2 định thức bài tập toán cao cấp

www.hoasen.edu.vn  uu 1 Faculty of Science and Technology Linear Algebra CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC Thời lượng: 6 tiết www.hoasen.edu.vn  uu 2 Faculty of Science and Technology Linear Algebra NỘI DUNG 1. Khái niệm 2. Các tính chất của định thức 3. Ứng dụng www.hoasen.edu.vn  uu 3 Faculty of Science and Technology Linear Algebra 1. Định nghĩa Định thức – hàm liên quan đến ma trận vuông A. Một số là định thức (determinant) của A, được ký hiệu là detA. Định thức có một tính chất rất quan trọng: detA ≠ 0 khi và chỉ khi A không suy biến (nonsingular) Lưu ý DetA còn được viết là |A| Định thức của ma trận vuông luôn tồn tại và có tính duy nhất. www.hoasen.edu.vn  uu 4 Faculty of Science and Technology Linear Algebra “Định thức” cấp 2 1. Định nghĩa (tt) Định nghĩa A là ma trận vuông cấp 2: Khi đó: ab A cd     det A ad bc Ví dụ 23 det ? 51 AA        03 det ? 21 BB       www.hoasen.edu.vn  uu 5 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định thức cấp 3: 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a  11 22 33 31 12 23 13 32 21 13 22 31 33 21 12 11 32 23 () () a a a a a a a a a a a a a a a a a a       1. Định nghĩa (tt) www.hoasen.edu.vn  uu 6 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Ví dụ: Tính 1 2 3 2 4 1 356  (1.4.6 +3.2.1+3.2.5) -(3.4.3 +1.1.5)+6.2.2 =(24+6+30)-(36+24+5)=60-65=-5 1. Định nghĩa (tt) www.hoasen.edu.vn  uu 7 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Bài tập: Tính 3 1 4 5 2 0 6 1 7   =[ 3.(-2).7+6.1.0+4.5.(-1) ] -[ 4.(-2).6+7.1.5+3.0.(-1) ] = -62+13= - 49 1. Định nghĩa (tt) www.hoasen.edu.vn  uu 8 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Ví dụ: Tính 2 1 5 1 4 0 3 6 2   1 4 6 2 1 5 1 4 0 3 6 2   2 1 3  =[2.4.(-2)+1.0.3+5.(-1).6] -[5.4.3 +2.0.6+1.(-1).(-2)] =[-16+0-30]-[60+0+2]=-108 = -108 1. Định nghĩa (tt) www.hoasen.edu.vn  uu 9 Faculty of Science and Technology Linear Algebra 3 1 2 3 4 0 1 2 5    36 12 24    Bài tập: Tính 2 4 1 3 5 6 0 2 3    = -55 1. Định nghĩa (tt) www.hoasen.edu.vn  uu 10 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Phần bù đại số thứ (i,j) của ma trận A (cofactor), kí hiệu là C ij và được xác định như sau: C ij = (-1) i+j M ij trong đó M ij là định thức (minor) của ma trận có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j. 1. Định nghĩa (tt) [...]... d: Tớnh nh thc sau: 2 2 1 0 j 4 3 1 2 1 a14C14 a24C24 a34C34 a44C44 0 4 3 0 5 0 4 2 2 2 2 1 0.C14 1(1)6 0 4 3 0.C34 (2) (1)8 3 1 2 5 0 = uu Linear Algebra 1 4 2 0 4 3 Faculty of Science and Technology 1 nh ngha (tt) 15 www.hoasen.edu.vn 1 nh ngha (tt) Vớ d: Tớnh nh thc sau: (1)(1)5 1 2 3 0 5 2 3 19 174 193 uu Linear Algebra 2 0 1 6(1)7 4 1 1 (24 5) 6(3 26 ) 1 0 2 3 Faculty of Science... Technology 2 5 3 .2 3.5 A ;B 3 det A ?det B 4 3 4 27 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) Vớ d: Tớnh nh thc 1 2 1 3 3 1 5 1 6 5 2 4 2 7 3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology D 2 28 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) Bi tp: Tớnh nh thc D 2 3 5 1 0 2 2 2 3 0 6 4 0 uu Linear Algebra 1 7 Faculty of Science and Technology 0 29 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) Bi tp: Tớnh nh thc sau 2 0 3... a11 a 22 ann 20 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) 0 2 4 0 4 3 2 1 uu Linear Algebra Ma trn tam giỏc Faculty of Science and Technology 1 0 21 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) 1 2 3 4 2 1 3 2 4 2 Da vo tớnh cht ny, hóy cho bit cỏc tớnh cht trờn cú ỳng cho ct? uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology A l ma trn vuụng v AT l chuyn v ca A thỡ detA = detAT Vớ d 22 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh... Algebra 24 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) 1 2 3 1 0 0 h1 h 3 A 5 7 9 B 5 7 9 1 0 0 1 2 3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology Ví dụ 25 www.hoasen.edu.vn 1 nh ngha (tt) 2 8 0 0 1 0 det 0 0 4 2 0 0 det 0 0 5 0 2 0 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology Vớ d 26 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) Ví dụ 2 5 4 10 A ; 2 A 6 8 3 4 det (2 A) ... 5 2 A 2 2 (1) 3 6 6 3 1 1 0 0 6 C11 (1)11 M11 1 2 C 12 (1) M 12 (1) 3 C13 (1)13 M13 (1) 4 uu Linear Algebra 5 1 3 0 5 2 3 6 3 36 Faculty of Science and Technology Vớ d: Cho ma trn 11 www.hoasen.edu.vn Bi tp: Vi Tớnh: C21 C23 C33 uu Linear Algebra 1 4 3 5 2 1 A 3 6 0 Faculty of Science and Technology 1 nh ngha (tt) 12 www.hoasen.edu.vn 1 nh ngha (tt) nh lý detA = ai1 Ci1 + ai2... Algebra 2 0 1 6(1)7 4 1 1 (24 5) 6(3 26 ) 1 0 2 3 Faculty of Science and Technology i 4 2 16 www.hoasen.edu.vn 1 nh ngha (tt) Bài Tập: Tính định thức sau 1 0 2 4 2 1 3 0 4 2 0 1 = 1 02 5 Lm cỏc bi tp 1 25 trang 95 97 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 1 2 3 17 www.hoasen.edu.vn a) Nu 2 hng ca ma trn A nh nhau hoc t l vi nhau thỡ detA = 0 b) Nu A cú mt hng ton s 0 thỡ detA = 0... Faculty of Science and Technology 2 Tớnh cht 18 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) 1 2 1 2 0 0 0 3 2 2 uu Linear Algebra Mt hng ton s 0 0 0 3 2 1 1 1 Hai hng nh nhau 0 0 0 3 2 1 Hng 1 v 2 t l Faculty of Science and Technology 1 2 19 www.hoasen.edu.vn 1 nh ngha (tt) nh lý a) Nu A l ma trn chộo cp nxn thỡ: b) Nu A l ma trn tam giỏc cp n (trờn hoc di) thỡ: detA = = a11 a 22 ann Chng minh: uu Linear Algebra... detA = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + + ain Cin Hay detA = a1j C1j + a2j C2j + + anj Cnj (1 i,j n) uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology Cho A l ma trn vuụng cp n nh thc ca A cú th c xỏc nh nh sau: 13 www.hoasen.edu.vn 1 nh ngha (tt) Vớ d: Tớnh nh thc sau: 1 4 3 5 2 1 a11C11 a12C 12 a13C13 3 6 0 1.(6) 4.(3) (3).36 126 1 4 3 5 2 3 6 uu Linear Algebra j 3 1 a13C13 a23C23 a33C33 0 Faculty... nh thc sau 2 0 3 1 0 4 2 0 5 2 0 D 1 3 6 uu Linear Algebra 1 = 58 Faculty of Science and Technology 1 30 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht (tt) Vớ d: Tớnh nh thc cp n sau 1 1 1 1 0 1 1 Dn 1 1 0 1 1 uu Linear Algebra 1 1 0 h2 h1 Faculty of Science and Technology 1 31 www.hoasen.edu.vn Lm cỏc bi tp uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2 Tớnh cht (tt) 32 ... bng cỏch i 2 dũng ca A thỡ detB = - detA c) Nu B l ma trn cú c bng cỏch cng tớch mt s vi mt dũng vo mt dũng khỏc ca A thỡ detB = detA d) Nu B cú c t A bng cỏch nhõn mt dũng ca A vi s m thỡ detB = m.detA uu Linear Algebra Chng minh: Faculty of Science and Technology Hm detA , vi A l ma trn vuụng bt k, c gi l hm nh thc (determinant function) nu tha cỏc tớnh cht sau: 23 www.hoasen.edu.vn 2 Tớnh cht . Algebra Định thức cấp 3: 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a  11 22 33 31 12 23 13 32 21 13 22 31 33 21 12 11 32 23 () () a a a a a a a a a a a a a a a a a a       1. Định nghĩa. Algebra Ví dụ: Tính định thức sau: 2 2 1 0 3 1 2 1 0 4 3 0 5 0 4 2    4 14 24 3414 2 44 34 44 4 j aaC C C Caa      68 14 34 2 2 1 2 2 1 . ( 1) 0 4 3 .0 1 0 ( 2) ( 1) 3 1 2 5 0 4 0 4 3 CC. Technology Linear Algebra Ví dụ: Tính 2 1 5 1 4 0 3 6 2   1 4 6 2 1 5 1 4 0 3 6 2   2 1 3  = [2. 4.( -2) +1.0.3+5.(-1).6] -[5.4.3 +2. 0.6+1.(-1).( -2) ] =[-16+0-30]-[60+0 +2] =-108 = -108 1. Định nghĩa (tt) www.hoasen.edu.vn  uu 9 Faculty