3 không gian vector(full) toán cao cấp

www.hoasen.edu.vn uu 1 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR www.hoasen.edu.vn uu 2 Faculty of Science and Technology Linear Algebra 1.Định nghĩa không gian vector. Không gian vector con 2.Độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính 3.Hệ sinh, cơ sở, số chiều của không gian vector 4.Hạng của hệ các vector 5.Ma trận chuyển cơ sở Nội dung www.hoasen.edu.vn uu 3 Faculty of Science and Technology Linear Algebra V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép toán: 1. Phép cộng: u, v ϵ V, u + v ϵ V 2. Phép nhân vô hướng: u ϵ V, r ϵ R, ru ϵ V. 1. Định nghĩa không gian vector (vector space) www.hoasen.edu.vn uu 4 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: V được gọi là không gian vector trên trường số thực R nếu đối với 2 phép toán đó thỏa mãn các tiên đề: (a) u,v ϵ V: u + v = v + u (b) u,v, w ϵ V: (u + v) + w = u + (v + w) (c) 0 ϵ V: u + 0 = 0 + u = u, u ϵ V (d) u ϵ V, tồn tại vector đối -u ϵ V: u + ( - u) = 0 (e) r ϵ R, u,v ϵ V: r(u + v) = ru + rv (f) r, s ϵ R, u ϵ V: (r + s)u = ru + su (g) r, s ϵ R, u ϵ V: r(su) = rs(u) (h) 1 ϵ R, 1u = u , u ϵ V 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 5 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định lý: V là không gian vector, u ϵ V, r ϵ R: (a) 0u = 0 (b) r0 = 0 (c) (-1)u = - u (d) Nếu ru = 0 thì hoặc r = 0 hoặc u = 0 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 6 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Ví dụ: 1. Tập các số thực R với 2 phép toán cộng và nhân là không gian vector. 2. Tập R 2 = {(x,y): x, y ϵ R} với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng (x,y) + (x’,y’) = (x + x’,y + y’) r(x,y) = (rx,ry) là không gian vector Chứng minh:… 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 7 Faculty of Science and Technology Linear Algebra  Tập các ma trận cấp m.n, kí hiệu M mn là một không gian vector. Chứng minh:… 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 8 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: Ta gọi không gian vector con của một không gian vector V (trên trường số thực R) là một tập con W của V thỏa mãn các tính chất: (a) Nếu u ϵ W và v ϵ W thì u + v ϵ W (b) Nếu u ϵ W và r ϵ R thì ru ϵ W 1. Không gian vector con (subspace) www.hoasen.edu.vn uu 9 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Ví dụ: 1. Chứng minh tập W = {(x,0) ϵ R 2 } là không gian vector con của R 2 . 2. Kiểm tra xem các tập sau có phải là không gian vector con của các không gian tương ứng? 1. Không gian vector con (tt)   2 2 ( ) [ ]/ 0M x t at bt c P t a b c          2 ( , ) / 2 1W x y R x y      3 ( , , ) / 2 3 0U x y z R x y z     www.hoasen.edu.vn uu 10 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: V là không gian vector trên R. Cho các vector v 1 , v 2 , …,v n là n vector trong V. Vector bất kỳ v trong V có dạng v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n trong đó α i ϵ R, được gọi là tổ hợp tuyến tính (linear combination) của các vector v 1 , v 2 , …,v n 2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính [...]... www.hoasen.edu.vn 32 www.hoasen.edu.vn Ví dụ: 1 Hệ vector nào các hệ sau là cơ sở của R3 : a) S1 = {(1,2 ,3) ,(0,2 ,3) ,(0,0,5)} b) S2 = {(1,1,2),(1,2,5),(0,1 ,3) } uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) 33 www.hoasen.edu.vn 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) a) Ta có: 0 2 3  10  0  S1 là cơ sở của R3 0 0 5 b) 1 1 2... 0  S2 không là cơ sở của R3 0 1 3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 1 2 3 34 www.hoasen.edu.vn Ví dụ: Trong cho các hệ vector: S1 = {e1, e2, e3}; S2 = {e1’, e2’, e3’} với e1 =(1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,2 ,3) , e1’ = (2,1,-1), e2’ = (3, 2,5), e1’ = (1,-1,m) a) Chứng minh S1 là cơ sở của R3 b) Tìm m để S2 là cơ sở của R3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh,... sinh của không gian vector V nếu  x ϵ V: 26 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) uu Linear Algebra 27 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) uu Linear Algebra 28 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector... of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) 35 www.hoasen.edu.vn 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) 1 1 1 1 1 2  2  0  S1 là cơ sở của R3 1 2 3 b) S2 là cơ sở của R3 khi và chỉ khi 2 1 1 3 2 5  0  m  20  0  m  20 1 1 m uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology a) 36 ... sở của V nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến tính 30 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) uu Linear Algebra 31 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) Chứng minh một hệ vector S = {e1, e2, …, en} là cơ sở của không gian vector V:  Dùng định nghĩa  Dùng định thức: - Với ei = (ai1 , ai2 , …, ain ), i = 1, 2,…, n a11... v3 = [2 ,3, 1] và v = [m,1,1] Tìm m để v là tổ hợp tuyến tính của các vector v1, v2, v3 2 Cho hệ 4 vector v1 = [1,2 ,3] , v2 = [4,5,6], v3 = [7,8,9] và v = [a,b,c] Tìm a, b, c để v là tổ hợp tuyến tính của các vector v1, v2, v3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) 12 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) Định nghĩa: V là không gian. .. www.hoasen.edu.vn Trong không gian Rn, cơ sở S0 = {e1, e2, …, en} với e1 = (1,0,0,…,0) e2 = (0,1,0,…,0) … en = (0,0,0,…,1) thì S0 được gọi là cơ sở chính tắc uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) Định nghĩa: Hệ vector S = {e1, e2, …, en} trong không gian vector V được gọi là một cơ sở của V nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến tính 30 www.hoasen.edu.vn...   0 1 X3   3 0 1  ; X 2  0 0  2 1  ; X 4  3 0  aX1  bX 2  cX 3  dX 4  0 1 0  1 2  1 2 1 2 0 0  a   b  0 0   c 3 0   d 3 4    0 0  0 0          uu Linear Algebra 2 0  2  4 Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) 22 www.hoasen.edu.vn a  b  c  d  0  2b  2c  2d  0   3c  3d  0   4d... tuyến tính (tt) 23 www.hoasen.edu.vn X  x1  (1, 1,0); x2  (2 ,3, 1); x3  (1, 4,5) Xét đẳng thức: ax1  bx2  cx3  0 a(1, 1,0)  b(2 ,3, 1)  c(1, 4,5)  (0,0,0) uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) Bài tập: Xét sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vector sau 24 www.hoasen.edu.vn  a  2b  c  0   a  3b  4c  0  ... Cách tìm: - Tìm định thức con khác 0 có cấp lớn nhất - Dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng hình thang, số dòng khác 0 là hạng của ma trận uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) 20 www.hoasen.edu.vn 1 X1   0 1 X3   3 uu Linear Algebra 0 1  ; X 2  0 0  2 1  ; X 4  3 0  2  0 2 4  Faculty of Science . minh tập W = {(x,0) ϵ R 2 } là không gian vector con của R 2 . 2. Kiểm tra xem các tập sau có phải là không gian vector con của các không gian tương ứng? 1. Không gian vector con (tt)   2 2 (. Technology Linear Algebra Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR www.hoasen.edu.vn uu 2 Faculty of Science and Technology Linear Algebra 1.Định nghĩa không gian vector. Không gian vector con 2.Độc lập tuyến. không gian vector. Chứng minh:… 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 8 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: Ta gọi không gian vector con của một không