TS HUYNH CONG THAI CAC PHƯƠNG PHÁP DAC SAC ` TẬP 1 ® Sách dùng cho:
e Học sinh ôn thi Đại Học
e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,
Thành Phố
e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia
e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho
giáo viên
Trang 2TS HUYNH CONG THAI CÁC PHƯƠNG PHÁP
DAC SAC
S TAP 1
@ Sach dung cho:
e Học sinh ôn thi Dai Hoc
e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,
Thành Phố
e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia
e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho
giáo viên
Trang 3Phan | HE PHUONG TRINH
CAC PHƯƠNG PHÁP GIẢI - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÓNG QUÁT @ Phương pháp 1: DÙNG CÁC PHÉP BIÊN ĐÔI ĐẠI SỐ TƯƠNG ĐƯƠNG I Các hướng xử lý: + Cộng, trừ hai phương trình
Nhân thêm hệ số cho một hoặc cả
hai phương trìñh rồi cộng hay trừ hai + phương trình
Kết quả biến đổi: ta đưa về các
phương trình cơ bản sau:
1) Phương trình bậc nhát hai ẩn x, y:
+ Khi đó: Tính y theo x (hay x theo
Trang 42) Phương trình chỉ chứa x (hay y)
dạng đa thức bậc 2, 3, 4
+ Giải phương trình này tìm nghiệm
rồi thế vào một trong hai phương
trình trong hệ ban đầu
3) Phương trình bậc hai chứa 2 an x, y:
+ Đưa về phương trình-bậc 2 theo
An x (hay y)
+ Tĩnha Wt He A=(a+b)*
~(a+b)°
+ Tìm nghiệm tồi thế vào một trong
hai phương trình hệ ban đầu
4) Phương trình biến đổi về dạng tích các thừa số
5) Phương trình có dạng:
a) áỄ+bÊ=0C Poe b=0
Trang 6+ Với x = y thế vào (2) được: x=0 5x2 + 3x = 0 <> 3 X=—= 5 + Với x = 1 — 2y thế vào (2) được: (1— 2y + 2y(1 - 2y) +.2V” + 3(1—2y)= 0 © 2yˆ2- 8y+4=0<>yˆ-4y+2=0 c y=2-2=x=242-3 y =2+V25 x =-2V2-3 Vay hé co cac nghiém la: 3 3 (0; 0); [-3:-2}; (a5~32-.8) (2/2 —3;2+ 2)
2) Lấy phương trình (3) nhân với 2
Trang 72x2 + Byˆ— 6xy + 2x — 4y + 1= 0 (5)
e Đến đây ta tìm hướng xử lý như sau:
Đó là phương trình bậc hai theo x, y
nên có thể:
1 Đưa về phương trình bậc hai
theo x (hay y)
Hướng này chỉ hợp lý nếu A =
(a + b)* hay A= (a + b) con
Trang 8Loi binh:
* Tát nhiên là việc chọn hướng
nào cho phù hợp thì điều này
phụ thuộc vào tư duy và tốc độ
xử lí của mỗi cá nhân Ở đây thường là chúng ta cảm nhận từ bản chát của phường trình để quyết định hướng xử lí *- Phép thử cũng là một cách nhưng sẽ mắt thời gian
Bây giờ chúng ta bắt đầu thử:
Hướng 1: đưa về phương trình bậc
hai theo an x (chang hạn) (5) © 2x” + 2(1 - 3y)x
+5yˆ+ 1—4y=0
A' = (1— 3y)Ê— 2(5yˆ— 1 + 4y)
Trang 9Dễ thay A là biểu thức đổi dấu nên
ta giải theo hướng này không hợp lí Chú y ra ng: Việc đưa về phương
trình theo ấn x (hay y) là như nhau
nên chỉ chọn một ẩn x (hay y)
Hướng 2: đưa về tổng bình phương
Thường đưa về các hệ số của các
biến đều là số nguyên nên ta tách như sau: (5) ©(&ˆ-2xý+ y') + &ˆ + 4y + 1—4xy + 2x — 4y) = 0 © (x>Y} + (x— 2y + 1)“=0 ope OxX=y=1 x-2y+1=0
e Thế x = y = 1 vào (4) thấy không
Trang 10Chú ý:
1) Hằng đẳng thức: (at+b+t+c)
=a°+b* +c? + 2ab + 2bc + 2ca
2) Lay hai phuong trình cộng hay trừ
đi thu được phương trình thứ ba thì:
+ Nếu phương trình này vô nghiệm
— hệ đã cho vô nghiệm
+ Còn lại thì phải thế vào hệ ban
đâu đê kiêm tra
Trang 11« Dễ thấy là chúng ta không thể
biên đôi phương trình (2)
Trong khi đó: phương trình (1) có dạng bậc hai theo x (hay y) nên ta
ưu tiên xử lí theo hướng này: (1) xŸ- 2(1- 2y)—6y *7y—2= 0 '= 2y” + 3y — { >0© 2 <y<1 Mặt khác: do y > 1 nên suy ra y = 1 Thế y = 1 vào hệ được: x? +2x-1=.0 Lm +XẺ-X+4=0
Hệ này vô nghiệm
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Bài 3: Giải hệ phương trình: * = y y
Trang 12Giai Ta biên đôi hệ: e Hệ đã cho a aan (1) xX’y? + 2x’ — 4y* —2y —xy-3=0 (2) e Lấy (1) + (2) được:
2y* + x’y* — 3y7 x’? +1=0
& 2y* + (x? — 3)yy>— x? +1=0 (3)
Trang 132 =—(1-x 1 2 yv.=sa-X) + Với y = 1 thế vào (2) được _ 1+x/109 6 3xẰ—x—9=0<>x + Với y = —1 thế vào (2) được: 1+ J61 6 3x+x—5=0>x= + Nhận xét: Cả 2 phương trình (1) và (2) đều chứa bài 1 và 2 theo x
và y Trong khi đó biểu thức cần
thé la y? = 2(1~x?) chỉ có bậc hai
nên được thế vào sẽ rất phức tạp
và được 1 phương trình không thể
Trang 14* Nên hướng xử lí:
1
Ta co: y* = 2=?) >05-1<x<1
Trang 15[1# 109.) [=1#V61,_4) 6 'J\ 6 ` Bai 4: Giai hé phuong trinh sau x? — x’y + 3x = y*(5y — 7x) ts +y) +x*y =2yÌ +X(yˆ 6) Giải e Ta biến đổi hệ phương trình đã cho ° ‘ -X?y+3x+7xy?-5y3 =0 (1) xỶ+4x°y+2Xyˆ+6x- y°=0 (2)
e Lấy phương trình (1) nhân 2 rồi
trừ đi phương trình (2) ta được:
xỶ— 6xếy + 12xyˆ — 9y” = 0
©(x-2y)"=y”
©X-2yY=ÿYX=ở3y
Trang 1634y” + 9y=0<>y=0—>x=0
Vậy hệ có nghiệm là (0; 0)
Chú ý: Một số hệ ta sử dụng phép
chia hai vế cho 1 biểu thức rồi lấy
hai phương trình cộng hay trừ đi Bài 5: Giải hệ phương trình: 1+Xy+X=7y (*) 1+ x?yˆ + xy=13y Giải
e Ta thấy y =`0 thì hệ vô nghiệm
Trang 22* Nhan xet:
1) Đối với hệ trên, sau khi ta lấy 2
phương trình trừ đi thì nhân lượng
liên hợp hai vé để đưa về tích
Trang 2344221 (1) c© vx Wy 1,3 _ 1 vx Jy y+3x (lay 2 phương trình cộng và trừ di) 9 1 12 y X y+3x
(lấy 2 phương trình nhân về theo về)
Trang 24Bài 9: Giải hệ phương trình:
4x?°+y“-4x”=1 (1) ie + 2y* —4xy =2 (2)
Giai
Lay phương trình thứ nhất trừ
phương trình thứ hai, vê theo vê ta
Trang 26Phương trình thứ hai của hệ tương đương với y? +x + 2yVx - y x= 0 © (y+ vx) =xy’ oy + vx = yvx 2=2 Ta có hệ mới là Ạ vx y +Vx= yvx 2y+(y+2)=y(ÿ + 2) y=-1 1 = xX — —— © h 2=2\x SS 4 yˆ-y-2=0 y=2 x=4
So sánh với điều kiện ban đầu, ta
thây cả hai nghiệm trên đêu thỏa
man
[yas
Trang 27nghiệm là (x, y) “(2-1) (2; 4)
II Bài tập rèn luyện
Trang 285) 6)‹< #) 4 8) 9) 10) 2y(x° — y*) = 3x x(x? + y*) =10y x+y=2
(2x+ y}? + 5y.jxy = 2x(5 + 2y)
Trang 2911) 12) x/1-yŸ = y\1- x? = ee nos x(t a | “+V ‘Je 1 2vl1- y( Fy, 1 @ Phương pháp 2: DÙNG CÁC PHÉP THÊ | Cac cach thé Cách 1: Trong hệ có chứa 1 phương trình bậc nhất theo x và y
+ Tính y theo x (hay x theo y)
Trang 34x>-9 & 4 25(x? +9) = (4x +9)" Vay hé co nghiém 1a:(4; 4) * Nhan xet:
+ Nếu hệ chưa thu gọn thì ta áp
dụng các phép biến đổi đại số để thu gọn rồi dùng phưps sau
+ Các phép biến đổi thường dùng là:
1) Cộng, trừ 2 phương trình
2) Làm mát logarit, lũy thừa
3) Phép nâng bậc
Trang 37Tính một biểu thức f(x, y) theo một
An g(x) hay theo một ham h(x, y) réi thế vào phương trình còn lại
— — được:
1) Phương trình 1 ân đơn giản
2) Phương trình 2 ẳn:(x, y) có các
dạng đặc biệt sau:
a) Bac hai theo'`x (hay theo y) có
A = A’ hay A =A?
Trang 422) Diéu kién: y > 0 (3) <= logzy = 2-x 4 œy=22*= 2= 2 y Thế vào (4) được: @°+y~8)) =4y =y+y-s=oej}= 3 (loại) y=2>x=l Vậy hệ có nghiệm là: (1; 2) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 16xỶyŸ - 9y” = (2xy — y)(4xy* + 3) tuy -2xyˆ+y =3 Giải
e Nhận thấy y = 0 không là nghiệm
của hệ đã cho, khi đó ta chia hai về
Trang 43
của phương trình thứ nhất cho yỶ
Trang 45X+ 34 & y x x? —-3x+2=0 a 3 x+y=—-1 y=1 x x=2 _73 y 2 Vay hé co hai nghiém: oy) = (15 1), (2-3) 2 Cach 3: Thế để cân bằng bậc ở một
phương trình và đưa vê phương đăng cap hai an x va y
* Cách giải phương trình đẳng cấp
Trang 46+ Xét y = 0, thé vao va kiém tra
Trang 47+ Voi x = 0 thế vào (1) được y = 3/4
+ Với y = 0 thế vào (1) được x = #4
+ Thế y = -x vào (1) = phương
trình vô nghiệm
2) Hệ đã cho tương đương với
5x”y + -4xyˆ + 3y - 2(X+3 y) =0
lee +y*) (x +y7)=2=0
Trang 48+Néuy=0>x=0 = (4) vd nghiém + Nếu y z 0: chi hai vế của (5) cho yŸ ta được ihe) “lj g1 =1 Ÿ 2 y=X <> <i x *s<|* “<x
+ Với y = x thé vào (4) được: x + 1 = y + Với x = 2y thế vào (4) được:
Trang 50& X(X — 3y)(x + 4y) = 0 x=0
©|Xx=3y
x=-4y
+ Với x = 0 thế vào (2) được
phương trình vô nghiệm
Trang 51
Đưa một phương trình trong hệ về
Trang 611
= y+2X”=0 | =y=0
x=0
Trang 64Cach 5:
Một phương trình trong hệ có dang bậc hai theo x (hay y) khi đó:
+ Tinh A và đưa A về dạng AŸ hay -AŸ
Trang 69II Bài tập tổng hợp các cách thé: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: axzl + 9* = 1 1) 47” 3+3 ") y? -6.9%+11.3% =6 (2) 55 oor ane (1) V2x—14+./4y-—t=1 (2) Huong dan giai 1) Từ (1) ta rút gọn được: y = 3” và
thê vào (2) được:
Trang 70Xem (1) là phương trình bậc theo bién Vx (1) © (vx)? -— Jy vx -2y=a A=9y= (3y — hai nghiệm là Ýx =—jy (loại) vx = 2Vy
© x =4y thế vào (2) => kết quả
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1) +y)(x+y) + 2y =7 -2x? —x
(2x +1)? +3y =8+3x
2) b +4y =y?+1ôx
Trang 74e Cuối cùng dùng phép thé
e Sau đó lũy thừa
Trang 772) fe ~y’) =3x x(x? + y*) = 10y Hướng dẫn giải 1) (1) ©xỶ + 3x7 + 3xz1=y ©(x+1)=y°©y=x+ 1 thế vào (2) kết quả 2) + Nếux=0>y=0
+ Khi xy z 0; lấy 2'phương trình
nhân chéo với.nhau và đưa vê
phương trình đăng cập 4 theo x, y
Trang 78Hướng dẫn giải
1) Nhân phương trình đầu với 2 và
Trang 79©y= thế vào phương trình 3-2x thứ hai Bài 7: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2 + 2xy? + 12y =0 x’ + By* =12 2) V1—cosu =cos2u +sin2u Hướng dẫn giải 1) Thế 12 = xˆ +'8ÿŸ vào phương trình thứ nhất và đưa về phương trình đẳng cáp
2) Biến đổi mắt loga và thế vào (1)
Trang 80Hướng dẫn giải
1) Điều kiện: x > —1 và y > —!
(2) Xem là phương trình bậc hai theo x và có hai nghiệm là: x = 2y; x = 10y
+ Thế x = 2y vào (1) được:
In(1 + 2y) - In + y)=y
Trang 81Bang bién thién: +o F’(y) f(y) Theo BBT = f(y) < O:vy > = —=fÍ(y)=0>y=0>x=0 + Thế x = 10y vào (1):
In(1 + 10y) —In(1 + y) = 9y
Chứng minh'-tương tự như trên ta cũng được nghiệm là (0; 0)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0; 0)
2) Điều kiện: x > 1; 0 < y<2
Biến đổi phương trình thứ 2 ta
được:
Trang 823log.,(3x)” — 8log,y = 3
=> 1 + logsx — logsy = 1
© x= y và thế vào phương trình
thứ nhát
Cuối cùng bình phương hai về
Bài 9: Giải các hệ phương trình sau:
Trang 87Lay hai phương trình trừ đi ta được:
Trang 89(y >2) © 4(6y — y — 1) 49 = (49 - 5y)” (2<v<S) © yŸ - 486y + 2405 = 0 = 7 =9 2x4 y = 481 (loai) Vay hé co cac nghiém la: (4; 5); (X4; V4)
2) Điêu liện: |x|> |y| và xy(y + 3)>0 Hệ đã cho tương đương với
x2 — y? _ x2y?(x + 3)?
ted —8y*) = y*(1+ 4x")
2 fe _ y? — x2y?(x + 3
Trang 90= x’y*(x + 3)° = x*y?(4x + 8) x=0 c© |y=0 (Thế vào một trong hai xX=-1 phương trình ban đầu — Nghiệm cần tìm) Bài 12: (Đề thi ĐH D~-2006) Cho hệ: e* —e" =In(1+x)Ìn(1+ y) (1) -xX=m (2)
Chứng minh rằng với mọi m > 0 thì
Trang 93Hướng dẫn giải 34 2y2 =142 1) H@ dachow 1% “4 =1149 2x° +y° =5-2xy e Xem x’, yŸ là 2 ẳn và giải hệ trên x? = 3-2xy (1) y” = 2xy -1(2) < (xy)? = (3 - 2xy)(2xy— 1)
Trang 96Kết luận: (d) có nghiệm duy nhất
1
x=1>y==—
2
Vay hé da cho co nghiém l1 )
lll Bai tap tự luyện
Trang 9916) 17) 18) + 19) 20) 21) + 22) é*x+4y=2 xx+3+.2-y=3 *x-1=.jx-y-1 y? +x =y(xy — 2vx)
x+y? + (xy)? =2 4xy
Trang 1033) a" =b"
4) Phương trình tích
5) Phương trình bậc 2 đối với 1 an
Cách 4: Đặt 2 ẫn ở 2 phương trình và đưa về hệ đơn giản hơn
Trang 1046Š-2=.l3x-y+3y (3) 2) Y 2./3x + 3x -—y = 6x +3y —4 (4) Giai 1) Diéu kién: >0 2x-y Đặtt= |“ >0 2x-y (1) trở thành: † WS
+Vớit=2Q lzaœ 4 2x-y =4
©y= =x thé vao (2) duoc:
oy 12953 _5y ye +11=0
Trang 108Bai 2: Giai cac hé phuong trinh sau: Xy+X+1=3y 1) xy’ =2y -1 3.3 3 2) ĐH X(X+yYy+T)+ y(y +1) =2 Giải
1) e Nếu y = 0 thì hệ vô nghiệm
Trang 1152_
ta được (“ V =9 _ lu =-3
u+v=4
u+v=4
e Đến đây học sinh tự giải
2) e Nếu y = 0 thì hệ vô nghiệm
Trang 119Bai 5: Giai cac hé phuong trinh sau:
Trang 137(x+y-8Ÿ'=4/'02y°2w+ `) Cp
x+4y-3=2xy' (2)
Giải
1) + Nếux=0—>y=0
+ Khi xy # 0 Biến đối hệ đã cho
Trang 139Ox=y=1 Vậy hệ có nghiệm là: (1; 1) 2) Cách 1: (x —3)° =0 x-3=0 => (3; 0) la mét nghiém.cua hé
* Xét y z 0, khi đó chia hai về của
phương trình (1) cho yŸ và chia hai
Trang 152ll Bai tap ap dung:
Trang 153Bài 2: Giải hệ phương trình y =-x°+3x+4 = 2y°-6y-2 Giai y —2=-(x° —3x~ 2) x-2=2(y°-3y-2) HN (1) x-2=2(y +1Ý(y- 2) (2)
Nếu x > 2 từ (1) suy ra y— 2< 0
điêu này mâu thuân với PT (2) có (x — 2) va (y — 2) cung dau HPT = |
Tương tự với x < 2 ta cũng suy ra
điều vô lí Vậy nghiệm của hệ là
Trang 158e Xem (2) là phương trình bậc hai
Trang 159> (2-2 |2y-y]>z x yj 2 A 3 > ‘ = 2 — Dâu “=' xảy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (2; 1)
Bài 6: Giải hệ phương trình sau: 2 2 + SF + (y+f#“ (x1 2 X+Yy+1=3Xy (2) Giải Ta có: (x + 1)(y + 1)
=xy +x ty 1 = 4xy (do (2))
Trang 160Dau “=” xay ra x Vy 24 ao {xX -() _1 (| x+† 4 =-†1+2x của SN X=-1+2y Từ đây ta thế lần
lượt vào (2) được nghiệm cần tìm
Trang 165— Phương trình h(y) = 0 có nghiệm
duy nhất y = —Í
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0; —†1)
lll Bai tap tự luyện
Trang 166x? +2x + (27) = x? +y* +xy+4= 3x4 4y 5) 6) 4x° + 3xy* =7y y`+6yx” =7 7) (x-4)jy-3+( Vx+2=7V6 12xVx-—4 es = Sxy @ Phương phäp'5: DÙNG ĐỊNH LÝ f(x) = fly) I Định lý:
e Với mọi x; y; t cùng thuộc miền D e Hàm f() luôn tăng (hay luôn giảm) trên D
Trang 167Cách 1: Từ một phương trình trong hệ ta biến đổi về dạng: f(x) = f(y) hay ta đặt 2 An u, v và được về dang: f(u) = f(v) Cách 2: Kết hợp hai phương trình trong hệ và đưa về dạng lo = f(y) f(u) = f(v) Cách 3: Dùng -phép thé sau đó dùng đạo hàm: Cách 4: Đặt'ân phụ rồi dùng đạo hàm
lll Bai tap ap dung:
Bai 1: Giai cac hé phuong trinh sau:
1) fn (1)
x° —y* =3(x-y) (2)
Trang 176
Do do: g(a) = g(b) GS a=b o1-1=0ex=15y=0 Vậy hệ có nghiệm là: (1; 0) Bài 5: Giải hệ phương trình sau: ee airy =1 (1) x.V6x + 2x? +1 = 4xy— By +1(2) Giải