ôn tập bài tập toán cao cấp

Đề 1: Câu 1: Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y + = + tại điểm (2,1) đến cấp 3. X=x-2, Y=y-1 f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3) 2 -(X/3 +Y/3) 3 + o(ρ 3 )] = + X - Y - X 2 + Y 2 + XY + X 3 - Y 3 - XY 2 + o(ρ 3 ) = + (x-2) - (y-1) - (x-2) 2 + (y-1) 2 + (x-2)(y-1) + (x-2) 3 - (y-1) 3 - (x-2)(y-1) 2 + o(ρ 3 ) Câu 2:tìm cực trị của hàm 2 2 12 3z x y xy x y= + + − − Điểm dừng: <=> x=7, y=-2 A= z’’ xx =2, B=z’’ xy =1, C=z’’ yy =2 Δ=AC-B 2 =3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2) Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ ∞ =1n n n v u với u n = n n       + 2 1 2 và v n = 2 2 1 n n       + = = = 2/e 2 <1 => ∑ ∞ =1n n n v u hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 2 1 ( 1) 4 (3 1) n n n n x n − ∞ = − − ∑ ρ= = =1/4 => -4<x 2 <4 => -2<x<2 x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ: [-2;2] Câu 5: Tính tích phân kép 2 2 1 D I dxdy x y = ∫∫ + , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥ x=rcosφ, y=rsinφ 2 2 1 D I dxdy x y = ∫∫ + = = = 4-2 Câu 6: Tính tích phân ( ) ( ) 2 2 cos x C I e xy dx y y x dy= + + + ∫ với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Các đk công thức Green thỏa Chiều C ngược chiều quy ước ( ) ( ) 2 2 cos x C I e xy dx y y x dy= + + + ∫ = = =-7/2 Câu 7: Tính ( )= + + + ∫Ñ C I ydx z x dy xdz , với C là giao của 2 2 1+ =x y và 1z y= + , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Công thức Stokes I = = = = = = Câu 8: Tính tích phân mặt loại một ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS , trong đó S là phần mặt nón 2 2 2 z x y= + , nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1z z= = . D=pr xOy S là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x 2 +y 2 =1} ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS = = /2 Đề 2: Câu 1. Cho hàm 2 ( , ) xy f x y xe= . Tính 2 (2,1)d f . f'’ x = +xy 2 f’’ xx = 2y 2 + xy 4 => f’’ xx (2,1)= 4e 2 f’’ xy = 4xy + 2x 2 y 3 => f’’ xy (2,1)=16e 2 f’ y =2x 2 y f’’ yy = 2x 2 +4x 3 y 2 => f’’ yy (2,1)=40e 2  d 2 f(2,1)=4e 2 dx 2 + 32e 2 dxdy + 40e 2 dy 2 Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) x y f x y y x e − + = − trên miền 2 2 {( , ) | 4}D x y x y= + ≤  x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0 Xét: L(x,y,λ)= +λ(x 2 +y 2 -4)  x=0,y= , λ=-5e 5 v x= ,y=0, λ=-3e -3 f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1 f(0,2)= f(0,-2)=4e 5 f(2,0)= f(-2,0)=-4e -3 Maxf=4e 5 x 2 +y 2 4 Minf=-1 x 2 +y 2 4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ )2( 2 2 1 + ∞ = ∑       + − nn n n n b/ 1 1 3. )2 (6.4.2 )12 (5.3.1 + ∞ = ∑ − n n n n a) = = =1/e 3 <1  )2( 2 2 1 + ∞ = ∑       + − nn n n n hội tụ theo tc Cauchy b) = = 6>1  1 1 3. )2 (6.4.2 )12 (5.3.1 + ∞ = ∑ − n n n n phân kỳ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 3) 2 ln n n n x n n ∞ = − − ∑ + ρ= = = 1 => -1<x-3<1=> 2<x<4 x=2: phân kỳ theo tc so sánh x=4: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (2,4] Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 x y D I e dxdy − − = ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤ 2 2 x y D I e dxdy − − = ∫∫ = = (e -4 -e -1 ) Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) C I x y dx x y dy= + + − ∫ , với C là phần đường cong siny x x= + , từ (0,0)A đến ( , )B π π . = => tích phân ko phụ thuộc đường đi ( ) ( ) C I x y dx x y dy= + + − ∫ = = Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 z R x y= − − nằm trong hình trụ 2 2 x y Rx+ = . Gọi S là phần mặt cầu 2 2 2 z R x y= − − nằm trong hình trụ 2 2 x y Rx+ = D=pr xOy S, D={x 2 +y 2 Rx} S= dxdy = rdr =2R( Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 2 4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y , phía trong. Các đk công thức Gauss thỏa 3 3 3 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy = - =-3 = ( Đề 3: Câu 1. Cho hàm ( , ) (2 )ln x f x y x y y = + . Tính 2 (1,1)d f f’x= 2ln + (2x+y)/x f’’xx= 2/x –y/x 2 => f’’xx(1,1)=1 f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1 f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1 f’’yy= -1/y +2x/y 2 => f’’yy(1,1)=1  d 2 f(1,1)=dx 2 -2dxdy+dy 2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + x 3 + y 9 với x > 0, y > 0 Điểm dừng:  x=1, y=3 A=z’’ xx =6/x 3 B=z’’ xy = 1 C=z’’ yy =18/y 3 Δ=AC-B 2 = -1 x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 1 4 7 (3 2) (2 1)!! n n n ∞ = × × − ∑ − L Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 !( 4) n n n n x n ∞ = − ∑ ρ= = = n =1/e => -e<x-4<e => -e+4<x<e+4 x= -e+4: = phân kỳ x= e+4: phân kỳ theo so sánh Miền hội tụ (-e+4,e+4) Câu 5. Tính tích phân kép ( 2) D I x dxdy= + ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1, 0 9 4 x y y+ ≤ ≥ x=3rcosφ, y=2rsinφ ( 2) D I x dxdy= + ∫∫ = = 6 Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) 2 3 2 C I x y dx x y dy= + + + ∫Ñ , trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi 2 2 ,y x y x= − = − , chiều kim đồng hồ. S là biên của miền phẳng giới hạn bởi 2 2 ,y x y x= − = − Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước ( ) ( ) 2 3 2 C I x y dx x y dy= + + + ∫Ñ = = -2 = -9 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 z x y= + nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z+ + = . S là phần mặt 2 2 z x y= + nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z+ + = . D=pr xOy S, D={x 2 +y 2 1} S= dxdy = rdr = Câu 8. Tính 2= ∫∫ S I xdS , với S là phần mặt trụ 2 2 4+ =x y nằm giữa hai mặt phẳng 1, 4z z= = . S1={x= }, S2={ x= } D1=pr yOz S1=D2=pr yOz S2 2= ∫∫ S I xdS = + = 2 dydz + 2 dydz =0 Đề 4: Câu 1. Cho hàm 2 2 ( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + − . Tính 2 (0,0)d f f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y) f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10  d 2 f(0,0)=2dx 2 -4dxdy+10dy 2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm 3 2 12 8 .z x y x y= + − Điểm dừng:  x=2, y=-4 A=z’’ xx =6xy+24 B=z’’ xy = C=z’’ yy =0 Δ=AC-B 2 = -9 =-144<0  z(x,y) ko có cực trị Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n ∞ = × × − ∑ × × − L L = =3/4 <1  1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n ∞ = × × − ∑ × × − L L hội tụ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1)ln( 1) n n n n x n n ∞ = − + ∑ + + [...]... đường tròn x +y = 2x, x +y = 6x và các đường 2 2 2 2 D thẳng y = x, y = 0 J= ∫∫ dxdy = D Câu 6 Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi I= [ ∫ ] h( x 2 − y 2 ) x( x 2 + y 2 )dy − y ( x 2 + y 2 )dx với AB là cung không cắt đường x2 = y2 AB  h(x2-y2)= c h(1)=1 => c=1 h(x2-y2)= 1  Câu 7 Tính I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz , với V giới hạn bởi z = x 2 + y 2 và z + x 2 +... y y 1 − 2 ÷dx +  + ÷  2 ∫  x + y 2 x ÷  x 2 + y 2 x ÷dy (1,1)     (2,3) Câu 6 Tính tích phân I= qua gốc O và không cắt trục tung => tp ko phụ thuộc đường đi   x y y 1 I= ∫  − ÷dx +  + ÷ dy  x2 + y 2 x2 ÷  x2 + y2 x ÷ (1,1)     (2,3) = , theo đường cong C không Câu 7 I = ∫∫∫ V I = ∫∫∫ V 1 dxdydz , với V được giới hạn bởi x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ x 2 + y 2 x + y2 + z2 2 1 dxdydz... γ ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) 2 Câu 7 Tính tích phân mặt loại một I = ∫∫ x dS , với S là nửa trên mặt x 2 + y 2 + z 2 = 4 S I = ∫∫ x 2 dS = S Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính I = Ñ x− y ∫ (3 C 2 )dx + (3 y − z 2 )dy + (3z − x 2 )dz , với C là giao của z = x 2 + y 2 và z = 2 − 2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z S là mặt giao của của z = x... I= ∫∫ arctg ( D ) x 2 + y 2 dxdy = ) x 2 + y 2 dxdy với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3 =2 =2 Câu 6 Chứng tỏ tích phân I = ∫ e x − y [ (1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] tích phân I với C là phần ellipse C không phụ thuộc đường đi Tính x2 y 2 + = 1 từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ 9 4 = I = ∫ e x − y [ (1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] = C = -3e3 + 2e-2 + Câu 7 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi... = 2 V I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz V = = Câu 8 Tính tích phân mặt I = ∫∫ 2 xdydz + ( 3 y + z ) dxdz + ( 2 z + 4 y ) dxdy , với S là phần mặt S x + y + z = 2 x , phần z ≤ 0 , phía dưới 2 2 2 Thêm mặt z=0 Công thức Gauss I = ∫∫ 2 xdydz + ( 3 y + z ) dxdz + ( 2 z + 4 y ) dxdy = S = Đề 10  xy , if ( x, y ) ≠ (0, 0)  2 2 Câu 1 Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) =  x + y  0, if ( x, y ) = (0, 0)  // (x,y) khác... hồ I = ∫ ( x 2 y + x − y )dx + ( y − x − xy 2 )dy C = = - - 8= 12 Câu 7 Tính tích phân đường loại một I= x=rcost, y=rsint => r= 2sint 2 2 , với C là nửa trên đường tròn x + y = 2 y I= = =4 Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính I = Ñ x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C là giao ∫( C và x + y + z = 0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z S là mặt giao của C là giao của x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y... = Câu 8 Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + z ) dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S là phần mặt S z = x 2 + y 2 nằm dưới mặt x + z = 2 , phía trên D=prxOyS={(x+1/2)2+y2=9/4} Thêm mặt x + z = 2 Công thức Gauss I = ∫∫ ( x + z ) dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy S =- = = paraboloid  . Đề 1: Câu 1: Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y + = + tại điểm (2,1) đến cấp 3. X=x-2, Y=y-1 f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3) 2 -(X/3 +Y/3) 3 + o(ρ 3 )] =. x dy= + + + ∫ với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Các đk công thức Green thỏa Chiều C ngược chiều quy ước ( ) ( ) 2 2 cos x C I e xy dx y y x dy= + + + ∫ =. xdz , với C là giao của 2 2 1+ =x y và 1z y= + , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Công thức Stokes I = = = = = = Câu 8: Tính tích phân mặt loại một ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS ,