Viết pt tham số đường thẳng BC.[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – LTĐH 2013
1) Cho d1:
2
1 1 1 2
; :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d
Viết pt mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + y – 2z + = (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ
nhất * Giải:
- (P) // (Q) => (P): x + y – 2z + d =
- Tọa độ giao điểm M cùa (P) với d1 nghiệm cùa hệ:
2 0
1 1
2 1 1
x y z d
x y z
t
=> t = - d
=> M (-2d+1; -d-1; -d )
- Tương tự: giao điểm (P) với (d2) N(-d-2; -2d-4; -d-3)
- Ta có: MN = 2d2 27 3 => MNmin = 3 d = Lúc đó: M (-1; 1; 0) ,
N (-2; -4 ;3 )
* Vậy pt mặt phẳng (P) cần tìm là: x + y – 2z =
2) Cho (S): x2 + y2 +z2 + 2x + 4y + 6z + = 0; A(2; 1; 0) , B(-1; -1; 2) Lập pt mặt phẳng (P)
qua hai điểm A B cắt (S) theo đường tròn có chu vi 6 * Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I (-1; -2; -3), bán kính R = 10
- (P) cắt (S) theo đường trịn có bán kính r = => d (I,(P)) = R2 r2 1 -pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = Ta có hệ pt:
2 0
2 0
( , ( )) 1
a b d
a b c d
d I P
- Từ hai pt đầu ta suy ra: d = -2a – b; c =
3 2
2
a b
, thay vào pt cuối ta được:
2 2 34
15 12 13 8 12 212 136 348 0 1
53
a a
a b a b ab a b ab
b b
- Với a = - b , chọn b = -1 => a = , c =
1
2 => (P): 2x – 2y + z – = 0
- Với a = -
34
53b, chọn b = - 53 => a = 34 , c = - => (P): 34x – 53y – 2z – 15 =
3) Cho (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 2z + = mp (P): x – 2y – 2z – = Tìm điểm M thuộc
(S) N thuộc (P) cho MN có độ dài nhỏ *Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính R = - Do d(I,(P)) = > R => (S) khơng cắt (P)
- Gọi N hình chiếu vng góc I (P), IN cắt (P) M, với M1, N1 thuộc
(2)=> MN đạt giá trị nhỏ M1M N; N
- Gọi d đường thẳng qua I, d vng góc (P) => ptts d là:
1 2 2 1 2
x t
y t
z t
N(-1 + t ; - 2t; + 2t) (P) => t = 2/3 => N( -1/3; 2/3; 7/3 ),
M(-1 + s; – 2s; + 2s) (S) => s = 1/3 s = -1/3
- Với s = -1/3 => M(-4/3; 8/3; 1/3) => MN = - Với s = 1/3 => M(-2/3; 4/3; 5/3) => MN =
* Vậy MN có độ dài nhỏ 1, lúc M(-2/3; 4/3; 5/3) N( -1/3; 2/3; 7/3 )
4) Cho (P): 2x – y + 2z – = (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z – = Xét vị trí tương đối
của (S) (P) Viết pt mặt cầu (S/) đối xứng mặt cầu (S) qua mp (P)
* Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I (1; -2; ), bán kính R = - Do d (I, (P)) = < R = => (P) (S) cắt
- Gọi J điểm đối xứng I qua (P) Ptts IJ là:
1 2 2 4 2
x t
y t
z t
- Tọa độ giao điểm H IJ (P) thỏa hệ pt:
1 2 2 4 2
2 2 3 0
x t
y t
z t
x y z
=> t = -1 => H (-1; -1; 2)
- Vì H trung điểm IJ nên suy J(-3; 0; 0) Mặt cầu (S/) có tâm J, bán kính R/ = nên có pt
là: (x + 3)2 + y2 + z2 = 25
5) Cho hình thang cân ABCD ( AB đáy lớn; CD đáy nhỏ) Với A (3; - 1; - 2), B (1; 5; 1), C (2; 3; 3) Tìm tọa độ điểm D
* Giải:
- ABCD hình thang cân, nên AD = BC = AB // CD
- Gọi d đường thẳng qua C d // AB, (S) mặt cầu tâm A, bán kính R = Điểm D cần tìm giao điểm d (S)
Do d có vtcp AB 2; 6;3
, nên có pt:
2 2 3 6 3 3
x t
y t
z t
Pt mặt cầu (S): ( x – 3)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = 9
Tọa độ điểm D thỏa hpt:
2 2
2 2 3 6 3 3
3 1 2 9
x t
y t
z t
x y z
=> t = - t = - 33/49
(3)6) Cho d:
1 3
1 1 4
x y z
điểm M (0; - 2; ) Viết pt mặt phẳng (P) qua M, song song với d khoảng cách giữa d (P)
* Giải:
- Do (P) qua M nên pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b =
- Từ giả thiết ta có: 2
. 4 0
3 2
( , ( )) 4
p d
n u a b c
a b b
d P
a b c
- Thay b = - a – 4c vào:
2
5 4 4 4
a a c a a c c
<=>
2 2
4a 20c 4 2a 17b 18ac a 2ac 8c 0 a 2c a 4c
- Với a = - 2c: chọn c = -1 =.> a = 2, b = => (P1): 2x + 2y – z + =
- Với a = 4c: chọn c = => a = 4, b = - => (P2): 4x – 8y + z – 16 =
* Vậy có hai pt mặt phẳng (P) cần tìm là: (P1): 2x + 2y – z + =
(P2): 4x – 8y + z – 16 =
7) Cho A ( 2; 0; ), H ( 1; 1; ) Viết pt mặt phẳng (P) qua A H cho (P) cắt hai trục Oy Oz B C thỏa điều kiện SABC = 4 6
* Giải:
- pt mặt phẳng (P): 2 1 0
x y z
bc
b c
, Do (P) qua H nên:
2 2
1 1 1 1
1 1
2 2
1
, 2
2; ;0 , 2; ; , ; ; 2
1
4 4 4 2
2
ABC
b c
S AB AC
AB b AC o c AB AC bc c b
b c c b
Đặt t = bc, từ (1) suy b + c = 2
c
, thay vào (2) ta được: t2 + 4(
2
4
t
- 2t ) = 384 <=> t = 16 t = - 12
- Với bc = 16 b + c = => b = c =4 - Với bc = - 12 b + c = -6 =>
3 21; 3 21 3 21; 3 21
b c b c
* Vậy có ba mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài: (P1): 2x + y + z – =
(P2):
(4)(P1):
6x 3 21 y 3 21 z 12 0
8) Cho C ( 0; 0; ), K ( 6; -3; ) Viết pt mặt phẳng (P) qua C, K cho (P) cắt hai trục Ox, Oy A, B thỏa điều kiện VOABC =
* Giải:
- Ta có pt mặt phẳng (P): 2 1 0
x y z
ab
a b
6 3
( ) 1 6 3
1
2 3 9
6 3
OABC
K P b a ab
a b ab
V a b ab
- Xét hệ:
3; 3
9
3
6 3 9 6;
2
a b
ab
b a a b
Ta hai mặt phẳng : (P1): 2x + 2y + 3z – =
(P2): x + 4y – 3z + =
- Xét hệ:
9
6 3 9
ab
b a
(hệ vô nghiệm)
* Vậy có hai mặt phẳng thỏa u cầu tốn: (P1): 2x + 2y +3z – =
(P2): x + 4y – 3z + =
9) Cho hình chóp O.ABC, A ( 1; 2; ), B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy Mặt phẳng ( ABC ) vng góc mặt phẳng ( OBC ), tanOBC 2 Viết pt tham số đường thẳng BC *Giải:
Do tan
2 c 2 2
OBC c b
b
=> B ( b; 0; ), C ( 0; 2b; ) Mặt phẳng (OBC) có nOBC 0;0;1
, mặt phẳng (ABC) có
8 ;4 ;2 4
ABC
n b b b b
Hai mặt phẳng vng góc => nOBC.nABC 0 2b b 2 0 b2
(Vì b > )
Ta có: B( 2; 0; ), C( 0; 4; ) => ptts BC là:
2 2 0
x t
y t
z
10) Cho (P): x – 2y + 2z – = d1:
1 3
2 3 2
x y z
d2:
5 5
6 4 5
x y z
Tìm điểm Md1 điểm N d2 cho MN // (P) MN cách (P) khoảng 2.
Giải: M ( + 2t; – 3t; 2t ) d1 , N ( + 6s - 2t; -3 + 4s +3t; -5 -5s -2t ) d2
4 6 2 ; 4 3 ; 5 2
MN s t s t s t
(5)1; 2;2 , //( )
P
n MN P t s
1
1 2 6 6 4 1
( ,( )) ( ,( )) 2 12 6 6
0 1 4
t
t t t
d MN P d M P t
t
Với t = => s = - => M1 ( 3; 0; 2), N1 ( -1; -4; ) Với t = => s = => M2 ( 1; 3; 0), N2 ( 5; 0; -5)
11) Cho d:
2 4
; 1;2; , 7; 2;3
3 2 2
x y z
A B
Tìm M d cho MA + MB đạt
giá trị nhỏ
Giải: * AB 6; 4;4 2.ud
=> AB // d => Xác định mặt phẳng (P) ( AB,d)
* H ( + 3t; - 2t; + 2t) d A ( 1; 2; - 1)
1 ; 2 ;5 2 3; 2;2
. 0
d d
AH t t t
u AH u
=> t = - => H ( - 1; 2; 2), A/ đối xứng với A qua H => A/ ( - 3; 2; 5)
Tam giác A/AB có HM đường trung bình => M ( 2; 0; 4).
12) Cho (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 8y +2z +1 = (P): x + 2y – 5z + = Viết pt mp (Q) song
song với trục Ox, vng góc với (P) cắt (S) theo đường trịn có chu vi 8
* Giải:
- (S) có tâm I ( 3; -4; -1 ), bán kính R =
- Do (Q) // Ox (Q) vng góc (P) nên (Q) có cặp vtcp:
1
1
2
1;0;0
, 0;5; 2
1;2; 5 Q
u
u u n
u
=> (Q): 5y + 2z + d =
- (Q) cắt (S) theo đường trịn bán kính r = => d (I, (Q)) =
2 2
2
20 2
5 4 3 3 22 29
5 2
d
R r d