Câu 1.. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 9 ngày thì xong. Mỗi ngày, lượng công việc của người thợ thứ hai làm được nhiều gấp ba lần lượng công việc của người thợ thứ nhất. Gọi [r]
(1)T
UYỂN TẬP 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN TỐN
(2)Mục lục
1 Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Hà Nội năm học 2019-2020
2 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thái Nguyên năm học 2019-2020
3 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bắc Giang năm học 2019-2020 13
4 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Quảng Nam năm học 2019-2020 22
5 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Lào Cai năm học 2019-2020 26
6 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2019-2020 31
7 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Nam Định năm học 2019-2020 35
8 Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành Phố Hải Phòng năm học 2019-2020 41
9 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Nghệ An năm học 2019-2020 46
10 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Phú Thọ năm học 2019-2020 50
11 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thái Bình năm học 2019-2020 57
12 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thanh Hóa năm học 2019-2020 62
13 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2019-2020 66
14 Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Đà Nẵng năm học 2019-2020 72
15 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hải Dương năm học 2019-2020 77
16 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hà Nam năm học 2019-2020 82
17 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hưng Yên năm học 2019-2020 87
18 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Khánh Hòa năm học 2019-2020 97
19 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Ninh Bình năm học 2019-2020 101
(3)LỜI GIỚI THIỆU
Trên tay em tuyển tập 20 đề thi toán tuyển sinh vào 10 năm học 2019-2020 Nhóm biên tập mong muốn em có đủ thời gian, khơng bị dàn trải phải đối diện với số lượng đề lớn mà bao quát tất dạng đề khắp tỉnh nước Vì vậy, số 20 đề xuất lựa chọn, từ tuyển đề tiêu biểu Tiêu chí lựa chọn có phần cảm tính, dựa vào xếp loại 10 tỉnh có phổ điểm thi tốn kỳ thi tốt nghiệp THPT cao năm học vừa qua truyền thống học tốn nhiều tỉnh có tiếng từ trước tới Việc lựa chọn nghĩa đề khác khơng hay mà dựa quan điểm cá nhân nhóm biên tập, em làm thêm đề khác có đủ thời gian Nhưng theo quan điểm nhóm biên tập, cần tập trung tham khảo khoảng 20 đề đủ
Với tỉnh, phần đề thi tách riêng để em thử sức trước Phần lời giải chi tiết đề thi cung cấp sau Các em nên tham khảo để rà sốt lại cách trình bày tìm hướng gợi ý sau dành đủ thời gian suy nghĩ tự giải
Nhóm biên tập xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thành viên nhóm Math and Latex tham gia dự án 2020V10DT trao đổi, chia sẻ việc biên soạn file Latex Mặc dù cố gắng rà soát kỹ, xong chắn tài liệu không tránh khỏi sai sót Xin nhận góp ý thầy em học sinh Mọi ý kiến phản hồi xin gửi TS Đàm Thanh Phương, GV Toán Mathspace Education Email
dtphuongvn@gmail.com
Hi vọng với tài liệu này, em làm quen ơn tập tốt trước bước vào kì thi thức Chúc em học tập hiệu
Hà Nội, tháng năm 2019
(4)1 Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Hà Nội năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu Cho hai biểu thứcA= 4(
√
x+ 1)
25−x vàB =
Ç
15−√x x−25 +
2
√
x+
å
:
√
x+
√
x−5
vớix≥0, x 6= 25
1) Tính giá trị biểu thứcAkhix= 2) Rút gọn biểu thứcB
3) Tìm tất giá trị nguyên củaxđể biểu thứcP =A·Bđạt giá trị nguyên lớn Câu
1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Hai đội cơng nhân làm chung cơng việc sau15ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng 3ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc trong5 ngày hai đội hồn thành được25%cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày xong cơng việc trên? 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao1,75m diện tích đáy là0,32m2 Hỏi bồn
nước đựng đầy mét khối nước? (Bỏ qua bề dày bồn nước) Câu
1) Giải phương trìnhx4−7x2−18 = 0.
2) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng(d) : y= 2mx−m2+ 1và parabol(P) : y=x2 a) Chứng minh(d)luôn cắt(P)tại hai điểm phân biệt
b) Tìm tất giá trị m để (d)cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độx1, x2 thỏa mãn
1
x1
+
x2
= −2
x1x2
+
Câu Cho tam giácABC có ba góc nhọn (AB < AC)nội tiếp đường tròn(O) Hai đường caoBE vàCF tam giácABC cắt điểmH
1) Chứng minh bốn điểmB, C, E, F thuộc đường tròn 2) Chứng minh đường thẳngOAvng góc với đường thẳngEF
3) GọiK trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AOcắt đường thẳng BC điểm I, đường thẳngEF cắt đường thẳngAH điểmP Chứng minh tam giácAP E đồng dạng với tam giácAIB đường thẳngKHsong song với đường thẳngIP
(5)II
Lời giải
Câu Cho hai biểu thứcA= 4(
√
x+ 1)
25−x vàB =
Ç
15−√x x−25 +
2
√
x+
å
:
√
x+
√
x−5
vớix≥0, x 6= 25
1) Tính giá trị biểu thứcAkhix= 2) Rút gọn biểu thứcB
3) Tìm tất giá trị nguyên củaxđể biểu thứcP =A·Bđạt giá trị nguyên lớn Lời giải.
1) Vớix= 9ta có
A= 4(
√
9 + 1) 25−9 =
4(3 + 1) 16 =
2) Vớix≥0vàx6= 25ta có
B =
đ
15−√x
(√x−5)(√x+ 5) +
√
x+
ô
:
√
x+
√
x−5 =
15−√x+ 2(√x−5) (√x−5)(√x+ 5) ·
√
x−5
√
x+
=
√
x+
(√x−5)(√x+ 5) ·
√
x−5
√
x+ =
√
x+
3) Vớix≥0vàx6= 25ta có
P =A·B = 4(
√
x+ 1) 25−x ·
1
√
x+ = 25−x
Để P đạt giá trị nguyên lớn cần xét trường hợpP > nghĩa làx < 25, x ∈ Z Suy x ≤24⇒25−x≥25−24 = 1⇒P ≤ Dấu“ = ”xảy khix= 24(thỏa mãn điều kiện xác định)
VậyP đạt giá trị nguyên lớn là4khix= 24
Câu
1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Hai đội công nhân làm chung công việc sau15ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng 3ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc trong5 ngày hai đội hồn thành được25%cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày xong cơng việc trên? 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao1,75m diện tích đáy là0,32m2 Hỏi bồn
nước đựng đầy mét khối nước? (Bỏ qua bề dày bồn nước) Lời giải.
1) Gọi thời gian đội thứ làm riêng, đội thứ hai làm riêng hồn thành cơng việc tương ứng làx, y(đơn vị: ngày,x >0, y >0)
Khi ngày đội thứ nhất, đội thứ hai làm riêng làm x,
1
(6)Trong ngày hai đội làm chung x +
1
y (cơng việc) Ta có phương trình
1
x +
1
y =
1
15 (1)
Đội thứ làm riêng 3ngày đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành được25%cơng việc, ta có phương trình
3
x +
5
y =
1
4 (2)
Từ(1)và(2)ta có hệ phương trình
x +
1
y =
1 15
x +
5
y =
1
⇔
(
x= 24
y= 40
Nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy đội thứ làm riêng sau24ngày hồn thành cơng việc, đội thứ hai làm riêng sau40ngày hồn thành cơng việc
2) Vì bồn nước hình trụ nên ta cóV =B·h= 0,32·1,75 = 0,56 (m3).
Do bỏ qua bề dày bồn nước nên số mét khối nước bồn đựng thể tích bồn, bằng0,56 (m3).
Câu
1) Giải phương trìnhx4−7x2−18 =
2) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng(d) : y= 2mx−m2+ 1và parabol(P) : y=x2. a) Chứng minh(d)luôn cắt(P)tại hai điểm phân biệt
b) Tìm tất giá trị m để (d)cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độx1, x2 thỏa mãn
1
x1
+
x2
= −2
x1x2
+ Lời giải.
1) Ta cóx4−7x2−18 = 0⇔(x2+ 2)(x2−9) = 0⇔
"
x2 =−2 (vô nghiệm)
x2 = ⇔
"
x=
x=−3 2) Phương trình hồnh độ giao điểm của(d)và(P)làx2−2mx+m2 −1 =
a) Ta có∆0 =m2−(m2−1) = 1>0nên(d)ln cắt(P)tại hai điểm phân biệt. b) Theo hệ thức Vi-ét ta có
(
x1 +x2 = 2m x1x2 =m2−1 Để −2
x1x2
có nghĩa thìx1x2 6= 0⇔m6=±1 Ta có
x1 +
1
x2 =
−2
x1x2 + 1⇔
2m m2−1 =
m2−3 m2−1 ⇔ m
2−3 = 2m⇔
"
m=−1
m= , đối chiếu với
(7)Câu Cho tam giácABC có ba góc nhọn (AB < AC)nội tiếp đường tròn(O) Hai đường caoBE vàCF tam giácABC cắt điểmH
1) Chứng minh bốn điểmB, C, E, F thuộc đường trịn 2) Chứng minh đường thẳngOAvng góc với đường thẳngEF
3) GọiK trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AOcắt đường thẳng BC điểm I, đường thẳngEF cắt đường thẳngAH điểmP Chứng minh tam giácAP E đồng dạng với tam giácAIB đường thẳngKHsong song với đường thẳngIP
Lời giải.
B C
A
E
F
K P
H
O
D I J t
1) DoBE ⊥AC vàCF ⊥ABnênBEC\=\CF B = 90◦ Do tứ giácCEF B nội tiếp hay bốn điểm B, C, E, F thuộc đường trịn đường kínhBC
2) Cách 1:GọiJ giao điểm củaAOvàEF gọiADlà đường kính(O)
Khi đóEAJ[ = \CAD =CBD\ (do tứ giácABDC nội tiếp), màAEJ[ =\F BC (cùng bù với CEF[), đóAEJ[ +EAJ[ =CBD\+CBA[ = 90◦(doADlà đường kính)⇒AJ E[ = 90◦ ⇒OA⊥EF
Cách 2:GọiAtlà tiếp tuyến của(O)tạiA, ta cóOA⊥At (1) Lại có[EAt=CBA[ =
2sđAC M௠CBA[ =AEF[ (cùng bù vớiCEF[), đóAt∥EF (2)
Từ(1)và(2)suy raOA⊥EF
3) Ta cóEAO[ =HAB\(cùng phụ vớiABC[) ⇒EAP[ =BAI[ màAEP[ =ABI[ (chứng minh trên), suy ra4AEP v4ABI (g.g)⇒ AE
AB = AP
AI (3)
Ta lại có4AEH v4ABD(g.g)⇒ AE
AB = AH
AD (4)
Từ(3)và(4)suy AP AI =
AH AD ⇒
AP AH =
AI
AD ⇒IP ∥HD Ta cóBHCDlà hình bình hành nên DH cắtCB trung điểmK đường hayD, K, H thẳng hàng, đóKH ∥ IP
Câu Cho biểu thứcP =a4+b4−ab, vớia, blà số thực thỏa mãna2+b2+ab= 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcP
(8)Ta có
P = a4+b4−ab= (a2+b2)2−2a2b2−ab= (3−ab)2−2a2b2−ab
= −a2b2−7ab+ =−
Ç
ab+
å2
+ 85
Ta cóa2+b2+ab= 3⇒3 +ab= (a+b)2 ≥0⇒ab≥ −3. Hơn nữa,3−ab=a2+b2 ≥2ab⇒ab≤1 Do đó−3 +7
2 ≤ab+
2 ≤1 + ⇒
1 ≤
Ç
ab+
å2
≤ 81
4
⇒ −1
4 ≥ −
Ç
ab+
å2
≥ −81
4 ⇒1≤P ≤21
Suy
maxP = 21⇔
a=√3, b=−√3
a=−√3, b=√3
minP = 1⇔a=b=
(9)2 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thái Nguyên năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu Chứng minh rằngA=»2√5 + 6−»(√5−1)2 + 2018là số nguyên. Câu Rút gọn biểu thứcP = √a−1
b−1 s
b−2√b+
a2 −2a+ 1 vớia <1vàb >1 Câu Tìm giá trị củam6=
2 để hàm sốy= (2m−1)x
2 đạt giá trị lớn bằng0tạix= 0. Câu Cho hàm sốy = ax+b vớia 6= Xác định hệ số a, b biết đồ thị hàm số song song với đường thẳngy= 2x+ 2019và cắt trục tung điểm có tung độ là2020
Câu Một địa phương cấy10ha giống lúa loạiI và8ha giống lúa loạiII Sau mùa vụ, địa phương thu hoạch tính tốn sản lượng thấy:
• Tổng sản lượng hai giống lúa thu là139tấn;
• Sản lượng thu từ4ha giống lúa loạiI nhiều sản lượng thu từ3ha giống lúa loạiII là6
tấn Hãy tính suất lúa trung bình (đơn vị: tấn/ha) loại giống lúa
Câu Cho phương trìnhx2−4x+m+ = Tìmmđể phương trình có hai nghiệmx1, x2thỏa mãn x2
1+x22−10x1x2 = 2020
Câu Cho tam giácABC vuông tạiA, đường cao AH BiếtAB = 10cm,AH = 6cm, Tính độ dài cạnhAC, BC tam giácABC
Câu Cho đường tròn (O) Đường thẳngdtiếp xúc với đường tròn (O) tạiA Trênd lấy điểmB (B khácA), vẽ đường tròn (B, BA)cắt đường tròn (O) điểmC (C khácA) Chứng minhBC tiếp tuyến (O)
Câu Cho tam giácABC(AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểmP, Qlần lượt thuộc cung nhỏAC, ABsao choBP vng góc với AC,CQvng góc với AB GọiI, J giao điểm củaP QvớiABvàAC Chứng minhIJ·AC =AI·CB
Câu 10 Từ điểmAnằm đường tròn (O) kẻ tiếp tuyếnAB, ACđến đường tròn (B, Clà tiếp điểm) GọiH giao điểm củaOAvàBC
a) Chứng minhOB2 =OH ·OA;
b) EF dây cung (O) quaH choA, E, F không thẳng hàng Chứng minh bốn điểm A, E, O, F nằm đường tròn
II
Lời giải
Câu Chứng minh rằngA=»2√5 + 6−»(√5−1)2 + 2018là số nguyên. Lời giải.
Ta cóA=»2√5 + 6−»(√5−1)2+ 2018 = √5 + 1−√5 + + 2018 = 2020.
VậyAlà số nguyên
Câu Rút gọn biểu thứcP = √a−1
b−1 s
b−2√b+
(10)Ta cóP = √a−1
b−1 s
b−2√b+
a2−2a+ 1 =
a−1
√
b−1
Ã
(√b−1)2 (a−1)2 =
a−1
√
b−1· √
b−1
a−1 (1) Do
a <1⇒a−1<0
b >1⇒√b >1⇔√b−1>0 Kết hợp với (1) ta suy ra⇒
√
b−1
a−1 < 0⇔ √
b−1
a−1 =− √
b−1
a−1 ⇒ A =−
a−1
√
b−1 ·
√
b−1
a−1 =−1
Câu Tìm giá trị củam6=
2 để hàm sốy= (2m−1)x
2 đạt giá trị lớn bằng0tạix= 0. Lời giải.
Hàm sốy= (2m−1)x2
Ç
m6=
å
đạt giá trị lớn bằng0tạix= 0khi
⇔2m−1<0⇔m <
2
Vậym <
2
Câu Cho hàm sốy = ax+b vớia 6= Xác định hệ số a, b biết đồ thị hàm số song song với đường thẳngy= 2x+ 2019và cắt trục tung điểm có tung độ là2020
Lời giải.
• (d) : y=ax+bsong song với(∆) : y= 2x+ 2019⇔
(
a=
b6= 2019 (1)
• (d)cắt trụcOytại điểm có tung độ bằng2020nênb = 2020 (2)
Từ (1) (2) suy ra(d) : y= 2x+ 2020
Câu Một địa phương cấy10ha giống lúa loạiI và8ha giống lúa loạiII Sau mùa vụ, địa phương thu hoạch tính tốn sản lượng thấy:
• Tổng sản lượng hai giống lúa thu là139tấn;
• Sản lượng thu từ4ha giống lúa loạiI nhiều sản lượng thu từ3ha giống lúa loạiII là6
tấn Hãy tính suất lúa trung bình (đơn vị: tấn/ha) loại giống lúa Lời giải.
Gọi suất lúa trung bình loạiIlàx(điều kiện0< x < 139) Gọi suất lúa trung bình loạiII lày(điều kiện0< y <139) Theo ta có hệ phương trình
(
10x+ 8y = 139 4x−3y= ⇔
(
x= 7,5
y= (thỏa mãn)
Vậy suất lúa trung bình loạiI là7,5(tấn/ha) Vậy suất lúa trung bình loạiII là8(tấn/ha)
Câu Cho phương trìnhx2−4x+m+ = Tìmmđể phương trình có hai nghiệmx1, x2thỏa mãn x2
1+x22−10x1x2 = 2020 Lời giải.
(11)• Phương trình có2nghiệm khi∆0 ≥0⇔3−m≥0⇔m≤3 (1)
• Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
(
x1 +x2 = x1x2 =m+
• Điều kiện
x21+x22−10x1x2 = 2020
⇔(x1+x2)
−12x1x2−2020 =
⇔16−12(m+ 1)−2020 =
⇔ −12m= 2016
⇔m=−168(thỏa mãn (1))
Vậym=−168là giá trị cần tìm
Câu Cho tam giácABC vuông tạiA, đường cao AH BiếtAB = 10cm,AH = 6cm, Tính độ dài cạnhAC, BC tam giácABC
Lời giải.
Xét tam giácABC vng tạiA, cóAH ⊥BC, ta có
1
AH2 =
1
AB2 +
1
AC2
⇔
62 =
1 102 +
1
AC2
⇔
36 = 100 +
1
AC2
⇔AC = 7,5(cm)
Mặt khác,AH·BC =AB·AC ⇔BC = 12,5(cm)
A B
C
H
Câu Cho đường tròn (O) Đường thẳngdtiếp xúc với đường tròn (O) tạiA Trênd lấy điểmB (B khácA), vẽ đường tròn (B, BA)cắt đường tròn (O) điểmC (C khácA) Chứng minhBC tiếp tuyến (O)
Lời giải.
Vì(d)là tiếp tuyến (O) tạiAnênOA⊥d⇒OAB[ = 90◦ Gọi C = (O) ∩(B, BA) ⇒
BC =BA
OC =OA (cùng bán kính)
Xét tam giácOAB vàOCBcó
BC =BA OC =OA OB chung
⇒ 4OAB =4OCB (c.c.c)
⇒OCB\=OAB[ = 90◦
Suy raOC ⊥BC hayBClà tiếp tuyến (O)
O
d B A
C
Câu Cho tam giácABC(AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểmP, Qlần lượt thuộc cung nhỏAC, ABsao choBP vng góc với AC,CQvng góc với AB GọiI, J giao điểm củaP QvớiABvàAC Chứng minhIJ·AC =AI·CB
(12)GọiBP ∩AC ={D}; AB∩CQ={E} Xét đường trịn (O) ta có
\
BDC =
2(sđBC¯+sđAP¯)
\
BEC =
2(sđBC¯+sđAQ¯)
(1)
Ta có\BDC =\BEC = 90◦ (2)
Từ (1) (2) suy sđAP¯ = sđAQ.¯ (3)
Ta lại có[AIJ =
2(sđBC¯+sđAP¯) (4)
VàACB[ =
2(sđAB¯ =
2(sđBQ¯ +sđAQ¯) (5)
O
Q
A I E B
C
P
D J
Từ (3), (4), (5) ta suy raACB[ =[AIJ Xét4AIJ và4ACB có
“
A(chung) [
AIJ =ACB[ ⇒ 4AIJ v4ACB(g.g) ⇒ AI AC =
IJ
BC ⇔AI ·BC =IJ ·AC
Câu 10 Từ điểmAnằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyếnAB, ACđến đường tròn (B, Clà tiếp điểm) GọiH giao điểm củaOAvàBC
a) Chứng minhOB2 =OH ·OA;
b) EF dây cung (O) quaH choA, E, F không thẳng hàng Chứng minh bốn điểm A, E, O, F nằm đường tròn
Lời giải.
A O
B
E
C H
F
a) VìABlà tiếp tuyến của(O)nênAAB⊥OB ⇒ 4OBAvng tạiB Lại cóOB =OC ⇒O nằm đường trung trực củaBC
Ta cóAb=AC tính chất hai tiếp tuyến cắt nênAnằm đường trung trực củaBC Do AOlà đường trung trực củaBC hayOA⊥BCtạiH nênBH ⊥OA
Xét tam giác vuôngOAB vuông tạiAcóBH ⊥OAsuy raOB2 =OH ·OA. b) Theo câu a) ta cóOB2 =OH ·OA⇒ OB
OH = OA
OB MàOB =OF nên OF OH =
OA OF Xét4OHF và4OF Acó
“
O chung OF OH =
OA OF
⇒ 4OHF ∼ 4OF A(c.g.c)
(13)Mà tam giácOEF cân Osuy raOEF[ =OF E.[ (2)
Từ (1) (2) suy raOEF[ =OAF[
Xét tứ giácAEOF cóOEF[ = OAF[ suy tứ giácAEOF nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau)
Vậy bốn điểmA, E, O, F nằm đường tròn
(14)3 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bắc Giang năm học 2019-2020
I
Đề bài
Phần trắc nghiệm
Câu Giá trị tham sốmđể đường thẳngy=mx+ 1song song với đường thẳngy= 2x−3là
A m=−3 B m=−1 C m= D m= Câu Tổng hai nghiệm phương trìnhx2−4x+ = 0bằng
A −4 B C D −3 Câu Giá trị củaxdưới nghiệm phương trìnhx2 +x−2 = 0?
A x= B x= C x= D x= Câu Đường thẳngy= 4x−5có hệ số góc
A −5 B C −4 D Câu Cho biếtx= 1là nghiệm phương trìnhx2+bx+c= Khi ta có
A b+c= B b+c= C b+c=−1 D b+c= Câu Tất giá trị củaxđể biểu thức√x−3có nghĩa
A x≥3 B x≤3 C x <3 D x >3
Câu Cho tam giácABC cóAB = 3cm,AC = 4cm,BC = 5cm Phát biểu đúng?
A Tam giácABCvuông B Tam giácABC
C Tam giácABCvuông cân D Tam giácABC cân
Câu Giá trị tham sốmđể đường thẳngy= (2m+ 1)x+ 3đi qua điểmA(−1; 0)là
A m=−2 B m= C m=−1 D m= Câu Căn bậc hai số học của144là
A 13 B −12 C 12và−12 D 12 Câu 10 Vớix <2thì biểu thức»(2−x)2+x−3có giá trị bằng
A −1 B 2x−5 C 5−2x D
Câu 11 Giá trị biểu thức +
√
3
√
3 +
A B √1
3 C
1
3 D
√
3
Câu 12 Hệ phương trình
x−y=
x+ 2y= có nghiệm là(x0;y0) Giá trị biểu thứcx0+y0
A B −2 C D
Câu 13 Cho tam giácABC vng tạiA, cóBC = 4cm,AC = 2cm TínhsinABC.[
A
√
3
2 B
1
2 C
1
3 D
√
3
Câu 14 Tam giácABCcân tạiBcóABC[ = 120◦,AB= 12cm nội tiếp đường trịn(O) Bán kính đường trịn(O)bằng
A 10cm B 9cm C 8cm D 12cm
Câu 15 Biết đường thẳngy = 2x+ 3cắt paraboly =x2 tại hai điểm Tọa độ giao điểm
(15)Câu 16 Cho hàm sốy=f(x) = (1 +m4)x+ 1, vớimlà tham số Khẳng định sau đúng?
A f(1) > f(2) B f(4) < f(2) C f(2) < f(3) D f(−1)> f(0)
Câu 17 Hệ phương trình
x+y =
mx−y= có nghiệm(x0;y0)thỏa mãnx0 = 2y0 Khi giá trị củam
là
A m= B m= C m= D m=
Câu 18 Tìm tham sốmđể phương trìnhx2+x+m+1 = 0có hai nghiệmx1,x2thỏa mãnx21+x22 =
A m=−3 B m= C m= D m=
Câu 19 Cho tam giácABC vuông tạiA, cóAC = 20cm Đường trịn đường kínhABcắt BC tạiM (M không trùng với B), tiếp tuyến tạiM đường trịn đường kínhAB cắtAC tạiI Độ dài đoạnAI
A 6cm B 9cm C 10cm D 12cm
Câu 20 Cho đường tròn(O;R)và dây cungABthỏa mãnAOB[ = 90◦ Độ dài cung nhỏAB¯
A πR
2 B πR C
πR
4 D
3πR
2
Phần tự luận
Câu 21
a) Giải hệ phương trình
(
x−y= 3x+ 2y= 11
b) Rút gọn biểu thứcA=
ñ
2(x−2√x+ 1)
x−4 −
2√x−1
√
x+
ô
:
√
x
√
x−2 vớix >0,x6=
Câu 22 Cho phương trìnhx2 −(m+ 1)x+m−4 = 0 (1),mlà tham số. a) Giải phương trình(1)khim=
b) Tìm giá trị củamđể phương trình(1)có hai nghiệmx1,x2 thỏa mãn
Ä
x21−mx1 +m
ä Ä
x22−mx2+m
ä
=
Câu 23 Đầu năm học, Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A tổng số245quyển sách gồm sách Toán sách Ngữ văn Nhà trường dùng
2 số sách Toán
3 số sách Ngữ văn để phát cho bạn
học sinh có hồn cảnh khó khăn Biết bạn nhận sách Toán sách Ngữ văn Hỏi Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A loại sách quyển?
Câu 24 Cho tam giácABC nội tiếp đường trịn (O) đường kínhAC (BA < BC) Trên đoạn thẳng OC lấy điểmIbất kỳ(I 6=C) Đường thẳngBI cắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai làD KẻCH vng góc vớiBD(H ∈BD),DK vng góc vớiAC(K ∈AC)
a) Chứng minh tứ giácDHKClà tứ giác nội tiếp
b) Cho độ dài đoạn thẳngAC là4m vàABD\= 60◦ Tính diện tích tam giácACD
c) Đường thẳng quaK song song vớiBC cắt đường thẳngBDtạiE Chứng minh khiIthay đổi đoạn thẳngOC (I 6=C)thì điểmEln thuộc đường tròn cố định
(16)II
Lời giải
Phần trắc nghiệm
Câu Giá trị tham sốmđể đường thẳngy=mx+ 1song song với đường thẳngy= 2x−3là
A m=−3 B m=−1 C m= D m=
Lời giải.
Đường thẳngy=mx+ 1song song với đường thẳngy= 2x−3⇔m=
Chọn đáp án D
Câu Tổng hai nghiệm phương trìnhx2−4x+ = 0bằng
A −4 B C D −3 Lời giải.
Tổng hai nghiệm phương trìnhx2 −4x+ = 0là −b a =
4 =
Chọn đáp án B
Câu Giá trị củaxdưới nghiệm phương trìnhx2 +x−2 = 0?
A x= B x= C x= D x=
Lời giải.
Phương trìnhx2+x−2 = 0cóa+b+c= + + (−2) = 0nên ln có nghiệmx=
Chọn đáp án D
Câu Đường thẳngy= 4x−5có hệ số góc
A −5 B C −4 D Lời giải.
Đường thẳngy= 4x−5có hệ số góca=
Chọn đáp án B
Câu Cho biếtx= 1là nghiệm phương trìnhx2+bx+c= 0 Khi ta có
A b+c= B b+c= C b+c=−1 D b+c= Lời giải.
x= 1là nghiệm phương trìnhx2+bx+c= 0nên1+b·1+c= 0⇔1+b+c= ⇔b+c=−1
Chọn đáp án C
Câu Tất giá trị củaxđể biểu thức√x−3có nghĩa
A x≥3 B x≤3 C x <3 D x >3
Lời giải.
Chọn đáp án B
Câu Cho tam giácABC cóAB = 3cm,AC = 4cm,BC = 5cm Phát biểu đúng? A Tam giácABCvuông B Tam giácABC
C Tam giácABCvuông cân D Tam giácABC cân Lời giải.
AB2+AC2 = 32+ 42 = 25 = 52 =BC2 nên tam giácABC vuông.
Chọn đáp án A
Câu Giá trị tham sốmđể đường thẳngy= (2m+ 1)x+ 3đi qua điểmA(−1; 0)là
A m=−2 B m= C m=−1 D m= Lời giải.
Để đường thẳngy= (2m+ 1)x+ qua điểmA(−1; 0)thì tọa độ củaAphải thỏa mãn phương trình đường thẳng hay
(17)Chọn đáp án B Câu Căn bậc hai số học của144là
A 13 B −12 C 12và−12 D 12
Lời giải.
Căn bậc hai số học số số không âm nên bậc hai số học của144là12
Chọn đáp án D
Câu 10 Vớix <2thì biểu thức»(2−x)2+x−3có giá trị bằng
A −1 B 2x−5 C 5−2x D Lời giải.
x <2thì2−x >0nên»(2−x)2+x−3 = 2−x+x−3 = −1.
Chọn đáp án A
Câu 11 Giá trị biểu thức +
√
3
√
3 +
A B √1
3 C
1
3 D
√
Lời giải.
Chọn đáp án D
Câu 12 Hệ phương trình
x−y=
x+ 2y= có nghiệm là(x0;y0) Giá trị biểu thứcx0+y0
A B −2 C D
Lời giải.
Hệ phương trình
x−y=
x+ 2y= có nghiệm là(x0;y0) = (3,2)nênx0+y0 = + =
Chọn đáp án C
Câu 13 Cho tam giácABC vng tạiA, cóBC = 4cm,AC = 2cm TínhsinABC.[
A
√
3
2 B
1
2 C
1
3 D
√
3
Lời giải.
Ta cósinABC[ = AC
BC =
1
Chọn đáp án B
Câu 14 Tam giácABCcân tạiBcóABC[ = 120◦,AB= 12cm nội tiếp đường trịn(O) Bán kính đường trịn(O)bằng
A 10cm B 9cm C 8cm D 12cm
Lời giải.
GọiI trung điểmAB Ta cócosIBO[ = IB
BO =
6
R =
1
2 VậyR = 12cm
Chọn đáp án D
Câu 15 Biết đường thẳngy = 2x+ 3cắt paraboly =x2 hai điểm Tọa độ giao điểm
A (1; 1)và(−3; 9) B (1; 1)và(3; 9) C (−1; 1)và(3; 9) D (−1; 1)và(−3; 9) Lời giải.
Hoành độ giao điểm đường thẳngy= 2x+ 3và paraboly=x2 là nghiệm phương trình x2 = 2x+ 3⇔x2−2x−3 = 0⇔
"
x=−1
x= ⇔
"
y=
(18)Chọn đáp án C Câu 16 Cho hàm sốy=f(x) = (1 +m4)x+ 1, vớimlà tham số Khẳng định sau đúng?
A f(1) > f(2) B f(4) < f(2) C f(2) < f(3) D f(−1)> f(0) Lời giải.
Ta có1 +m4 >0nên hàm sốy=f(x) = (1 +m4)x+ 1đồng biến.
Chọn đáp án C
Câu 17 Hệ phương trình
x+y =
mx−y= có nghiệm(x0;y0)thỏa mãnx0 = 2y0 Khi giá trị củam
là
A m= B m= C m= D m= Lời giải.
(x0;y0)là nghiệm hệ
(
x+y=
mx−y = nên (
x0+y0 = mx0−y0 =
Màx0 = 2y0 suy
(
x0 = y0 =
⇒2m−1 = 3⇔m=
Chọn đáp án B
Câu 18 Tìm tham sốmđể phương trìnhx2+x+m+1 = 0có hai nghiệmx1,x
2thỏa mãnx21+x22 = A m=−3 B m= C m= D m=
Lời giải.
Giả sử phương trìnhx2+x+m+ = 0có hai nghiệmx1,x
2 ta có
(
x1 +x2 =−1 x1x2 =m+
Màx21+x22 = (x1+x2)2−2x1x2 = (−1)2−2(m+ 1) = 1−2m−2 = −2m−1 Khi đóx2
1+x22 = 5⇔ −2m−1 = 5⇔m=−3
Thử lạim=−3thì phương trình có hai nghiệmx1 = 1,x2 =−2thỏa mãnx21+x22 =
Chọn đáp án A
Câu 19 Cho tam giácABC vuông tạiA, cóAC = 20cm Đường trịn đường kínhABcắt BC tạiM (M không trùng với B), tiếp tuyến tạiM đường trịn đường kínhAB cắtAC tạiI Độ dài đoạnAI
A 6cm B 9cm C 10cm D 12cm Lời giải.
Ta cóM thuộc đường trịn đường kínhAB nên \
AM B = 90◦, nênAM ⊥BC
Dễ dàng chứng minh IA tiếp tuyến (O), đường kínhAB
Suy raIAvàIM là2tiếp tuyến cắt của(O)
nênIOlà trung trực củaAM, suy raIO⊥AM
⇒ OI ∥ BC ⇒I trung điểm củaAC, AI = AC
2 = 20
2 = 10cm B M C
A
I O
Chọn đáp án C
Câu 20 Cho đường tròn(O;R)và dây cungABthỏa mãnAOB[ = 90◦ Độ dài cung nhỏAB¯
A πR
2 B πR C
πR
4 D
3πR
2
(19)Độ dài cung nhỏAB¯ là` ˆ
AB =
2πR·AOB[
360 =
πR
2
Chọn đáp án A
Phần tự luận
Câu 21
a) Giải hệ phương trình
(
x−y= 3x+ 2y= 11
b) Rút gọn biểu thứcA=
ñ
2(x−2√x+ 1)
x−4 −
2√x−1
√
x+
ô
:
√
x
√
x−2 vớix >0,x6=
Lời giải. a) Ta có
(
x−y=
3x+ 2y= 11 ⇔ (
x= +y
3 (2 +y) + 2y = 11 ⇔ (
5y=
x= +y ⇔
(
x=
y =
Vậy hệ phương trình có nghiệm(x;y) = (3; 1) b) Vớix >0;x6= 4, ta có
A =
ñ
2x−4√x+ (√x+ 2) (√x−2)−
(2√x−1) (√x−2) (√x+ 2) (√x−2)
ô
:
√
x
√
x−2 =
ñ
2x−4√x+ (√x+ 2) (√x−2)−
2x−5√x+ (√x+ 2) (√x−2)
ô
:
√
x
√
x−2 =
√
x
(√x+ 2) (√x−2) :
√
x
√
x−2 = √
x+
Kết luậnA= √
x+
Câu 22 Cho phương trìnhx2 −(m+ 1)x+m−4 = 0 (1),mlà tham số.
a) Giải phương trình(1)khim=
b) Tìm giá trị củamđể phương trình(1)có hai nghiệmx1,x2 thỏa mãn
Ä
x21−mx1 +m
ä Ä
x22−mx2+m
ä
=
Lời giải.
a) Vớim = 1, phương trình(1)trở thànhx2−2x−3 = 0.
Phương trình có a − b +c = − (−2) + (−3) = nên có hai nghiệm x = −1, x= −c
a =
(20)b) Ta có∆ = (m+ 1)2−4·(m−4) =m2+ 2m+ 1−4m+ 16 = (m−1)2+ 16>0nên phương trình(1)ln có hai nghiệm phân biệtx1,x2với mọim
Khi ta có
x21−(m+ 1)x1 +m−4 = ⇔x21−mx1+m=x1+ Tương tựx2
2−mx2+m=x2+ Khi
Ä
x21−mx1+m
ä Ä
x22−mx2+m
ä
= ⇔ (x1+ 4) (x2 + 4) =
⇔ x1x2+ (x1+x2) + 16 = (∗) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có
(∗)⇔(m−4) + (m+ 1) + 16 = 2⇔5m+ 14 = 0⇔m= −14
Vậym= −14
5 phương trình(1)có hai nghiệmx1, x2thỏa mãn
Ä
x21−mx1 +mä Äx22−mx2+mä=
Câu 23 Đầu năm học, Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A tổng số245quyển sách gồm sách Toán sách Ngữ văn Nhà trường dùng
2 số sách Toán
3 số sách Ngữ văn để phát cho bạn
học sinh có hồn cảnh khó khăn Biết bạn nhận sách Toán sách Ngữ văn Hỏi Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A loại sách quyển?
Lời giải.
Gọi số sách Toán sách Ngữ văn Hội khuyến học trao cho trường A làx,y(quyển),x, y ∈N∗. Vì tổng số sách nhận là245nênx+y= 245 (1) Số sách Toán Ngữ văn dùng để phát cho học sinh
2xvà
3y(quyển)
Ta có
2x=
3y (2)
Từ(1)và(2) ta có hệ
x+y= 245
2x= 3y
Giải hệ ta thu nghiệm
(
x= 140
y= 105 So với điều kiện, thỏa mãn
Vậy Hội khuyến học trao cho trường140quyển sách Toán và105quyển sách Ngữ văn Câu 24 Cho tam giácABC nội tiếp đường trịn (O) đường kínhAC (BA < BC) Trên đoạn thẳng OC lấy điểmIbất kỳ(I 6=C) Đường thẳngBI cắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai làD KẻCH vng góc vớiBD(H ∈BD),DK vng góc vớiAC(K ∈AC)
a) Chứng minh tứ giácDHKClà tứ giác nội tiếp
b) Cho độ dài đoạn thẳngAC là4m vàABD\= 60◦ Tính diện tích tam giácACD
c) Đường thẳng quaK song song vớiBC cắt đường thẳngBDtạiE Chứng minh khiIthay đổi đoạn thẳngOC (I 6=C)thì điểmEln thuộc đường tròn cố định
(21)E B
D O
H K
A C
a) VìCH vng góc với BD(H ∈ BD)nên DHC\ = 90◦, suy raH thuộc đường trịn đường kính CD
MàDK vng góc vớiAC (K ∈ AC)nên\AKC = 90◦, suy raK thuộc đường trịn đường kínhCD
VậyH vàK thuộc đường trịn đường kínhCD hay tứ giácDHKC nội tiếp đường trịn
b) Ta có\ABD=\ACD(góc nội tiếp chắn cungAD) nên\ACD= 60◦
Lại cóDnằm đường trịn(O)đường kínhAC (giả thiết) suy ra\ADC = 90◦
⇒ CD = AC·cos\ACD = 4·cos 60◦ = (cm) vàAD = AC·sin\ACD = 4·sin 60◦ = 2√3
(cm)
Khi diện tích tam giác ACDlàSACD =
2AD·CD =
√
3(cm2). c) VìEK ∥BC nênDEK\ =\DBC
VìABCDnội tiếp nênDBC\ =\DAC Suy raDEK\ =DAK\
Từ tứ giácAEKD nội tiếp thu được\AED=AKD\ = 90◦ ⇒AEB[ = 90◦, suy raEthuộc đường trịn đường kínhAB
Vậy khiIthay đổi đoạnOCthì điểmE ln thuộc đường trịn đường kínhABcố định Câu 25 Chox, y số thực thỏa mãn điều kiệnx2+y2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = (3−x)(3−y)
Lời giải. Ta có
P = (3−x) (3−y) = 9−3 (x+y) +xy= 18−6 (x+y) + 2xy
= 17 + (x
2+y2)−6 (x+y) + 2xy
2 =
8 + (x+y)2−6 (x+y) +
= (x+y−3)
2
(22)Từx2 +y2 = được(x+y)2 ≤ ⇒ −√2≤ x+y ≤ √2 Suy ra−√2−3≤ x+y−3 ≤ √
2−3<0 Khi ta có
P = (x+y−3)
2
2 + ≥
Ä√
2−3ä2
2 + =
19−6√2
Dấu xảy ra⇔x=y=
√
2
Vậy giá trị nhỏ củaP 19−6
√
2
2 khix=y=
√
2
(23)4 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Quảng Nam năm học 2019-2020
I
Đề thi
Câu
a) Rút gọn biểu thức sauA=√12 +»(√2−1)2− √
3−√2
b) Cho biểu thứcB =
x+√x +
2√x x−1 −
1
x−√x, vớix >0vàx 6= Rút gọn biểu thức B tìm xđểB =
Câu Trong mặt phẳng(Oxy), cho parabol(P) : y= 2x
2. a) Vẽ parabol(P)
b) Hai điểmA, Bcùng thuộc(P)có hồnh độ là2;−1 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểmAvàB
Câu
a) Giải phương trìnhx4+ 2x2−8 = 0.
b) Cho phương trìnhx2 −(2m+ 1)x+m2 + = 0(m là tham số) Tìm giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệtx1,x2 cho biểu thứcP =
x1x2 x1+x2
có giá trị nguyên Câu Cho hình vngABCD có cạnh bằng6cm ĐiểmN nằm cạnhCD choDN = 2cm, P điểm nằm tia đối tiaBC choBP =DN
a) Chứng minh4ABP =4ADN tứ giácAN CP nội tiếp đường tròn b) Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giácAN CP
c) Trên cạnh BC, lấy điểmM choM AN\ = 45◦ Chứng minhM P =M N tính diện tích tam giácAM N
Câu Cho x, y số thực thỏa mãn x ≥ 3;y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = 21
Ç
x+
y
å
+
Ç
y+
x
å
II
Lời giải
Câu
a) Rút gọn biểu thức sauA=√12 +»(√2−1)2− √
3−√2
b) Cho biểu thứcB =
x+√x +
2√x x−1 −
1
x−√x, vớix >0vàx 6= Rút gọn biểu thức B tìm xđểB =
Lời giải.
a) Ta cóA= 2√3 + (√2−1)− √
3 +√2 3−2 =
√
(24)b) Ta có
B = √
x(√x+ 1) + 2√x x−1−
1
√
x(√x−1) =
(√x−1) + 2x−(√x+ 1)
√
x(√x−1)(√x+ 1) = √ 2x−2
x(√x−1)(√x+ 1) =
√
x VớiB = ⇔ √2
x = ⇔
√
x=
4 ⇔x=
16 (thỏa mãn)
Câu Trong mặt phẳng(Oxy), cho parabol(P) : y=
2x
2. a) Vẽ parabol(P)
b) Hai điểmA, Bcùng thuộc(P)có hồnh độ là2;−1 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểmAvàB
Lời giải.
a) Xét(P)ta có bảng giá trị x
y
−2 −1 2
2 2
b) Ta cóA(2; 2)vàB
Ç
−1;1
å
Giả sử phương trìnhABcó dạngy=ax+b Vìy=ax+b quaA, B nên
2a+b =
−a+b =
⇔
3a= 2a+b =
⇔
a =
b =
Vậy phương trình đường thẳngABlày= x +
x y
O
−2 −1
1
Câu
a) Giải phương trìnhx4+ 2x2−8 = 0.
b) Cho phương trìnhx2 −(2m+ 1)x+m2 + = 0(m là tham số) Tìm giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệtx1,x2 cho biểu thứcP =
x1x2 x1+x2
có giá trị nguyên Lời giải.
a) Đặtt =x2 (t≥0) Phương trình trở thành t2+ 2t−8 = ⇔
"
(25)b) Điều kiện để phương trình có nghiệm
∆≥0⇔(2m+ 1)2−4(m2+ 1)≥0⇔4m−3≥0⇔m≥
4
Theo Vi-ét ta có
(
x1+x2 = 2m+ x1x2 =m2+
Do
P = m
2+ 1
2m+ = 2m−
1 +
5 4(2m+ 1)
ĐểP nhận giá trị ngun thì2m+ 1là ước của5, ta có bảng giá trị sau
2m+
m P KL
−5 −1
−3 −1
−2 −2 1
TM TM TM TM
Vậym∈ {−3;−1; 0; 2}
Câu Cho hình vngABCD có cạnh bằng6cm ĐiểmN nằm cạnhCD choDN = 2cm, P điểm nằm tia đối tiaBC choBP =DN
a) Chứng minh4ABP =4ADN tứ giácAN CP nội tiếp đường trịn b) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giácAN CP
c) Trên cạnh BC, lấy điểmM choM AN\ = 45◦ Chứng minhM P =M N tính diện tích tam giácAM N
Lời giải.
a) Xét 4ABP 4ADN có AB = AD, ABP[ = ADN\ = 90◦, BP =DN = 2cm⇒ 4ABP =4ADN (c.g.c)
Vì4ABP =4ADN nênAP B[ =AN D, suy ra\ \
AN C+AP B[ = 180◦ ⇒AN CP tứ giác nội tiếp b) GọiO tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácAN CP
MàN CP\ = 90◦ nênN P đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giácAN CP
Lại cóCN = 6−2 = 4cm,CP = + = 8cm Do N P =√42 + 82 = 4√5cm, suy raR =P O = 2√5cm. Vậy chu vi đường tròn tâmO là2πR= 4√5πcm
A
B
C D
M O
P
N
c) VìAN CP tứ giác nội tiếp đường trịn đường kínhN P nên \
(26)Ta có4P ON v4P CN ⇒P M = P O·P N
P C =
2√5·4√5
8 = 5cm, suy raBM = 3cm
Do AM =√AB2 +BM2 =√62+ 32 = 3√5cm, suy ra S4AN M =
1
2 ·AM ·N O = ·3
√
5·2√5 = 15cm2
Câu Cho x, y số thực thỏa mãn x ≥ 3;y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = 21
Ç
x+
y
å
+
Ç
y+
x
å
Lời giải.
Ta có
T = 21
Ç
x+1
y
å
+
Ç
y+
x
å
= 21x+ 21
y + 3y+
3
y = x
3 + 62x
3 +
x+
21
y +
7y
3 + 2y
3
=
Ç
x
3 +
y
å
+
Ç
21
y +
7y
3
å
+ 62x +
2y
3
≥ + 14 + 62 + = 80
Dấu xảy khix=y=z =
(27)5 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Lào Cai năm học 2019-2020
I
Đề thi
Câu Tính giá trị biểu thức sau
√
4 + 3;
a) √5 +
… Ä
6−√5ä2 b)
Câu H = 2x
2+ 2x x2−1 +
1
√
x+ −
√
x−1(x≥0;x6= 1)
a) Rút gọn biểu thứcH;
b) Tìm tất giá trị củaxđể√x−H <0 Câu
1) Cho đường thằng(d) :y =x−1và Parabol(P) :y= 3x2
Tìm tọa độ điểmAthuộc Parabol(P), biết điểmAcó hồnh độx=−1 a)
Tìmb để đường thẳng (d)và đường thẳng (d0) : y =
2x+b cắt điểm trục
hoành b)
2)
Giải hệ phương trình
(
x+y= 2x−y= a)
Tìm tham số a để hệ phương trình
(
x−y =a
7x−2y = 5a−1 có nghiệm (x;y) thỏa mãn y= 2x
b)
Câu
a) Giải phương trìnhx2−3x+ =
b) Tìm giá trị tham sốmđể phương trìnhx2−2(m−1)x+m2 = 0có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn(x1−x2)
2
+ 6m =x1−2x2
Câu Cho đường tròn(O)và điểmM nằm ngồi đường trịn(O) Kẻ hai tiếp tuyếnM B, M C (B, C hai tiếp điểm) với đường tròn Trên cung lớnBClấy điểmAsao choAB < AC Từ điểmM kẻ đường thẳng song song vớiAB, đường thẳng cắt đường tròn(O)tạiDvàE (M D < M E), cắtBC tạiF, cắtACtạiI
a) Chứng minhM BOClà tứ giác nội tiếp
b) Chứng minhF D·F E=F B·F C;F I·F M =F D·F E
c) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng¯ QF cắt
(28)II
Lời giải
Câu Tính giá trị biểu thức sau
√
4 + 3;
a) √5 +
… Ä
6−√5ä2 b)
Lời giải.
Tính giá trị biểu thức sau a) √4 + = + = 5; b) √5 +
… Ä
6−√5ä2 =√5 +|6−√5|= + 6−√5 =
Câu H = 2x
2+ 2x x2−1 +
1
√
x+ −
√
x−1(x≥0;x6= 1)
a) Rút gọn biểu thứcH;
b) Tìm tất giá trị củaxđể√x−H <0 Lời giải.
a) Rút gọnH Vớix≥0, x6= 1, ta có H = 2x
2+ 2x x2−1 +
1
√
x+ −
√
x−1 =
2x(x+ 1) (x−1) (x+ 1) +
√
x−1−√x−1 (√x+ 1) (√x−1) = 2x
x−1+
−2
x−1 =
2x−2
x−1 =
2 (x−1)
x−1 =
b) Yêu cầu toán tương đương với
√
x−H <0⇔√x−2<0⇔√x <2⇔x <4 Kết hợp với điều kiệnx≥0, x6= 1, ta được0≤x≤4, x6=
Vậy với0≤x≤4, x6= 1thì√x−H <0
Câu
1) Cho đường thằng(d) :y =x−1và Parabol(P) :y= 3x2
Tìm tọa độ điểmAthuộc Parabol(P), biết điểmAcó hồnh độx=−1 a)
Tìmb để đường thẳng (d)và đường thẳng (d0) : y =
2x+b cắt điểm trục
hoành b)
2)
Giải hệ phương trình
(
x+y= 2x−y= a)
Tìm tham số a để hệ phương trình
(
x−y =a
7x−2y = 5a−1 có nghiệm (x;y) thỏa mãn y= 2x
(29)Lời giải. 1)
ĐiểmAcó hồnh độx=−1thuộc ParabolP nên ta có tọa độAthỏa mãn phương trình(P): yA = 3x2A⇔yA= 3(−1)2 =
Vậy tọa độ điểmAlàA(−1; 3) a)
Từ giả thiết ta thấy:(d),(d0)và trục hoành đồng quy điểm Hoành độ giao điểm trục hồnhy= 0và(d) :y=x−1là nghiệm phương trìnhx−1 = ⇔x= Vậy giao điểm của(d)và trục hoành là(1; 0) Điểm thuộc(d0)nên ta có:
2·1 +b= ⇔b =−
Vậyb =−1
2 thìdvà(d
0)cắt điểm nằm trục hoành. b)
2)
(
x+y = 2x−y = ⇔
(
x+y= 3x= ⇔
(
y=
x= Vậy nghiệm hệ là(x;y) = (2; 3) a)
Ta có hệ số thỏa mãn
7 6=
−1
−2 nên hệ cho có nghiệm với mọia Theo ta
cóy= 2xnên, thay vào hệ ta
(
x−2x=a
7x−4x= 5a−1 ⇔
(
−x=a
3x= 5a−1 ⇔
a=
x=−1
8
Vậya=
8 hệ có nghiệm thỏa mãny = 2x
b)
Câu
a) Giải phương trìnhx2−3x+ = 0.
b) Tìm giá trị tham sốmđể phương trìnhx2−2(m−1)x+m2 = 0có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn(x1−x2)
2
+ 6m =x1−2x2 Lời giải.
a) Ta có∆ = (−3)2−4·1·2 = 1>0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt,
x1 =
3−1 =
1
x2 =
3 + =
Tập nghiệm phương trình làS =
®
1 2;
´
b) Ta có∆0 = [−(m−1)]2−m2 =m2−2m+ 1−m2 = 1−2m.
Phương trình có hai nghiệm phân biệtx1, x2 khi∆0 >0⇔1−2m >0⇔m <
1
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có
(
x1+x2 = 2(m−1); x1·x2 = m2 Theo đề ta có
(x1−x2)2+ 6m=x1 −2x2 ⇔ x21+x
(30)⇔ (x1+x2)2−4x1x2 + 6m=x1−2x2
⇔ (m−1)2−4m2+ 6m =x1−2x2
⇔ x1−2x2 = 2m+ Khi kết hợp vớix1+x2 = 2m−2ta có hệ phương trình
(
x1+x2 = 2m−2; x1−2x2 = 2m+
⇔
(
3x−2 = 4m−6;
x1+x2 = 2m−2
⇔
x1 = 3m;
x2 =
3m−2
Thayx1 =
3m,x2 =
3m−2vào biểu thứcx1·x2 =m
2ta có
2 3m·
Ç
4 3m−2
å
=m2 ⇔ −1
9m
2−
3m=
⇔
"
m = 0;
m =−12 Kết hợp với điều kiện m <
2, kết luận có hai giá trịm thỏa mãn u cầu tốn m =
m =−12
Câu Cho đường trịn(O)và điểmM nằm ngồi đường trịn(O) Kẻ hai tiếp tuyếnM B, M C (B, C hai tiếp điểm) với đường tròn Trên cung lớnBClấy điểmAsao choAB < AC Từ điểmM kẻ đường thẳng song song vớiAB, đường thẳng cắt đường tròn(O)tạiDvàE (M D < M E), cắtBC tạiF, cắtACtạiI
a) Chứng minhM BOClà tứ giác nội tiếp
b) Chứng minhF D·F E=F B·F C;F I·F M =F D·F E
c) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng¯ QF cắt
đường tròn(O)tạiK (K khácQ) Chứng minh ba điểmP, K, M thẳng hàng
Lời giải.
B
A
E D
P
C Q
M O
F I
K
(31)b) Xét hai tam giácF DB vàF CE có
\
DF B =CF E[(đđ)
\
BDF =F CE[ = 2sđBE¯
Vậy4F DB v4F CE(g.g) Do ta có F D
F C = F B
F E ⇔F D·F E =F B·F C (1)
VìAB ∥DE theo giả thiết nên ta cóBD¯ =AE.¯ (2)
VìF IC[ góc có đỉnh nằm đường trịn nên ta có: [
F IC = 2sđ
¯
DC+AE¯
=
2sđ
¯
DC+DB¯
(theo (2)) =
2sđBC¯ =M BF \
Xét hai tam giácF BM vàF IC có
\
BF M =IF C[(đđ) [
F IC =M BF\(cm trên) Vậy
4F IC v4F BM (g.g) Do ta có F I
F B = F C
F M, hayF I·F M =F B·F C (3)
Từ (1) (3) ta cóF D·F E =F B·F C =F I·F M (đpcm) c) Xét4F DK và4F QEcó
\
KF D=EF Q[ (đ.đ);
\
F KD=F EQ[ =
2sđDQ.¯
⇒ 4F KDv4F EQ(g.g)⇒ F K
F E = F D
F Q ⇒F E·F D=F K·F Q (4)
Từ (4) chứng minh ýbta cóF K ·F Q=F I·F M ⇔ F M
F Q = F K
F I Xét hai tam giác4F M Q và4F KI có
F M F Q =
F K
F I (chứng minh trên); \
M F Q=KF I[ (đối đỉnh)
⇒ 4F M Qv 4F KI(c.g.c) ⇒ F M Q\ = F KI Vậy tứ giác[ KIQM tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau.)
⇒M KQ\ =\M IQ=
2sđ˘M Q (5)
Theo chứng minh phần (b) ta cóF IC[ = M BF\ hay M BC\ = \M IC Suy tứ giác M BIC tứ giác nội tiếp Kết hợp với ý a, ta có 5điểm M, B, I, C, O thuộc đường trịn đường
kínhM O.⇒\M IO = 90◦ (6)
Từ(5)và(6)suy raM KQ\ = 90◦ (7)
Dễ thấyQKP\ = 90◦ (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (8) Từ (7) (8) suy raM KP\ =M KQ\ +QKP\= 90◦+ 90◦ = 180◦
VậyM, K, P ba điểm thẳng hàng
(32)6 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu Rút gọn biểu thức sau: a) A =√50−√18;
b) B =
Ç
2
a2+a −
2
a+
å
: 1−a
a2+ 2a+ 1 (vớia6= 0vàa 6=±1) Câu
a) Tìm giá trị củaavàbđể đường thẳng(d) : y=ax+bđi qua hai điểmM(1; 5)vàN(2; 8) b) Cho phương trình:x2 −6x+m−3 = 0 (mlà tham số) Tìm giá trị củamđể phương trình có hai
nghiệm phân biệtx1,x2thỏa mãn(x1−1)(x22 −5x2+m−4) =
Câu Một đội xe vận tải phân công chở 112tấn hàng Trước khởi hành có 2xe phải làm nhiệm vụ khác nên xe lại phải chở thêm1tấn hàng so với dự tính Tính số xe ban đầu đội xe, biết xe chở khối lượng hàng
Câu Cho đường trịn tâm O điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến M A, M Bvới đường tròn (A,B tiếp điểm) Đường thẳng(d)thay đổi quaM, khơng quaO ln cắt đường trịn hai điểm phân biệtC vàD(Cnằm giữaM vàD)
a) Chứng minhAM BOlà tứ giác nội tiếp b) Chứng minh:M C ·M D =M A2.
c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giácOCDln qua điểm cố định khácO
Câu Cho hai số thực dươnga,bthỏa mãna+b+ 3ab= Tìm giá trị lớn biểu thức P = 6ab
a+b −a 2−b2
II
Lời giải
Câu Rút gọn biểu thức sau: a) A =√50−√18;
b) B =
Ç
2
a2+a −
2
a+
å
: 1−a
a2+ 2a+ 1 (vớia6= 0vàa 6=±1) Lời giải.
a) Ta cóA=√50−√18 =√25·2−√9·2 = 5√2−3√2 = 2√2 VậyA= 2√2
b) Điều kiệna6= 0,a6=±1 Ta có
B =
Ç
2
a2+a −
2
a+
å
: 1−a
a2+ 2a+ 1 =
ñ
2
a(a+ 1) −
a+
ô
: 1−a (a+ 12)
= 2−2a
a(a+ 1) ·
(a+ 1)2 1−a =
2(1−a)
a ·
a+ 1−a =
2(a+ 1)
a
Vậy vớia6= 0,a6=±1thìB = 2(a+ 1)
(33)Câu
a) Tìm giá trị củaavàbđể đường thẳng(d) : y=ax+bđi qua hai điểmM(1; 5)vàN(2; 8) b) Cho phương trình:x2 −6x+m−3 = 0 (mlà tham số) Tìm giá trị củamđể phương trình có hai
nghiệm phân biệtx1,x2thỏa mãn(x1−1)(x22 −5x2+m−4) = Lời giải.
a) M(1; 5)∈(d) : y=ax+b⇒a+b= 5.N(2; 8)∈(d) :y =ax+b⇒8 = 2a+b Ta có hệ phương trình:
(
a+b= 2a+b= ⇔
(
a =
b = 5−a ⇔
(
a=
b = Vậya= 3,b=
b) Ta có∆0 = (−3)2 −(m−3) = 12−m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì∆0 >0⇔12−m >0⇔m <12 (*) Vớimthỏa mãn(∗)thì theo định lí Vi-ét ta có:
(
x1+x2 =
x1x2 =m−3 Vìx2 nghiệm phương trình nên
x22−6x2+m−3 = 0⇒x22−5x2+m−4 =x2−6x2+m−3 +x2−1 =x2 −1 Khi
(x1−1)(x22−5x2+m−4) = 2⇔(x1−1)(x2−1) =
⇔ x1x2−(x1+x2) + = 2⇔m−3−6 + = 2⇔m = 10(thỏa mãn) Vậym= 10
Câu Một đội xe vận tải phân công chở 112tấn hàng Trước khởi hành có 2xe phải làm nhiệm vụ khác nên xe lại phải chở thêm1tấn hàng so với dự tính Tính số xe ban đầu đội xe, biết xe chở khối lượng hàng
Lời giải.
Gọi số xe ban đầu đội xe làxxe (x >2,x∈N∗). Theo dự định, xe phải chở số hàng là: 112
x Số xe thực tế làm nhiệm vụ là:x−2xe
Thực tế, xe chở số hàng là: 112 x−2
Thực tế, xe phải chở nhiều theo dự định1tấn hàng nên ta có phương trình:
112
x−2− 112
x = 1⇔112x−112(x−2) =x(x−2)
⇔ x2−2x−224 = 0⇔
"
x= 16(thỏa mãn)
x=−14(không thỏa mãn)
Vậy số xe ban đầu đội xe là16xe
(34)a) Chứng minhAM BOlà tứ giác nội tiếp b) Chứng minh:M C ·M D =M A2
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giácOCDluôn qua điểm cố định khácO Lời giải.
A C
M
H
B
O
D
a) DoM A,M B tiếp tuyến đường tròn(O)tạiA,B nênOAM\ =OBM\ = 90◦
Xét tứ giácAM BOcó:OAM\+OBM\ = 90◦+ 90◦ = 180◦ ⇒tứ giácAM BOlà tứ giác nội tiếp b) Xét4M CAvà4M ADcó
\ AM Dchung
\
M AC =M DA\ = 2sđAC‘
⇒ 4M CAv4M AD(g.g)
Suy M C M A =
M A
M D ⇔M C ·M D =M A
2. (1)
c) GọiH =OM∩AB(H 6=O)
Ta cóOA = OB−R ⇒ Othuộc trung trực củaAB, màM A =M B (tính chất2tiếp tuyến cắt nhau), suy raM thuộc trung trực củaAB
Suy raOM trung trực củaAB⇒OM ⊥ABtạiH
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vngOAM ta có:M A2 =M H ·M O (2) Từ(1)và(2) ⇒M C·M D =M H ·M O⇒ M C
M H = M O M D Xét4M CH tam giácM ODcó:
\
OM D chung M C
M H = M O
M D (chứng minh trên)
⇒ 4M CH v4M OD(c.g.c)⇒M HC\ =M DO\ =CDO.\
MàM HC\ +OHC\ = 180◦ (kề bù)⇒ CDO\+OHC\ = 180◦ ⇒Tứ giác OHCD tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng180◦)
Suy raH thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giácOCD
MàO,M cố định⇒A,B cố định⇒H =OM∩ABcố định
(35)Câu Cho hai số thực dươnga,bthỏa mãna+b+ 3ab= Tìm giá trị lớn biểu thức
P = 6ab
a+b −a 2−
b2
Lời giải.
Theo đề ta cóa+b+ 3ab= 1⇔ab= 1−(a+b)
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:ab≤ (a+b)
2
4
Suy
1−(a+b)
3 ≤
(a+b)2
4 ⇔4−4(a+b)≤3(a+b)
2
⇔ 3(a+b)2−4(a+b)−4≥0⇔(a+b+ 2) [3(a+b)−2]≥0
⇔ 3(a+b)−2≥0(doa+b+ 2>0, ∀a, b >0)⇔a+b ≥
3
Suy
P = 6ab
a+b −(a
2 +b2) = 2−2(a+b) a+b −(a
2+b2)
≤
a+b −2−
(a+b)2
2 ≤ 2
−2−
Ç
2
å2
2 =
Dấu “=”xảy ra⇔
a=b
a+b=
⇔a=b=
VậymaxP =
9 khia=b=
(36)7 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Nam Định năm học 2019-2020
I
Đề bài
Phần trắc nghiệm
Câu Tìm tất giá trị củamđể hàm sốy = (1−m)x+m+ 1đồng biến trênR
A m >1 B m <1 C m <−1 D m >−1 Câu Phương trìnhx2−2x−1 = 0có hai nghiệmx
1, x2 Tínhx1+x2
A x1+x2 = B x1+x2 = C x1+x2 =−2 D x1+x2 =−1 Câu Cho điểmM(xM;yM)thuộc đồ thị hàm sốy=−3x2 BiếtxM =−2 TínhyM
A yM = B yM =−6 C yM =−12 D yM = 12
Câu Hệ phương trình
(
x−y= 2;
3x+y= có nghiệm?
A B C D vô số
Câu Với sốa,bthỏa mãna <0, b <0thì biểu thứca√abbằng:
A −√a2b. B −√a3b. C √a2b. D √a3b.
Câu Cho tam giácABC vuông tạiAcóAB = 3cm,AC = 4cm Tính độ dài đường caoAHcủa tam giácABC
A AH = 12
7 B AH =
2 C AH = 12
5 D AH =
Câu Cho đường tròn(O; 2cm) (O0; 3cm) BiếtOO0 = 6cm Số tiếp tuyến chung hai đường tròn là:
A B C D
Câu Một bóng hình cầu có đường kính4cm Thể tích bóng
A 32
3 πcm
3. B 32
3 cm
3. C 256
3 πcm
3. D 256
3 cm
3.
Phần tự luận
Câu
a) Rút gọn biểu thứcA=»3−2√2−»3 + 2√2 b) Chứng minh
Ç
2
√
a+ −
√
a−3 +
a−9
å
·(√a+ 3) = Vớia >0,a6= Câu 10 Cho phương trìnhx2 −(m−2)x−6 = 0vớimlà tham số.
a) Giải phương trình vớim =
b) Chứng minh với giá trị củamphương trình ln có hai nghiệm phân biệt
c) Gọix1,x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị củamđểx22−x1x2+ (m−2)x1 = 16 Câu 11 Giải hệ phương trình
(
x2−xy+y−7 = 0; (1)
(37)Câu 12 Qua điểmAnằm đường trỏn(O)vẽ hai tiếp tuyếnAB,ACcủa đường tròn (C,Blà tiếp điểm) GọiE trung điểm đoạnAC, F giao điểm thứ hai củaEB với(O)
a) Chứng minh tứ giácABOC tứ giác nội tiếp vả4CEF v4BEC
b) GọiK giao điểm thứ hai củaAF với đường tròn(O) Chứng minhBF ·CK =BK ·CF c) Chứng minhAE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp4ABF
Câu 13 Xét sốx, y, z thay đổi thỏa mãnx3 +y3 +z3−3xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thứcP =
2(x+y+z)
2
+ (x2+y2+z2−xy−yz−zx)
II
Lời giải
Phần trắc nghiệm
Câu Tìm tất giá trị củamđể hàm sốy = (1−m)x+m+ 1đồng biến trênR
A m >1 B m <1 C m <−1 D m >−1 Lời giải.
Hàm sốy=ax+bđồng biến khia >0 Do đáp án làm <1
Chọn đáp án B
Câu Phương trìnhx2−2x−1 = 0có hai nghiệmx
1, x2 Tínhx1+x2
A x1+x2 = B x1+x2 = C x1+x2 =−2 D x1+x2 =−1 Lời giải.
Áp dụng định lí Vi-et ta cóx1+x2 =−b
a =
Chọn đáp án A
Câu Cho điểmM(xM;yM)thuộc đồ thị hàm sốy=−3x2 BiếtxM =−2 TínhyM
A yM = B yM =−6 C yM =−12 D yM = 12
Lời giải.
Ta cóyM =−3·x2M =−3·(−2)2 =−12
Chọn đáp án C
Câu Hệ phương trình
(
x−y= 2;
3x+y= có nghiệm?
A B C D vô số
Lời giải.
Hệ có nghiệm
x= 4;
y= −5
Chọn đáp án B
Câu Với sốa,bthỏa mãna <0, b <0thì biểu thứca√abbằng:
A −√a2b. B −√a3b. C √a2b. D √a3b. Lời giải.
VớiA <0thì A√B =−√A2B.
(38)Câu Cho tam giácABC vng tạiAcóAB = 3cm,AC = 4cm Tính độ dài đường caoAHcủa tam giácABC
A AH = 12
7 B AH =
2 C AH =
12
5 D AH =
7
Lời giải.
Áp dụng hệ thức tam giác vuông ta có AH2 =
1
AB2 +
1
AC2 Từ tính raAH =
12
Chọn đáp án C
Câu Cho đường tròn(O; 2cm) (O0; 3cm) BiếtOO0 = 6cm Số tiếp tuyến chung hai đường tròn là:
A B C D
Lời giải.
VìOO0 lớn tổng hai bán kính nên hai đường trịn vị trí ngồi Khi chúng có4tiếp tuyến chung
Chọn đáp án D
Câu Một bóng hình cầu có đường kính4cm Thể tích bóng
A 32
3 πcm
3. B 32
3 cm
3. C 256
3 πcm
3. D 256
3 cm
3. Lời giải.
Áp dụng công thức tính thể tích hình cầuV = 3πR
3 Kết là 256
3 πcm
3.
Chọn đáp án C
Phần tự luận
Câu
a) Rút gọn biểu thứcA=»3−2√2−»3 + 2√2 b) Chứng minh
Ç
2
√
a+ −
√
a−3 +
a−9
å
·(√a+ 3) = Vớia >0,a6= Lời giải.
a)
A =
»
3−2√2−
»
3 + 2√2 =
»
2−2√2 + 1−
»
2 + 2√2 + =
… Ä√
2−1ä2−qÄ√2 + 1ä=
√
2−1 −
√
2 + =
√
2−1−√2−1 = −2 b) Thật
Ç
2
√
a+ −
√
a−3+
a−9
å
·Ä√a+ 3ä = (
√
a−3)−(√a+ 3) + (√a+ 3) (√a−3) ·
Ä√
a+ 3ä
=
√
a−6−√a−3 +
√
a−3 =
√
a−3
√
a−3 =
(39)a) Giải phương trình vớim =
b) Chứng minh với giá trị củamphương trình ln có hai nghiệm phân biệt
c) Gọix1,x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị củamđểx22−x1x2+ (m−2)x1 = 16 Lời giải.
a) Vớim = 0phương trình cho trở thành
x2+ 2x−6 = ⇔ x2+ 2x+ 1−7 = 0⇔(x+ 1)2−Ä√
7ä2 =
⇔ Ä
x+ 1−√7ä Äx+ +√7ä=
⇔
x= √7−1
x= −√7−1 Vậy vớim= phương trình có hai nghiệm phân biệt
x=√7−1
x=−√7−1 b) Ta có
∆ = (m−2)2−4·1·(−6) = (m−2)2+ 24>0∀m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệtx1,x2 với mọim
c) Phương trình ln có hai nghiệm phân biệtx1,x2với mọim Theo Vi-et ta có:
(
x1 +x2 =m−2 x1·x2 =−6 Ta có
x22−x1x2+ (m−2)x1 = 16 ⇔ x22 −x1x2+ (x1+x2)x1 = 16
⇔ x22 −x1x2+x12+x1x2 = 16⇔x21+x 2 = 16
⇔ (x1+x2)
−2x1x2−16 =
⇔ (m−2)2−2·(−6)−16 =
⇔ (m−2)2 = ⇔
"
m−2 = 2;
m−2 =−2 ⇔ "
m= 4;
m=
Vậym= 0hoặcm = 4thỏa mãn yêu cầu toán
Câu 11 Giải hệ phương trình
(
x2−xy+y−7 = 0; (1)
x2+xy−2y = (x−1) (2) Lời giải.
Biến đổi phương trình(2)của hệ:
(2) ⇔ x2+xy−2y−4 (x−1) = 0⇔Äx2−4x+ 4ä+xy−2y=
⇔ (x−2)2 +y(x−2) = 0⇔(x−2) (x−2 +y) =
⇔
"
x−2 =
x−2 +y= ⇔
"
x=
(40)• Thayx= 2vào phương trình (1) ta được4−2y+y−7 = ⇔y=−3
• Thayx= 2−yvào phương trình (1) ta
(2−y)2−(2−y)y+y−7 = 0⇔2y2−5y−3 = 0⇔
y=
y=−1
2
Vớiy= 3, ta đượcx=−1; Vớiy =−1
2 ta đượcx=
Vậy tập nghiệm hệ phương trình làS =
®
(−1; 3) ; (2;−3) ;
Ç
5 2;
−1
å´
Câu 12 Qua điểmAnằm đường trỏn(O)vẽ hai tiếp tuyếnAB,ACcủa đường tròn (C,Blà tiếp điểm) GọiE trung điểm đoạnAC, F giao điểm thứ hai củaEB với(O)
a) Chứng minh tứ giácABOC tứ giác nội tiếp vả4CEF v4BEC
b) GọiK giao điểm thứ hai củaAF với đường tròn(O) Chứng minhBF ·CK =BK ·CF c) Chứng minhAE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp4ABF
Lời giải.
B
K
C E
A O
F
a) Chứng minh tứ giácABOC tứ giác nội tiếp VìABvàAC tiếp tuyến đường trịn(O)
nên ta có ABO[ = ACO[ = 90◦ Tứ giácABOC có tổng hai góc đối ABO[ +ACO[ = 180◦ nên ABOC tứ giác nội tiếp
Chứng minh4CEF v4BEC Ta cóECF[ =
2sđCF¯(góc tạo tia tiếp tuyến dây cung);
\ EBC =
2sđCF¯ (góc nội tiếp)
Do hai tam giác có:
“
Echung;
[ ECF =
2sđCF¯ =\EBC
Vậy4CEF v4BEC theo trường hợp góc góc b) Chứng minhBF ·CK =BK·CF
Xét hai tam giácABF vàAKBcó
“
Achung;
[
(41)Do 4ABF v4AKB(g.g) Suy AB AK =
BF
KB (1)
Tương tự ta có4ACF v4AKC (g.g) AC AK =
CF
KC (2)
Ta cóAB =AC tính chất hai tiếp tuyến cắt (3) Từ (1), (2) (3) ta có BF
KB = CF
KC hayBF ·CK =BK·CF c) Từ câu a) ta có 4CEF v 4BEC nên EC
BE = 4EF EC hay EC
2 = EB ·EF Ta lại cóE là trung điểmACnênAE =EC Vậy ta có
EA2 =EF ·EB
Điều chứng tỏEAlà tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giácABF
Câu 13 Xét sốx, y, z thay đổi thỏa mãnx3 +y3 +z3−3xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thứcP =
2(x+y+z)
2
+ (x2+y2+z2−xy−yz−zx)
Lời giải. Để ý thấy
x3+y3+z3−3xyz = x3+y3+ 3x2y+ 3xy2 +z2−3x2y−3xy2−3xyz
= (x+y)3+z3−3xy(x+y+z)
= (x+y+z)Ä(x+y)2−(x+y)z+z2ä−3xy(x+y+z) = (x+y+z)Äx2+y2+z2+ 2xy−xz−yzä−3xy(x+y+z) = (x+y+z)Äx2+y2+z2−xy−yz−xzä
Đặt
(
x+y+z =a x2+y2+z2−xy−yz−xz =b Từ giả thiết ta cóa·b=
Mặt khác,P = 2a
2+ 4b=
2a
2 + 2b+ 2b Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
P ≥33
1 2a
2·2b·2b ⇔P ≥3»3
2(ab)2.
Thayab= 2ta đượcP ≥6 Dấu=xảy
(
x+y+z =2
x3+y2+z3−3xyz =
(42)8 Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành Phố Hải Phòng năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu Cho hai biểu thức
A= (√20−√45 + 3√5) : √5; B = x+
√
x
√
x +
x−9
√
x+ (vớix >0)
a) Rút gọn biểu thứcA, B
b) Tìm giá trị củaxsao cho giá trị biểu thứcB giá trị biểu thứcA Câu
a) Tìm giá trị tham sốmđể hai đồ thị hàm sốy= (m+ 4)x+ 11vày=x+m2+ 2cắt nhau điểm trục tung
b) Giải hệ phương trình
3x−
y+ =
−1 2x+
y+ =
Câu
1) Cho phương trìnhx2−2mx+ 4m−4 = (1)(xlà ẩn số,mlà tham số) a) Giải phương trình(1)khim=
b) Xác định giá trị củamđể phương trình(1)có hai nghiệm phân biệtx1, x2thỏa mãn điều kiện x21+ (x1+x2)x2 = 12
2) Bài tốn có nội dung thực tế:
Cho ruộng hình chữ nhật, biết chiều rộng tăng thêm2m, chiều dài giảm đi2m diện tích ruộng tăng thêm 30m2; chiều rộng giảm đi2m, chiều dài tăng thêm 5m thì diện tích ruộng giảm đi20m2 Tính diện tích ruộng nói trên.
Câu
1) Từ điểmAnằm ngồi đường trịn(O)vẽ hai tiếp tuyếnAD, AE (D, Elà tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ABC đường tròn(O)sao cho điểmB nằm hai điểmAvàC; tiaAC nằm hai tiaADvà AO Từ điểmOkẻ tiaOI ⊥ACtạiI
a) Chứng minh năm điểmA, D, I, O, E nằm đường trịn b) Chứng minhIAlà tia phân giác gócDIEvàAB·AC =AD2
c) GọiK vàF giao điểm EDvớiAC vàOI Qua điểmDvẽ đường thẳng song song vớiIE cắtOF vàAClần lượt tạiH vàP Chứng minhDlà trung điểm củaHP
2) Một hình trụ có diện tích xung quanhS = 140πcm2 và chiều caoh = 7cm Tính thể tích hình trụ
Câu
a) Chox, y, z số dương Chứng minh rằng(x+y+z)
Ç
1
x +
1
y+
1
z
å
≥9 b) Choa, b, clà ba số dương thỏa mãna+b+c= Tìm giá trị lớn biểu thức
A= ab
a+ 3b+ 2c+
bc
b+ 3c+ 2a +
(43)II
Lời giải
Câu Cho hai biểu thức
A= (√20−√45 + 3√5) : √5; B = x+
√
x
√
x +
x−9
√
x+ (vớix >0)
a) Rút gọn biểu thứcA, B
b) Tìm giá trị củaxsao cho giá trị biểu thứcB giá trị biểu thứcA Lời giải.
a) Ta cóA= (√20−√45 + 3√5) :√5 = (2√5−3√5 + 3√5) : √5 = 2√5 :√5 =
B = x+
√
x
√
x +
x−9
√
x+
=
√
x(√x+ 2)
√
x +
(√x+ 3)(√x−3)
√
x+ = √x+ +√x−3
= 2√x−1 b) A =B ⇔2√x−1 = 2⇔2√x= 3⇔√x=
2 ⇔x=
Câu
a) Tìm giá trị tham sốmđể hai đồ thị hàm sốy= (m+ 4)x+ 11vày=x+m2+ 2cắt nhau điểm trục tung
b) Giải hệ phương trình
3x−
y+ =
−1 2x+
y+ =
Lời giải.
a) Để hai đồ thị hàm sốy = (m+ 4)x+ 11vày=x+m2+ 2cắt điểm trục tung thì
(
m+ 46=
m2+ = 11 ⇔ (
m 6=−3
m2 = ⇔m=
b) Ta có
3x−
y+ =
−1
2x+
y+ =
⇔
6x−
y+ =−1 6x+
y+ =
⇔
2x+
y+ =
y+ =
⇔
y=
x=
Vậy hệ phương trình có nghiệm(x; y) =
Ç
1 2;
å
(44)
1) Cho phương trìnhx2−2mx+ 4m−4 = (1)(xlà ẩn số,mlà tham số) a) Giải phương trình(1)khim=
b) Xác định giá trị củamđể phương trình(1)có hai nghiệm phân biệtx1, x2thỏa mãn điều kiện x21+ (x1+x2)x2 = 12
2) Bài toán có nội dung thực tế:
Cho ruộng hình chữ nhật, biết chiều rộng tăng thêm2m, chiều dài giảm đi2m diện tích ruộng tăng thêm 30m2; chiều rộng giảm đi2m, chiều dài tăng thêm 5m thì diện tích ruộng giảm đi20m2 Tính diện tích ruộng nói trên.
Lời giải.
1) Xét phương trìnhx2−2mx+ 4m−4 = 0. (1)
a) Khim= 1phương trình(1)trở thànhx2−2x= 0⇔x(x−2) = 0⇔
"
x=
x= Vậy phương trình có hai nghiệmx= 0hoặcx=
b) Ta có ∆0 = m2−4m+ = (m−2)2 ≥ 0∀mnên để phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt x1, x2thìm 6= Theo hệ thức Vi-ét ta có
(
x1+x2 = 2m x1x2 = 4m−4 Từ giả thiết ta có
x21+ (x1+x2)x2 = 12
⇔ x21+x22+x1x2 = 12
⇔ (x1+x2)2−x1x2 = 12
⇒ 4m2 −4m−8 =
⇒ m2−m−2 =
⇒ (m+ 1)(m−2) =
⇒
"
m=−1
m= 2(loại) 2) Bài tốn có nội dung thực tế:
Gọi chiều dài, chiều rộng ruộng làx, y, đơn vị: mét, điều kiệnx > y >2 Khi diện tích ban đầu ruộng làxy(m2).
Khi giảm chiều dài đi2m tăng chiều rộng thêm2m diện tích tăng30m2 nên ta có
(x−2)(y+ 2) =xy+ 30⇔2x−2y= 34 (1) Khi tăng chiều dài lên5m giảm chiều rộng đi2m diện tích giảm20m2 nên ta có
(x+ 5)(y−2) = xy−20⇔ −2x+ 5y=−10 (2) Từ(1)và(2)ta có hệ
(
2x−2y= 34
−2x+ 5y=−10 ⇔ (
x−y = 17 3y = 24 ⇔
(
x−y = 17
y= ⇔
(
x= 25
y=
(45)Câu
1) Từ điểmAnằm đường tròn(O)vẽ hai tiếp tuyếnAD, AE (D, Elà tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ABC đường tròn(O)sao cho điểmB nằm hai điểmAvàC; tiaAC nằm hai tiaADvà AO Từ điểmOkẻ tiaOI ⊥ACtạiI
a) Chứng minh năm điểmA, D, I, O, E nằm đường tròn b) Chứng minhIAlà tia phân giác gócDIEvàAB·AC =AD2.
c) GọiK vàF giao điểm EDvớiAC vàOI Qua điểmDvẽ đường thẳng song song vớiIE cắtOF vàAClần lượt tạiH vàP Chứng minhDlà trung điểm củaHP
2) Một hình trụ có diện tích xung quanhS = 140πcm2 và chiều caoh = 7cm Tính thể tích hình trụ
Lời giải.
O A
D E
C B
I K
F H P
1)
a) Ta có\ADO = AEO[ = AIO[ = 90◦ nên năm điểm A, D, I, O, E nằm đường trịn đường kínhAO
b) Theo chứng minh tứ giácADIE nội tiếp đường trịn đường kínhAOnên AIE[ = ADE\ vàAID[ =\AED, mà\ADE =AED\(doAD, AElà hai tiếp tuyến) nênAID[ =AIE Suy ra[ IA tia phân giác gócDIE
Xét4ABE và4AECta có [
BAE chung;AEB[ =ACE[ (cùng
2sđDE), suy ra¯ 4ABE v4AEC (g.g)
⇒ AB
AE = AE
AC ⇒AB·AC =AE
2màAE =AD(tính chất tiếp tuyến) suy raAB·AC =AD2. c) DoEI ∥HP ⇒DP I[ =P IE[màP IE[ =P ID[ (chứng minh trên),⇒DP I[ =DIP[ ⇒ 4DP I cân tạiD ⇒DP =DI Lại do4HIP vuông tạiI suy raID=DP =DH hayDlà trung điểm củaHP
2) Gọi bán kính hình trịn đáy làR Ta cóS = 140πcm2và chiều caoh= 7cm vàS = 2πR·h
⇒R = 140π
2π·7 = 10 (cm)
Tính thể tích hình trụ
(46)Câu
a) Chox, y, z số dương Chứng minh rằng(x+y+z)
Ç x + y+ z å
≥9 b) Choa, b, clà ba số dương thỏa mãna+b+c= Tìm giá trị lớn biểu thức
A= ab
a+ 3b+ 2c+
bc
b+ 3c+ 2a +
ca c+ 3a+ 2b
Lời giải. a)
(x+y+z)
Ç x+ y + z å ≥9
⇔ + x
y + y x + x z + z x+ y z + z y ≥9
⇔ x y + y x + x z + z x + y z + z
y ≥6(∗) Áp dụng bất đẳng thứcAM −GM cho hai số dương x
y, y x ta có x
y + y x ≥2
x
y · y x =
Chứng minh tương tự ta có
y z +
z y ≥2;
x z +
z x ≥2; Từ suy ra(∗)được chứng minh Dấu “=” xảy khix=y =z b) Từ bất đẳng thức chứng minh ta có
x+y+z ≤
1 Ç x + y + z å Áp dụng bất đẳng thức ta có
1
a+ 3b+ 2c =
1
(a+c) + (b+c) + 2b ≤
1
Ç
1
a+c+
1
b+c+
1 2b
å
⇒ ab
a+ 3b+ 2c =
ab
(a+c) + (b+c) + 2b ≤
1
Ç
ab a+c+
ab b+c+
ab 2b å (1) Tương tự bc
b+ 3c+ 2a =
bc
(b+a) + (c+a) + 2c ≤
1
Ç
bc a+b +
bc a+c +
bc
2c
å
(2)
ca
c+ 3a+ 2b =
ca
(c+b) + (a+b) + 2a ≤
1
Å ca
c+b + ca a+b +
ca
2a
ã
(3)
Do đóA= ab
a+ 3b+ 2c +
bc
b+ 3c+ 2a +
ca
c+ 3a+ 2b ≤
1 9·
3
2(a+b+c) =
6(a+b+c) =
VậymaxA= ⇔a=b=c=
(47)9 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Nghệ An năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu Rút gọn biểu thức sau a) A = (√12−2√5)√3 +√60; b) B =
√
4x x−3 ·
x2−6x+ 9
x với0< x <3
Câu Xác định hàm số bậc nhấty = ax+b, biết đồ thị hàm số qua hai điểmM(1;−1)và N(2; 1)
Câu Cho phương trình:x2−2mx+m2−m+ = (1), (mlà tham số) a) Giải phương trình (1) vớim=
b) Tìm giá trị củamđể phương trình (1) có hai nghiệmx1,x2 biểu thứcP =x1x2 −x1−x2 đạt giá trị nhỏ
Câu Tình cảm gia đình có sức mạnh thật phi thường Bạn Vì Quyết Chiến - cậu bé13tuổi thương nhớ em trai vượt qua quãng đường dài180km từ Sơn La đến bệnh viện nhi Trung ương Hà Nội để thăm em Sau xe đạp7giờ, bạn lên xe khách tiếp1giờ30phút đến nơi Biết vận tốc xe khách lớn vận tốc xe đạp là35km/h Tính vận tốc xe đạp bạn Chiến
Câu Cho đường trịn(O)có hai đường kínhABvàM N vng góc với Trên tia đối tiaM A lấy điểmCkhác điểmM KẻM H vng góc vớiBC (HthuộcBC)
a) Chứng minhBOM Hlà tứ giác nội tiếp
b) M B cắtOH tạiE Chứng minhM E·M H =BE ·HC
c) Gọi giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác M HC K Chứng minh ba điểmC,K,Ethẳng hàng
Câu Giải phương trình:√5x2+ 27x+ 25−5√x+ =√x2−4.
II
Lời giải
Câu Rút gọn biểu thức sau a) A = (√12−2√5)√3 +√60; b) B =
√
4x x−3 ·
x2−6x+ 9
x với0< x <3 Lời giải.
a) A = (√12−2√5)√3 +√60 =√36−2√15 + 2√15 = b) Với0< x <3, ta cóB =
√
4x x−3·
x2−6x+ 9
x
Vì0< x <3nênx−3<0, suy ra|x−3|=−(x−3) VậyB =
√
x x−3 ·
|x−3| √
x =
2
x−3·
(48)Câu Xác định hàm số bậc nhấty = ax+b, biết đồ thị hàm số qua hai điểmM(1;−1)và N(2; 1)
Lời giải.
Vì đồ thị hàm số quaM(1;−1)vàN(2; 1)nên ta có hệ phương trình
(
a+b=−1 2a+b= ⇔
(
a=
b=−3
Vậyy= 2x−3
Câu Cho phương trình:x2−2mx+m2−m+ = (1), (mlà tham số) a) Giải phương trình (1) vớim=
b) Tìm giá trị củamđể phương trình (1) có hai nghiệmx1,x2 biểu thứcP =x1x2 −x1−x2 đạt giá trị nhỏ
Lời giải.
a) Vớim = 4, phương trình (1) trở thành:x2 −8x+ 15 =
Ta có∆ = (−8)2−4·1·15 = 4>0nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
8 +√4 2·1 =
10 = 5;
x2 = 8−
√
4 2·1 =
6 =
Vậy phương trình có hai nghiệm x= 3vàx=
b) Ta có∆0 = (−m)2−1·(m2−m+ 3) =m2−m2+m−3 =m−3 Để phương trình (1) có hai nghiệmx1,x2
∆0 ≥0⇔m−3≥0⇔m≥3 Vớim ≥3, theo hệ thức Vi-ét, ta có
S =x1+x2 =
2m
1 = 2m;
P = m
2−m+ 3
1 =m
2 −m+ 3. Xét biểu thức
P = x1x2−x1−x2 =x1x2 −(x1+x2) = m2−m+ 3−2m
= m2−3m+ =m(m−3) + 3≥3(dom≥3) P đạt giá trị nhỏ là3khi khim =
(49)Lời giải.
Gọi vận tốc xe đạp bạn Chiến làx(km/h), (x >0) Vận tốc xe khách làx+ 35(km/h)
Quãng đường bạn Chiến xe đạp là7x(km) Quãng đường bạn Chiến xe khách
2(x+ 35)(km)
Quãng đường bạn Chiến là180km nên ta có phương trình
7x+
2(x+ 35) = 180
Giải phương trình ta kết quảx= 15(thỏa mãn điều kiện)
Vậy bạn Chiến xe đạp với vận tốc15km/h
Câu Cho đường trịn(O)có hai đường kínhABvàM N vng góc với Trên tia đối tiaM A lấy điểmCkhác điểmM KẻM H vng góc vớiBC (HthuộcBC)
a) Chứng minhBOM Hlà tứ giác nội tiếp
b) M B cắtOH tạiE Chứng minhM E·M H =BE ·HC
c) Gọi giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác M HC K Chứng minh ba điểmC,K,Ethẳng hàng
Lời giải.
N M
A
E
B H
C K
O
a) Xét tứ giácBOM H cóBOM\ = 90◦;BHM\ = 90◦ (giả thiết)
Do BOM\ +BHM\ = 90◦ + 90◦ = 180◦, suy tứ giácBOM H nội tiếp đường trịn đường kínhBM
b) Theo câu a) tứ giácBOM Hnội tiếp đường trịn đường kínhBM, màOM =OB Do
˘
OM =OB¯ ⇒M HO\ =OHB.\
Suy raHE tia phân giác của4M BH ⇒ M E
BE = M H
BH (1)
Mặt khác4HM C v4HBM (góc - góc)⇒ M H
HB = HC
HM (2)
Từ (1) (2) suy M E BE =
HC
HM ⇒M E·HM =BE·BC c) Theo câu b), ta có M E
BE = HC HM
Mặt khác,4HM C v4HBM (góc - góc)
⇒ HC
HM =
M C BM =
M C
BN(BM =BN)⇒ M C BN =
M E BE
(50)Câu Giải phương trình:√5x2+ 27x+ 25−5√x+ =√x2−4.
Lời giải.
Điều kiện xác định:x≥2
√
5x2 + 27x+ 25−5√x+ =√x2−4
⇔ √5x2 + 27x+ 25 = 5√x+ +√x2−4
⇔ 5x2+ 27x+ 25 = 25(x+ 1) +x2−4 + 10»(x2−4) (x+ 1)
⇔ 2x2+x+ 2−5»(x2−4) (x+ 1) = 0
⇔ 2Äx2 −x−2ä−5»(x2 −x−2) (x+ 2) + 3(x+ 2) = 0. Đặt√x2 −x−2 = a≥0;√x+ =b≥2 Phương trình trở thành
2a2−5ab+ 3b2 = ⇔(2a−3b)(a−b) = 0⇔
"
a=b
2a= 3b
• Vớia=b⇒√x2−x−2 = √x+ 2⇔x2−2x−4 = 0⇔
x= +√5 (thỏa mãn)
x= 1−√5 (khơng thỏa)
• Với2a= 3b⇒4Äx2−x−2ä= 9(x+ 2) ⇔4x2−13x−26 =
⇔
x= 13 +
√
65
8 (thỏa mãn)
x= 13−3
√
65
8 (khơng thỏa)
Vậy phương trình có hai nghiệm làx= +√5;13 +
√
65
(51)10 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Phú Thọ năm học 2019-2020
I
Đề bài
Phần trắc nghiệm
Câu Tìmx, biết√x=
A x= B x= C x= D x= 16 Câu Hàm số đồng biến trênR?
A y=−1
2x B y=−2x C y= 2x+ D y=−3x+
Câu Điểm thuộc đường thẳngy = 3x−5?
A M(3;−5) B N(1;−2) C P(1; 3) D Q(3; 1)
Câu Hệ phương trình
2x+y=
3x+ 2y= có nghiệm
A (x;y) = (−2; 5) B (x;y) = (5;−2) C (x;y) = (2; 5) D (x;y) = (5; 2) Câu Giá trị hàm sốy=
2x
2 tạix=−2bằng
A −1 B C D
Câu Biết Parabol y = x2 cắt đường thẳngy = −3x+ 4 tại hai điểm phân biệt có hồnh độ là x1, x2(x1 < x2) Giá trịT = 2x1+ 3x2
A −5 B −10 C D 10 Câu Cho tam giácABC vuông tạiA Khẳng định đúng?
A tanC = AC
BC B tanC =
AB
AC C tanC =
AB
BC D tanC =
AC AB Câu
Cho tứ giácABCDnội tiếp đường trịn đường kínhAC BiếtDBC\= 55◦, số đo\ACDbằng
A 30◦ B 40◦ C 45◦ D 35◦
55
◦
A C
D
B O
Câu Cho tam giácABC vuông cân tạiAcóAB=a Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giácABC
A a B 2a C a
√
2
2 D a
√
2
Câu 10 Từ tơn hình chữ nhật có chiều dài bằng2(m), chiều rộng bằng1(m) gị thành mặt xung quanh hình trụ có chiều cao1(m), (hai cạnh chiều rộng hình chữ nhật sau gị trùng khít nhau) Thể tích hình trụ bằng:
A
πm
3. B
2πm
3. C 2πm3. D 4πm3.
Phần tự luận
Câu 11 Lớp 9A lớp 9B trường THCS dự định làm 90 đèn ông để tặng em thiếu nhi Tết Trung Thu Nếu lớp9A làm trong2ngày lớp9B trong1ngày được23
(52)từng lớp làm ngày nhau, hỏi hai lớp làm hết ngày để hồn thành cơng việc dự định?
Câu 12 Cho phương trình:x2−mx−3 = 0(vớimlà tham số) a) Giải phương trình vớim = 2;
b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị củam c) Gọix1,x2 hai nghiệm phương trình Tìmmđể(x1+ 6) (x2+ 6) = 2019
Câu 13 Cho tam giácABC vng tạiAcó đường caoAD(D∈BC) GọiI trung điểm củaAC, kẻ AHvng góc vớiBI tạiH
a) Chứng minh tứ giácABDH nội tiếp Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giácABDH b) Chứng minh tam giácBDH đồng dạng với tam giácBIC
c) Chứng minhAB·HD=AH·BD=
2AD·BH
Câu 14 Giải hệ phương trình sau:
x2 x+ +
y2 y−1 =
x+
x+ +
y−2
y−1 =y−x
II
Lời giải
Phần trắc nghiệm
Câu Tìmx, biết√x=
A x= B x= C x= D x= 16
Lời giải.
√
x= ⇔x= 42 = 16(vìx >0).
Chọn đáp án D
Câu Hàm số đồng biến trênR?
A y=−1
2x B y=−2x C y= 2x+ D y=−3x+
Lời giải.
Hàm sốy= 2x+ 1cóa= >0nên đồng biến trênR
Chọn đáp án C
Câu Điểm thuộc đường thẳngy = 3x−5?
A M(3;−5) B N(1;−2) C P(1; 3) D Q(3; 1) Lời giải.
• Vớix= 3thìy= 3·3−5 = 4nên điểmM(3;−5)khơng thuộc đường thẳngy= 3x−5
• Vớix= 1thìy= 3·1−5 = −2nên điểmN(1;−2)thuộc đường thẳngy= 3x−5
(53)Câu Hệ phương trình
2x+y=
3x+ 2y= có nghiệm
A (x;y) = (−2; 5) B (x;y) = (5;−2) C (x;y) = (2; 5) D (x;y) = (5; 2) Lời giải.
Hệ phương trình
2x+y=
3x+ 2y = có nghiệm là(x;y) = (−2; 5)
Chọn đáp án A
Câu Giá trị hàm sốy= 2x
2 tạix=−2bằng
A −1 B C D
Lời giải.
Vớix=−2thìy=
2·(−2)
2 = 2.
Chọn đáp án C
Câu Biết Parabol y = x2 cắt đường thẳngy = −3x+ 4 tại hai điểm phân biệt có hồnh độ là x1, x2(x1 < x2) Giá trịT = 2x1+ 3x2
A −5 B −10 C D 10 Lời giải.
Phương trình hồnh độ giao điểm Paraboly=x2và đường thẳngy=−3x+ 4là x2 =−3x+ 4⇔x2+ 3x−4 = 0⇔
"
x=
x=−4 Vìx1 < x2 nênx1 =−4,x2 =
Do đóT = 2x1+ 3x2 = 2·(−4) + 3·1 = −5
Chọn đáp án A
Câu Cho tam giácABC vuông tạiA Khẳng định đúng?
A tanC = AC
BC B tanC =
AB
AC C tanC = AB
BC D tanC =
AC AB Lời giải.
Ta cótanC = AB
AC A
B C
Chọn đáp án B
Câu
Cho tứ giácABCDnội tiếp đường tròn đường kínhAC BiếtDBC\= 55◦, số đo\ACDbằng
A 30◦ B 40◦ C 45◦ D 35◦
55
◦
A C
D
B O
(54)Ta cóABC[ = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy \
ABD= 90◦ = 90◦ −DBC\ = 90◦−55◦ = 35◦ Mà\ACD=\ABD(hai góc nội tiếp chắnAD) nên¯ \ACD= 35◦
Chọn đáp án D
Câu Cho tam giácABC vng cân tạiAcóAB=a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC
A a B 2a C a
√
2 D a
√
2 Lời giải.
Ta cóBC =√AB2+AC2 =√a2 +a2 =a√2.
Do4ABC vuông cân tạiAnên nội tiếp đường trịn đường kínhBC Do bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC làr=
2BC =
a√2
a
A
B C
Chọn đáp án C
Câu 10 Từ tơn hình chữ nhật có chiều dài bằng2(m), chiều rộng bằng1(m) gò thành mặt xung quanh hình trụ có chiều cao1(m), (hai cạnh chiều rộng hình chữ nhật sau gị trùng khít nhau) Thể tích hình trụ bằng:
A πm
3. B
2πm
3. C 2πm3. D 4πm3.
Lời giải.
Bán kính đường tròn đáy:r= C 2π =
2 2π =
1
π (m) Thể tích hình trụ là:V =π·r2·h=π·
Ç
1
π
å2
·1 =
π (m 3).
Chọn đáp án A
Phần tự luận
Câu 11 Lớp 9A lớp 9B trường THCS dự định làm 90 đèn ông để tặng em thiếu nhi Tết Trung Thu Nếu lớp9A làm trong2ngày lớp9B trong1ngày được23
chiếc đèn, lớp9Alàm trong1ngày lớp9B trong2ngày được22chiếc đèn Biết số đèn lớp làm ngày nhau, hỏi hai lớp làm hết ngày để hồn thành công việc dự định?
Lời giải.
Gọi số đèn lồng lớp9Alàm làx(chiếc đèn)(x∈N∗, x <90).
Số đèn lồng lớp9B làm ngày lày(chiếc đèn)(y∈N∗, y <90).
Nếu lớp9Alàm ngày lớp9B làm ngày được23chiếc đèn nên ta có phương trình
2x+y= 23 (1)
Nếu lớp9Alàm ngày lớp9B làm ngày được22chiếc đèn nên ta có phương trình
x+ 2y= 22 (2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
(
2x+y= 23
x+ 2y= 22 ⇔ (
x= (thỏa)
(55)Suy ngày, hai lớp làm số đèn là8 + = 15chiếc đèn
Vậy hai lớp làm hết90chiếc đèn xong trong90 : 15 = 6ngày Câu 12 Cho phương trình:x2−mx−3 = 0(vớimlà tham số).
a) Giải phương trình vớim = 2;
b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị củam c) Gọix1,x2 hai nghiệm phương trình Tìmmđể(x1+ 6) (x2+ 6) = 2019 Lời giải.
a) Vớim = 2thì phương trình trở thành:x2−2x−3 = ⇔
"
x=−1
x=
b) Ta có∆ = (−m)2−4·(−3) =m2+ 12>0, ∀mphương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
c) Vì phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị mnên theo hệ thức Vi-ét, ta có
(
S=x1+x2 =m P =x1x2 =−3 Xét đẳng thức
(x1 + 6) (x2+ 6) = 2019 ⇔ x1x2+ 6(x1+x2) + 36 = 2019
⇔ (−3) + 6m+ 36 = 2019
⇔ 6m = 1986⇔m = 331
Vậy vớim= 331thì phương trình cho có hai nghiệm phân biệtx1,x2 thỏa(x1+ 6) (x2+ 6) = 2019
Câu 13 Cho tam giácABC vuông tạiAcó đường caoAD(D∈BC) GọiI trung điểm củaAC, kẻ AHvng góc vớiBI tạiH
a) Chứng minh tứ giácABDH nội tiếp Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giácABDH b) Chứng minh tam giácBDH đồng dạng với tam giácBIC
c) Chứng minhAB·HD=AH·BD=
2AD·BH
Lời giải.
I A
B C
D H
(56)• AHB\= 90◦(AH ⊥BI);
• \ADB = 90◦(ADlà đường cao của4ABC)
Suy ra\AHB =\ADB= 90◦ Do tứ giácABDH nội tiếp đường trịn đường kínhAB b) Ta có
• \BAD =BCI[ (cùng phụ vớiABC[);
• \BAD =BHD\ (góc nội tiếp chắn cungBD) Suy raBHD\ =BCI.[
Xét4BDH và4BIC có
• DBH\ =IBC[ (góc chung);
• BHD\ =BCI[ (chứng minh trên)
⇒ 4BDH v4BIC (góc - góc) c) Ta có
• 4BDH v4BIC ⇒ BH
BC = HD IC = HD 2AC ⇒ HB HD = 2BC
AC (3)
• 4ADBv4CAB (g.g)⇒ AD
CA = AB BC ⇔ BC AC = AB
AD (4)
Từ (3) (4) suy HB HD =
2AB
AD ⇔HD·AB =
1
2AD·BH (5)
• 4BDH v4BIC ⇒ IB
IC = BD HD ⇒ IB IA = BD
HD (6)
• 4AHB v4IAB(g.g)⇒ IB
IA = AB
AH (7)
Từ (6) (7) suy DB HD =
AB
AH ⇔AH·BD =AB·HD (8)
Từ (5) (8), suy
AB·HD=AH·BD=
2AD·BH
Câu 14 Giải hệ phương trình sau:
x2 x+ +
y2 y−1 =
x+
x+ +
y−2
y−1 =y−x
Lời giải. Điều kiện:
(
x+ 16=
y−16= ⇔ (
x6=−1
y6=
x2 x+ +
y2 y−1 =
x+
x+ +
y−2
y−1 =y−x
⇔ x2
x+ −2 +
y2
y−1−2 =
x+
x+ +x+
y−2
(57)⇔
x2 −2x−2
x+ +
y2−2y+
y−1 = (1)
x2 + 2x+ 2 x+ −
y2−2y+ 2
y−1 = (2) (1)−(2) ⇔ −4x−4
x+ + 2y2 y−1 =
⇔ −4 + 2y
2−4y+ 4
y−1 = 0⇔
2y2−4y+ 4 y−1 =
⇔ 2y2 −4y+ = 4y−4⇔2y2−8y+ =
⇔ 2(y−2)2 = 0⇔y= (n) Thayy= 2vào phương trình x
2 x+ +
y2
y−1 = 4, ta có
x2 x+ +
4
1 = 4⇔
x2
x+ + = 4⇔
x2
x+ = ⇔x= 0⇒y=
(58)11 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thái Bình năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu ChoA= x+
√
x+
√
x+ vàB =
√
x−1 −
x+
x√x−1 −
√
x+
x+√x+ vớix≥0, x6=
a) Tính giá trị biểu thứcAkhix= b) Rút gọn biểu thứcB
c) Tìmxsao choC =−A·B nhận giá trị số nguyên Câu
a) Giải hệ phương trình
(
4x+y=
2x−y = (không sử dụng máy tính cầm tay)
b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích150m2 Biết rằng, chiều dài mảnh vườn chiều rộng mảnh vườn 5m Tính chiều rộng mảnh vườn
Câu Cho hàm sốy= (m−4)x+m+ 4(mlà tham số)
a) Tìmmđể hàm số cho cho hàm số bậc đồng biến trênR
b) Chứng minh với giá trị củamthì đồ thị hàm số cho ln cắt parabol(P) :y =x2tại hai điểm phân biệt Gọix1, x2là hoành độ giao điểm, tìmmsao chox1(x1−1) +x2(x2−1) = 18 c) Gọi đồ thị hàm số cho đường thẳng (d) Chứng minh khoảng cách từ điểm O(0; 0)đến (d)
khơng lớn hơn√65
Câu Cho đường trịn tâmOđường kínhAB Kẻ dây cungCD vng góc vớiABtạiH (Hnằm AvàO,H khácAvàO) Lấy điểmGthuộcCH (GkhácCvàH), tiaAGcắt đường tròn tạiE khácA
a) Chứng minh tứ giácBEGH tứ giác nội tiếp
b) GọiK giao điểm hai đường thẳngBE vàCD Chứng minhKC·KD=KE·KB c) Đoạn thẳngAK cắt đường trònOtạiF khácA Chứng minhGlà tâm đường tròn nội tiếp tam giác
HEF
d) GọiM, N hình chiếu vng góc củaA vàB lên đường thẳngEF Chứng minhHE+
HF =M N
Câu Choa,b,clà số thực dương thỏa mãna+b+c+ab+bc+ac= Chứng minh a3
b + b3
c + c3
(59)II
Lời giải
Câu ChoA= x+
√
x+
√
x+ vàB =
√
x−1 −
x+
x√x−1 −
√
x+
x+√x+ vớix≥0, x6=
a) Tính giá trị biểu thứcAkhix= b) Rút gọn biểu thứcB
c) Tìmxsao choC =−A·B nhận giá trị số nguyên Lời giải.
a) CóA= x+
√
x+
√
x+ =
(√x−1)(x+√x+ 1)
x−1 =
√
x3−1 x−1
Khix= ⇒A= 2√2−1 b) B = x+
√
x+ 1−(x+ 2)−(√x+ 1)(√x−1) (√x−1)(x+√x+ 1) =
−x+√x
(√x−1)(x+√x+ 1) =
−√x x+√x+
c) CóC =−A·B =− √
x3−1 x−1 ·
Ç −√
x x+√x+
å
=
√
x
√
x+ = 1−
√
x+
Có√x+ ≥1, x≥0, x6=
C nhận giá trị số nguyên⇔√x+ = 1⇔x= 0(nhận)
Câu
a) Giải hệ phương trình
(
4x+y=
2x−y = (khơng sử dụng máy tính cầm tay)
b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích150m2 Biết rằng, chiều dài mảnh vườn chiều rộng mảnh vườn 5m Tính chiều rộng mảnh vườn
Lời giải.
a) Có
(
4x+y= 2x−y= ⇔
(
6x=
2x−y= ⇔
x=
y =
Vậy nghiệm hệ
Ç 3; å
b) Gọix, y chiều dài, chiều rộng mảnh vườn, điều kiệnx >0, y >0, x > y Có
(
x−y=
xy= 150 ⇔ (
x=y+
y(y+ 5) = 150 (1)
(1) ⇔y2+ 5y−150 = 0⇔
"
y= 10 (nhận) y=−15 (loại) Vậy chiều rộng mảnh vườn 10(m)
Câu Cho hàm sốy= (m−4)x+m+ 4(mlà tham số)
(60)b) Chứng minh với giá trị củamthì đồ thị hàm số cho cắt parabol(P) :y =x2tại hai điểm phân biệt Gọix1, x2là hoành độ giao điểm, tìmmsao chox1(x1−1) +x2(x2−1) = 18 c) Gọi đồ thị hàm số cho đường thẳng (d) Chứng minh khoảng cách từ điểm O(0; 0)đến (d)
không lớn hơn√65 Lời giải.
a) Hàm sốy= (m−4)x+m+ 4đồng biến trênR⇔m−4>0⇔m >4 Vậym >4thì hàm số đồng biến trênR
b) (d) : y= (m−4)x+m+ 4,(P) : y=x2
Phương trình hồnh độ giao điểm (d),(P) :x2 = (m−4)x+m+ 4.
⇔x2−(m−4)x−(m+ 4) = 0(1), Cóa= 1 6= 0.
Có∆ = (m−4)2+ 4(m+ 4) =m2−4m+ 32 = (m−2)2+ 28>0,∀m ∈R Do
(
a6=
∆>0,∀m ∈R
Suy ra(d)luôn cắt(P)tại hai điểm phân biệt
Cóx1(x1−1) +x2(x2−1) = 18⇔x21+x22−(x1+x2)−18 =
⇔(x1+x2)2−2x1x2−(x1 +x2)−18 = 0, mà
(
x1+x2 =m−4 x1x2 =−(m+ 4)
⇔(m−4)2+2(m+4)−(m−4)−18 = 0⇔m2−7m+10 = 0⇔(m−5)(m−2) = 0⇔
"
m=
m=
Vậym= 5, m= 2thỏa yêu cầu toán
c) (d) : y= (m−4)x+m+ 4cắtOx, Oylần lượt ởA
Ç
−m+
m−4;
å
vàB(0;m+ 4)
Xétm−4 = 0⇔m = 4thì(d) :y= 8,(d)song song trụcOx, (d)cắt trụcOytại điểmB(0; 8) Có khoảng cách từO đến đường thẳng(d)làOB =
GọiH hình chiếu củaOlên đường thẳng(d)
4OAB vng tạiOcóOH ⊥AB CóOH ·AB=OA·OB
1
OH2 =
1
OA2 +
1
OB2 =
(m−4)2
(m+ 4)2 +
1 (m+ 4)2 =
(m−4)2+ 1
(m+ 4)2
⇒OH2 = (m+ 4)
(m−4)2 + 1
Giả sửOH > √65⇔OH2 >65⇔ (m+ 4)
2
(m−4)2+ 1 >65⇔m
2+8m+16>65 (m2−8m+ 17).
⇔64m2−528m+ 1089<0⇔(8m)2−2.16.8m+ 332 <0⇔(8m−33)2 <0(sai). VậyOH ≤√65
Câu Cho đường trịn tâmOđường kínhAB Kẻ dây cungCD vng góc vớiABtạiH (Hnằm AvàO,H khácAvàO) Lấy điểmGthuộcCH (GkhácCvàH), tiaAGcắt đường tròn tạiE khácA
a) Chứng minh tứ giácBEGH tứ giác nội tiếp
b) GọiK giao điểm hai đường thẳngBE vàCD Chứng minhKC·KD=KE·KB c) Đoạn thẳngAK cắt đường trònOtạiF khácA Chứng minhGlà tâm đường tròn nội tiếp tam giác
HEF
d) GọiM, N hình chiếu vng góc củaA vàB lên đường thẳngEF Chứng minhHE+
(61)Lời giải.
Q D K
E
M
N
A B
T F
C
O G
H
a) CóBHG\ =\BEG= 90◦ ⇒BHG\+\BEG= 180◦
⇒Tứ giácBEGH nội tiếp đường trịn đường kínhBG b) CóKEC\ =KDB,\ EKC\ =DKB\ (góc chung)
⇒∆KEC ∼∆KDB⇒ KE
KD = KC
KB ⇒KC·KD=KE ·KB
c) ∆KABcó ba đường caoAE, BF,KH đồng qui tạiG Suy raGlà trực tâm của∆KAB CóGHE\ =\GBE =
2sđGE¯ (trong đường trịnBEGH)
Có\GBE =GAF[ =
2sđEF¯ (trong đường trịn(O))
CóGAF[ =GHF\=
2sđEG¯ (tứ giácAF GH nội tiếp đường trịn đường kínhAG)
Suy raGHE\ =GHF\⇒HGlà tia phân giác củaEHF\ Tương tựEGlà tia phân giác củaF EG.[
∆EHF có hai tia phân giácHGvàEGcắt tạiG Suy raGlà tâm đường tròn nội tiếp∆EHF d) GọiQlà giao điểm tiaEHvà đường trịn(O)
Có\EOB = 2\EF B =sđEB¯,2\EF B =EF O[ (doF Glà tia phân giác củaEF H\)
⇒ \EOB = EF H\ ⇒Tứ giác EF HO nội tiếp đường tròn.⇒ F OH\ = F EH\ =
2sđ_EQı =
1
2F OQ[ ⇒F OH\ = 2F OQ.[
⇒ OH tia phân giác F OQ[ ∆OF H,∆OQH có OH chung, OF = OQ, F OH\ = QOH\
⇒∆OF H = ∆OQH ⇒HF =HQ Do HE+HF =HE+HQ=EQ
CóAM N\ =M N T\ =N T A[ = 90◦ Suy raAM N T hình chữ nhật, nênAT =M N Suy raAQ_ =F A_ =ET_ ⇒AE//QT, màAET Qnội tiếp đường trịn(O)
⇒AET Qlà hình thang cân⇒EQ=AT =M N VậyHE+HF =M N
(62)Câu Choa,b,clà số thực dương thỏa mãna+b+c+ab+bc+ac= Chứng minh a3
b + b3
c + c3
a ≥3
Lời giải. ĐặtP = a
3 b +
b3 c +
c3 a
Cóa, b, clà số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có
a3
b +ab≥2a
b3
c +bc≥2b
2.⇒P = a3 b +
b3 c +
c3 a ≥2
Ä
a2+b2+c2ä−(ab+bc+ac)
c3
a +ac≥2c
Màa+b+c+ab+bc+ac=
⇒P ≥2 (a2+b2+c2) + (a+b+c)−6.
Có(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2 ≥0⇒2 (a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)⇒3 (a2+b2+c2)≥(a+b+c)2 Suy raP ≥
3(a+b+c)
2+ (a+b+c)−6.
Cóab+bc+ca≤a2+b2+c2 ⇒3(ab+bc+ac)≤(a+b+c)2. Do đó6 =a+b+c+ab+bc+ac≤a+b+c+1
3(a+b+c)
2 ⇒
3(a+b+c)
2+ (a+b+c)−6≥0.
⇒(a+b+c)≥3,(a+b+c)2 ≥9 Suy raP ≥
3·9 + 3−6 = Dấu đẳng thức xảy khia=b=c
Vậy a b +
b3 c +
c3
(63)12 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thanh Hóa năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu Cho biểu thứcA=
√
x+
√
x+ −
5
x+√x−6 −
√
x−2 vớix≥0; x6=
a) Rút gọnA;
b) Tìm giá trị củaAkhix= + 4√2 Câu
a) Cho đường thẳng (d) : y = ax +b Tìm a, b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng
(d0) :y= 5x+ 6và qua điểmA(2; 3) b) Giải hệ phương trình
(
3x+ 2y= 11
x+ 2y=
Câu
a) Giải phương trìnhx2−4x+ = 0.
b) Cho phương trình:x2−2(m−1)x+ 2m−5 = 0vớimlà tham số Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệtx1, x2 với mọim Tìmmđể nghiệm thỏa mãn hệ thức
Ä
x21 −2mx1−x2+ 2m−3
ä Ä
x22−2mx2−x1+ 2m−3
ä
= 19 (1) Câu Từ điểmAnằm ngồi đường trịn tâmObán kínhR, kẻ tiếp tuyếnAB, AC với đường tròn (B,C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểmM khác B vàC GọiI, K, P hình chiếu vng góc củaM đường thẳngAB,AC,BC
a) Chứng minh tứ giácAIM K nội tiếp; b) Chứng minhM P K\ =M BC;\
c) Xác định vị trí điểmM cung nhỏBC để tíchM I·M K·M P đạt giá trị nhỏ Câu Cho số thựca, b, cthỏa mãnabc= Chứng minh
ab
a4+b4+ab +
bc
b4 +c4+bc +
ca
c4+a4+ca ≤1
II
Lời giải
Câu Cho biểu thứcA=
√
x+
√
x+ −
5
x+√x−6 −
√
x−2 vớix≥0; x6=
a) Rút gọnA;
(64)a) Ta cóA=
√
x+
√
x+ −
5
(√x+ 3)(√x−2)−
√
x−2 = x−4−5−(
√
x+ 3) (√x+ 3)(√x−2) = x−
√
x−12 (√x+ 3)(√x−2) =
√
x−4
√
x−2
b) Ta cóx= + 4√2 = (2 +√2)2nên√x= +√2. Thay√x= +√2vàoAta đượcA = (2 +
√
2)−4 (2 +√2)−2 =
2−√2
2 = 1−
√
2 Vậy vớix= + 4√2thìA= 1−√2
Câu
a) Cho đường thẳng (d) : y = ax +b Tìm a, b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng
(d0) :y= 5x+ 6và qua điểmA(2; 3) b) Giải hệ phương trình
(
3x+ 2y= 11
x+ 2y=
Lời giải.
a) Vì(d)∥ (d0)nên
(
a=
b6=
Vì(d)đi quaA(2; 3)nên ta có3 = 5·2 +b⇒b =−7(thỏa mãn) Vậya= 5; b=−7khi (d) :y= 5x−7
b)
(
3x+ 2y= 11
x+ 2y= ⇔ (
3x+ 2y= 11 2x= ⇔
(
x=
y=
Câu
a) Giải phương trìnhx2−4x+ = 0.
b) Cho phương trình:x2−2(m−1)x+ 2m−5 = 0vớimlà tham số Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệtx1, x2 với mọim Tìmmđể nghiệm thỏa mãn hệ thức
Ä
x21 −2mx1−x2+ 2m−3
ä Ä
x22−2mx2−x1+ 2m−3
ä
= 19 (1) Lời giải.
a) Ta cóa+b+c= 1−4 + = 0nên phương trình có hai nghiệm phân biệtx1 = 1; x2 = b) Ta có∆0 = (m−1)2−2m+ =m2−4m+ = (m−2)2+ 2>0∀m, nên phương trình ln
có hai nghiệm phân biệtx1, x2 với mọim
Ta biến đổix2−2(m−1)x+ 2m−5 = 0⇔x2−2mx+ 2m−3 = 2−2x Vìx1; x2 nghiệm phương trình nên ta có
(65)Thay vào (1) ta
Ä
x21−2mx1 −x2 + 2m−3
ä Ä
x22−2mx2−x1+ 2m−3
ä
= 19
⇔ (2−2x1−x2) (2−2x2−x1) = 19
⇔2 (x1+x2)2−6 (x1+x2) +x1x2 = 15 (2) Theo định lí Vi-ét ta có
(
x1+x2 = 2(m−1) x1x2 = 2m−5
Thay vào (2) ta có
8(m−1)2−12(m−1) + 2m−5 = 15⇔8m2−26m= ⇔
m =
m = 13
Vậym∈
®
0;13
´
Câu Từ điểmAnằm ngồi đường trịn tâmObán kínhR, kẻ tiếp tuyếnAB, AC với đường tròn (B,C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểmM khác B vàC GọiI, K, P hình chiếu vng góc củaM đường thẳngAB,AC,BC
a) Chứng minh tứ giácAIM K nội tiếp; b) Chứng minhM P K\ =M BC;\
c) Xác định vị trí điểmM cung nhỏBC để tíchM I·M K·M P đạt giá trị nhỏ Lời giải.
A O
P B
I
C M
K
a) Xét tứ giácAIM K cóAIM[ +AKM\ = 90◦ + 90◦ = 180◦ nên tứ giácAIM K nội tiếp b) Chứng minh tương tự câu a) ta suy tứ giácKCP M nội tiếp
Nên suy raM CK\ =M P K\ (hai góc nội tiếp chắn cungM K) (1)
MàM CK\ =P BM\ (cùng chắn cungM C (O) (2)
(66)c) Xét4IM P và4P M Kcó
[
M IP =M P K\ [
M P I =M KP\ nên suy ra4IM P v4P M K (g.g) suy
IM M P =
M P
M K ⇒M I·M K =M P
2 ⇒M I·M K·M P =M P3.
ĐểM I·M K·M P lớn khiM P lớn nhất, nênM điểm cung nhỏBC Câu Cho số thựca, b, cthỏa mãnabc= Chứng minh
ab
a4+b4+ab +
bc
b4 +c4+bc +
ca
c4+a4+ca ≤1 Lời giải.
Áp dụng BĐT Cơ-si cho hai số dương ta có
a4+b4 ≥2a2b2; b4+c4 ≥2b2c2; c4+a4 ≥2c2a2 Suy
ab
a4+b4+ab+
bc
b4+c4+bc +
ca
c4+a4+ca ≤
1 2ab+ +
1 2bc+ +
1 2ca+
Ta phải chứng minh
1 2ab+ +
1 2bc+ +
1
2ca+ ≤1
Thật
1 2ab+ +
1 2bc+ +
1
2ca+ ≤1
⇔4abc(a+b+c) + 4(ab+bc+ca) + 3≤8(abc)2+ 4abc(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) +
⇔ab+bc+ca≥6 (1)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cơ-si ta có
ab+bc+ca≥ √3
a2b2c2 = 3.
Vậy ta hoàn tất chứng minh Dấu “=” xảy khia=b=c=
(67)13 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu
a) Giải phương trìnhx2−3x+ = 0. b) Giải hệ phương trình
(
x+ 3y= 4x−3y=−18 c) Rút gọn biểu thứcA=
3 +√7+
√
28 −2
d) Giải phương trình(x2−2x)2+ (x−1)2−13 = 0.
Câu Cho parabol(P) :y=−2x2 đường thẳng(d) :y =x−m(vớimlà tham số) a) Vẽ parabol(P)
b) Tìm tất giá trị tham sốm để đường thẳng(d)cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt có hồnh độx1; x2thỏa mãn điều kiện
x1+x2 =x1x2
Câu Có vụ tai nạn vị tríB chân núi (chân núi có dạng đường trịn tâmO, bán kính3km) trạm cứu hộ vị tríA(tham khảo hình vẽ) Do chưa biết đường để đến vị trí tai nạn nhanh nên đội cứu hộ định điều hai xe cứu thương xuất phát trạm cứu hộ đến vị trí tai nạn theo hai cách sau:
Xe thứ nhất:đi theo đường thẳng từAđếnB, đường xấu nên vận tốc trung bình xe là40km/h
Xe thứ hai:đi theo đường thẳng từA đếnC với vận tốc trung bình60km/h, từC đếnB theo cung nhỏCB chân núi với vận tốc trung bình30km/h (ba điểmA, O, C thẳng hàng vàCở chân núi) Biết đoạn đườngACdài27km vàABO[ = 90◦
a) Tính độ dài quãng đường xe thứ từAđếnB
b) Nếu hai xe cứu thương xuất phát lúc tạiAthì xe đến vị trí tai nạn trước?
O
B A
C
Chân núi
Câu Cho nửa đường tròn tâmOđường kínhABvàE điểm tùy ý nửa đường trịn (Ekhác A, B) Lấy điểmHthuộc đoạnEB (H khácE, B) TiaAHcắt nửa đường tròn điểm thứ hai làF Kéo dài tiaAE tiaBF cắt tạiI Đường thẳngIH cắt nửa đường tròn tạiP cắtABtạiK
(68)c) Chứng minhcosABP[ = P K+BK
P A+P B
d) GọiS giao điểm tiaBF tiếp tuyến tạiAcủa nửa đường tròn(O) Khi tứ giácAHIS nội tiếp đường trịn, chứng minhEF vng góc vớiEK
Câu Cho số thực dươngx, ythỏa mãnx+y≤3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =
5xy +
5
x+ 2y+
II
Lời giải
Câu
a) Giải phương trìnhx2−3x+ = 0. b) Giải hệ phương trình
(
x+ 3y= 4x−3y=−18 c) Rút gọn biểu thứcA=
3 +√7+
√
28 −2
d) Giải phương trình(x2−2x)2+ (x−1)2−13 = Lời giải.
a) Cóa+b+c= 1−3 + = 0nên phương trình có2nghiệm phân biệtx1 = 1,x2 = b) Ta có
(
x+ 3y=
4x−3y=−18 ⇔ (
5x=−15
x+ 3y= ⇔ (
x=−3
−3 + 3y= ⇔ (
x=−3
y =
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm
(
x=−3
y=
c) Ta có
A=
3 +√7+
√
28
2 −2 =
2.Ä3−√7ä
Ä
3 +√7ä Ä3−√7ä + 2√7
2 −2 = 3−√7 +√7−2 =
d) Ta có
Ä
x2−2xä2+ (x−1)2−13 = 0⇔Äx2−2xä2+Äx2−2x+ 1ä−13 = Đặtt =x2−2x, ta cót2+t−12 = 0⇔
"
t =
t =−4
• TH1.t= ⇒x2−2x= ⇔x2 −2x−3 = 0⇔
"
x=−1
x=
(69)Câu Cho parabol(P) :y=−2x2 và đường thẳng(d) :y =x−m(vớimlà tham số).
a) Vẽ parabol(P)
b) Tìm tất giá trị tham sốm để đường thẳng(d)cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt có hồnh độx1; x2thỏa mãn điều kiện
x1+x2 =x1x2
Lời giải.
a) Bảng giá trị
x −2 −1
y =−2x2 −8 −2 0 −2 −8 b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P)
(d)là
−2x2 =x−m⇔2x2+x−m = 0⇔∆ = 1+8m Để (d)cắt (P)tại hai điểm phân biệt thì∆ >
0⇔m > −1
8
Vìx1,x2là hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm, nên theo định lý Vi-ét ta có
x1+x2 =
−1
x1·x2 = −m
Khi x1 +x2 = x1 ·x2 ⇔
−1 =
−m
2 ⇔
m = So với điều kiện, thỏa mãn
Vậym= 1thì đường thẳng(d)cắt parabol(P)
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 thỏa mãn điều kiệnx1+x2 =x1x2
x y
O
−3 −2 −1
−9
−7
−6
−5
−4
−3
−1
−8
−2
Câu Có vụ tai nạn vị tríB chân núi (chân núi có dạng đường trịn tâmO, bán kính3km) trạm cứu hộ vị tríA(tham khảo hình vẽ) Do chưa biết đường để đến vị trí tai nạn nhanh nên đội cứu hộ định điều hai xe cứu thương xuất phát trạm cứu hộ đến vị trí tai nạn theo hai cách sau:
Xe thứ nhất:đi theo đường thẳng từAđếnB, đường xấu nên vận tốc trung bình xe là40km/h
Xe thứ hai:đi theo đường thẳng từA đếnC với vận tốc trung bình60km/h, từC đếnB theo cung nhỏCB chân núi với vận tốc trung bình30km/h (ba điểmA, O, C thẳng hàng vàCở chân núi) Biết đoạn đườngACdài27km vàABO[ = 90◦
a) Tính độ dài quãng đường xe thứ từAđếnB
(70)O
B A
C
Chân núi
Lời giải.
a) OA=AC+R= 27 + = 30km
Xét4ABOvng tạiB, cóAB =√OA2−OB2 =√302−32 = 9√11km. b) Thời gian xe thứ từAđếnB
√
11
40 ≈0,75(giờ)
Thời gian xe thứ hai từAđếnClà 27
60 = 0,45(giờ)
Xét∆ABOvng tạiB, có
tanO“=
AB OB =
9√11
3 ⇒O“≈84,3
◦
Độ dài đoạn đường từCđếnB làl
ˆ
CB =
3·π·84,3
180 ≈4,41km
Thời gian từC đếnB 4,41
30 ≈0,15giờ
Suy thời gian xe thứ hai từAđếnB là0,45 + 0,15 = 0,6giờ Vậy xe thứ hai đến điểm tai nạn trước xe thứ
Câu Cho nửa đường tròn tâmOđường kínhABvàE điểm tùy ý nửa đường trịn (Ekhác A, B) Lấy điểmHthuộc đoạnEB (H khácE, B) TiaAHcắt nửa đường tròn điểm thứ hai làF Kéo dài tiaAE tiaBF cắt tạiI Đường thẳngIH cắt nửa đường tròn tạiP cắtABtạiK
a) Chứng minh tứ giácIEHF nội tiếp đường tròn b) Chứng minhAIH[ =ABE.[
c) Chứng minhcosABP[ = P K+BK
P A+P B
d) GọiS giao điểm tiaBF tiếp tuyến tạiAcủa nửa đường tròn(O) Khi tứ giácAHIS nội tiếp đường trịn, chứng minhEF vng góc vớiEK
Lời giải.
a) Ta cóAEB[ = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
⇒HEI[ = 90◦(kề bù vớiAEB)[ Tương tự, ta cóHF I[ = 90◦
⇒HEI[ +HF I[ = 90◦+ 90◦ = 180◦
(71)F P
E H
I S
O K
A B
b) Ta cóAIH[ =AF E[ (cùng chắn cungEH) MàABE[ =AF E[ (cùng chắn cungAE) Suy raAIH[ =ABE.[
c) Ta cóAF ⊥BI,BE ⊥AI nên suy raHlà trực tâm của4IAB
⇒IH ⊥AB ⇒P K ⊥AB
Tam giácABP vng tạiP cóP K đường cao nên ta có
(
BP ·P A=AB·P K BP2 =AB·BK Suy raBP ·P A+BP2 =AB·BK+AB·P K
⇔BP ·(P A+BP) =AB·(P K+BK)⇔ BP
AB =
P K+BK
P A+BP ⇔cosABP[ =
P K+BK P A+BP
d) Ta cóSA∥IH (cùng vng góc vớiAB) suy tứ giácAHIS hình thang Mà tứ giácAHIS nội tiếp đường tròn (giả thiết) nênAHIS hình thang cân
⇒ 4ASF vng cân tạiF
⇒ 4AF B vuông cân tạiF
Ta lại cóF EB\=F AB[ =BEK\ = 45◦, suy raF EK\ = 2·\F EB = 90◦ ⇒EF ⊥EK
Câu Cho số thực dươngx, ythỏa mãnx+y≤3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = 5xy +
5
x+ 2y+
(72)Ta có
P =
5xy +
5
x+ 2y+ = 5xy +
5
(x+y) +y+ ≥ 5xy +
5
y+
⇔P ≥
5xy + xy
20 +
y+ +
y+ 20 −
xy+y+ 20
Ta lại có xy+y+
20 =
y(x+ 1) + 20 ≤
(x+y+ 1)2 +
20 ≤
3
Khi
P ≥
Ç
1 5xy +
xy
20
å
+
Ç
5
y+ +
y+ 20
å
−xy+y+
20
⇔P ≥
5+ 1−
5 ⇔P ≥
Dấu xảy
5x2y2 = 20
y+ = 10
y=x+
⇔
(
x=
y=
VậyP đạt giá trị nhỏ
5 (
x=
(73)14 Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Đà Nẵng năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu
a) TínhA=√12 +√18−√8−2√3
b) Cho biểu thứcB =√9x+ +√4x+ +√x+ 1vớix≥ −1 Tìmxsao choB có giá trị là18 Câu
a) Giải hệ phương trình
(
x+ 2y= 4x+ 5y=
b) Giải phương trình4x4+ 7x2−2 = 0.
Câu Cho hai hàm sốy= 2x2 vày=−2x+
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ hai giao điểmAvàB hai đồ thị Tính khoảng cách từ điểmM(−2; 0)đến đường thẳngAB
Câu Cho phương trình4x2+ (m2+ 2m−15)x+ (m+ 1)2−20 = 0, vớimlà tham số Tìm tất cả giá trị củamđể phương trình cho có hai nghiệmx1, x2 thỏa mãn hệ thứcx21+x2+ 2019 = Câu Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng80cm2 Nếu giảm chiều rộng3m tăng chiều dài10m diện tích mảnh đất tăng thêm20m2 Tìm kích thước mảnh đất đó.
Câu Cho đường trịn(O)tâmO, đường kínhABvàClà điểm nằm đoạn thẳngOB(vớiC 6=B) Kẻ dâyDE đường trịn(O)vng góc vớiACtại trung điểmHcủaAC GọiK giao điểm thứ hai củaBDvới đường trịn đường kínhBC
a) Chứng minh tứ giácDHCK nội tiếp
b) Chứng minhCEsong song vớiADvà ba điểmE, C, K thẳng hàng
c) Đường thẳng quaK vng góc vớiDE cắt đường trịn(O)tại hai điểmM vàN (vớiM thuộc cung nhỏAD) Chứng minh rằng¯ EM2+DN2 =AB2
II
Lời giải
Câu
a) TínhA=√12 +√18−√8−2√3
b) Cho biểu thứcB =√9x+ +√4x+ +√x+ 1vớix≥ −1 Tìmxsao choB có giá trị là18 Lời giải.
a)
A = √12 +√18−√8−2√3 =
√
22·3 +√32·2−√22·2−2√3
(74)b) Vớix≥ −1ta có
B = »9(x+ 1) +»4(x+ 1)−√8 +√x+ = 6√x+
Ta cóB = 18⇔6√x+ = 18⇔√x+ = 3⇔x+ = 9⇔x= 8(thỏa mãn)
Câu
a) Giải hệ phương trình
(
x+ 2y= 4x+ 5y=
b) Giải phương trình4x4+ 7x2−2 = 0. Lời giải.
a) Hệ phương trình
(
x+ 2y= 4x+ 5y= ⇔
(
4x+ 8y = 12 4x+ 5y = ⇔
(
x=−1
y =
b) Ta có4x4+ 7x2−2 = = 0⇔(x2+ 2)(4x2−1) = 0⇔
x2 =−2 (vô nghiệm)
x2 =
⇔
x=
x=−1
2
Câu Cho hai hàm sốy= 2x2 vày=−2x+ 4.
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ hai giao điểmAvàB hai đồ thị Tính khoảng cách từ điểmM(−2; 0)đến đường thẳngAB
Lời giải.
a) Ta có bảng giá trị hàm sốy= 2x2.
x -2 -1 y 2 Ta có bảng giá trị hàm sốy=−2x+
(75)y= 2x2
y=−2x+
O x
y
−3 −2 −1
2 10
B
A
C M
H
b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm của(d)và(P):
2x2 =−2x+ ⇔ 2x2+ 2x−4 =
⇔ x2+x−2 = 0⇔
"
x=
x=−2 ⇒ "
y=
y= Vậy tọa độ giao điểm của(d)và(P)làA(1; 2), B(−2; 8)
KẻM H ⊥ABnhư hình vẽ Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuôngBM C vuông tạiM ta có
1
M H2 =
1
M B2 +
1
M C2 =
1 82 +
1 42 =
5
64 ⇒M H = 8√5
5
Vậy khoảng cách từ điểmM(−2; 0)đến đường thẳngABlàM H =
√
5
Câu Cho phương trình4x2+ (m2+ 2m−15)x+ (m+ 1)2−20 = 0, vớimlà tham số Tìm tất cả giá trị củamđể phương trình cho có hai nghiệmx1, x2 thỏa mãn hệ thứcx21+x2+ 2019 = Lời giải.
Để phương trình có hai nghiệm
∆≥0 ⇔ (m2+ 2m−15)2−16[(m+ 1)2−20] ≥0
⇔ [(m+ 1)2−16]2−16(m+ 1)2+ 320≥0
⇔ (m+ 1)4−48(m+ 1)2+ 576≥0
⇔ [(m+ 1)2−24]2 ≥0∀m Do phương trình cho ln có hai nghiệmx1, x2 với mọim Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
x1+x2 =−
m2+ 2m−15
4 =
−(m+ 1)2
4 +
x1x2 =
(m+ 1)2−20
4 =
(m+ 1)2
4 −5
(76)Theo đề ta cóx21+x2+ 2019 = ⇒x2 =−x21−2019 Thay vào(1)ta có x1−x21−2019 +x1(−x21−2019) =−1
⇔ x1−x21−2019−x
1−2019x1 =−1
⇔ x31+x21+ 2018x1+ 2018 =
⇔ (x1+ 1)(x21+ 2018) =
⇔
"
x1 =−1
x21+ 2018 = (vô nghiệm)
⇒ x2 =−1−2019 =−2020 Do đóx1x2 =
(m+ 1)2
4 −5 = 2020⇒(m+ 1)
2 = 8100⇔
"
m+ = 90
m+ =−90 ⇔ "
m= 89
m=−91
Vậy vớim = 89hoặcm =−91thỏa mãn yêu cầu toán Câu Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng80cm2 Nếu giảm chiều rộng3m tăng chiều dài10m diện tích mảnh đất tăng thêm20m2 Tìm kích thước mảnh đất đó.
Lời giải.
Gọi chiều rộng, chiều dài mảnh đất làx, y, đơn vị: mét,y > x >
Theo đề ta cóxy= 80 (1)
Nếu giảm chiều rộng đi3m chiều rộng làx−3 (m) Nếu tăng chiều dài10m chiều dài y+ 10 (m)
Diện tích mảnh đất là80 + 20 = 100 (m2)nên ta có phương trình(x−3)(y+ 10) = 100. (2) Từ(1)và(2) ta có hệ phương trình
(
xy= 80
(x−3)(y+ 10) = 100
⇔
(
xy= 80
xy−3y+ 10x−30−100 =
⇔
(
xy= 80 10x= 3y+ 50
⇔
(
10xy = 800 10x= 3y+ 50
⇔
(
(3y+ 50)y= 800 10x= 3y+ 50
⇔
(
3y2+ 50y−800 = 10x= 3y+ 50
⇔
y= 10
y= −80
x= 80
y
⇔
(
x=
y= 10 (thỏa mãn)
(77)a) Chứng minh tứ giácDHCK nội tiếp
b) Chứng minhCEsong song vớiADvà ba điểmE, C, K thẳng hàng
c) Đường thẳng quaK vuông góc vớiDE cắt đường trịn(O)tại hai điểmM vàN (vớiM thuộc cung nhỏAD) Chứng minh rằng¯ EM2+DN2 =AB2
Lời giải.
A B
O C
D H
E
K M
N P
Q
a) Vì DE ⊥ AB H nên DHC\ = 90◦ Ta có CKB\ = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
⇒CKD\ = 90◦ Do đóDHC\ +CKB\ = 180◦ Suy tứ giácDHCK nội tiếp
b) VìDE ⊥ABtạiH nênH trung điểm củaDE, màH trung điểm củaAC(theo giả thiết), suy tứ giácAECDlà hình bình hành Suy raAD ∥EC
Vì AD ⊥ BD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vàEC ∥ AD(chứng minh trên) nên EC ⊥ BD Hơn nữa,CK ⊥DB suy ba điểmE, C, K thẳng hàng
c) Kẻ đường kínhM P đường trịn(O) NốiN P cắtABtạiQ Ta cóM N P\ = 90◦(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒M N ⊥N P MàM N ⊥ DE (giả thiết) nênN M ∥ AB ⇒Qlà trung điểm N P ⇒Alà điểm cungN P Do sđAP¯ =sđAN¯
DoAH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên4BDE cân B⇒AE =AD
⇒sđAE¯ =sđAD¯ ⇒sđP E¯ =sđAE¯−sđAP¯ =sđAD¯−sđAN¯ =sđN D¯
⇒sđEP¯ =sđN D¯ ⇒DN =EP
Do đóEM2+DN2 =EM2+EP2 =M P2, màM P =ABnênEM2+DN2 =AB2.
(78)15 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hải Dương năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu
a) Giải phương trình:√4x2 −4x+ = 3; b) Giải hệ phương trình:
(
3x−y= 2y−x= Câu
a) Cho hai đường thẳng(d1) :y = 2x−5và(d2) : y = 4x−m (mlà tham số) Tìm tất giá trị tham sốmđể(d1)và(d2)cắt điểm trục hoànhOx;
b) Rút gọn biểu thức
P =
Ç √
x
3 +√x+
2x
9−x
å
:
Ç √
x−1
x−3√x−
2
√
x
å
vớix >0,x6= 9,x6= 25 Câu
a) Theo kế hoạch, xưởng may phải may xong 360bộ quần áo thời gian quy định Đến thực hiện, ngày xưởng may nhiều quần áo so với số quần áo phải may ngày theo kế hoạch Vì xưởng hồn thành kế hoạch trước1ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may quần áo?
b) Cho phương trình:x2−(2m+ 1)x−3 = 0(mlà tham số) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọim Tìm giá trị củam cho|x1| − |x2| = x1 < x2
Câu Từ điểmA nằm ngồi đường trịn(O)kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên nửa mặt phẳng, bờ đường thẳngAOchứa điểmB vẽ cát tuyếnAM N với đường tròn(O)
(AM < AN,M N không qua O) GọiI trung điểm củaM N a) Chứng minh: Tứ giácAIOC tứ giác nội tiếp;
b) GọiH giao điểm củaAOvàBC Chứng minhAH ·AO=AM ·AN tứ giácM N OH tứ giác nội tiếp;
c) QuaM kẻ đường thẳng song song vớiBN, cắtABvàBCtheo thứ tự tạiEvàF Chứng minh M trung điểm củaEF
Câu Cho số dươnga, b,cthỏa mãn điều kiện: a+b+c = 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
(79)II
Lời giải
Câu
a) Giải phương trình:√4x2 −4x+ = 3; b) Giải hệ phương trình:
(
3x−y= 2y−x= Lời giải.
a) Điều kiện xác định:4x2−4x+ 9≥0⇔4x2−4x+ + 8 ≥0⇔(2x−1)2+ 8≥0(ln đúng). Ta có√4x2−4x+ = 3⇔4x2−4x+ = 9⇔4x(x−1) = 0⇔
"
x=
x= Vậy tập nghiệm phương trình làS ={0; 1}
b) Ta có
(
3x−y= 2y−x= ⇔
(
y = 3x−5
2(3x−5)−x= ⇔ (
y = 3x−5
x= ⇔
(
x=
y =
Vậy nghiệm hệ phương trình là(x;y) = (2; 1)
Câu
a) Cho hai đường thẳng(d1) :y = 2x−5và(d2) : y = 4x−m (mlà tham số) Tìm tất giá trị tham sốmđể(d1)và(d2)cắt điểm trục hoànhOx;
b) Rút gọn biểu thức
P =
Ç √
x
3 +√x+
2x
9−x
å
:
Ç √
x−1
x−3√x−
2
√
x
å
vớix >0,x6= 9,x6= 25 Lời giải.
a) Hai đường thẳng(d1) :y = 2x−5và(d2) : y= 4x−mcắt tại1điểm trục hoành
−b
a =− b0 a0 ⇔
5 =
m
4 ⇔m= 10
Vậym= 10thì hai đường thẳng(d1)cắt(d2)tại1điểm trục hồnh b) Ta có
P =
Ç √
x
3 +√x +
2x
9−x
å
:
Ç √
x−1
x−3√x −
2 √ x å = Ç√
x(√x−3)−2x
(√x−3) (√x+ 3)
å
:
Ç√
x−1−2(√x−3)
√
x(√x−3)
å
= −
√
x(√x+ 3) (√x−3) (√x+ 3) :
5−√x
√
x(√x−3) = −
√
x
√
x−3·
√
x(√x−3) 5−√x =
x
√
(80)Câu
a) Theo kế hoạch, xưởng may phải may xong 360bộ quần áo thời gian quy định Đến thực hiện, ngày xưởng may nhiều quần áo so với số quần áo phải may ngày theo kế hoạch Vì xưởng hồn thành kế hoạch trước1ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may quần áo?
b) Cho phương trình:x2−(2m+ 1)x−3 = 0(mlà tham số) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọim Tìm giá trị củam cho|x1| − |x2| = x1 < x2
Lời giải.
a) Gọi số quần áo mà xưởng phải may trong1ngày làx(x >0) Số ngày để hoàn thành 360bộ quần áo theo kế hoạch là: 360
x ngày
Do ngày may thêm4bộ quần áo nên số ngày thực tế để hồn thành cơng việc là: 360
x+ ngày
Vì xưởng hoàn thành trước1ngày so với kế hoạch nên
360
x −
360
x+ = 1⇔x(x+ 4)−1440 = 0⇔ "
x= 36(thỏa mãn)
x=−40(không thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch ngày xưởng phải may36bộ quần áo
b) Ta có∆ = (2m+ 1)2−4·(−3) = (2m+ 1)2+ 12>0với mọim∈
Rnên phương trình ln có hai nghiệmx1,x2 phân biệt với mọim
Theo định lí Vi-ét ta có:
(
x1+x2 = 2m+ x1x2 =−3
Ta có
|x1| − |x2|= 5⇒x12+x22−2|x1x2|= 25⇔(x1 +x2)2−2x1x2−2|x1x2|= 25
⇔ (2m+ 1)2−2(−3)−2| −3|= 25 ⇔(2m+ 1)2 = 25⇔
"
2m+ = 2m+ =−5 ⇔
"
m=
m=−3
• TH1:m= Phương trình trở thànhx2−5x−3 = 0⇔
x1 =
5−√37
x2 =
5 +√37
Khi đó|x1| − |x2|=
5−√37 −
5 +√37
=−√376= Vậym= 2không thỏa mãn đề
• TH2:m=−3 Phương trình trở thànhx2+ 5x−3 = 0⇔
x1 =
−5−√37
x2 =
−5 +√37
Khi đó|x1| − |x2|=
−5−√37 −
−5 +√37
= +
√
37 −
√
37−5 =
Vâym=−3
(81)Câu Từ điểmA nằm đường tròn(O)kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên nửa mặt phẳng, bờ đường thẳngAOchứa điểmB vẽ cát tuyếnAM N với đường tròn(O)
(AM < AN,M N không qua O) GọiI trung điểm củaM N a) Chứng minh: Tứ giácAIOC tứ giác nội tiếp;
b) GọiH giao điểm củaAOvàBC Chứng minhAH ·AO=AM ·AN tứ giácM N OH tứ giác nội tiếp;
c) QuaM kẻ đường thẳng song song vớiBN, cắtABvàBCtheo thứ tự tạiEvàF Chứng minh M trung điểm củaEF
Lời giải.
A
B E
I K M
N F
H O
C
a) DoI trung điểm củaM N ⇒OI ⊥M N ⇒OIA[ = 90◦
Xét tứ giác AIOC cóOIA[ +OCA[ = 90◦+ 90◦ = 180◦ ⇒tứ giácAIOC tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đổi bằng180◦)
b) Xét4ABM và4AN B có
\ BAN chung
\
ABM =AN B\=
2sđ[BM
⇒ 4ABM v4AN B (g.g)
Suy AB AN =
AM
AB ⇒AB
2 =AM ·AN. (1) Ta cóOB =OC =R ⇒Othuộc trung trực của BC
MàAB=AC (tính chất2tiếp tuyến cắt nhau)⇒Athuộc trung trực củaBC ⇒OAlà trung trực BC ⇒OA⊥BCtạiH
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuôngOAB (đường caoOH) ta có:AB2 =AH·AO. (2) Từ(1)và(2)suy raAH·AO=AM ·AN
Xét4AM Hvà4AON ta có:
\ OAN chung AM
AH = AO
AN chứng minh
⇒ 4AM H v4AON (c.g.c)
(82)c) GọiK =AN ∩BC
Tứ giác M N OH tứ giác nội tiếp (chứng minh trên)⇒ OHN\ = OM N\ (hai góc nội tiếp chắn cungON)
MàOM =ON ⇒ 4OM N cân tạiO ⇒OM N\ =ON M\ ⇒OHN\ =ON M\ Lại cóON M\ =AHM\ (góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp)
Suy raOHN\ =AHM\ ⇒90◦−OHN\ = 90◦−AHM\ ⇒N HB\ =M HB\ ⇒HB phân giác M HN, mà\ AH ⊥HB (OA⊥BC)⇒AH phân giác ngồi củaM HN.\
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: HM HN =
KM KN =
AM
AN (3)
DoM F ∥BN Áp dụng định lí Ta-lét ta có: M F BN =
KM KN ·
AM AN =
M E
BN (4)
Từ(3)và(4) ⇒ M E
BN = M F
BN ⇒M E =M F VậyM trung điểm củaEF
Câu Cho số dươnga, b,cthỏa mãn điều kiện: a+b+c = 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =√2a2+ab+ 2b2+√2b2+bc+ 2c2+√2c2+ca+ 2a2.
Lời giải.
Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức sau2x2+xy+ 2y2 ≥
4(x+y)
2. Ta có
2x2+xy+ 2y2 ≥
4(x+y)
2 ⇔
4(2x2+xy+ 2y2)≥5(x2+ 2xy+y2)
⇔ 3x2−6xy+ 3y2 ≥0⇔3(x2−2xy+y2)≥0⇔3(x−y)2 ≥0(luôn đúng) Dấu “= ” xảy khix=y Áp dụng bất đẳng thức ta có
P ≥ √
5
h»
(a+b)2+»(b+c)2+»(c+a)2i=
√
5
2 (2a+ 2b+ 2c) = 2019
√
5
Dấu “=” xảy
(
a=b =c
(83)16 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hà Nam năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu
a) Giải phương trình:x2−5x+ = b) Giải hệ phương trình:
(
3x−y= 2x+y=
Câu
a) Rút gọn biểu thức:A= √
5−1 −3
√
45 +»(√5−1)2.
b) Cho biểu thức:B =
Ç
1 3−√x −
1 +√x
å
· + √
x
√
x , (vớix >0,x6= 9) Rút gọn biểu thức tìm tất giá trị nguyên củaxđểB >
2
Câu Trong mặt phẳng tọa độOxy cho Parabol(P)có phương trìnhy= 2x
2 và đường thẳng(d)có phương trìnhy=−mx+ 3−m(vớimlà tham số)
a) Tìm tọa độ điểmM thuộc Parabol(P), biết điểmM có hồnh độ bằng4
b) Chứng minh đường thẳng(d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt Gọi x1, x2 hoành độ hai điểmA, B Tìmmđểx2
1+x22 = 2x1x2+ 20
Câu Cho nửa đường trịn(O;R)đường kínhAB Trên nửa mặt phẳng bờABchứa nửa đường tròn(O;R)vẽ tiếp tuyếnAx, Byvới nửa đường trịn GọiM điểm nửa đường trịn(O;R)(vớiM khácA,M khác B), tiếp tuyến nửa đường tròn tạiM cắtAx,Bylần lượt tạiC D
a) Chứng minh tứ giácACM O nội tiếp; b) Chứng minh tam giácCOD vuông tạiO; c) Chứng minhAC·BD=R2;
d) KẻM N ⊥AB,(N ∈AB);BC cắtM N tạiI Chứng minhI trung điểm củaM N Câu Tính thể tích hình nón có bán kính đáyr= 4cm, độ dài đường sinhl= cm Câu Choa,b,clà số thực dương thỏa mãn điều kiệnabc = Chứng minh
1 +a +
1 +b +
1
2 +c ≤1
II
Lời giải
Câu
a) Giải phương trình:x2−5x+ = 0. b) Giải hệ phương trình:
(
(84)Lời giải. a) Ta có
x2−5x+ = 0⇔x2−x−4x+ = 0⇔x(x−1)−4(x−1) =
⇔ (x−1)(x−4) = 0⇔
"
x−1 =
x−4 = ⇔ "
x=
x=
Vậy tập nghiệm phương trình làS ={1; 4} b) Ta có
(
3x−y = 2x+y= ⇔
(
y= 3x−3
2x+ 3x−3 = ⇔ (
y= 3x−3 5x= 10 ⇔
(
x=
y= 3x−3 ⇔ (
x=
y=
Vậy cặp nghiệm (x;y)của hệ phương trình là(2; 3)
Câu
a) Rút gọn biểu thức:A= √
5−1 −3
√
45 +»(√5−1)2.
b) Cho biểu thức:B =
Ç
1 3−√x −
1 +√x
å
· + √
x
√
x , (vớix >0,x6= 9) Rút gọn biểu thức tìm tất giá trị nguyên củaxđểB >
2
Lời giải. a) Ta có
A =
Ä√
5 + 1ä
Ä√
5−1ä Ä√5−1ä−3
√
32·5 +
√
5−1 = √5 + 1−9√5 +√5−1 = −7√5
b) Ta có
B = +
√
x−3 +√x
(3−√x) (3 +√x) ·
3 +√x
√
x
=
√
x
(3−√x) (3 +√x) ·
3 +√x
√
x =
2 3−√x Ta có
B >
2 ⇔ 3−√x >
1 ⇔
(
3−√x >0
4>3−√x ⇔0≤x <9
Theo điều kiện ban đầu thìx >0nên tập hợp giá trị nguyên củaxlàS ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Câu Trong mặt phẳng tọa độOxy cho Parabol(P)có phương trìnhy=
2x
(85)a) Tìm tọa độ điểmM thuộc Parabol(P), biết điểmM có hồnh độ bằng4
b) Chứng minh đường thẳng(d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt Gọi x1, x2 hồnh độ hai điểmA, B Tìmmđểx21+x22 = 2x1x2+ 20
Lời giải.
a) VìM ∈(P)vàxM = 4⇒yM = 2x
2
M = 2·4
2 = 8 ⇒M(4; 8). b) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình
1 2x
2 =−mx+ 3−m ⇔x2 =−2mx+ 6−2m⇔x2+ 2mx+ 2m−6 = 0. (1) Ta có∆0 =m2−(2m−6) =m2−2m+ = (m−1)2+ 5>0với giá trị củamnên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt hay(d)ln cắt(P)tại hai điểm phân biệt
Vìx1,x2là hồnh độ giao điểm hai đồ thị nênx1,x2 hai nghiệm phương trình(1) Theo định lí Vi-ét ta có
x1+x2 =− b
a =−2m; x1x2 = c
a = 2m−6 Ta có
x21+x22 = 2x1x2 + 20⇔(x1+x2)2−4x1x2−20 = 0⇔4m2−4(2m−6) = 20⇔m = Vậym= 1thìx2
1+x22 = 2x1x2+ 20
Câu Cho nửa đường trịn(O;R)đường kínhAB Trên nửa mặt phẳng bờABchứa nửa đường tròn(O;R)vẽ tiếp tuyếnAx, Byvới nửa đường trịn GọiM điểm nửa đường trịn(O;R)(vớiM khácA,M khác B), tiếp tuyến nửa đường tròn tạiM cắtAx,Bylần lượt tạiC D
a) Chứng minh tứ giácACM O nội tiếp; b) Chứng minh tam giácCOD vuông tạiO; c) Chứng minhAC·BD=R2;
d) KẻM N ⊥AB,(N ∈AB);BC cắtM N tạiI Chứng minhI trung điểm củaM N Lời giải.
M
O N
P
B D I
y
(86)a) DoAC tiếp tuyến đường tròn(O)tạiA⇒OAC[ = 90◦ DoM C tiếp tuyến đường tròn(O)tạiM ⇒OM C\ = 90◦
Xét tứ giácACM Ocó:OAC[ +OM C\ = 90◦+ 90◦ = 180◦ ⇒ACM Olà tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng180◦)
b) Áp dụng tính chất2tiếp tuyến cắt ta có:OC,OD phân giác gócAOM\ \
BOM
MàAOM\ vàBOM\ hai góc kề bù, suy raOC ⊥OD (hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau)
Suy raCOD\= 90◦ hay4CODvuông tạiO
c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vngOCD(vng tạiO, có đường caoOM) ta có:OM2 = M C ·M D
MàOM =R ⇒M C·M D =R2 (1)
Áp dụng tính chất2tiếp tuyến cắt ta có:AC =M C,BD =M D (2) Từ(1)và(2)suy raAC·BD=R2.
d) Ta có
AC ⊥AB BD⊥AB M N ⊥AB
⇒AC ∥BD ∥M N (từ vng góc đến song song)
GọiP =AM ∩CN Áp dụng định lí Ta-lét ta có: M I AC =
P I P C;
N I AC =
BI
BC (3)
Ta có:AM B\ = 90◦(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy raAM N\ +N M B\ = 90◦
Mà tam giác vuôngM N Blại có:N BM\ +N M B\ = 90◦ ⇒AM N\ =N BM\ =ABM \ Ta có:
\
ABM =AM C\ = 2sđ˘AM
\
ABM =AM N\ (chứng minh trên)
⇒AM C\ =AM N\ ⇒M Alà tia phân giác \
CM N
MàM B ⊥M A(AM B\ = 90◦), suy raM B tia phân giác củaCM N\ Áp dụng tính chất đường phân giác tam giácCM I ta có: M I
M C = P I P C =
BI
BC (4)
Từ(3)và(4) ⇒ M I
AC = N I
AC ⇒M I =N I VậyI trung điểm củaM N
Câu Tính thể tích hình nón có bán kính đáyr= 4cm, độ dài đường sinhl= cm
Lời giải.
Ta cóSB =l = 5cm,OB =r= 4cm
Tam giácSOBvng tạiOnênSO =√SB2−OB2 = 3cm. Thể tích hình nón:V =
3hπr
2 =
3 ·3·16π = 16πcm
3.
h l
r
S
O
A B
Câu Choa,b,clà số thực dương thỏa mãn điều kiệnabc = Chứng minh
1 +a +
1 +b +
1
(87)Lời giải. Ta có
a3+b3+c3−3abc=
2(a+b+c)
ỵ
(a−b)2+ (b−c)2+ (c−a)2ó≥0⇒a3+b3 +c3 ≥3abc vớia,b,clà số dương
Áp dụng bất đẳng thức ta có
ab+bc+ca≥3√3ab·bc·ca= 3√3a2b2c2 = 3. Ta có
1 +a +
1 +b +
1 +c ≤1
⇔ (a+ 2)(b+ 2) + (b+ 2)(c+ 2) + (c+ 2)(a+ 2)≤(a+ 2)(b+ 2)(c+ 2)
⇔ (ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 12≤abc+ 4(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) +
⇔ 4≤abc+ab+bc+ca⇔3≤ab+bc+ca(Điều chứng minh trên) Vậy
2 +a +
1 +b +
1
2 +c ≤1
(88)17 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hưng Yên năm học 2019-2020
I
Đề bài
Phần trắc nghiệm
Câu Xác định tham sốađể hệ phương trình
(
(a−2)x−y=a+
2x−y = có nghiệm nhất?
A a6= B a6=−2 C a6= D a6=
Câu TâmOcủa đường tròn (O;5cm) cách đường thẳngdmột khoảng bằng5cm Tìm số điểm chung đường thẳngdvà đường trịn (O;5cm)
A Có điểm chung B Khơng có điểm chung
C Có hai điểm chung phân biệt D Có điểm chung
Câu GọiS tập giá trị nguyên củam để đường thẳngy = 6x+m−6và paraboly = x2 cắt hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Tính tổng phần tử tậpS
A B C 15 D 12
Câu
Tính chiều cao đài kiểm sốt khơng lưu Nội Bài Biết bóng đài kiểm soát chiếu ánh sáng mặt trời xuống đất dài200m góc tạo tia sáng với mặt đất
25◦240 (kết làm tròn đến hàng đơn vị)
200m
25◦240
C
A B
A 86m B 221m C 181m D 95m Câu
Cho hình vẽ, biết AB đường kính đường tròn tâm O, [
ABC = 50◦ Tính số đoBM C.\
A 50◦ B 60◦ C 25◦ D 40◦
50◦
M
B A
C
Câu Căn bậc hai số học của16là
A B 32 C −4 D
Câu Cho đường tròn (O;25cm) dâyABcách tâm khoảng bằng15cm Tính độ dài dâyAB
A 25cm B 20cm C 40cm D 30cm Câu Phương trình sau phương trình bậc hai ẩn?
(89)0,5m
2m
Tính thể tíchV thùng
A V =
π (m
3). B V =
2π(m
3). C V = π (m
3). D V =
2π(m 3). Câu 10 Một bóng nhựa mềm dành cho trẻ em có dạng hình cầu, đường kính7cm Tính diện tích bề mặt bóng(lấyπ ≈3,14và kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
A 381,51 (cm2). B 153,86 (cm2). C 615,44 (cm2). D 179,50 (cm2). Câu 11 Cho4ABC vuông tạiA Khẳng định sau đúng?
A sinC = AB
BC B sinC =
AC
BC C sinC =
AB
AC D sinC =
AC AB Câu 12 Giá trị biểu thứcE = √
5−2−
√
5 +
A B −4 C −2√5 D 2√5
Câu 13 Tìmmđể đường thẳng(d) : y=m2x+m(m6= 0) song song với đường thẳngy= 9x+ 3.
A m=−9 B m=−3 C m= D m= Câu 14 Trong hàm số sau, hàm số đồng biến trênR?
A y= 3x−1 B y= 2020−3x C y=−x+ D y= 2019 Câu 15 Cho4ABC vuông tạiA, đường caoAH Khẳng định sau đúng?
A AB2 =HB·AC. B AB2 =HB·AB. C AB2 =HB·HC. D AB2 =HB·BC. Câu 16 Biểu thức√2x−6có nghĩa
A x≤ −3 B x≥3 C x≤3 D x≥ −3 Câu 17 Lúc5giờ, kim kim phút đồng hồ tạo thành góc tâm có số đo
A 150◦ B 120◦ C 210◦ D 60◦ Câu 18 Nghiệm tổng quát phương trình3x−y= 1là
A
(
x∈R
y=−3x+ B (
x∈R
y=−3x−1 C (
x∈R
y= 3x−1 D (
x∈R
y= 3x+
Câu 19 Trong hệ phương trình sau, hệ phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn?
A
(
x2+ 3y=
−x+y=−2 B (
xy+x=
y−2x= C (
x−2y =
x+ 2y2 =−1 D (
4x−3y=
x+y=
Câu 20 Trên hình vẽ ba nửa đường trịn đường kínhAB,AC, CB BiếtDC vng góc vớiAB C, tỉ số diện tích giới hạn ba nửa đường trịn nói diện tích hình trịn bán kính DC
A C B
(90)A
2 B
3
4 C
1
3 D
√
7
Câu 21 Cho hàm sốy=−2019x2 Khẳng định sau đúng?
A Hàm số nghịch biến khix <0 B Hàm số đồng biến khix >0
C Hàm số đồng biến khix <0 D Hàm số nghịch biến trênR Câu 22 Tìmmđể đồ thị hàm sốy= (m+ 9)x2 qua điểmA(−1; 2)
A m=−37
4 B m=−11 C m= 11 D m=−7
Câu 23
Cổng vào biệt thự có hình dạng parabol biểu diễn đồ thị hàm sốy =−x2 Biết khoảng cách hai chân cổng 4m Một ô tô tải có thùng xe hình hộp chữ nhật có chiều rộng là2,4m Hỏi chiều cao lớn tơ để tơ qua cổng
4m
A 2,4m B 2,56m C 1,44m D 4m
Câu 24 Tìm tất giá trị m để hàm số bậc nhấty = (2018 −m)x+ 2019nghịch biến R
A m >−2018 B m <−2018 C m >2018 D m <2018 Câu 25 Hệ số góc đường thẳng(d) :y = 3x−2là
A B
3 C −2 D −
2
Phần tự luận
Câu Rút gọn biểu thứcP =√5Ä√5 + 2ä−√20
Câu Tìm giá trị củamđể đường thẳng(d) : y=mx+ 3đi qua điểmA(1; 5) Câu Giải hệ phương trình
(
3x−y=
x+y=
Câu Cho phương trìnhx2−4x+m−1 = 0(mlà tham số). a) Giải phương trình vớim =
b) Tìmmđể phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiệnx1(x1+ 2) +x2(x2+ 2) = 20 Câu Cho 4ABC nhọn(AB < AC)nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường cao BD, CE tam giácABC (D∈AC,E ∈AB)
a) Chứng minh tứ giácBCDE nội tiếp đường tròn
b) Gọi giao điểm củaAOvớiBDvàEDlần lượt làK,M Chứng minh M D2 =
1
KD2 +
1
AD2 Câu Cho số thực dươngx,y,z thỏa mãnx2+y2+z2 = 3xyz.
Tìm giá trị lớn biểu thứcP = x
2 x4+yz +
y2 y4+xz +
(91)II
Lời giải
Phần trắc nghiệm
Câu Xác định tham sốađể hệ phương trình
(
(a−2)x−y=a+
2x−y = có nghiệm nhất?
A a6= B a6=−2 C a6= D a6= Lời giải.
Yêu cầu toán tương đương vớia−2
2 6=
−1
−1 ⇔a−26= 2⇔a6=
Chọn đáp án A
Câu TâmOcủa đường tròn (O;5cm) cách đường thẳngdmột khoảng bằng5cm Tìm số điểm chung đường thẳngdvà đường trịn (O;5cm)
A Có điểm chung B Khơng có điểm chung
C Có hai điểm chung phân biệt D Có điểm chung
Lời giải.
Vì tâmO đường tròn (O;5cm) cách đường thẳngdmột khoảng bằng5cm nên(d)tiếp xúc với(O)
hay(d)và(O)có điểm chung
Chọn đáp án D
Câu GọiS tập giá trị nguyên củam để đường thẳngy = 6x+m−6và paraboly = x2 cắt hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Tính tổng phần tử tậpS
A B C 15 D 12
Lời giải.
Phương trình hồnh độ giao điểm của(d) :y= 6x+m−6và(P) : y=x2 là x2 = 6x+m−6⇔x2−6x−m+ = Phương trình có hai nghiệm phân biệt⇔∆0 >0⇔9 +m−6>0⇔m >−3 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
(
x1+x2 = x1x2 =−m+ Yêu cầu toán⇔
(
x1+x2 >0 x1x2 >0
⇔
(
6>0(đúng)
−m+ 6>0 ⇔m <6
Kết hợp với điều kiện ta có−3< m <6 Từ ta cóS ={−2;−1; 0; 1; 2; .; 5} Vậy tổng phần tử củaS là12
Chọn đáp án D
Câu
Tính chiều cao đài kiểm sốt khơng lưu Nội Bài Biết bóng đài kiểm soát chiếu ánh sáng mặt trời xuống đất dài200m góc tạo tia sáng với mặt đất
25◦240 (kết làm tròn đến hàng đơn vị)
200m
25◦240
C
A B
A 86m B 221m C 181m D 95m
Lời giải.
Trong4ABC vuông tạiA, ta có
AC =AB·tan 25◦240 = 200·tan 25◦240 ≈95m
(92)Câu
Cho hình vẽ, biết AB đường kính đường trịn tâm O, [
ABC = 50◦ Tính số đoBM C.\
A 50◦ B 60◦ C 25◦ D 40◦
Lời giải.
Ta cóACB[ = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy raBAC[ = 40◦, nênBM C\ = 40◦(cùng chắn cungBC).¯
Chọn đáp án D
50◦
M
B A
C
Câu Căn bậc hai số học của16là
A B 32 C −4 D Lời giải.
Chọn đáp án A
Câu Cho đường tròn (O;25cm) dâyABcách tâm khoảng bằng15cm Tính độ dài dâyAB
A 25cm B 20cm C 40cm D 30cm Lời giải.
Độ dài dâyABlàAB = 2·»R2− d2(O, AB) = 2·√252−152 = 40cm.
Chọn đáp án C
Câu Phương trình sau phương trình bậc hai ẩn?
A −2x+ = B 2x3+x−1 = 0. C 3xy+ 4x−6 = 0. D 2x2−x−1 = 0.
Lời giải.
Chọn đáp án D
Câu Từ tơn hình chữ nhật có kích thước0,5m x2m người ta gị tơn thành mặt xung quanh thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng0,5m(phần mép hàn khơng đáng kể)
0,5m
2m
Tính thể tíchV thùng
A V =
π (m
3). B V =
2π(m
3). C V = π (m
3). D V = 2π(m
3).
Lời giải.
Diện tích xung quanh thùng đựng nước
Sxq = 2πrh⇔2·0,5 = 2πr·0,5⇔r =
π m Thể tích thùng làV =πr2h=π
π2 ·0,5 =
1 2π m
3.
Chọn đáp án D
Câu 10 Một bóng nhựa mềm dành cho trẻ em có dạng hình cầu, đường kính7cm Tính diện tích bề mặt bóng(lấyπ ≈3,14và kết làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai)
(93)Lời giải.
Diện tích mặt cầu làS = 4πr2 = 4·3,14·72 = 615,44m2.
Chọn đáp án C
Câu 11 Cho4ABC vuông tạiA Khẳng định sau đúng? A sinC = AB
BC B sinC = AC
BC C sinC =
AB
AC D sinC =
AC AB Lời giải.
Chọn đáp án A
Câu 12 Giá trị biểu thứcE = √
5−2−
√
5 +
A B −4 C −2√5 D 2√5 Lời giải.
E = √
5−2−
√
5 + =
√
5 + 2−√5 + 5−4 =
Chọn đáp án A
Câu 13 Tìmmđể đường thẳng(d) : y=m2x+m(m6= 0) song song với đường thẳngy= 9x+
A m=−9 B m=−3 C m= D m= Lời giải.
Yêu cầu toán⇔
(
m2 =
m6= ⇔m=−3
Chọn đáp án B
Câu 14 Trong hàm số sau, hàm số đồng biến trênR?
A y= 3x−1 B y= 2020−3x C y=−x+ D y= 2019 Lời giải.
y= 3x−1cóa = 3>0nên hàm số đồng biến trênR
Chọn đáp án A
Câu 15 Cho4ABC vuông tạiA, đường caoAH Khẳng định sau đúng?
A AB2 =HB·AC B AB2 =HB·AB C AB2 =HB·HC D AB2 =HB·BC
Lời giải.
Sử dụng hệ thức lượng trong4ABC vuông tạiA, đường caoAH
Chọn đáp án D
Câu 16 Biểu thức√2x−6có nghĩa
A x≤ −3 B x≥3 C x≤3 D x≥ −3 Lời giải.
Biểu thức√2x−6có nghĩa khi2x−6≥0⇔x≥3
Chọn đáp án B
Câu 17 Lúc5giờ, kim kim phút đồng hồ tạo thành góc tâm có số đo A 150◦ B 120◦ C 210◦ D 60◦ Lời giải.
Đồng hồ có 12 số, tương ứng số cách 360 ◦
12 = 30
◦.
Lúc5giờ, kim kim phút đồng hồ tạo thành góc tâm có số đo là30◦·5 = 150◦
Chọn đáp án A
Câu 18 Nghiệm tổng quát phương trình3x−y= 1là
A
(
x∈R
y=−3x+ B (
x∈R
y=−3x−1 C
(
x∈R
y= 3x−1 D
(
x∈R
(94)Lời giải.
Chọn đáp án C
Câu 19 Trong hệ phương trình sau, hệ phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn?
A
(
x2+ 3y=
−x+y=−2 B (
xy+x=
y−2x= C (
x−2y =
x+ 2y2 =−1 D
(
4x−3y= x+y= Lời giải.
Chọn đáp án D
Câu 20 Trên hình vẽ ba nửa đường trịn đường kínhAB,AC, CB BiếtDC vng góc vớiAB C, tỉ số diện tích giới hạn ba nửa đường trịn nói diện tích hình trịn bán kính DC
A C B
D
A
2 B
3
4 C
1
3 D
√
7
Lời giải.
Diện tích phần tơ màu π(AB
2−AC2−BC2)
4 =
π[(AC+CB)2−AC2−CB2]
4 =
π·AC·CB
2
Áp dụng hệ thức lượng tam giácADBvuông tạiD, đường caoDC, ta có DC2 =AC·CB
Diện tích đường trịn đường kínhDC πDC
4 =
π·AC·CB
4
Tỉ số diện tích cần tính
2π·AC·CB
4π·AC·CB =
1
Chọn đáp án A
Câu 21 Cho hàm sốy=−2019x2 Khẳng định sau đúng?
A Hàm số nghịch biến khix <0 B Hàm số đồng biến khix >0 C Hàm số đồng biến khix <0 D Hàm số nghịch biến trênR Lời giải.
Chọn đáp án C
Câu 22 Tìmmđể đồ thị hàm sốy= (m+ 9)x2 qua điểmA(−1; 2)
A m=−37
4 B m=−11 C m= 11 D m=−7
Lời giải.
Thay tọa độ điểmAvào đồ thị hàm số, ta có
2 = (m+ 9)·(−1)2 ⇔m =−7
(95)Câu 23
Cổng vào ngơi biệt thự có hình dạng parabol biểu diễn đồ thị hàm sốy =−x2 Biết khoảng cách hai chân cổng 4m Một ô tơ tải có thùng xe hình hộp chữ nhật có chiều rộng là2,4m Hỏi chiều cao lớn tơ để tơ qua cổng
4m
A 2,4m B 2,56m C 1,44m D 4m Lời giải.
Nửa chiều rộng thùng xe là1,2m Chiều cao thùng xe ứng với tọa độytại điểmx= 1,2, ta có y=−(1,2)2 =−1,44
Vậy chiều cao lớn xe là1,44m
Chọn đáp án C
Câu 24 Tìm tất giá trị m để hàm số bậc nhấty = (2018 −m)x+ 2019nghịch biến R
A m >−2018 B m <−2018 C m >2018 D m <2018 Lời giải.
Yêu cầu toán⇔2018−m <0⇔m >2018
Chọn đáp án C
Câu 25 Hệ số góc đường thẳng(d) :y = 3x−2là A B
3 C −2 D −
2
Lời giải.
Chọn đáp án A
Phần tự luận
Câu Rút gọn biểu thứcP =√5Ä√5 + 2ä−√20 Lời giải.
P =√5Ä√5 + 2ä−√20 = √5·√5 + 2√5−2√5 = Câu Tìm giá trị củamđể đường thẳng(d) : y=mx+ 3đi qua điểmA(1; 5)
Lời giải.
Thay tọa độ điểmAvào(d), ta có
5 = m+ 3⇔m =
Vậym= 2thỏa yêu cầu toán
Câu Giải hệ phương trình
(
3x−y=
x+y= Lời giải.
(
3x−y=
x+y= ⇔ (
y= 5−x
3x−(5−x) = ⇔ (
y = 5−x
4x= 12 ⇔ (
x=
y=
VậyS ={(3; 2)}
(96)a) Giải phương trình vớim =
b) Tìmmđể phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiệnx1(x1+ 2) +x2(x2+ 2) = 20 Lời giải.
a) Vớim = 4, phương trình trở thànhx2−4x+ =
Vìa+b+c= 0nên phương trình có hai nghiệmx1 = 1;x2 =
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt⇔∆0 >0⇔4−m+ 1>0⇔m <5 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
(
x1+x2 =
x1x2 =m−1 Ta có
x1(x1+ 2) +x2(x2+ 2) = 20
⇔ x21+x22+ (x1+x2) = 20
⇔ (x1+x2)
−2x1x2+ (x1+x2) = 20
⇔ 16−2(m−1) + = 20
⇔ −2m =−6
⇔ m = 3(nhận)
Vậym= 3thỏa yêu cầu toán
Câu Cho 4ABC nhọn(AB < AC)nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường cao BD, CE tam giácABC (D∈AC,E ∈AB)
a) Chứng minh tứ giácBCDE nội tiếp đường tròn
b) Gọi giao điểm củaAOvớiBDvàEDlần lượt làK,M Chứng minh M D2 =
1
KD2 +
1
AD2 Lời giải.
O
B
A
E
M x
K
C D
a) VìBD,CElà hai đường cao tam giácACB nên\BEC =BDC\= 90◦
Xét tứ giácBCDE có\BEC =BDC\ = 90◦nên tứ giácBCDE tứ giác nội tiếp (hai đỉnhD,E nhìn cạnhBC hai góc vng)
(97)• Vì tứ giácBCDEnội tiếp nênBCD\ =\AED(cùng bù vớiBED).\ (1)
• Xét (O) có BAx[ = BCA[ (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
AB) (2)
Từ(1)và(2)suy raBAx[ =\AED, mà góc vị trí so le nênAx∥ED MàAx⊥AO(cmt) nênED⊥AO={M}
Tam giácADK vng tạiD, đường caoDM có DM2 =
1
DK2 +
1
DA2 (hệ thức lượng) Vậy ta có điều phải chứng minh
Câu Cho số thực dươngx,y,z thỏa mãnx2+y2+z2 = 3xyz.
Tìm giá trị lớn biểu thứcP = x
2 x4+yz +
y2 y4+xz +
z2 z4+xy Lời giải.
Từ giả thiết ta có
x2+y2+z2 = 3xyz ⇒ x
yz + y xz +
z xy =
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x yz
y xz, ta có
x yz +
y xz ≥2
x yz · y xz = z Tương tự, ta có x
yz + z xy ≥2
x yz · z xy = y y xz + z xy ≥2
y xz · z xy = x Suy x
yz + y xz + x yz + z xy + y xz + z xy ≥ z + x + y ⇒ x yz + y xz + z xy ≥ z + x+ y ⇒ z + x+
y ≤3 Mặt khácx4+yz ≥2√x4yz = 2x2√yz ⇒ x
2 x4+yz ≤
1 2√yz =
1 ·2·
1 √ y · √ z ≤ Ç y + z å Tương tự y
2 y4+xz ≤
1 Ç x+ z å ; z z4+xy ≤
1 Ç x + y å Suy raP = x
2 x4+yz +
y2 y4+xz +
z2 z4 +xy ≤
1 Ç x + y + z å = Ç x + y + z å ≤
⇒P ≤
2
Dấu “=” xảy khix=y=z = VậyPmax =
3
(98)18 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Khánh Hòa năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu Giải phương trình sau (khơng dùng máy tính cầm tay) x4+ 3x2−4 = Câu Giải hệ phương trình sau (khơng dùng máy tính cầm tay)
(
x+ 2y=
x−5y=−9
Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểmT(−2; 2), parabol (P) có phương trình y = −8x2 và đường thẳngdcó phương trìnhy=−2x−6
a) ĐiểmT có thuộc đường thẳngdkhông?
b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳngdvà parabol(P)
(1,0 điểm)
Câu Cho biểu thứcP =√4x−√9x+ 2√x
x vớix >0 a) Rút gọnP
b) Tính giá trị củaP biếtx= + 2√5 (khơng dùng máy tính cầm tay)
(2,0 điểm)
Câu Cho tam giác ABC vuông tạiA, đường caoAH Vẽ đường trịn(A)bán kínhAH Từ đỉnhB kẻ tiếp tuyếnBI với(A)cắt đường thẳngAC tạiD(điểmIlà tiếp điểm,I vàHkhông trùng nhau)
a) Chứng minhAHBI tứ giác nội tiếp b) ChoAB = 4cm,AC = 3cm TínhAI
c) GọiHK đường kính của(A) Chứng minh rằngBC =BI+DK
(3,0 điểm)
Câu
a) Cho phương trình2x2 −6x+ 3m+ = 0(vớim là tham số) Tìm giá trị của mđể phương trình cho có hai nghiệm phân biệtx1;x2 thỏa mãnx31+x32 =
b) Trung tâm thương mại VC thành phố NT có100 gian hàng Nếu gian hàng Trung tâm thương mại VC cho thuê với giá 100 000 000đồng (một trăm triệu đồng) năm tất gian hàng thuê hết Biết rằng, lần tăng giá5%tiền thuê gian hàng năm Trung tâm thương mại VC có thêm gian hàng trống Hỏi người quản lý Hải định giá thuê gian hàng đồng năm để doanh thu Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng lớn nhất?
(99)II
Lời giải
Câu Giải phương trình sau (khơng dùng máy tính cầm tay) x4+ 3x2−4 =
Lời giải.
Đặtt=x2, điều kiệnt≥0 Khi phương trình trở thành t2+ 3t−4 = 0⇔
"
t=
t=−4(loại)
⇒x2 = 1⇔x=±1
VậyS ={±1}
Câu Giải hệ phương trình sau (khơng dùng máy tính cầm tay)
(
x+ 2y=
x−5y=−9 Lời giải.
(
x+ 2y=
x−5y=−9 ⇔ (
x+ 2y= 7y= 14 ⇔
(
x= 5−2·2
y= ⇔
(
x=
y=
VậyS ={(1; 2)}
Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểmT(−2; 2), parabol (P) có phương trình y = −8x2 và đường thẳngdcó phương trìnhy=−2x−6
a) ĐiểmT có thuộc đường thẳngdkhơng?
b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳngdvà parabol(P)
(1,0 điểm)
Lời giải.
a) Thay tọa độ điểmT vào phương trình đường thẳngd, ta có
2 = −2·(−2)−6⇔2 = −2(vơ lí) Vậy điểmT khơng thuộc đường thẳngd
b) Phương trình hồnh độ giao điểm củadvà(P)là
−8x2 =−2x−6⇔8x2−2x−6 = 0⇔
x= 1⇒y=−8
x=−3
4 ⇒y=−
Vậy tọa độ giao điểm làA(1;−8)vàB
Ç
−3
4;−
å
Câu Cho biểu thứcP =√4x−√9x+ 2√x
(100)a) Rút gọnP
b) Tính giá trị củaP biếtx= + 2√5 (khơng dùng máy tính cầm tay)
(2,0 điểm)
Lời giải.
a) Vớix >0, ta có
P =√4x−√9x+ 2√x
x =
√
x−3√x+ 2√x=√x b) Vớix= + 2√5, ta có
P =
»
6 + 2√5 =
… Ä√
5 + 1ä2 =
√
5 + =
√
5 +
Câu Cho tam giác ABC vuông tạiA, đường caoAH Vẽ đường trịn(A)bán kínhAH Từ đỉnhB kẻ tiếp tuyếnBI với(A)cắt đường thẳngAC tạiD(điểmIlà tiếp điểm,I vàHkhông trùng nhau)
a) Chứng minhAHBI tứ giác nội tiếp b) ChoAB = 4cm,AC = 3cm TínhAI
c) GọiHK đường kính của(A) Chứng minh rằngBC =BI+DK
(3,0 điểm)
Lời giải.
a) Chứng minhAHBI tứ giác nội tiếp Xét tứ giácAHBI có
\
AHB +AIB[ = 90◦+ 90◦ = 180◦
⇒ Tứ giác AHBI nội tiếp (tổng hai góc đối
180◦)
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AH = AI
Xét4ABC vng tạiA, đường caoAHcó
1
AH2 =
1
AC2+
1
AB2 (hệ thức lượng tam giác vuông)
⇒AH =AI = 2,4cm
A B
H C
D I K
c) Chứng minhBC =BI+DK
Vì tứ giácAHBI nội tiếp nênHBI[ =KAI[ (góc góc đối ngồi) Mặt khác,ABI[ =DAI[ (phụ với\BDA)
Từ ta có KAD\ = HBA, mà\ HBA\ = ABI[ (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) nên ta có \
KAD = DAI.[
Xét4KADvà4DAI có
KA=AI \
KAD=DAI[ ADchung
(101)Xét4BCDcó
ABvừa đường cao, vừa phân giác
⇒ 4BCDcân tạiB ⇒BC =BD
Ta cóBC =BD =BI +DI =BI +DK
Câu
a) Cho phương trình2x2 −6x+ 3m+ = 0(vớim là tham số) Tìm giá trị của mđể phương trình cho có hai nghiệm phân biệtx1;x2 thỏa mãnx31+x32 =
b) Trung tâm thương mại VC thành phố NT có100 gian hàng Nếu gian hàng Trung tâm thương mại VC cho thuê với giá 100 000 000đồng (một trăm triệu đồng) năm tất gian hàng thuê hết Biết rằng, lần tăng giá5%tiền thuê gian hàng năm Trung tâm thương mại VC có thêm gian hàng trống Hỏi người quản lý Hải định giá thuê gian hàng đồng năm để doanh thu Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng lớn nhất?
(2,0 điểm)
Lời giải.
a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệtx1;x2 nghĩa
∆0 ≥0⇔9−2·(3m+ 1)≥0⇔7−6m ≥0⇔m ≤
6
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
x1+x2 =− b a = x1·x2 = c
a =
3m+
Yêu cầu toán
x31+x32 = ⇔(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2) =
⇔33−3
Ç
3m+
å
·3 =
⇔m = 1(nhận)
b) Gọixlà số lần tăng giá thuê gian hàng,y doanh thu Trung tâm nhận (0≤ x ≤50và y >100 000 000) Ta có hàm số biểu diễn doanh thu nhận
y= 100000000·(1 + 5%·x)·(100−2x) = 100000000·Ä100−2x+ 5x−0,1x2ä
=−100000000·Ä0,1x2−3x−100ä =−100000000·
1
√
10x− 3√10
2 !2
− 245
2
=−100000000· √1
10x− 3√10
2 !2
+ 12250000000≤12250000000
Vậy doanh thuyđạt lớn √1
10x− 3√10
2 = 0⇔x= 15, nghĩa giá thuê
mỗi gian hàng là100000000·(1 + 5%·15) = 175000000(đồng)
(102)19 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Ninh Bình năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu
a) Rút gọn biểu thức:A=√2 +√18 b) Rút gọn biểu thức:P =
√
x
√
x+ −
√
x−3 + 6√x
x−9 (vớix≥0, x6= 9)
Câu Giải hệ phương trình:
(
3x+y= 2x−y =
Câu Cho phương trình:x2+ 5x+m−2 = 0 (1), vớimlà tham số. a) Giải phương trình (1) khim = 6;
b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 cho biểu thức S =
(x1−x2)
+ 8x1x2đạt giá trị lớn
Câu Bác Bình gửi tiết kiệm100triệu đồng vào ngân hàngA, kì hạn năm Cùng ngày, bác gửi tiết kiệm150 triệu đồng vào ngân hàngB, kì hạn năm, với lãi suất cao lãi suât ngân hàngAlà
1%/năm Biết sau năm kể từ ngày gửi tiền, bác Bình nhận tổng sổ tiền lãi là16,5triệu từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm nêu Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn năm ngân hàngAlà phần trăm?
Câu Cho đường tròn tâmOvà điểmM nằm ngồi đường trịn TừM kẻ đường thẳng qua tâm O, cắt đường tròn hai điểmAvàB(Anằm giữaM vàB) Kẻ đường thẳng thứ hai quaM, cắt đường tròn hai điểm phân biệtC, D(C nằm giữaM vàD, C khácA) Đường thẳng vng góc vớiM A M cắt đường thẳngBCtạiN, đường thẳngN Acắt đường tròn điểm thứ hai làE
a) Chứng minh tứ giácAM N C tứ giác nội tiếp b) Chứng minhDE vng góc vớiM B
Câu Trên khúc sông với bờ song song với nhau, có đị dự định chèo qua sơng từ vị tríA bờ bên sang vị trí B bờ bên kia, đường thẳng AB vng góc với bờ sơng Do bị dòng nước đẩy xiên nên đò cập bờ bên vị tríC cáchB khoảng bằng30m Biết khúc sơng rộng150m, hỏi dịng nước đẩy đị lệch góc có số đo bao nhiêu? (kết làm tròn đến giây)
Câu
a) Tìm tất số nguyên tốpsao cho tổng ước nguyên dương củap2 là số phương. b) Chox,y,zlà số thực dương thỏa mãnx+y+z ≥2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
T = x
2 x+√yz +
y2 y+√zx+
(103)II
Lời giải
Câu
a) Rút gọn biểu thức:A=√2 +√18 b) Rút gọn biểu thức:P =
√
x
√
x+ −
√
x−3 + 6√x
x−9 (vớix≥0, x6= 9)
Lời giải.
a) Ta cóA=√2 +√18 =√2 + 3√2 = 4√2 b) Vớix≥0, x6= 9, ta có
P =
√
x
√
x+ −
√
x−3+ 6√x x−9 =
√
x·(√x−3) (√x+ 3)·(√x−3)−
3·(√x+ 3)
(√x+ 3)·(√x−3) +
6√x
(√x+ 3)·(√x−3) = x−3
√
x−3√x−9 + 6√x
(√x+ 3)·(√x−3) = x−9
(√x+ 3)·(√x−3) =
(√x+ 3)·(√x−3) (√x+ 3)·(√x−3) =
VậyP =
Câu Giải hệ phương trình:
(
3x+y= 2x−y = Lời giải.
Ta có
(
3x+y= 2x−y = ⇔
(
3x+y= 5x= ⇔
(
y=−1
x=
Vậy hệ phương trình có nghiệm(x;y) = (1;−1) Câu Tìm tọa độ giao điểm hai đường thằng(d1) :y=x−3và(d2) :y=−2x+
Lời giải.
Phương trình hồnh độ giao điểm củad1 vàd2
x−3 =−2x+ 3⇔3x= ⇔x= ⇒y=−1
Vậy giao điểm củad1vàd2 làA(2;−1)
Câu Cho phương trình:x2+ 5x+m−2 = 0 (1), vớimlà tham số. a) Giải phương trình (1) khim = 6;
b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 cho biểu thức S =
(x1−x2)
+ 8x1x2đạt giá trị lớn Lời giải.
a) Vớim = 6thì phương trình (1) trở thànhx2 + 5x+ = 0⇔
"
x=−1
(104)b) Ta có∆ = 52−4·1·(m−2) = 25−4m+ =−4m+ 33 Để phương trình có hai nghiệmx1,x2 thì∆≥0
⇔ −4m+ 33 ≥0⇔m ≤ 33
4
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
x1+x2 =−5 x1x2 =m−2
Xét biểu thức
S = (x1−x2)
+ 8x1x2 = (x1+x2)
+ 4x1x2 = (−5)2+ 4(m−2) = 17 + 4m Ta có:m≤ 33
4 ⇒4m ≤33⇒17 + 4m≤33 + 17 = 50
Vậy giá trị lớn Slà50 Dấu “=” xảy khim = 33
Câu Bác Bình gửi tiết kiệm100triệu đồng vào ngân hàngA, kì hạn năm Cùng ngày, bác gửi tiết kiệm150 triệu đồng vào ngân hàngB, kì hạn năm, với lãi suất cao lãi suât ngân hàngAlà
1%/năm Biết sau năm kể từ ngày gửi tiền, bác Bình nhận tổng sổ tiền lãi là16,5triệu từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm nêu Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn năm ngân hàngAlà phần trăm?
Lời giải.
Gọi lãi suất gửi tiết kiệm hàng năm ngân hàng A làx%/năm (x >0)
⇒lãi suất gửi tiết kiệm hàng năm ngân hàng B là(x+ 1)%/năm
Tiền lãi bác Bình nhận sau năm gửi vào ngân hàng A là100x%(triệu đồng) Tiền lãi bác Bình nhận sau năm gửi vào ngân hàng B là150(x+ 1)%(triệu đồng)
Tổng số tiền lãi bác Bình nhận từ hai khoản tiết kiệm là16,5triệu đồng nên ta có phương trình
100x% + 150(x+ 1)% = 16,5
Giải phương trình ta đượcx= 6(thỏa mãn)
Vậy lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn năm ngân hàng A là6% Câu Cho đường trịn tâmOvà điểmM nằm ngồi đường tròn TừM kẻ đường thẳng qua tâm O, cắt đường tròn hai điểmAvàB(Anằm giữaM vàB) Kẻ đường thẳng thứ hai quaM, cắt đường tròn hai điểm phân biệtC, D(C nằm giữaM vàD, C khácA) Đường thẳng vng góc vớiM A M cắt đường thẳngBCtạiN, đường thẳngN Acắt đường tròn điểm thứ hai làE
a) Chứng minh tứ giácAM N C tứ giác nội tiếp b) Chứng minhDE vng góc vớiM B
Lời giải.
N
M B
D
O
E A
(105)a) Xét tứ giácAM N C có
• AM N\ = 90◦ (M N ⊥AB)
• ACB[ = 90◦(góc nội tiếp chắn đường tròn(O)
⇒ACB[ =AM N\ = 90◦
Do tứ giácAM N Cnội tiếp đường trịn đường kínhAN b) Vì tứ giácAM N Cnội tiếp đường trịn đường kínhAB nên
\
CN A=CM A\ (hai góc nội tiếp chắn cungAC) hayBN E\ =BM D.\ (1) Xét đường trịn(O), ta có
• BN E\ góc có đỉnh nằm bên ngồi đường tròn(O)và chắn cungAC vớiBE nênBN E\ =
2(sđBE¯+sđAC¯) (2)
• DM B\ góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn(O)và chắn cungACvớiBDnênDM B\ =
2(sđBD¯ +sđAC¯) (3)
Từ (1), (2), (3) suy sđBE¯ =sđBD¯ hayBE =BD, suy raDnằm đường trung trực củaDE
(4)
Lại có\ADB=AEB[ = 90◦ (các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn(O)) Xét4ADBvà4AEB có
• \ADB =AEB[ = 90◦ (chứng minh trên);
• AB: cạnh chung;
• DB =BE (chứng minh trên)
Suy ra4ADB =4AEB(cạnh huyền - cạnh góc vng)
⇒AD =AE hayAnằm đường trung trực củaDE (5) Từ (4) (5) suy raABlà đường trung trực củaDE
⇒AB ⊥DEhayM B ⊥DE (điều phải chứng minh)
Câu Trên khúc sông với bờ song song với nhau, có đị dự định chèo qua sơng từ vị tríA bờ bên sang vị trí B bờ bên kia, đường thẳng AB vng góc với bờ sơng Do bị dịng nước đẩy xiên nên đò cập bờ bên vị tríC cáchB khoảng bằng30m Biết khúc sơng rộng150m, hỏi dòng nước đẩy đò lệch góc có số đo bao nhiêu? (kết làm trịn đến giây)
Lời giải.
Ta cóAB⊥AC ⇒ 4ABC vuông tạiB
Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giácABC ta có
tanACB = AB
BC =
150
30 = 5⇒ACB[ = 78
◦
4102400
Vậy dòng nước đẩy đị lệch góc có số đo
90◦−78◦4102400= 11◦1803600
30m
150m
B C
(106)Câu
a) Tìm tất số nguyên tốpsao cho tổng ước nguyên dương củap2 số phương b) Chox,y,zlà số thực dương thỏa mãnx+y+z ≥2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
T = x
2 x+√yz +
y2 y+√zx+
z2 z+√xy Lời giải.
a) Ta cóplà số nguyên tố thìpcó ước ngun dương là1,pvàp2 Theo đề bài, ta có
1 +p+p2 =k2(k ∈N∗)⇒4k2 = 4p2+ 4p+
⇔4k2 = (2p+ 1)2 +
⇔4k2−(2p+ 1)2 =
⇔(2k−2p−1)(2k+ 2p+ 1) = (*) Ta cók, p∈N∗ ⇒2k+ 2p+ 1>0; 2k−2p−1<2k+ 2p+ 1nên từ (1) ta có
(
2k−2p−1 = 2k+ 2p+ = ⇔
(
k = (thỏa)
k = (không thỏa) Vậy số nguyên tốpnào thỏa mãn đề
b) Bổ đề: Vớia,b,c,x,y,z >0ta có a2 x + b2 y + c2 z ≥
(a+b+c)2
x+y+z
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-Cốp-ki cho ba số
Ç a √ x; √ x å
, √b
y; √ y ! , Ç c √ z; √ z å , ta có Ç a2 x + b2 y + c2 z å
(x+y+z) = Ç a √ x å2
+ √b
y !2 + Ç c √ z
å2
ỵ
(√x)2+ (√y)2+ (√z)2ó
≥ √a
x ·
√
x+√b
y ·
√
y+√c
z ·
√
z
!2
= (a+b+c)2
⇒ a x + b2 y + c2 z ≥
(a+b+c)2
x+y+z
Áp dụng bất đẳng thức cho số hạng trongT ta
T = x
2 x+√yz +
y2 y+√zx+
z2 z+√xy ≥
(x+y+z)2
(x+y+z) + (√yz +√zx+√xy)
Mà√yz+√2x+√xy≤ y+z
2 +
x+z
2 +
x+y
2 (Bất đẳng thức Cô-si)
⇒ √yz +√zx+√xy≤x+y+z
⇒ T ≥ (x+y+z)
2
(x+y+z) + (x+y+z) =
x+y+z
2 ≥ 2019
2
Dấu “=” xảy khix=y=z = 673 VậyTmin = 2019
2 khix=y =z = 673
(107)20 Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Quảng Ninh năm học 2019-2020
I
Đề bài
Câu
a) Thực phép tính2√9−3√4 b) Rút gọn biểu thức sau
28(a−2)2
7 , vớia >2
c) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm sốy=x2 đồ thị hàm sốy= 3x−2 Câu Cho phương trìnhx2+ 2x+m−1 = 0, vớimlà tham số.
a) Giải phương trình vớim =
b) Tìm giá trị củam để phương trình cho hai nghiệm phân biệt thỏa mãnx3
1+x32−6x1x2 =
4(m−m2).
Câu Hai người thợ làm cơng việc trong9ngày xong Mỗi ngày, lượng công việc người thợ thứ hai làm nhiều gấp ba lần lượng công việc người thợ thứ Hỏi làm người làm xong cơng việc ngày?
Câu Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB vàCD vng góc với Gọi E điểm thuộc cung nhỏBC (E không trùng vớiB vàC), tiếp tuyến đường tròn(O;R)tạiE cắt đường thẳngAB tạiI GọiF giao điểm DE vàAB,K điểm thuộc đường thẳngIE choKF vng góc với AB
a) Chứng minh tứ giácOKEF nội tiếp b) Chứng minhOKF\ =ODF\
c) Chứng minhDE·DF = 2R2.
d) GọiM giao điểm củaOK vớiCF TínhtanM DC\ khiEIB[ = 45◦
Câu Chox, y, z số thực dương thỏa mãn x+y+z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
x2+y2+z2 +
2019
xy+yz +zx
II
Lời giải
Câu Lời giải.
a) Ta có2√9−3√4 = 2·3−3·2 = b) Ta có
28(a−2)2
7 = 2|a−2|= 2(a−2)(vìa >2)
c) Phương trình hồnh độ giao điểm:x2 = 3x−2⇔x2−3x+ = 0⇔
"
x=
x= Suy hai giao điểm có tọa độ (1; 1)và(2; 4)
(108)a) Giải phương trình vớim =
b) Tìm giá trị củam để phương trình cho hai nghiệm phân biệt thỏa mãnx3
1+x32−6x1x2 =
4(m−m2) Lời giải.
a) Vớim = 1, ta cóx2+ 2x= 0⇔
"
x=
x=−2
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì∆0 >0⇔1−(m−1)>0⇔m <2 Theo Vi-ét ta có
(
x1+x2 =−2 x1x2 =m−1
Khi
x31+x32 −6x1x2 = 4(m−m2) ⇔ (x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−6x1x2 = 4(m−m2)
⇔ −2[(−2)2−3(m−1)]−6(m−1) = 4(m−m2)
⇔ m2−m−2 = 0⇔
"
m =−1(nhận) m = 2(loại) Vậym=−1
Câu Hai người thợ làm cơng việc trong9ngày xong Mỗi ngày, lượng công việc người thợ thứ hai làm nhiều gấp ba lần lượng công việc người thợ thứ Hỏi làm người làm xong cơng việc ngày?
Lời giải.
Gọix(ngày), y (ngày) thời gian hồn thành cơng việc người thứ người thứ hai (x, y ∈N∗).
Do hai người làm trong9ngày hồn thành cơng việc nên x +
1
y =
1
9 (1)
Trong ngày người thứ hai làm nhiều gấp ba lần người thứ nên y =
3
x (2)
Từ (1) (2) ta hệ phương trình
x +
1
y =
1
x =
1
y
⇔
(
x= 36
y= 12 (thỏa mãn)
Vậy làm xong công việc người thứ làm hết36ngày, người thứ hai làm hết12ngày Câu Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB vàCD vng góc với Gọi E điểm thuộc cung nhỏBC (E không trùng vớiB vàC), tiếp tuyến đường tròn(O;R)tạiE cắt đường thẳngAB tạiI GọiF giao điểm DE vàAB,K điểm thuộc đường thẳngIE choKF vng góc với AB
a) Chứng minh tứ giácOKEF nội tiếp b) Chứng minhOKF\ =ODF\
c) Chứng minhDE·DF = 2R2.
(109)Lời giải.
a) Ta cóKF ⊥ OF nênKF O\ = 90◦ vàIE ⊥OE nênKEO\ = 90◦, suy raOKEFlà tứ giác nội tiếp b) VìOKEF tứ giác nội tiếp nênOKF\ =OEF[
Lại có tam giác OED cân O nên \ODE =
\ OED
Suy raOKF\ =\ODF
c) Xét4OF Dvà4ECDcóCED\chung, \
CED = F OD\ = 90◦ nên 4OF D v 4ECD Suy
OD ED =
F D
CD ⇒R·2R =F D·EC ⇒F D·EC = 2R
O F B I
A
N E
K C
D
M
d) KẻM N ⊥CD tạiN Ta cóOKF\ =ODF\,KF O\ =\DOF = 90◦ ⇒ 4KF O =4DOF, suy raKF =DO =OC =R
VìKF ⊥AB, CO⊥ABnênKF ∥CO MàKF =CO =RnênCKF Olà hình chữ nhật, suy M trung điểm củaCF Từ suy raN trung điểmCO, vậyDN =DO+ON = 3R
2
Mặt khác ta cóEIB[ = 45◦nên4F KI vng cân tạiF ⇒F I =F K =R
Lại có 4EOI vuông cân E nên OI = R√2 ⇒ F O = OI −F I = (√2− 1)R Do M N = F O
2 =
(√2−1)R
2 , suy ratanM DC\ =
M N DN =
√
2−1
Câu Chox, y, z số thực dương thỏa mãn x+y+z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
x2+y2+z2 +
2019
xy+yz +zx Lời giải.
Ta cóxy+yz+zx≤ (x+y+z)
2
3 ≤
1 nên
2017
xy+yz+zx ≥6051 Áp dụng bất đẳng thức(x+y+z)
Ç
1
x +
1
y +
1
z
å
≥9, ta có
Ä
x2+y2+z2+ 2(xy+yz+zx)ä
Ç
1
x2+y2 +z2 +
1
xy+yz+zx +
1
xy+yz+zx
å
≥9
⇔
x2 +y2+z2 +
2
xy+yz+zx ≥9 Suy
P =
x2+y2+z2 +
2019
xy+yz+zx
=
x2+y2+z2 +
2
xy+yz+zx +
2017
xy+yz+zx
≥ + 6051 = 6060 Dấu xảy khix=y=z =
MathSpace Education