Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

MÐ †U6 1 Lþ do chån · t i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2. Möc ½ch, èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu. . . . . . . . . . . .10 3 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 4 K¸t qu£ cõa luªn ¡n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 5 C§u tróc luªn ¡n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Ch÷ìng 1. KI˜N THÙC CHU‰N BÀ15 1.1 Nûa nhâm li¶n töc m¤nh v  to¡n tû sinh. . . . . . . . . . . . .15 1.2 T½nh ên ành mô v  nhà ph¥n mô cõa nûa nhâm. . . . . . . . .17 1.3 Khæng gian h m Banach ch§p nhªn ÷ñc. . . . . . . . . . . . .19 1.4 Khæng gian gi£m nhî. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 1.5 Nhà ph¥n mô cõa hå ti¸n hâa. . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 1.6 Nghi»m tu¦n ho n cõa ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa tuy¸n t½nh. . . .27 1.7 B§t ¯ng thùc nân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Ch÷ìng 2. SÜ TÇN T„I V€ TNH ÊN ÀNH C I—U KI›N CÕA NGHI›M TU†N HO€N ÈI VÎI PH×ÌNG TRœNH TI˜N HÂA TRUNG TNH29 2.1 Nghi»m tu¦n ho n cõa ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa trung t½nh tuy¸n t½nh31 2.2 Nghi»m tu¦n ho n cõa ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa trung t½nh nûa tuy¸n t½nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2.3 Nghi»m tu¦n ho n trong tr÷íng hñp hå ti¸n hâa câ nhà ph¥n mô37

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 10 Phương pháp nghiên cứu 12 Kết luận án 12 Cấu trúc luận án 13 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh 15 1.2 Tính ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm 17 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận 19 1.4 Không gian giảm nhớ 22 1.5 Nhị phân mũ họ tiến hóa 24 1.6 Nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính 27 1.7 Bất đẳng thức nón 28 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH 29 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến 2.3 tính 35 Nghiệm tuần hồn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 37 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ HỮU HẠN TRONG KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 3.1 3.2 49 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn khơng gian hàm chấp nhận 51 Trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 55 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ VÔ HẠN TRONG KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 4.1 72 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ hạn khơng gian hàm chấp nhận 75 4.2 Nghiệm tuần hoàn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 78 4.3 Đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97 Những kết đạt 97 Đề xuất số hướng nghiên cứu 98 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 CHỈ MỤC 106 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R : Tập số thực R+ : Tập số thực không âm R− : Tập số thực không dương C : Tập số phức     := R → R : u p =    Lp (R) 1/p |u(x)|p dx R    < +∞ , ≤ p < ∞   L1,loc (R+ ) := {u : R → R+ | u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R+ } ω ⊂⊂ R+ nghĩa bao đóng ω tập compact R+ X : Không gian Banach E : Không gian hàm Banach chấp nhận C := C([−r, 0], X)- không gian hàm liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X trang bị chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] Cγ : Không gian hàm liên tục (−∞, 0], nhận giá trị X lim θ→−∞ φ(θ) = 0, trang bị chuẩn φ e−γθ γ = sup θ≤0 φ(θ) ,γ > e−γθ Cb (I, X) : Không gian hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định I trang bị chuẩn u ∞ = sup u(t) , t∈I với I R, R+ , R− , [−r, ∞)   t+1   M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup |f (τ )|dτ < ∞ ,   t≥0 t t+1 với chuẩn f M |f (τ )|dτ := sup t≥0 t M := {f : R+ → X | f (·) ∈ M} với chuẩn f M := f (·) M MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Phương trình vi phân cơng cụ quan trọng để mô tả tượng tự nhiên kỹ thuật trình truyền nhiệt, q trình phản ứngkhuếch tán, mơ hình cạnh tranh, Trong lớp phương trình vi phân mô tả phụ thuộc vào hệ trạng thái khứ lẫn hệ trạng thái tương lai, tức phương trình vi phân vừa có “trễ” (“delay”) vừa có “sớm” (“advanced”), gọi phương trình vi phân “trung tính” (“neutral”) (xem [1, 2]) Với phương trình vi phân trung tính, việc nghiên cứu tồn ổn định nghiệm chúng phức tạp Khi đó, cách chọn khơng gian tốn tử thích hợp, lớp phương trình viết lại dạng phương trình trung tính trừu tượng khơng gian Banach thường gọi phương trình tiến hóa trung tính Trong luận án chúng tơi xét lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt t ≥ 0, u0 = φ, (1) với φ thuộc khơng gian hàm C khơng gian giảm nhớ Cγ , tốn tử tuyến tính t → A(t) khơng bị chặn khơng gian Banach X T tuần hồn theo biến t, tốn tử sai phân F : C → X tuyến tính bị chặn, tốn tử trễ phi tuyến g : R+ × C → X T -tuần hoàn liên tục Lipschitz ϕ-Lipschitz Hàm ut gọi hàm lịch sử ("history function") định nghĩa ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] θ ∈ (−∞, 0] Phương trình tiến hóa trung tính phát sinh từ nhiều ứng dụng hệ sinh thái quần thể, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, Ta tham khảo Wu [3], Wu & Xia [4], với nhiều ví dụ ứng dụng dạng phương trình cho mạng lưới đường dây truyền tải Chẳng hạn, tác giả xét mạng lưới mơ hình tương ứng với phương trình ∂2 ∂ F ut = a F ut + Φut , ∂t ∂x hàm u thuộc C := C([−r, 0], X) với r > khơng gian Banach X hàm đường trịn đơn vị S , tức X = H (S ) X = C(S ), hàm lịch sử ut xác đinh ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Các tốn tử tuyến tính F Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi toán tử sai phân toán tử trễ Lý thuyết phương trình tiến hóa trung tính sau phát triển nhiều tác giả khác (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu and H Xia [6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [8] tài liệu tham khảo đó) Trong Hale [9, 10] nghiên cứu tính chất định tính nghiệm lớp phương trình tiến hóa trung tính ơ-tơ-nơm, mang lại kết quan trọng tính ổn định, tính hút rẽ nhánh nghiệm xung quanh trạng thái dừng Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa trung tính (1), khơng thể khơng nghiên cứu đến tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình chứng minh tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn trường hợp tốn tử A(t), hàm phi tuyến g(t, ψ) T -tuần hoàn theo t Điểm qua lại lịch sử tốn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân Năm 1950 Massera (xem [11]) nghiên cứu chứng minh mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân thường Sau Zubelevich mở rộng vào năm 2006 (xem [12]) Với phương trình vi phân hàm, nhìn chung có số phương pháp thường sử dụng, phương pháp Massera (xem [13, 14]), phương pháp điểm bất động, chẳng hạn Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17] Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18] Cách tiếp cận phổ biến sử dụng theo hướng tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thông qua số phép nhúng compact (xem Serrin [19], Yoshizawa [20], Pră uss [21, 22], Burton [23], Liu, N’Guerekata & Minh [24]) Tuy nhiên, số tình thực tế, chẳng hạn trường hợp phương trình vi phân đạo hàm riêng với miền không bị chặn (theo tất hướng) phương trình có nghiệm khơng bị chặn phép nhúng compact không áp dụng việc lựa chọn véc tơ ban đầu thích hợp (hoặc có điều kiện) để đảm bảo tính bị chặn nghiệm xuất phát từ véc tơ khơng dễ dàng Để vượt qua khó khăn này, chúng tơi sử dụng định lý dạng Massera, tức định lý chứng minh phương trình vi phân có nghiệm bị chặn có nghiệm tuần hoàn Huy [25] sử dụng phương pháp Massera kết hợp với hàm tử nội suy để tồn nghiệm tuần hồn dịng chất lỏng xung quanh chướng ngại vật quay, đó, khơng gian nội suy sử dụng kết hợp với phương pháp ergodic Sau đó, Geissert, Hieber & Huy [26] kết hợp hàm tử nội suy với tính trơn nửa nhóm lập luận tơ pơ thu nghiệm tuần hồn tốn dịng chất lỏng Gần đây, Huy & Dang [13, 14, 27, 28] sử dụng phương pháp ergodic để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hoàn phương trình; sau kết hợp với ngun lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón chứng minh tồn tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn số lớp phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm có trễ hữu hạn vơ hạn Mở rộng sang phương trình tiến hóa trung tính, tốn nghiệm tuần hồn đến có nhiều hấp dẫn, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, Mặt khác, lý thuyết định tính nghiệm phương trình vi phân, tồn đa tạp tích phân vấn đề trọng điểm cần nghiên cứu Các kết đa tạp tích phân góp phần mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Vì mà thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Khởi đầu kết Hadamard [29], Perron [30, 31], Bogoliubov & Mitropolsky [32, 33], nghiên cứu tồn đa tạp bất biến phương trình vi phân Rn Năm 2009, Huy [34] tồn đa tạp bất biến phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm nửa tuyến tính khơng gian Banach Tiếp sau đó, Huy [35] chứng minh tồn loại đa tạp bất biến mới, đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận Vẫn tiếp nối mạch nghiên cứu, năm 2014 Huy & Duoc [36] tồn đa tạp ổn định bất biến đa tạp tâm ổn định cho phương trình tiến hóa có trễ Gần đây, nghiên cứu Huy & Bằng (xem [37, 38, 39, 40]), với việc sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhận tác giả tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm nghiệm đủ tốt (xem [41]) (“mild solution") phương trình tiến hóa trung tính trường hợp trường hợp phần tuyến tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát toán tử trễ phi tuyến Và Luận án vừa công bố cổng thông tin Đào tạo trường Đại học Bách khoa Hà Nội (xem [42]) chứng minh tồn đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm phương trình tiến hóa trung tính xung quanh nghiệm khơng phương trình Tuy nhiên, tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính đến cịn nhiều vấn đề cần nghiên cứu Những phân tích lý để chọn đề tài “Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính” Bằng cách sử dụng phương pháp Masera lý thuyết nửa nhóm, chuỗi Neumann, nguyên lý điểm bất động điều kiện liên tục Lipschitz ϕ-Lipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận chứng minh tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Mặt khác, với việc sử dụng phương trình Lyapunov-Perron kết hợp bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón cho đánh giá tính ổn định tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính khơng gian Banach X có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), t ∈ [0, +∞), dt (2) với điều kiện: • Tốn tử t → A(t) tuyến tính (có thể khơng bị chặn) khơng gian Banach X T -tuần hồn theo biến t • Tốn tử F : H → X tuyến tính bị chặn gọi tốn tử sai phân ("difference operator"), H khơng gian hàm C Cγ với C := C([−r, 0], X), Cγ không gian giảm nhớ (”fading memory spaces”) định nghĩa chương I, mục 1.4 • Hàm ut gọi hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] phương trình có trễ hữu hạn θ ∈ (−∞, 0] phương trình có trễ vơ hn ã Toỏn t phi tuyn g : R+ ì H → X gọi toán tử trễ, T -tuần hoàn xét trường hợp sau: – Trường hợp Toán tử g liên tục Lipschitz theo φ ∈ C, không gian H không gian hàm C – Trường hợp Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận M (xem mục 1.3, Ví dụ 1.1), H khơng gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn – Trường hợp Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận M, H không gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vơ hạn Khi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (1), chúng tơi gặp phải khó khăn chung là: Các tốn tử d dt A(t) khơng tác động trực tiếp vào trạng thái u(t) mà vào F ut , đó, cơng thức biến thiên số có giá trị F ut (xem cơng thức (2.18)) Để khắc phục khó khăn này, xuyên suốt luận án, chúng tơi giả thiết tốn tử sai phân F biểu diễn dạng F = δ0 − (δ0 − F ), với δ0 hàm Dirac tập trung (xem [1, Chương 3]) Khi đó, với số điều kiện toán tử Ψ := δ0 − F, sử dụng phương pháp Massera kết hợp với chuỗi Neumann nhận số đánh giá kết tính tuần hồn cho trạng thái u Như biết, sử dụng thủ tục đổi chuẩn để tính nhỏ Ψ thay điều kiện Ψ khơng có trọng Trong trường hợp đó, Ψ biểu diễn tích phân với hạch η có biến phân bị chặn Tính chất “khơng có trọng 0” tương đương với điều kiện “phi nguyên tử 0” η (xem Wu [3], Huy & Bang [37]) Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: (i) Nghiên cứu tồn tại, nghiệm tuần hoàn lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) trường hợp toán tử phi tuyến g liên tục Lipschitz, ϕ-Lipschitz với hàm Lipschitz phụ thuộc vào thời gian t thuộc không gian hàm chấp nhận được, giá trị ban đầu thuộc khơng gian hàm C phương trình có trễ hữu hạn khơng gian giảm nhớ Cγ phương trình có trễ vơ hạn 10 (ii) Nghiên cứu tính ổn định nghiệm xung quanh nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) (iii) Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc t thuộc không gian hàm chấp nhận • Đối tượng nghiên cứu luận án: Tính chất nghiệm tuần hồn dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) với số điều kiện thay đổi tốn tử trễ phi tuyến g • Phạm vi nghiên cứu Luận án: Trong luận án chúng tơi nghiên cứu số lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (2) với số trường hợp toán tử trễ phi tuyến g Cụ thể: – Nội dung Xét trường hợp toán tử g liên tục Lipschitz, phương trình có trễ hữu hạn Trường hợp sử dụng không gian hàm liên tục bị chặn nhận giá trị không gian Bannach X để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hoàn, kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Growall để chứng minh tính ổn định (có điều kiện) nghiệm xung quanh nghiệm tuần hồn – Nội dung Xét trường hợp tốn tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn Khi đó, ngồi việc chứng minh tồn nghiệm tuần hồn, tính ổn định, chúng tơi cịn chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn nhờ bất đẳng thức nón định lý ánh xạ co – Nội dung Xét trường hợp toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận phương trình có trễ vơ hạn Bằng việc sử dụng không gian giảm nhớ, tồn tại, nhất, tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình chứng minh 11 ∞ ≤ N (1 + H)e −νθ e−ν|t0 −τ | ϕ(τ ˜ ) wτ − vτ γ dτ, t0 với t0 ≥ 0, φ1 , φ2 ∈ Bγρ ∩ X0 (t0 ) Từ điều kết hợp với γ ≥ ν > 0, ta có 2N Ωt0 (φ1 ) − Ωt0 (φ2 ) γ ≤ N (1 + H)(N1 + N2 ) ϕ˜ − e−ν M sup t≥t0 wt − vt γ với t0 ≥ (4.36) Như vậy, đặt k1 = N (1 + H)(N1 + N2 ) γ˜ < − e−ν với w v thỏa mãn phương trình (4.35), ta có sup wt − vt t≥t0 γ ≤ N φ1 − φ2 1− Ψ γ + k1 sup wt − vt t≥t0 γ Điều suy sup wt − vt t≥t0 γ ≤ N φ1 − φ2 γ − Ψ − k1 (4.37) Kết hợp (4.36) (4.37) ta thu Ωt0 (φ1 ) − Ωt0 (φ2 ) γ ≤ k1 N φ1 − φ2 γ − Ψ − k1 Do đó, Ωt0 liên tục Lipschitz với số Lipschitz K0 = k1 N 1− Ψ −k1 không phụ thuộc t0 ρ 2N , ρ1 Mặt khác, đặt ρ0 := := ρ2 , chứng minh St0 đồng phơi với Bγρ0 (0) ∩ X0 (t0 ) Để có điều đó, chúng tơi định nghĩa phép biến đổi Υ : Bγρ0 (0) ∩ X0 (t0 ) → St0 xác định Υφ := φ + Ωt0 (φ) với φ ∈ ImP (t0 ) Vì (1 + H)N (N1 + N2 ) γ˜ < , −ν (1 − e )(1 − Ψ ) 1+N ta có số Lipschitz K0 < Do đó, áp dụng định lý hàm ẩn cho ánh xạ liên tục (xem [63, Bổ đề 2.7]) ta thu Υ đồng phôi Vậy, với nghiệm uˆ thỏa mãn thêm điều kiện 1-tuần hồn Định nghĩa 4.2 điều kiện (ii) Định nghĩa 4.2 thỏa mãn điều kiện (iii) Định nghĩa 4.2 suy từ Định lý 4.4 Cuối cùng, đánh giá (4.33) có từ bất đẳng thức (4.19) Định lý (4.4) Các kết minh họa ví dụ sau 92 Ví dụ minh họa Xét phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vơ hạn sau  ∂w(x, t) ∂w(x, t − 1) ∂ w(x, t) ∂ w(x, t − 1)    −h = a(t) −h + ηw(x, t)   ∂t ∂t ∂x2 ∂x2       +ψ(t) e2γ m(t + θ) sin w(x, t + θ)dθ + k(x, t)   −∞ với ≤ x ≤ π, t ≥ 0,        w(0, t) = w(π, t) =      w(x, θ) = φ(x, θ) với t ≥ 0, với ≤ x ≤ π, θ ∈ (−∞, 0], φ ∈ Cγ (4.38) h, η số thực với |h| < 1, η > η = n2 với n ∈ N Hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) 1-tuần hoàn thỏa mãn điều kiện < γ0 ≤ a(t) ≤ γ1 với γ0 , γ1 cố định t ≥ Hàm k : [0, π] × R+ → R+ liên tục 1-tuần hoàn theo biến t Hàm m(t + θ)eγθ khả tích (−∞, 0] với γ ≥ đặt M := m(t + θ)e−γθ dθ sup θ∈(−∞,0] −∞ Chọn không gian Hilbert X := L2 [0, π], cho A : D(A) ⊂ X → X định nghĩa Ay = y + ηy, miền D(A) = H02 [0, π] := {f ∈ W 2,2 [0, π] : f (0) = f (π) = 0} Suy A tốn tử sinh nửa nhóm giải tích T(t) t≥0 với σ(A) = −n2 + η : n = 1, 2, 3, · · · Vì η = n2 với n ∈ N ta có σ(A) ∩ iR = ∅ Áp dụng Định lý ánh xạ phổ cho nửa nhóm giải tích ta thu σ(T(t)) = etσ(A) = et(−n 93 +η) : n = 1, 2, 3, · · · (4.39) Do đó, với Γ := {λ ∈ C : |λ| = 1}, σ(T(t)) ∩ Γ = ∅ với t > Suy ra, với t0 > cố định, tập phổ toán tử T(t0 ) chia thành hai tập khác σ0 , σ1 , σ0 ⊂ {z ∈ C : |z| < 1}, σ1 ⊂ {z ∈ C : |z| > 1} Chúng chọn P = P (t0 ) phép chiếu Riesz tương ứng tập phổ σ0 Q = I − P Khi đó, P Q giao hốn với T(t) với t > Tiếp theo, ta định nghĩa TQ (t) := T(t)Q hạn chế T(t) ImQ Sử dụng Định lý nửa nhóm, nửa nhóm T(t) t>0 có nhị phân mũ hạn chế TQ (t) khả nghịch Cũng vậy, tồn số dương N, β cho T(t)|P X ≤ N e−βt , ∀t ≥ 0, (4.40) TQ (−t) = TQ (t)−1 ≤ N e−βt , ∀t ≥ Đặt A(t) := a(t)A, ta có A(t) 1-tuần hồn, họ A(t) hóa U (t, s) t≥s≥0 t≥0 sinh họ tiến 1-tuần hoàn định nghĩa   t a(τ )dτ  U (t, s) = T  s Khi đó, họ tiến hóa U (t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với toán tử chiếu P (t) = P , với t ≥ số N, ν := βγ0 thỏa mãn đánh giá   t a(τ )dτ  |P X ≤ N e−ν(t−s) , U (t, s)|P X = T  s  U (s, t)| = (U (t, s)|ker P ) −1 t = TQ −  a(τ )dτ  ≤ N e−ν(t−s) , s với t ≥ s ≥ Toán tử sai phân F định nghĩa F : Cγ → X, F (y) := y(0) − hy(−1) Khi đó, F có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ = hδ−1 , Ψ ≤ |h| < 1, δs hàm Dirac tập trung s Hàm g : R+ × Cγ → X xác định  g t, w(·, θ) := ψ(t)   e2γ m(t + θ) sin w(·, t + θ)dθ + k(·, t) với w ∈ Cγ , −∞ 94 đây, với số cố định c > 0, hàm thực ψ(·) xác định  t − n t ∈ 2n+1 − 1c , 2n+1 + 1c với n = 0, 1, 2, · · · 2 2 ψ(t) = 0 trường hợp khác (4.41) Khi đó, ta có 2n+1 + 2c t+1 sup |ψ(τ )|dτ ≤ sup t≥0 n∈N t (t − n)dt = 2c−1 2n+1 − 2c giá trị ψ lớn Do đó, 2c−1 phương trình (4.38) viết lại thành   d F ut (·) = A(t)F ut (·) + g t, ut (·, θ) , dt  u0 (·, θ) = φ(·, θ) ∈ Cγ , φ ∈ Bγγ Suy ψ ∈ M(R+ ) ψ M ≤ Vì k(·, t) 1-tuần hoàn nên g(t, φ) 1-tuần hoàn theo t với hàm φ ∈ Bγρ 1/2 π ta có |k(x, t)| dx Hơn nữa, với α := sup t∈[0,∞) g(t, 0) = ψ(t) k(·, t) ≤ αψ(t) Khi đó, g(t, ut (x, θ)) − g(t, vt (x, θ))   π  =  1/2  e2γ m(t + θ) sin w(·, t + θ)dθ dx ψ(t)  −∞  e2γ m(t + θ)  ≤ ψ(t) −∞ 1/2 π |ut (x, θ) − vt (x, θ)| dx e2γ m(t + θ) ut (·, θ) − vt (·, θ) = ψ(t) γ dθ −∞ ≤ ψ(t) sup θ∈(∞,0] ut (θ) − vt (θ) γ e2γ m(t + θ)dθ e−γθ −∞ = ψ(t) e2γ m(t + θ)dθ ut − vt −∞ 95 γ dθ Vậy, g(t, ut (x, θ)) − g(t, vt (x, θ)) ≤ Kψ(t) ut − vt γ , với ut , vt ∈ Bγρ Điều suy ra, g thỏa mãn giả thiết Định lý 4.3 Định lý 4.4 với L0 = ρ + α K, ϕ(t) = Kψ(t), ϕ(t) ˜ = 2Kψ(t) Vậy, theo Định lý 4.3 Định lý 4.4 ta có: Nếu c đủ lớn (suy ra, ψ phương trình (4.38) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ Bργ (0) M đủ nhỏ), 1-tuần hoàn nghiệm uˆ ổn định có điều kiện theo Nhận xét 4.2 Hơn nữa, theo Định lý 4.5, tồn đa tạp ổn định địa phương S nghiệm đủ tốt phương trình (4.38) xung quanh nghiệm tuần hoàn uˆ Kết luận Chương Chương nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ hạn dạng (4.1), mở rộng Chương 3, đồng thời mở rộng toán Huy & Dang (xem [28]) Cụ thể, từ Chương với phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính có trễ hữu hạn, phần phi tuyến g(t, v) ϕ-Lipschitz với v thuộc không gian hàm C, chuyển sang tốn Chương 4, có trễ vơ hạn, v thuộc không gian giảm nhớ Cγ Đặc biệt, F ut = u(t) γ = ν, toán Chương trở toán Huy & Dang [28] Các kết thu là: Chứng minh tồn tại, tính nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính (4.1) khơng gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vơ hạn Chỉ tính ổn định có điều kiện nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình Chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm đủ tốt tuần hoàn thu 96 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Luận án Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính với việc sử dụng cơng cụ phương pháp Massera, phương trình Lyapunov-Perron, nguyên lý điểm bất động, chuỗi Neumann, bất đẳng thức nón, để chứng minh tồn tại, nhất, tính ổn định có điều kiện đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn vơ hạn Những kết góp phần mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa trung tính với nhiễu phi tuyến xung quanh nghiệm tuần hồn Xun suốt luận án, chúng tơi xét lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt t ∈ [0, +∞), u0 = φ ∈ H, (4.42) đó, H khơng gian hàm C không gian giảm nhớ Cγ Các kết đạt là: (i) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính khơng (Định lý 2.1) (ii) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính (4.42) với phần phi tuyến g(t, v) liên tục Lipschitz (Định lý 2.2) ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc thời gian t thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, v thuộc không gian hàm C (Định lý 3.2) v thuộc không gian giảm nhớ Cγ (Định lý 4.2) (iii) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn tại, tính nghiệm tuần hồn lớp phương trình (4.42) phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ phần phi tuyến g(t, v) liên tục Lipschitz (Định lý 2.3) 97 ϕ-Lipschitz, với v thuộc không gian hàm C (Định lý 3.3) v thuộc không gian giảm nhớ Cγ (Định lý 4.3) (iv) Thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn lớp phương trình (4.42) phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ (tương ứng với ba trường hợp hàm trễ phi tuyến g định lý: Định lý 2.4, Định lý 3.4, Định lý 4.4) (v) Chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn thu phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ, phần phi tuyến g(t, v) ϕ-Lipschitz, v thuộc không gian hàm C (Định lý 3.5) v thuộc không gian giảm nhớ Cγ (Định lý 4.5) Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận án, số vấn đề sau tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương số lớp phương trình tiến hóa trung tính chứa nhiều số hạng phi tuyến với điều kiện Lipschitz khác nhau, trường hợp trễ hữu hạn vơ hạn • Khảo sát tồn tại, tính hầu tuần hoàn đa tạp bất biến xung quanh nghiệm hầu tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính 98 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [CT1] Nguyen Thieu Huy, Nguyen Thi Loan, Vu Thi Ngoc Ha (2019), Periodic solutions and their conditional stability for partial neutral functional differential equations, Journal of Evolution Equations 19, 10911110 (SCIE/Scopus-Q1) [CT2] Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Periodic solutions to partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Vietnam Journal of Mathematics (ESCI/Scopus) DOI: 10.1007/s10013-020-00405-3 Published online 07 April 2020 [CT3] Thieu Huy Nguyen, Thi Loan Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu (2020), Periodicity and stability of solutions to neutral differential equations with ϕLipschitz and infinite delays, Annales Polonici Mathematici 125(2), 155181 (SCIE-Q2) 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.T.Huy (2002), Functional Partial Differential Equations and Evolution Semigroups, PhD Dissertation, University of Tă ubingen, Germany [2] Phm Vn Bng (2016), “Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach”, Luận án Tiến sĩ Tốn học, Trường ĐHBK Hà Nội, Hà Nội [3] J Wu (1996), “Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations”, Springer-Verlag, NewYork-Berlin-Heidelberg [4] J Wu, H Xia (1996), “Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines”, J Diff Equ., 124, 247-278 [5] M Adimy, K Ezzinbi (1998), “Strict solutions of nonlinear hyperbolic neutral differential equations”, Dyn Syst Appl, 7, 389-404 [6] J Wu, H Xia (1999), “Rotating waves in neutral partial functional differential equations”, J Dyn Diff Eq., Vol 11, no 2, 209-238 [7] M Adimy, K Ezzinbi, M Laklach (2002), “Local existence and global continuation for a class of partial neutral functional differential equations”, C R Acad Sci Paris, t 330, Serie I, 952-962 [8] M Adimy, H Bouzahir, K Ezzinbi (2004), “Existence and stability for some partial neutral functional differential equations with infinite delay”, J Math Anal, Appl., Vol 294, no 2, 438-461 [9] J K Hale (1994), “Partial neutral functional differential equations”, Rev Roumaine Math Pure Appl., Vol 39, no 4, 339-344 [10] J K Hale (1994), “ Coupled oscillators on a circle, Dynamical phase transitions” (Sao Paulo), Resenhas, Vol 1, no 4, 441-457 100 [11] J.L Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differential equations”, Duke Math J., 17, pp 457-475 [12] O Zubelevich (2006), “A note on theorem of Massera”, Regul Chao Dyn 11, pp 475-481 [13] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), “Existence, uniqueness and conditional stability of periodic solutions to evolution equations”, J Math Anal Appl., 433 , 1190-1203 [14] N.T.Huy, N.Q.Dang (2016), “Periodic solutions to evolution equations: existence, conditional stability and admissibility of function spaces”, Ann Polon Math 116, 173-195 [15] J K Hale, O Lopes (1966), “Fixed point theorems and dissipative processes”, J Diff Equ., Vol 13, 391-402 [16] S N Chow, J K Hale (1974), “Strongly limit-compact maps”, Funkcioj Ekvacioj, Vol 17, 31-38 [17] R Benkhalti, H Bouzahir, K Ezzinbi (2001), “Existence of a periodic solution for some partial functional differential equations with infinite delay”, J Math Anal Appl., 256, 257-280 [18] R Benkhalti, A Elazzouzi, K Ezzinbi ( 2006), “Periodic solutions for some partial neutral functional differential equations”, Elec J Diff Equ., Vol 2006, No 56, pp 1-14 [19] J Serrin (1959), “A note on the existence of periodic solutions of the NavierStokes equations”, Arch Rational Mech Anal., , pp 120-122 [20] T.Yoshizawa (1975), “Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions”, Appl Math Scie., 14 Springer-Verlag, New York-Heidelberg [21] J Pră uss (1979), “Periodic solutions of semilinear evolution equations”, Nonlinear Anal., 3, 601-612 101 [22] J Pră uss (1986), Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces” (Book’s Chapter), 216-226, Lecture Notes in Math., 1223, Springer, Berlin [23] T Burton (1985), “Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations”, Academic Press, Orlando, Florida [24] J.H Liu, G.M N’Guerekata, Nguyen Van Minh (2008), “Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations”, Series on Concrete and Applicable Mathematics - Vol 6, World Scientific Publishing, Singapore [25] N.T.Huy (2014), “Periodic motions of Stokes and Navier–Stokes flows around a rotating obstacle”, Arch Ration Mech Anal 213 , 689-703 [26] M Geissert, M Hieber, N.T.Huy (2016), “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems”, Arch Ration Mech Anal 220, 1095–1118 [27] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2017), “Dichotomy and perriodic solution to partial functional differential equations”, Disc Cont Dyn Sys series B, 22, 31273144 [28] N.T.Huy, N.Q.Dang ( 2018), “Solutions to partial functional differential equations with infinite delays: Periodicity and admissibility”, Act Math Vie., 43, 415-432 [29] J Hadamard (1901), “Sur l’intération et les solutions asymptotiques des equations différentielles”, Bulletin de la Sociộtộ Mathộmatique de France, 29, pp 224-228 ă [30] O Perron (1929), Uber stabilită at und asymptotisches verhalten der integrale von differentialgleichungssystemen”, Math Zeit., 29, pp 129-160 [31] O Perron (1930), Die stabilită atsfrage bei differentialgleichungen, Mathematische Zeitschrift, 32, pp 703-728 [32] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1961), “Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations”, Translated from the second revised Russianedition, International Monographs on Advanced Mathematics and Physics, Gordon and Breach Science Publishers, New York 102 [33] N Bogoliubov, Yu Mitropolsky (1963), “The method of integral manifolds in nonlinear mechanics”, Contr Diff Equ., 2, pp.123-196 [34] N.T Huy (2009), “Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, J Math Anal Appl 354, pp 372-386 [35] N.T Huy (2009), “Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations”, J Diff Equ., 246, pp 1820-1844 [36] N.T Huy, T.V Duoc (2014), “Integral manifolds for partial functional differential equations in admissibility spaces on a half-line”, J Math Anal Appl., 411, pp 816-828 [37] N.T.Huy, P.V.Bang (2012), “Hyperbolicity of solution semigroups for linear neutral differential equations”, Semigroup Forum, 84, 216-228 [38] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2014), “Dichotomy and positivity of neutral equations with nonautonomous past” Appl Anal Disc Math., 8, 224 - 242 [39] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2015), “Invariant Stable Manifolds for Partial Neutral Functional Differential Equations in Admissible Spaces on a Half-line”, Disc Cont Dyn Syst series B, 20, 2993–3011 [40] N.T.Huy, P.V.Bang ( 2017), “Unstable manifolds for partial neutral differential equations and admissibility of function spaces”, Act Math Vie., 42, 187–207 [41] Trịnh Viết Dược (2014), “Đa tạp tích phân dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương tình tiến hóa”, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHKHTN- ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [42] Trịnh Xuân Yến (2021), “Tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính”, Luận án Tiến sĩ Tốn học, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội, Hà Nội [43] K.J Engel, R Nagel (2000), “One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations”, Graduate Text Math., 194, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg 103 [44] K.J Engel (1999), “Spectral theory and generator property of one-sided coupled operator matrices" Semigroup Forum, 58, pp 267 - 295 [45] J van Neerven (1996), “The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications, 88, BirkhăauserVerlag, Basel-Boston-Berlin [46] N.T.Huy (2006), “Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, J Func Anal., 235, 330-354 [47] J.J Massera, J.J Schăaffer (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York [48] F Răabiger, R Schnaubelt (1996), “The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions”, Semigroup Forum, 48, 225 - 239 [49] Triebel H (1978), “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators”, North-Holland [50] Y Hino, S Murakami, T Naito (1991), “Functional Differential Equations with Infinite Delay”, Lect Notes Math., 1473, Springer, Berlin [51] J Hale, J Kato (1978) “Phase space for retarded equations with infinite delay, Funkcial Ekvac, 21, pp 11-41 [52] J.H Liu (2000), “Periodic Solutions of Infinite Delay Evolution Equations”, J Math Anal Appl., 247, pp 627-644 [53] O Perron (1930), Die Stabilită atsfrage bei Differentialgleichungen Math Z., 32, 703-728 [54] J.L Massera, J.J Schăaffer (1958), Linear differential equations and functional analysis, I”, Ann of Math., 67, pp 517-573 [55] J.L Massera, J.J Schăaffer (1959), Linear differential equations and functional analysis, II”, Ann of Math., 69, 88-104 [56] Ju L Daleckii, M G Krein (1974), “Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces" Transl Amer Math Soc Provindence RI 104 [57] B.M Levitan, V.V Zhikov (1978), “Almost Periodic Functions and Differential Equations”, Moscow Univ Publ House [58] A Pazy (1983), “Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations" Springer-Verlag, Berlin [59] R Nagel, G Nickel (2002), “Well-posedness for non-autonomous abtract Cauchy problems”, Prog Nonl Diff Eq Appl., 50, 279-293 [60] N.V Minh, F Răabiger, R Schnaubelt (1998), “Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line”, Integr Eq and Oper Theory, 32, 332-353 [61] Boutet de Monvel L., Chueshov I.D., and Rezounenko A.V (1998), “Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations”, Nonlinear Analysis 34(6), pp 907-925 [62] Ngô Quý Đăng (2017), “Nghiệm tuần hoàn dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình vi phân”, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHBK Hà Nội, Hà Nội [63] N.V Minh, J Wu (2004), “Invariant manifolds of partial functional differential equations”, J Diff Eq., 198, 381-421 Thứ tự tài liệu tham khảo viết theo quy định trường Đại học Bách khoa Hà Nội 105 CHỈ MỤC Bất đẳng thức nón tốn tử sinh, 16 (Cone Inequality), 27 đa tạp ổn định địa phương cận phổ (spectral bound), 18 không gian giảm nhớ Cγ , 90 cận tăng trưởng (growth bound), 18 không gian hàm C, 67 đặt chỉnh (well-posed), 24 Định lí Ánh xạ phổ (Spectral Mapping Theorem-SMT), 18 giá trị quy, 16 họ tiến hóa, 24 có nhị phân mũ, 25 ổn định mũ, 25 không gian hàm Banach chấp nhận được, 20 giảm nhớ (Fading memory space), 22 hàm Banach, 19 hàm chấp nhận được, 20 nghiệm đủ tốt(mild solution), 27, 30 nón, 28 nửa nhóm C0 -nửa nhóm, 15 hyperbolic, 17 liên tục mạnh, 15 sinh A, 16 ổn định mũ đều, 17 toán tử ϕ-Lipschitz địa phương không gian giảm nhớ Cγ , 73 không gian hàm C, 50 106 ... VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH 29 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến 2.3 tính ... nghĩa đa tạp ổn định địa phương 13 Chương Sự tồn tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Chương chúng tơi chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều... xét tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính • Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron để chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương