ĐỊNH THỨC ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ma trận phép tốn tuyến tính Định thức Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận Bài ĐỊNH THỨC I Hoán vị n số tự nhiên đầu II Định nghĩa định thức cấp n III Tính định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3) IV Các tính chất định thức I Hốn vị n số tự nhiên đầu ĐN:Một hoán vị tập hợp n phần tử cách xếp n phần tử tập hợp theo thứ tự định; Một tập hợp với n phần tử có n! hốn vị khác Xét tập hợp n số tự nhiên {1, 2, …, n} Ký hiệu hoán vị n số tự nhiên ( α 1,α 2,…,α n ) ( α 1,α 2,…,α n ) i < j ĐN: Trong hốn vị α i >α jthì ta nói hai số α i α j tạo thành nghịch Một hoán vị gọi hoán vị chẵn có số nghịch số chẵn, gọi hốn vị lẻ có số nghịch số lẻ Ví dụ: Xét hốn vị số tự nhiên đầu Vị trí (5 3) Các cặp tạo thành n/thế (5, 1); (5, 4); (5, 2); (5, 3); (4, 2); (4, 3) ⇒ Số nghịch 6; Hoán vị cho chẵn I Hoán vị n số tự nhiên đầu ĐL: Nếu hoán vị ta đổi chỗ hai số giữ ngun vị trí số cịn lại hốn vị thay đổi tính chẵn lẻ HQ1: Nếu n ≥ số n! hốn vị n số tự nhiên đầu có nửa hốn vị chẵn nửa hoán vị lẻ HQ2: Với ( α 1,α 2, ,α n ) hoán vị n số tự nhiên đầu, cách đổi chỗ cột ta đưa ma trận  n   α α α ÷ n  dạng:  β β β n   n ÷   Thì hai hốn vị ( α 1,α 2, ,α n ) ; chẵn lẻ ( β 1,β 2, ,β n ) có tính I Hốn vị n số tự nhiên đầu Bài tốn: Có cách xếp xe bàn cờ vua để khơng ăn nào? A1;B2;C3;D4;E5;F6;G7;H8 A2;B1;C3;D4;E5;F6;G7;H8 ••• => Một cách xếp thỏa mãn là: Aα1;Bα2 ;Cα3 ;Dα ;Eα5 ;Fα6 ;Gα7 ;Hα8 Trong α1α2α3α4α5α6α7α8 hốn vị số tự nhiên đầu Vậy có tất 8! cách xếp II Định nghĩa định thức cấp n  a11 a12 a a22 21  A=  a  n1 an2 Xét ma trận vng cấp n: Với hốn vị ( α 1,α 2, ,α n ) ta lập tích ( -1) h a1α1a2α2 anαn a1n  a2n ÷ ÷ ÷ ann ÷ n n x (*) Trong  aiα phần tử nằm dịng i, cột α i A i Các dòng lần  lượt 1, 2, ,n; Các cột hoán vị dòng  h số nghich hoán vị ( α 1,α 2, ,α n ) Với n! hoán vị ( α 1,α 2, ,α n ) , ta có n! tích khác dạng (*) Xét D tổng tất tích D= ( -1) n!hoán vị h a11a22 ann N: S D xác định gọi định thức ma trận A Ký hiệu |A| det(A) Mỗi tích có dạng (*) gọi thành phần định thức II Định nghĩa định thức cấp n  Tích phần tử nào? Xác định thành phần định thức:   Được gán dấu gì? VD: Hãy tìm thành phần định thức cấp chứa phần tử a12 Theo định nghĩa, thành phần định thức cấp phải có dạng: (-1)h a1ia 2ja3k Trong (i, j, k ) hoán vị số tự nhiên đầu { 1, 2, } h số nghịch hoán vị (i, j, k ) Do có nhân tử a12 nên i = Vậy (j = 1, k = 3) ( j = 3, k = 1) Xét (j = 1, k = 3), hốn vị (2, 1, 3) có h = nên ta -a12a 21a33 Xét (j = 3, k = 1), hốn vị (2, 3, 1) có h = nên ta +a12a 23 a31 Vậy có thành phần cần tìm { -a12a 21a33 ; + a12a 23a31} Xét đa thức P(x) cho dạng định thức 2x -2 P ( x ) = -x x 3x Hệ số lũy thừa cao P(x) là: Mỗi số hạng tích phần tử (nằm dòng cột khác nhau) nên bậc cao ≤ Thành phần chứa x3 (-)a12a21a33 = (-)(2x)(-x)(3x) = 6x3 50:50 A: - B: C: D: III Tính định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3) Định thức cấp Hoán vị A = ( a11 ) 1×1 ; n =1 Số nghịch T.P tương ứng +a11 det ( A ) = a11 Định thức cấp phần tử VD : det ( ) = 2; det ( -2 ) = -2 III Tính định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3) Định thức cấp Chú ý: Cho A ma trận vuông cấp 3:  a11 a12 A =  a21 a22 a  31 a32 a13  a23 ÷ ÷ a33 ÷  Ta tính định thức A theo cách sau: a11 a12 a13 det(A) hay A = a 21 a 22 a31 a32 a 23 a33 cột cột a11 a12 a21 a22 a31 a32 = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ) − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33 ) Giá trị định thức sau là: -1 3 -7 50:50 A: 43 B: - 72 C: 58 D: 97 -1 -7 = 36 + 21+ 60 - (135 -112 - 3) = 97 4 3 -1 = 36 + 60 + 21- (135 -112 - 3) = 97 -7 50:50 A: 43 B: - 72 C: 58 D: 97 Giá trị định thức -1 = 389 -2 -1 3 6 -2 50:50 A: - 389 B: 206 C: 715 D: - 122 Giá trị định thức sau -4 -5 k 50:50 A: 8k+128 B: - 8k+128 C: - 8k - 128 D: 8k - 128 -4 = 8k + + 20 - ( - 48 - 60 + 0) = 8k +128 k -5 -4 12 18 = 24k + + 60 - (-144 -180 + 0) = 24k + 384 -5 k 50:50 A: 8k+128 B: - 8k+128 C: - 8k - 128 D: 8k - 128 Khơng cần tính, cho biết giá trị định thức 0 a b c =0 d e f -3 a b c =0 a b c d e f ka kb kc = a b c IV Các tính chất định thức Tính chất 1: Định thức ma trận vuông định thức ma trận chuyển vị det ( A ) = det ( A ′) Từ tính chất cho thấy tất tính chất định thức với dịng với cột Ví dụ: -1 = 13 -1 = 13 -4 = -175 -2 -4 5 = -175 -2 Các tính chất định thức Tính chất 2: Nếu tất phần tử dịng định thức định thức Tính chất 3: Nếu định thức ta đổi chỗ hai dòng giữ ngun vị trí dịng cịn lại định thức đổi dấu Ví dụ: -2 =44 -2 1 đổi dấu IV -2 -2 1 =-44 Hệ quả: Định thức có hai dịng giống IV Các tính chất định thức Tính chất 4: Nếu nhân dịng định thức d với số α (nghĩa nhân phần tử dịng với số α) định thức nhận định thức cũ nhân với α a11 a12 αai1 αai2 an1 an2 a1n αain ann a11 a12 = α ai1 ai2 an1 an2 a1n ain ann NX : Ta đưa bội dịng ngồi dấu định thức Hệ quả: Định thức có hai dịng tỷ lệ Giả sử A ma trận vuông cấp n, giá trị det ( kA ) = kA tính theo A là: 50:50 A: k.|A| B: nk.|A| C: kn.|A| D: Đ.A khác IV Các tính chất định thức Tính chất 5: Nếu định thức d có dạng: a11 a12 a1n d=bi1 +ci1 bi2 +ci2 bin +cin an1 an2 ann Dòng thứ i viết dạng tổng hai dòng: ( ai1,ai2, ,ain ) =( bi1,bi2, ,bin ) +( ci1,ci2, ,cin ) Thì ta tách định thức d thành tổng hai định thức: Trong d=d1 +d2 a11 a12 a1n a11 a12 a1n d1 = bi1 bin ci2 cin bi2 d2 = ci1 an1 an2 ann an1 an2 ann IV Các tính chất định thức Tính chất 6: Nếu ta cộng vào dòng định thức tích dịng khác với số k tùy ý định thức khơng thay đổi X1 X1 Xi Xj Xn x Xi +kX j tách dòng i = + Xj k Xn X1 X1 Xi kX j + Xj Xj Xn Xn  IV Các tính chất định thức Tính chất 7: Định thức hệ vectơ dịng phụ thuộc tuyến tính Do hệ vectơ dịng {X1, X2,…, Xn} phụ thuộc tuyến tính, nên có dịng bdtt qua dịng cịn lại Khơng tính tổng quát giả sử: X n =α 1X 1+ α 2X + + α n-1X n-1 X1 ×(-α1) ×(-α ) X2 X n-1 Xn = ×(-αn-1) X1 X2 X n-1 =0 Chú ý: Tính chất phát biểu tương đương: “Nếu định thức khác hệ vtơ dịng độc lập tuyến tính" Bài Định thức Ngày nay, định nghĩa định thức ta nói: “định thức ma trận vng đó” Vì thế, cách tự nhiên, nghĩ khái niệm định thức phải đời sau khái niệm ma trận Nhưng thực tế, khái niệm định thức đời trước khái niệm ma trận 150 năm Người đưa khái niệm định thức Leibnitz, nhà Toán học Đức, (1646 – 1716) nhà Toán học Seki Kova, người Nhật Bản Nó xuất cơng trình nhà tốn học Nhật Bản khác, Takakazu (1642 – 1708) ... VÀ ĐỊNH THỨC Ma trận phép tốn tuyến tính Định thức Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận Bài ĐỊNH THỨC I Hoán vị n số tự nhiên đầu II Định nghĩa định thức cấp. .. N: Số D xác định gọi định thức ma trận A Ký hiệu |A| det(A) Mỗi tích có dạng (*) gọi thành phần định thức II Định nghĩa định thức cấp n  Tích phần tử nào? Xác định thành phần định thức:  ... ) III Tính định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3) Định thức cấp Ví dụ: Tính định thức -2 -4 = [ (-12) + (-24) + (6) ] = [ -30] - [ 72] = -102 - [ (2) + (54) + (16) ] III Tính định thức cấp thấp (n