiện can là

Trang 130

Dat: f(x) = x? + (y -— 3)x + y*-3y +m có: Ai = -3yˆ + 6y + 9— 4m Lại có Az = 36 — 12m < 0 với mọi 25 m>— 4

Trang 131

Giai

Nhan xét: Ta thay day la hé chan

déi voi hai An (x, y)

Néu gọi (Xo, yo) là nghiệm của hệ thi

Trang 133

2(x?-Y*)+Y-X=0 © (X-Y)(2X +2Y -1)=0 X=Y > 2X+2Y-1=0 Với X = Y thế vào (1) ta được: 2X? +X+2=m(3) Với 2X + 2Y = 1 © Y* >—X >0 Thế Y = 2 và ào (1) ta được: 2X?—X+ a= = m(4)

1) Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm X = 0O hoặc phương trình (4) có

nghiệm 0Ö < X < 1

2