DẠNG TOÀN PHƯƠNG xác ĐỊNH ppt _ TOÁN CAO CẤP

Bài DẠNG TOÀN PHƯƠNG XÁC ĐỊNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Dạng toàn phương xác định I Khái niệm dạng toàn phương xác định II Khái niệm véc tơ riêng giá trị riêng ma trận II Các dấu hiệu nhận diện dạng toàn phương xác định Dấu hiệu dựa vào định thức Dấu hiệu dựa vào dạng tắc dạng tồn phương Dấu hiệu dựa vào giá trị riêng I Khái niệm dạng toàn phương xác định Cho dạng toàn phương n n f =∑∑ aijxixj =X'AX (1) i=1 j=1 Định nghĩa: Dạng toàn phương (1) gọi dạng toàn phương xác định dương (âm) ln nhận giá trị dương (âm) với số thực (x1, x2, …, xn) không đồng thời khơng Dạng tồn phương (1) gọi dạng tồn phương khơng xác định vừa nhận giá trị dương vừa nhận giá trị âm với giá trị khác biến số II Giá trị riêng ma trận: Cho A ma trận vuông cấp n:  a11 a A = 21    an1 Lập ma trận: a12 a22 an2 a1n  a2n ÷ ÷ ÷ ÷ ann   λ - a11 -a12 -a1n   -aλ - a -a ÷ 22 2n ÷ λ E - A = 21  ÷  ÷ -an2 λ - a nn   -an1 Đa thức f(λ ) =λ E - A gọi đa thức đặc trưng ma trận A II Giá trị riêng ma trận: λ - a11 -a12 -a1n -aλ - a 22 -a 2n f(λ ) =λ E - A = 21 -an1 -an2 λ - a nn Nhận xét:  Đa thức f(λ) đa thức bậc n λ; Hệ số λn n  Hệ số λn-1 -∑ aii i=1  Số hạng tự f(0) = (-1)ndet(A) Định nghĩa: Giá trị riêng ma trận A nghiệm đa thức đặc trưng ma trận II Giá trị riêng ma trận: Ví dụ 1: Tìm giá trị riêng mt:  2 A = -1÷ ÷  -1 ÷   Giải: Ma trận A có đa thức đặc trưng là: λ -1 P(λ ) =λ E - A = -2 -2 λ -1 =(λ -1)(λ - 3λ - 3) 1λ - λ =1  P(λ ) =(λ -1)(λ - 3λ - 3) =0Û ⇔  λ =3 ± 21  Vậy ma trận A có giá trị riêng là: λ =1 λ 2,3 = 3± 21 II Giá trị riêng ma trận: Định lý 1: Số λ giá trị riêng ma trận A vuông cấp n tồn vectơ X ≠ On viết dạng ma trận cột cho: AX =λ X ĐN: Vectơ X thỏa mãn định lý gọi vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A NX: Tập hợp vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A không gian vectơ không gian vectơ Rn Số chiều không gian n – r(λE – A) III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định: Sử dụng định thức Cho dạng tồn phương: n n f =∑∑ aijxixj =X'AX i=1 j=1 có ma trận là:  a11 a12 a a22 21  A=    an1 an2 a1n  a2n ÷ ÷ ÷ ÷ ann  a11 a12 a1k Ta gọi a21 a22 a2k Dk = (k =1, 2, , n) ak1 ak2 akk định thức cấp k A ( Dk =D12 k 12 k ; k =1, 2, , n) III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định: Sử dụng định thức Định lý 2:  Dạng tồn phương f dạng toàn phương xác định dương ma trận có tất định thức dương D1 > 0, D2 > 0, …,Dn>0  Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định âm ma trận có tất định thức cấp chẵn dương tất định thức cấp lẻ âm D1 < 0, D2 > 0, …,(-1)nDn > Chú ý: Nếu định thức dạng tồn phương nằm ngồi hai trường hợp định lý ta chưa đủ điều kiện để kết luận dạng tồn phương khơng xác định dấu III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định: Sử dụng dấu hệ số dạng tắc Định lý 3: Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định dương tất n hệ số dạng tắc dương Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định âm tất n hệ số dạng tắc âm Dạng tồn phương f dạng tồn phương khơng xác định hệ số dạng tắc có hệ số dương hệ số âm Luật quán tính: Số hệ số dương số hệ số âm dạng tắc dạng tồn phương khơng phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến đưa dạng tồn phương dạng tắc III Dấu hiệu dạng tồn phương xác định: Sử dụng dấu giá trị riêng ma trận: Định lý 4: Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định dương ma trận có tất giá trị riêng dương Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định âm ma trận có tất giá trị riêng âm Dạng tồn phương f dạng tồn phương khơng xác định ma trận vừa có giá trị riêng dương vừa có giá trị riêng âm III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định: Ví dụ 2: Dạng tồn phương sau dạng tồn phương xác định dương, xác định âm hay không xác định: f =x12 +2x22 +6x32 +2x1x2 - 4x1x3 - 2x2x3 Cách 1: Sử dụng định thức chính: Dạng tồn phương có ma trận là: Ma trận A có định thức :  1 -2 A = -1÷ ÷  -2 -1 ÷   1 -2 1 D1 =1; D2 = =1; D3 = -1 =1 -2 -1 Do D1 > 0, D2 > 0, D3 > nên dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định dương Cách Sử dụng dạng tắc dạng tồn phương f =x12 +2x22 +6x32 +2x1x2 - 4x1x3 - 2x2x3 =(x1 +x2 - 2x3 )2 +(x2 +x3 )2 +x32 Đặt  y1 =x1 +x2 - 2x3  ⇒ f =y12 +y22 +y32 (1)  y2 =x2 +x3  y =x  3  x1 =y1 - y2 +3x3 Phép bđtt đưa dạng dạng (1) là:  (*)  x2 =y2 - y3  x =y -1 Ta có định thức:  3 -1 =1≠ 0 Vậy (*) phép bđt không suy biến Suy (1) dạng tắc dạng tồn phương f có đủ hệ số dạng tắc số dương nên f dạng toàn phương xác định dương  ... 4: Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định dương ma trận có tất giá trị riêng dương Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định âm ma trận có tất giá trị riêng âm Dạng toàn phương f dạng. .. toàn phương xác định dương tất n hệ số dạng tắc dương Dạng tồn phương f dạng toàn phương xác định âm tất n hệ số dạng tắc âm Dạng toàn phương f dạng toàn phương không xác định hệ số dạng tắc có hệ... định lý ta chưa đủ điều kiện để kết luận dạng tồn phương khơng xác định dấu III Dấu hiệu dạng toàn phương xác định: Sử dụng dấu hệ số dạng tắc Định lý 3: Dạng tồn phương f dạng toàn phương xác