VCBÉ – VCLỚN LIÊN tục (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG TOÁN HK1 BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN LIÊN TỤC VÔ CÙNG BEÙ Đại lượng α(x) – vô bé lim α ( x ) = (VCB) x → x0: VCB x → x0 (x → 0): α ( x ) = sin x , − cos x , tgx x Lượng − 1, ln(1 + x ) Lũy Mũ, egiác (1 + x ) α − VD : + 3x − ln: thừa: x0: Không quan trọng VCB VCB x → 1: sin(x– x 1) … x → ∞: α(x), β(x) – VCB x α(x) VCB, C(x) bò → ⇒ xα(x) ± β(x) , α(x)β(x): π π VCB b / lim x sin VD a / lim sin x →0 x →0 x x : BT: lim ( sin x + − sin x ) x →∞ chaën ⇒ C(x)α(x): π VCB c / lim x sin x →∞ x SO SÁNH VÔ CÙNG BEÙ - α ( x) = c ⇒ So saùnh α(x), β(x) – VCB, x → x0 lim x → x0 β ( x ) ∃ 1/ c = : α(x) – VCB caáp cao so với β(x): α(x) = o(β(x)) Cách nói khác: β(x) – VCB cấp lại trường hợp c = ⇒ 2/ c =thấp ∞ : Ngược β(x) 3/ c = ≠ o(α(x)) 0, c ≠ ∞ : voâ bé cấp VCB cấp thấp: Chứa “thừa số 0” VD: sinSo x, x p dụng: sánh vô bé xm , xn (m, n > 0) x sin →0 x, − cos x, tgx VD: So sánh VCB: VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG) α ( x) =1 α(x), β(x) – VCB tương đương x lim x → x0 β ( x ) → x0 ⇔ x2 VCB lượng sin x ~ x , tgx ~ x, − cos x ~ , x → x giác: e VCB mũ, − ~ x, ln (1 + x ) ~ x, x → 2x α ln: VCB luõy thừa (1 + x ) − ~ αx, x → VD: + x ~ (caên): VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) α VD: Tìm số Ctgx − sin x ~ Cx , x → DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN Aùp dụng: Dùng vô bé tương đương tính giới hạn α ( x ) ~ α1 ( x ) , β ~ β1 ⇒ x → x0 x→ x0 α ( x) α ( x) = lim x→ x0 β ( x ) x → x0 β1 ( x ) lim Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG) Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU) ln (1 + tg x ) ln ( cos x ) 1/ lim / lim x VD: x →0 x →0 ( e x sin x − 1) sin x Tìm x  x + 2x −    x → x0 bất lim x →∞  x − x +1  kỳ VD: Tìm sin x − tgx α ~β & α ~ β x → x0 ⇒ α ± α VD : lim x →0 x3 QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ α, β – VCB khác cấp ⇒ α + β tương đương VCB cấp thấp Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: α(x), β(x) – tổng VCB khác cấp ⇒ lim α/β = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp tử & mẫu) sin ( x + − ) + x + 3tg x ln ( cosx ) + x lim VD: lim x →0 x →0 ln (1 + x ) sin x + x Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &Σ ≡ α  α ≠ β  f ~ λx , x → a α β ⇒ f + g ~ λx + µx iff   β  α = β & λ + µ ≠  g ~ µx , x → a ( sin x ± x / lim / lim x + x + x − x x →0 x → +∞ x ) ln (1 + x )   lim  − x →0 x ( + x ) x   VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BOÛ VCL Haøm y = f(x) – vô lớn (VCL)lim f ( x ) = ∞ x→ x0 x → x0 : So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL x → x0 ∃ giới hạn f/g c ≠ 0, ∞ : f(x), g(x) – VCL f ( x) cuøng lim =c c = 1:cấp f, g – VCL tương x → x0 g ( x ) đương c = ∞ :: ff ~ – g VCL cấp cao g Vieát: f >> gx a >> xα >> log β x ( a > 1, α > ) VD: x − x + ~ x x →∞ x →∞ x →∞  Toång vô lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao  Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) KẾT LUẬN Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):  Dạng tích (thương) ⇒ Thay THỪA SỐ biểu thức tương đương & đơn f ( x )hơn g( x) f1 ( x ) g1 ( x ) giản lim = lim với f(x) ~ f1(x), g(x) x → x0 x → x0 h( x ) h1 ( x ) ~ g1(x) …  Dạng tổng VCB khác cấp ⇒ Thay VCB cấptổng thấpVCB  Dạng tổng quát Σfi(x) ⇒ Thay αi αi f ( x ) ~ C x & C x ≡0 ∑ i luỹ i i fi(x) VCB tương đương dạng thừa: Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng ∞ /∞ …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) tìm lim HÀM LIÊN TỤC - Hàm f(x) liên Hàm liên tục/[a, b] ⇔ (C): tục x0: định  f(x) xác đường liền limx0f ( x ) = f ( x0 )  taïi x→ x Giá n đoạ Hàm sơ cấp (định nghóa qua biểu thức) n! liên tục ⇔ xác định VD: Khảo sát tính liên tục : tgx + hàm x − số: sin x  x, x < a/ y = b/ y = c / f ( x) =  x +1 x 1 − x, x ≥ Khôn g sơ sin x  , x≠0  x VD: Tìm a để hàm liên y =  cấp!  a , x = tục x = 0: LIÊN TỤC MỘT PHÍA - Tương tự giới hạn phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … ⇒ Khảo sát f ( x ) = f ( x0 ) f(x) liên tục trái x0 xácxlim →x0−  f ( x0 − ) định x0 vaø f ( x ) = f ( x0 ) f(x) liên tục phải x0 xácxlim → x0 +     f ( x0 + ) định x0 Hàm f(x) liên tục x0 ⇔ Liên tục trái & liên tục phải x0  , x ≠1  x VD: Khaûo sát tính f ( x) = 1 + e x −1 Chú lim a = ? x →∞  liên tục: ý: 1, x = PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ÑOAÏN - Hàm f xác định & gián đoạn lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 x ⇔ Không Hoặc ∃ lim fcó ≠ f(x0), lim– ≠ lim+, ∃ lim f: trường hợp! Loại 1:Điểm khử ∃ lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) x→ x được:  Điểm lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) f(x) gián đoạn x0 x → x0 − nhảy: Bước x → x0 + lim f ( x ) − lim f ( x ) x → x0 + nhảy: x → x0 − f ( x ) ∃ lim f ( x ) Loaïi ∃ xlim →x − x→ x + 0 2: (Hoặc không tồn VÍ DỤ Điểm x0 = có phải điểm gián đoạn? Hãy x phân loại sin , x≠0  f ( x) =  x  , x=0 a VÍ DỤ Điểm x0 = có phải điểm gián x đoạn? Hãy phân loại sin , x ≠0  x f ( x) =  1 , x=0  VÍ DỤ Bieän luận tính chất điểm gián đoạn hàm sau theo a sin , soá x≠0  f ( x) =  x  , x=0 a f ( 0) = a f ( 0) = a TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN f bị chặn [a, f đạt GTLN, BN treân b]:m∃ ≤m,f(x) M ≤ M∀ x∈ & [a, ∃ xb]: 0, x1 ∈ [a, b]: f(x0) [a, b] = m, … Hàm y = f(x) liên tục đoạn [a, b] Chú ý: Không thể thay đoạn & bằngĐịnh (Hay sử dụng) lý giá trịkhoảng! hai đầu GTBN ≤ k ≤ GTLN ⇒ ∃ trái dấu: f(a).f(b) < f nhận giá trị trung gian: ∀ k VÍ DUÏ ( x − 1) , x ≤ 1/ Tìm a, b ñeå  f ( x ) = ax + b , < x < hàm số sau  x , x ≥1  liên tục R f liên tục & 2/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm âm x5 = − x f(x) liên tục (0, 3) Để pt f(x) = có nghiệm (a, b) b):= (2, 3) a/ f(2)f(3)treân < 0, (a, b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2) a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định R: f2(x) = ∀ x ∈ R ... f(x) liên tục trái x0 xácxlim →x0−  f ( x0 − ) định x0 f ( x ) = f ( x0 ) f(x) liên tục phải x0 xácxlim → x0 +     f ( x0 + ) định x0 Hàm f(x) liên tục x0 ⇔ Liên tục trái & liên tục. .. α, β – VCB khác cấp ⇒ α + β tương đương VCB cấp thấp Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: α(x), β(x) – tổng VCB khác cấp ⇒ lim α/β = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp tử & mẫu) sin ( x... tương đương vào tích (thương) tìm lim HÀM LIÊN TỤC - Hàm f(x) liên Hàm liên tục/ [a, b] ⇔ (C): tục x0: định  f(x) xác đường liền limx0f