BIẾN đổi DẠNG TOÀN PHƯƠNG về DẠNG CHÍNH tắc ppt _ TOÁN CAO CẤP

BIẾN ĐỔI DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 BIẾN ĐỔI DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC I Dạng tồn phương tắc II Biến đổi dạng tồn phương phép biến đổi tuyến tính III Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến I Dạng tồn phương tắc Định nghĩa: Dạng tồn phương tắc dạng tồn phương chứa số hạng bình phương biến số (aij = 0, i ≠ j) Dạng tồn phương tắc n biến x1, x2,…, xn có dạng f =a11x12 +a22x22 + +annxn2 Ma trận dạng tồn phương tắc ma trận dạng chéo  a11   a ÷ 22 ÷ A =  ÷  ÷ a nn   Nhận xét: Ở dạng tắc, hạng dạng tồn phương số phần tử khác khơng đường chéo ma trận II Biến đổi dạng tồn phương phép biến đổi tuyến tính Xét dạng toàn phương f =X‘AX Xét phép biến đổi tuyến tính: X = QY Khi đó, dạng tồn phương trở thành: f = (QY)‘A(QY) = Y‘(Q‘AQ)Y = Y‘BY, B = Q‘AQ Nhận xét: Phép biến đổi tuyến tính biến dạng toàn phương n biến số thành dạng toàn phương n biến số, đặc biệt – phép biến đổi khơng suy biến hạng dạng tồn phương không đổi Thật vậy, ta phải chứng minh r(A) = r(Q‘AQ), với det(Q) ≠ r ( A ) =r Q′-1 ( Q′AQ ) Q-1≤ r ( Q′AQ ) Q-1 ≤ r ( Q′AQ ) ≤ r ( Q′A ) ≤ r ( A ) ⇒ r ( A ) =r ( Q′AQ ) III Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc Định lý: Mọi dạng tồn phương đưa dạng tắc phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến Chứng minh: Sử dụng phương pháp quy nạp theo số biến dạng toàn phương Với n = 1: Định lý đúng, dạng tồn phương biến dạng tắc rồi; f = a11x12 Giả sử định lý đến n - 1(n > 2), nghĩa dạng tồn phương n biến đưa dạng tắc phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến; Bây ta chứng minh định lý đến n: Xét dạng toàn phương n biến n f = ∑ a ij x i x j i, j=1 III Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc Trường hợp 1: f khơng khuyết tất bình phương Giả sử a11 ≠ 0: Xét g(x2, x3,…, xn) g ( x , x ,K , x n ) = f ( x , x ,K , x n ) − ( a11x1 + a12 x + L + a1n x n ) a11 Chú ý g không xuất x1; chuyển vế sang ta f ( x , x ,K , x n ) = g ( x , x , K , x n ) + a x + a x + L + a x ( 11 12 1n n ) 44 4 43 a11 4 4 4 43 x i = yi ,i = 2,3,K ,n = g ( y , y3 ,K , y n ) + y1 y1 a11 g dạng toàn phương n – biến, theo giả thiết quy nạp, phép biến đổi không suy biến ta đưa g dạng tắc, giả sử phép biến đổi là: III Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc Trường hợp 1: f khơng khuyết tất bình phương  y2  y ÷  ÷= L ÷  ÷  yn   z2  z ÷  3÷ L ÷  ÷  zn  Q Sau sử dụng phép biến đổi g có dạng tắc g%( z , z ,K , z n ) Xét phép biến đổi tương tự trên:  y1  y ÷  ÷= L ÷  ÷  yn  L 0 L Q  z1  z ÷  2÷ L ÷  ÷  zn  Dạng tồn phương f trở thành: f = g%( z , z ,K , z n ) + z1 a11 Đây dạng tắc III Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc Trường hợp 2: f bị khuyết tất bình phương: a11 = a22 = … = ann = Giả sử a12 ≠ 0, sử dụng phép biến đổi  x1 = x =   x3 = L L   x n = y1 + y y1 − y y3 yn Khi dạng toàn phương f xuất hệ số ( a12 x1x = a12 ( y1 + y ) ( y1 − y ) = a12 y 21 − y 22 Lại quay trường hợp để xử lý tiếp ) III Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc Thực hành biến đổi dạng tồn phương dạng tắc n n f =∑∑ aij.x.x i j i=1 j=1 Nếu f không khuyết bình phương, giả sử a11 ≠ Khi ta phân tích f thành hai phần, phần thứ chứa bình phương có chứa x1, phần cịn lại khơng xuất x1  f ( x1,x2, ,xn ) = a x +a x + +a x ( 11 12 1n n ) +g( x2,x3, ,xn ) a11 = y12 +g( y2,y3, ,yn ) a11 Sau thực phép phân tích tương tự với g(y2, y3,…, yn)  Nếu f khuyết bình phương (a11 = a22 = = ann = 0) Khi chọn hệ số aij ≠ Ta đưa trường hợp cách đặt: xi = yi + yj; xj = yi – yj; xk = yk; với k ≠ i k ≠ j III Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biến đổi dạng tồn phương sau dạng tắc ma trận phép biến đổi vừa sử dụng: f =x12 - 3x22 +2x32 - 2x1x2 +6x1x3 +4x2x3 f =x12 - 3x22 +2x32 - 2x1x2 +6x1x3 +4x2x3 Trước hết, nhóm phần tử có mặt x1: f =( x12 - 2x1x2 +6x1x3 ) - 3x22 +2x32 +4x2x3 = x12 - 2x1 ( x2 - 3x3 )  - 3x22 +2x32 +4x2x3 Sau thêm bớt để tạo thành bình phương có chứa x1: 2 f = x12 - 2x1 ( x2 - 3x3 ) +( x2 - 3x3 )  - 3x22 +2x32 +4x2x3 - ( x2 - 3x3 )   4 4 44 4 4 43 4 4 4 4 43 2 = x x +3x 4x -7x ( ) 3 +10x2x3 Lại phân tích tiếp g(x2,x3) : f =( x1 - x2 +3x3 ) - ( 4x22 -10x2x3 ) -7x32 =( x1 - x2 +3x3 ) =( x1 - x2 +3x3 ) 14243 = y12 25  25  2 -  4x2 - 2.2x2 x3 + x3 ÷-7x3 + x3     x3  2x2 - x3 ÷   { 44 43 y22 y3 Ma trận phép biến đổi tính sau: Từ phép đổi ẩn, ta xét “hệ phương trình” (thực phép biến đổi ngược)  x1 - x2 +3x3 = y1   2x2 - x3 = y2  x3 = y3  Sau đảo ngược lại phép biến đổi cách biểu diễn x1, x2, x3 theo y1, y2, y3, ta phép biến đổi sử dụng:  x = y + y y3    y2 + y3  x2 =  y3  x3 =  Ma trận phép biến đổi sử dụng là:  1/ -7/ 4 Q = 1/ 5/ ÷  ÷ 0 ÷   III Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2: Biến đổi dạng tồn phương sau dạng tắc ma trận phép biến đổi vừa sử dụng: f =x22 - 3x32 - 2x1x2 - x1x3 +6x2x3 Trong trường hợp này, x12 không xuất hiện, nên ta thực từ x2: Nhóm phần tử có mặt x2: f =( x22 - 2x1x2 +6x2x3 ) - 3x32 - x1x3 = x22 - 2x2 ( x1 - 3x3 )  - 3x32 - x1x3 2 2   = x2 - 2x2 ( x1 - 3x3 ) +( x1 - 3x3 ) - 3x3 - x1x3 - ( x1 - 3x3 )   =( x2 - x1 +3x3 ) - x12 -12x32 +5x1x3 25  25  =( x2 - x1 +3x3 ) -  x12 - 5x1x3 + x32 ÷-12x32 + x32    23 2  =( x2 - x1 +3x3 ) -  x1 - x3 ÷ x3   2 23 =y1 - y2 - y3 Xác định ma trận phép biến đổi sử dụng: Ta có hệ phương trình:  x2 - x1 +3x3 = y1  = y2  x1 - x3  x3 = y3   x = y +y y3  2   ⇒  x1 = y2 + y3  y3  x3 =  Vậy ma trận phép biến đổi là:  5/  Q = 1 -1/ 2÷ ; vààQ =-1  ÷ 0 ÷   III Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3: Biến đổi dạng tồn phương sau dạng tắc ma trận phép biến đổi vừa sử dụng: f =x1x2 +x1x3 - 6x2x3 Đây trường hợp khuyết tất bình phương: a11 = a22 = a33 = Đưa trường hợp xuất bình phương: Đặt:  x1 = y1 - y2   x2 = y1 +y2 x = y3  Ma trận phép biến đổi thứ là:  -1 0 Q1 = 1 0÷  ÷  0 1÷   Dạng toàn phương f viết theo biến y1, y2, y3 là: f =( y1 - y2 ) ( y1 +y2 ) +( y1 - y2 ) y3 - 6( y1 +y2 ) y3 f =( y1 - y2 ) ( y1 +y2 ) +( y1 - y2 ) y3 - 6( y1 +y2 ) y3 =y12 - y22 - 5y1y3 -7y2y3 =( y12 - 5y1y3 ) - y22 -7y2y3 25  25  = y12 - 5y1y3 + y32 ÷- y22 -7y2y3 y3     = y1 - y3 ÷   49   -  y22 +7y2y3 + y32 ÷+6y32     = y1 - y3 ÷     -  y2 + y3 ÷ +6y32    5/  Ma trận phép biến đổi thứ hai là: Q2 = -7/ 2÷  ÷ 0 ÷   Ma trận phép biến đổi sử dụng là:  -1  X=Q1Y  ÷ => X=Q1Q2Z; Q =Q1Q2 = 1 -1÷; Q1Q2 =2  0 1÷ Y=Q2Z   =z12 - z22 +6z32 CHỈ SỐ QN TÍNH CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG Ta vừa chứng minh dạng tồn phương đưa dạng tắc phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến đó, Có thể có nhiều dạng tắc khác dạng tồn phương,nhưng dạng tắc dạng toàn phương, số hệ số dương số hệ số âm cố định, cặp số gọi số qn tính dạng tồn phương Ở ví dụ 1: Dạng tồn phương đưa dạng tắc f =x12 - 3x22 +2x32 - 2x1x2 +6x1x3 +4x2x3 f =y12 - y22 - y32 Chỉ số quán tính (1, 2) Ở ví dụ 3: Dạng toàn phương f =x1x2 +x1x3 - 6x2x3 đưa dạng tắc f =z12 - z22 +6z32 Chỉ số quán tính (2,1) ...BIẾN ĐỔI DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC I Dạng tồn phương tắc II Biến đổi dạng tồn phương phép biến đổi tuyến tính III Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi tuyến tính... ) III Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc Định lý: Mọi dạng tồn phương đưa dạng tắc phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến Chứng minh: Sử dụng phương pháp quy nạp theo số biến dạng toàn phương. .. Q‘AQ Nhận xét: Phép biến đổi tuyến tính biến dạng toàn phương n biến số thành dạng toàn phương n biến số, đặc biệt – phép biến đổi khơng suy biến hạng dạng tồn phương không đổi Thật vậy, ta phải