Phương pháp giải một hệ phương trình tuyến tính bất kỳ bằng cách khử dần các ẩn số để đưa về dạng tam giác hoặc dạng hình thang được gọi là phương pháp khử ẩn liên tiếp, hay ph[r]
(1)ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ
(2)ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN
Th.S Trần Hà Lan
GIÁO TRÌNH
TỐN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ
(3)LỜI NĨI ĐẦU
Tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực đời sống, xã hội Các toán kinh tế, kế toán, toán khoa học kỹ thuật, giải nhằm phục vụ lợi ích người Tốn học đóng vai trị quan trọng việc diễn tả quy luật kinh tế Trên giới toán học ứng dụng nghiên cứu kinh tế ngày nhiều Một ngành học hình thành dựa kết hợp hai ngành toán học kinh tế học: Ngành kinh tế tốn Chính lý đó, sinh viên trường kinh tế địi hỏi phải biết kiến thức tốn ngày nhiều phải biết sử dụng kiến thức để phân tích kinh tế, phân tích tình nghiên cứu kinh tế
Để kịp thời phục vụ việc học tập sinh viên, Khoa sở - Trường Đại học Kinh tế Nghệ An tổ chức biên soạn giáo trình Tốn cao cấp Đây giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng hệ Đại học, dựa vào chương trình giảng dạy môn Khoa học tự nhiên – Khoa sở lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ hệ đào tạo Trong giáo trình này, chúng tơi cố gắng trình bày kiến thức tốn thật đơn giản khơng phá vỡ tính liên tục, tính hệ thống chúng Những khái niệm Toán học bản, phương pháp bản, kết chương trình bày đầy đủ Một số định lý khơng chứng minh, ý nghĩa định lý quan trọng giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa đưa
(4)Chương 7: Không gian vectơ Chương 8: Ma trận định thức
Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính
Chương trình bày tóm tắt nội dung bao qt, thuộc tảng tốn học nói chung: tập hợp, khái niệm phép tốn hai ngơi tập hợp, khái niệm ánh xạ
Chương trình bày khái niệm hàm số giới hạn, có nói đến việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ biến số kinh tế
Chương 3, chương có số kiến thức đề cập bậc phổ thông, kiến thức trình bày cách xác có mở rộng Những kiến thức trình bày gọn kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ dàng lĩnh hội Một vài ví dụ thực tế giới thiệu, qua sinh viên thấy việc cần thiết phải nắm kiến thức chương nhằm phục vụ cho việc học tập nghiên cứu môn học chuyên ngành
Chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thông Tên chương “ Hàm số nhiều biến số ” nội dung chương đề cập đến hàm số hai biến số
Chương chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp Mỗi dạng phương trình nêu có ví dụ minh họa để sinh viên biết cách giải nhận dạng phương trình
Chương trình bày số khái niệm khơng gian vectơ
Chương 8, chương trình bày kiến thức khái niệm nêu tên chương Các chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thơng nên trình bày kỹ, sau mục có ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm kiến thức tạo lập kỹ vận dụng kiến thức để làm tập
Cuốn giáo trình biên soạn thời gian ngắn, chắn cịn nhiều sai sót Rất mong góp ý bạn đọc để sách ngày hoàn thiện
(5)CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ
1.1 Tập hợp
1.1.1 Các khái niệm 1.1.1.1 Tập hợp phần tử
Thuật ngữ “Tập hợp” dùng rộng rãi toán học Chúng ta thường nói tập hợp số nguyên, tập hợp điểm mặt phẳng, tập hợp nghiệm phương trình, tập hợp học sinh lớp học Tập hợp khái niệm toán học, dùng làm sở cho khái niệm khác thân khơng định nghĩa qua khái niệm đơn giản
Khi nói tập hợp ta đối tượng có tính chất Chẳng hạn nói tập hợp số tự nhiên, đối tượng tập hợp số tự nhiên; nói tập hợp học sinh lớp học, đối tượng tập hợp học sinh lớp học
Các đối tượng tập hợp cho gọi phần tử tập hợp Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp chữ in hoa A, B, C ký hiệu phần tử chữ in thường a, b, c Để nói a phần tử tập hợp A ta dùng ký hiệu: a A (đọc là: “ a thuộc A ”)
Ngược lại a phần tử tập hợp A viết: a A (đọc là “ a không thuộc A ”)
Ví dụ 1.1: Ở chương trình phổ thơng ta biết tập hợp sau: Tập hợp số tự nhiên;
Tập hợp số nguyên; Tập hợp số hữu tỉ; Tập hợp số thực
Cho tập hợp A nghĩa xác định tất phần tử Có hai cách cho tập hợp:
Cách 1: Cho tập hợp cách liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ 1.2:
+) Nếu A tập hợp số nguyên dương nhỏ ta viết: A = {1; 2; 3; 4; 5}
+) Có thể liệt kê phần tử tập hợp số tự nhiên tập số nguyên sau:
(6) = { 0; 1; 2; 3 }
Cách 2: Cho tập hợp cách tính chất phần tử
Nếu P(x) mệnh đề tính chất x A tập hợp phần tử x có tính chất P(x) ta viết:
( )
A x p x Ví dụ 1.3:
+) Nếu A tập hợp tất số nguyên chẵn ta viết:
n Z
A n ch½n +) Có thể mơ tả tập hợp số hữu tỉ sau:
, ;
p
p q Z q q
Nếu A tập hợp hữu hạn, tức liệt kê tất phần tử ta ký hiệu A số phần tử tập hợp A
1.1.1.2 Tập rỗng
Tập A gọi tập rỗng khơng chứa phần tử
Có tập rỗng ký hiệu Như || = Viết A (đọc A khơng rỗng) nghĩa A chứa phần tử 1.1.1.3 Tập đẳng thức tập hợp
+) Giả sử cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử của B ta nói A tập B, ký hiệu A B (đọc A B) B A (đọc B chứa A)
+) Hai tập hợp A B gọi A B B A, ký hiệu A = B
+) Nếu tập hợp A khơng tập hợp B ta viết A B
+) Tập A gọi tập thật tập hợp B A B A B
Quy ước: Tập hợp tập tập hợp 1.1.1.4 Biểu đồ Venn
(7)khép kín bên hình chữ nhật Cách minh họa ước lệ gọi Biếu đồ Venn
Ví dụ, biểu đồ Venn hình mơ tả hai tập hợp A, B, A tập B
1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.2.1 Phép hợp phép giao - Phép hợp
Hợp hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử tập hợp đó, ký hiệu A B
Như vậy:
A B ={x A x B} Ví dụ 1.4: Cho hai tập hợp số
A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {0; 1; 3; 5; 7} Khi đó:
A B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} - Phép giao
Giao hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp A B, ký hiệu A B
Như vậy:
A B ={x A x B} Ví dụ 1.5: Cho hai tập hợp số
A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = { 0; 1; 3; 5; 7} Khi đó:
A B = {0; 1; 3}
- Các tính chất phép hợp phép giao tập hợp +) Tính giao hốn
(8)+) Tính chất kết hợp
A (B C) = (A B) C; A (B C) = (A B) C +) Tính chất phân phối
A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) 1.1.2.2 Phép trừ tập hợp phần bù tập hợp - Hiệu hai tập hợp
Hiệu tập hợp A tập hợp B tập hợp gồm tất phần tử thuộc tập hợp A không thuộc tập hợp B, ký hiệu A\ B
Vậy:
A\ B = { x A x B }
Ví dụ 1.6: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; B = {0; 2; 4; 6; 8} Ta có: A\ B = { 1; 3; 5}
B \ A = { 6; 8} - Phần bù tập hợp
Cho tập hợp E A tập E, nghĩa A E Lúc E\ A gọi là phần bù A E, ký hiệu A
Nhận xét: A E; A= E \A = A
Ví dụ 1.7: Trong tập hợp tất số thực , tập hợp số vô tỉ phần bù tập hợp tất số hữu tỉ
Định lý (Định lý De Mocgan hay Nguyên lý đối ngẫu) Với A E; B E, ta có
;
AB AB AB AB Nghĩa là:
- Phần bù hợp tập hợp giao phần bù chúng - Phần bù giao tập hợp hợp phần bù chúng Chứng minh:
Ta chứng minh đẳng thức đầu đẳng thức sau tương tự Xét x E, ta có:
( ) ( ) ;
xAB x AB xA xB xA xB x AB
( ) ( ) ;
(9)AB AB 1.2 Quan hệ
1.2.1 Tích Descartes
- Tích Descartes tập hợp
Tích Descartes hai tập hợp X Y tập hợp tất cặp có thứ tự (x; y) x phần tử tập X y phần tử tập Y
Tích Descartes X Y gọi tắt tích X Y Ký hiệu tích hai tập hợp X Y X Y :
( ; ) ;
X Y x y xX y Y
Chú ý: Ký hiệu (x; y) cặp có thứ tự : x phần tử đứng trước, y phần tử đứng sau Với x y hai phần tử khác (x; y) (y; x) hai cặp có thứ tự khác Từ hai tập hợp X Y ta có hai tập tích X Y Y X
Ví dụ 1.8: Cho X = {1; 2}; Y = {3; x}
XY = {(1;3); (1;x); (2;3); (2;x)}; YX (3;1);(3;2);( ;1);( ;2)x x X X = {(1;1); (1;2); (2;1); (2;2)}
- Tích Descartes n tập hợp
Tích Descartes n tập hợp X1; X2;; Xn tập tất n phần tử
có thứ tự (x1; x2; ; xn) xk phần tử tập hợp Xk ( k = 1; 2; …; n), ký hiệu X1X2Xn
1 n ( ; ;1 ; )n k k; 1; X X X x x x x X k n
Tích đề X X X (n lần) viết gọn Xn
( ; ;1 ; ) ; 1;
n
n k
X X X X x x x x X k n 1.2.2 Quan hệ
1.2.2.1 Khái niệm quan hệ
(10)tập hợp X2 Ta đồng quan hệ tập hợp X với tập tập tích X2
Định nghĩa Quan hệ hai tập hợp X tập tập hợp X2 Ví dụ 1.9:
Trong tập hợp số thực , quan hệ “không lớn hơn” tập hợp:
( ; ) : x y x, y, x y
1.2.2.2 Quan hệ tương đương
Cho X2 quan hệ tập hợp X Nếu ( x; y) thì ta nói phần tử x có quan hệ với phần tử y viết xy
Định nghĩa Một quan hệ tập hợp X gọi quan hệ tương đương có tính chất sau:
- Tính phản xạ: xx, xX ( phần tử x tập hợp X có quan hệ với nó)
- Tính đối xứng : xy yx ( x có quan hệ với y y có quan hệ với x )
- Tính bắc cầu: Nếu xy yz xz (nếu x có quan hệ với y y có quan hệ với z x có quan hệ với z )
Ví dụ 1.10:
Quan hệ “ x đồng dạng với y ” quan hệ tương đương tập hợp tất tam giác
Quan hệ “ x bạn y ” tập hợp sinh viên trường đại học quan hệ tương đươngvì quan hệ khơng có tính bắc cầu 1.2.2.3 Quan hệ thứ tự:
Định nghĩa Một quan hệ tập hợp X gọi quan hệ thứ tự có tính chất sau:
- Tính phản xạ: xx, xX ( phần tử x tập hợp X có quan hệ với nó)
- Tính bắc cầu: Nếu xy yz xz (nếu x có quan hệ với y y có quan hệ với z x có quan hệ với z )
- Tính đối xứng: Nếu xy yx x = y (phần tử x trùng với phần tử y) Ví dụ 1.11:
(11)+) Quan hệ “ p chia hết cho q ” quan hệ thứ tự tập hợp tất số tự nhiên
1.2.3 Ánh xạ
1.2.3.1 Khái niệm ánh xạ
Cho X Y tập hợp khác rỗng
Định nghĩa Một ánh xạ f từ tập X vào tập hợp Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x tập X với phần tử y thuộc tập Y
Để nói f ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y, ta dùng ký hiệu: :
f X Y
Phần tử yY tương ứng với phần tử x X qua ánh xạ f gọi ảnh phần tử x Để nói y ảnh phần tử x qua ánh xạ f ta viết: y = f(x) Khi f: X Y
x y = f(x)
Tập hợp X gọi nguồn gọi miền xác định f Y gọi đích hay miền lấy giá trị f
Ví dụ 1.12:
+) Phép đặt tương ứng điểm M mặt phẳng P với hình chiếu vng góc N đường thẳng P ánh xạ từ P vào
Ánh xạ gọi phép chiếu vng góc Điểm N ảnh điểm M qua phép chiếu
+) f : xác định bởi: ( ) , n
f n n
n
ánh xạ xác định tập số tự nhiên nhận giá trị tập số hữu tỷ
1.2.3.2 Ảnh nghịch ảnh tập hợp Cho ánh xạ f: X Y
Định nghĩa Ảnh tập hợp A X qua ánh xạ f tập hợp ảnh tất cả phần tử xA
Ảnh tập hợp A ký hiệu f(A):
f(A) = {y Y tồn xA cho y = f(x)} M
(12)Ví dụ 1.13 : Cho f :[0;) x f(x) = x2
Khi ([ 1; 3]) f = [0; 9]; f([1; 2]) = [1; 4]; ([ 2; ]) f = [1; 4]
Định nghĩa Nghịch ảnh tập hợp B Y qua ánh xạ f tập hợp tất các phần tử X có ảnh thuộc tập B
Nghịch ảnh tập B ký hiệu f 1(B): f1(B) = {xX f(x)B}
Nghịch ảnh tập hợp phần tử BY gọi nghịch ảnh phần tử b ký hiệu f 1(b):
f 1(b) = {x X f(x) = b} Ví dụ 1.14: Với f ánh xạ cho ví dụ trên, ta có:
f 1(1) ={ 1; } ; f 1([1; 4]) = 2; 1 1; Sau số tính chất ảnh nghịch ảnh Định lý Với ánh xạ f: X Y ta ln có:
1 2
) f A( A ) (f A) f A( ); A A; X
;
1 1
1 2
) f (B B ) f (B) f (B ); B; B Y
;
1 1
1 2
) f ( B B ) f (B) f (B ); B B; Y
1.2.3.3 Đơn ánh, toàn ánh song ánh - Ánh xạ đơn ánh
Ánh xạ f :XY gọi đơn ánh, hai phần tử khác của tập X ln có ảnh khác nhau, nghĩa là:
1 ( )1 ( 2);
x x f x f x x1; x2 X
Nói cách khác, f đơn ánh nghịch ảnh phần tử y Y hoăc tập trống, có phần tử
1 2
( ( )f x f x( ) x x ; x x1, 2X) Ví dụ 1.15: Ánh xạ f :[0; π] đơn ánh
x ycosx
- Ánh xạ toàn ánh
Ánh xạ f X: Yđược gọi toàn ánh, ảnh tập hợp X toàn tập hợp Y: ( )f X Y
(13), : ( ) y Y x X f x y
Ví dụ 1.16: Ánh xạ f : [ 1;1] tồn ánh (nhưng khơng phải đơn ánh) x y cosx
- Ánh xạ song ánh
Ánh xạ f X: Y gọi song ánh vừa đơn ánh, vừa tồn ánh Ví dụ 1.17: Ánh xạ f : [0;1] [ 1;1] song ánh
x ycosx
1.2.4 Ánh xạ ngược
Định nghĩa Giả sử ánh xạ f X: Y song ánh Khi phần tử y Y có nghịch ảnh khơng rỗng (do f tồn ánh) nghịch ảnh một phần tử xX (do f đơn ánh) trường hợp ta có ánh xạ
1
:
f Y X đặt tương ứng phần tử y Y với phần tử x f1( )y ánh xạ
f gọi ánh xạ ngược song ánh f
(14)CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 2.1 Các khái niệm hàm số biến số
2.1.1 Biến số
2.1.1.1 Khái niệm biến số
Định nghĩa Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số X cho trước ( X ) Tập hợp X gọi miền biến thiên ( MBT ) số thực x0X gọi giá trị biến số
Từ biến số nhiều gọi tắt biến Các biến số thường ký hiệu chữ cái: x, y, z… Thông thường, người ta xét biến số mà MBT có hai số Một biến số nhận giá trị gọi số
Trong giải tích tốn học, ta thường xét biến số thay đổi giá trị cách liên tục, với MBT khoảng số Các khoảng số ký hiệu sau: Khoảng đóng ( đoạn ): [ ; ]a b { :x a x b}
Khoảng mở: ( ; )a b { : x a x b} Các khoảng nửa mở: [ ; ) a b { :x a x b}
( ; ] { : a b x a x b} Các khoảng vô hạn: (; ] b { :x xb}
(; ) b { :x xb} [ ;a ) { :x xa} ( ;a ) { :x xa} ( ; ) 2.1.1.2 Các biến số kinh tế
Trong lĩnh vực kinh tế, người ta thường quan tâm đến đại lượng như: giá cả, lượng cung, lượng cầu, doanh thu, chi phí, thu nhập quốc dân, tỷ lệ lạm phát, tỷ lệ thất nghiệp… Khi phân tích xu hướng thay đổi trị số đại lượng theo khơng gian, thời gian theo điều kiện khác nhau, nhà kinh tế xem chúng biến số Các biến số gọi biến số kinh tế
Trong tài liệu kinh tế, người ta thường ký hiệu biến số kinh tế chữ đầu từ tiếng Anh liên quan đến ý nghĩa biến số Sau số ký hiệu thường gặp:
(15)Qs: Lượng cung (Quantity Supplied); Qd: Lượng cầu (Quantity Demanded); U: Lợi ích (Utility );
TC: Tổng chi phí (Total Cost);
TR: Tổng doanh thu (Total Revenue); Y: Thu nhập quốc dân (National Income); C: Tiêu dùng (Consumption);
S: Tiết kiệm (Saving); I: Đầu tư (Investment) 2.1.2 Quan hệ hàm số 2.1.2.1 Khái niệm hàm số
Khái niệm hàm số sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, để biểu diễn quan hệ chi phối lẫn biến số Định nghĩa khái niệm hàm số ngơn ngữ hình thức tốn học có nội dung sau:
Định nghĩa Cho hai tập hợp X Y, Ánh xạ :
( ) f X Y
x y f x
được gọi hàm số biến số thực
Tập hợp X gọi miền xác định ( MXĐ ) hàm số f Số y tương ứng với số x, theo quy tắc f, gọi giá trị hàm số f điểm x, ký hiệu f(x) Khi nói đến hàm số khác nhau, ta sử dụng ký hiệu khác nhau: f, g, …
Định nghĩa Miền giá trị ( MGT ) hàm số f tập hợp tất số thực giá trị hàm số điểm thuộc miền xác định
Miền giá trị hàm số f xác định miền X ký hiệu f(X):
( ) { : ( ) }
f X y x X cho f x y 2.1.2.2 Hàm số dạng biểu thức
Ở bậc học phổ thông, học sinh làm quen với biểu thức biến số, từ biểu thức có phép tốn đến biểu thức có nhiều phép tốn phối hợp, chẳng hạn như:
, , , log ,sin , cos , tan , cot , n n x
a
x x a x x x x x
2
2
5
, , log ,
3
ax bx c x
ax bx c
px q x
(16)Ta gọi miền xác định tự nhiên biểu thức f(x) tập hợp tất số thực mà gán cho x biểu thức có nghĩa (tất phép tốn biểu thức thực được) Mỗi biểu thức f(x) hàm số xác định trên tập X MXĐ tự nhiên nó: số thực x0 X đặt tương ứng với giá trị tính tốn biểu thức gán xx0
Ví dụ 2.1: Biểu thức ( ) log2
3
x f x
x
hàm số với MXĐ tự nhiên
tập hợp tất số thực x thỏa mãn điều kiện:
5
0
3
x
x x
Theo biểu thức đó, ta dễ dàng tính giá trị hàm số điểm thuộc MXĐ, chẳng hạn:
2
5
(1) log log
3.1
f
2
5
(3) log log
3.3
f
Phương pháp xác định hàm số biểu thức phương pháp phổ biến toán học lĩnh vực ứng dụng toán học Khi xem xét hàm số cho biểu thức, ta cần lưu ý điểm sau:
- Về nguyên tắc, MXĐ hàm số tập số thực cho trước, biểu thức giữ vai trò quy tắc tương ứng f định nghĩa hàm số Do đó, một hàm số xác định tập X cho biểu thức f(x), tập X có thể tập MXĐ tự nhiên biểu thức Tuy nhiên, trong tốn học nhiều người ta cho trước biểu thức f(x) xét biểu thức hàm số Trong trường hợp này, ta đồng MXĐ hàm số với MXĐ tự nhiên biểu thức f(x)
- Một hàm số cho dạng phân rã MXĐ thành tập rời tập đó, quy tắc xác định giá trị tương ứng hàm số điểm biểu diễn biểu thức riêng
Ví dụ 2.2:
2
1
( )
3
x x f x
x khi x
(17)là hàm số xác định : giá trị hàm số điểm x tính theo cơng thức f x( ) x23 x thuộc khoảng [0;), theo công thức
( )
f x xkhi x thuộc khoảng (;0) 2.1.2.3 Quan hệ hàm số biến số
Trong lĩnh vực khoa học, người ta phân tích quy luật thay đổi giá trị đại lượng đo số dạng biến số có quan hệ với nhau: thay đổi giá trị biến số kéo theo thay đổi giá trị biến số theo quy luật định Chẳng hạn, kinh tế, thấy giá trị hàng hóa thay đổi lượng hàng hóa mà người sản xuất muốn bán thị trường lượng hàng hóa mà người mua lịng mua thay đổi theo; thu nhập hộ gia đình thay dổi lượng tiêu dùng họ thay đổi… Sự phụ thuộc biến số vào biến số khác thường biểu diễn dạng hàm số
Cho hai biến số x y với miền biến thiên tập hợp số thực X Y, trong biến x nhận giá trị tùy ý miền biến thiên X Ta nói x là biến độc lập hay đối số
Định nghĩa Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x, hay biến số y hàm số biến số x, tồn quy tắc quy luật f cho mỗi giá trị biến số x miền biến thiên X đặt tương ứng với một giá trị biến số y
Theo định nghĩa quy tắc f hàm số xác định miền biến thiên X biến x giá trị hàm số f điểm x giá trị tương ứng biến số y:
( ) x y f x
Để nói cách khái quát y hàm số x (y phụ thuộc hàm số vào x) ta viết : y = y(x)
Chú ý Hai định nghĩa hàm số tương đương với Khi cho hàm số f với MXĐ tập hợp X, cách diễn đạt sau có nghĩa nhau:
- Cho hàm số f xác định tập X (X tập số cho trước); - Cho hàm số f(x), xX ;
- Cho hàm số y = f(x), xX
(18)phép ta xác định giá trị hàm số điểm x X Chẳng hạn, góc độ tốn học, ta khơng phân biệt hàm số yx2 vu2 miền biến thiên x miền biến thiên u trùng
2.1.3 Đồ thị hàm số
Quan hệ hàm số y = f(x) liên kết cặp số thực ( ;x y0 0), x0 số thuộc MXĐ X hàm số y0 f x( )0 Mỗi cặp số điểm mặt phẳng tọa độ
Định nghĩa Đồ thị hàm số f tập hợp tất điểm M(x ; y) mặt phẳng tọa độ có hồnh độ x số thực lấy từ MXĐ hàm số tung độ y giá trị tương ứng hàm số điểm x
Việc lập đồ thị hàm số f với MXĐ khoảng số thực thường thực theo trình tự sau :
- Lấy số x x1, 2, ,xn từ MXĐ hàm số (càng gần tốt) - Tính giá trị tương ứng hàm số điểm :
1 ( ),1 ( ), ,2 n ( )n
y f x y f x y f x
- Định vị điểm M x y1( ;1 1);M x y2( ;2 2); ;Mn( ;x yn n)
- Nối điểmM M1; 2; ;Mn ta hình ảnh đồ thị hàm số
y = f(x) y
O
Mn
2 M M1 yn
2 y y1
n x x2
1
x x
Phương pháp đồ thị phương pháp định lượng Tuy nhiên, người ta thường sử dụng đồ thị để minh họa hình ảnh đặc trưng phụ thuộc hàm số biến số Nhìn vào đồ thị ta dễ dàng quan sát xu hướng biến thiên hàm số biến độc lập thay đổi giá trị
(19)Xét hàm số y = f(x) với MXĐ X MGT Y = f(X) Nếu với giá trị y0Ychỉ tồn giá trị x0 X cho f x( )0 y0, tức phương trình f x( ) y0 có nghiệm x0 miền X,
1
( ) ( ) ( , )
y f x x f y xX yY
trong đó, ký hiệu x0 f1(y0) nghiệm phương trình f x( ) y0
như nói
Như vậy, trường hợp này, quan hệ hàm số y = f(x) biểu diễn phụ thuộc y vào x đảo ngược để biểu diễn phụ thuộc x vào y thông qua hàm số x f1( )y
Định nghĩa Với giả thiết quy ước ký hiệu trên, ta gọi hàm số
1
( )
x f y hàm ngược hàm số y = f(x) Nói cách khác, hàm số f1( xác định miền Y = f(X) hàm ngược hàm số f ( xác định miền X ) Ví dụ 2.3:
- Hàm số y x3 với MXĐ X có hàm ngược hàm số x y
:
3 3
( , )
y x x y x y
- Hàm ngược hàm số mũ y ax hàm số logarit xloga y : log ( , 0)
x
a
y a x y x y - Hàm số ysin x với MXĐ X = ;
2
có hàm ngược hàm số arcsin
x y ( 1 y 1), ký hiệu arcsin y0 để nghiệm phương trình sin x y0 đoạn x
2
- Hàm số y = cosx với MXĐ X = 0; có hàm ngược hàm số arccos
x y( 1 y 1), ký hiệu arccos y0 để nghiệm phương trình cosx y0 đoạn 0 x
- Hàm số y = tanx với MXĐ X = ; 2
có hàm ngược hàm số x = arctany ( y ), ký hiệu arctan y0 để nghiệm phương trình tanx y0 khoảng < x <
2
(20)- Hàm số y = cotx với MXĐ X = 0; có hàm ngược hàm số cot
x arc y ( y ), ký hiệu arccot y0 để nghiệm phương trình cotx y0 khoảng 0 x
Chú ý Hàm số y = f(x) hàm ngược x f1( )y có đồ thị, y = f(x) x f1( )y phương trình tương đương Tuy nhiên, tốn học, người ta thường dùng ký hiệu x để biến độc lập ký hiệu y để biến phụ thuộc, thay cho cách viết hàm ngược dạng x f1( )y người ta có thể tráo ký hiệu biến số viết hàm ngược hàm số y = f(x) dạng
1
( )
y f x Chẳng hạn, ta nói : hàm số y logax hàm ngược hàm số y ax Do tráo khái niệm biến số, nên điểm M(x ; y) thuộc đồ thị hàm số y f1( )x điểm M y x'( ; ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) Trên mặt phẳng tọa độ, hai điểm M(x ; y) M y x'( ; ) đối xứng qua đường phân giác thứ Như vậy, biểu diễn hai đồ thị hai hàm số y = f(x) y f1( )x hệ trục tọa độ trực chuẩn chúng đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ( đường phân giác góc phần tư thứ ) Chẳng hạn, đồ thị hàm số y xvà hàm số y ,x x2 0 có dạng :
2.1.5 Một số đặc trưng hàm số 2.1.5.1 Hàm số đơn điệu
Định nghĩa Hàm số y = f(x) gọi đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) miền X với cặp điểm khác x x1, 2 thuộc X, hiệu số
2
( ) ( )
f x f x dấu ( trái dấu ) với x2x1 Nói cách khác :
(21)1 ( ) ( 2) ( 1, )
x x f x f x x x X - Hàm số y = f(x) hàm đơn điệu giảm miền X :
1 ( ) ( 2) ( 1, )
x x f x f x x x X
Hàm số đơn điệu tăng ( đơn điệu giảm ) gọi hàm số đồng biến (hàm số nghịch biến)
Nếu quan sát đồ thị hàm số theo hướng từ trái sang phải đồ thị hàm đơn điệu tăng có dáng dốc lên đồ thị hàm đơn điệu giảm có dáng dốc xuống
f(x )1
x2 y
x O
y = f(x)
1
x
2
f(x ) f(x )1
x2
y = f(x)
O x
y
1
x
2
f(x )
Chú ý Khái niệm hàm số đơn điệu theo định nghĩa hiểu theo nghĩa đơn điệu ngặt Ta mở rộng khái niệm hàm đơn điệu sau :
- Hàm số y = f(x) gọi hàm đơn điệu tăng theo nghĩa rộng miền X :
1 ( ) ( 2) ( 1, )
x x f x f x x x X
- Hàm số y = f(x) hàm đơn điệu giảm theo nghĩa rộng miền X :
1 ( ) ( 2) ( 1, )
x x f x f x x x X
Ví dụ 2.4 :
Hàm số f x( ) x2 hàm đơn điệu tăng khoảng [0;) đơn điệu giảm khoảng (;0] :
2
1, [0; ) : 2
x x x x x x
2
1, ( ;0]: 2
x x x x x x
(22)- Hàm số y = f(x) gọi hàm bị chặn miền X giá trị hàm số thay đổi phạm vi tập khoảng số hữu hạn khi x biến thiên miền X, tức tồn số m M cho :
,
m f x M x X
- Hàm số y = f(x) gọi bị chặn miền X tồn hằng số M cho :
,
f x M x X
Hằng số M gọi cận hàm số f(x) miền X
- Hàm số y = f(x) gọi bị chặn miền X tồn hằng số m cho :
,
f x m x X
Hằng số m gọi cận hàm số f(x) miền X
Chú ý tính bị chặn bao hàm chặn chặn Dễ dàng thấy rằng, hàm số f(x) bị chặn miền X tồn số K cho :
( ) ( )
f x K x X Ví dụ 2.5:
+) Hàm số f x( ) x2 a x( ) hàm bị chặn :
2
( ) ,
f x x a a x +) Hàm số f x( ) x2 a x( ) hàm bị chặn :
2
( ) ,
f x x a a x +) Hàm số ( ) f x sin (x x) hàm bị chặn :
1 sinx 1, x
2.1.5.3 Hàm số chẵn hàm số lẻ Định nghĩa
- Hàm số y = f(x) xác định miền X gọi hàm chẵn với xX ta ln có x X (f x) f x( )
- Hàm số y = f(x) xác định miền X gọi hàm lẻ với xX ta ln có x X (f x) f x( )
Ví dụ 2.6:
+) Các hàm số f x( )x g x2, ( )cos (x x) hàm số chẵn :
2
( ) ( ) ( ),
(23)( ) cos( ) cos ( ),
g x x x g x x +) Các hàm số f x( )x g x3, ( ) sin ( x x) hàm số lẻ :
3
( ) ( ) ( ),
f x x x f x x
( ) sin( ) sin ( ),
g x x x g x x
Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ có tính chất đối xứng : Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
2.1.5.4 Hàm số tuần hoàn
Định nghĩa 10 Hàm số f(x) xác định miền X gọi hàm số tuần hoàn với chu kỳ T xX ta ln có x T X f x T f x
Dễ dàng thấy hàm số f(x) tuần hồn với chu kỳ T tuần hoàn với chu kỳ mT ( m số nguyên ) :
,
f xmT f x x X
Để cho xác định, nói đến chu kỳ hàm số tuần hoàn, người ta thường lấy chu kỳ dương nhỏ (nếu có)
Ví dụ 2.7:
+) Các hàm số sin ,cos x x hàm tuần hoàn với chu kỳ T 2 sin(x2 ) sin ; cos( x x2 ) cos ,x x +) Các hàm số tan ,cot x x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T
tan( ) tan , ; cot( ) cot ,
2
x x x k x x x k 2.1.6 Các hàm số sơ cấp
2.1.6.1 Các hàm số sơ cấp
Các hàm số sau gọi hàm số sơ cấp : +) ( )f x C ( hàm số nhận giá trị không đổi C với x )
+) Hàm số lũy thừa :
( ) ( )
f x x const
+) Hàm số mũ:
,
x
y a a0 a1 +) Hàm số logarit:
loga
(24)( ) sin , ( ) cos , ( ) tan , ( ) cot f x x f x x f x x f x x +) Các hàm số lượng giác ngược:
( ) arcsin , ( ) arccos , ( ) arctan , ( ) cot f x x f x x f x x f x arc x 2.1.6.2 Các phép toán sơ cấp hàm số
Các phép toán sơ cấp hàm số bao gồm: phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia phép hợp hàm
- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia biểu thức hàm số thực giống biểu thức đại số Nếu f(x) g(x) hàm số cho dạng biểu thức biểu thức
( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ),
( ) f x f x g x f x g x f x g x
g x
Được gọi tương ứng tổng, hiệu, tích, thương f(x) g(x) Các hàm số đặt tương ứng giá trị biến độc lập x với tổng, hiệu, tích, thương các giá trị hàm số f g điểm x
( ) ( ) : ( ) ( )
( ) ( ) : ( ) ( )
( ) ( ) : ( ) ( )
( ) ( )
:
( ) ( )
f x g x x y f x g x f x g x x y f x g x f x g x x y f x g x
f x f x
x y
g x g x
Ví dụ 2.8:
+) Hàm số y x sin xlà tổng hai hàm số : ( )
f x x ( )g x sin x +) Hàm số yx3log3x tích hai hàm số
3
3
( ) , ( ) log f x x g x x
- Phép hợp hàm phép lồng hàm số vào hàm số Giả sử ta có hai hàm số: y = f(u): biểu diễn phụ thuộc y vào u
u = (x): biểu diễn phụ thuộc u vào x
Giả sử x thay đổi miền X, giá trị hàm số u = (x) luôn thuộc miền xác định hàm số y = f(u) Khi đó, giá trị biến số x được đặt tương ứng với giá trị biến số y theo quy tắc sau :
( ) [ ( )] ( ) r
x u x y x g x
(25)Hàm số yg x( )[ ( )] x đặt tương ứng giá trị biến số x với giá trị biến y theo quy tắc nêu gọi hàm hợp hàm số y = f(u) u = (x) Hàm hợp gọi hàm kép Bỏ qua vai trị hình thức ký hiệu biến số ta nói: ( )g x [ ( )] x hàm hợp các hàm số f(x) (x)
Ví dụ 2.9:
Hàm số ysin5x là hàm hợp hai hàm số y = u5 usinx Ta nói : g x( )sin5x là hàm hợp hai hàm số f(x) = u5
x sinx
2.1.6.3 Các hàm số sơ cấp
Ta gọi hàm số sơ cấp hàm số cho dạng biểu thức hữu hạn, tức biểu thức hợp thành từ hàm số sơ cấp nói thơng qua số hữu hạn phép toán sơ cấp hàm số
Phạm vi tập hợp hàm sơ cấp rộng Trong kinh tế học, người ta thường hay sử dụng dạng hàm số sau :
+) Hàm số f x( ) ax (a số) +) Hàm số mũ hàm số logarit :
( ) x, ( ) loga ( 1) f x a f x x a và a +) Hàm đa thức, hay hàm nguyên:
2
0
( ) n n
f x a a xa x a x +) Hàm phân thức, hay hàm hữu tỷ:
( ) ( )
( ) P x f x
Q x trong P(x) Q(x) đa thức
2.1.7 Một số mơ hình hàm số phân tích kinh tế 2.1.7.1 Hàm cung hàm cầu
Khi phân tích thị trường hàng hóa dịch vu, nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung (supply function) hàm cầu (demand function) để biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu loại hàng hóa vào giá trị hàng hóa Hàm cung hàm cầu có dạng :
(26)trong đó: p giá trị hàng hóa, Qs lượng cung (quantily supplied), tức lượng hàng hóa mà người bán lịng bán; Qd lượng cầu (quanlity demanted), tức lượng hàng hóa mà người mua lịng mua Trong mơ hình phân tích thị trường loại hàng hóa, lượng cung thị trường tổng lượng cung tất nhà sản xuất lượng cầu thị trường tổng lượng cầu tất người tiêu dùng
Tất nhiên, lượng cung lượng cầu hàng hóa khơng phụ thuộc vào giá hàng hóa đó, mà cịn chịu ảnh hưởng nhiều yếu tố khác, chẳng hạn thu nhập giá hàng hóa liên quan Khi xem xét mơ hinh hàm cung hàm cầu dạng nêu trên, người ta giả thiết yếu tố khác không thay đổi Quy luật thị trường kinh tế học nói rằng, hàng hóa thơng thường, hàm cung hàm đơn điệu tăng, hàm cầu hàm đơn điệu giảm Điều có nghĩa là, yếu tố khác giữ nguyên, giá hàng hóa tăng lên người bán muốn bán nhiều người mua mua Các nhà kinh tế gọi đồ thị hàm cung hàm cầu đường cung đường cầu Giao điểm đường cung đường cầu gọi điểm cân thị trường: mức giá cân p ta có Qs Qd Q, tức người bán bán hết người mua mua đủ, thị trường khơng có tượng dư thừa khan hàng hóa
p
Q
p = D (Q)-1
-1
O Q
p
p = S (Q)
Chú ý: Trong tài liệu kinh tế, người ta thường sử dụng trục hoành để biểu diễn lượng Q trục tung để biểu diễn giá p Cách biểu diễn tương ứng với việc đảo ngược hàm cung hàm cầu dạng nói Trong kinh tế học, nhiều người ta gọi hàm ngược hàm Qs = S(p) hàm cung hàm ngược hàm Qd = D(p) hàm cầu:
( ),
s s
Q S p p S Q
( )
(27)Đồ thị hàm cung hàm cầu (đường cung đường cầu) có dạng hình
Điểm cân điểm ( ; ),Q p Q lượng cân p giá cân
2.1.7.2 Hàm sản xuất ngắn hạn
Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mô tả phụ thuộc sản lượng hàng hóa ( tổng số lượng sản phẩm vật ) nhà sản xuất vào yếu tố đầu vào, gọi yếu tố sản xuất, vốn lao động…
Trong kinh tế học, khái niệm ngắn hạn dài hạn không xác định khoảng thời gian cụ thể, mà hiểu theo nghĩa sau:
Ngắn hạn khoảng thời gian mà yếu tố sản xuất không thể thay đổi Dài hạn khoảng thời gian mà tất yếu tố sản xuất có thể thay đổi
Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng vốn (Capital) lao động (Labor), ký hiệu tương ứng K L
Trong ngắn hạn K khơng thay đổi, hàm sản xuất ngắn hạn có dạng:
( ) Qf L
trong L lượng lao động sử dụng Q mức sản lượng tương ứng Chú ý, xét hàm sản xuất, sản lượng Q yếu tố sản xuất K, L đo theo luồng (flow), tức đo định kỳ (hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng, hàng năm…)
2.1.7.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận
Tổng doanh thu (total revenue), tổng chi phí (total cost) tổng lợi nhuận (total profit) nhà sản xuất phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Khi phân tích hoạt động sản xuất, với hàm sản xuất, nhà kinh tế học sử dụng hàm số:
- Hàm doanh thu hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng doanh thu (ký hiệu TR) vào sản lượng (ký hiệu Q):
TR = TR(Q) Chẳng hạn:
(28)TR = p.Q p giá sản phẩm thị trường
Đối với nhà sản xuất độc quyền, tổng doanh thu xác định theo công thức:
1
( ) TRD Q Q pD1(Q) hàm cầu ngược
- Hàm chi phí hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng chi phí sản xuất (ký hiệu TC) vào sản lượng (ký hiệu Q):
TC = TC (Q)
- Hàm lợi nhuận hàm số biểu diễn phụ thuộc tổng lợi nhuận (ký hiệu ) vào sản lượng (ký hiệu Q):
( )Q
Hàm lợi nhuận xác định thơng qua hàm doanh thu hàm chi phí:
( ) ( )
TR Q TC Q
2.1.7.4 Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm
Lượng tiền mà người tiêu dùng dùng để mua sắm hàng hóa dịch vụ phụ thuộc vào thu nhập Các nhà kinh tế sử dụng hàm tiêu dùng để biểu diễn phụ thuộc biến tiêu dùng C (Consumption) vào biến thu nhập Y (Income):
C = f(Y)
Thông thường, thu nhập tăng, người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, hàm tiêu dùng hàm đồng biến
Hàm tiết kiệm hàm số biểu diễn phụ thuộc biến tiết kiệm S (Saving) vào biến thu nhập:
S = S(Y) 2.2 Dãy số giới hạn dãy số
2.2.1 Dãy số
Định nghĩa 11 Một hàm số xác định tập số tự nhiên dương * gọi một dãy số ( dãy vô hạn số thực )
Một dãy số ký hiệu xn, số xn vị trí thứ n gọi số hạng thứ n dãy
Ví dụ 2.10: Hàm số ( )
1 n f n
n
(29)1
; ; ; ; ;
2
n n số hạng dãy 1
2
x , số hạng thứ n dãy
1
n
n x
n
2.2.2 Giới hạn dãy số:
2.2.2.1 Khái niệm dãy số hội tụ
Khái niệm giới hạn toán học biểu diễn xu hướng biến thiên biến số ngày tiến gần đến số Từ “ tiến gần ” bao hàm khái niệm khoảng cách Như ta biết, khoảng cách hai số a b hiểu theo nghĩa khoảng cách hai điểm tương ứng trục số xác định theo công thức:
( ; )
d a b a b
Giới hạn dãy số xn biểu diễn xu hướng biến thiên xn n lớn vô hạn Định nghĩa 12 Ta nói dãy số xn có giới hạn a, hay xn hội tụ đến a, khoảng cách xn a thu hẹp cách tùy ý cách lấy n đủ lớn, tức với số 0 bé tùy ý, tồn số n00 cho với nn0
thì
xn a (2.2.1) Để nói dãy sốxnhội tụ đến a, ta dùng ký hiệu lim n
nx a
n
x a n
Bất đẳng thức (2.2.1) viết dạng:
( ; )
n n n
x a a x a x a a
Khoảng V a( )(a;a) gọi lân cận bán kính điểm a.
Để chứng minh dãy số xn hội tụ đến a, theo định nghĩa, ta phải số
0
n tương ứng với số 0 cho bất đẳng thức (2.2.1) thỏa mãn với
0 nn Ví dụ 2.11:
+) Xét dãy số có số hạng tổng quát xn = c ( c số ) Ta có: xn c c c , 0, n
Vậy, theo định nghĩa: lim
(30)+) Xét dãy số có số hạng tổng quát: xn n n
Ta có: xn 1 dn xn 1
n n
Khoảng cách xn số thu hẹp tùy ý:
dn < 0,1 n > 10 dn < 0,01 n > 100 dn < 0,001 n > 1000
Với số dương bất kỳ, dn xn 1 khi n n0 [ 1]
n
( ký
hiệu [x] phần nguyên số thực x ) Theo định nghĩa, ta có
lim
n
n n
hay n 1khi n n
2.2.2.2 Nguyên lý hội tụ
Định lý sau dược gọi tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy số: Định lý Một dãy số xn hội tụ đến số a với số
0
tồn tương ứng số tự nhiên n0 đủ lớn cho bất đẳng thức:
n m n x x thỏa mãn với nn0 với m
Tiêu chuẩn Cauchy nói dãy số hội tụ một chỗ trở đi, khoảng cách hai số hạng dãy số nhỏ tùy ý
Ví dụ 2.12: Xét dãy số có số hạng tổng quát: xn ( 1)n1: 1; 1;1; 1;
Với số tự nhiên n ta có
1
1 ( 1) ( 1)
n n
n n
x x
Từ suy ra: với số 2 bất đẳng thức xn1xn khơng thỏa mãn Theo tiêu chuẩn Cauchy dãy số cho không hội tụ, tức không tồn tại số a cho:
1
lim( 1)n
n a
(31)Trên định nghĩa giới hạn hữu hạn dãy số (giới hạn a số thực) Khái niệm dãy số có giới hạn vơ hạn định nghĩa sau:
Định nghĩa 13 Ta nói dãy số xn có giới hạn vơ hạn xncó giá trị tuyệt đối lớn tùy ý n đủ lớn Tức với số E 0lớn tùy ý, có thể tìm số tự nhiên n0 đủ lớn cho
n
x E
bắt đầu từ n > n0 Một dãy số có giới hạn vơ hạn cịn gọi vơ lớn
(VCL)
Nếu dãy số xn có giới hạn vơ hạn ta viết:
lim
n
n x xn khi n
Nếu dãy số xncó giới hạn vơ hạn xác định dấu, tức xn > xn < chỗ trở đi, ta viết tương ứng
lim
n
n x nlimxn
Chú ý: Ta dùng ký hiệu (dương vô cực) (âm vô cực) để đầu mút trục số, ký hiệu có nghĩa Các ký hiệu mang ý nghĩa hình thức để diễu đạt ý niệm vô hạn, không nằm phạm vi hệ thống số thực Do đó, khơng có quy ước bổ sung ta khơng thể áp dụng phép tốn số học đối và
Ví dụ 2.13:
Xét dãy số có số hạng tổng quát xn Ank ( n), với A k > hằng số cho trước Với E số dương bất kỳ, ta có
1
k k
n
E x A n E n
A
Theo E > 0, ta lấy n0 phần nguyên số
1
k
E
A Khi n > n0, bất đẳng thức
n
x E thỏa mãn Vậy, theo định nghĩa:
lim ( 0, 0)
k
n An A k
(32)lim
k
n An A > lim
k
n An A <
2.2.3 Đại lượng vô bé 2.2.3.1 Khái niệm vô bé
Định nghĩa 14 Một dãy số n gọi vơ bé (VCB) hội tụ đến 0:
lim
n
n
Nói cách trực tiếp, n VCB khi, với số > luôn tồn số tự nhiên n0 cho
0
,
n
x n n Từ định nghĩa giới hạn định nghĩa VCB suy ra:
Định lý Dãy số xn hội tụ đến điểm a dãy số n = xn – a VCB Nói cách khác, dãy số xn hội tụ đến điểm a biểu diễn được dạng xn a n, n VCB
2.2.3.2 Một số tính chất vơ bé
+) Nếu n n VCB n n VCB
Thật n n VCB với số > ta tìm số tự nhiên n1 n2 cho n 2, n n1 n 2, n n2.Gọi n0 số lớn hơn hai số n1 n2 ta có:
0 ,
n n n n n n
+) Nếu n VCB un bị chặn nun VCB
Thật vậy, dãy số un bị chặn nghĩa tồn số K > cho ,
k
u K n Nếu n VCB với số > ta tìm số tự nhiên n0 cho n K, n n0.Từ suy :
0
,
n n n n
u u K n n
K
2.2.4 Các định lý giới hạn
2.2.4.1 Các tính chất dãy số hội tụ
(33)Định lý Nếu dãy số xn hội tụ bị chặn, tức tồn số A, B sao cho A xn B với n
Hệ Nếu nvà n VCB n ncũng VCB Định lý Nếu lim n
nx a a > p ( a < q ) xn > p ( xn < q ) chỗ trở Đặc biệt, a > ( a < ) xn > ( xn < ) n đủ lớn Định lý Nếu xn yn với n hai dãy số x yn, nđều hội tụ thì:
lim n lim n
nx ny 2.2.4.2 Các quy tắc tính giới hạn
Định lý Giả sử dãy số xn yncó giới hạn hữu hạn: lim n
nx a, limnyn b Khi :
+) lim ( n n)
n x y ab +) lim ( n n)
n x y ab +) lim n
n n
x a
y b
b0
Hệ Nếu dãy số xnhội tụ lim n lim n
ncx cnx (c số bất kỳ)
Chú ý: Định lý cho ta quy tắc tính giới hạn tổng, hiệu, tích thương dãy số Quy tắc chứng minh với điều kiện dãy số xn yn có giới hạn hữu hạn, thương cịn có giả thiết giới hạn mẫu số khác Trong trường hợp sau đây, ta khơng có quy tắc định để xác định giới hạn ( người ta gọi dạng vô định ) :
+) Giới hạn dãy số n n
x
y hai dãy số xn yn hội tụ đến ( gọi dạng vô định
0);
+) Giới hạn dãy số n n
x
y hai dãy số xn yn có giới hạn vơ hạn ( gọi dạng vô định
);
(34)+) Giới hạn dãy số xn yn hai dãy số xn yn có giới hạn vơ hạn ( gọi dạng vô định )
Khi gặp dạng vơ định, ta phải tìm cách biến đổi để đưa dạng xác định ( khử dạng vô định )
Ví dụ 2.14: Giới hạn sau có dạng vô định :
3
3
2
lim
4
n
n n n
b
n n
Để khử dạng vô định, ta chia tử mẫu biểu thức cần tính giới hạn cho
3
n :
2
2
3
2 lim
4
4
n
n n n
b
n n
Sử dụng định lý 5, ta xác định
4
b
Định lý Nếu un xn vn với n hai dãy số u vn, n hội tụ đến a dãy số xn hội tụ đến a
Định lý Giả sử dãy số xn f n( ) đơn điệu tăng theo nghĩa rộng :
1 n n
x x x x x
Khi
- Nếu dãy số bị chặn trên, tức xn M, n 1, 2,3 có giới hạn hữu hạn n
- Nếu dãy số khơng bị chặn lim n
nx
Tương tự, dãy số đơn điệu giảm (ít theo nghĩa rộng ) có giới hạn hữu hạn bị chặn có giới hạn khơng bị chặn 2.3 Giới hạn hàm số
2.3.1 Khái niệm giới hạn hàm số 2.3.1.1 Định nghĩa giới hạn
(35)Lý thuyết giới hạn đề cập đến xu hướng biến thiên biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tiến dần đến điểm a cố định, tức khoảng cách
xa thu hẹp cách tùy ý Ta gọi q trình x tiến đến a viết xa Để xét giới hạn hàm số y = f(x) xa, ta giả thiết hàm số được xác định khoảng (c; a) (a; b), cịn điểm a, hàm số có thể xác định khơng xác định Q trình xa xem xét với giả thiết
xa
Một phương pháp xem xét giới hạn hàm số f(x) xa “dẫn” biến độc lập x theo dãy số xn có giới hạn a ( xn lấy từ MXĐ hàm số xn a ) xét giới hạn dãy giá trị tương ứng hàm số
( )
n n
y f x
Định nghĩa 16 Nếu với dãy số xncó giới hạn a, dãy giá trị tương ứng của hàm số, tức dãy số yn = f(xn) , ln có giới hạn b ta nói hàm số f(x) có giới hạn b xa ký hiệu sau:
lim ( )
xa f x b f x( )b xa
Định nghĩa nêu áp dụng cho trường hợp a b, hai
Với a số thực giới hạn hàm số xa được gọi giới hạn điểm a
Ví dụ 2.15:
Xét hàm số f x( )2x21 x2
Với xn dãy số có giới hạn 2, dãy giá trị tương ứng hàm số là:
2
( )
n n n
y f x x Theo quy tắc tính giới hạn dãy số ta có
2 2
lim n lim(2 n 1) lim n 2.2 ny n x nx Vậy theo định nghĩa:
2
lim
x x
Khái niệm giới hạn hàm số định nghĩa tương đương ngôn ngữ khoảng cách, không sử dụng khái niệm giới hạn dãy số Trương hợp a, b số thực, định nghĩa tương đương với định nghĩa sau đây:
(36)( )
f x b
được thoả mãn x thuộc MXĐ hàm số 0 x a Ví dụ 2.16: Sử dụng định nghĩa, chứng minh:
2
lim(2 1) x x Trong ví dụ f x( ) 2x1 Ta có :
( ) (2 1) 2
f x x x Với số 0, ta chọn
2
Khi x 2 ta ln có
( ) 2
f x x Theo định nghĩa, ta có điều phải chứng minh
2.3.1.2 Giới hạn phía
Trong định nghĩa nêu xét q trình xa khơng phân biệt x < a hay x > a Khi xem xét giới hạn, nhiều ta phải xét riêng hai trình với ký hiệu sau :
+) Quá trình x tiến đến a phía phải, tức xa với điều kiện x > a, ký hiệu x a xa
+) Quá trình x tiến đến a phía trái, tức xa với điều kiện x < a, ký hiệu x a x a
Giới hạn hàm số f(x) x a xa gọi tương ứng là giới hạn bên phải giới hạn bên trái hàm số điểm a :
Giới hạn bên phải :
lim ( ) lim ( ) x a x a x a
f x f x
Giới hạn bên trái :
lim ( ) lim ( ) x a x a x a
f x f x
Định lý 10 Điều kiện cần đủ để lim ( )
xa f x b là:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x b
2.3.2 Giới hạn hàm số sơ cấp 2.3.2.1 Giới hạn điểm thuộc miền xác định
(37)lim ( ) ( )
xa f x f a
Ví dụ 2.17:
2
3
3
8
lim 2; lim 2x 4; lim log log 2;
x x x x x v v
2.3.2.2 Giới hạn đầu mút khoảng xác định x - Hàm số lũy thừa:
+) Với 0:
0
lim ; lim
x x x x
+) Với 0:
0
lim 0; lim
x x x x
- Hàm số mũ:
+) với a > 1: lim x ; lim x
xa xa
+) Với < a < 1: lim x 0; lim x
xa xa
- Hàm số logarit: +) với a > 1:
0
lim loga ; lim loga
x x
x x
+) Với < a < 1:
0
lim loga ; lim loga
x
x x x
- Các hàm lượng giác:
+) Các hàm số sin ,cos , tan , cot x x x x khơng có giới hạn x +) Hàm số tan x có giới hạn vơ hạn ( )
2
x k k +) Hàm số cot x có giới hạn vơ hạn xk (k) - Các hàm lượng giác ngược:
+) lim arctan , lim arctan
2
x x x x
+) lim cot 0, lim cot
xarc x xarc x 2.3.3 Các định lý giới hạn
2.3.3.1 Tính chất hàm số có giới hạn hữu hạn
Tất định lý tính chất dãy số có giới hạn hữu hạn (dãy số hội tụ) mở rộng cho hàm số có đối số liên tục
Định lý 11 Nếu hàm số f(x) có giới hạn xa có giới hạn duy q trình
(38)Định lý 13 Nếu lim ( )
xa f x b b > p ( b < q ) với số dương đủ nhỏ, ta có:
( ) ( ) , :0
f x p f x q x x x a
Định lý 14 Nếu f x( ) g x( ) với xx:0 x a hai hàm số f(x) g(x) có giới hạn hữu hạn xa
lim ( ) lim ( ) xa f x xag x 2.3.3.2 Các quy tắc tính giới hạn
Quy tắc Nếu xa hàm số f(x) g(x) có giới hạn số thực b c thì:
+) lim ( ) ( )
xa f x g x b c; +) lim ( ) lim ( )
xa kf x kxa f x kb( k số ); +) lim ( ) ( )
xa f x g x b c;
+) lim ( )
( ) x a
f x b
khi c g x c
;
+) lim ( )g x( ) c xa f x b b Quy tắc Nếu lim ( )
xa x b hàm số u( )x không nhận giá trị b
những điểm x gần a, đồng thời hàm số f(u) có giới hạn ub
lim ( ) lim ( ) xa f x ub f u
Quy tắc
Nếu hàm số sơ cấp ( biểu thức hữu hạn ) f(x) xác định điểm x = a : lim ( ) ( )
xa f x f a Quy tắc Với giả thiết f x( )0:
+) Nếu lim ( ) xa f x
1 lim
( )
xa f x
+) Nếu lim ( )
xa f x
1
lim
( )
xa f x
Quy tắc Nếu lim ( )
xa f x g(x) hàm số bị chặn thì:
lim ( ) ( )f x g x
(39)2.3.3.3 Các dạng vơ định
Khi tính giới hạn, ta cần lưu ý dạng vô định, tức dạng giới hạn xác định theo quy tắc định Để tính giới hạn đó, ta phải biến đổi dạng cho phép áp dụng quy tắc tính giới hạn nêu Các dạng vơ định gặp:
- Dạng 0
xảy tính giới hạn biểu thức
( ) ( ) f x
g x , hai hàm số f(x) g(x) có giới hạn có giới hạn vơ hạn
- Dạng xảy tính giới hạn hiệu f(x) –g(x), f(x) và g(x) dấu có giới hạn vơ hạn
- Dạng 0. xảy tính giới hạn tích f(x)g(x), hàm số f(x) có giới hạn hàm số g(x) có giới hạn vơ hạn
- Các dạng ,0 , 0 xảy tính giới hạn biểu thức f x( )g x( ), trong f(x) hàm số dương Ta gặp:
+) Dạng 1 ( )f x 1 ( )g x ; +) Dạng 00 ( )f x 0 ( )g x 0; +) Dạng 0 ( )f x ( )g x 0 2.3.4 Hai giới hạn dạng vô định
+)
0
sin
lim
x
x x
( Dạng
0 0)
+)
1
1
lim lim t
x x t t e
(Dạng
) 2.3.5 Vô bé vô lớn
2.3.5.1 Khái niệm vô bé
Khái niệm vô bé (VCB) mà ta nói đến trường hợp dãy số (hàm số đối số tự nhiên) mở rộng cho hàm số đối số liên tục sau Định nghĩa 18 Hàm số (x) gọi vô bé xanếu nếu:
lim ( )
x a x
Ví dụ 2.18: Theo công thức giới hạn hàm sơ cấp bản, ta có: +) Các hàm số xk (k > 0), sin ,tan x x VCB x0
(40)Định lý 15 Điều kiện cần đủ để hàm số f(x) có giới hạn b ( b ) xa ( )x f x( )b VCB xa
Nói cách khác, điều kiện cần đủ để hàm số f(x) có giới hạn b xa
( ) ( )
f x x b
trong ( )x VCB xa 2.3.5.2 Xếp bậc vô bé
Giả sử (x), (x) hai VCB xa Định nghĩa 19
+) (x) VCB bậc cao (x) lim ( ) ( )
x a
x x
+) (x) VCB bậc thấp (x lim ( )
( )
x a
x x
+) (x) (x hai VCB bậc
( )
lim ( 0, ),
( )
x a
x
A A A
x
Đặc biệt, A = 1, ta nói (x) (x) hai VCB tương đương viết
( )x ( )x
Chú ý Để nói (x) VCB bậc cao (x), ta viết ( )x [ ( )] x
Ví dụ 2.19: Dễ thấy 1 – cos x và 2x VCB x Vì
0
1 cos lim
2
x
x x
2
0
sin lim
x
x
x 0
sin
1 2
lim sin lim 2
2
x x
x x
x
nên 1– cosx VCB
bậc cao 2x
Chú ý: Từ định nghĩa từ công thức giới hạn ta có tương đương sau:
sinx x x tanx x x0
1cos x
2
2 x
x
(41)arctan x x x
log (1 ) ~ ln a
x x
a
ln(1 x)~ x x0 (với a 1) (ax – 1) xlna, (ex – 1) x x (với a 1) (1 + x) x x0
anx n
+ + apx p
apx p
x0 (với n > p > 0; ap 0)
Định lý 16 (Về thay VCB tương đương)
Nếu (x), (x) hai VCB xa, (x) 1(x), (x) 1(x) xa và tồn
1 ( ) lim ( ) x a x x
1 ( ) ( ) lim lim ( ) ( )
x a x a
x x
x x
Chứng minh:
Thật vậy, (x) 1(x), (x) 1(x), ta có
1
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x a x a
x x
x x
Do đó: 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x a x a
x x x x
x x x x
= 1
1
( ) ( ) ( ) lim lim lim
( ) ( ) ( )
x a x a x a
x x x
x x x
= 1 ( ) lim ( ) x a x x ■ Ví dụ 2.20: Tính
2 tan lim cos x x x Giải:
Ta có: tanx x
2
1 cos ~ x x
x
Do tan lim cos x x x =
2 lim 2 x x x
Định lý 17 (Qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao)
(42)(ii)Nếu (x), (x) VCB bậc không tương đương xa, (x) 1(x), (x) 1(x) xa (x) (x) 1(x) 1(x) Chứng minh:
(i) Thật vậy, ta có lim (x) + (x) lim ( )
( ) ( )
x a x a
x
x x
(vì (x) VCB
bậc cao (x))
(ii)
1
1 1
1 ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim 1
( )
( ) ( ) ( ) 1
( )
x a x a
x
x x x x A
khi x a
x
x x x A
x (Vì lim ( )
( ) x a x A x
( A 1, 0, ) ) ■ Ví dụ 2.21: Tính 2
3 sin( 3) lim x x x x Giải:
Ta có sin(x – 3) x – x Do 2
3 sin( 3) lim x x
x x =
( 3) lim
( 3)( 1)
x
x
x x =
1 lim
( 1)
x x =
1 2
Chú ý: Trong (ii) cho ta thấy rằng, không thay tương đương số hạng biểu thức hiệu hai VCB tương đương
Ví dụ 2.22: Xét A = 3
0 tan sin lim x x x x Giải:
Ta thấy tanx ~ x, sinx ~ x tanx ~ sinx x +) Khử dạng vô định ta có
2
3
0
2sin
sin (1 cos ) sin 2
lim lim
.cos cos
x x x
x x x
A
x x x x x
+) Nếu ta thay tương đương số hạng tử số kết A = 0, làm sai
2.3.5.3 Vô lớn
Định nghĩa 20 Một hàm số A(x) có giới hạn vơ hạn xa gọi vô lớn (VCL) q trình
(43)+) axk VCL x +) axk VCL x0
Mối liên hệ VCL VCB:
Định lý 18 Nếu A(x) VCL xa A(x) ( ) ( )
x
A x
VCB xa Ngược lại, ( )x VCB xa ( )x 0
( )
( )
A x
x
VCL q trình 2.4 Hàm số liên tục
2.4.1 Khái niệm hàm số liên tục 2.4.1.1 Hàm số liên tục điểm
Định nghĩa 21 Hàm số f(x) liên tục điểm x0 thuộc miền xác định
và :
0 lim ( ) ( )
x x f x f x (2.4.1)
Nếu đẳng thức (2.4.1) không thỏa mãn ta nói hàm số f(x) gián đoạn điểm x0 điểm x0 gọi điểm gián đoạn hàm số
Điểm x0 điểm gián đoạn hàm số f(x) trường hợp sau :
+) f(x) không xác định điểm x0 ;
+) f(x) giới hạn giới hạn vơ hạn xx0;
+) f(x) xác định điểm x0 có giới hạn hữu hạn xx0,
0
0 lim ( ) ( )
x x f x f x
Ví dụ 2.24: Theo định lý quy tắc tính giới hạn hàm sơ cấp điểm thuộc MXĐ hàm sơ sơ cấp liên tục điểm thuộc MXĐ Chú ý:
+) Nếu đẳng thức (2.4.1) thỏa mãn với vế trái giới hạn bên trái hoặc giới hạn bên phải hàm số f(x) điểm x0 ta nói tương ứng : Hàm số
f(x) liên tục bên trái liên tục bên phải điểm x0
+) Ta biết, hàm số f(x) có giới hạn b điểm x = x0 giới
hạn bên trái giới hạn bên phải điểm b, hàm số f(x) liên tục điểm x0 đồng thời liên tục bên trái liên tục
bên phải điểm
2.4.1.2 Số gia hàm số liên tục
(44)Định lý 19 Hàm số f(x) liên tục điểm x0 số gia
0 0
( ) ( ) ( )
f x f x x f x là VCB x
Chứng minh
0
0
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
x x f x f x x x f x f x
0
0 0
lim ( ) ( ) lim ( )
x x f x x f x x x f x
2.4.1.3 Liên tục miền
Định nghĩa 22 Hàm số f(x) gọi liên tục miền X liên tục điểm thuộc miền
Trường hợp miền X khoảng hữu hạn [a; b], [a; b) (a; b] đầu mút a b ta xét giới hạn phía, khái niệm hàm số liên tục khoảng áp dụng với quy ước:
+) Điều kiện liên tục mút trái a (nếu khoảng đóng a) hiểu theo nghĩa liên tục phải
+) Điều kiện liên tục mút phải b (nếu khoảng đóng b) hiểu theo nghĩa liên tục trái
Theo quy ước này, hàm số f(x) liên tục gọi liên tục khoảng đóng [a; b] liên tục hai phía điểm x( ; )a b , liên tục phải a liên tục trái b
2.4.2 Các phép toán sơ cấp hàm số liên tục
Định lý 20 Nếu f(x) g(x) hai hàm số liên tục điểm x0
+) Các hàm số f x( )g x( ), f x( )g x( ),, f x g x( ) ( ) liên tục x0; +) Hàm số ( )
( )
f x
g x liên tục x0 g(x0) ≠
Định lý 21 Nếu hàm số ( )x liên tục điểm x0 hàm số f(u) liên tục điểm tương ứng u0 (x0) hàm hợp f( )x liên tục điểm x0
2.4.3 Các tính chất hàm số liên tục khoảng 2.4.3.1 Định lý giá trị trung gian
(45)Hệ Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] giá trị hai đầu mút trái dấu phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a; b), tức tồn điểm c( ; )a b cho f(c) =
2.4.3.2 Tính bị chặn hàm số liên tục khoảng đóng Định lý 23 Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] thì:
+) f(x) bị chặn [a; b];
+) f(x) có giá trị lớn giá trị nhỏ [a; b], tức đoạn này tồn điểm c c1, 2 cho:
1
( ) ( ) ( ) [ ; ]
m f c f x M f c x a b
Chú ý: Một hàm số liên tục khoảng khơng đóng khoảng vơ hạn chưa bị chặn chưa có giá trị lớn (nhỏ nhất) khoảng Chẳng hạn:
+) Hàm số f x( )
x
liên tục khoảng (0; 1) không bị chặn khoảng
(46)CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 3.1 Đạo hàm hàm số
3.1.1 Khái niệm đạo hàm
3.1.1.1 Đạo hàm hàm số điểm
Xét hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) Nếu xuất phát từ điểm
0 ( ; )
x a b ta cho biến độc lập thay đổi giá trị đến điểm x( ; )a b biến phụ thuộc y thay đổi giá trị từ f x( 0)đến f x( ) Hiệu số x x x 0 lượng thay đổi giá trị biến độc lập, gọi số gia đối số, hiệu số
0 ( ) – 0 ( ) – 0
y f x f x f x f x x f x
chỉ lượng thay đổi giá trị tương ứng y, gọi số gia tương ứng hàm số
Tỷ số:
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
f x x f x f x f x y
x x x x
(3.1.1)
biểu diễn tốc độ biến thiên trung bình biến phụ thuộc y biến độc lập x thay đổi giá trị từ điểm đến điểm x0 đến điểm x Nếu tỷ số có giới hạn hữu hạn x trị số giới hạn cho biết tốc độ biến thiên tức thời hàm số điểm x0
Định nghĩa Nếu tỷ số (3.1.1) có giới hạn hữu hạn x 0:
0
lim
x
y k x
thì số k gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 Ký hiệu: f x’ ( 0), y’ (x )0 dy x( 0)
dx ,
0
( )
df x dx Vậy:
0
0 0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ’ ( ) lim lim lim
x x x x
f x f x x f x f x f x f x
x x x x
(47) 2
0 0
0
0
2 ( )
2
x x x x x x
f x
x x
x x x
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:
0 0
0
’ ( ) lim lim 2
x x
y
f x x x x
x Chú ý:
+) Nếu 0
0
( ) ( ) lim
x
f x x f x x
tồn tại, giá trị gọi đạo hàm bên trái f(x) x0 Ký hiệu f x'( 00)
+) Nếu 0
0
( ) ( ) lim
x
f x x f x x
tồn tại, giá trị gọi đạo hàm bên phải f(x) x0 Ký hiệu f x'( 00)
3.1.1.2 Tính liên tục hàm số có đạo hàm
Định lý Nếu hàm số f(x) có đạo hàm x0 f(x) liên tục điểm Chứng minh:
Thật vậy, f(x) có đạo hàm x0 có nghĩa 0
lim ’ ( )
x y f x x Do
0 0
lim lim lim lim
x x x x
y y
y x x
x x
= f x'( 0) lim x x 0 =
Suy hàm số liên tục x0
Chú ý: Điều ngược lại không Thật hàm số f x( ) x liên tục x = 0, khơng có đạo hàm x = ta có
y x =
0 x x
x x
=
1
khi x khi x
Vậy x ta f '(0 0) '(0- 0) f không tồn đạo hàm hàm số f(x) x =
3.1.1.3 Đạo hàm hàm số miền
Theo định nghĩa đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 số
thực xác định Nếu hàm số có đạo hàm điểm thuộc miền X giá trị x X cho tương ứng giá trị xác định đạo hàmy', ta có hàm số:
' '( )
y f x
(48)Ví dụ 3.2:
+) Đạo hàm hàm số y x2 hàm số y'2 (x x)
+) Đạo hàm hàm số ysinx hàm số y'cos (x x)
3.1.2 Đạo hàm hàm số sơ cấp
( )'C 0 (C số) (cos )'x sinx
(x)'x ( , x > 0)
2
1
(tan )' ( , )
cos
x x k k Z
x
(ax)' a lnax (0 < a ≠ 1)
2
1
(cot )' ( , ) sin
x x k k Z
x
( )'ex ex (arcsin )' 2
1
x
x
( x 1)
1 (log )'
ln
a x
x a
(0 < a ≠ 1, x > 0)
2
1 (arccos )'
1
x
x
( x 1)
1 (ln )'x
x
(x > 0) (arctan )' 2
1
x
x
(sin )'x cosx
2
1 ( cot )'
1
arc x
x
3.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm
3.1.3.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số
Định lý Nếu hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm x0 điểm +) u x( )v x( ) cũng có đạo hàm ( u v)' u' v';
+) u(x)v(x) có đạo hàm (uv)’ = u’v + uv’; +) ( )
( )
u x
v x có đạo hàm, trừ v(x) =
'
2
' - '
u u v uv
v v
3.1.3.2 Đạo hàm hàm hợp
Định lý Xét hàm số hợp y = f[u(x)] Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm điểm x0 hàm y = f(u) có đạo hàm điểm tương ứng u0 = u(x0) hàm số hợp y = f[u(x)] có đạo hàm điểm x0 y x'( 0)y u u x'( ) '(0 0)
(49)Biểu thức lũy thừa mũ biểu thức có dạng y = uv u = u(x), v = v(x) hàm số đối số x u(x) > Do số u lũy thừ v phụ thuộc x nên tính đạo hàm biểu thức loại ta áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm hàm số mũ hàm số lũy thừa Để tính đạo hàm Ta viết lại biểu thức hàm số dạng:
lny vlnu
ye e
Với giả thiết hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm, ta có '
ln ln '
' v u v u( ln )' v ' ln v u
y e e v u u v u u
Ta tính đạo hàm hàm số y = uv phương pháp logarit hóa sau:
- Lấy logarit Napeir hai vế: lny = v(x)lnu(x)
- Lấy đạo hàm hai vế theo biến x: y' ' ln v u vu' y u Từ kết đạo hàm hai vế, suy biểu thức y'
y' y v.[ ' ln u vu']
u
Ví dụ 3.3: Tính đạo hàm hàm số sau a) y sinxx
b) yx e2 x3 cosx
Giải: a) y = (sinx)x lny = xlnsinx
y' lnsinx xcotgx
y
y'lnsin x cotx gx(sin )x x b) yx e2 x3 cosx lny = 2lnx + x3 + lncosx y'
y =
2
x + 3x
2
– tanx
y' (x e2 x3 cos )x 3x2 – tanx x
3.2 Vi phân hàm số
(50)Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khoảng X Ta biết, nếu f(x) liên tục điểm điểm x0 Xthì số gia f x( 0) f x( 0 x) f x( 0)là VCB x
Định nghĩa Hàm số f(x) gọi khả vi điểm x0 tồn số thực k cho:
f x( 0) k x ( x) (3.2.1) Tích k x biểu thức (3.2.1) gọi vi phân hàm số f(x) điểm x0 ký hiệu df(x0): df x( 0) k x
Ví dụ 3.4: Xét hàm số f x( ) x2 Tại điểm x0 bất kỳ, ta có:
2 2
0 0
0
( )
2
f x x x x x x x x x x
Theo định nghĩa, f(x) hàm khả vi x0 df x( 0)2x0x
3.2.1.2 Liên hệ với đạo hàm
Định lý Hàm số f(x) khả vi điểm x0 có đạo hàm điểm đó Khi số k hệ thức (3.2.1) đạo hàm hàm số f(x) điểm x0, tức
df x( 0) f x'( 0)x (3.2.2) 3.2.1.3 Biểu thức vi phân
Theo định lý mục (3.2.2), vi phân hàm số f(x) điểm x (nếu khả vi) tính theo cơng thức:
df x( ) f x'( )x (3.2.3) Nếu hàm số y = f(x) khả vi điểm thuộc khoảng X biểu thức vi
phân df x( ) f x'( )x hàm số đối số x xác định khoảng X (x số gia bất kỳ, không phụ thuộc vào X) Áp dụng công thức cho hàm số f(x) = x ta có dx x' x x
Vậy, vi phân biến độc lập x số gia nó, biểu thức (3.2.3), người ta thường viết dxthay cho x
Do đó, biểu thức vi phân hàm số y = f(x) thường viết dạng: df x( ) f x dx'( ) dyy dx'x ( 3.2.4) 3.2.2 Các quy tắc tính vi phân
(51)Định lý Nếu hàm số u = u(x), v = v(x) khả vi điểm x điểm ta có:
d u( v) dudv; ( )
d ku kdu ( k số ) ; d uv( )udvvdu;
d u vdu 2udv
v v
(v ≠ 0)
3.2.2.2 Tính bất biến biểu thức vi phân
Nếu y = f(x) hàm số khả vi biến độc lập x vi phân tính theo cơng thức (3.2.4) Ta xét trường hợp x hàm số khả vi biến độc lập t : x( )t Khi y hàm số biến độc lập t :
[ ( )]
y f t
Theo cơng thức tính vi phân theo quy tắc tính đạo hàm hàm hợp, ta có
' ' ' ' ' '
( ) ( )
t x t x t x
dyy dt y x dty x dty dx
Như : Biểu thức vi phân( 3.2.4) giữ nguyên dạng trường hợp x biến độc lập mà phụ thuộc vào biến độc lập khác Nói cách khác, biểu thức vi phân ( 3.2.4) bất biến phép đổi biến số x( )t 3.3 Các định lý hàm số khả vi
3.3.1 Định lý Fermat
Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng X Nếu f(x) đạt cực trị điểm c bên khoảng X ( c không trùng với đầu mút khoảng X ) nếu điểm c tồn đạo hàm hữu hạn f’(c) đạo hàm phải khơng
Chứng minh:
Thật vậy, khơng tính tổng quát ta giả sử f(x) đạt cực đại x = c Vậy với x ≠ bé ta có f(c + x) – f(c) <
Nếu x > f c( x) ( ) f c
x
Cho x ta
0
( ) ( ) '( 0) lim
x
f c x f c f c
x
(3.3.1)
Nếu x < f c( x) ( ) f c
x
(52)
0
( ) ( )
'( 0) lim
x
f c x f c f c
x
(3.3.2)
theo giả thiết f c'( ) hữu hạn nên từ (3.3.1)và (3.3.2)suy f c'( ) = 0.■ 3.3.2 Định lý Rolle
Nếu hàm số f(x):
a) Liên tục đoạn [a ; b]; b) Khả vi khoảng mở (a ; b); c) Thỏa mãn điều kiện f(a) = f(b);
thì tồn điểm c (a; b) cho f’(c) =
Chứng minh: Nếu f(x) hàm đoạn [ ; ]a b f x'( )0, x (a; b) Vậy ta giả sử f(x) khơng hàm [ ; ]a b
Vì f(x) liên tục đoạn [ ; ]a b nên hàm số đạt giá trị lớn nhỏ đoạn Mà f(x) khơng số nên tồn
tại c (a; b) cho c hàm số đạt giá trị lớn nhỏ nhất, khơng tính tổng qt ta giả sử f(c) lớn [ ; ]a b Khi theo định lý Fermat ta có
'( )
f c ■
Ý nghĩa hình học: Nếu cung AB đườngy f x( ) với
; ( ) , ; ( )
A a f a B b f b
liên tục, có tiếp tuyến điểm f a( ) ( ) f b cung có nhất điểm C có hồnh độ c (a; b), tiếp tuyến song song với trục Ox, tất nhiên tiếp tuyến song song với dây cung AB
3.3.3 Định lý Lagrange Nếu hàm số f(x):
a) Liên tục đoạn [a; b]; b) Khả vi khoảng mở (a; b);
thì tồn điểm c (a; b) cho f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) (3.3.3) Chứng minh:
Xét hàm số h(x) = f(x) – f(a) – (x – a) f b( ) f a( )
b a
, x [a; b] f(a) = f(b)
A
B
C2
C1
a c1
c2
(53)Thấy hàm h(x) thỏa mãn định lý Rolle nên tồn c (a; b) cho '( )
h c
Mặt khác h x'( ) f x'( ) f b( ) f a( )
b a
( ) ( ) '( ) '( ) f b f a
h c f c
b a
=
f c'( ) f b( ) f a( )
b a
, c (a; b).■ Ý nghĩa hình học: Chú ý
( ) ( )
f b f a b a
hệ số góc dây cung AB, cịn f c'( )là hệ số góc tiếp tuyến của hàm số f(x) x = c Nếu hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện a) b) cung AB đường cong f(x) với
; ( ) , ; ( )
A a f a B b f b có
điểm C có hồnh độ c (a; b), tiếp tuyến song song với dây cung AB Nhận xét: Định lý Rolle trường hợp đặc biệt định lý Lagange Thật vậy, f a( ) ( ) f b từ cơng thức (3.3.3) ta có f c'( )
3.3.4 Định lý Cauchy
Nếu hàm số f(x), g(x) thỏa mãn điều kiện: a) Liên tục đoạn [a; b];
b) Khả vi khoảng (a; b) g’(x) ≠ 0, x (a; b); thì tồn điểm c (a; b) cho
( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
f b f a f c g b g a g c
(3.3.4)
Chứng minh:
Vì g(x) thỏa mãn định lý Lagrange nên c (a; b) cho g b( ) – ( ) g a '( )(g c ba)
Mặt khác, g c'( ) nên từ hệ thức suy rag a( )g b( )
Bây ta xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )
f b f a
h x f x f a g x g a g b g a
Thử trực tiếp, thấy hàm số h(x) thỏa mãn giả thiết định lý Rolle, c (a; b) cho: h c'( )0
Mặt khác ta có
y
x f(b)
f(a)
B
A
a c1 c2 b
(54)( ) ( ) '( ) '( ) '( )
( ) ( )
f b f a
h x f x g x
g b g a
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )
f b f a f c g b g a g c
■
Chú ý: Định lý Rolle trường hợp đặc biệt định lý Lagrange, chọn g(x) = x, ta cóg'(x) 1, g'(c)1, g(a)a, g(b)b Thế vào công thức (3.3.4), ta công thức (3.3.3)
Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng: sinxsiny x y
Giải: Xét hàm sốy sinx, hàm số thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange đoạn [a; b] tùy ý Áp dụng định lý Lagrange đoạn [x; y] (hay [y; x]), ta có:
sin – sinx ycosc x –y, cx y; sinxsiny cosc x y x y.■
Ví dụ 3.5: Xác định điểm C định lý Lagrange với hàm số f x( )x2 đoạn1;3
Giải: Dễ thấy hàm số f x( ) x2 thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange.Ta có f x'( )2 x Suy tồn c 1; cho
'( ) (3) ( 1) ( 1)
f f f c
2c = 9
c = Vậy C(2, 4) 3.4 Đạo hàm vi phân cấp cao
3.4.1 Đạo hàm cấp cao
Như ta biết, hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm X đạo hàm y'f'(x) là hàm số đối số x xác định miền X, ta lấy đạo hàm hàm số y'f'(x) Đạo hàm đạo hàm hàm số y = f(x) được gọi đạo hàm cấp hàm số Tiếp theo, ta lại xét đạo hàm cấp hàm số y = f(x) hàm số đối số x lấy đạo hàm
Định nghĩa Đạo hàm đạo hàm cấp n 1 hàm số y = f(x) gọi đạo hàm cấp n hàm số
Ký hiệu :
+) Đạo hàm cấp : y'' f ''( )x
2
2
( )
d y d f x dx dx ; +) Đạo hàm cấp : y''' f '''( )x
3
3
( )
(55)+) Đạo hàm cấp n : y( )n f( )n ( )x ( )
n n
n n
d y d f x dx dx ;
Ví dụ 3.6: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: a) y = ekx
b) y sinx c)y a
bx c
(a, b, c số, ab ≠ 0) Giải:
a) Ta cóy'kekx; ''y k e2 kx; ; y( )n k en kx b) Ta có ' cos sin
2
y x x
'' cos sin
2
y x x
( ) sin
2
n
y x n c) y a
bx c
1
a y
c b x
b
y' = b a
2
1 (x c)
b
y''= a b
2
3
( 1) 1.2 (x c)
b
y( )n = a
b
( 1) 1.2 ( )
n
n
n c x
b
y( )n = a
b
( 1) ! ( )
n
n
n c x
b
3.4.2 Vi phân cấp cao
(56)số gia x, không phụ thuộc x Khái niệm vi phân cấp cao định nghĩa tương tự đạo hàm cấp cao
Định nghĩa Vi phân cấp n hàm số y = f(x) vi phân vi phân cấp
1
n hàm số
Vi phân cấp n hàm số y = f(x) ký hiệu d y d f xn , n ( ):
1
( )
n n
d yd d y
Trong công thức vi phân dy y x dx'( ) , đạo hàm y' phụ thuộc x,
x
d x số gia biến độc lập x, khơng phụ thuộc x Do đó, xem dy hàm số x dx xem số Ta có:
2
2
( ) [ '( ) x] x [ '( )] x.[ '( )] ' x ''( )( x)
d y d dy d y x d d d y x d y x d y x d
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh cơng thức tính vi phân cấp n hàm số theo đạo hàm cấp n nó:
( )
( x)
n n n
d y y d
3.5 Ứng dụng đạo hàm việc tính giới hạn dạng vơ định 3.5.1 Tính giới hạn dạng vô định dạng 0
0
Quy tắc L’Hospital
Quy tắc L’Hospital cho phép ta sử dụng đạo hàm để khử dạng vô định dạng
0
tính giới hạn hàm số
Định lý Giả sử
a) Các hàm số f(x), g(x) khả vi lân cận V() điểm x0 (có thể trừ điểm x0), g’(x) ≠ lân cận ấy;
b)
0
lim ( ) lim ( )
xx f x xx g x
Khi tồn
0
'( ) lim
'( )
x x
f x g x
tồn giới hạn 0
( ) lim
( )
x x
f x g x
0
'( ) lim
'( )
x x
f x g x
= 0
( ) lim
( )
x x
f x g x
Chú ý: (1) Quy tắc L’Hospital nếu: (i)
0
lim ( ) lim ( )
(57)(ii) lim ( ) lim ( )
x f x xg x ;
(iii) lim ( ) lim ( )
x f x xg x
(2) Khi áp dụng quy tắc L’Hospital mà giới hạn cịn dạng vơ định loại trên, ta áp dụng tiếp quy tắc L’Hospital với điều kiện định lý
Ví dụ 3.7: Tìm giới hạn sau a)
3
2
3
27 27
lim lim
2 4
x x x x x x x b) 2
0 0
2 1 cos cos
lim lim lim
sin cos cos (1 cos ) cos
lim cos
x x x
x
tgx x x x
x x x x x
x x
c) 3 2
0 0
sin cos sin lim lim lim
6
x x x
x x x x
x x x d)
2 2
1
6cos3 sin3 cos
lim lim lim
3 3.2cos sin cos
x x x
tgx x x x
tg x x x
x 2 sin6 6cos6 lim lim
sin2 2cos2 x x x x x x
3.5.2 Các dạng vô định khác
Tất dạng vơ định khác biến đổi dạng
0
+) Dạng vô định 0. dạng giới hạnlim( )f g , f = f(x) có giới hạn hàm số g = g(x) có giới hạn
Gặp dạng vô định ta biến đổi dạng 0 sau: ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x
g x
(58)( ) ( ) ( ) ( )
g x f x g x
f x
(với f(x) 0, g(x) x x0)
+) Dạng vô định dạng giới hạn lim f g, f = f(x), g = g(x) hai hàm số dấu có giới hạn
Gặp dạng vô định ta biến đổi dạng 0
sau:
( ) – ( ) 1 1 ( ) ( )
f x g x
f x g x
=
1 ( ) ( )
1 ( ) ( )
g x f x f x g x
+) Các dạng vơ định 00, 1, 0 xuất tính giới hạn biểu thức
g
f , f = f(x) > g = g(x)
Gặp dạng vô định ta khử dạng vô định sau:
Từ hàm số y = f(x)g(x), ta lấy logarit Napier hai vế ln y g x( ) ln ( )f x Do đó:
ln ( )
g x f x
y e Do tính chất hàm liên tục ta có:
0
lim ( ) ln ( )
lim x x g x f x
x x y e
Ví dụ 3.8: Tìm giới hạn sau
a)
0
lim x
x x ;
b) 1 lim x x x
Giải: a) Ta có
0
lim x
x x =
2
lim( ln )
x x x
e
Ta lại có
lim( ln )
x x x = 0 ln
lim lim lim
1 2
x x
x
x x x
x x Vậy lim x
x x = e
0
(59)b) Ta có 1 lim x x x = lim( ln )
1
x x x
e
Ta lại có
1 1
1
2 ln
lim ln 2lim 2lim
1 1
x x x
x x x x x Vậy 2 x limx x e
Chú ý: Định lý L’Hospital điều kiện đủ điều kiện cần tồn giới hạn tỷ số
0 ( ) lim ( ) x x f x g x
có dạng 0 ,
Ví dụ 3.9: Ta có
2 sin lim x x x x
= (dạng 0
),
Tuy nhiên
2 ( sin )'
1
2 sin cos ( )'
x
x x
x x x Suy không tồn giới hạn
2 ( sin )'
( )'
x x
x , áp dụng quy tắc L’Hospital
3.6 Sử dụng đạo hàm phân tích kinh tế 3.6.1 Ý nghĩa đạo hàm kinh tế học 3.6.1.1 Đạo hàm giá trị cận biên
Xét mơ hình hàm số y = f(x), x y biến sơ kinh tế ( ta coi biến độc lập x biến số đầu vào biến số phụ thuộc y biến số đầu ) Trong kinh tế học, người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên biến phụ thuộc y điểm x0 biến độc lập x thay đổi lượng nhỏ Chẳng hạn,
khi xét mơ hình hàm sản xuất Q = f(L), người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm vật tăng thêm sử dụng thêm đơn vị lao động
Theo định nghĩa đạo hàm :
0
0 0 0
( ) ( )
' lim lim
x x
y f x x f x
f x x x
Khi x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ, ta có
0
0
( ) ( )
lim '( )
x
y f x x f x
f x
x x
(60)0 0
( ) ( ) '( )
y f x x f x f x x
Với x ta có y f x'( )0 Như vậy, đạo hàm f x'( 0) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị biến phụ thuộc y biến độc lập x tăng thêm đơn vị
Khi xét mơ hình y = f(x) biểu diễn ảnh hưởng biến số kinh tế x biến số kinh tế y, nhà kinh tế gọi f x'( 0) giá trị y – cận biên x điểm x0
Đối với hàm kinh tế, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể sau:
+) Đối với mơ hình hàm sản xuất Q = f(L) f L'( 0)được gọi sản phẩm vật cận biên lao động điểm L0 Sản phẩm vật cận biên của lao động ký hiệu MPPL (Marginal physical product of labor):
0
'( )
L
MPP f L
Tại điểm L, MPPL cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị lao động
+) Đối với mơ hình hàm doanh thu TR = TR(Q) TR Q' 0 gọi doanh thu cận biên điểm Q0 Doanh thu cận biên ký hiệu MR (Marginal Revenue):
0 '
MRTR Q
Tại mức sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doang thu tăng thêm sản xuất thêm đơn vị sản phẩm Đối với doanh nghiệp cạnh tranh, ta có:
TR pQ MR p( p giá sản phẩm thị trường )
+) Đối với mơ hình hàm chi phí TC = TC(Q) TC Q'( 0) gọi chi phí cận biên điểm Q0 Chi phí cận biên ký hiệu MC (Marginal Cost):
'( )
MCTC Q
Tại mức sản lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm sản xuất thêm đơn vị sản phẩm
+) Đối với hàm tiêu dùng C = C(Y) C Y'( ) gọi xu hướng tiêu dùng cận biên ký hiệu MPC (Marginal Propensity to Consume):
'( )
MPCC Y
Tại mức thu nhập Y, MPC số đo xấp xỉ lượng tiêu dùng gia tăng người ta có thêm $1 thu nhập
(61)'( )
MPSS Y
Tại mức thu nhập Y, MPS số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng người ta có thêm $1 thu nhập
Ví dụ 3.10: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp là:
Q L
Ở mức sử dụng L = 100 đơn vị lao động (chẳng hạn 100 lao động tuần), mức sản lượng tương ứng Q = 80 sản phẩm Sản phẩm cận biên lao động tại điểm L = 100 là:
4
' 0,4
L
MPP Q
L
( L = 100 )
Điều có nghĩa tăng mức sử dụng lao động hàng tuần thêm đơn vị (từ 100 lên 101) sản lượng hàng tuần tăng thêm khoảng 0,4 đơn vị vật 3.6.1.2 Quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Xét mơ hình hàm số y = f(x), y biến số biểu diễn lợi ích (chẳng hạn thu nhập, doanh thu, lợi nhuận ) x biến số mô tả yếu tố đem lại lợi ích y Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói x lớn giá trị y – cận biên nhỏ, tức My '( )f x hàm số đơn điệu giảm (ít theo nghĩa rộng) Dưới góc độ tốn học, điều kiện để MY giảm dần theo x là:
(My)' ''( )f x 0
Ví dụ 3.11: Nếu hàm sản xuất ngắn hạn ước lượng dạng Q AL (A số dương) quy luật lợi ích cận biên giảm dần đòi hỏi:
2
'' ( 1)
Q AL
3.6.2 Tính hệ số co dãn
Một vấn đề quan tâm kinh tế phản ứng cung cầu biến động giá thị trường Với giả thiết yếu tố khác không thay đổi, phụ thuộc lượng cầu Qd vào giá p biểu diễn hàm cầu:
Qd = D(p)
(62)của cầu hàng hóa biến động giá cả, nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co giãn
Hệ số co giãn cầu theo giá ( Tính mức giá ) số đo lượng thay đổi tính theo % lượng cầu tăng giá 1%
Tại mức giá p, Nếu giá thay đổi lượng p lượng cầu thay đổi tương quan lượng Qd Mức phần trăm thay đổi lượng cầu tính bình qn cho 1% thay đổi giá là:
( / ).100 ( )
( / ).100 ( )
d d d
d
Q Q Q p D p p
p p p Q p D p
Chuyển qua giới hạn p ta cơng thức tính hệ số co giãn cầu theo giá điểm p:
( )
'( ) ( ) ( ) ( )
d d
dQ p dD p p p
D p
dp Q d p D p D p
Ví dụ 3.12: Nếu hàm cầu Q = 1000 – p2 hệ số co giãn mức giá p là:
2
2
(1000 )'
'( )
( ) 1000 1000
p p p p
D p
D p p p
Khi p = 20 ta có 1,33 Điều có nghĩa mức giá p = 20, giá tăng 1% cầu giảm khoảng 1,33%
3.6.3 Quan hệ hàm bình quân hàm cận biên
Trong kinh tế, người ta dùng hàm chi phí biểu diễn tổng chi phí TC mức sản lượng Q:
TC = TC(Q)
Khi phân tích sản xuất, với hàm chi phí, người ta cịn sử dụng hàm chi phí bình qn hàm chi phí cận biên Ở mức sản lượng Q, chi phí bình qn lượng chi phí tính bình qn đơn vị sản phẩm:
( )
TC Q AC
Q
Chi phí cận biên mức sản lượng Q số đo xấp xỉ lượng chi phí gia tăng sản xuất thêm đơn vị sản phẩm Hàm chi phí cận biên MC đạo hàm tổng chi phí:
'( )
MCTC Q
(63)'
2
( )' ( )'
'( )
TC TC
TC TC Q TC Q MC AC
AC Q
Q Q Q Q
Do Q > nên dấu AC Q'( ) dấu MCAC Từ suy quy tắc: +) Nếu MC > AC AC Q'( ) > 0, tức chi phí cận biên lớn chi phí bình qn chi phí bình qn tăng;
+) Nếu MC < AC AC Q'( ) < 0, tức chi phí cận biên nhỏ chi phí bình qn chi phí bình qn giảm;
+) Nếu MC = AC AC Q'( ) = 0, tức chi phí bình qn có thể đạt cực tiểu điểm mà chi phí cận biên chi phí bình quân
Tương tự, doanh thu bình quân AR Q( ) TR Q( )
Q
doanh thu cận biên ( ) '( )
MR Q TR Q nhà sản xuất liên hệ với sau:
+) Nếu MR > AR AR Q'( ) > 0, tức doanh thu cận biên lớn doanh thu bình quân doanh thu bình quân tăng;
+) Nếu MR < AR AR Q'( ) < 0, tức doanh thu cận biên nhỏ doanh thu bình quân doanh thu bình quân giảm;
+) Nếu MR = AR AR Q'( ) = 0, tức doanh thu bình quân chỉ đạt cực đại điểm mà doanh thu cận biên doanh thu bình quân
3.6.4 Sự lựa chọn tối ưu kinh tế
Trong lĩnh vực hoạt động kinh tế, việc định gắn liền với việc tối ưu hóa hàm mục tiêu y = f(x) Bài toán đặt là: Lựa chọn x để y đạt giá trị lớn giá trị nhỏ Đối với doanh nghiệp sản xuất, mục tiêu thường đặt tối đa hóa lợi nhuận
3.6.4.1 Chọn mức sản lượng tối ưu
Giả sử doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC(Q) hàm tổng doanh thu TR(Q) Tổng lợi nhuận doanh nghiệp hàm số:
( ) ( )
TR Q TC Q
Bài toán đặt là: Chọn mức sản lượng Q0 để thu lợi nhuận tối đa Điều
kiện cần để đạt cực đại điểm Q0 là:
0 0
' TR Q'( ) TC Q'( ) TR Q'( ) TC Q'( ) MR MC
(64)Tại điểm mà MR = MC, điều kiện đủ để đạt cực đại là: '' TR'' TC'' TR'' TC''
Ví dụ 3.13: Cho biết hàm doanh thu hàm chi phí nhà sản xuất sau:
2
1400 7,5 , 140 750
TR Q Q TCQ Q Q
Hãy chọn mức sản lượng tối ưu ( cho lợi nhuận tối đa ) Giải:
Hàm lợi nhuận nhà sản xuất trường hợp là:
3
1,5 1260 750
TR TC Q Q Q
Điều kiện cần để đạt cực đại là:
' 3Q 3Q 1260
Từ phương trình ta tìm Q = 20 ( loại Q 21 điều kiện Q > ) Tại điểm Q = 20 ta có '' 6Q 3 1230, Q = 20 điểm cực đại Chú ý rằng, khoảng (0;) hàm lợi nhuận có điểm cực trị nhất, mức sản lượng tối ưu nhà sản xuất Q = 20
3.6.4.2 Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố đầu vào
Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh tiến hành sản xuất với hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L), điều kiện giá sản phẩm thị trường p giá lao động (tiền công) w Khi tổng lợi nhuận hàm số biến số L (lượng lao động sử dụng):
0
( )
p f L w L C
( C0 chi phí cố định )
Bài tốn đặt : Chọn L để đạt cực đại Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa :
' p f L '( ) w p MMP L w
Như điều kiện cần để lợi nhuận đạt tối đa là: Giá trị tiền sản phẩm vật cận biên lao động giá lao động
Tại điểm L0 mà điều kiện cần thỏa mãn, điều kiện đủ để đạt lợi
nhuận tối đa là:
0
'' p f ''(L ) f''(L )
(65)Ví dụ 3.14: Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất ngắn hạn 50
Q L, giá sản phẩm $4 giá lao động $5 Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là:
25
4.MPPL 5 L 400
L
Điều kiện đủ thỏa mãn: Q'' 12,5
L L
(66)CHƯƠNG PHÉP TỐN TÍCH PHÂN 4.1 Nguyên hàm tích phân bất định
4.1.1 Nguyên hàm hàm số 4.1.1.1 Khái niệm nguyên hàm
Định nghĩa Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm f(x) khoảng X với x X, ta có:
'( ) ( )
F x f x hay dF(x) = f(x)dx
Ví dụ 4.1: Hàm số sin xlà nguyên hàm hàm sốcos x tồn trục số vì: (sin )'x cos , x x
4.1.1.2 Biểu thức nguyên hàm tổng quát
Định lý Giả sử hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) khoảng X Khi đó:
- Hàm số F(x) + C với C số tùy ý, nguyên hàm f(x);
- Ngược lại, nguyên hàm f(x) có dạng: F(x) + C, C là số tùy ý
4.1.2 Tích phân bất định 4.1.2.1 Định nghĩa tích phân
Định nghĩa Tích phân bất định hàm số f(x) tập hợp tất nguyên hàm hàm số ký hiệu là: f x dx( )
Vậy f x dx( ) F x( ) C +) Dấu gọi dấu tích phân;
+) f(x) gọi hàm số dấu tích phân; +) f(x)dx gọi biểu thức dấu tích phân; +) x gọi biến số lấy tích phân
Ví dụ 4.2: cosxdxsinxC
4.1.2.2 Các tính chất tích phân bất định
Từ định nghĩa tích phân bất định, dễ dàng suy tính chất sau:
a)
'
( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x hay d f x dx f x dx
;
(67)c) af x dx( ) a f x dx( ) ( »a lµ h ng sè); d) f x( ) ( )g x dx f x dx( ) g x dx( ) 4.1.3 Các cơng thức tích phân
Với a số dương, ta có cơng thức sau:
( 1)
x
x dx C
cot
sin
dx
x C
x
ln
dx x C
x
tanxdx ln cos x C
x
x a
a dx (a vµ a 0) lna C
cotxdx ln sin x C
x x
e dxe C
2
1 tan cot dx x arc C
a x a a
x arc C a a
sinxdx cos x C
2
1
ln ;
2
dx a x
C
a x a a x
cosxdx sin x C
2 arcsin ;
dx x C a a x
2 tan cos
dx
x C
x
ln ;
dx
x x k C
x k
Ví dụ 4.3: Tính
2
(1 ) (1 )
x dx x x Giải 2
2 2
(1 ) 2
ln
(1 ) (1 )
x x x
dx dx dx x arctgx C
x x x x x x
Ví dụ 4.4 : Tính 2 2 sin cos
dx
x x
Giải: Vì 1sin2x cos2x nên
2
2 2 2
1 sin cos 1
tan cot
sin cos sin cos cos sin
x x
dx dx dx x x C
x x x x x x
(68)Ví dụ 4.5 : Tính cos2 cos sin
x
I dx
x x
Giải: Ta có
2
cos sin
cos sin sin cos cos sin
x x
I dx x x dx x x C
x x
4.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 4.2.1 Phương pháp đổi biến số
Xét tích phân sau I f x dx( )
Giả sử x ( ) t hàm số liên tục, có đạo hàm liên tục có hàm số ngược Khi dx '( ) t dt Trong trường hợp ta có cơng thức
f x dx( ) f( )t '( )t dt
Trong dạng ta dễ dàng tìm ngun hàm nó, chẳng hạn f( )t '( )t dt t C
Vậy trở lại biến cũ t 1( ) x ta được:
I f x dx( ) ( 1( )) x C
Ví dụ 4.6: Tính 1x dx2
Giải: Hàm số dấu tích phân xác định x1,1 Để khử căn, ta đổi biến số xsint với ;
2
t
Ta có :
cos ,
dx tdt 1x2 cos 2t cos t cost ; 2
t
cos2 11 cos2 ( sin2 )
2 2
t
x dx tdt t dt t C
Trở biến số x, ta có :
arcsin
(69)2 1
1 arcsin
2
x dx x x x C
Ví dụ 4.7: Tính
2 22
dx x a
Giải: Đổi biến sốx a.tant, với , 2
t
, ta có cos
adt dx
t
,
2 2
2 + = tan
cos
a
x a a t
t
;
2 22 2
2
2 cos
cos
dx adt
x a a
t t
= 13 cos2 13 1 cos2
tdt t dt
a a
= 13 sin2
2 t t C a
Trở biến số x, ta có :
2
tan
arctan , sin , cos
1 tan tan
x t
t t t
a t t
,
2
2 2
2 tan
sin cos
1 tan
1
x
t a ax
t t
x
t a x
a
2 22 2
1
arctan
2
dx x x
C
a a a x a
x a
Chú ý: Nếu biểu thức dấu tích phân f(x)dx viết dạng:
( ) ( ) '( ) ,
f x dxg x x dx
thì ta thực phép biến đổi ( )x tvà :
( ) [ ( )] '( ) ( )
f x dx g x x dx g t dt
Ví dụ 4.8: Tính
(70)Vì
2
2
6
1
3
1 ( )
x dx
x dx
x x
, mà3x2(x3)', nên ta đổi biến số x3 = t Ta có 3x2dx = dt, đó:
2
3
6
1 1
arctan arctan( )
1 3
x dx dt
t C x C
x t
Ví dụ 4.9: Tính lnx2dx x
Giải: Đặt t = lnx, ta có dt dx
x
Do đó:
2
2
(ln )
(ln )
3
x dx t
t dt C x C
x
Ví dụ 4.10: Tính
2 x x e dx e Giải: Vì 4 1 x x x x x
e dx e
e dx
e e
(1 )'
x x
e e
, nên đổi biến số
, x
t e ta cóex t 1, e dxx dt 3
2 4 4
4 4 4 x x
e dx t t t
dt t t dt C
e t = 4 4 1 x x
e e C
4.2.2 Phương pháp tính tích phân theo phần
Giả sử u(x), v(x) hai hàm số khả vi, có đạo hàm u x v x'( ), '( )liên tục Khi từ cơng thức vi phân tích: d(uv) = udv + vdu
Suy :
udv d uv( ) vdu udvuv vdu (4.2.1) Công thức (4.2.1) gọi cơng thức tính tích phân phần
Chú ý: Công thức (4.2.1) thường áp dụng việc tính v biết dv dễ dàng việc tính vdu đơn giản việc tính udv
(71)b) xarctanxdx c) e2xcosx dx Giải:
a) xsinx dx= xd( cos ) x xcosx cosxdx xcosxsinxC b) xarctanxdx =
2
arctan
2 x x d
= 2 arctan
2
x x x dx x = 2
1 1
arctan
2
x x x dx x = 2 1
arctan (1 )
2
x x dx x =
arctan ( arctan )
2
x
x x x C c) e2xcosx dx = e2xd(sin )x e2xsinx2 sin xe2xdx
= e2xsinx2 e2xd(cos )x
= e2xsinx2cosxe2x4 cosxe2xdxC
2xcos
e xdx
= (sin 2cos )
x
e x x C
Chú ý: Phương pháp tính tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau đây:
+) ( ) cos , ( )sin , ( ) ax
n n n
P x axdx P x axdx P x e dx
: Đặt u = Pn(x)
+) P xn( )arccosax dx, P xn( )arcsinaxdx, P x arcn( ) cotx dx, ( )arctan , ( )ln :
n n
P x x dx P x xdx
Đặt dv = Pn(x)dx
(trong a số, Pn(x)là đa thức bậc n x) Ví dụ 4.12: Tính (x23)e dxx
Giải: Đặt
2
x
u x
dv e dx
x du xdx v e
Theo công thức (4.2.1) ta được:
3 x x x
x e dx x e xe dx
(72)Đặt u x x
dv e dx
x
du dx
v e
Do đó: x23e dxx x23ex 2(xex e dxx )
(x23)ex2(xex ex C)x e2 x2xex ex C1
Ví dụ 4.13: Tính (x25x1) lnxdx
Giải: Đặt ln 2
( 1)
u x
dv x x dx
1
3
du dx
x
x x
v x
Khi (x25x1) lnxdx =
3 2
5
ln ( 1)
3
x x x x
x x dx
=
3
5
ln
3
x x x x
x x x C
4.3 Một số dạng tích phân
4.3.1 Tích phân phân thức hữu tỷ 4.3.1.1 Phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc
Tích phân P x( ) dx axb
(P(x) đa thức) tính dễ dàng cách biểu diễn biểu thức dấu tích phân dạng:
( )
( )
P x c
Q x
axb axb
trong Q(x) thương phép chia đa thức c số dư phép chia Tích phân đa thức Q(x) tính dễ dàng, cịn tích phân hạng thức thứ hai tính theo cơng thức:
1 ln
dx
ax b C axb a
Ví dụ 4.14: Tính tích phân
2
x x
I dx
x
(73)2
2
3 5
2 4(2 1)
5
ln
4
x x
I dx x dx
x x
x
x x C
4.3.1.2 Phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc hai Xét tích phân:
2 ( )
P x
dx x pxq
Bằng cách chia đa thức, ta biểu diễn biểu thức dấu tích phân dạng:
2
( )
( )
P x Mx N
Q x
x px q x px q
trong nhị thức MxNlà phần dư phép chia Để tính tích phân I 2Mx N dx
x px q
ta biến đổi phân thức dấu tích phân sau:
2
(2 )
2
M Mp
x p N
Mx N
dx dx
x px q x px q
(22 ) 2
2
M x p dx Mp dx
N
x px q x px q
Sau khai triển ta
2 2
( )
2
Mx N M d x px q Mp dx
I dx N
x px q x px q x px q
ln 2 M Mp
x px q N K
Tích phân K 2 dx
x px q
tính sau :
+) Trường hợp Tam thức x2pxq có hai nghiệm phân biệt x1 x2:
1
1 2
1 ln
( )( )
dx dx x x
K C
x px q x x x x x x x x
(74)2 0 ( ) dx dx K C
x px q x x x x
+) Trường hợp Tam thức x2pxq nghiệm thực:
2
2 2 2
1
arctan
2
dx dx dt t
K C
x px q p p a t a a
x q 2 ,
2 4
p p q p
t x a q
Ví dụ 4.15:
Tính tích phân 52
( 2)( 5)
dx I
x x x
Giải: Ta có
25 2
( 2)( 5) ( 5)
x
x x x x x x =
1
2 ( 1)
x x x
Vậy 2
2 ( 1)
x I dx x x
= 2 12 ( 1)
2 ( 1)
x
dx dx d x
x x x x
= ln 1ln( 2 5) 1arctan
2 2
x
x x x C
4.3.2 Tích phân số biểu thức lượng giác
4.3.2.1 Tích phân dạng I R(sin ;cos )x x dx, R hàm số theo biến cosx, sinx
- Phương pháp giải tổng quát: Đặt tan
2
x
t Khi 2
dx dt
t
,
2 sin t x t , 2 cos t x t thay vào ta đưa I dạng tích phân hàm số hữu tỷ
- Đặc biệt:
+) Nếu R(sin ;cos )x x hàm lẻ biến sinx, tức ( sin ;cos ) (sin ;cos )
R x x R x x
dùng phép đặt t cosx
+) Nếu R(sin ;cos )x x hàm lẻ biến cosx, tức (sin ; cos ) (sin ;cos )
(75)dùng phép đặt t sinx
+) Nếu R(sin ;cos )x x hàm chẵn biếnsin ,cosx x, tức là: ( sin ; cos ) (sin ;cos )
R x x R x x
thì dùng phép đặt ttanx Ví dụ 4.16: Tính tích phân
4sin 3cos
dx I x x
Giải: Đặt tan
x
t suy 2
dx dt
t
,
2 sin t x t , 2 cos t x t
thay vào I ta có:
2
2
2
2
2 4
4
1
tdt
dt t
I
t t t t
t t
= 2
( 2)
dt
C t t
=
2 tan C x
Ví dụ 4.17: Tính tích phân
sin
dx I
x
Giải:
sin x hàm lẻ biến sin x nên ta đặt t cosx dt sinxdx sin
dx I
x
= sin2 2
sin xdx dt x t
= 1 t t dt
= 1ln
2 t C t = 1ln cos
2 cos
x C x Ví dụ 4.18: Tính tích phân
3 cos sin x I dx x Giải: Vì
3 cos sin
x x
hàm lẻ biến cosx nên ta đặt t sinx cos
dt xdx
3 cos sin x I dx x = 2
(1 sin ) cos (1 ) 15
4
4 sin 4
x x dx t dt
t dt
x t t
=
4 15ln
2 t
t t C
=
2
sin
4sin 15ln sin
2 x
(76)Ví dụ 4.19: Tính tích phân 2 2 sin 2sin cos cos
dx I
x x x x
Giải: Dễ thấy hàm dấu tích phân hàm chẵn biến sin x cos x Vậy, đặtttanx
2 2
2
(tan ) cos (tan tan 1) (tan tan 1)
( 1)
2 ( 1)
dx d x
I
x x x x x
dt d t
t t t
1
ln
2 2
1 tan ln
2 tan
t
C t
x
C x
4.3.2.2 Tích phân dạng
1 cos cos
I ax bxdx
2 sin cos
I ax bxdx
3 sin sin
I ax bxdx
Cả ba trường hợp ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng sau:
1
cos cos cos( ) cos( )
ax bx ab x ab x
1
sin os sin( ) sin( )
axc bx ab x ab x
1
sin sin os( ) os( )
ax bx c ab xc ab x
Khi lấy tích phân, vế phải biểu thức tích phân 4.3.3 Tích phân số biểu thức chứa
Trong phần ta xét tích phân số biểu thức vơ tỷ có dạng sau:
4.3.3.1 Tích phân dạng , , ,
m r
n s
ax b ax b
I R x dx
cx d cx d
(77)trong R hàm số hữu tỷ x, m n ax b cx d , , , r s ax b cx d
Gặp trường hợp ta đặt tk ax b cx d
, k mẫu số chung nhỏ
nhất phân số m, , r
n s
Khi đưa tích phân cho dạng tích phân hàm số hữu tỷ ẩn t Ví dụ 4.20: Tính tích phân
2 ( 1) ( ) x dt I
x x x
Giải:
Ta thấy k = MSCNN 1; ;1 2
=
Vậy đặt x t6dx6t dt5 , xt3,
x t thay vào I ta được:
6
6
( 1)6
( )
t t dt
I
t t t
46 34
( 1)
6
(1 )
t dt t t t t t
dt
t t t
=
2
1 1 1 1
6 ( ) ln
2
t
t dt t t C
t t t t t t t
= 6
6
6
3 x x 6ln x C
x x x
4.3.3.2 Tích phân dạng I R x( , ax2bxc dx) Trong R hàm hữu tỷ x ax2bxc
Khi gặp tích phân dạng biến đổi tam thức bậc hai ax2 + bx + c dạng tổng hay hiệu hai bình phương Khi hàm R trở thành ba trường hợp sau:
+) Trường hợp 1: R x ; (kxl)2m2 trường hợp đặt:
tan
kx l m t, với t ,
+)Trường hợp 2: R x ; (kxl)2m2 trường hợp ta đặt: cos
m kx l
t
, với t
(78)+)Trường hợp 3: R x ; m2(kxl)2 trường hợp ta đặt:
sin
kx l m t, với t , (với a, b, c, k, l, m số; ak ≠ 0)
Ví dụ 4.21: Tính tích phân
2 (5 )
dx I x x
Giải: Ta có (52xx2) 4 (1 x)2 Đặt : x 2tan t 2
cos
dt dx
t
(1 )2
cos
x
t
, thay vào I ta được: 3 1
cos cos sin
4
2
(5 )
cos dt
dx t
I tdt t C
x x t
Mặt khác ta có sin t cos 2t =
2
tan
1 tan
t x
t x x
thay vào kết
quả ta được:
2
1
4
x I C x x 4.4 Tích phân xác định
4.4.1 Khái niệm tích phân xác định
4.4.1.1 Bài tốn tính diện tích hình thang cong:
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm [a; b] Hãy tính diện tích hình thang cong aABb giới hạn trục Ox, đường cong y = f(x) hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) (Hình vẽ bên)
Chia tùy ý đoạn [a; b] thành n đoạn chia nhỏ điểm chia:
a = x0 < x1 < < xi < xi+1 < < xn–1 < xn = b
Từ điểm chia ấy, dựng đường thẳng vng góc với trục Ox Khi đó, hình thang cong aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ
Diện tích hình thang cong nhỏ thứ i x
y
O a b
B A
x1 xi i xi+1 xn-1
(79)có thể xem gần diện tích hình chữ nhật có kích thước xi = xi + – xi f(i), với i điểm thuộc đoạn [xi; xi + 1] Do đó, diện tích S hình thang cong aABb gần bằng:
Sn = f(0)x0 + f(1)x1 + + f(n -1)xn -1 = -1
0
( )
n
i i
i
f x
Dễ thấy độ dài đoạn nhỏ xi nhỏ độ chênh lệch S Sn bé Do đó, diện tích S hình thang cong aABb xem giới hạn tổng Sn maxxi
1
max 0 lim ( )
i
n
i i
x i
S f x
4.4.1.2 Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm số f(x) xác định bị chặn đoạn [a; b] Chia cách tùy ý đoạn [a; b] điểm chia: a = x0 < x1 < < xi < xi+1 < < xn–1 < xn = b
Trên đoạn nhỏ [xi; xi +1], lấy điểm i lập tổng In = f(0)x0 + f(1)x1 + + f(n -1)xn -1 =
-1
0
( )
n
i i
i
f x
Nếu n cho maxxi 0, In dần tới giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] cách chọn i đoạn [xi; xi +1] giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f(x) đoạn [a; b]
Ký hiệu là: ( )
b
a
f x dx
Khi ta nói rằng:
+) Hàm số f(x) khả tích đoạn [a; b] +) Đoạn [a; b] gọi khoảng lấy tích phân,
+) a cận dưới, b cận trên, x biến số lấy tích phân, +) f(x) hàm số dấu tích phân,
+) f(x)dx biểu thức dấu tích phân Chú ý:
- Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số lấy tích phân, phụ thuộc vào hàm số f(x) cận lấy tích phân Tức ký hiệu
( )
b
a
f x dx
(80)( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
a a a a
f x dx f t dt f z dz f u du
- Với tốn tính diện tích hình thang cong xét ta có diện tích S hình thang tính cơng thức:
- Trong định nghĩa ta giả thiết a < b Nếu a > b ta có: ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
Đặc biệt a = b thì: ( )
a
a
f x dx
4.4.2 Điều kiện khả tích
Định lý Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(x) khả tích [a; b] Định lý Nếu f(x) bị chặn [a; b] có số hữu hạn điểm gián đoạn trong đoạn [a; b] f(x) khả tích [a; b]
Định lý Nếu f(x) bị chặn đơn điệu [a; b] khả tích [a; b] Ví dụ 4.22: Tính tích phân
b x a
I e dx (a < b) Giải:
Hàm số f x( )ex liên tục đoạn [a; b] nên khả tích đoạn [a; b] Ta có:
1
max 0 lim ( )
i
b n
x
i i
x i a
e dx f x
, giới hạn vế phải không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] cách chọn điểm i Vì vậy, ta chia đoạn [a; b] chọn điểm i cách đặc biệt để việc tính tốn đơn giản Ta chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ điểm chia:
x0 = a, x1 = a + x, , xi = a + ix, ,xn = a + nx với
b a x
n
chọn điểm i xi (i = 0, 1, 2, , n – 1) Khi đó, ta có:
1
0 xn (1 ( 1) ) .
x x a x n x
n
I e x e x e x e e e x
Biểu thức dấu ngoặc cấp số nhân, số hạng đầu 1, công bội x
Vậy:
1
n x a
n x
e
I e x
e
=
1
,
b a a
x
e
e x
e
nx = b – a ( )
b
a
(81)Do đó:
0 lim
1
b b a
x a
x x
a
e
e dx e x
e
0
(1 ) lim (1 )
1
a b a a b a
x x
x
e e e e
e
eb – ea
Nhận xét: Việc tính tích phân xác định trực tiếp từ định nghĩa ví dụ phức tạp hàm số dấu tích phân hàm số sơ cấp cơ ex Ở phần đưa phương pháp tính tích phân xác định đơn giản
4.4.3 Các tính chất tích phân xác định
Căn vào định nghĩa tích phân xác định, chứng minh tính chất sau:
Giả sử tích phân xác định sau tồn Khi đó:
a ( ) ( )
b b
a a
kf x dxk f x dx
(k số); b [ ( )1 2( )] 1( ) 2( )
b b b
a a a
f x f x dx f x dx f x dx
;
c ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
;
đẳng thức c không nằm a b
Giả sử tích phân sau tồn a < b Khi đó: d Nếu f(x) 0, x [a; b] ( ) 0;
b
a
f x dx
e Nếu f(x) g(x), x [a; b] ( ) ( ) ;
b b
a a
f x dx g x dx
f Nếu m f(x) M, x [a; b], m, M số thì:
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dxM ba
g Nếu f(x) liên tục đoạn [a; b] [a; b] cho:
( ) ( ) –
b
a
f x dx f b a
(82)Giá trị hàm số f(x) điểm : ( ) ( )
b
a
f f x dx
b a
gọi giá trị trung bình hàm số f(x) đoạn [a; b]
4.4.4 Liên hệ tích phân xác định ngun hàm Cơng thức Newton - Leibnitz
Cho đến nay, ta xét hai khái niệm nguyên hàm tích phân xác định cách độc lập Thực chất hai khái niệm có mối liên hệ với Trong mục này, ta thiết lập mối quan hệ
4.4.4.1 Đạo hàm tích phân theo cận
Giả sử f(x) hàm số liên tục [a; b] Xét tích phân ( )
x
a
f t dt
với a
x b Nếu giữ cận a cố định, để cận thay đổi giá trị tích phân phụ thuộc vào x Đặt ( ) ( )
x
a
I x f t dt
Hàm số I(x) xác định [a; b] Nó có tính chất sau:
Định lý Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b]
' '( ) ( )
x
a x
I x f t dt f x
x [a; b]
Chứng minh: Cho x số gia x cho x + x [a; b] Khi ta có: I(x + x) = ( )
x x
a
f t dt
( )
x
a
f t dt
+ ( )
x x
x
f t dt
Do I(x) = I(x + x) – I(x) = ( )
x x
x
f t dt
Theo tính chất g tích phân xác định, ta có: I(x) = f()x, điểm nằm x x + x Do đó:
0 0
( )
' lim lim lim ( )
x x x
I f x
I x f
x x
Khi x x + x x, suy x Vì hàm số f(x) liên tục x nên
0 '( ) lim ( )
x
I x f
= lim ( ) ( )
x f f x
(83)Nhận xét: Từ định lý ta suy f(x) liên tục [a; b] thì
;
x a b
, hàm số ( ) ( )
x
a
I x f t dt nguyên hàm f(x) Vậy khẳng định hàm số liên tục [a; b] có ngun hàm đoạn
4.4.4.2.Cơng thức Newton - Leibniz
Định lý Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) liên tục [a; b] thì: ( )
b
a
f x dx
F(b) F(a) (4.4.1) Chứng minh: Theo giả thiết F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Mặt khác, theo định lý 4, ( ) ( )
x
a
I x f t dt nguyên hàm f(x) Do đó: ( )
x
a
f t dt
= F(x) + C, x [a; b] Cho x = a, ta ( )
a
a
f t dt
= = F(a) + C C = F(a) Vậy ( )
x
a
f t dt
= F(x) F(a), x [a; b] Cho x = b, ta ( )
b
a
f x dx
F(b) – F(a).■
Công thức (4.4.1) gọi công thức Newton – Leibniz
Ký hiệu F(b) – F(a) = F(x)ba Khi cơng thức (4.4.1) viết : ( ) ( )
b
b a a
f x dxF x
4.4.5 Phương pháp đổi biến số 4.4.5.1 Đổi biến số thuận
Cho tích phân I = ( )
b
a
f x dx
, hàm số f(x) liên tục [a; b] Thực phép đổi biến số x = (t) Nếu:
(84)b) (t) ’(t) liên tục [; ]; c) f[(t)] liên tục [; ],
thì ta có cơng thức ( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
Thật vậy, F(x) nguyên hàm f(x) F[(t)] nguyên hàm f[(t)]’(t) Áp dụng công thức Newton – Leibniz, ta có:
( )
b
a
f x dx
= F x( )ba = F(b) – F(a) Hay:
( ( )) '( )
f t t dt
= F( ( )) t = F[ ( )] F[ ( )] = F(b) – F(a)
Ví dụ 4.23: Tính tích phân
2 dx I x Giải: Đặt x tant dx (1 tan )2t dt
Đổi cận
0
1
4
x t
x t
Thay vào I ta được:
2 dx I x = 4 2 0 cos tan dx tdt t =
(1 cos2 )
2 t dt
=
1 1
( sin2 )
2
p
p
t t
4.4.5.2 Đổi biến ngược
Nếu hàm dấu tích phân f(x) có dạng f(x) = g[(x)]’(x) để tích phân ( ) [ ( )] '( )
b b
a a
f x dx g x x dx
ta đổi biến số (x) = t Nếu (x) biến thiên đơn điệu có đạo hàm ’(x) liên tục [a; b] g(t) liên tục [(a), (b)], ta có cơng thức: ( )
b
a
f x dx
= [ ( )] '( )
b
a
g x x dx
= ( ) ( ) ( ) b a
g t dt
(85)Ví dụ 4.24 : Tính tích phân 2 cos 5sin sin
xdx I x x
Giải: Đặt sin x t cosxdx dt
Đổi cận:
0
1
x t
x t
thay vào I ta được:
1
2
0
cos
6 5sin sin
xdx dt
I
x x t t
=
1
0
1
3 dt
t t =
ln ln
2 t t
4.4.6 Phương pháp tính tích phân phần
Giả sử u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [a; b] Từ cơng thức tính tích phân phần tích phân bất định cơng thức Newton – Leibniz, suy công thức:
b b
b a
a a
udvuv vdu
Ví dụ 4.25: Tính tích phân
1
0
arctan
I x dx
Giải:
Đặt arctan
dx du u x x dv dx v x
Khi I =
arctan
x x
1 xdx x = 1
ln ln2
4 x
4.4.7 Tích phân suy rộng
4.4.7.1 Tích phân suy rộng có cận vơ hạn
Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng [ ; a ) Khi đó, với [ ; )
t a tồn tích phân:
( ) ( )
t
a
(86)Định nghĩa Giới hạn tích phân F(t) t gọi tích phân suy rộng hàm số f(x) khoảng [ ; a ) ký hiệu sau:
( ) lim ( )
t t
a a
f x dx f x dx (4.4.2) Nếu giới hạn vế phải tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng (4.4.2) hội tụ.Ngược lại, giới hạn vế phải vô hạn không tồn ta nói tích phân phân kỳ
Tích phân hàm số f(x) khoảng (; ],(a ; )được định nghĩa tương tự:
( ) lim ( )
a t a
t
f x dx f x dx
( ) lim ( )
v v u u
f x dx f x dx
Tương tự tích phân thơng thường, ta sử dụng công thức
( ) ( ) ( )
a
a
f x dx f x dx f x dx nếu hai tích phân vế phải hội tụ ( a số ) Ví dụ 4.26:
2
0
lim lim arctan lim arctan( ) arctan0
1
b
b b b
b dx dx x b x x Tương tự 2 dx x
2 2
0
1 1 2
dx dx dx
x x x
Ví dụ 4.27: Xét hội tụ
1 dx I x Với t > 1, ta có
1
1
1
( 1)
( )
(87)Với 1: lim ( ) lim 1 ;
1
t t
I F t t
Với 1: lim ( ) lim 1 ;
t t
I F t t
Với 1: lim ( ) lim ln ;
t t
I F t t
Kết luận: Tích phân suy rộng
dx I
x
hội tụ 1 phân kỳ 1
4.4.7.2 Tích phân suy rộng hàm khơng bị chặn
Các hàm số không bị chặn đoạn [a; b] khơng khả tích, tức tích phân xác định đoạn khơng tồn theo nghĩa thơng thường Ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp
Giả sử hàm số f(x) liên tục điểm xa b; , f(x) có giới hạn vơ hạn xb Ta gọi điểm b điểm kỳ dị hàm số f(x) Với
;
t a b , hàm số f(x) liên tục [ ; ]a t , tồn tích phân: ( ) ( )
t
a
I t f x dx
Định nghĩa Giới hạn tích phân I(t) tb gọi tích phân suy rộng hàm số f(x) đoạn [ ; ]a b ký hiệu sau:
( ) lim ( )
b t
t b
a a
f x dx f x dx
(4.4.3) Nếu giới hạn vế phải tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng (4.4.3) hội tụ.Ngược lại, giới hạn vế phải vơ hạn khơng tồn ta nói tích phân phân kỳ
Trường hợp hàm số f(x) liên tục điểm x( ; ]a b có giới hạn vơ hạn xa( a điểm kỳ dị ), tích phân suy rộng hàm số f(x) đoạn [ ; ]a b định nghĩa tương tự:
( ) lim ( )
b b
t a
a t
f x dx f x dx
(88)( ) lim ( )
b v b v
a u a u
f x dx f x dx
Tương tự tích phân thơng thường, ta sử dụng cơng thức
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx nếu hai tích phân vế phải hội tụ ( a < c < b )
Ví dụ 4.28:
0
0
2 1 1 1
1
lim lim arcsin lim ( arcsin )
2 1
c c c c
c dx dx x x x x
2 1
0
lim limarcsin lim(arcsin )
1
c
c
c c c
dx dx x x x x 1 dx x 1 dx x + dx x = + =
Ví dụ 4.29: Xét hội tụ , ( )
b
a
dx bx
trong a < b, > Giải: Hàm số dấu tích phân trở nên vô x = b Với 1, ta có:
1 ( )
lim lim
( ) ( )
c
b c
c b c b
a
a a
dx dx b x
b x b x
= lim ( )1 ( )1 1c b b c b a
Nhưng c b, (b – c)1
khi khi
Với = 1, ta có:
( )
b
a
dx bx
lim ( ) c c b a dx b x
lim[ln( ) ln( )]
cb b c b a
Tóm lại: ,
( )
b
a
dx bx
hội tụ < 1, phân kỳ 4.5 Ứng dụng tích phân kinh tế học
4.5.1 Ứng dụng tích phân bất định
(89)Giả sử việc đầu tư tiến hành liên tục theo thời gian Ta xem lượng đầu tư I quỹ vốn K biến số phụ thuộc hàm số vào thời gian t :
I = I(t), K = K(t)
Lượng đầu tư I(t) thời điểm t lượng bổ sung quỹ vốn thời điểm Nói cách khác, I(t) tốc độ tăng K(t), :
( ) '( )
I t K t
Nếu biết hàm đầu tư I(t) ta xác định quỹ vốn K(t) : ( ) ( )
K t I t dt
Hằng số C tích phân bất định xác định ta biết quỹ vốn ban đầu K0 (0)K
Ví dụ 4.30: Giả sử lượng đầu tư thời điểm t xác định dạng hàm số :
0,75 ( ) 140
I t t
Và quỹ vốn thời điểm xuất phát K(0) = 150 Quỹ vốn thời điểm t :
3
4 4
( ) 140 140
K t t dt t C
Tại thời điểm xuất phát K(0) = C = 150, :
( ) 80 150
K t t
4.5.1.2 Xác định hàm tổng biết hàm giá trị cận biên
Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng số tiêu dùng, …) xác định theo giá trị biến số x : y = f(x)
Như ta biết, đạo hàm y' f x'( ) giá trị cận biên x (tại điểm x) Nếu biết hàm giá trị cận biên y' f x'( )g x( ) ta xác định được hàm tổng y = f(x) thơng qua phép tốn tích phân y f x( ) g x dx( )
Chú ý tích phân bất định tập hợp vơ hạn nguyên hàm, cần phải lưu ý đến thơng tin bổ sung xác định hàm tổng
Ví dụ 4.31: Giả sử chi phí cận biên MC mức sản lượng Q :
2 25 30
MC Q Q chi phí cố định FC = 55 Hãy xác định hàm tổng chi phí chi phí khả biến
Giải Hàm tổng chi phí nguyên hàm hàm chi phí cận biên :
2
0 (25 30 ) 25 15
TC Q Q dQ Q Q Q C
(90)0
55 (0)
FC TC C
2 TC 25Q 15Q 3Q 55
Chi phí khả biến VC hiệu số tổng chi phí chi phí cố định Trong trường hợp này, ta có
2
25 15
VCTCFC Q Q Q
Ví dụ 4.32 Giả sử doanh thu cận biên MR mức sản lượng Q xác định dạng hàm số : MR602Q2Q2 Xác định hàm tổng doanh thu hàm cầu sản phẩm
Giải Hàm tổng doanh thu TR nguyên hàm hàm doanh thu cận biên :
2
0
(60 2 ) 60
3
TR Q Q dQ QQ Q R
Doanh thu bán hàng Q = R00 Vậy : 2 60
3
TR QQ Q
Gọi p = p(Q) hàm ngược hàm cầu Q = D(p), ta có : TR = p(Q).Q Suy :
2
( ) 60
3
TR
p Q Q Q
Q
4.5.2 Ứng dụng tích phân xác định 4.5.2.1 Tính xác suất
Xét biến số x nhận giá trị số khác cách ngẫu nhiên, gọi biến ngẫu nhiên Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận giá trị x0
nào tính thông qua hàm số gọi hàm mật độ xác suất, hay hàm tần suất Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục x hàm số liên tục f(x) thỏa mãn điều kiện sau :
+) f x( )0 ( xác suất số không âm )
+) Nếu miền biến thiên x khoảng [A; B] ( )
B
A
f x dx
+) Xác suất để x nhận giá trị khoảng [a; b] tính theo cơng thức
( ) ( ) ( )
b
a
P a x b f x dx A a x b B
(91)3
( ) (0 3)
81
f t t t
Xác suất để khách hàng phải xếp hàng từ đến phút
2
3
1
4 15
0,1852
81 81 81
p t dt t
4.5.2.2 Thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất
Khái niệm hàm cung, hàm cầu, điểm cân thị trường trình bày mục 2.1.7 Thơng qua mơ hình thị trường, người ta đánh giá lợi ích thị trường người mua người bán
Trong mơ hình thị trường, hàm cầu Q = D(p) cho biết lượng hàng hóa Q mà người mua lòng mua mức giá p ( Q lượng cầu toàn thị trường ) Khi biểu diễn đồ thị mối liên hệ giá lượng cầu, nhà kinh tế thường sử dụng trục tung để biểu diễn giá p trục hoành để biểu diễn lượng Q Với cách biểu diễn đường cầu đồ thị hàm cầu ngược pD1( )Q ( hàm ngược hàm cầu Q = D(p))
Giả sử điểm cân thị trường (p Q0; 0) hàng hóa bán với giá p0 thị trường Khi đó, người mua lẽ lòng trả giá p1 p0
được hưởng khoản lợi p1p0đối với đơn vị hàng hóa mua theo giá thị trường ( Đoạn FM hình dưới) Tổng số hưởng lợi tất người tiêu dùng diện tích tam giác cong A pE 0 Các nhà kinh tế gọi là thặng dư người tiêu dùng ( Consumers’ Surplus ) Thặng dư người tiêu dùng tính theo cơng thức :
0
1
0 0
S ( )
Q
C D Q dQp Q
N F
p = D (Q)-1
O Q
p
2
Q Q0 p2
0
p
B
F E E
M A
p1
0
p
0
Q Q1 p
Q O
-1
p = D (Q)
(92)sản xuất lòng bán mức giá p Đường cung đồ thị hàm cung ngược pS1( )Q Nếu hàng hóa bán thị trường mức giá cân
0
p nhà sản xuất lẽ lịng bán mức giá p2p0 hưởng khoản lợi p0p2 đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường ( đoạn FN hình ) Tổng số hưởng lợi tất nhà sản xuất diện tích tam giác cong BEp0 Các nhà kinh tế gọi thặng dư nhà sản xuất ( Producers’ Surplus ) Thặng dư nhà sản xuất tính theo cơng thức :
0
1 0
0
PS ( )
Q
p Q S Q dQ
Ví dụ 4.33: Cho biết hàm cầu ngược p425QQ2 Giả sử sản phẩm bán thị trường với giá p06 Hãy tính thặng dư người tiêu dùng
Giải Với p06ta có Q04( loại giá trị Q0 9) Vậy thặng dư người tiêu dùng :
4
2
0
4
0
S (42 ) 24
5
42 24
2
248
3
C Q Q dQ
Q Q Q
(93)CHƯƠNG HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 5.1 Các khái niệm
5.1.1 Hàm số hai biến số
5.1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến số
Khái niệm hàm số biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào biến số khác: giá trị biến độc lập đặt tương ứng với giá trị biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều biến số phụ thuộc không vào mà phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Ví dụ: sản lượng, tức số lượng sản phẩm nhà sản xuất, phụ thuộc vào mức sử dụng yếu tố đầu vào lao động, vốn, …
Khái niệm hàm số n biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào n biến số khác Để đơn giản trước hết ta đề cập đến trường hợp n =
Cho cặp biến số có thứ tự (x; y), ta đồng cặp số với một điểm M(x; y) mặt phẳng Mặt phẳng tọa độ gọi không gian hai chiều ký hiệu 2 Theo quan điểm này, cặp biến số (x; y) xem như biến điểm M(x; y) với miền biến thiên tập hợp D không gian
2
Định nghĩa Một hàm số f biến điểm M(x; y), với miền biến thiênD2, là quy tắc đặt tương ứng điểm M(x; y) D với số thực z
Miền D gọi miền xác định hàm số f, số thực z ứng với điểm M(x; y) gọi giá trị hàm f M(x; y) ký hiệu f(M) f(x; y) Hàm f xác định gọi hàm số hai biến số x y x, y được gọi biến số độc lập; z biến số phụ thuộc hàm số vào biến x, y
Khi cho hàm hai biến, cách diễn đạt sau nhau: - Hàm số f xác định miền D2;
(94)Miền xác định hàm hai biến z = f(x; y) miền biến thiên biến điểm M Nếu biểu diễn hình học miền biến thiên tập hợp mặt phẳng tọa độ
Thông thường hàm hai biến x, y cho dạng biểu thức f(x; y) Mỗi biểu thức có miền xác định tự nhiên Miền xác định tự nhiên biểu thức tập hợp tất cặp số thực (x; y) mà biểu thức có nghĩa ta gán giá trị x, y Nói chung miền xác định hàm hai biến cho dạng biểu thức tập D miền xác định tự nhiên biểu thức Ta quy ước, khơng nói thêm miền xác định biểu thức miền xác định hiểu miền xác định tự nhiên Ví dụ 5.1: Miền xác định hàm số z = x + y tồn mặt phẳng x0y
Ví dụ 5.2: Miền xác định hàm số z ln 4 x2y2 tập tất điểm M(x; y) thỏa mãn điều kiện x2 + y2 < Như miền xác định hình trịn có tâm gốc tọa độ có bán kính r = 2, khơng kể điểm đường tròn
5.1.1.3 Đồ thị hàm hai biến
Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số z = f(x; y) không gian ba chiều, ta dùng hệ tọa độ vng góc với trục hồnh 0x biểu diễn biến số x, trục tung 0y biểu diễn biến số y trục cao 0z biểu diễn biến phụ thuộc z
Miền xác định D hàm số z = f(x; y) tập hợp điểm mặt phẳng (0xy) Mỗi điểm M(x; y) cho tương ứng giá trị hàm số z, theo ta có tương ứng điểm P(x; y; z) không gian
Định nghĩa Đồ thị hàm số z = f(x; y) tập hợp tất điểm P(x; y; z) trong không gian, M(x; y) điểm thuộc miền xác định D z giá trị hàm số điểm
Ví dụ 5.3: Đồ thị hàm số z = 4x2y2 nửa mặt cầu có tâm gốc tọa độ bán kính R =
5.1.1.4 Đường mức
Cho z = f(x; y) hàm số xác định miền D z0 giá trị cố
định hàm số
Định nghĩa Đường mức hàm số z = f(x; y) tập hợp tất điểm M(x ; y) thỏa mãn điều kiện : f(x; y) = z0 , với z0 giá trị cố định Nói cách
(95)Thơng thường đường mức hàm hai biến đường mặt phẳng Mỗi giá trị z0 cố định tương ứng với đường mức
Ví dụ 5.4: Các đường mức hàm số z2x3y đường thẳng có phương trình 2x3yz0, với z0 số hình 5.1 đường mức
hàm số ứng với giá trị z06; z00;z0 6
2x + 3y = -6 2x + 3y =
2x + 3y = -3
-2
3 x
O y
5.1.2 Hàm số n biến số
5.1.2.1 Không gian điểm n chiều
Theo phương pháp tọa độ, điểm mặt phẳng đồng với một hai số thực có thứ tự (x; y) điểm không gian ba chiều đồng với ba số có thứ tự (x; y; z)
Trên mặt phẳng tọa độ (trong không gian hai chiều) khoảng cách hai điểm M(x; y) M’(x’; y’) xác định theo công thức:
2
( ; ') ( ') ( ')
d M M xx y y
Tương tự, không gian ba chiều khoảng cách hai điểm M(x; y; z) M’(x’; y’; z’) xác định theo công thức:
2 2
( ; ') ( ') ( ') ( ')
d M M xx y y z z
Một cách tổng quát ta có định nghĩa điểm n chiều khơng gian n chiều sau:
Định nghĩa Mỗi n số thực có thứ tự ( ;x x1 2; ; )xn được gọi điểm n chiều
Để gán tên cho điểm n chiều ( ;x x1 2; ; )xn ta dùng chữ in hoa, chẳng hạn điểm X ta viết:
1
( ; ; ; )n
(96)Định nghĩa Không gian điểm n chiều (gọi tắt không gian n chiều) tập hợp tất điểm n chiều, khoảng cách hai điểm
1
( ; ; ; )n
X x x x X x'( ' ; ' ; 1 x 2 ; ' )x n xác định theo công thức:
d X X( ; ') (x1'x1)2 (x2'x2)2 (xn' xn) (5.1.1) Không gian n chiều ký hiệu n
Ta chứng minh khoảng cách không gian n, xác định theo cơng thức (5.1.1), thỏa mãn tính chất biết khoảng cách không gian hai chiều không gian ba chiều:
Với ba điểm X, X’, X” thuộc khơng gian n ta có:
(i) d(X; X’) 0, d(X; X’) = X = X’(xi = xi’ với i = 1, 2,…, n) (ii) d(X ; X’) = d(X’ ; X)
(iii) d(X; X’) + d(X’; X’’) d(X; X’’) 5.1.2.2 Khái niệm hàm số n biến số
Định nghĩa Một hàm số f biến điểm X x x( ;1 2; ; )xn , với miền biến thiên D n, quy tắc đặt tương ứng điểm X x x( ;1 2; ; )xn D với một số thực z
Miền D gọi miền xác định hàm số f, số thực z ứng với điểm
1
( ; ; ; )n
X x x x gọi giá trị hàm f X ký hiệu f(X) hoặc f(x1; x2; …; xn) Hàm f định nghĩa gọi hàm số n biến
số
Các khái niệm khác hàm số n biến số định nghĩa tương tự định nghĩa hàm hai biến số
5.1.3 Các hàm số thường gặp phân tích kinh tế
Để tiếp cận với phương pháp phân tích định lượng kinh tế học, ta làm quen với số hàm số mà nhà kinh tế hay sử dụng phân tích hoạt động kinh tế Các ký hiệu biến số kinh tế đưa ký hiệu thông dụng tài liệu kinh tế học, thường lấy chữ đầu từ tiếng Anh tương ứng
(97)Hàm sản xuất hàm số biểu diễn phụ thuộc sản lượng tiềm doanh nghiệp vào lượng sử dụng yếu tố sản xuất Khi phân tích hoạt động sản xuất, nhà kinh tế thường lưu tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng tư (capital lao động (labor) Gọi K lượng tư (vốn) L lượng lao động sử dụng Với trình độ cơng nghệ mình, sử dụng K đơn vị tư L đơn vị lao động, doanh nghiệp có khả sản xuất một lượng sản phẩm tối đa, ký hiệu Q (gọi sản lượng tiềm năng) Hàm sản xuất có dạng:
Q f K L ; (5.1.2) Hàm số (5.1.2) cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả sản xuất mức sử dụng kết hợp vốn lao động Khi phân tích sản xuất, người ta giả thiết doanh nghiệp khai thác hết khả công nghệ, tức Q ln ln sản lượng tiềm năng, hàm sản xuất f công nghệ xác định
Dạng hàm sản xuất mà nhà kinh tế học hay sử dụng hàm Cobb – Douglas:
QaK L ,
trong a, , số dương
Đường mức hàm sản xuất có phương trình:
0 0
( ; ) ( , 0)
f K L Q Q const Q
Trong kinh tế học, thuật ngữ “ đường mức ” hàm sản xuất có tên gọi là đường đồng lượng, hay đường đẳng lượng (isoquant) Đường đồng lượng tập hợp yếu tố sản xuất (K; L) cho mức sản lượng Q0 cố định
5.1.3.2 Hàm chi phí hàm lợi nhuận
Như ta biết, tổng chi phí sản xuất TC (Total cost) tính theo sản lượng gọi hàm chi phí, có dạng:
( )
TCTC Q
Nếu tính theo yếu tố sản xuất hàm chi phí hàm số yếu tố sản xuất:
0
K L
(98)trong wK giá thuê đơn vị tư (chẳng hạn sử dụng xưởng máy), wL giá thuê đơn vị lao động (chẳng hạn làm việc công nhân); C0 chi phí cố định
Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q f K L( ; )và giá thị trường sản phẩm p tổng doanh thu doanh nghiệp hàm số hai biến số K L:
( ; )
TR pQ p f K L
Tổng lợi nhuận doanh nghiệp cạnh tranh hàm số:
0
( ; ) ( K L )
p f K L w K w L C
5.1.3.3 Hàm chi phí kết hợp
Trên thực tế, có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản phẩm Với trình độ cơng nghệ định, để sản xuất sản phẩm gồm Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2, ,
Qn đơn vị sản phẩm n, doanh nghiệp phải bỏ khoản chi phí TC Như
TC hàm số n biến số:
TCTC Q Q( 1; 2; ;Qn) (5.1.3) Hàm số (5.1.3)được gọi hàm chi phí kết hợp
5.1.3.4 Hàm đầu tư
Lượng đầu tư I (Investment) kinh tế phụ thuộc vào tổng thu nhập Y lãi suất r Hàm đầu tư hàm số biểu diễn quan hệ này:
I = I(Y; r)
Hàm đầu tư đồng biến với thu nhập (khi lãi suất không đổi) nghịch biến với lãi suất (khi thu nhập khơng đổi)
5.1.3.5 Hàm lợi ích
(99)Mỗi túi hàng n số thực X x x( ;1 2; ; )xn , xi 0 (i 1; )n là lượng hàng hóa Hàm lợi ích hàm số dặt tương ứng mối túi hàng
1
( ; ; ; )n
X x x x với giá trị lợi ích U định theo quy tắc: Túi hàng ưa chuộng gán giá trị lợi ích lớn Hàm lợi ích có dạng tổng qt sau:
1
( ; ; ; )n
U U x x x
Một dạng hàm lợi ích hay sử dụng hàm Cobb – Douglas:
1
1
n
n
U ax x x
( a, 1, 2, ,n số dương ) Tập mức hàm lợi ích có phương trình:
1 0
( ; ; ; )n ( )
U x x x U U const
Trong kinh tế học, tập mức hàm lợi ích gọi tập bàng quan (Indifferent set) Tập bàng quan tập hợp tất túi hàng đem lại mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp túi hàng ưa chuộng nhau) Trường hợp n = 2, tập bàng quan gọi đường bàng quan (Indifferent curve) Phương trình đường bàng quan phương trình hai biến số:
1
( ; )
U x x U
Chú ý rằng, hàm lợi ích sử dụng để biểu diễn sở thích người tiêu dùng: túi hàng ưa chuộng gán giá trị lợi ích lớn Giá trị lợi ích U mang ý nghĩa ước lệ Nếu V = g(U) hàm dương đồng biến hai hàm lợi ích U = U(X) V = g[U(X)] mô tả sở thích 5.1.3.6 Hàm cung hàm cầu thị trường nhiều hàng hóa liên quan
(100)1
( ; ; ; )
si i n
Q S p p p
1
( ; ; ; )
di i n
Q D p p p
Trong Qsi lượng cung hàng hóa i; Qdi lượng cầu hàng hóa i, p ii ( 1; )n giá hàng hóa i Mơ hình cân thị trường n hàng hóa liên quan có dạng
1
1
( ; ; ; ) ( ; ; ; ) 1;2; ;
si di
si i n
di i n
Q Q
Q S p p p Q D p p p
i n
Hệ phương trình xác định giá cân
1 2
( ; ; ; ) ( ; ; ; ) 1;2; ;
i n i n
S p p p D p p p
i n
5.2 Giới hạn tính liên tục
5.2.1 Giới hạn hàm số hai biến số
5.2.1.1 Giới hạn dãy điểm mặt phẳng
Định nghĩa Dãy điểm Mn(xn; yn) gọi dần tới điểm M0(x0; y0) n +, lim n
nd
Nếu gọi dn khoảng cách hai điểm M0 Mn : dn (xnx0)2(yny0)2
Khi ta kí hiệu lim n 0
nM M Mn M0 n
Rõ ràng dãy điểm Mn(xn; yn) dần tới điểm M0(x0; y0)
0
lim n
nx x nlimyn y0
Giả sử hàm số z = f(M) = f(x, y) xác định lân cận V điểm M0, trừ điểm M0
(101)Định nghĩa Hàm số f(M) gọi giới hạn L điểm M(x; y) dần tới điểm M0(x0; y0) với dãy điểm Mn(xn; yn) thuộc lân cận V, dần tới điểm M0(x0; y0) ta ln có
lim ( n; n)
n f x y L
Khi ta viết:
0
lim ( ; )
x x y y
f x y L
0
( ; )x ylim(x y; ) f x y( ; ) L
Định nghĩa Hàm số f(M) gọi có giới hạn L M(x; y) dần đến M0(x0; y0) với > 0, tồn > cho:
0; ,
d M M f M L ký hiệu là:
0
lim ( )
MM f M L
hoặc
0
lim ( ; )
x x y y
f x y L
;
0
( , )x ylim(x y; ) f x y( ; ) L
Trong định nghĩa điều kiện d(M0; M) < thay điều kiện |x – x0| < , |y – y0| <
Ví dụ 5.5: Chứng minh
1
lim(5 1)
x y
x y
Giải: Ta có 5x2y 1 5x 1 2y2 5x 1 y2
Với > 0, chọn =
, x 1 , y 2 thì5x2y 1 Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 5.6: Chứng minh khơng tồn giới hạn 2 2
( ; )x ylim(0;0)
xy x y
Giải: Hàm số f x y( ; ) 2xy 2
x y
xác định
2
(102)Với dãy x yn, n 1, (0;0)
n n
n , ta có (f(xn, yn)) =
1 lim ( ; )
2
n n n f x y
Mặt khác với dãy x’ ; ’n y n 2, (0;0)
n n
n , ta có
2 lim ( ' ; ' )
5
n n
n f x y
1 lim ( ; )
2
n n n f x y
Vậy theo định nghĩa 2, ta suy không tồn giới hạn 2 2
( ; )x ylim(0;0)
xy x y
Chú ý: Các định lý giới hạn tổng, thương, tích hàm số biến số cho hàm số hai biến số chứng minh tương tự
5.2.1.3 Giới hạn lặp
Giới hạn định nghĩa gọi giới hạn bội giới hạn kép điểm (x0; y0) (các trình x x0 , y y0 diễn đồng thời, khơng phụ
thuộc lẫn nhau) Ngồi giới hạn kép ta xét giới hạn lặp sau: Với y cố định, y y0 ta tính giới hạn
0
lim ( ; ) ( ),
xx f x y y sau tính tiếp
giới hạn
0
lim ( )
yy y M Trong trường hợp ta viết:
0
lim lim ( ; )
yy xx f x y M
Tương tự, ta có:
0
lim ( ; ) ( )
yy f x y x , xlim ( )x0 x N
Ta ký hiệu
0
lim lim ( ; )
xx yy f x y N
Chú ý: Nói chung giới hạn lặp giới hạn kép khác nhau, chí giới hạn lặp với thứ tự khác khác
Ví dụ 5.7: Cho hàm số
2
2 2
( ; )
( )
x y f x y
x y x y
( x, y )
Chứng minh
0 0
lim(lim ( ; )) lim(lim ( ; ))
(103)trong
0
lim ( ; )
x y
f x y
không tồn
Giải: Vì
0
lim ( ; ) lim ( ; )
y
x
f x y f x y
lim(lim ( ; ))x0 y0 f x y lim(lim ( ; ))y0 x0 f x y 0
còn giới hạn
0
lim ( ; )
x y
f x y
khơng tồn dãy
n n n n
1 1
x ;y = ; , x’ ;y’ ;
n n n n
đều hội tụ tới điểm (0, 0) n , dãy tương ứng giá trị hàm lại hội tụ giá trị khác
f(xn; yn) = 1,
1
’ ; ’
n n
f x y
n
, n
Ví dụ 5.8: Xét hàm số
3
3
; x x y
f x y
x y
Giải: Hàm số khơng có giới hạn kép điểm (0;0) Thật vậy: Lấy hai dãy:
x yn; n 1;
n n , ’ ; ’n n ;
x y
n n
hội tụ tới điểm (0; 0) n ,
các dãy tương ứng giá trị hàm lại hội tụ giá trị khác f(xn; yn) = 1; f(x’n; y’n) =
3
, n Vậy giới hạn kép điểm ( 0; 0) không tồn Các giới hạn lặp trường hợp khác nhau:
0 0
( ) lim ( ; ) 0, limlim ( ; ) lim ( ) 0,
x y x y
y f x y y f x y y
0 0
( ) lim ( ; ) 1, limlim ( ; ) lim ( )
y x y x
y f x y x f x y y
Ví dụ 5.9: Tính giới hạn
2
( ; )x ylim(0;0)
xy x y
Giải: Vì
2
2 1, ; (0;0)
x
x y
x y nên 2 1, ; (0;0)
x
x y x y
(104)
2
( ; ) xy , ; (0;0)
f x y y x y
x y
( ; )x ylim(0;0) f x y( ; ) 0
( ; )x ylim(0;0) f x y( ; )0
5.2.2 Giới hạn hàm n biến
5.2.2.1 Sự hội tụ dãy điểm không gian n chiều
Khái niệm giới hạn dãy điểm không gian n chiều định nghĩa hoàn toàn tương tự mặt phẳng
Xét dãy điểm n chiều
1; 2; ; k;
X X X ,
X xk( k1;xk2; ;xkn) (k1,2,3 ) điểm không gian n, ta gọi tắt dãy điểm Xk
Định nghĩa 10 Ta nói dãy điểm Xk hội tụ đến điểm A a a( ;1 2; ;an) hay điểm A điểm giới hạn dãy điểm Xk ( k ) nếu:
lim ( k; )
kd X A
Khi ta ký hiệu: lim k
kX A XkAkhi k
Tương tự mặt phẳng, ta chứng minh dãy điểm
1
( ; ; ; ) ( 1,2,3 )
k k k kn
X x x x k hội tụ đến điểm A a a( ;1 2; ;an) lim ki i, 1,2, ,
kx a i n
5.2.2.2 Giới hạn hàm số
Khái niệm giới hạn hàm số biến số mà ta định nghĩa chuyển tổng quát cho trường hợp hàm số n biến số cách thay biến điểm hai chiều M(x; y) biến điểm n chiều X x x( ;1 2; ;xn) thay điểm M0(x0; y0)
(105)Khái niệm hàm số liên tục nhiều biến số định nghĩa tương tự trường hợp hàm số biến số
Định nghĩa 11 Hàm số f X( ) f x x( ;1 2; ;xn) gọi hàm liên tục điểm X x x( ;1 2; ;xn) l imf ( ) ( )
XX X f X
Nếu hàm số f(X) liên tục điểm thuộc miền Dn ta nói nó liên tục miền Một hàm số không liên tục gọi hàm gián đoạn
Các định lý hàm số liên tục biến phát triển tương tự cho hàm số n biến số Chẳng hạn, định lý tổng, hiệu, tích, thương hàm số liên tục có nội dung sau:
Định lý Các hàm số f(X) g(X) biến điểm n chiều liên tục điểm
1
( ; ; ; n)
X x x x thì:
+) Các hàm số f X( )g X( ), ( )f X g X( ), ( ) ( )f X g X liên tục điểm X;
+) Với giả thiết g X( )0, hàm số ( )
( )
f X
g X liên tục điểm X 5.3 Đạo hàm riêng vi phân hàm hai biến
5.3.1 Số gia riêng số gia toàn phần
Cho hàm z = f(x; y) điểm M(x; y) thuộc miền xác định Nếu cố định y cho x thay đổi số gia x giá trị hàm thay đổi lượng tương ứng:
( ; ) ;
xz f x x y f x y
Ta gọi xz số gia riêng theo biến x điểm (x; y) hàm f(x; y)
Tương tự, cố định x cho y thay đổi số gia y giá trị hàm thay đổi lượng tương ứng:
( ; ) ;
yz f x y y f x y
(106)Số gia toàn phần biểu thị lượng thay đổi giá trị thay đổi hàm số cả hai biến x, y thay đổi, mặt hình học có nghĩa điểm M(x; y) biến thiên tới điểm M1(x + x; y + y) Số gia tồn phần tính sau:
( ; ) ;
z f x x y y f x y
Ví dụ 5.10: Với hàm z = xy ta có:
( ) ,
xz x x y xy x y
( ) ,
yz x y y xy x y
( )( )
z x x y y xy x y x y x y
5.3.2 Đạo hàm riêng
Định nghĩa 12 Cho hàm số z = f(x; y) xác định D 2và M(x; y) D Đạo hàm riêng hàm z = f(x; y) theo biến x điểm (x; y) giới hạn tỷ số số gia riêng theo biến x hàm số số gia x x
Ký hiệu z'x f x yx' ; , z, f
x x
Vậy:
0
( ; ) ( ; ) ( ; ) lim x lim
x x
z
f f x x y f x y
x y
x x x
Đạo hàm riêng hàm z = f(x; y) theo biến y điểm (x; y) giới hạn của tỷ số số gia riêng theo biến y hàm số số gia y y Ký hiệu zy' f x yy' ; , z, f
y y
Vậy:
0
( ; ) ( ; ) ( ; ) lim x lim
y y
z
f f x y y f x y
x y
y y y
Chú ý: i) Các đạo hàm riêng hàm n (n 3) biến định nghĩa tương tự hàm hai biến
(107)hàm phụ thuộc vào biến ấy, biến khác xem không đổi, áp dụng qui tắc tính đạo hàm hàm biến
Ví dụ 5.11: Các đạo hàm riêng hàm số f(x, y) = xy là:
1
( , ) ( , )
, ln
y y
f x y f x y
yx x x
x y
Ví dụ 5.12: Các đạo hàm riêng hàm số zcos xy là:
sin( ), sin( )
z z
y xy x xy
x y
5.3.3 Đạo hàm riêng hàm hợp
Giả sử z = f(u; v), với u = u(x; y), v = v(x;y) hàm hai biến x, y Khi ta nói:
( ; ); ( ; )
z f u x y v x y
là hàm hợp hai biến x, y qua hai biến trung gian u, v Định lý Nếu hàm f có đạo hàm riêng ,
f f
u v liên tục u, v có đạo hàm riêng , , ,
u u v v
x y x y D D tồn đạo hàm riêng ,
f f x y
và ta có:
f f u f v
x u x v x
f f u f v
y u y v y
Chú ý: Ta có kết tương tự cho hàm n biến (n 3) Ví dụ 4: Cho hàm z = eulnv, với u = x + y, v = xy Khi ta có:
1
ln (ln ),
u u x y
z
e v e y e xy
x v x
1
ln (ln )
u u x y
z
e v e x e xy
y v y
(108)Giả sử hàm z = f(x; y) xác định D có đạo hàm riêng liên tục M0(x0; y0) D Xét số gia toàn phần hàm số M0:
0 0 0
( ; ) ( ; ) ( ; )
f x y f x x y y f x y
Ta có:
0; 0 [ ( ; ) ( ; 0 )]
f x y f x x y y f x y y
[ ( ;f x y0 0 y) f x y 0; 0]
( ;f c yx’ 1 0 y) x fy’x0; c2y, trong c1 (x0, x0 + x), c2 (y0 ; y0 + y)
Do f fx', y' là hàm số liên tục điểm M0(x0 ; y0) nên ta có:
' '
1 0
( ; ) ; ,
x x
f c y y f x y
' '
0 0
( ; ) ; ,
y y
f x c f x y
trong , vơ bé x 0, y Từ ta có:
' '
0 0 0
( ; ) ( ; ) ( ; )
f x y f xx y x f xy y y x y Nếu x, y có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có:
f x( 0 ; )y0 (f xx' 0 ; ) y0 x f xy'( 0 ; ) y0 y (5.3.1) Định nghĩa 13 Nếu hàm số y = f(x; y) xác định miền D có đạo hàm riêng liên tục điểm M0(x0 ; y0) D biểu thức vế phải công thức gần
đúng (5.3.1) gọi vi phân toàn phần hàm số y = f(x ; y) điểm M0(x0 ; y0) ký hiệu dz df(x0 ; y0)
Do x, y biến độc lập, ta có dx = x, dy = y Vì biểu thức vi phân toàn phần viết dạng:
' '
,
x y
df f dx f dy
hoặc
z z
dz dx dy
(109)Chú ý: i) Đối với hàm n biến (n > 2) công thức tính vi phân định nghĩa cách tương tự
5.3.5 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao 5.3.5.1 Đạo hàm riêng cấp cao
Cho hàm hai biến số z = f(x; y) Các đạo hàm riêng ,
z z
x y đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai, ký hiệu sau:
2
2
'' ''
2 xx( ; ) x ( ; )
z z
z x y z x y
x x x
'' ( ; ) xy z z
z x y
y x y x
'' ( ; ) yx z z
z x y
x y x y
2 '' ''
2 yy( ; ) y ( ; )
z z
z x y z x y
y y y
Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai, tồn gọi đạo hàm riêng cấp ba, tương tự ta có đạo hàm riêng cấp 4, cấp 5, …, cấp n Các đạo hàm riêng từ cấp hai trở lên gọi đạo hàm riêng cấp cao
Ví dụ 5.13 : Tính đạo hàm riêng cấp hàm z = x2y3 Giải: Ta có:
z 2xy3, z 3x y2
x y 2
2 , ,
z z
y xy
x y x
2 2
6 ,
z z
xy x y
x y y
Ví dụ 5.14: Tính đạo hàm riêng cấp hàm z = exy Giải: Ta có: ,
xy xy
z z
ye xe
(110)
2
2
2 ; (1 )
xy xy
z z
y e e xy
x y x
;
2
2
(1 );
xy xy
z z
e xy x e
x y y
Các đạo hàm riêng cấp hai,
2
,
z z
y x x y
gọi đạo hàm hỗn hợp Các đạo hàm hỗn hợp nói chung trình tự lấy đạo hàm khác khơng nhau, chúng nhau? Ta công nhận định lý Schwarz sau: Định lý Nếu lân cận điểm M, hàm z = f(x; y) có đạo hàm riêng
2
,
z z
y x x y
đạo hàm riêng liên tục M(x; y)
2
z z
y x x y
M 5.3.5.2 Vi phân cấp cao
Giả sử hàm z = f(x; y) có đạo hàm riêng liên tục cấp cấp hai miền D 2 Khi vi phân toàn phần:
,
z z
dz dx dy
x y
là hàm hai biến xác định D
Định nghĩa 14 Vi phân toàn phần vi phân toàn phần dz hàm số z = f(x; y) gọi vi phân tồn phần cấp hai hàm số ký hiệu d2z hoặc d2f(x; y):
d z2 d dz dz dx'x dz dy'y (5.3.2) Ta có:
' ' ' ' '' ''
, x y xx yy
x x
dz z dx z dy z dx z dy
' ' ' ' '' ''
, x y xy yy
y y
dz z dx z dy z dx z dy Thay vào (5.3.2) ta có:
2 2
2 '' '' '' ''
xx yx xy yy
d z z dx z dydx z dxdy z dy
(111)Tổng quát, vi phân toàn phần cấp n (n > 1) hàm hai biến z = f(x; y) vi phân toàn phần vi phân tồn phần cấp n1 ký hiệu
m m
d f d d f
5.3.6 Ứng dụng kinh tế học
5.3.6.1 Đạo hàm riêng giá trị cận biên
Xét hàm số w f x x( ;1 2; ;xn) biểu diễn phụ thuộc biến số kinh tế w vào n biến số kinh tế x x1; 2; ;xn Trong kinh tế học, đạo hàm riêng w theo xi điểm X x x( ;1 2; ;xn) gọi giá trị w- cận biên xi điểm đó Giá trị w - cận biên xi biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị biến
phụ thuộc w biến xi tăng thêm đơn vị, biến độc lập cịn lại
khơng thay đổi giá trị Đối với hàm kinh tế, người ta thường dùng thuật ngữ tương ứng tùy theo tên gọi biến số kinh tế
- Đối với hàm sản xuất
Q = f(K; L) đạo hàm riêng
,
K L
Q Q
Q Q
K L
Được gọi tương ứng sản phẩm vật cận biên tư sản phẩm vật cận biên lao động điểm (K; L) Để cho gọn, người ta bỏ từ vật gọi tắt sản phẩm cận biên tư sản phẩm cận biên lao động
Trong kinh tế học, sản phẩm vật cận biên tư sản phẩm hiện vật cận biên lao động ký hiệu MPPK (Marginal Physical product of Capital) MPPL (Marginal Physical product of Labor ):
K
MPP Q, MPPL Q
K L
(112)Ví dụ 5.15: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng:
2 3
30
Q K L
trong đó, K, L, Q mức sử dụng lao động, mức sử dụng tư sản lượng hàng ngày
Giả sử doanh nghiệp sử dụng 27 đơn vị tư 64 đơn vị lao động ngày ( K = 27, L = 64 ) Sản lượng cận biên tư lao động là:
1
3
K
2
3
64 80
MPP 20 20 26,7; 27
27 90
MPP 100 10 5,6 64 16
L
Q L
K K
Q K
L L
Điều có nghĩa doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư lên 28 giữ nguyên mức sử dụng 64 lao động ngày lượng hàng ngày tăng thêm khoảng 26,7 đơn vị sản phẩm vật; doanh nghiệp nâng mức sử dụng lao động lên 65 đơn vị giữ nguyên mức sử dụng 27 đơn vị tư ngày sản lượng hàng ngày tăng thêm khoảng 5,6 đơn vị sản phẩm vật
- Đối với hàm lợi ích
1
( ; ; ; n)
U U x x x đạo hàm i
i
U U
x
được gọi lợi ích cận biên hàng hóa thứ i
người tiêu dùng ký hiệu MUi Con số MUi điểm X x x( ;1 2; ;xn) biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm người tiêu dùng có thêm đơn vị hàng hóa thứ i lượng hàng hóa khác không thay đổi
5.3.6.2 Đạo hàm riêng cấp quy luật lợi ích cận biên giảm dần Xét mơ hình hàm số:
1
( ; ; ; n),
(113)Trong biến số u biểu diễn lợi ích kinh tế x x1; 2; ;xn yếu tố đem lại lợi ích u Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (lợi ích tăng chậm dần) nói rằng, yếu tố khác không thay đổi, giá trị u – cận biên xi giảm dần xi tăng Dưới góc độ tốn học, quy luật biểu dạng:
2
2 1,2, ,
i
f
i n
x
Ví dụ 5.16:
- Đối với hàm lợi ích U = f(x; y), x sản lượng hàng hóa thứ nhất, y sản lượng hàng hóa thứ hai U lợi ích người tiêu dùng túi hàng (x; y), quy luật lợi ích cận biên giảm dần kinh tế nói lợi ích cận biên hàng hóa thứ giảm dần x tăng y khơng đổi lợi ích cận biên hàng hóa thứ hai giảm dần y tăng x khơng đổi Quy luật lợi ích cận biên giảm dần biểu đạo hàm riêng cấp hàm lợi ích sau:
'' '
x
x x x
U MU U giảm x tăng y không đổi;
'' '
0
yy y y
U MU U giảm y tăng x không đổi
- Đối với hàm sản xuất, quy luật lợi ích cận biên giảm dần có nghĩa mức sử dụng yếu tố sản xuất lớn ( lượng sử dụng yếu tố khác không thay đổi ) sản lượng gia tăng sử dụng thêm đơn vị yếu tố sản xuất đem lại nhỏ Nói cách khác, sản phẩm vật cận biên yếu tố giảm dần lượng sử dụng yếu tố tăng lớn (trong lượng sử dụng yếu tố khác không thay đổi) Quy luật biểu thông qua đạo hàm riêng cấp hàm sản xuất Q = f(K; L) sau:
' '
K 2
MPP 0, MPPL
K L
Q Q
K L
Chẳng hạn hàm sản xuất Cobb – Douglas
( , , 0)
QaK L a Ta có:
' 2 ' 2
K
MPP ( 1) , MPPL ( 1)
K a K L L a K L
(114)1
1 ( để MPPK K' 0 MPPL L' 0
5.3.6.3 Tính hệ số co dãn
Khái niệm hệ số co dãn cung cầu theo giá liên hệ với đạo hàm hàm cung hàm cầu nói đến chương 3, mục 3.6.2 Một cách tổng quát, ta nói đến hệ số co dãn biến số w theo biến xk mơ hình hàm số biểu diễn ảnh hưởng biến số kinh tế x1, x2,…, xn biến số kinh tế w:
w f x x( ;1 2; ;xn) (5.3.3) Định nghĩa 15 Hệ số co giãn w theo xk điểm X x x( ;1 2; ;xn) số đo lượng thay đổi tính phần trăm w xk tăng 1% biến độc lập khác không thay đổi
Với giả thiết hàm số w f x x( ;1 2; ;xn) có đạo hàm riêng, hệ số co giãn w theo xk điểm X x x( ;1 2; ;xn) tính theo cơng thức:
1
( ; ; ; )
( ; ; ; )
n k
k
k n
f x x x x x f x x x
(5.3.4)
Chẳng hạn, thị trường hai hàng hóa liên quan, hàm cầu thường xét dạng:
1d 1( ;1 2; ), 2d 2( ;1 2; )
Q D p p m Q D p p m
trong Qid lượng cầu hàng hóa i, pi giá hàng hóa i, m thu nhập Hệ số co dãn cầu hàng hóa thứ theo giá hàng hóa điểm ( ;p p m1 2; ) tính theo cơng thức:
1
11
1 1
( ; ; )
( ; ; )
D p p m p p D p p m
Hệ số co dãn cầu hàng hóa thứ theo giá hàng hóa thứ hai điểm ( ;p p m1 2; ) tính theo cơng thức:
1 2
12
2 1
( ; ; )
( ; ; )
D p p m p p D p p m
(115)Hệ số co dãn cầu hàng hóa thứ theo thu nhập điểm
1
( ;p p m; ) tính theo cơng thức:
1
1
1
( ; ; )
( ; ; )
m
D p p m m m D p p m
5.4 Cực trị hàm nhiều biến
5.4.1 Khái niệm cực trị điều kiện cần
Khái niệm cực trị địa phương hàm số n biến số định nghĩa tương tự cực trị hàm số biến số
Cho hàm số w f x x( ,1 2, ,xn) f X( ), xác định liên tục miền
1
{ ( , , , n) : i i i, 1,2, , }
D X x x x a x b i n
Định nghĩa 16 Ta nói hàm số w f x x( ,1 2, ,xn) đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) điểm X x x( ,1 2, ,xn)D tồn số r > đủ nhỏ cho
bất đẳng thức
1
1
( , , , n) ( , , , n)
f x x x f x x x
Được thỏa mãn điểm X x x( ,1 2, ,xn) miền D mà khoảng cách đến điểm X x x( ,1 2, ,xn) nhỏ r:
( , )
d X X r
Điểm X x x( ,1 2, ,xn) mà hàm số f x x( ,1 2, ,xn) đạt giá trị cực
đại (cực tiểu) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) Nói cách khác điểm cực đại (điểm cực tiểu) địa phương hàm số điểm mà hàm số đạt giá trị lơn (nhỏ nhất) phạm vi bán kính r
Điều kiện cần cực trị
Giả sử hàm số w f x x( ,1 2, ,xn) f X( ) xác định, liên tục có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập miền:
1
{ ( , , , n) : i i i, 1,2, , }
(116)Định lý Điều kiện cần để hàm số w f x x( ,1 2, ,xn) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) điểm X x x( ,1 2, ,xn)D điểm tất đạo hàm
riêng cấp triệt tiêu:
' ' ( ) 0, 1,2, ,
i i
x x
W f X
i n
(5.4.1)
Chứng minh:
Với i cố định (i = 1, …, n) ta xét hàm số biến xi:
Nếu hàm số f X( ) f x x( ,1 2, ,xn) đạt giá trị (cực đại cực tiểu) điểm X x x( ,1 2, ,xn)D bất đằng thức (5.4.1) thỏa mãn X D
( , )
d X X r Từ suy
1
( )xi f x( , , , ,xi xn) f x( , , , ,xi xn) ( )xi
Khi xi xi r Điều chứng tỏ hàm số (xi) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) điểm xi Theo định lý điều kiện cần để hàm biến đạt cực trị ta
có:
1
'( )xi f x x'( , , ,xn)
Định lý chứng minh
Định nghĩa 17 Điểm X thỏa mãn điều kiện (5.4.1) gọi điểm dừng hàm số f(X)
Định lý cho thấy hàm số f(X) đạt cực trị điểm dừng Tuy nhiên, điều kiện cần chưa phải điều kiện đủ Điều kiện đủ cho phép ta kiểm tra xem điểm dừng hàm số có thực đạt cực trị hay không Chú ý, điều kiện đủ áp dụng sau điều kiện cần thỏa mãn (chỉ áp dụng cho điểm dừng)
5.4.2 Điều kiện đủ
(117)Giả sử X x x( ,1 2, ,xn) điểm dừng hàm số
1
( , , , n)
w f x x x hàm số có tất đạo hàm riêng cấp liên tục, vi phân tồn phần cấp hàm số n biến số w f x x( ,1 2, ,xn) có dạng:
2
ij
1
( ) x x
n n
i j i j
d f X a d d
Trong aij đạo hàm riêng cấp 2:
2 ij
( )
( , 1,2, , )
i j
f X
a i j n
x x
Định lý
- Nếu d f X2 ( ) luôn nhận giá trị dương điểm dừng
1
( , , , n)
X x x x điểm cực tiểu hàm số w f x x( ,1 2, ,xn);
- Nếu d f X2 ( ) luôn nhận giá trị âm điểm dừng X x x( ,1 2, ,xn)
là điểm cực đại hàm số w f x x( ,1 2, ,xn);
- Nếu d f X2 ( ) khơng xác định điểm dừng X x x( ,1 2, ,xn)
là điểm cực trị hàm số w f x x( ,1 2, ,xn); 5.4.2.2 Trường hợp hàm số hai biến số
Giả sử M0(x0; y0) điểm dừng hàm số z = f(x; y) tất
các đạo hàm riêng cấp hai tồn liên tục Xét định thức:
11 12
11 22 21 12 11 22 12 21
21 22
,
a a
D a a a a a a a a a a
trong
'' '' '' ''
11 xx( 0; ); 12 xy( ; ); 0 21 yx( ; ); 0 22 yy( ; ).0
a f x y a f x y a f x y a f x y Khi ta thừa nhận kết sau:
(118)- Nếu D > điểm M0(x0; y0) điểm cực trị hàm số z = f(x; y) M0(x0 ; y0) điểm cực đại a11 < 0;
M0(x0 ; y0) điểm cực tiểu a11 >
- Nếu D < điểm M0(x0 ; y0) điểm cực trị hàm số z = f(x; y)
- Nếu D = ta khơng có kết luận cực trị điểm tới hạn: hàm số đạt cực trị khơng đạt cực trị
Vậy để tìm điểm cực trị hàm số trước hết ta phải xét điều kiện cần, sau dùng điều kiện đủ để kiểm tra đến kết luận
Ví dụ 5.17: Tìm cực trị hàm số
2
10
z x yx y Giải: Các đạo hàm riêng cấp cấp hai:
' ' '' '' ''
1 , 2 , 2, 0,
xy
x y xx yy
z x z y z z z Các điểm dừng hàm số xác định từ hệ:
' '
1 2
x y
z x
z y
1
x y
Ta có điểm dừng (1/2; 1)
Tại điểm dừng (1/2;1) ta có:
11 2, 12 21 0, 22
a a a a
Do D = = > 0, a11 < nên hàm số đạt cực đại điểm (1/2; 1)
zmax =
4 45 2
10
5.5 Một số toán lựa chọn nhà sản xuất 5.5.1 Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố sản xuất 5.5.1.1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận
(119)lý yếu tố đầu vào lao động tư (giả thiết yếu tố khác giữ nguyên)
Mọi doanh nghiệp cạnh tranh túy phải chấp nhận giá thị trường, kể giá đầu vào giá đầu Gọi p giá thị trường loại sản phẩm doanh nghiệp sản xuất, WL WK giá thuê lao động giá thuê tư bản, vào hàm sản xuất Q = f(K; L), ta biểu diễn tổng lợi nhuận dạng hàm số hai biến số K, L:
0
( ; ) (wK wL )
p f K L K L C
trong pQ p f K L ( ; ) tổng doanh thu, wKKwLL tổng chi phí cho yếu tố sản xuất, C0 chi phí cố định ( khơng phụ thuộc vào K L )
Điều kiện cần cực trị trường hợp là:
wK
f p
K K
wL
f p
L L
Hay
p f wK
K
wL
f p
L
(5.5.1)
Dưới giác độ kinh tế, điều kiện (5.5.1) có nghĩa sau:
Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là: doanh nghiệp phải sử dụng yếu tố đầu vào mức mà giá trị tiền sản phẩm vật cận biên mỗi yếu tố giá yếu tố
Điều kiện đủ để hàm lợi nhuận đạt cực đại là:
2 2
2 0, 2
f f
p p
K K L L
và
2
2 2 2
2
2 2
f f f
p
K L K L
K L K L
Do p > nên điều kiện tương đương với điều kiện
(120)Q QKK LLQKL2 0 (5.5.3) Trong đó:
2 2
2 , ,
KK LL LK KL
f f f f
Q Q Q Q
L K K L
K L
Chú ý điều kiện (5.5.2) biểu quy luật lợi ích cận biên giảm dần Tuy nhiên, riêng quy luật lợi ích cận biên giảm dần chưa đảm bảo lợi nhuận tối đa điểm thỏa mãn điều kiện cần, mà phải tính đến điều kiện (5.5.3) Hàm lợi nhuận không đạt giá trị cực đại điểm thỏa mãn điều kiện cần giá trị tuyệt đối QKL lớn so với giá trị tuyệt đối QLL QKK (khi
2
0
KK LL KL
Q Q Q ) Điều có nghĩa là, lợi ích cận biên giảm điểm dừng, lợi nhuận tối đa chưa đạt thay đổi yếu tố đầu vào lại ảnh hưởng mạnh tới sản phẩm cận biên yếu tố đầu vào so với ảnh hưởng sản phẩm cận biên yếu tố đầu vào
5.5.1.2 Tối thiểu hóa chi phí sản xuất
Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh túy với hàm sản xuất:
( ; )
Q f K L
Giả sử doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất lượng sản phẩm cố định Q0 trường hợp tổng doanh thu TR = pQ0 cố định, mục tiêu
tối đa hóa lợi nhuận đồng với mục tiêu tối thiểu hóa chi phí sản xuất Bài tốn đặt ra:
Chọn (K; L) để hàm số
CwKKwLL (5.5.4) đạt cực tiểu với điều kiện
f K L( ; )Q0 (5.5.5) Khi điều kiện cần để C đạt cực tiểu với điều kiện (5.5.5)
0
1
w w ( ; )
K L
K L
Q Q f K L Q
(121)5.6.2 Lựa chọn mức sản lượng tối ưu
5.6.2.1 Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm
Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất loại sản phẩm Giả sử tổng chi phí kết hợp tính theo số lượng sản phẩm:
1
( ; )
TCTC Q Q
trong Q1 số lượng sản phẩm thứ nhất, Q2 số lượng sản phẩm thứ hai Do tính chất cạnh tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường sản phẩm Với p1, p2 giá thị trường hai sản phẩm, hàm tổng lợi nhuận có
dạng:
1 2 ( 1; 2)
p Q p Q TC Q Q
Bài toán đặt trường hợp này: Chọn cấu sản lượng(Q Q1; 2)
để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn
Ví dụ 5.18: Giả sử hàm tổng chi phí doanh nghiệp cạnh tranh là:
2
1 2
6
TC Q Q Q Q
và giá sản phẩm p1 = 60, p2 = 34 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu
(cho lợi nhuận tối đa)
Giải Ta có hàm tổng lợi nhuận:
2
1 2
60Q 34Q 6Q 3Q 4Q Q
Điều kiện cần để lợi nhuận đạt tối đa
1
1
2
1
2
60 12
4 34
Q Q
Q Q
Q Q Q
Q
Mặt khác :
2 2
11 22 12
1
1
12; 6;
Q Q
Q Q
(122)Điều kiện đủ 11 22 12 0,110 thỏa mãn với Q1 Q2, lợi nhuận lớn doanh nghiệp sản xuất đơn vị sản phẩm thứ đơn vị sản phẩm thứ hai
5.6.2.2 Trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm
Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp
1
( ; )
TCTC Q Q
Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm vào chi phí sản xuất nhu cầu thị trường
Giả sử cầu sản phẩm là:
1
1 1( 1) 1 ( 1)
Q D p p D Q ( sản phẩm thứ )
1
2 2( 2) 2 ( 2)
Q D p p D Q ( sản phẩm thứ hai ) Hàm lợi nhuận có dạng:
1 2 ( 1; 2)
p Q p Q TC Q Q
Căn vào cầu thị trường, ta biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 Q2:
1
1 ( 1) ( 2) ( 1; 2)
D Q Q D Q Q TC Q Q
Theo phương pháp giải toán cực trị hàm hai biến, ta xác định mức sản lượng Q1 Q2 để đạt cực đại, từ suy giá tối ưu:
1
1 ( 1)
p D Q , p2 D21(Q2)
Ví dụ 5.19: Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp:
2
1
TCQ Q Q Q Giả sử cầu loại hồng hóa
1 56
(123)2 48 2
p Q ( sản phẩm thứ hai ) Hãy xác định mức sản lượng giá tối ưu cho sản phẩm Giải
Hàm lợi nhuận:
2
1 2
p Q p Q Q Q Q Q
(564Q Q1) 1(48 2 Q Q2) 2Q12Q225Q Q1 2 56Q148Q25Q123Q225Q Q1 2
Giải toán cực trị, ta xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa là:
1
96 40 ,
35
Q Q Giá bán để đạt lợi nhuận tối đa là:
1
1
1576 256
56 45; 48 36,7
35
(124)CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 6.1 Các khái niệm
6.1.1 Các khái niệm chung
6.1.1.1 Khái niệm phương trình vi phân
Định nghĩa Một phương trình mà đối tượng phải tìm hàm số hàm số phải tìm có mặt phương trình dấu đạo hàm vi phân cấp được gọi phương trình vi phân
6.1.1.2 Phân loại phương trình vi phân
Phương trình vi phân chia thành hai loại: Phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa Phương trình vi phân với hàm số cần tìm hàm số biến số được gọi phương trình vi phân thường
Ví dụ 6.1: Các phương trình sau phương trình vi phân thường:
y' x2y2 (6.1.1) x dy2 y dx2 0 (6.1.2)
2
d y y
dx (6.1.3) Định nghĩa Phương trình vi phân với hàm số cần tìm hàm số nhiều biến số được gọi phương trình đạo hàm riêng
Ví dụ 6.2: Các phương trình sau phương trình đạo hàm riêng: z z z
x y
(6.1.4)
2
2
z z x y
(6.1.5)
6.1.1.3 Cấp phương trình vi phân
(125)Ví dụ 6.3: Trong phương trình nêu trên, phương trình (6.1.1), (6.1.2) phương trình vi phân thường cấp 1, (6.1.3) phương trình vi phân thường cấp 2; phương trình (6.1.4) phương trình đạo hàm riêng cấp 1, phương trình (6.1.5) phương trình đạo hàm riêng cấp
Trong khn khổ giáo trình này, chúng tơi đề cập đến phương trình vi phân thường
Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát sau:
F x y y( ; ; '; ; y( )n ) ( 6.1.6) :
y( )n f x y y( ; ; '; ; y( – 1)n ) (6.1.7) 6.1.1.4 Nghiệm, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng phương trình vi phân Định nghĩa Nghiệm phương trình vi phân hàm số thỏa mãn phương trình
Định nghĩa Nếu hàm số y ( ; x C C1; 2; ;Cn) thỏa mãn ( 6.1.6) (6.1.7) với Ci thì gọi nghiệm tổng qt phương trình cho
Nhận xét: Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp n hàm chứa n tham số thực tùy ý
Trong cơng thức nghiệm tổng qt phương trình vi phân cấp n, cho Ci giá trị cụ thể ta nghiệm riêng phương trình cho
Về mặt hình học, nghiệm phương trình vi phân có đồ thị đường cong mặt phẳng tọa độ 0xy gọi đường cong tích phân phương trình Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho ta họ đường cong tích phân Nhiều từ ( 6.1.6) (6.1.7) ta tìm họ đường cong cho bởi:
( ; ;x y C C1; 2; ;Cn)0 (6.1.8) họ đường cong tích phân phương trình cho (6.1.8) gọi tích phân tổng qt phương trình ( 6.1.6) (6.1.7) Từ (6.1.8) cho Ci
(126)thỏa mãn phương trình cho gọi tích phân riêng phương trình cho
Định nghĩa Giải phương trình vi phân có nghĩa tìm tất nghiệm phương trình
6.1.2 Phương trình vi phân cấp 6.1.2.1 Các dạng biểu diễn
Phương trình vi phân cấp tổng quát thường cho dạng sau:
- Dạng tổng quát
F x y; ; dy
dx
(6.1.9)
- Dạng giải theo đạo hàm
( ; ) x
dy
f x y
d (6.1.10) - Dạng đối xứng
M x y dx( ; ) N x y dy( ; ) 0 (6.1.11)
Ở dạng (6.1.9), (6.1.10) thay cho ký hiệu dy
dx ta dùng ký hiệu y' 6.1.2.2 Nghiệm phương trình vi phân cấp
Nghiệm phương trình vi phân cấp một hàm số (x) xác định khoảng (a; b) mà thay y x , y'' x (hoặcdy ' x dx) vào phương trình vi phân thường cấp ta đồng thức
Ví dụ 6.4: Hàm số y x
xác định \{0}, nghiệm phương trình
2
1
dx dy
x
Vì 12 dx d x x
= 2
1
0
(127)Ví dụ 6.5: Hàm số y = Ce2x, C số bất kỳ, nghiệm phương trình
'
y y Vì Ce2x' Ce2x
Ví dụ 6.6: Xét phương trình y' f x( ) Khi hàm sốy f x dx( ) nghiệm phương trình
6.1.2.3 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng
Do việc tìm nghiệm phương trình vi phân dẫn đến việc lấy tích phân bất định, nên biểu thức nghiệm có số C bất kỳ:
;
y x C
Họ hàm số yx C; .được gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân thường cấp Khi gán cho C = C0 giá trị cụ thể
; 0
y x C gọi nghiệm riêng phương trình Nghiệm tổng quát phương trình vi phân dạng:
x y C; ;
được gọi tích phân tổng quát phương trình Mỗi tích phân ứng với giá trị xác định C gọi tích phân riêng phương trình
6.1.2.4 Bài tốn Cauchy
Xét phương trình vi phân cấp dạng: ( ; )
x
dy
f x y
d (6.1.12) Bài tốn tìm nghiệm riêng phương trình (6.1.12) thỏa mãn điều kiện: y = y0 x = x0 (6.1.13)
được gọi Bài toán Cauchy Điều kiện (6.1.13) gọi điều kiện ban đầu ( điều kiện Cauchy) Điều kiện ban đầu hai số thực (x0; y0) cho trước,
trong y0 giá trị hàm phải tìm điểm x0
Ta thừa nhận định lý sau:
Định lý (Về tồn nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp
(128)nào D Khi lân cận điểm x = x0, tồn một nghiệm y = y(x), lấy giá trị y0 x = x0 Ngoài ( ; )
f x y y
liên
tục miền D nghiệm 6.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp
6.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp
- Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình dạng: dy p x y( ) q x( )
dx (6.2.1)
trong p(x), q(x) hàm liên tục
Nếu q(x) 0, phương trình (6.2.1) có dạng dy p x y( )
dx (6.2.2) Phương trình (6.2.2) gọi phương trình tuyến tính Nếu q(x) phương trình (6.2.1) gọi phương trình tuyến tính không
- Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp Xét y 0, từ phương trình (6.2.2)suy
dy p x dx( ) dy p x dx( )
y y Tích phân hai vế ta được: ln y p x dx( )
C
p x dx
y C e
(trong C số tùy ý khác không)
Nhận thấy y = nghiệm (6.2.2) Vậy nghiệm phương trình tuyến tính (6.2.2)có dạng:
yC e p x dx( ) , C (6.2.3)
Ví dụ 6.7: Giải phương trình dy 2y
(129)Giải: Từ dy 2y dy 2dx
dxx y x tích phân hai vế ta nghiệm tổng quát phương trình là:
2
dx x
y Ce
y = Cx2
6.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng 6.2.2.1 Liên hệ với phương trình tuyến tính
Xét phương trình tuyến tính (6.2.1) với q(x) khơng đồng Trong trường hợp ta gọi phương trình tuyến tính (6.2.2) có vế trái với phương trình (6.2.1) phương trình tuyến tính liên kết
6.2.2.2 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp liên kết để tìm nghiệm tổng quát
( )
p x dx,
yC e C
Bước 2: Bây ta tìm nghiệm phương trình (6.2.1) phương pháp biến thiên số Tức cho số tùy ý C (6.2.3) biến thiên, nghĩa ta tìm hàm số C(x) cho
y ( ).C x e p x dx (6.2.4) thõa mãn phương trình khơng (6.2.1) Từ (6.2.4), ta có
( ) ( )
' '( ) p x dx ( ) ( ) p x dx
y C x e C x p x e Thế vào phương trình (6.2.1) ta
( ) ( ) ( )
'( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( )
C x e C x p x e C x p x e q x
( )
'( ) ( ) p x dx
C x q x e
( )
( ) ( ) p x dx
C x q x e dx C
(130)ye p x dx( ) C q x e( ) p x dx( ) dx
e p x dx( ) q x e( ) p x dx( ) dxC e p x dx( ) (6.2.5) Ví dụ 6.8: Giải phương trình dy 2y x
dxx Giải:
Phương trình có nghiệm tổng quát là: y = Cx
Ta tìm nghiệm khơng dạng: y = C(x)x
Thay vào phương trình cho ta được:
2
( )
2 ( ) ( )
dC x
x xC x C x x x
dx x
( )
dC x
dx x
Suy C x( )lnx C
Vậy nghiệm tổng quát phương trình 2
ln y Cx x x
Nhận xét: Nhận thấy số hạng thứ hai vế phải (6.2.5) nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (6.2.2), cịn số hạng đầu nghiệm riêng phương trình (6.2.1) suy từ nghiệm tổng quát (6.2.5) bằng cách cho C = Vậy nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính khơng nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính tương ứng cộng với nghiệm phương trình khơng Ví dụ 6.9: Tìm nghiệm phương trình ' ( 1)3
1
y
y x
x
thỏa mãn điều
kiện y(0) =
(131)Giải:
Phương trình liên kết có dạng
2
'
1
y y
x
hay
dy dx y x Lấy nguyên hàm hai vế, ta
2
ln y ln(x 1)
C hay y = C(x + 1)
2
,
trong C số tùy ý Bây ta tìm hàm số C(x) cho y = C(x).(x+1)2 nghiệm phương trình khơng Ta có
2
' '( ).( 1) ( )( 1)
y C x x C x x Thế vào phương trình khơng nhất, ta
2
'( )( 1) ( 1)
C x x x hay C'(x) x
Do
2
( ) ,
2
x
C x x C C số tùy ý Vậy nghiệm tổng quát phương trình
2
2
( 1)
x
y x C x
Cho x = vào hai vế, ta C =
Vậy ta nghiệm riêng
2
2
1
( 1) 2
x
y x x
=
4
1
x
6.3 Phương trình vi phân cấp hai
6.3.1 Khái quát chung phương trình vi phân cấp 6.3.1.1 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng
Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát:
; ; '; ''
(132)Trong hàm số F xác định miền D khơng gian 4 Trong phương trình (6.3.1) vắng mặt số biến x y y, , ' y''
nhất thiết không vắng mặt
Việc xét phương trình tổng quát (6.3.1) phức tạp, người ta thường xét phương trình vi phân cấp dạng giải đạo hàm cấp hai:
'' ( ; ; ')
y f x y y (6.3.2) Việc giải phương trình vi phân cấp hai thường qua hai lần lấy tích phân bất định, nghiệm có dạng:
y = (x; C1; C2) (6.3.3)
trong C1, C2 số
Họ hàm số (6.3.3) gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hai Khi gán cho ký hiệu C1,C2 số ta dược nghiệm
của phương trình Mỗi nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát gán cho C1,
C2 giá trị xác định gọi nghiệm riêng phương trình
6.3.1.2 Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp hai đặt sau: Tìm nghiệm phương trình (6.3.2) thỏa mãn điều kiện:
y , 'y y0 y0' x = x0 (6.3.4)
trong x0, y0
'
y số thực cho trước
Điều kiện (6.3.4) gọi điều kiện ban đầu (điều kiện Cauchy) Chú ý điều kiện ban đầu (6.3.4) bao gồm giá trị hàm phải tìm giá trị đạo hàm điểm x0 cho trước Bộ ba số thực
'
0 0
(x ; ; )y y gọi là giá trị ban đầu
Khi tìm ngiệm tổng quát phương trình (6.3.2) để tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu (6.3.4) ta tìm C1, C2 từ hệ:
0
'
0
( ; ; ) '( ; ; )
x C C y x C C y
(133)Định lý (Về tồn nghiệm)
Giả sử hàm số f x y y( ; ; ') vế phải phương trình (6.3.2) xác định, liên tục lân cận V điểm M (x ; y ; y )0 0 0 '0 tồn số K, L > cho:
2 1
( ; ; ') ( ; ; ') , ( ; ; '),( ; ; ') f x y y f x y y K y y x y y x y y V
' ' ' ' ' '
2 1
( ; ; ) ( ; ; ) , ( ; ; ),( ; ; ) f x y y f x y y L y y x y y x y y V
Khi đó, khoảng (x0 ;x0 ) với đủ nhỏ, tồn một nghiệm phương trình (6.3.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu ( 6.3.4)
6.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 6.3.2.1 Định lý tồn
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình dạng:
''y p x y( ) 'q x y( ) f x( ) (6.3.5) trong p(x), q(x) f(x) hàm số liên tục cho trước
Định lý tồn phương trình (6.3.5) có nội dung sau: Định lý Nếu hàm p(x), q(x), f(x) xác định liên tục đoạn [a; b] với x0 (a; b)
' 0,
y y là số thực bất kỳ, tồn nghiệm phương trình (6.3.5) thỏa mãn điều kiện:
' 0, ' 0
y x y y x y
6.3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp
Trong trường hợp đặc biệt f(x) 0, phương trình (6.3.5) có dạng: ''y p x y( ) 'q x y( ) 0 (6.3.6) Phương trình (6.3.6) gọi phương trình tuyến tính
Định lý Nếu y(x) nghiệm phương trình tuyến tính (6.3.6) C.y(x), với C số bất kỳ, nghiệm phương trình
Chứng minh: Nếu y(x) nghiệm phương trình tuyến tính (6.3.6) ta có:
(134)Khi với số C ta có:
'' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C y x p x C y x q x C y x
''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) C y x p x y x q x y x
Vậy C y(x) nghiệm phương trình (6.3.6) ■
Định lý Nếu y1(x), y2(x) nghiệm phương trình tuyến tính (6.3.6) thì y1(x) + y2(x), nghiệm phương trình
Chứng minh: Nếu y1(x), y2(x) nghiệm phương trình tuyến tính
(6.3.6) ta có:
y x1( ) y x2( )'' p x y x( ) 1( ) y x2( )' q x y x( ) 1( ) y x2( )
'' ' '' '
1( ) ( ) ( )1 ( ) ( )1 2( ) ( ) 2( ) ( ) 2( )
y x p x y x q x y x y x p x y x q x y x
Vậy y1(x) + y2(x) nghiệm phương trình (6.3.6) ■
Định lý Nếu phương trình tuyến tính (6.3.6) có nghiệm phức y(x) = u(x) + iv(x) phần thực u(x) phần ảo v(x) nghiệm phức nghiệm thực phương trình
Chứng minh: Nếu phương trình tuyến tính (6.3.6) có nghiệm phức y(x) = u(x) + iv(x) ta có:
u x( ) ( ) '' iv x ( )p x u x ( ) ( )iv x ' q x u x( ) ( )iv x( )
u x''( ) p x u x( ) '( ) q x u x( ) ( ) i v x ''( ) p x v x( ) '( ) q x v x( ) ( )
Điều xảy hai đồng thức sau thỏa mãn: ''( ) ( ) '( ) ( ) ( )
u x p x u x q x u x ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) v x p x v x q x v x
Vậy u(x), v(x) nghiệm phương trình (6.3.6) ■
Định nghĩa Hai hàm số y1(x), y2(x) gọi phụ thuộc tuyến tính đoạn
[a; b] tồn số c1, c2 có số khác khơng, cho
đoạn đó:
(135)Ngược lại, đồng thức thỏa mãn c1 = c2 = ta nói
y1(x), y2(x) hàm độc lập tuyến tính
Định lý Nếu y1(x), y2(x) hai nghiệm độc lập tuyến tính đoạn [a; b] phương trình tuyến tính (6.3.6) thì:
1
1
( ) ( )
( ) 0, [ ; ]
' ( ) ' ( )
y x y x
W x x a b
y x y x
Chứng minh: Giả sử tồn x0 cho W(x0) = Khi hệ phương trình tuyến
tính với ma trận hệ số ma trận định thức W(x0) có nghiệm
khơng tầm thường, tồn số C1, C2 khơng đồng thời cho:
y1(x0)C1 + y 2(x0)C2 = y’1(x0)C1 + y’ 2(x0)C2 = (6.3.7)
Do y1(x), y2(x) hai nghiệm phương trình (6.3.6) nên theo định lý định
lý 3, hàm y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) nghiệm phương trình Theo
(6.3.7) y(x0) = y’(x0) = Mặt khác ta thấy phương trình (6.3.6) có nghiệm
(x) thỏa mãn điều kiện Do đó, theo định lý tồn y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) 0, điều trái với giả thiết y1(x), y2(x) độc lập tuyến
tính Vậy khơng thể tồn x0 [a; b] cho W(x0) = 0, tức là:
W(x) ≠ x [a; b] ■
Định lý Nếu y1(x), y2(x) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình tuyến tính (6.3.6) y = C1y1(x) + C2y2(x), C1, C2 số bất kỳ, nghiệm tổng qt phương trình
Chứng minh: Theo định lý định lý y = C1y1(x) + C2y2(x), với C1, C2
các số bất kỳ, nghiệm phương trình (6.3.6) Ta cần chứng minh nghiệm riêng phương trình (6.3.6) biểu diễn dạng
Gọi ỹ(x) nghiệm riêng phương trình (6.3.6) Lấy điểm x0 [a; b], y1(x), y2(x) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình
tuyến tính (6.3.6) nên theo định lý 5, W(x0) ≠ Do hệ gồm hai
phương trình:
' '
1( )0 2( )0 ( ), ( )0 1 2( )0 '( ),0
y x C y x C y x y x C y x C y x
là hệ Cramer, có nghiệm (C1 C~1,C2 C~2) Điều chứng tỏ:
1 2
( ) ( ) ( )
(136)là nghiệm phương trình (6.3.6) thỏa mãn điều kiện y(x0) = ỹ(x0)
0 0
y' x y ' x Từ suy ra:
1 2
( ) ( ) ( )
y x C y x C y x ■ 6.3.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính khơng
Xét phương trình (6.3.5) với f(x) không đồng Cùng với phương trình(6.3.5) xét phương trình tuyến tính (6.3.6) có vế trái Khi phương trình (6.3.6) gọi phương trình liên kết (tương ứng) phương trình (6.3.5) Giữa hai phương trình có mối liên hệ nghiệm sau:
Định lý Nếu y0(x) nghiệm phương trình tuyến tính khơng (6.3.5) và y(x) nghiệm phương trình tuyến tính liên kết (6.3.6) hàm y0(x) + y(x) nghiệm phương trình (6.3.5)
Chứng minh: Giả sử y0(x) nghiệm phương trình (6.3.5) y(x) nghiệm
phương trình liên kết (6.3.6), ta có:
'' '
0( ) ( ) 0( ) ( ) 0( ) ( )
y x p x y x q x y x f x ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) y x p x y x q x y x Suy ra:
'' '
0( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
y x y x p x y x y x q x y x y x
'' '
0( ) ( ) 0( ) ( ) 0( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( )
y x p x y x q x y x y x p x y x q x y x
g x( ) 0 g x( )
Điều chứng tỏ y0(x) + y(x) nghiệm phương trình tuyến tính khơng
thuần (6.3.5) ■
Hệ Nếu y0(x) nghiệm riêng phương trình tuyến tính không
nhất (6.3.5) y1(x), y2(x) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình
thuần liên kết (6.3.6) nghiệm tổng quát phương trình (6.3.5) là: y = y0(x) + C1y1(x) + C2y2(x)
6.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số
(137)Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số phương trình có dạng:
''y py'qy0, (6.3.8) trong p, q số thực
Để tìm nghiệm tổng quát phương trình (6.3.8), cần tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính Ta tìm nghiệm phương trình dạng y = ekx Ta có ' kx
y ke ,
'' kx
y k e Hàm số y = ekx nghiệm phương trình (6.3.8) khi:
k2ekx + pkekx + qekx Do ekx ≠ 0, nên đồng thức xảy khi:
k2 + pk + q = (6.3.9) Phương trình (6.3.9) gọi phương trình đặc trưng phương trình vi phân tuyến tính (6.3.8) Nghiệm phương trình (6.3.8) xác định thơng qua nghiệm phương trình đặc trưng (6.3.9) sau:
- Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng (6.3.9) có hai nghiệm thực phân biệt k = a, k = b Khi phương trình vi phân (6.3.8) có hai nghiệm độc lập tuyến tính eax ebx, nghiệm tổng quát phương trình (6.3.8) là:
y = C1e
ax
+ C2e
bx
- Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng (6.3.9) có nghiệm kép k = a Khi phương trình vi phân (6.3.8) có y1 = e
ax
Ta tìm nghiệm riêng y2 cách đặt
y2 = u(x)e ax
Ta có:y2' u e’ ax aueax,y2'' u e'' ax 2aueax a ue2 ax Thay vào phương trình (6.3.8) ta có:
2
'' (2 ) ' ( )
ax
e u a p u a pa q u Vì k nghiệm kép phương trình đặc trưng (6.3.9) nên ta có:
a2 + pa + q = 0,
2 p
k hay 2a + p = Do ta ax ''
e u hay ''u 0 Suy u = ax + b, chọn a = 1, b = ta u = x Vậy y2 = xeax
Mặt khác, ta thấy y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát
(138)y = C1e
ax
+ C2xe
ax
- Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng (6.3.9) có hai nghiệm phức:k1 i,
2
k i Khi đó, phương trình (6.3.8 ) có hai nghiệm phức liên hợp:
( ) ( )
(cos sin ), (cos sin )
i x x i x x
e e xi x e e xi x
Cặp nghiệm phức liên hợp cho tương ứng hai nghiệm thực độc lập tuyến tính phương trình (6.3.8): y1 excosx y, 2 exsinx
Vậy nghiệm tổng quát phương trình (6.3.8) là:
1 cos sin
x x
y C e x C e x Ví dụ 6.10: Tìm nghiệm phương trình: ''y y'– 2y0 Giải: Phương trình đặc trưng phương trình cho là:
k2 + k – =
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt k11,k2 2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:
–
1
x x
y C e C e
Ví dụ 6.11: Tìm nghiệm phương trình: '' ' 9y y y 0 Giải: Phương trình đặc trưng phương trình cho là:
2
6
k k
Phương trình có nghiệm kép k = Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:
3
1
x
y e C C x
Ví dụ 6.12: Tìm nghiệm phương trình: '' ' 10y y y0 Giải: Phương trình đặc trưng phương trình cho là:
2
2 10
k k
Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp k1 1 , i k2 1 – 3i Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:
1cos3 2sin
x
(139)6.3.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính khơng với hệ số số Định nghĩa 10 Phương trình vi phân tuyến tính khơng với hệ số hằng số phương trình có dạng
''y py'qy f x( ), (6.3.10) trong p, q số, f(x) hàm liên tục
Cách giải Ta biết cách tìm nghiệm tổng quát phương trình liên kết (tương ứng) ''y py'qy0,, phương trình (6.3.10) giải tìm nghiệm riêng
Trong số trường hợp đặc biệt f(x) ta tìm nghiệm riêng phương trình (6.3.10) mà khơng cần phép tính tích phân nào:
- Trường hợp 1: f x( )P x e( ) ax, P(x) đa thức
+ Nếu k = a nghiệm phương trình đặc trưng (6.3.9) nghiệm riêng phương trình (6.3.10) tìm dạng:
yo(x) = Q(x)e
ax ,
trong Q(x) đa thức bậc với P(x)
+ Nếu k = a nghiệm đơn phương trình đặc trưng (6.3.9) nghiệm riêng phương trình (6.3.10) tìm dạng:
yo(x) = xQ(x)e
ax
+ Nếu k = a nghiệm kép phương trình đặc trưng (6.3.9) nghiệm riêng phương trình (6.3.10) tìm dạng:
yo(x) = x
Q(x)e ax
Ví dụ 6.13: Giải phương trình '' '– 4y y y x
Giải: Phương trình đặc trưng k2 + 3k – = 0có hai nghiệmk11,k2 4, nghiệm tổng qt phương trình liên kết là:
1
x x
yC e C e
Do k = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình tìm dạng:
y = y0(x) = ax + b
Thay vào phương trình cho ta có:
4ax – 4a b x
(140)
3
a a b
16 a
b
Ta tìm nghiệm riêng: y0(x) =
1
4x 16
Vậy nghiệm tổng quát phương trình là:
4
1
1
( )
4 16
x x
y x x C e C e Ví dụ 6.14: Giải phương trình ''y y'4x3
Giải: Phương trình đặc trưng k2 + k = có hai nghiệm k1 1, k2 0, nghiệm tổng qt phương trình liên kết là:
1
x
yC C e
Do k = nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình tìm dạng:
y = y0(x) = x(ax + b)
Thay vào phương trình cho ta có:
2ax2 a b4x3
2
2
a a b
a b
Ta tìm nghiệm riêng y0(x) = 2x2 – x Vậy nghiệm tổng quát phương
trình cho là:
2
1
2 – x
y x x C C e
(141)Giải: Phương trình đặc trưng k2 + 6k + 8= có hai nghiệm k1 2, k2 4, nghiệm tổng quát phương trình liên kết là:
2
1
x x
y C e C e
Do k 3 nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình tìm dạng:
y = y0(x) = (ax + b)e – 3x
Thay vào phương trình cho ta có:
–3
x x
ax b e xe
ax b x
a b
Ta tìm nghiệm riêng y x0( ) xe3x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:
1
x x x
y xe C e C e
Ví dụ 6.16: Giải phương trình y'' ' 9 y y xe3x
Giải: Phương trình đặc trưng k2 6k 9 có nghiệm kép k = 3, nghiệm tổng quát phương trình liên kết là:
y = (C1x+ C2)e 3x
Do k = nghiệm bội phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình tìm dạng:
y = y0(x) = (ax + b)x
e3x Tính y y0', 0'' thay vào phương trình cho ta có:
3
6a10b x2b e x xe x
6a 10b x 2b x
6 10
0
a b
b
(142)1 a b
Ta tìm nghiệm riêng y0(x) =
6
x3e3x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:
3
1
1
( )
6
x x
y C x C e x e
- Trường hợp 2: f x( )eaxP x1( ) cosbxP x2( )sinbx, trong P1(x), P2(x)
các đa thức
+) Nếu k = a bi nghiệm phương trình đặc trưng (6.3.9) nghiệm riêng phương trình (6.3.10) tìm dạng:
0( ) 1( )cos 2( )sin ,
ax
y x e Q x bxQ x bx
trong Q1(x), Q2(x) đa thức có bậc bậc cao P1(x), P2(x)
+) Nếu k = a bi nghiệm phương trình đặc trưng (6.3.9) nghiệm riêng phương trình (6.3.10) tìm dạng:
0( ) 1( ) cos 2( )sin ,
ax
y x x e Q x bxQ x bx
trong Q1(x), Q2(x) đa thức có bậc bậc cao P1(x), P2(x)
Ví dụ 6.17: Giải phương trình ''y y' 2 y8sin 2x
Giải: Phương trình đặc trưng k2k 2 có hai nghiệmk11,k2 2, nghiệm tổng qt phương trình liên kết là:
2
1
x x
yC e C e
Do k = 2i khơng nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình tìm dạng:
0( ) cos sin
y y x a xb x
Tính y y0', 0''rồi thay vào phương trình cho ta có:
(143)
2
b a a b
2 a
b
Ta tìm nghiệm riêng 0( ) 2cos 6sin
5
y x x x
Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:
2
1
2
cos sin
5
x x
yC e C e x x 6.3.3.3 Phương pháp biến thiên số
Trong trường hợp khơng tìm nghiệm riêng phương trình (6.3.10) ta dùng phương pháp biến thiên số để tìm Nội dung phương pháp sau:
Giả sử biết nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính thần liên kết (6.3.8) là:
1 2,
y C y C y (6.3.11) C C1, 2 số Ta xem C C1, 2 hàm số, tìm C C1, 2 cho (6.3.11) nghiệm phương trình khơng (6.3.10) Ta có
' ' ' '
1 2 1 2
'
y C y C y C y C y
Chọn C C1, 2 cho C y1 1' C y2 2' 0 Khi đó:
' '
1 2
'
y C y C y
'' '' ' ' ' '
1 2 1 2
''
y C y C y C y C y
Thay vào phương trình (6.3.10) ta được:
'' ' '' ' ' ' ' '
1( ( ) ( ) )1 2( ( ) ( ) 2) 1 2 ( )
C y p x y q x y C y p x y q x y C y C y f x
Vì y1, y2 hai nghiệm phương trình (6.3.8) nên biểu
(144)' ' ' '
1 2 ( )
C y C y f x
Vậy hàm (6.3.11) nghiệm phương trình (6.3.10) C C1, 2 thỏa mãn hệ:
' '
1 2
' ' ' '
1 2
0 ( ) C y C y
C y C y f x
Vì y1(x), y2(x) nghiệm độc lập tuyến tính phương trình
nhất liên kết phương trình (6.3.10) nên ta có:
1
' '
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
y x y x
W x
y x y x
với x thuộc khoảng xác định nghiệm y1(x), y2(x) Vậy hệ có
nghiệm nhất:
' '
1( ) 1( ), 2( ) 2( )
C x h x C x h x
Từ ta suy ra:
1( ) 1( ) 1( ) 1,
C x h x dx x K
2( ) 2( ) 2( )
C x h x dx x K
Thay C1(x), C2(x) vào (6.3.11) ta nghiệm tổng quát phương
trình
Ví dụ 6.18 Giải phương trình ''
x x
e y y
e
Giải: Phương trình liên kết ''– y y có nghiệm tổng quát là:
1
x x
y C e C e Ta tìm nghiệm riêng phương trình dạng:
1( ) 2( )
x x
y C x e C x e
(145)' '
1
' '
1
( ) ( )
( ) ( )
1
x x
x
x x
x e C x e C x
e e C x e C x
e
ta tìm được:
2
' '
1
1
( ) , ( )
2( 1) 2( 1)
x
x x
e
C x C x
e e
Suy ra:
1
1
( ) ln( 1)
2 2
x x
dx x
C x e K
e
2
1 1
( ) ln( 1)
2 2
x
x x
x
e dx
C x e e K
e
với K1, K2 số Vậy nghiệm tổng quát phương trình là:
1
1
ln( 1) ln( 1)
2
x x x x x x
(146)Chương KHÔNG GIAN VECTƠ 7.1 Khái niệm không gian vectơ
7.1.1 Định nghĩa
Cho V tập hợp khác rỗng mà phép cộng hai phần tử thuộc V ( kí hiệu “ + ”) phép nhân phần tử thuộc V với số thực (kí hiệu “ ”) định nghĩa cho thỏa mãn 10 tiên đề:
(1) a b V a, : b V;
(2) a b c V, , : (ab) c a(bc); (3) a b V a, : b b a;
(4) V, a V a: aa; (5) a V, a' V a: a';
(6) k R, a V ka V: ;
(7) k R,a b V k a, : ( b)kakb; (8) k l, R, a V : (k l a) kala; (9) k l, R, a V : ( )kl ak la( ); (10) a V : 1aa
Khi V với hai phép tốn gọi không gian vectơ, phần tử V goi vectơ
Tiên đề nói phép cộng vectơ có tính chất kết hợp Tiên đề phép cộng vectơ có tính chất giao hốn Phần tử thỏa mãn tiên đề gọi vectơ không
Với vectơ a V , vectơ 'a V thỏa mãn tiên đề gọi vectơ đối vectơ a ký hiệu a
7.1.2 Các tính chất
Tính chất Vectơ khơng Chứng minh
Giả sử 1; 2 vectơ không không gian vectơ V, ta chứng minh
1
Thật vậy:
1
(1) coi 2 vectơ không Mặt khác, coi 1là vectơ khơng ta lại có 12 2(2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Vậy vectơ không
(147)Giả sử ', ''a a hai vectơ đối vectơ a Ta chứng minh 'a a'' Thật vậy:
' ' ' ( '') ( ' ) '' '' ''
a a a aa aa a a a Tính chất Với vectơ v thuộc khơng gian vectơ V, ta có: 0v Chứng minh
Ta có 0v v 0v1v(0 1) v1vv
Gọi 'v vectơ đối vectơ v Cộng hai vế đẳng thức với 'v ta được: 0v v v' v v' 0v
Tính chất Với vectơ v thuộc khơng gian vectơ V, ta có: ( 1)v v Chứng minh
Theo tính chất ta có 0v (1 1) v 1v ( 1)v v ( 1)v Suy điều phải chứng minh
7.1.3 Một số ví dụ khơng gian vectơ Ví dụ 7.1: Khơng gian vectơ thực n
Cho n x( ;x x1 2; ;xn) xi Trong nphép cộng hai phần tử phép nhân phần tử với số thực định nghĩa sau:
Nếu xx x1; 2; .;xn, y y y1; ; .;2 ynvà thì: ; ; ; n n; x y x y x y x y
1
( ; ; ; ).n
x x x x
Dễ dàng kiểm tra hai phép toán thỏa mãn 10 tiên đề không gian vectơ nên nlà không gian vectơ gọi không gian vectơ thực n Mỗi vectơ nlà gồm n số thực có thứ tự ( cịn gọi điểm n), vectơ không nlà (0;0; ;0)(cịn gọi gốc n) Ví dụ 7.2: Khơng gian vectơ hình học khơng gian
Cho V tập vectơ hình học khơng gian Vì phép cộng vectơ phép nhân số với vectơ biết thỏa mãn 10 tiên đề nói nên V khơng gian vectơ
Ví dụ 7.3: Khơng gian số phức
Tập số phức C với phép cộng số phức phép nhân số thực với số phức lập thành không gian vectơ
(148)Giả sử V khơng gian vectơ với hai phép tốn: Cộng hai vectơ nhân vectơ với số thực W tập hợp V Nếu với hai phép tốn W khơng gian vectơ W gọi khơng gian V
Như vậy, theo định nghĩa, muốn kiểm tra W V không gian V, ta phải chứng minh hai phép toán định nghĩa V thỏa mãn 10 tiên đề không gian vectơ W Việc làm thời gian, Định lý sau giúp cho việc kiểm tra dễ dàng
7.2.2 Định lý Giả sử V không gian vectơ W tập hợp khác rỗng của V Nếu:
(i) u, v W u + v W; (ii) u W, R u W thì W khơng gian V
Ví dụ 7.4: 3là khơng gian vectơ (xem ví dụ 1) Xét W ( ; ; ) x x1 2 x3 3 x1 x2 x3 0 Khi W khơng gian 3
Thật vậy, x( ;x x1 2; ), x3 y( ; ; )y y1 2 y3 W ta có:
1
x x x
1
y y y
Do (x1 + y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) = x + y W
x1 + x2 + x3 = x W
Chú ý: Hai tập V, {} hai không gian tầm thường V 7.3 Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh
7.3.1 Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa V không gian vectơ.S x x1; ; .;2 xnV Biểu thức:
1 2 n n
xc x c x c x
với ci , 1; i n là vectơ thuộc V gọi tổ hợp tuyến tính họ S
Ví dụ 7.5: Trong khơng gian vectơ 2:
Vectơ (x; y) tổ hợp tuyến tính vectơ i = (1; 0), j = (0; 1), x.i + y.j = x(1; 0) + y(0; 1) = (x; y)
(149)1
2x 5x 2(1; 1)5(1; 1) (7; 3).
Định nghĩa Giả sử S x x1; ; .; 2 xnlà họ vectơ không gian vectơ V Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính họ S gọi bao tuyến tính họ S Ký hiệu span S
Định lý Nếu S họ vectơ khơng gian vectơ V W = span(S) một không gian V
Chứng minh:
Vì x1 = 1.x1 W nên W Bây ta kiểm tra điều kiện i) ii) định
lý Giả sử :
1 2 n n
xc x c x c x W ,yd x1 1d x2 2 d xn nW Khi
1 1 2
( ) ( ) ( n n) n ,
x y c d x c d x c d x W
với ta có x = (c1)x1 + (c2)x2 + + (cn)xn W
Do W đóng kín hai phép tốn V nên W khơng gian V 7.3.2 Hệ sinh
Định nghĩa Nếu span(S) = V, tức vectơ x V biểu diễn dạng:
1 2 n n
x c x c x c x ta nói họ S sinh V hay S hệ sinh V
Ví dụ 7.6: Trong không gian vectơ 2, xét hai vectơ i = (1; 0); j = (0; 1) Mọi vectơ 2 có dạng:
1; 2 11; 0 20; 1
x x x x x x ix j nên họ S = {i; j} hệ sinh 2
7.4 Họ véctơ độc lập tuyến tính Cơ sở số chiều không gian véctơ 7.4.1 Họ véctơ độc lập tuyến tính
Định nghĩa Ta nói hệ vectơ S x x1; ; .; 2 xncủa không gian vectơ V độc lập tuyến tính,
c x1 1c x2 2 c xn n c1 c2 cn 0, (7.4.1) trong c1, c2, , cn số thực
(150)Ví dụ 7.7: Trong không gian vectơ 3, họ bốn vectơ x1(1; 1; 1), x2(1; 1; 0),
x3(1; 0; 0), x4(3; 2; 0) có độc lập tuyến tính khơng?
Giải: Hệ thức (7.4.1) là:
c1(1; 1; 1) + c2(1; 1; 0) + c3(1; 0; 0) + c4(3; 2; 0) =
Do
1
1
1
3
c c c c
c c c
c
Đây hệ gồm phương trình ẩn số Hệ có vơ số nghiệm Vậy hệ bốn vectơ phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 7.8: Trong khơng gian3, họ ba vectơ e1(1; 0; 0), e2(0; 1; 0), e3(0; 0; 1)
độc lập tuyến tính (việc chứng minh tương tự ví dụ 6)
Nhận xét: i) Mọi họ chứa vectơ phụ thuộc tuyến tính, 1. =
ii) Nếu họ S phụ thuộc tuyến tính họ chứa phụ thuộc tuyến tính
iii) Nếu họ S độc lập tuyến tính họ khác rỗng S độc lập tuyến tính
iiii) Nếu họ S x x; 2; .;xnphụ thuộc tuyến tính tồn số ck cho ta có (7.4.1) Từ hệ thức rút ra:
1 1 1 1 ,
k k k k k n n
x x x x x x với i i
k c
Vậy vectơ họ S tổ hợp tuyến tính vectơ
còn lại họ
7.4.2 Cơ sở Số chiều không gian vectơ
Định lý Cho V không gian vectơ sinh n vectơ Nếu S họ m vectơ độc lập tuyến tính V m n
Định nghĩa Họ vectơ S e e1; ; .; 2 enđược gọi sở không gian vectơ V thỏa mãn điều kiện
(i) Họ S độc lập tuyến tính; (ii) Họ S hệ sinh V
(151)Định nghĩa Nếu e e1; ; .; 2 enlà sở khơng gian vectơ V, ta nói V là khơng gian vectơ n chiều, n gọi số chiều V ký hiệu dim(V) = n Quy ước: dim() =
Nhận xét: Trong không gian vectơ n chiều, hệ vectơ S gồm n vectơ độc lập tuyến tính sở
Ví dụ 7.9: Trong khơng gian n, họ vectơ e e1; ; .; 2 en,
i
e 0; .; 0; 1; 0; .0 (số vị trí thứ i) sở gọi sở tắc
Định lý Nếu hệ S e e1; ; .; 2 enlà sở khơng gian vectơ n chiều V vectơ x V diễn cách dạng
xc e1 1 c e2 2 c en n, (7.4.2)
trong đóc c1, 2, ., cn
(152)CHƯƠNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
8.1 Ma trận phép tốn tuyến tính ma trận 8.1.1 Các khái niệm ma trận
8.1.1.1 Khái niệm ma trận
Định nghĩa Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Một ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp m n (cỡ m n )
Khi cho ma trận, ta viết bảng số bên dấu ngoặc trịn dấu ngoặc vng Ma trận cấp m n có dạng tổng quát sau:
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
a a a
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
a a a
Ta dùng chữ in hoa: A, B, C để đặt tên ma trận viết:
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
(8.1.1)
Các số ma trận gọi phần tử Ở dạng tổng quát (8.1.1) phần tử nằm hàng i cột j ( 1≤ i ≤ m , 1≤ j ≤ n) ký hiệu aij
Ta dùng ký hiệu:
A[aij mxn] (8.1.2) để nói A ma trận cấp mnmà phần tử nằm dòng i cột j ký hiệu aij
Hai cách viết (8.1.1) (8.1.2) tương đương dùng nói đến ma trận tổng quát Khi cấp ma trận phần tử xác định số ta thường sử dụng cách viết dạng (8.1.1)
Ví dụ 8.1:
2
1
A
ma trận cấp x a11 = 2; a12 = 1; a13 = 0; a21 = 1; a22 = 5; a23 =
(153)Định nghĩa Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi
Để nói hai ma trận A B nhau, ta viết A = B
Chú ý: Khái niệm hai ma trận áp dụng cho ma trận cấp Trong tập hợp ma trận cấp m n đẳng thức ma trận tương ứng với hệ m n đẳng thức số
1; ; 1; ij ij
ij m n ij m n
a b
a b
i m j n
8.1.1.3 Ma trận không ma trận đối
Ma trận không ma trận có tất phần tử Trong tập hợp tất cả ma trận m n (m, n cố định ) có ma trận khơng
Kí hiệu: Om x n O (nếu cấp ma trận cho xác định)
Ma trận đối ma trận A ma trận cấp với ma trận A mà phần tử số đối phần tử tương ứng ma trận A
Ký hiệu: Ma trận đối A A Ví dụ 8.2: Cho
3
A
3
A
8.1.1.4 Hệ vectơ dòng vectơ cột ma trận
Lý thuyết ma trận lý thuyết khơng gian vectơ n có liên hệ chặt chẽ với Để làm rõ mối quan hệ này, ta xét ma trận cấp m n bất kỳ:
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
Ta xem dịng ma trận A vectơ n chiều cột của vectơ m chiều Như vậy, ma trận cấp m n cho tương ứng một hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều hệ vectơ cột gồm n vectơ m chiều
Khi sử dụng thuật ngữ hai dòng (cột) nhau, tổng dịng (cột), tích dịng (cột) với số, dòng (cột) phụ thuộc tuyến tính v.v ta hiểu thuật ngữ nói vectơ
8.1.2 Các dạng ma trận 8.1.2.1 Ma trận chữ nhật
(154)Ví dụ 8.3:
3
A
ma trận cấp 3;
1
4
3
B
ma trận cấp 8.1.2.2 Ma trận vuông
Ma trận vng ma trận có số dịng số cột Một ma trận có số dòng số cột n gọi ma trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát sau:
11 12
21 22
1
n n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Trong ma trận vng A, đường chéo thứ nối góc bên trái với góc dưới bên phải gọi đường chéo chính, đường chéo thứ hai gọi đường chéo phụ Vị trí phần tử aij so với đường chéo xác định theo số i, j sau:
+) aij thuộc đường chéo i = j; +) aij nằm đường chéo i < j; +) aij nằm đường chéo i > j 8.1.2.3 Ma trận tam giác
Ma trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo Có hai loại ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên:
11 12
22
0
0
n n
nn
a a a
a a
a
(aij = i > j )
Ma trận tam giác dưới:
11
21 22
1
0
n n nn
a
a a
a a a
(155)8.1.2.4 Ma trận đường chéo, ma trận đơn vị
Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo Ma trận đường chéo cấp n có dạng
11 22
0
0
0 nn a
a
a
(aij = i ≠ j )
Trường hợp đặc biệt a11 = a22 = a33 = = ann ma trận chéo
gọi ma trận vô hướng
Ma trận đường chéo có tất phần tử đường chéo được gọi ma trận đơn vị Mỗi cấp ma trận vng có ma trân đơn vị kí hiệu E
1 0 0 E
Gọi eij phần tử thuộc hàng i cột j ma trận đơn vị E, ta có:
0 ij
khi i j e
khi i j
8.1.2.5 Ma trận dòng ma trận cột
Ma trận có dịng (ma trận cấp 1n) gọi ma trận dịng
Ví dụ 8.4: A = [ ]1x3
Ma trận có cột (ma trận m1) gọi ma trận cột Ví dụ 8.5: B =
1
4
8.1.2.6 Ma trận chuyển vị
(156)Ví dụ 8.6:
4
2
7
A
4
'
5
A
8.1.2.7 Ma trận bậc thang
Ma trận A[aij m n] gọi ma trận bậc thang, ma trận thỏa mãn hai tính chất sau:
i) Các dịng khác khơng (tức tồn phần tử khác khơng) (nếu có) ln dịng có phần tử khơng (gọi tắt dịng khơng);
ii) Trên hai dịng khác khơng phần tử khác khơng (tính từ bên trái sang) dòng bên phải cột chứa phần tử khác khơng (tính từ bên trái sang) dịng
Ví dụ 8.7: Các ma trận sau ma trận bậc thang:
1
0
0 0
A ;
3
0
0 0
B ;
6
0
0
C
8.1.3 Các phép toán ma trận 8.1.3.1 Phép cộng ma trận
- Định nghĩa Cho hai ma trận cấp m n : A[aij m n] ,B[bij m n] Tổng hai ma trận A B ma trận cấp m n , ký hiệu A + B xác định sau:
[ ij ij m n] AB a b Ví dụ 8.8: Cho
5
A
;
1
B
Ta có:
12
6
AB
- Tính chất Cho A, B, C ma trận cấp m n , ta ln có: +) A + B = B + A;
+) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C; +) A + O = O + A;
+) A + (A) = O
(157)- Định nghĩa Cho ma trận A[aij m n] số thực Tích ma trận A số ma trận cấp m n , ký hiệu A xác định sau:
[ ij m n]
A a
Ví dụ 8.9: Cho α = 2;
0
A
Ta có α.A = 2A =
12
- Tính chất Cho A, B hai ma trận cấp m n ; α, số bất kỳ, ta ln có:
+) A = A;
+) α (A + B) = α A + α B; +) (α + )A = α A + A; +) (α)A = α (A) 8.1.3.3 Phép nhân ma trận
- Định nghĩa Cho ma trận A cấp m n ma trận B cấp n p:
11 12
21 22
1 n n
m m mn m n
a a a
a a a
A
a a a
;
11 12
21 22
1 n n
n n np n p
b b b
b b b
B
b b b
Tích ma trận A ma trận B ma trận có cấp mp, ký hiệu AB xác định sau:
11 12
21 22
1 p p
m m mp m p
c c c
c c c
AB
c c c
đó:
cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj, (i1; ;m j1; )p (hay
1
n ij it tj
t
c a b
(i1; ;m j1; )p )
Chú ý: Để thực phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa, ta cần lưu ý điểm sau
(158)+) Cấp ma trận AB (khi có nghĩa): Cấp ma trận AB có số dịng số dịng ma trận đứng trước số cột số cột ma trận đứng sau
( A [aij m n] ; B [bij m n] C A B [cij m p] )
+) Các phần tử AB tính theo quy tắc: Phần tử cij thuộc dòng i cột j ma trận AB tích vơ hướng dịng thứ i ma trận đứng trước cột j ma trận đứng sau
Ví dụ 8.10: Cho hai ma trận
2
1
3 x
A
;
3 x B
Tính AB, BA (nếu có)
Giải: Trong trường hợp tích AB ( hay BA ) có nghĩa số cột A số hàng B ( Số cột B số dịng A) Ta có:
11 12
21 22
c c
AB
c c
Để tính phần tử thuộc dịng thứ AB, ta lấy dòng thứ A nhân với cột B theo quy tắc vô hướng
11 1.5 1.7
c
12 1.8
c
Để tính phần tử thuộc dòng thứ hai AB ta lấy dòng thứ hai A nhân với cột B
21 3.5 0.9 4.7 43
c
22 3.8 0.5 16
c
Vậy, ta có:
6
43 16 AB
Tương tự tính được:
b2j b1j
bnj ai1 ai2 ain
(159)29 10 37 24 18 29
1 14
BA
Ví dụ 8.11: Cho hai ma trận
0
A
;
3
1
2
B
Tính AB, BA (nếu có)
Giải: Ta tính AB lại khơng thể tính BA
14 35
3 10
AB
Ví dụ 8.12: Cho hai ma trận
2 1
0
5
A ;
3
4
5
B
Tính AB, BA (nếu
có)
Giải: Khi ta có:
7 19 12
7 66
29 21 26 AB ;
36 73 34
3 66 41
5
BA
Chú ý: Trong phạm vi ma trận vuông cấp ta nhân hai ma trận bất kỳ tích hai ma trận vng cấp n ma trận vuông cấp n.Tuy nhiên, phạm vi ma trận vuông cấp phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn
- Tính chất
+) A [aij m n] ; B [bij n p] ;C [cij p k] Khi (AB)C = A(BC),
+) A [aij m n] ; B [bij n p] ;C[cij n p] ;D[dij p q] Khi đó: A( B + C ) = AB + AC; ( B + C ) D = BD + CD
+) Với A, B hai ma trận cho tích AB có nghĩa là số bất kỳ, ta ln có :
(AB) = ( A)B = A(B)
+) Mọi ma trận không thay đổi nhân với ma trận đơn vị E (nếu phép nhân có nghĩa)
(160)Đặc biệt trường hợp ma trận vng cấp, ta ln có: AE = EA = A
+) Ma trận chuyển vị ma trận AB (khi tích AB có nghĩa) tích ma trận chuyển vị B với ma trận chuyển vị A
' ' '
(AB) B A 8.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận
Các phép biến đổi sau ma trận gọi phép biến đổi sơ cấp (BĐSC):
+) Đổi chỗ hai dòng (cột)
+) Nhân dòng hàng (cột) với số khác khơng
+) Cộng vào dịng (cột) tích dòng (cột) khác với số tuỳ ý
8.2 Định thức
8.2.1 Định thức ma trận vuông
8.2.1.1 Định nghĩa Cho ma trận vuông A[aij n n] cấp n
+) Định thức ma trận vuông A cấp n số thực, ký hiệu det(A) (hoặc |A|) viết sau: D = det(A) = |aij|
+) Nếu ma trận A, ta bỏ hàng i cột j thu ma trận gồm (n1)hàng (n1)cột, ký hiệu Mij gọi ma trận (ma trận bù) ứng với phần tử aij
8.2.1.2 Định thức cấp
Nếu A = [a] det( )A a 8.2.1.3 Định thức cấp hai
Cho ma trận vuông cấp hai 11 12
21 22
a a
A
a a
Khi đó, định thức ma trận A gọi định thức cấp hai tính sau:
11 12
21 22
11 22 21 12
11 11 21 21
det( )
det( ) det( )
a a
A
a a
a a a a
a M a M
(161)Ta có: D 1.4 3.2 2 8.2.1.4 Định thức cấp ba
Cho ma trận vuông cấp ba:A[aij]3 3 Khi đó, định thức ma trận A gọi định thức cấp ba tính sau:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 32 23 11 21 12 33
det( )
( )
( )
a a a
A a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
(8.2.1)
Quy tắc tính Quy tắc 1:
(I) (II)
Sơ đồ (I) cho quy tắc tính số hạng mang dấu cộng, sơ đồ (II) cho quy tắc tính số hạng mang dấu trừ (mỗi dấu “” sơ đồ tương ứng với phần tử ma trận A)
Quy tắc 2:
11 a
21 a
31
a a32 a22 a12
a33 a23 a13
a31 a21 a11
a32 a22 a12
Bước 1: Viết bổ sung cột cột ma trận A vào bên phải cột ma trận A
Bước 2: Tổng tích nằm đường nét liền trừ cho tổng tích nằm đường nét đứt đoạn - - -
Ví dụ 8.14: Tính định thức ma trận A
1
3
2
A
(162)Giải:
Ta viết
3
1
2
1
2
3
Ta có:
1
det( )
2
A
1.1.1 ( 2).2.( 2) 3.3.3 3.1.( 2) 1.2.3 ( 2).3.1 42 Từ (8.2.1), ta viết lại dạng sau:
22 23 12 13 12 13
11 21 31
32 33 32 33 22 23
11 11 21 21 31 31
det( ) (8.2.2)
det( ) det( ) det( )
a a a a a a
A a a a
a a a a a a
a M a M a M
3
1
1
1
( 1)i i det( i ) i
a M
(8.2.3) Công thức (8.2.2) (8.2.3) gọi công thức khai triển định thức cấp ba theo cột 1, cơng thức tính định thức cấp ba
Một cách tổng quát, ta khai triển định thức cấp ba theo cột j sau:
3
det( ) ( 1)i j ijdet( ij); 1;2;3 i
A a M j
Tương tự ta có cơng thức khai triển định thức cấp ba theo dòng sau:
3
det( ) ( 1)i j ijdet( ij); 1;2;3
j
A a M i
Ví dụ 8.15 Tính định thức
1
2
0
D
Giải: Cách 1:
1.( 5).4 6.7.0 2.2.3 0.( 5).2 2.6.4 3.7.1
D
( 20 12) (48 21)
8 69
(163)Cách 2: Tính D cách khai triển theo cột
5 6
1
3 4
41 36 77
D
8.2.1.5 Định thức cấp n
Cho ma trận vuông cấp n: A[aij n n] Định thức ma trận vuông cấp n được gọi định thức cấp n, tính theo cơng thức:
1
det( ) ( 1) det( ); 1;
n
i j
ij ij
i
A a M j n
(8.2.4) trong Mij ma trận cấp (n1) tương ứng với phần tử aij ma trận A, j số cột
Cơng thức (8.2.4) cịn gọi cơng thức tính định thức cấp n cách khai triển theo cột
Tương tự, ta có cơng thức tính định thức cấp n phương pháp khai triển định thức theo dòng i bất kỳ:
Tổng quát:
1
det( ) ( 1) det( ); 1;
n
i j
ij ij
j
A a M i n
Ví dụ 8.16 Tính định thức
1 3
0
0
7
D
Ta tính D cách khai triển theo cột
5 3 3 3
1 8 8
0 5
8 8 3
5
1 5 8
190 41 7(72 120 24) 149 1176
1027 D
(164)Ta thừa nhận định lý sau đây:
Định lý Cho ma trận vuông A cấp n, A’là ma trận chuyển vị ma trận A Khi det(A’) = det(A)
Ví dụ 8.17: ho D
Khi det( )
D , det( ') 2
D
Định lý Đổi chỗ hai dòng (hay hai cột) định thức, ta định thức định thức cũ đổi dấu
Ví dụ 8.18: 1 2; 2
Định lý Một định thức có hai dịng (cột) khơng
Định lý Một định thức có dịng (cột) tồn số định thức Định lý Khi nhân phần tử dòng (cột) định thức với số k ta định thức định thức cũ nhân với k
Hệ Khi phần tử dịng (một cột) có thừa số chung ta đưa thừa số chung ngồi dấu định thức
Ví dụ 8.19:
3
6
Định lý Khi hai dòng (cột) định thức tỉ lệ với định thức bằng không
Định lý Khi tất phần tử dòng (cột) định thức có dạng tổng của hai số hạng định thức phân tích thành tổng hai định thức, chẳng hạn:
, ,, , ,,
11 12 12 11 12 11 12
, ,, , ,,
21 22 22 21 22 21 22
a a a a a a a
a a a a a a a
, ,, , ,, , , ,, ,,
11 11 12 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
a a a a a a a a
a a a a a a
Định lý Khi ta cộng bội k dòng vào dòng khác (hay cộng bội k của cột vào cột khác) ta định thức định thức cũ
Ví dụ 8.20
2
4 20
6
(165)Ta lại có:
2
2.( 2) 1.( 2) 3.( 2)
6
D
3 ) ( ) ( ) ( 3 3 20
2
Định lý (Về định thức có dạng tam giác)
Định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo
11 12
22 11 22
0 n n
nn
nn
a a a
a a
a a a
a 11 21 22 11 22
0
nn
n n nn
a
a a
a a a
a a a
8.2.3 Phương pháp tính định thức biến đổi sơ cấp
Để tính định thức, ta dùng định nghĩa công thức khai triển, áp dụng tính chất định thức mà tìm cách biến đổi để đưa dạng đơn giản Cách dùng biến đổi sơ cấp cách
Các biến đổi sơ cấp dòng mà ta dùng định thức liệt kê bảng đây:
Biến đổi sơ cấp Tác dụng Lý
1 Nhân dòng với số k Định thức nhân với k Định lý Đổi chỗ hai dòng Định thức đổi dấu Định lý 3 Cộng k lần dòng r vào dòng s Định thức không đổi Định lý Chú ý:
(166)+) Nói cộng k lần dịng r vào dòng s nghĩa cộng k lần phần tử dòng r với phần tử cột với dịng s đặt vào dịng s
- Để tính định thức ta làm sau:
Bước Áp dụng phép biến đổi sơ cấp hàng, tìm cách đưa dần định thức cho dạng tam giác
Bước Tính giá trị định thức dạng tam giác thu đưa vào tính chất Ví dụ 8.21Tính định thức sau:
a)
0
3
2
A b)
1 11 12 13
B c)
1
2
3 1
4
C
Giải: a) Ta có:
1
3
0
2
A d d
1
5
3
(Đưa thừa số chung ( 3) d1 ngoài)
1 3 3'
1
( 2)
0 10
d d d
2 3 3'
1
( 10)
0 55
d d d
3 1.1.55165
b)
1 11 12 13 B
1 2 2' 1 3 3'
1 11
( 2) ; ( 3) 10
0 20
d d d d d d
1 10
1 10
1 11
(167)c)
1
2
3 1
4
C
' ' '
1 2 3 4
1
0 5
( 2) ; ( 3) ; ( 4)
0 10
0
d d d d d d d d d
' '
2 3 4
1
0 5
( 10) ; ( 3)
0 43 51
0 11 10
d d d d d d
'
3 4
1
0 5
11
( ) 0 0 43 51
43
131
0 0
43
d d d
1.1 43
8.4 Ma trận nghịch đảo
8.4.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo
Trong tập hợp tất số thực, số giữ vai trò phần tử trung hòa phép nhân ( 1a a, a ) gọi số đơn vị
Trong tập hợp tất ma trận vuông cấp, ma trận đơn vị E có vai trị tương tự:
AE = EA = A
Trong số học, số nghịch đảo số thực a0là số thực a1 thỏa mãn điều kiện a a 11 Khái niệm ma trận nghịch đảo ma trận vuông định nghĩa tương tự:
Định nghĩa Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:
AX = XA = E
(168)Từ định nghĩa ta suy ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì có ma trận nghịch đảo
Thật vậy, giả sử X Y ma trận nghịch đảo A (A, X, Y cấp n) nghĩa có:
AX = XA = E; AY = YA = E Khi ta có:
X(AY) = XE = X (XA)Y = EY = Y
Do phép nhân ma trận cấp có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức này ta suy X = Y
Như vậy, ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo ma trận nghịch đảo xác định Ta dùng ký hiệu A1 để ma trận nghịch đảo của ma trận A Theo định nghĩa ta có:
1
A A A A E
8.4.2 Điều kiện tồn công thức tìm ma trận nghịch đảo Xét ma trận vuông A cấp n: A[aij n n] , det(A)
Ở mục (8.2.1.1) ta có Mij suy từ A cách bỏ dịng thứ i, cột thứ j là ma trận bù ứng với phần tử aij
Đặt Dij = det(Mij) định thức (hoặc phần bù) ứng với phần tử aij cij ( 1)i j Dij ( 1) i j det(Mij)là phần bù đại số aij
Định lý 10 Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo det(A) Khi ma trận nghịch đảo ma trận A xác định theo công thức:
11 21
12 22
1 '
1
1
det( ) det( )
n n
n n nn
c c c
c c c
A C
A A
c c c
- Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:
Bước Tìm ma trận C [cij n n] cij ( 1)i j Dij, Dij det(Mij), sau lấy C'
Bước 1 ' det( )
A C
A
(169)Ví dụ 8.22: Cho
1 A
; tìm A1
Giải: Ta có det( )A 1 nên A1
11 12 13
21 22 23
31 32 33
40 13
16
9
c c c
c c c
c c c
Do
'
40 13 40 16
16 13
9
C C
Vậy
'
40 16
13
det( )
5
A C
A
8.4.3 Các tính chất ma trận nghịch đảo Ta thừa nhận tính chất sau
+) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo :
1
(A ) Avà A1 A1
Hệ thức thứ suy trực tiếp từ định nghĩa ma trận nghịch đảo, hệ thức thứ hai suy từ mệnh đề nói định thức tích hai ma trận vng cấp:
1
1 AA E A A
+) Nếu hai ma trận vuông cấp A B có ma trận nghịch đảo ma trận AB có ma trận nghịch đảo
1 1
(AB) B A
8.5 Hạng ma trận
8.5.1 Khái niệm hạng ma trận Cho ma trận cấp m n
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
(170)Gọi p số nguyên dương thoả mãn pminm n;
Định nghĩa Ma trận vuông cấp p suy từ A cách bỏ (m – p) dòng (n – p) cột gọi ma trận cấp p A Định thức ma trận gọi định thức cấp p A
Ví dụ 8.23: Xét ma trận cấp 34
1
2 1
1 2
A
Ta có: min{3; 4} = 3, p = 1; 2; Các định thức cấp A
1
2 1
1
;
1
2
1
;
1
2
1 2
;
3
1
2
Các định thức cấp hai A là:
1
7
2
; 1 3.v.v
Định nghĩa Hạng ma trận A cấp cao định thức khác của A
Hạng ma trận A ký hiệu ( ) A (hoặc ( )r A )
Ví dụ 8.24: Xét ví dụ trên: Các định thức cấp khơng có định thức cấp khác không.Vậy ( ) A 2 (chú ý: (A')(A); A ma trận vuông)
8.5.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận 8.5.2.1 Phương pháp định thức bao quanh
Định nghĩa 10 Ta nói định thức D ( cấp r 1) ma trận A định thức bao quanh định thức D ( cấp r ) D thành lập cách bổ sung thêm dịng cột A ngồi r dòng r cột chọn để lập định thức D
(171)Mệnh đề Nếu ma trận A có định thức D0 cấp r mà định thức con cấp r 1 bao quanh ( có ) hạng ma trận A r
Từ mệnh đề nêu trên, ta tính hạng ma trận theo phương pháp lặp sau:
Xuất phát từ định thức D0 cấp r ma trận, ta cần tính định thức cấp r 1 bao quanh (nếu có) Nếu tất định thức cấp r 1 bao quanh D 0, ma trận khơng có định thức cấp
1
r (khi r số dịng số cột ma trận), hạng ma trận r Nếu số định thức cấp r 1 bao quanh D có định thức D khác ta lại chuyển sang xét định thức cấp r2 bao quanh D (nếu có) Lặp lại q trình này, sau số hữu hạn bước ta xác định hạng ma trận
Ví dụ 8.25: Xét ma trận cấp 34
1
2 1
1 2
A
Nhận thấy có:
1
7
2
D ; Khi đó, ta tính định thức cấp bao quanh D, thấy:
0
1
4
;
2
4
2
Vậy hạng A
(172)
11 12 1
22 2
0
0
0 0
0 0
s n
s n
ss sn
b b b b
b b b
b b (8.5.1)
trong sn bii 0, i 1, 2, ,s
Nếu xóa dòng gồm tất phần tử phía dịng thứ s (nếu có) hạng ma trận (8.5.1) khơng thay đổi (do dịng biểu diến tuyến tính qua dịng cịn lại), mặt khác ta thấy ma trận (8.5.1) có định thức khác 0:
11 12
22
11 22
0 0
s s
ss ss
b b b
b b
b b b
b
Điều chứng tỏ hạng ma trận A s
Do phép biến đổi sơ cấp khơng làm thay đổi tính khác không hay không định thức ma trận, nên không thay đổi hạng ma trận Vì ta áp dụng chúng để đưa ma trận dạng (8.5.1) áp dụng suy hạng ma trận cho
Ví dụ 8.26: Xét ma trận
1
2 1
1 2
A
Khi đó:
1
( 2) (1)
1
0 7
0 5
d d
d d A
2(5/7)
d d
0 0
(173)CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
9.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp
9.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 9.1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn x x1, 2, ,xn hệ có dạng tổng quát sau:
11 12 1
21 22 2
1 2
n n n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(9.1.1)
trong đó: a bij, i số cho trước: số aijđược gọi hệ số ẩn xj trong phương trình thứ i, biđược gọi số hạng tự phương trình thứ i ( i1, 2, , ;m j1, 2, ,n)
9.1.1.2 Ma trận hệ số ma trận mở rộng
Hệ phương trình (9.1.1) cho tương ứng hai ma trận:
11 12
21 22
1 n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
11 12 1
21 22 2
1
n n
m m mn m
a a a b
a a a b
A
a a a b
Khi A gọi ma trận hệ số, A gọi ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính (9.1.1)
9.1.1.3 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa Nghiệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn (9.1.1) n số có thứ tự ( 1; 2; ;n) mà gán x11,x2 2, ,xn n vào tất phương trình hệ ta đẳng thức
Nghiệm hệ phương trình (9.1.1) viết ba dạng sau:
1
( ; ; ;n);
(174)Giải hệ phương trình tuyến tính có nghĩa tìm tập hợp tất nghiệm hệ phương trình
9.1.1.4 Hệ tương đương phép biến đổi tương đương
Định nghĩa Hai hệ phương trình tuyến tính với ẩn số gọi là tương đương chúng có tập hợp nghiệm, tức nghiệm hệ đồng thời nghiệm hệ ngược lại (hoặc hai hệ vơ nghiệm) Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp sơ cấp, ta thường phải biến đổi hệ phương trình dạng thuận tiện cho việc xác định nghiệm
Định nghĩa Một phép biến đổi biến hệ phương trình tuyến tính thành hệ tương đương gọi phép biến đổi tương đương
9.1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa Các phép biến đổi sau một hệ phương trình tuyến tính gọi phép biến đổi sơ cấp:
+) Đổi chỗ hai phương trình hệ
+) Nhân hai vế phương trình hệ với số 0
+) Biến đổi phương trình hệ cách lấy tích hai vế phương trình khác (trong hệ đó) với số k cộng vào hai vế tương ứng phương trình
Định lý Các phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương 9.1.2 Hệ phương trình dạng tam giác dạng hình thang
Ý tưởng chung phương pháp sơ cấp để tìm nghiệm hệ phương trình nhiều ẩn số khử dần ẩn để quy việc giải phương trình ẩn số Việc khử dần ẩn số hệ phương trình tuyến tính dẫn đến hai dạng (nếu hệ có nghiệm) Theo hình dạng vế trái, ta gọi hệ phương trình hệ tam giác hệ hình thang
9.1.2.1 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác
Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác hệ có dạng sau:
11 12 1
22 2
n n n n
nn n m
a x a x a x b
a x a x b
a x b
(9.1.2)
(175)Đây hệ phương trình có số phương trình số ẩn, theo thứ tự từ xuống, ẩn số dần ( aij0khi i j ) Phương trình cuối hệ cịn lại ẩn số Từ phương trình hệ (9.1.2), ta xác định được:
n
n n
nn b x
a
Tiếp theo, thay xn n vào phương trình phía ta lại có phương trình ẩn số xn1, từ xác định xn1n1 Lặp lại trình theo trình tự từ lên ta tìm được:
2 2, , 1
n n
x x
Hệ phương trình (9.1.2) có nghiệm nhất: ( 1; 2; ;n) Ví dụ 9.1: Giải hệ phương trình :
1
2
3
2
7
4 16
x x x
x x
x
Giải Hệ phương trình cho có dạng tam giác Từ phương trình thứ ba, ta tìm x34 Thay x3 4 vào phương trình thứ hai ta có:
2
7x 16 5 x 3
Tiếp theo, thay x34, x2 3 vào phương trình thứ nhất, ta có
1 1
x x
Vậy hệ cho có nghiệm (3;2;4)
9.1.2.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang
Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có đặc điểm giống hệ tam giác phương trình hệ khuyết dần ẩn số theo thứ tự từ xuống, hệ hình thang có số phương trình nhỏ số ẩn, phương trình phương trình nhiều ẩn số:
11 12 1
22 2 2
m m n n
m m n n
mm m nn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
(9.1.3)
(176)Ở dạng (9.1.3) ta gọi m ẩn đầu x x1, 2, ,xm ẩn ẩn lại gọi ẩn tự Gán cho ẩn tự giá trị tùy ý
1 1, ,
m m n n
x x
và chuyển số hạng chứa chúng sang vế phải ta hệ tam giác ẩn chính:
11 12 1 1( 1) 1
22 2 2( 1)
( 1)
m m m m n n
m m m m n n
mm m m m m m mn n
a x a x a x b a a
a x a x b a a
a x b a a
Theo phương pháp giải hệ tam giác, ta xác định giá trị ẩn
1, 2, , m
x x x theo m1, ,n Nghiệm hệ (9.1.3) có dạng:
1 11 1( )
1 ( )
1
m n m n
m m m m n m n m
m m
n n
x c c d
x c c d
x x (9.1.4)
Hệ hình thang (9.1.3) có vơ số nghiệm Nghiệm viết dạng (9.1.4) với
1
(m , ,n) nm số bất kỳ, gọi nghiệm tổng quát Mỗi số thực (m1, ,n) gán cho ẩn tự cho tương ứng nghiệm của hệ (9.1.3), gọi nghiệm riêng
Ví dụ 9.2: Giải hệ phương trình
1
2
3
2
2
x x x x x
x x x x
x x x
Giải Đây hệ hình thang với ẩn x x x1, 2, 3và ẩn tự x x4, 5 Chuyển số hạng chứa ẩn tự sang vế phải gán x4 ,x5 , ta hệ sau:
1
2
3
2
2
x x x
x x x
(177)3
3
2; 4; 19
2
x x x Nghiệm tổng quát hệ phương trình là:
3
(4 19; 4; 2)
2
Mỗi hai số ( ; ) cho tương ứng nghiệm riêng Chẳng hạn, với
0,
ta có nghiệm riêng ( 19;4;2;0;0)
9.1.3 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính
Định lý sau cho phép ta vào hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng để nhận biết hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hay khơng ( Ta thừa nhận định lý )
Định lý Cronecker – Capelli: Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận mở rộng hạng ma trận hệ số 9.1.4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính cách khử dần ẩn số để đưa dạng tam giác dạng hình thang gọi phương pháp khử ẩn liên tiếp, hay phương pháp Gauss Nội dung phương pháp sau:
Xét hệ phương trình (9.1.1) Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử
11
a (nếu khơng ta đổi chỗ phương trình lại thứ tự ẩn số để có điều đó) Trước hết ta khử ẩn x1 phương trình từ phương trình thứ hai trở xuống cách cộng vào hai vế phương trình thứ i (i = 2, 3, , m) tích vế tương ứng phương trình thứ với số
11
i a a Chú ý rằng, phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương, sau m1 phép biến đổi vậy, ta hệ tương đương:
11 12 1
' ' '
22 2
' ' '
2
n n n n
m mn n m
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
(9.1.5)
trong :
' '
ij ij i
11 11
, ( 1; ; 1; )
i i
j j
a a
a a a b b b i m j n
a a
(178)Trong hệ (9.1.5) có khả xuất phương trình với vế trái đồng ( hệ (9.1.1) có phương trình có vế trái tỷ lệ với vế trái phương trình thứ ):
0.x10.x2 0. xn b (9.1.6) Nếu b0 phương trình (9.1.6) đẳng thức với số gán cho x x1, 2, ,xn, ta loại bỏ phương trình khỏi hệ Nếu
0
b phương trình (9.1.6) đẳng thức sai với số gán cho
1, 2, , n
x x x , hệ vơ nghiệm
Tiếp theo, cách tương tự, ta lại khử ẩn x2 phương trình từ phương trình thứ ba trở xuống hệ (9.1.5) (nếu có), sau ta lại khử ẩn x3 phương trình từ phương trình thứ tư trở xuống hệ (9.1.5)(nếu có) v.v Phương pháp khử ẩn theo cách nêu thủ tục lặp Sau số hữu hạn bước biến đổi, trình khử ẩn kết thúc ba trường hợp sau:
+) Hệ nhận có chứa phương trình dạng (9.1.6) với b0 +) Hệ nhận có dạng tam giác
+) Hệ nhận có dạng hình thang
Trong trường hợp thứ nhất, hệ phương trình vơ nghiệm, cịn hai trường hợp sau ta biết cách giải nghiệm Như vậy, xét theo số nghiệm hệ phương trình tuyến tính phân thành loại: hệ vơ nghiệm, hệ có nghiệm nhất, hệ có vơ số nghiệm
Như ta biết, hệ phương trình tuyến tính hồn toàn xác định biết ma trận mở rộng nó, phép biến đổi hệ phương trình tuyến tính tương ứng với phép biến đổi ma trận mở rộng Các phép biến đổi ma trận mà ta nói đến hiểu theo nghĩa sau:
+) Nhân dòng ma trận với số có nghĩa nhân số nằm dịng với số ;
+) Cộng dịng vào dịng i có nghĩa cộng số dịng vào số tương ứng dòng i
Các phép biến đổi sơ cấp hệ phương trình tuyến tính thực tương ứng ma trận mở rộng sau:
Biến đổi hệ phương trình Biến đổi ma trận mở rộng
1 Đổi chỗ hai phương trình hệ Đổi chỗ hai dòng tương ứng ma trận mở rộng
(179)số 0 với số 0 3 Cộng vào vế phương trình thứ i
tích vế tương ứng phương trình thứ k với số ( để biến đổi phương trình thứ i )
3 Cộng vào dòng thứ i ma trận mở rộng tích dịng thứ k với số ( để biến đổi dòng thứ i )
Trong trình biến đổi, ma trận mở rộng có dịng có tất số ta bỏ dịng (tương ứng với việc loại khỏi hệ phương trình có tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 0)
Ví dụ 9.3: Giải hệ phương trình:
1
1
1
2
2 13
15
x x x
x x x
x x x
Giải: Ma trận mở rộng:
1
2 13
3 15
A
Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau:
'
1 2
'
1 3
( 2) ( 3)
1
0 11 23
0 10 10 30
d d d
d d d
A
' 2( 10) 3
1
0 11 23
0 100 200
d d d
Ma trận cuối ma trận mở rộng hệ phương trình dạng tam giác:
1
2
3
2
11 23
100 200
x x x
x x
x
(180)1
1
1
1
2
2
+ 11
5 10
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Giải: Ma trận mở rộng:
1 1
2
3 11
1 10
A
Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau:
' '
1 2 3
'
1 4
(2) ; ( 3) (1)
1 1
0
0
0 11
d d d d d d
d d d
A
' '
2( 2) 3; ( 7)2 4
1 1
0
0 10 16 17 0 20 32 31
d d d d d d
'
3( 2) 4
1 1
0
0 10 16 17
0 0
d d d
Ma trận cuối ma trận mở rộng hệ phương trình:
1
2
3
2
3
10 16 17
0
x x x x
x x x
x x
Sau phép biến đổi trên, ta nhận hệ có chứa phương trình với tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 3, hệ phương trình cho vơ nghiệm
(181)1
1
1
2 4
2
3
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Giải: Ma trận mở rộng:
1 4
2
3
A
Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau:
'
1 2
'
1 3
( 2) ( 3)
1 4
0 5
0 11
d d d
d d d
A
'
2( 2) 3
1 4
0 5
0
d d d
Từ ma trận mở rộng cuối cùng, ta có nghiệm hệ phương trình: ( 27 30a2 ; 20 19b a2 ;4b a3; ; )a b 9.2 Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính trường hợp riêng hệ phương trình tuyến tính tất số hạng tự 0:
11 12
21 22 2
1 2
n n n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
(9.1.7)
Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần ý đặc điểm sau:
+) Hệ phương trình tuyến tính (9.1.7) có nghiệm
1
(x 0;x 0; ;xn 0), gọi nghiệm khơng, hay nghiệm tầm thường Do đó, hệ phương trình tuyến tính có hai khả xảy ra: +) Hệ có nghiệm nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác);
(182)+) Mọi hệ phương trình tuyến tính với số phương trình nhỏ số ẩn có vơ số nghiệm (q trình khử ẩn chắn kết thúc dạng hình thang)
+) Một hệ phương trình tuyến tính xác định biết ma trận hệ số phép biến đổi sơ cấp biến hệ thành hệ tương đương Do đó, giải hệ phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần biểu diễn phép biến đổi ma trận hệ số Ví dụ 9.6: Giải hệ phương trình
1
1
1
2
4
2
x x x x
x x x x
x x x x
Giải: Ma trận hệ số:
2
4
2 1
A '
1 2
'
1 3
( 2) ( 1)
2
0
0 12
d d d
d d d
A
'
2 3
4 ( )
3
2
0
0 0
d dd
Ma trận hệ số cuối cho hệ phương trình:
1
3
2
3
x x x x
x x
Giải hệ theo phương pháp biết, ta nghiệm tổng quát:
1 x a
x a b
x b x b
(183)TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan, Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Nhà xuất Đại học Kinh tế quốc dân, 2012
[2] Lê Đức Vĩnh, Nguyễn Thị Thanh Tâm, Giáo trình Tốn cao cấp, Nhà xuất Đại học nông nghiệp, 2013
[3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Tốn cao cấp (tập 1, 2, 3), Nhà xuất Giáo dục, 2000
[4] Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh, Dương Thủy Vỹ, Giáo trình Tốn cao cấp (tập 1, 2) (Dùng cho sinh viên trường CĐ), Nhà xuất Giáo dục, 2000