Đáp án Môn Toán Lớp 7 - Tuần 26 - 27

a) Tính AC và AE.. c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm L sao cho D là trung điểm của AL.. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DG lấy điể[r]

Bài TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1- Đường trung tuyến tam giác

• Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC

• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến

2 Tính chất ba đường trung tuyến tam giác

Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác đó, điểm cách đỉnh

một khoảng 2

3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.

+ Nếu G trọng tâm tam giác ABC

2 3 AG BG CG AD BE CF 

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB=AC=5 cm BC=6 cm D trung điểm của BC.

a) Tam giác ABD tam giác gì? Tính AD. b) Trung tuyến BE cắt AD G Tính AG.

Giải.

a) Dễ dàng chứng minh ABD = ACD (c.c.c) Suy ADB ADC . Mà ADB ADC 180o  ADB ADC 90o,

hay ABD tam giác vuông D

+ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ADB vuông D Với AB=5 cm, BD=3 cm

Có AD2 + BD2 = AB2 => AD2 = AB2 - BD2 => AD2 =52 – 32 => AD = cm.

b)Trong tam giác ABC có đường trung tuyến AD BE cắt tại G nên G trọng tâm tam giác ABC.

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có

2 2 8

.4

3 3 3

AG AD  cm

Bài 2. Cho tam giác ABC vng A có AB=8 cm, BC= 10 cm Trung tuyến AD cắt trung tuyến BE G.

d) Kéo dài CG cắt AB K Tính CK.

Giải.

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABC vng A

Có AB2 + AC2 =BC2 => AC2 =BC2 - AB2 => AC2 =102 – 82=36=> AC = cm.

+ Do E trung điểm AC nên

6 3 2 2 AC AE EC   

cm

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABE vng A, AB=8 cm, AE=3 cm

Có AB2 + AE2 =BE2 => BE2 =82 + 32=73=>BE = 73cm.

+ Do G trọng tâm tam giác ABC nên

2 2 73

3 3

BG BE

cm c) Trên tia đối tia DA lấy điểm L cho D trung điểm AL Xét ADB LDC có

AD=LD (D trung điểm AL)

 

ADB CDL (đối đỉnh)

DB=DC (D trung điểm BC)

Suy ADB =LDC (c.g.c) => ABD LCD (góc tương ứng) AB=CL(cạnh tương ứng)

Mà ABD LCD, hai góc so le nên CL // AB  CLAC(từ song song đến vng góc)

Xét hai tam giác vng ABC CLA có : AB=CL (cmt); AC chung. Suy ABC = CLA (cgv-cgv) => AL=BC (cạnh tương ứng)

Mà 2 2 5

AL BC AD  

cm

Chú ý: Trung tuyến ứng với cạnh huyền (của tam giác vng) có độ dài nửa độ dài cạnh huyền.

d) Do G trọng tâm tam giác ABC nên K trung điểm AB => 8

4 2 2 AB AK KB  

cm

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng AKC vng A, có AK=4 cm, AC=6 cm

Bài 3. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh:

a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB AN // MB Giải.

a) Do G trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm

2 1

2

3 3

AG AD DG AD AG GD

Do D trung điểm GM nên GM=2GD Suy AG=GM (=2GD) Tương tự ta chứng minh GN=GB

b) Xét AGN MGB có: AG=GM (cmt);AGN MGB (đối đỉnh); GN=GB (cmt)

Suy AGN =MGB (c.g.c) => GAN GMB  (góc tương ứng) AN=MB (cạnh tương ứng) Mà GAN GMB , hai góc so le nên AN // BM

Bài Cho ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Lấy G

thuộc cạnh AC cho AG = 1

3AC Tia DG cắt BC E Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt F Gọi M giao điểm EF CD Chứng minh:

a) G trọng tâm BCD; b) BED = FDE, từ suy EC = DF;

c) DMF = CME; d) B, G, M thẳng hàng. Giải.

a) Vì AD = AB nên A trung điểm BD=> CA đường trung tuyến BCD

Mà AG = 1

3AC => G trọng tâm BCD

b) Ta có : BD || EF => BDE DEF 

và DE || BC => BED EDF và ED cạnh chung.

=>BED = FDE (g.c g) => BE = DF (hai cạnh tương ứng) (1) Mặt khác G trọng tâm BCD nên E trung điểm BC

d) Do DMF = CME => MD = MC => M trung điểm DC => BM trung tuyến BCD.

=> G BM => B, G, M thẳng hàng.

Bài 5. Cho ABC vuông A, AB = cm, AC = cm. a) Tính BC

b) Đường thẳng qua trung điểm I BC vng góc với BC cắt AC D

Chứng minh CBD DCB  .

c) Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Chứng minh BCE vuông. Giải

a) BC = 10 cm

b) BDI = CDI (hai cạnh góc vng)=> CBD DCB  c) Ta có

BCD cân D => CBD DCB  .

CDE cân D => CED DCE  . Trong tam giác BCE có

   180o    180o   180o  90o

ECB CBE CEB    ECB BCB DCE    ECB ECB   ECB

Vậy tam giác BCE vuông C

-Bài TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí thuận

Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc

2 Định lí đảo

Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc

II BÀI TẬP

Bài 1. Tam giác ABC cạnh 10 cm có phân giác AD a) Tính độ dài BD AD

c) Kéo dài BI cắt AC F Tính AF, EC Giải.

a) Ta dễ chứng minh BAD =CAD (c.g.c). Suy BD=DC=> D trung điểm BC

BD = 1

2BC = cm.

+ Vì BAD =CAD nên BAD CAD  (góc tương ứng nhau).

Và BAD CAD 180o  BAD CAD 90o suy BAD vng D.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào BAD vng D, ta tính AD= 75cm.

b) Ta có AD CE đường trung tuyến tam giác ABC, I trọng tâm ABC.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ta có DI = 1

3AD = 75 3 cm.

c) Ta có F trung điểm AC Do tam giác ABC nên AF=FC=5 cm EC=AD= 75cm

Bài 2. Cho ABC vng A có AB = 3cm, AC = 6cm Gọi E trung điểm AC, tia phân giác A cắt BC D

a) Tính BC b) Chứng minh: BAD = EAD.

c) Gọi H, K hình chiếu D AB, AC Chứng minh điểm D cách AB AC

Giải

a) Áp dụng Định lí Pytago tam giác vng ABC

tính BC= 45 cm Vì E trung điểm AC nên

AE = 1

=> BAD =EAD (c.g.c).

c) Do DH AB nên DH khoảng cách từ D đến AB. Tương tự DK khoảng cách từ D đến AC

Suy DH = DK (Tính chất đường phân giác)

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm K cạnh BC, vẽ KH AC (HAC) Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh:

a) Chứng minh AB //HK; b) Chứng minh KAH IAH ; c) Chứng minh  AKI cân

Giải.

a) Ta có: AB  AC, KH AC => AB // KH

b) AHK = AHI (cgv-cgv) (Cạnh AH chung, HI=HK (gt)).

=> KAH IAH (góc tương ứng nhau).

c) AKI có AH vừa đường trung tuyến, vừa đường phân giác nên AKI cân A.

Bài 4. Cho tam giác ABC cân A có AD đường phân giác a) Chứng minhABDACD

b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng hàng

c) Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm Giải

G

D C

B

A a) Chứng minhABDACD

Xét ABD ACD có : AD cạnh chung

 

BAD CAD

AB = AC ABCcân A Vậy ABDACD(c.g.c).

b)Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng hàng ABDACD DB DC .

 AD đường trung tuyến Mà G trọng tâm  G AD Vậy A; D; G thẳng hàng

  BC ABD ACD ADB ADC;DB DC 5cm

2

      

mà ADB ADC 180    ADB ADC 90    ADBC ABD

 vuông D có AD2 AB2 BD2 132 52 144 AD 12

Vậy

AD 12

DG 4cm

3 3