Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp ĐỀ KHẢO SÁT TOÁN THCS ÁI MỘ THÁNG – NĂM 2020 Câu (2,0 điểm) x x 2 2− x P = + ÷÷: − x − x − x x x + Cho biểu thức: ( ) P b) Tìm x để P = c) Với x > tìm giá trị nhỏ P a) Rút gọn Câu (2,0 điểm) Thực phép tính: a) − 20 − + 2 Giải phương trình a) Câu 7+ − − b) − 2+ 7+ 5; x − 6x + = 2020; b) 25x + 75 − x + + 4x + 12 = (2 điểm) Giải tốn có yếu tố thực tiễn a) Giải tốn cách lập phương trình Bạn Nam Khánh xe đạp từ nhà đến thành phố Hà Nội với vận tốc trung bình 15km/h Lúc Khánh với vận tốc trung bình 12km/h , nên thời gian nhiều thời gian 22 phút Tính độ dài quãng đường từ nhà bạn Khánh đến thành phố Hà Nội b) Một máy bay bay lên với vận tốc 10 km/phút Đường bay lên tạo với phương ngang góc đất Câu 30° Hỏi sau (tính theo phút), máy bay bay lên cao km so với mặt (3,5 điểm) Cho tam giác BH vuông góc với BC Q 20 cm Vẽ đường cao a) Tính độ dài AC ABC vng trung tuyến B , có độ đài cạnh AB BC 15 cm BM , kẻ HP vng góc với AB P ; kẻ HQ PQ b) Chứng minh rằng: BA.BP = BC.BQ c) Chứng minh rằng: BM vng góc với PQ TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp Câu (0,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao diện tích tam giác AHK với tam giác ABC BH CK Chứng minh rằng: Tỉ số cos A TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (2,0 điểm) x x 2 2− x P = + ÷÷: − x − x − x x x + Cho biểu thức: ( ) P b) Tìm x để P = c) Với x > tìm giá trị nhỏ P a) Rút gọn Lời giải a) Điều kiện xác định : x > 0; x ≠ x x 2 2− x P = + ÷÷ : − x − x − x x x + ( x = + x −1 = x )( x −1 ) x +1 )( + x −1 ) ( ( ( x +1 ) ) ( ) ( ( ) ) ( x + 2− x ÷: − x +1 ÷ x x +1 x x +1 ) x x −1 x + 2− x ÷: − x +1 ÷ x x +1 x x +1 )( ) x ( x + 1) + x ( x + 1) − ( − x ) = : x − x + ( ) ( ) x ( x + 1) x ( x + 1) x+ x + x = ( x − 1) ( x + 1) x + − + x x ( x + 1) x+ x = ( x − 1) ( x + 1) x + x = ( ( ( x ) ) x x −1 b) Tìm x để P = TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp x =4 x −1 (Với x > ⇔ x= x−4 0; x ≠ ) ⇔ x− x + 4= ⇔ ( ) x−2 =0 ⇔ x− 2= ⇔ x = 4(TM ) x = P = x > tìm giá trị nhỏ P Vậy với c) Với P= Với x 1 = x + 1+ = x − 1+ +2 x −1 x −1 x −1 x > Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: ( x − 1+ ≥2 x −1 x − 1+ + 2≥ x −1 x −1+ +2≥ x −1 ) x − ÷ x −1 ( ) x − ÷+ x − ⇒ P≥ Dấu “ = “ xảy Vậy Câu P x −1= đạt GTNN ⇒ x −1= 1⇔ x = x −1 x= (2,0 điểm) Thực phép tính a) − 20 − + 2 Giải phương trình a) x − 6x + = 2020 ; 7+ − − b) − 2+ 7+ 5; b) 25x + 75 − x + + 4x + 12 = Lời giải TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp a) Ta có ( − 20 − 6+ = − 3.2 − = 5− ( ) + = − b) Ta có 7− = a) − ( 2+1 7+ 7− )− − 7+ 7+1 = ( ( 7+ 7− )( 2− − = 7+ 2− 2− x2 − 6x + = 2020 ⇔ ( x − 3) 25x + 75 − x + + ) 7+ ( − ) ( 2− )( 2+ ) 2−1 − ( ) 7+ 7+ ) − − = x − = 2020 = 2020 ⇔ x − = 2020 ⇔ ⇔ x − = − 2020 Vậy phương trình cho có nghiệm b) ) 5+ = 5− 5− 5+ x = 2023 x = − 2017 x= 2023 x= − 2017 4x + 12 = (Điều kiện x≥ − 3) ⇔ x + − x + + x + = ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x + 3= ⇔ x = − 4 (Thỏa mãn điều kiện) x= − Vậy phương trình cho có nghiệm Câu (2 điểm) Giải tốn có yếu tố thực tiễn a) Giải toán cách lập phương trình Bạn Nam Khánh xe đạp từ nhà đến thành phố Hà Nội với vận tốc trung bình 15km/h Lúc Khánh với vận tốc trung bình 12km/h , nên thời gian nhiều thời gian 22 phút Tính độ dài quãng đường từ nhà bạn Khánh đến thành phố Hà Nội b) Một máy bay bay lên với vận tốc 10 km/phút Đường bay lên tạo với phương ngang góc đất 30° Hỏi sau (tính theo phút), máy bay bay lên cao km so với mặt Lời giải 11 a) Đổi 22 phút = 30 Gọi thời gian bạn Khánh từ nhà đến thành phố Hà Nội Khi đó, thời gian bạn Khánh từ thành phố nhà là: x+ x (h) ( x > ) 11 30 (h) TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp Vận tốc lúc 15 km/h nên độ dài quãng đường AB là: 15x (km) 11 12 x + ÷ Vận tốc lúc 12 km/h nên độ dàu quãng đường AB là: 30 (km) Vì độ dài quãng đường nên ta có phương trình: 22 22 11 15 x = 12 x + ÷ ⇔ 3x = ⇔ x = 15 (thỏa mãn) 30 22 15 = 22 Độ dài quãng đường từ nhà Khánh đến thành phố Hà Nội là: 15 (km) b) Mô tả đường bay máy bay hình vẽ bên Trong ∆ ABC vng A có: sin A = AB sin 30° = ⇒ BC = 10 BC hay BC Vậy máy bay tạo với phương ngang góc 30° cao cách mặt đất km máy bay bay quãng đường 10 km tương ứng với thời gian phút ABC B , có độ dài cạnh AB BC 15 cm 20 BH trung tuyến BM , kẻ HP vng góc với AB P ; kẻ HQ vng Câu (3,5 điểm) Cho tam giác cm Vẽ đường cao góc với BC a) Tính độ dài vng Q AC PQ b) Chứng minh rằng: BA.BP = BC.BQ c) Chứng minh rằng: BM vuông góc với PQ Lời giải a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ ABC vng B ta có : TỐN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp AC = AB + BC ⇒ AC = 152 + 202 = 625 ⇒ AC = 25 (cm) ∆ ABC Xét BA.BC = BH AC BPHQ Tứ giác b) Xét Từ ∆ ABH ∆ BHC Xét ( 1) c) Gọi I B , đường cao BH Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: vng có Bµ = Pµ = Qµ = 90° vng suy có có HQ BPHQ hình chữ nhật ⇒ PQ = BH = 12 (cm) đường cao, ta có: BH = BC.BQ ( ) BA.BP = BC.BQ giao điểm Theo ý b, ta có nên HP đường cao, ta có: BH = BA.BP ( 1) H H vuông ( 2) BA.BC 15.20 = = 12 (cm) AC 25 ⇒ BH = BM PQ BA.BP = BC.BQ ⇒ BA BQ = BC BP · = BAC · ⇒ ∆ BPQ#∆ BCA (c.g.c) ⇒ BQP Do BM trung tuyến ⇒ BM = MA ⇒ ∆ BMA cân M · = BQP · · = BQP · · = MAB · Mà MAB ( 3) ⇒ MBA ⇒ MBA Do ∆ BQP Từ ( 3) vng ta có · · B ⇒ BPQ + BQP = 90° · + MBA · = BPQ · + BQP · = 90° BPQ Hay · + IPB · = 90° ⇒ ∆ IBP BPI Vậy BM ⊥ PQ Câu (0,5 điểm) Cho tam giác nhọn vng ABC I có hai đường cao tích tam giác AHK với tam giác ABC cos BH CK Chứng minh rằng: Tỉ số diện A Lời giải TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang Giáo viên soạn tài liệu: Đội – Tổ Tia Chớp Ta có ∆ ABH vuông H ⇒ cos A = AH AK AH AK K ⇒ cos A = ⇒ = AB , ∆ ACK vuông AC AB AC AH AK = Xét ∆ AHK ∆ ABC có: AB AC , góc A chung suy ∆ AHK đồng dạng với ∆ ABC (c.g.c) S AH ⇒ ∆AHK = ÷ = cos A S∆ABC AB (đpcm) TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang ... ∆ BQP Từ ( 3) vng ta có · · B ⇒ BPQ + BQP = 90 ° · + MBA · = BPQ · + BQP · = 90 ° BPQ Hay · + IPB · = 90 ° ⇒ ∆ IBP BPI Vậy BM ⊥ PQ Câu (0,5 điểm) Cho tam giác nhọn vng ABC I có hai đường cao tích... )( 2− − = 7+ 2− 2− x2 − 6x + = 2020 ⇔ ( x − 3) 25x + 75 − x + + ) 7+ ( − ) ( 2− )( 2+ ) 2−1 − ( ) 7+ 7+ ) − − = x − = 2020 = 2020 ⇔ x − = 2020 ⇔ ⇔ x − = − 2020 Vậy phương trình cho có nghiệm... giác nhọn ABC có hai đường cao diện tích tam giác AHK với tam giác ABC BH CK Chứng minh rằng: Tỉ số cos A TOÁN THCS VIỆT NAM - Links nhóm: https://www.facebook.com/groups/ToanTHCSVietNam/ Trang