Đáp án đề thi vào lớp 10 môn Toán (chuyên) trường thpt chuyên Quang Trung Bình Phước 2011-2012

1 hãy tìm số học sinh giỏi của trường năm học trên.. Giải: a Giải phương trình:.[r]

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (CHUYÊN) TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC 2011-2012 Thời gian làm bài 150’ Ngày thi 08/07/2011 Câu (2điểm): Cho biểu thức: P   x4 x  3x 19  x  :     x  x  16  x x  x2  4x  a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x     Giải: a) x   x( x  4)    ĐKXĐ:  x  19  x  x    0   x  3 x  x  4x  x  2 x( x  3)  x  16  x  19  x  x( x  3)  x( x  4)  x2 P :       x( x  4) x     x    x   x  b) x        1    1  Thay x=2 vào P ta có 2 1   1 22 P  2 24 Câu (2điểm): a) Giải phương trình: 2 x  3  10 x3  15 x  b) Số học sinh giỏi quốc gia trường THPT chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước năm học 2010-2011 là số tự nhiên ab ; với a, b thỏa mãn hệ phương trình: 3a  6b   2ab  2a  3b  34  ab 1 hãy tìm số học sinh giỏi trường năm học trên 2  Giải: a) Giải phương trình: 2 x  3  10 x  15 x   2 x  3  x 2 x  3  2 x   2 x  32 x  x  3   x  x     x   2 (vì x   ) Vậy tập nghiệm pt là: s  1;   2 2 Sưu tầm và giới thiệu Lop10.com 3a  6b   2ab 7 a  12b  71 3a  6b   2ab 1  b)    2a  3b  34  ab 4a  6b  68  2ab 2a  3b  34  ab 2  từ (1) suy a  71  12b vào (2) ta có b   N 71  12b 71  12b 2  3b  34  b  3b  17b  24    b   N 7  với b  từ (1) suy a  Vậy số học sinh giỏi trường là: 53 Câu (2điểm): a) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  c  Chứng minh: 1     ab  bc  ca Dấu xảy nào? b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  x3 y  y  128 Giải: a) Theo BĐT Côsi ta có x  y  z  3 xyz 1    3 xyz x y z 1 1 1  x  y  z          x y z x yz x y z Áp dụng BĐT trên ta có A 1     ab  bc  ca  ab  bc  ca a  b  c  Ta có BĐT phụ ab  bc  ca  Ta có a  b   b  c   c  a  2   2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca   a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  2ab  2bc  2ca  3ab  3bc  3ca  a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c  mà a  b  c  nên ab  bc  ca  Do đó: 9 A    ab  bc  ca  3  3 Dấu xảy 1  ab   bc   ca   a  b  c 1 a  b  c a  b  c   Cách 2: 1  ab 1  ab 1  ab  ab  2 1   1   ab  ab  ab 4 Sưu tầm và giới thiệu Lop10.com Tương tự ta có  ab  ca  ;   ab  ca 1  (ab  bc  ca )      ab  bc  ca Cần chứng minh BĐT phụ a  b  c  ab  bc  ca  Tương tự trên b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  x y  y  128  x  y   x   82  82  8   82  82  8   8   8  2 2 2  x  y   y   y  )     x  x  x   x  y  8  y  16  y  16 )    x   x  x    x  y   y  16  y  16 )     x  8  x  2  x  8 y   x  y  8  y  )     x  8  x  8  x  2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là (x;y)=(2;0); (2;16); (-2;-16); (-2;0) Cách 2: Đặt: x3  t đó ta có pt: 2t  yt  y  128  4t  yt  y  256  2t  y   y  162  02  02  162 Cách 3: Đặt: x3  t đó ta có pt: 2t  yt  y  128  2t  yt  y  128  0; t /   y  256 Pt có nghiệm  t /    y  256   16  y  16 Thế y vào pt ta tìm x Câu (4điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O dường phân giác góc A cắt đường tròn (O) điểm M ( khác điểm A) Tiếp tuyến kẻ từ M (O) cắt các tia AB và AC D và E a) Chứng minh: BC song song với DE Sưu tầm và giới thiệu Lop10.com b) Chứng minh: AMBMEC ; AMCMDB Cho AC  CE c) Chứng minh: AM  AB  AC ( lưu ý: thí sinh có thể sử dụng định lí Ptô-lê-mê “nếu VLTC là tứ giác nội tiếp, thì VT.LC=VL.TC+VC.LT” để chứng minh ý d ) A 12 O B 1 D M C E B' a) Chứng minh: BC song song với DE A  sñAC A B A  sñACM A A A  sñCM A  sñMB A D  sñMB  sñAC 2 A A A  sñCM A  sñMB A mà A     A D A và B A ,D A đồng vị Do đó B 1 nên BC song song DE b) Chứng minh: AMBMEC ; AMCMDB ta có A A A ) CME  BAM ( cùng góc A (1) A ) A A ( cùng chắn cung AB BMA C A E A ( đồng vị ) C (2) (3) A A từ (2) và (3) suy BMA E từ (1) và (4) suy AMBMEC (g-g) (4) * chứng minh tương tự ta có AMCMDB (g-g) - thí sinh phải chứng minh c) Cho AC  CE Chứng minh: AM  MD.ME Sưu tầm và giới thiệu Lop10.com Vì AMBMEC  MA MB  ME CE Lại có: AMCMDB  và AC=CE (gt) nên MB MD  AC MA (5) (6) MA MD   MA2  MD.ME ME MA AB  AC AM  từ (5) và (6) suy d) Chứng minh: MA MB  ME AC (đpcm) trên tia đối tia AC lấy điểm B’ cho CB’=AB (7) A A  MC A  MB  MC (8) ta có AM là tia phân giác góc BAC (gt)  MB A A A MBA  MCB' ( cùng bù góc MCA ) từ (7), (8) và (9) suy MBA=MCB’ (c-g-c)  MA=MB’ Mặt khác: Theo BĐT tam giác AMB’ có AM+MB’>AB’ Mà AB’= AC+CB’=AC+AB Do đó AM+MB’>AB’=AB+AC Hay AM+AM > AB+AC  2AM > AB+AC  AM  AB  AC (9) (đpcm) Sưu tầm và giới thiệu Lop10.com