chuyen de phuong phap toa do trong khong gian

 Xét được vị trí tương đối của hai đường thẳng ; của đường thẳng và mặt phẳng... PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU :..[r]

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Mục đích yêu cầu :

1 Kiến thức :

 Hệ toạ độ khơng gian

 Phương trình mặt phẳng – Phương trình đường thẳng  Vị trí tương đối :

o Hai đường thẳng

o Đường thẳng mặt phẳng

 Các toán liên quan đến đường thẳng mặt phẳng 2 Kỹ :

 Xác định toạ độ véctơ – toạ độ điểm thỏa đkđb

 Viết phương trình mặt phẳng – phương trình đường thẳng – Phương trình mặt cầu

 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng ; đường thẳng mặt phẳng II Tiến trình học :

I HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN : 1 Toạ độ véctơ :

Trong không gian Oxyz , cho :

 

 

1 3

; ; ; ;

a a a a

b b b b

   

   



Khi :

 

 

 

1 2 3 1 2 3

; ;

; ;

; ;

a b a b a b a b

a b a b a b a b

ka ka ka ka

     

 

    

 

  

   



1

2

3

a b

a b a b

a b

  

   

 



 

 Tích vơ hướng hai véctơ : ab a b a b a b  1  2  3  

Đặc biệt : a b ab  0 a b a b a b1  2  3 0

   

 Độ dài véctơ :

2 2

1

a  a a a

 Góc hai véctơ :

  1 2 3

2 2 2

1 3

cos ;

.

a b a b a b ab

a b

a b a a a b b b

 

 

   

   

 

 Tích có hướng hai véctơ :

 

2 3 1

2 3 1 2

2 3 1

; ; ; ; ;

a a a a a a

a b a b a b a b ab ab a b

b b b b b b

 

       

   

 

 

 a b;

 

phương  a b;     

 a b c; ;

  

 a b c; ;

  

không đồng phẳng  a b c;  0   

 a b;   a b .sin ;a b

     

 Ứng dụng :

o Diện tích tam giác ABC :

1 ; ABC

S  AB AC               

o Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD  AB AD;   

                         

o Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : VABCD A B C D ' ' ' '  AB AD AA;  '

  

o Thể tích tứ diện ABCD :

1

;

6 ABCD

V  AB AC AD

  

2 Toạ độ điểm :

o Trong không gian Oxyz , OM x y z; ;   M x y z ; ;  

o Trong không gian Oxyz , cho A x y z A; ;A A ; B x y z B; B; B ; C x y z C; C; C ;  D; D; D

D x y z Khi đó :

 AB xB  xA ; yB  yA ; zB  zA 

      

2 2

B A B A B A

AB  x  x  y y  z  z

 Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB tính theo cơng thức :

I

I

I

2 2

A B

A B

A B

x x

x

y y

y

z z

z

 

  

 

  

 

  

 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC tính theo cơng thức :

G

G

G

3 3

A B C

A B C

A B C

x x x

x

y y y

y

z z z

z

 

   

 

   

  

  

 Toạ độ trọng tâm K tứ diện ABCD tính theo cơng thức :

K

K

K

4

4

4

A B C D

A B C D

A B C D

x x x x

x

y y y y

y

z z z z

z

  

   

  

   

   

  

 Mặt cầu có tâm I ; ;a b c bán kính r có phương trình :      

2 2 2

x a  y b  z c r

 Ngược lại , phương trình :

2 2 2 2 2 0

x y z  Ax By Cz D  phương trình mặt cầu

2 2 0

A B C D

    

Khi mặt cầu có tâm I A B C; ;  bán kính r  A2B2C2 D III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG :

 Mp ( P ) qua M x y z M; M; M có VTPT nA B C; ; 



có PTTQ :

 M  M  M

A x x B y y C z z 

 Mp ( P ) có cặp VTCP :

 

 

1 3

; ; ; ;

a a a a

b b b b

   

    

có VTPT : na b;    

với

 

2 3 1

2 3 1 2

2 3 1

; ; ; ; ;

a a a a a a

n a b a b a b a b ab ab a b

b b b b b b

 

 

       

 

 

                                         

 Nếu mp ( P ) qua điểm A , B , C mp ( P ) có cặp VTCP : AB AC;

                           

mp ( P ) có VTPT : nP AB AC;    

                                      

 Các trường hợp đặc biệt :

Cho mp ( P ) : Ax By Cz D   0

o Nếu D 0 mp ( P ) : Ax By Cz  0 qua gốc toạ độ O

o Nếu A 0 mp ( P ) : By Cz D  0song song chứa trục Ox o Nếu B 0 mp ( P ) : Ax Cz D  0 song song chứa trục Oy o Nếu C 0 mp ( P ) : Ax By D  0song song chứa trục Oz o Nếu

0 A B

  



 mp ( P ) : Cz D 0 song song trùng với mp Oxy

o Nếu

0 A C

  



 mp ( P ) : By D 0 song song trùng với mp Oxz

o Nếu

0 B C

  



 mp ( P ) : Ax D 0 song song trùng với mp Oyz

 Điều kiện để hai mp song song – vng góc :

Trong khơng gian Oxyz , cho :

   

   

1 1 1 1

2 2 2 2

: ; ;

: ; ;

P Q

P A x B y C z D VTPT n A B C

Q A x B y C z D VTPT n A B C

      

 

     

 





o ( P ) cắt ( Q )  nP nQ

o

   

1

1 1 1

1 2 2

1

1

P Q

A kA

B kB

n kn A B C D

P Q

C kC A B C D

D kD

D kD

  

  

 

       

 



 

 



 



o

   

1

1 1 1 1 1

1 2 2

1

1

P Q

A kA

B kB

n kn A B C D

P Q

C kC A B C D

D kD

D kD

  

  

 

        

 



 

 



 

o P  Q  nP nQ  n nP Q  0 A A1 2B B1 2C C1 0

                                                       

o Gọi φP; Q 

1 2

2 2 2

1 1 2

cos

.

P Q

P Q

A A B B C C

n n

n n A B C A B C

 

 

   

                           

 



 Khoảng cách từ điểm đến mp :

Trong không gian Oxyz , cho mp P Ax By Cz D:    0 Khoảng cách từ điểm  M; M; M 

M x y z đến mp ( P ) tính theo cơng thức :  ;  2

M M M

Ax By Cz D

d M P

A B C

  



 

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG : Phương trình tham số đường thẳng :

PTTS Δ qua M x y z M; M; M  có VTCP uu u u1; ;2 3



có phương trình :

 

1

M

M M

x x tu

y y tu t

z z tu

 

 

  



  



R

2 Phương trình tắc đường thẳng

Phương trình tắc Δ qua M x y z M; M; M có VTCP uu u u1; ;2 3



( với

1 0; 0;

u  u  u  ) : 1 2 3

M M M

x x y y z z

u u u

  

 

3 Phương trình tổng quát đường thẳng :

PTTQ đường thẳng Δ giao hai mp ( P ) mp ( Q ) , tức :

Δ :

 

 

1 1

2 2

0 : :

A x B y C z D P

A x B y C z D Q

    

 

   

 

Khi VTCP Δ : uΔ n nP; Q

  

Cách :

Tìm điểm M Δ VTCP : uΔ n nP; Q 

                           

 PTTS Δ Cách 2 :

Tìm

Δ Δ M N

  



 PTTS đường thẳng MN PTTS Δ Cách 3 :

Từ PTTQ Δ , cho z t sau giải hệ tìm x , y theo ẩn t _ là PTTS Δ

Ngồi cho

x t y t    

 sau giải tương tự ta PTTS Δ. V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG :

Điều kiện để hai đường thẳng song song – cắt – chéo nhau :

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

1

1

3

:

M M M

x x ta

d y y ta

z z ta

 

 

 



  

 có VTCP aa a a1; ;2 3



1

2

3

'

: '

' N N N

x x t b

d y y t b

z z t b

 

 

 



  

 có VTCP bb b b1 3; ; 



 Điều kiện để hai đường thẳng song song :

o Cách 1 :

1

2

a kb d d

M d     

  

 



o Cách 2 :

1

;

;

a b d d

a MN       

  

 



  

   

 Điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau :

o Cách 1 :

1

2

a kb d d

M d   

  

  

 

o Cách 2 :

1

;

;

a b d d

a MN     

  

  

 



     

 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau :

* Cách 1 : d1 d2 cắt nhau

1

2

3

' ' '

M N

M N

M N

x ta x t b

y ta y t b

z ta z t b

  

 

  



   

 có nghiệm

* Cách 2 : d1 d2 cắt 3

;

: : : :

a b MN

a a a b b b

  

   

 

* Cách 3 : d1 d2 cắt

;

;

a b a b MN       

  

  

     

 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau :

+ Hoặc : d1 d2 chéo nhau : o a b;

 

không phương

o hệ phương trình

1

2

3

' ' '

M N

M N

M N

x ta x t b

y ta y t b

z ta z t b

  

 

  



   

 vô nghiệm

+ Hoặc : d1 d2 chéo  a b MN;  0   

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :

Đường thẳng Δ qua M có VTCP u điểm M1Δ Khoảng cách từ điểm M đến Δ

được tính theo cơng thức :

 ;Δ MM u1; d M

u

 

 

  



 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau :

  Δ1 Δ2

Δ1 Δ2

;

Δ1;Δ2

;

u u M M

d

u u

 

 



 

 

  

 

 Góc hai đường thẳng :

 2 Δ1 Δ2

Δ1 Δ2

cosΔ ;Δ



 

u u

TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM – TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ – ỨNG DỤNG Bài : Trong kg Oxyz , cho a2;3;7



; b0;1;2



; c1;5;1



1.1 ) Tìm toạ độ u2a b c   3 ? 1.2 ) Tìm toạ độ va3b4c ? 1.3 ) Tìm toạ độ t2a2b c  ?

1.1) Ta có :

 

 

 

 

2 4;6;14

0;1;2 1; 8;13

3;15;3

a

b u a b c

c

 



      

 

 



    



1.2) Ta có :

 

 

 

 

2; 3;

3 0;3;6 2;20;3

4 4;20;4

a

b v a b c

c

     

     

 

 



    



1.3) Ta có :

 

 

 

 

2 4;6;14

2 0;2;4 2 3;3;17

1;5;1 a

b t a b c

c

 



     

 

 



    



Bài : Trong kg Oxyz , cho A2;1;0 ; B1;3;2 ; C0;1; 4  2.1 ) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC ?

2.2 ) Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành ? 2.3 ) Tính chu vi diện tích tam giác ABC ?

2.4 ) Tìm toạ độ điểm M thoả : MA MB 2MC 0

   

Hướng dẫn :

+ Áp dụng cơng thức tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC

+ Dựa vào biểu thức AB DC

 

để tìm toạ độ điểm D

+ Tính độ dài cạnh AB , AC , BC suy chu vi tam giác là AB + AC + BC

+ Tính MA , MB , MC   Sử dụng tổng véctơ để tìm toạ độ điểm M

2.1 ) Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC :

G

G

G

2 1

3

1

3 3

0

3 3

A B C

A B C

A B C

x x x

x

y y y

y

z z z

z

   



  

 

   



  

 

    

  

 

5

1; ;

3

G 

   

2.2 ) Ta có :

 

 

1;2;2

;1 ;

D D D

AB

DC x y z

  

 

    

 





Để ABCD hình bình hành

 

1

1; 1;

4

D D

D D

D D

x x

AB DC y y D

z z

  

 

 

          

    

 

 

2.3 ) Tính chu vi diện tích tam giác ABC :

 Chu vi tam giác ABC :

Ta có :

     

     

     

2 2

2 2

2 2

1 3

0 1 41

0 1

AB BC AC 

      

 

        



        



Chu vi tam giác ABC : AB BC CA   3 41 5

 Diện tích tam giác ABC :

Ta có :

 

 

1;2;2 2;0; AB

AC

  

 

  

  

 ; 2 1; ;  8; 8;4

0 4 2

AB AC    

 

      

   

 

                           

 2  2

; 8 144 12

AB AC

 

         

 

Vậy diện tích tam giác ABC :

1

; 12

2

ABC

S  AB AC  

 

( đvdt )

2.4 ) Ta có :

 

 

   

2 ;1 ;

1 ;3 ;2

;1 ; 2 ;2 ;

M M M

M M M

M M M M M M

MA x y z

MB x y z

MC x y z MC x y z

    

 

   

 

          

 





 

Mà MA MB 2MC 3 4 xM;6 4 yM; 4  zM

  

Khi :

3

3

3 3

2 ; ;

2 2

6 3

2 M M

M M

M

M x x

MA MB MC y y M

z

z 

 

 

 



  

             

 



  

 

 



   

Bài : Tính góc hai véctơ sau :

3.1 ) a4;3;1 ; b  1;2;3

 

? 3.2 ) u2;5;4 ; v6;0; 3 

 

Hướng dẫn : Áp dụng công thức   cos ;

ab a b

a b 

   

 

tìm góc giữa hai véctơ

3.1 )

   

 

 

2

2 2 2

3.2 1.3 5

cos ; ; 75

26 14 364

4 3 1 1 2 3

ab

a b a b

a b

  

     

    

 

   

 

3.2 )

   

 

 

2

2 2 2

2.6 5.0

cos ; ; 90

2 5 4 6 0 3

uv

u v u v

u v

  

    

    

 

   

 

Bài : Trong kg Oxyz , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A1;0;1 ; B2;1;2 ; D1; 1;1 ; ' 4;5; 5  C    4.1 ) Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình hộp cho ?

4.2 ) Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ?

Hướng dẫn :

+ Vận dụng tính chất mặt bên hình hộp là hình bình hành

+ Áp dụng cơng thức tính thể tích : VABCD.A'B'C'D'  AB AD AA; . '

                                         

4.1 )Tìm toạ độ đỉnh C :

Ta có :

 

 

1;1;1

1; 1;

C C C

AB

DC x y z

 

 

   

 





Do ABCD hình bình hành nên

 

1

1 2;0;2

1

C C

C C

C C

x x

AB DC y y C

z z

  

 

 

        

    

 

                           

Tìm toạ độ đỉnh B’ :

Ta có :

 

 ' ' ' 

0;1;0

' ' B 4; B 5; B

CB

C B x y z

 

 

   

   

Do CBB’C’ hình bình hành nên

 

' '

' '

' '

4

' ' ' 4;6;

5

B B

B B

B B

x x

CB C B y y B

z z

  

 

 

         

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tìm toạ độ đỉnh A’ :

Ta có :

 

 ' ' '

1;1;1

' ' A;6 A; A

AB

A B x y z

 

 

    

Do CBB’C’ hình bình hành nên

 

' '

' '

' '

4

' ' ' 3;5;

5

A A

A A

A A

x x

AB A B y y B

z z

  

 

 

         

    

 

 

Tìm toạ độ đỉnh D’ :

Ta có :

 

 ' ' ' 

0; 1;0

' ' D 3; D 5; D

AD

A D x y z

  

 

   

 





DoDADD’A’ hình bình hành nên

' '

' '

' '

3

' '

6

D D

D D

D D

x x

AD A D y y

z z

  

 

 

       

    

 

                           

 

' 3;4; D

 

4.2 )Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ :

Ta có :

 

 

 

 

1;1;1

1 1

0; 1;0 ; ; ; 1;0;

1 0 0

' 2;5;

AB

AD AB AD

AA

 

  

 

     

    

 

  

 





  



 

; ' 1.2 0.5

AB AD AA

 

       

  

' ' ' ' ; '

ABCD A B C D

V AB AD AA

   

  

Bài : Trong kg Oxyz , cho A1;0;1 ; B1;1;2 ; C1;1;0 ; D2; 1; 2   5.1 ) CMR : A , B , C , D đỉnh tứ diện

5.2 ) Tính đường cao tam giác BCD hạ từ đỉnh D ? 5.3 ) Tính thể tích tứ diện ABCD ?

5.4 ) Tính độ dài đường cao tứ diện ?

HD : + Ta chứng minh điểm A , B , C , D không đồng phẳng

; ;

AB AC AD

                              không đồng phẳng , tức :

 AB AC AD;  0

                                         

+ Áp dụng công thức :

1

2

BCD

BCD S

S BC DE DE

BC

  

+ Áp dụng công thức : ABCD

1

; .

6

V  AB AC AD                

+ Áp dụng công thức :

ABCD ABCD

3 1

.

3 BCD BCD

V

V S AH AH

S

5.1 ) Ta có :

 

 

 

2;1;1 2;1; 1; 1; AB

AC AD

  



  

 

  





 

 

1 1 2

; ; ; 2; 4;0

1 1 2

AB AC    

 

      

   

 

                           

   

; 2.1

AB AC AD

 

                          đpcm

5.2 ) Gọi DE đường cao tam giác BCD hạ từ D Khi :

1

BCD

BCD S

S BC DE DE

BC

  

 Ta có :

 

   

0;0; 2 0

; ; ; 4; 6;0

2 4 3

3; 2; BC

BC BD BD

      

  

    

    

   

  

  





  

 2  2

; 13 ; 13

2 BCD

BC BD S BC BD

   

                                         

  

2 2

0 2

BC     

 Vậy :

2 13

13

BCD S DE

BC

  

5.3 ) Thể tích tứ diện ABCD :

Ta có :

 

 

 

   

2;1;1

2;1; ; 2.1

1; 1; AB

AC AB AC AD

AD

  



 

          

  



  





   



Vậy thể tích tứ diện ABCD :

1 1

;

6

ABCD

V   AB AC AD                 

5.4 ) Tính độ dài đường cao tứ diện :

Gọi AH độ dài đường cao tứ diện ABCD nên

1

. 3

ABCD BCD

V  S AH

1 3.

3 3 1

13 13

ABCD BCD

V AH

S

   

Bài : Trong kg Oxyz , cho A1; 3;2 ;  B3;1;0 ; 1;2;5 S  trọng tâm tam giác ABC G( 2;1;1 ) 6.1 ) Tìm toạ độ điểm C tam giác ABC ?

6.2 ) Tính thể tích tứ diện S.ABC ?

6.3 ) Tính độ dài đường cao hình chóp hạ từ S ?

Hướng dẫn :

D H

E

C B

+ Sử dụng công thức trọng tâm G tam giác ABC để tìm toạ độ điểm C

+ Vận dụng công thức : SABC

1

; .

6

V  SA SB SC                

+ Từ

SABC

SABC ABC

ABC

3 1

. 3

V

V S SH SH

S

  

6.1 ) Tìm toạ độ điểm C tam giác ABC

Do G trọng tâm tam giác ABC nên :

G

G

G

3

3

3

ABC

ABC

ABC

xxx

x

yyy

y

zzz

z



















 

C C C

3

3 3 2;5;1

3

G A B

G A B

G A B

x x x x

y y y y C

z z z z

      

 

         

       



6.2 ) Tính thể tích tứ diện S.ABC ?

Ta có :

 

 

 

0; 5; 2; 1; 1;3; SA

SB SC

   



  

 

 







 ; 3; 0 5; 22; 6;10

1 5 2

SA SB      

 

     

   

 

                           

 

; 22.1 6.3 10 36

SA SB SC

 

                      

Vậy thể tích tứ diện SABC :

1 1

; . 36 6

6 6

SABC

V  SA SB SC                   

6.3 ) Tính độ dài đường cao hình chóp hạ từ S ?

Gọi SH đường cao hình chóp hạ từ S Khi :

1

SABC

SABC ABC

ABC V

V S SH SH

S

  

Mà

 

   

2;4; 2 2

; ; ; 12;0;12

8 1 1

1;8; AB

AB AC AC

      

  

  

    

 

 

  





  

2 2 1

; 12 12 12 ; 12

2

ABC

AB AC S AB AC

   

                                        

Vậy

3 3.6 3 2

2 6 2

SABC ABC

V SH

S

  

Bài : Trong kg Oxyz , cho tứ diện ABCD với A2; 1;6 ,  B3; 1; ,   C5; 1;0 ,  D1;2;1

7.1 ) CMR : ABC tam giác vng C Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ?

S

H K

C

7.2 ) Tính thể tích tứ diện ABCD ?

Hướng dẫn :

+ Ta cần chứng minh : CACB               0 Áp dụng công thức :

S

S pr r

p

  

+ Áp dụng công thức :

1 ; ABCD

V  AB AC AD                             

7.1 ) * CMR : ABC tam giác vuông C

Ta có :

 

 

3;0;6

24 24

8;0; CA

CACB CA CB

CB

  



     



  

  

  

 ABC tam giác vuông C

* Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ?

Ta có :

25 100 5

9 36

2 64 16

AB

AB AC BC

AC p

BC

   

  

     

 

  



Do ABC tam giác vuông nên

1

.3 5.4 30

2

ABC

S  CACB  

Do bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC :

30

5 ABC

ABC S

S pr r

p

    

7.2 ) Tính thể tích tứ diện ABCD ?

Ta có :

 

 

 

5;0; 10 3;0;

1;3; AB

AC AD

   



 

 

  





 

 

   

0 10 10 5

; ; ; 0; 60;0

0 6 3

; 60.3 180

1

; 180 30

6

ABCD AB AC AB AC AD

V AB AC AD

     

 

     

 

 

 

        

 

     

                           

  

  

Vậy thể tích tứ diện ABCD : VABCD 30

MẶT PHẲNG – MẶT CẦU Bài : Cho tam giác ABC có A1;2;3 , B2; 4;3 ,  C4;5;6

8.3 ) Viết phương trình mp qua D1;2; 3  song song với mp ( ABC ) 8.4 ) Viết phương trình mp trung trực đoạn thẳng AB ?

Hướng dẫn :

+ Áp dụng công thức :

1

; 2

ABC

S  AB AC               

+ Tìm cặp VTCP suy VTPT viết phương trình mp ( ABC ) + Sử dụng tính chất hai mp song song VTPT

+ Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua trung điểm của đoạn AB vuông góc với AB nên nhận AB làm VTPT

8.1 ) Tính diện tích tam giác ABC ?

Ta có :

 

   

3; 6;0

; 18; 9;39

5;3;3 AB

AB AC AC

  

  

   

  

  



  

 2  2

1

; 18 39 214

2 2

ABC

S AB AC

                       

8.2 )Viết phương trình mp ( ABC ) ?

Mp ( ABC ) qua A1;2;3 nhận nABC AB AC;    18; 9;39 

                                         

làm VTPT có phương trình

     

18 x y 39 z 18x 9y 39z 117

            

Hay 6x3y13z39 0

8.3 )Viết phương trình mp qua D( 1;2; – ) song song với mp ( ABC )

Gọi ( P ) mp cần tìm

Do P  ABC nên mp ( P ) nhận nABC   18; 9;39 



làm VTPT

Do phương trình mp ( P ) qua D1;2; 3  có VTPT nABC   18; 9;39 



có phườn trình

     

18 x y 39 z 18x 9y 39z 153

            

Hay 6x3y 13z 51 0

8.4 )Viết phương trình mp trung trực đoạn thẳng AB ? Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Khi :

1

2 2

2

1 ; 1;3

2 2

3 3

2

A B

I

A B

I

A B

I

x x

x

y y

y I

z z

z

  



  

 

    

    

  

 



  

  

Do mp trung trực đoạn thẳng AB qua

1 ; 1;3

I   

  nhận AB 3; 6;0 



làm VTPT nên có

phương trình :  

1

3

2

x y x y

 

       

 

 

Bài : Viết phương trình tổng quát mp  α trường hợp sau :

9.1 ) Mp α qua P3;1; ,  Q2; 1;4  vuông góc với mp  β : 2x y 3z 0

9.2 ) Mp α qua M 2; 1;2  , song song với Oy vng góc với mp  γ : 2x y 3z 4

9.3 ) Mp α qua N2;1;3 vng góc với hai mp P: 2x y z   0  Q : 3x y z   2

9.4 ) Mp α qua A1;2;1 chứa trục Ox

9.5 ) Mp α qua B2;1;3 chứa trục Oy

9.6 ) Mp α qua C1;3; 2  chứa trục Oz

Hướng dẫn : Tìm cặp VTCP suy VTPT viết phương

trình mp  α

9.1 ) Ta có mp α qua P3;1; 1  nhận

 

 

β

1; 2;5

2; 1;3

PQ n

   

 

 

 





làm cặp VTCP VTPT mp  α nα PQ n; β   1;13;5

                                         

PTTQ mp  α :  x 313y15z1 0 x13y 5z 5

9.2 ) Ta có mp α qua M2; 1;2  nhận

 

 

γ

0;1;0

2; 1;3 i

n

 

 

 

 

 

làm cặp VTCP VTPT mp  α nα i n; γ 3;0; 2 

  

PTTQ mp  α : 3x 20y1 2z 2 0 3x 2z 0

9.3 ) Ta có mp α qua N2;1;3 nhận

 

 

2; 1;1 3;1; P

Q n n

  

 

 

   

làm cặp VTCP VTPT mp  α nα n nP; Q 0;5;5

  

PTTQ mp  α : 0x25y15z 3  0 5y5z 20 0 y z  0

9.4 ) Ta có mp α qua A1;2;1 nhận

 

 

1;2;1

1;0;0

OA i

 

 

   



làm cặp VTCP VTPT mp  α nα i OA;  0;1; 2 

  

PTTQ mp  α : 0x 1y 2 2z 1 0 y 2z0

9.5 ) Ta có mp α qua B2;1;3 nhận

 

 

2;1;3

0;1;0

OB j

  

 

   



làm cặp VTCP VTPT mp  α nα j OB;    3;0; 2 

PTTQ mp  α : 3x20y1 2z 3  0 3x2z0

9.6 ) Ta có mp α qua C1;3; 2  nhận

 

 

1;3;

0;0;1

OC k

  

 

  





làm cặp VTCP VTPT mp  α nα k OC;  3; 1;0 

                                         

PTTQ mp  α : 3x1 y 30z2  0 3x y 0

Bài 10 : Cho mặt phẳng P x: 2y z  4 ;  Q : 3x y 2z1 ;  R: 2x y 2z 0 10.1 ) CMR : ( P ) cắt ( Q ) theo giao tuyến đường thẳng d

10.2 ) Viết phương trình mặt phẳng  α qua M1;1;1 giao tuyến d ?

10.3 ) Viết phương trình mặt phẳng  β qua giao tuyến d vng góc với mp ( R ) ?

Hướng dẫn :

+ Ta chứng minh : n P kn Q + Sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng

10.1 ) Ta có :

 

 

1;2; 3; 1;2

  



 



 

 



 

P P Q

Q n

n kn

n  ( P ) cắt (Q ) theo giao tuyến đường thẳng d ( đpcm )

10.2 ) Do  α qua giao tuyến d hai mp ( P ) ( Q ) nên phương trình mp  α có dạng :

 α :m x 2y z 4n x y3  2z1 0 m2n2 0

Theo giả thiết : M1;1;1α : 1 4m    3 1n    0   6m3n0

2  n m

Chọn m 1 n2

Vậy phương trình mp  α : 5x 4y5z 0

10.3 ) Do  β qua giao tuyến d hai mp ( P ) ( Q ) nên phương trình mp  β có dạng :

 β :m x 2y z 4n x y3  2z10 m2n2 0

 β :m3n x 2m n y    m2n z 4m n 0 β  3 ;2  ; 2 



n m n m n m n

Mặt khác , R 2;1;2

 n

Theo giả thiết :  β    β   β 0

   

R R

R n n n n  2m3n2m n 2m2n 0

9

2

2  m n  m n

Chọn n 2 m9

Vậy phương trình mp  β : 3x20y13z38 0

Bài 11 : Viết phương trình mặt phẳng ( P ) trường hợp sau :

11.2 ) Qua giao tuyến hai mp  φ : 31 x y z   ; φ :  2 x4y 0 đồng thời vng góc với

mp φ : 23 x y  7 0 ?

Hướng dẫn : Sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng

11.1 ) Do ( P ) qua giao tuyến d hai mp  α  β ( Q ) nên phương trình mp ( P ) có dạng :

 P :m x y z    4n x y z3    10 m2n2 0

Theo giả thiết : M2;1; 1  P :m2 1 4   n3.2 1 1      0 4m3n0

3  m n

Chọn n 4 m3

Vậy phương trình mp P :15x 7y7z 16 0

11.2 ) Do ( P ) qua giao tuyến d’ hai mp   φ ; φ1 2 nên phương trình mp ( P ) có dạng :

P p x:  4y 5q x y z3    2 0 p2q2 0

P:p3q x 4p q y qz    5p 2q 0 n P p3 ;4q p q q ; 

Mặt khác , φ3 2; 1;0 



n

Theo giả thiết :   φ3   φ3  . φ3 0

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

P P

P n n n n

   

2 0

2

          

p q p q q p q p q

Chọn q 2 p7

Vậy phương trình mp P x:  22y2z21 0

Bài 12 : Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) trường hợp sau :

12.1 ) Qua M1;2;1 chứa trục Ox

12.2 ) Qua N2;1;3 chứa trục Oy

12.3 ) Qua P1;3; 2  chứa trục Oz

Hướng dẫn :.

+ Có cặp VTCP tương ứng :

; ;

OM ON OP

i j k

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

12.1 ) Do ( Q ) qua M1;2;1 chứa trục Ox nên có cặp VTCP :

 

 

1;2;1

1;0;0

OM i

 

 

 

 



 VTPT mp ( Q ) : n Q         OM i       ;  0;1; 2 

 PTTQ mp ( Q ) : 0x 1 y 2 z 1  0 y 2z0

12.2 ) Do ( Q ) qua N2;1;3 chứa trục Oy nên có cặp VTCP :

 

 

2;1;3

0;1;0

ON j

  

 

   

 VTPT mp ( Q ) : nQ ON j;    3;0; 2 

  

 PTTQ mp ( Q ) : 3x20y1 2z 3   0 3x 2z 0 3x2z0

12.3 ) Do ( Q ) qua P1;3; 2  chứa trục Oz nên có cặp VTCP :

 

 

1;3;

0;0;1

OP k

  

 

   



 VTPT mp ( Q ) : nQ OP k;  3; 1;0 

  

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 13 : Viết phương trình tham số , phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau : 13.1 ) Qua A1;2;1 có VTCP u2; 3; 1  



? 13.2 ) Qua hai điểm B2;3; ,  C3;1;4 ?

13.3 ) Qua D2;1;4 vng góc với mp ( P ) : x y  7z 2 ?

13.4 ) Qua E2;3; 5  song song với đường thẳng

Δ :

1 10

x t

y t

z t

 

 

 

  

 ?

Hướng dẫn :

+ Tìm điểm M x y z M; M; M  toạ độ VTCP ua b c; ; 



+ Áp dụng công thức :

 

:

:

M M M

M M M

x x at

PTTS y y bt t

z z ct

x x y y z z

PTCT

a b c

   

 

  

 

 

   



  

  

 

R

13.1 ) Qua A1;2;1 có VTCP u2; 3; 1  



?

 Phương trình tham số đường thẳng d :

 

1 2 A

A A

x x at x t

y y bt y t t

z t

z z ct

   

 

 

      





    

 

R

 Phương trình tắc đường thẳng d :

1

2

x y z

 

 

13.2 ) Qua hai điểm B2;3; ,  C3;1;4 ?

Đường thẳng d qua hai điểm B2;3; ,  C3;1;4 nên nhận BC 1; 2;5 



làm VTCP Do :

 Phương trình tham số đường thẳng d :

 

1

x t

y t t

z t

 

 

  



   

R

 Phương trình tắc đường thẳng d :

2

1

x y z

 



13.3 ) Qua D2;1;4 vng góc với mp ( P ) : x y  7z 2 ?

Ta có VTPT mp ( P ) : nP 1;1; 7 



Do dP nên đường thẳng d qua D2;1;4 nhận nP 1;1; 7 



 Phương trình tham số đường thẳng d :

 

2

4

x t

y t t

z t

  



  

    

R

 Phương trình tắc đường thẳng d :

2

1

x y z

 



13.4 ) Qua E2;3; 5  song song với đường thẳng

3

Δ :

3

x y z

x y z

   

 

   

 ?

Ta có đường thẳng Δ giao tuyến hai mp ( P ) ( Q ) với

 

 

3; 1;2 1;3; P

Q n n

  

 

 

 





nên VTCP đường thẳng Δ : uΔ n nP; Q   4;8;10 

                           

Do dΔ d nhận uΔ n nP; Q   4;8;10  

làm VTCP Do :

 Phương trình tham số đường thẳng d :

 

5 10

x t

y t t

z t

 

 

  



   

R

 Phương trình tắc đường thẳng d :

2

4 10

x y z

 



Bài 14 : Viết phương trình đường thẳng d biết :

14.1 ) d qua A2;3;1 cắt hai đường thẳng

 

1

2

Δ :

1

x t

y t t

z t

  



  

    

R

4

Δ :

3

x y z

 

?

14.2 ) d qua B0;1;1 vng góc cắt đường thẳng

Δ :

4

x t

y t

z t

   

  

   

 ?

Hướng dẫn :

14.1 ) Gọi d đường thẳng cần tìm

Gọi

1

1

Δ Δ

M d

N d

  

 



 Do

 

 

1 1

1

Δ ;1 ;1

Δ ';1 '; '

M M t t t

N N t t t

     

 

      





Khi điểm A , M1 , N1 thẳng hàng

1 , , '

AM kAN k t t

     toạ độ điểm M1 , N1 Đường thẳng d cần tìm :

 

1

2;3;1

:

VTCP qua A d

M N 

   



Gọi M2  d Δ Khi 2

1

Δ ; ;

4

M   M  t  t  t

  nên VTCP của

d BM2

 .

Mặt khác , dΔ nên BM2 uΔ  BM u2 Δ  0 M2

   

Đường thẳng d cần tìm :

 

2

0;1;1

:

VTCP qua B d

BM 

   



14.1 ) Ta có :

 Đường thẳng Δ1 qua M(2;1;1) có VTCP : uΔ11; 2;3 



 Đường thẳng Δ2 qua N4;1; 2  có VTCP : uΔ23;1;3



Gọi d đường thẳng cần tìm gọi

1

1

Δ Δ

M d

N d

  

 

 

Do

 

 

1 1

1

Δ ;1 ;1

Δ ';1 '; '

M M t t t

N N t t t

     

 

      





Khi điểm A , M1 , N1 nằm đường thẳng d nên

thẳng hàng  AM1kAN1

 

( * )

Do

 

 

1

; 2 ;3

6 '; '; 3 '

AM t t t

AN t t t

   

 

      

   

Nên

 

   

   

   

'

* 2 '

3 '

t k t

t k t

t k t

   



      

  



Lấy (3) chia (1) vế với vế ta

5 '

2

t 

thay vào (1) (2) ta :

 

 

3

2

2

2

t k

t k



 

 

  

 

Thay (4) vào (5) ta :

1

2 2

3

t t t t

      

Khi

 

1

1 1

6 19 11

; ;

33 11 99 11

7 7 ; ; 3;1;9

14 14 14 14

5 7 11

' ; ;

2 2

t M

M N

t N

  

    



    

  



 

 

    

  





Vậy đường thẳng cần tìm

 

 

2;3;1

:

VTCP 3;1;9

qua A d

u 

 

 





có PTTS :

 

2

:

1

x t

d y t t

z t

  



  

    

R

N1 M1

2 A

N M 1

14.2 ) Đường thẳng Δ qua

1 0; ;0

4

I  

  có VTCP uΔ 4; 1; 4  



Gọi d đường thẳng cần tìm

 Gọi M2  d Δ Khi

2 Δ ;1 ;

4

M   M  t  t  t

 

nên d có VTCP

3

4 ; ;

4

BM  t   t  t 

 



 Mặt khác , dΔ nên BM2 uΔ  BM u2 Δ 0

    16 4 4 1 0

4

t  t t

       

 

2

3 19 19 19 52 19

33 ; ;

4 132 33 132 33

t t M  

        

 

 

2 19; 20; 14 19;20;14

33 33 33 33

BM  

     

 



 Đường thẳng d qua B(0;1;1) có VTCP ud 19;20;14



có PTTS :

 

19 20 14

x t

y t t

z t

  

  

    

R

Bài 15 : Cho hai đường thẳng

 

1

Δ :

x t

y t t

z t

 

 

  



   

R

7

Δ :

3 2

x y z

 



15.1 ) CMR Δ ;Δ1 2 thuộc mp ( P )

15.2 ) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) ?

Hướng dẫn :

+ Ta chứng minh uΔ1 ; uΔ2 ; M M1 2

 

 

đồng phẳng , tức ta CM :

Δ1; Δ2 1 2

u u M M

  

 

  

+ MP ( P ) chứa đường thẳng Δ ;Δ1 2 nên có cặp VTCP là

 

 

Δ1 Δ2

2; 3;4 3;2; u

u

  

 

 

   

15.1 ) Ta có :

 Đường thẳng Δ1 qua M11; 2;5  có VTCP : uΔ12; 3;4 



 Đường thẳng Δ2 qua M27;2;1 có VTCP : uΔ2 3;2; 2 



Ta có :

 

 

Δ1 Δ2

Δ1 Δ2 1 2

; 2;16;13

; 12 64 52

6;4; u u

u u M M

M M

   

   

    

  

 

 

 

  

 uΔ1 ; uΔ2 ; M M1

  

đồng phẳng hay Δ ;Δ1 2 thuộc mp ( P )

15.2 ) Theo câu 15.1 , ta có mp ( P ) chứa đường thẳng Δ ;Δ1 2 nên có cặp VTCP :

 

 

Δ1 Δ2

2; 3;4 3;2; u

u

  

 

 

   

nên có VTPT : nP uΔ1 ; uΔ2   2;16;13

  

mp ( P ) qua M11; 2;5  có PTTQ : 2x1 16 y213z 5 0

2x 16y 13z 31 2x 16y 13z 31

          

Bài 16 :Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng

1

1:

x t

d y t

z t

   

     

'

2 : '

'

x t

d y t

z t

  

  

  

16.1 ) CMRd d1; 2 chéo

16.2 ) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 ?

16.3 ) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d2 ?

16.1 )CMRd d1; 2 chéo

Ta có :

Đường thẳng d1 qua M1;0;0 có VTCP ud1  1;1; 1  

Đường thẳng d2 qua N0; 1;0  có VTCP ud2 2;1;1 

Khi :

 

 

1

1

; 2; 1;

; 1 1; 1;0

d d

d d

u u

u u MN

MN

    

   

     

  

   



 

 

 



 d1 d2 chéo

16.2 )Viết phương trình đường vng góc chung d1 d2 ? Gọi d đường vng góc chung d1 d2

Gọi

1

1

M d d

N d d

  

 



 Khi :

 

 

1 1

1

1 ; ;

2 '; '; '

M d M t t t

N d N t t t

    

 

   

 

 

1 ' 1; ' 1; '

M N t t t t t t

       

Do d đường vng góc chung d1 d2 nên

1

1 1 1

2 1 1 1 1

d d

d d

d d M N u M N u

d d M N u M N u

 

  

  

 

  

  

  

   

   

     

     

2 ' ' '

2 ' ' '

t t t t t t

t t t t t t

        

 

       



2 '

6 '

t t

t t

  

  

  



 

1

1 1

3 10 3

; ;

1

7 7 ; ; 2; 1; 3

7 14 14 14

9 9

' ; ;

14 14 14

t M

M N

t N

  

    



    

       

 

 

     

  





N1 M1

N M d

 d cần tìm qua

10 3

; ;

7 7

M   

  có VTCP ud 2; 1; 3  



có PTTS :

10

7

7

x t

y t

z t



 

  

  

 

 

 

16.3 )Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d2 ? Cách :

 

1

; 14

1;

14 14 ;

d d

d d

u u MN

d d d

u u

 

 

  

 

 

 

 

 

Cách :

 1; 2 1 1 14

14

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 17 : Cho đường thẳng

 

Δ :

4 x

y t t

z t

  

  



   

R

mặt cầu ( S ) :    

2 2

2 26

x  y z  .

17.1 ) Xác định toạ độ tâm I bán kính r mặt cầu ( S ) ?

17.2 ) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng Δ với mặt cầu ( S ) ?

17.3 ) Lập phương trình tiếp diện ( S ) giao điểm vừa tìm ?

Hướng dẫn :

+ Tìm toạ độ tâm I bán kính r

+ Giải hệ gồm : phương trình đường thẳng phương trình mặt cầu

+ Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu giao điểm M nên nhận IM làm VTPT

17.1 ) Ta có : mặt cầu ( S ) có tâm I 2;1;0 bán kính r  26

17.2 ) Toạ độ giao điểm đường thẳng Δ mặt cầu ( S ) nghiệm hệ phương trình :

 2  2

(1) (2) (3)

2 26 (4)

x

y t

z t

x y z

 

  



   

     



Thay ( ) , ( ) , ( ) vào ( ) ta : 321 5 t2   5t2 26

2

50 50 26 26

1 t

t t t t

t  

        

 

 t = :

 

1

2 1;2;

4 x

y A

z   

  

   

 t = :

 

1

3 1; 3;1

1 x

y B

z   

  

   

17.3 ) + Gọi ( P ) tiếp diện mặt cầu ( S ) A1;2; 4  Khi mp ( P ) qua A1;2; 4  nhận IA3;1; 4 



làm VTPT

PTTQ mp ( P ) : 3x 1 y 4 z4  0 3x y  4z 21 0

+ Gọi ( Q ) tiếp diện mặt cầu ( S ) B1; 3;1 

Khi mp ( Q ) qua B1; 3;1  nhận IB 3; 4;1 



làm VTPT

Bài 18 : Trong kg Oxyz cho điểm A6; 2;3 ,  B0;1;6 , C2;0; ,  D4;1;0 18.1 ) Chứng minh điểm A,B,C,D không đồng phẳng

18.2 ) Tính thể tích tứ diện ABCD ?

18.3 ) Viết phương trình mặt phẳng ( BCD ) ?

18.4 ) Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm A tiếp xúc với mp ( BCD ) ? 18.5 ) Viết phương trình mặt cầu ( T ) ngoại tiếp tứ diện ABCD ?

18.1 ) Ta có :

 

 

 

6;3;3 4;2; 2;3; AB

AC AD

  



  

 

  

   

 

; 18; 36;0 ; 36 108 72

AB AC AB AC AD

   

                                           điểm A , B , C , D không đồng phẳng ( đpcm )

18.2 ) Thể tích tứ diện ABCD :

1

; 72 12

6

ABCD

V    AB AC AD                 

18.3 ) Mp ( BCD ) qua điểm B, C, D nên nhận

 

 

2; 1; 4;0; BC

BD

   

 

 

   

làm cặp VTCP

 

; 6; 16;4

BCD

n BC BD

    

  

VTPT mp ( BCD )

 PTTQ mp ( BCD ) : 6x 016y14z 6  0 6x16y4z 0 Hay BCD: 3x 8y2z 0

18.4 ) Do mặt cầu ( S ) có tâm A6; 2;3  tiếp xúc với mp ( BCD ) nên khoảng cách từ A đến

mp(BCD) bán kính , tức :

 

 

 2

2

3 36

;

77

3

A A A

x y z

d A BCD     

  

Phương trình mặt cầu ( S ) :

     

2

2 2 36 1296

6

77 77

x  y  z  

18.5 ) Gọi I a b c ; ;  tâm mặt cầu ( T ) ngoại tiếp tứ diện ABCD

Khi :

         

         

         

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

6

6

6

a b c a b c

IA IB

IA IB

IA IC IA IC a b c a b c

IA ID IA ID a b c a b c



           



 

 





              



 

 



            

2 2

2 11

2 3 16

a b c a

a b c b

a b c c

   

 

 

       

     

 

 Vậy phương trình mặt cầu ( T ) có tâm I 2; 1;3  , bán kính r IA  17 có phương trình      

2 2

2 17

x  y  z 

Bài 19 : Trong kg Oxyz cho đường thẳng d :

12

4

x y z

 

19.1 ) CMR đường thẳng d cắt mp  α tìm toạ độ giao điểm chúng 19.2 ) Viết phương trình mp  β qua M1;2; 1  vng góc với d ?

Ta có : + đường thẳng d qua A12;9;1 có VTCP ud 4;3;1 

+ mp  α có VTPT nα 3;5; 1 



19.1 ) + Chứng minh đường thẳng d cắt mp  α :

Ta có : n u α. d4.3 3.5 1    26 0  d cắt mp α + Toạ độ giao điểm đường thẳng d mp  α :

Phương trình tham số đường thẳng d :

 

12

x t

y t t

z t

 

 

  

    

R

Toạ độ giao điểm đường thẳng d mp  α nghiệm hệ :

12

3

x t

y t

z t

x y z

 



   

   

    



     

0

3 12 26 78

2 x

t t t t t y

z   

               

    đường thẳng d cắt mp  α N0;0; 2 

19.2 )Viết phương trình mp  β qua M1;2; 1  vng góc với d ? Do  β d nên mp β nhận ud 4;3;1



làm VTPT

PTTQ mp  β : 4x 13y 2   z 0β : 4  3x y z 9 

Bài 20 : Trong kg Oxyz, cho đường thẳng d :

 

3

1

x t

y t t

z   



  

   

R

'

' : 2 '

6 '

x t

d y t

z t

  

  

  



20.1 ) CMR : hai đường thẳng d d’ chéo 20.2 ) Tính khoảng cách hai đường thẳng d d’ ? 20.3 ) Viết phương trình đường vng góc chung d d’ ?

Ta có : + đường thẳng d qua A3; 1;4  có VTCP ud 1;2;0 

+ đường thẳng d’ qua B0;2;6 có VTCP ud' 2;2;4 

Ta có :

 

 

 

'

3;3;2 1;2;0

2;2;4 d

d AB u u

  

   

 





  

   

' '

; 8; 4;

; 3.8 2 40

d d

d d

u u

u u AB

 

     

 

        

 

  

 d d’ chéo 20.2 )Tính khoảng cách hai đường thẳng d d’ :

Ta có :    

2

2 '

; 84 21

d d

u u

        

 

 

  '

'

; 40 20 20 21

; '

21

2 21 21

;

d d

d d

u u AB

d d d

u u

  

 

    

 

 

   

 

20.3 )Viết phương trình đường vng góc chung Δ d d’ ?

Gọi Δ đường vng góc chung d d’

Gọi

Δ 'Δ M d N d

  

 



 Khi :

 

 

3 ; ;4

' ';2 ';6 '

M d M t t

N d N t t t

     

 

   

 

2 ' 3;2 ' 3;4 ' 2

MN t t t t t

       

Do Δ đường vng góc chung d d’ nên ' '

Δ

Δ ' . 0

d d

d d

d MN u MN u

d MN u MN u

 

  

  

 

  

  

  

   

   

   

     

 

2 ' 2 ' '

24 '

2 ' 2 ' 4 '

2 23

; ;4

80 40 20 20

7 7 ; ; 4;2;1

21 21 21 21

11 11 31 104

' ; ;

42 21 21 21

t t t t t t

t t

t t t t t

t M

MN

t N

          

   

  

        



  

    



    

      

 

 

    

  





 Δcần tìm qua

23

; ;4

7

M  

  có VTCP uΔ   4;2;1 có PTTS :

23

7

2

x t

y t

z t



 

 

   



 

 Bài 21 : Trong kg Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 3x y 2z 0 M1;1; 1 

21.1 ) Tìm toạ độ hình chiếu M mp ( P ) ? 21.2 ) Tìm toạ độ M’ đối xứng với M qua mp ( P ) ?

21.1 )Tìm toạ độ hình chiếu M mp ( P ) :

Gọi d đường thẳng qua M vng góc với mp ( P ) Khi d nhận VTPT ( P ) nP 3; 1;2 



làm VTCP

N B A M d

PTTS d :

 

1 3

1

1 2

x t

y t t

z t

  



  



   

R

Gọi H hình chiếu M mp ( P ) nên toạ độ điểm H nghiệm hệ phương trình : 17

1 14

1 13 17 13

; ;

1 14 14 14

6

3

7 x

x t

y t

y H

z t

x y z z

    



   



  

      



    





    

 

 

21.2 )Tìm toạ độ M’ đối xứng với M qua mp ( P ) :

Do M’ đối xứng với M qua mp ( P ) nên H trung điểm MM’

Khi :

'

' '

' '

'

10 2

7 2

6 10 6 5

2 ' ; ;

2 7 7 7 7

5 2

2 7

M M

M H M

H

M M

H M H M

M M

H M H M

x x x x x

x

y y

y y y y M

z z

z z z z

 



  

 



 

    

      

   

 

 

  

   

 

 

Bài 22 : Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d :

13

1

x y z

 

 tiếp xúc với mặt cầu

 S x: 2y2z2 2x 4y 6z 67 0

+ Mặt cầu ( S ) có tâm I 1;2;3 bán kính r 9

+ PTTQ đường thẳng d :

13

4 52

1

1 4

1

x z

x z

y z y z

 



    

 



 

    

 

 

Do mp ( P ) chứa đường thẳng d nên PTTQ mp ( P ) : m x z4   52n y z4  40

 

4mx 4ny m n z 52m 4n

      

Mặt khác , mp ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) nên d I P ;  r

 

     

 

2 2 2

2

2 2

4 52 45

9

17 17

4

5 17 17 17 17

m n m n m n m n

m n mn

m n m n

m n m n mn m n m n mn

      

   

 

  

           

2 2

8m 16n 8mn m mn 2n

       

Chọn

2

1

1 m

n m m

m  

      

 

 Khi m = – ; n = : P: 4 x4y 2z56 0  P: 2x 2y z  28 0 Bài 23 : Trong kg Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x2y z  1 M5;2; 3 

23.1 ) Tìm toạ độ hình chiếu M’ M mp ( P ) ? Tính độ dài đoạn MM’ ? 23.2 ) Tìm toạ độ M” đối xứng với M qua mp ( P ) ?

23.3 ) Viết phương trình mp ( Q ) qua điểm M chứa đường thẳng d :

1

2

x y z

 

 ? 23.1 )Tìm toạ độ hình chiếu M’ M mp ( P ) :

Gọi d đường thẳng qua M vng góc với mp ( P ) Khi d nhận VTPT ( P )

2;2; 1

P

n   làm VTCP

PTTS d :

 

5 2

3

x t

y t t

z t

  



  



   

R

Toạ độ điểm M’ nghiệm hệ :

 

5

1 2

2 ' 1; 2;

3

1

2

x t

x

y t

y M

z t

z

x y z

  

    

 

     



  

 



    



Độ dài đoạn thẳng MM’ : MM ' 1 5 2   22   32 6 23.2 )Tìm toạ độ M” đối xứng với M qua mp ( P ) :

Do M” đối xứng với M qua mp ( P ) nên M’ trung điểm đoạn MM”

Khi :

   

 

'' '

'' ' ''

' '' '

'' ' ''

'

2 2 2.1 5 3

2 2 '' 3; 6;1

2

2

2

M M

M

M M M

M M

M M M M

M M M

M M

M

x x

x

x x x

y y

y y y y M

z z z

z z

z

 

 

    

 

  

          

 

 

     



 

  

23.3 ) Viết ptrình mp ( Q ) qua điểm M5;2; 3  chứa đường thẳng d :

1

2

x y z

 

  Đường thẳng d qua N1;1;5 có VTCP : ud2;2; 6 



 Từ giả thiết  mp ( Q ) nhận

 

 

2;2;

4; 1;8 d

u MN

  

 

   

 



làm cặp VTCP  VTPT mp ( Q ) : nQ u MNd;    10; 8; 6  

                                         

 PTTQ mp ( Q ) :  Q : 10 x 5 8y 2 6z3 0  Q : 5x 4y 3z 24

Bài 24 : Trong kg Oxyz, cho mặt cầu        

2 2

: 100

S x  y  z   α : 2x 2y z  9 0

24.1 ) CMR : mp  α cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn ( C ) 24.2 ) Xác định toạ độ tâm H tính bán kính đường trịn ( C ) ?

24.1 ) CMR : mp  α cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn ( C ) Mặt cầu ( S ) có tâm I 3; 2;1  bán kính r 10

Ta có :

 

 

   

 

2

2

2 2.3 2

;α 10

3

2

I I I

x y z

d I            r

   

 mp  α cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường tròn ( C ) 24.2 ) Xác định toạ độ tâm H tính bán kính đường tròn ( C ) ?

PTTS đường thẳng d qua I vng góc với  α :

 

2

x t

y t t

z t

 

 

  



   

R

Toạ độ tâm H đường tròn ( C ) nghiệm hệ :

2

2

x t

y t

z t

x y z

 



   



 



    



       

1

2 2 2 2 1;2;3

3 x

t t t t y H

z   

               

   Bán kính đường tròn ( C ) đoạn HK :

Ta có :   

2

2 2 ;α 10 6 64 8

HK IK  IH r  d I     HK 

III Củng cố nội dung :

Qua học , học sinh cần nắm :

 Xác định toạ độ véctơ – toạ độ điểm thỏa đkđb

 Viết phương trình mặt phẳng – phương trình đường thẳng – Phương trình mặt cầu

 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng ; đường thẳng mặt phẳng  Giải tập :

Trong kg Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2

x y z

d     

2

:

2

x y z

d    

 a ) CMR : đường thẳng d1 d2 chéo

b ) Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 ? c ) Viết phương trình mp (P) chứa d1 song song với d2 ?

IV Dặn dò :

Xem lại nội dung học V Rút kinh nghiệm sau tiết dạy :

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… VI Chuẩn bị học sinh :