3 không gian vector(full) toán cao cấp

Độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính3.. Hệ sinh, cơ sở, số chiều của không gian vector 4.. trong đó αi ϵ R, được gọi là tổ hợp tuyến tính linear combination của các vector v1, v2, …

2. Độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính

3. Hệ sinh, cơ sở, số chiều của không gian vector

4. Hạng của hệ các vector

5. Ma trận chuyển cơ sở

(d) u ϵ V, tồn tại vector đối -u ϵ V: u + ( - u) = 0

(e) r ϵ R, u,v ϵ V: r(u + v) = ru + rv

(f) r, s ϵ R, u ϵ V: (r + s)u = ru + su

(g) r, s ϵ R, u ϵ V: r(su) = rs(u)

1 ϵ R, 1u = u , u ϵ V

nhân là không gian vector

2. Tập R 2 = {(x,y): x, y ϵ R} với 2 phép toán

cộng và nhân vô hướng(x,y) + (x’,y’) = (x + x’,y + y’)r(x,y) = (rx,ry)

là không gian vector

Chứng minh:…

một không gian vector V (trên trường số thực

R) là một tập con W của V thỏa mãn các tính

chất:

(a) Nếu u ϵ W và v ϵ W thì u + v ϵ W

(b) Nếu u ϵ W và r ϵ R thì ru ϵ W

gian vector con của R2.

2. Kiểm tra xem các tập sau có phải là không

gian vector con của các không gian tương ứng?

( , , ) / 2 3 0

U  x y z  R x  y z 

trong đó αi ϵ R, được gọi là tổ hợp tuyến tính

(linear combination) của các vector v1, v2,

…,vn

2. Cho hệ 4 vector v1 = [1,2,3], v2 = [4,5,6], v3

= [7,8,9] và v = [a,b,c] Tìm a, b, c để v là tổ hợp tuyến tính của các vector v1, v2, v3

Hệ các vector v1, v2, …,vn được gọi là độc lập

tuyến tính (linearly dependent) nếu:

α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n vn = 0 (*)

chỉ thỏa mãn khi α 1 = α 2 = … = α n = 0

Ngược lại, nếu tồn tại α i ≠ 0 sao cho (*) thỏa

…,vn phụ thuộc tuyến tính là một trong các vector đó

là tổ hợp tuyến tính của các vector khác.

Hệ quả:

1. Trong các vector v1, v2, …,vn có 1 vector 0 thì các

vector này phụ thuộc tuyến tính

2. Nếu một phần của các vector v1, v2, …,vn phụ thuộc

tuyến tính thì tất cả các vector đó thuộc tuyến tính

3. Hệ bất kỳ các vector n thành phần có số vector

lớn hơn n thì phụ thuộc tuyến tính.

2. Đưa đẳng thức về dạng hệ phương trình tuyến tính

3. Tìm hạng của ma trận hệ số của hệ (r(A))

- Nếu r(A) = n thì hệ các vector độc lập tuyến tính

- Nếu r(A) < n thì hệ các vector phụ thuộc tuyến tính

1. Hạng của ma trận A, kí hiệu là r(A), là cấp

lớn nhất của định thức con khác 0 của A

2. Cách tìm:

- Tìm định thức con khác 0 có cấp lớn nhất

- Dùng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa

ma trận về dạng hình thang, số dòng khác 0 là hạng của ma trận

không gian vector V được gọi là một cơ sở của

V nếu S là hệ sinh và độc lập tuyến tính.

Trong không gian R n, cơ sở S0 = {e1, e2, …, en} với

e1 = (1,0,0,…,0)

e2 = (0,1,0,…,0)

…

en = (0,0,0,…,1)

 Hệ sinh có n vector là cơ sở.

 Hệ có n vector và độc lập tuyến tính là cơ sở

CMR: hệ vector S = {f1, f2, f3} là cơ sở của R3

Tìm tọa độ của vector x đối với cơ sở S.

Trong KGVT R3 cho các vector

Ví dụ:

a. Chứng minh S = {v1, v2, v3, v4} là cơ sở của

R 4

b. Tìm tọa độ của x = (7,14,-1,2) theo cơ sở S

Làm các bài tập: 2, 3, 10, 12,16 trang 197; 27,

28, 29 trang 198

vector: v1, v2, …, vn Tập hợp con bất kỳ của

hệ các vector đã cho được gọi là cơ sở của hệ

này nếu:

- Các vector trong tập con đó độc lập tuyến tính

- Vector bất kỳ của hệ là tổ hợp tuyến tính của

các vector thuộc tập con đó

{v1’, v2’, …, vn’} là 2 cơ sở của không gian

vector V (qui ước: S là cơ sở cũ, S’ là cơ sở

mới) Giả sử

v1’ = a11v1 + a12v2 + …+ a1nvn

v2’ = a21v1 + a22v2 + …+ a2nvn

Được gọi là ma trận chuyển cơ sở (transition

marix) từ S sang S’, kí hiệu là P: S  S’

a. Kiểm tra xem B = (v1, v2 ,v3) và C = (u1, u2, u3 )

có phải là cơ sở của R 3

b. Tìm tọa độ của x trong B ([x]B)

tọa độ của x trong B.

c. Lập ma trận (C|B) rồi biến đổi về dạng (I|P)

để tìm ma trận chuyển cơ sở P Khi đó [x]C = P[x]B

Làm các bài tập: 1, 5, 6, 11 trang 225; 17, 21,

23, 27 trang 226