sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy sốsáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 2013-2014 năm học tiếp tục thực vận động “ Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “ Hai khơng”; “ Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục " với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thơng tin vào q trình dạy học " Do q trình dạy học địi hỏi thầy giáo phải tích cực học tập; khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em 1.2 Lý chọn đề tài: Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích toán học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng tốn liên quan tới nội dung thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, tơi nhận thấy dạng tốn dãy số tốn tìm số hạng tổng qt Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác tốn thực khơng phải dễ với học sinh Xuất phát từ lí chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số xây dựng toán dãy số ” Qua nội dung ví dụ đề tài nhằm giúp em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần đáp ứng việc học chuyên đề lớp 11 chun tốn việc ơn thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm giảng dạy từ trước đến lớp 11A1, 11A2 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài “Chương III: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 ban nâng cao 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung mơn Đại số Giải tích 11 nói riêng 1.5 Điểm kết nghiên cứu: Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng un < un+1 , ∀n ∈ ¥ * * * Dãy số ( un ) gọi dãy số giảm un > un+1 , ∀n ∈ ¥ * Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) dãy số tăng * Nếu un+1 − un < 0, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) dãy số giảm * * Nếu tồn số M cho un ≤ M , ∀n ∈ ¥ ( un ) bị chặn * * Nếu tồn số m cho un ≥ m , ∀n ∈ ¥ ( un ) bị chặn * Nếu dãy số ( un ) bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , d số khơng đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng tổng S n = u1 + u2 + + un = n ( u1 + un ) d) Cấp số nhân * Dãy số ( un ) cấp số nhân ⇔ un+1 = un q với ∀n ∈ ¥ * , q số khơng đổi gọi công bội cấp số nhân n−1 * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân un = u1.q * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân vơi q ≠ 1, q ≠ tổng − qn S n = u1 + u2 + + un = u1 1− q e) Một số đinh lí giới hạn - Nếu q < lim q n = - Nếu q > lim q n = +∞ * - Nếu dãy số an ≤ bn ≤ cn , ∀n ∈ ¥ lim an = lim cn = L lim bn = L - Nếu dãy số ( un ) tăng bị chặn ( un ) có giới hạn Nếu dãy số ( un ) giảm bị chặn ( un ) có giới hạn 2.2 Nội dung nghiờn cu ca ti A Phơng trình sai phân tuyến tính cấp Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình sai phân dạng : u1 = α , a.un+1 + b.un = f n , n N * a,b, h»ng sè ,a # vµ f n lµ biĨu thức n cho trớc Dạng Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = α , a.un +1 + b un = (1.1) * ®ã a, b, cho trớc n N Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = để tìm Khi un = q n (q số ) , q đợc xác định biết u1 = Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un +1 = un , u1 = (1.2) n Phơng trình đặc trng cã nghiÖm λ = VËy un = c.2 Tõ u1 = suy n −1 c = Do un = 2 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , au n+1 + bun = f n , n ∈ N * (2 1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un0 + un* Trong un0 nghiệm phơng trình * (1.1) un nghiệm riêng tuỳ ý phơng trình không n nhÊt (2.1) VËy un = q.λ q lµ số đợc xác định sau * Ta xác ®Þnh un nh sau : * 1) NÕu λ #1 un đa thức bậc với f n * 2) NÕu λ =1 th× un = n.g n với g n đa thức bậc với f n * Thay un vào phơng trình, đồng hệ số ta tính đợc hệ * số un Bài toán 2: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 2; un +1 = un + 2n, n N * Bài giải (2.2) Phơng trình đặc trng λ − = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un0 + un* ®ã un0 = c.1n = c, un* = n ( an + b ) Thay un* vào phơng trình (2.2) ta đợc ( n + 1)  a ( n + 1) + b  = n ( an + b ) + 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau 3a + b = a = ⇔  5a + b = b = −1 Do ®ã un = n ( n − 1) * Ta cã un = un + un = c + n ( n − 1) V× u1 = nªn = c + 1( − 1) ⇔ c = 2 VËy un = + n ( n − 1) , hay un = n n + Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , a.un +1 + bun = v.µn , n ∈ N * (3.1) f n đa thức theo n Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un0 + un* Trong ®ã un0 = c.λ n , c số cha đợc xác định , un* đợc xác định nh sau : 1) Nếu # µ 2) NÕu λ = µ * n th× un = A.à * n un = A.n.à * Thay un vào phơng trình (3.1) đồng hệ số ta tính đợc * * hệ số un BiÕt u1 , tõ hÖ thøc un = un + un , tính đợc c Bài toán 3: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; un +1 = 3.u n + n , n ∈ N * Bài giải (3.2) Phơng trình đặc trng − = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un0 + un* ®ã un0 = c.3n , un* = a.2n * n Thay un = a.2 vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2a = 3a + ⇔ a = −1 n n n n Suy un = −2 Do ®ã un = c.3 − 2n u1 = nên c=1 Vậy un = Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f n , n ∈ N * (4.1) n Trong f1n đa thức theo n f n = v.à Phơng pháp giải * * Ta cã un = un + u1n + u2 n Trong un nghiệm tổng quát ph* ơng trình aun+1 + bun = , un nghiệm riêng * phơng trình không a.un+1 + b.un = f1n , u2n nghiệm riêng phơng trình không a.un+1 + b.un = f n Bài toán 4: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; un +1 = 2un + n + 3.2n , n N * Bài giải (4.2) Phơng trình ®Ỉc trng λ − = cã nghiƯm λ = Ta cã un = un0 + u1*n + u2*n ®ã un0 = c.2n , un* = a.n + b.n + c , u2*n = An.2n * Thay un vào phơng trình un+1 = 2.un + n , ta đợc a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình 2a − c =  a = −1   ⇔ b = −2 a − b − c = 2a + 2b + c = −9 c = −3   * * n VËy u1n = n 2n thay u2n vào phơng trình un+1 = 2.un + 3.2 Ta đợc A ( n + 1) 2n+1 = An.2 n + 3.2n ⇔ A ( n + 1) = An + ⇔ A = VËy u2*n = n.2n = 3n.2n −1 n n −1 Do ®ã un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 Ta cã u1 = nªn = 2c − + ⇔ c = VËy un = 3n.2n−1 − n − 2n B Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai phơng trình sai phân dạng u1 = , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N * ®ã a,b,c, , số , a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = α , u2 = β , aun +1 + bun + c.u n −1 = 0, n N * (5.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = tìm Khi n n 1) Nếu , hai nghiệm thực khác un = A.1 + B.2 , A B đợc xác định biết u1 , u2 n 2) NÕu λ1 , λ2 lµ hai nghiƯm kÐp λ1 = λ2 = λ th× un = ( A + Bn ) , A B đợc xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mÃn điều kiện sau u0 = 1, u1 = 16, un + = 8.un+1 − 16.un Bài giải (5.1) Phơng trình đặc trng 8λ + 16 = cã nghiÖm kÐp λ=4 Ta cã un = ( A + B.n ) n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vµo (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình u0 = = A A =1 ⇔  u1 = ( + B ) = 16  B = n VËy un = ( + 3n ) Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , u2 = β , a.u n+1 + b.un + c.u n−1 = f n , n ≥ 2, (6.1) ®ã a # 0, f n lµ ®a thøc theo n cho trớc Phơng pháp giải Giải phơng trình ®Ỉc trng a.λ + b.λ + c = ®Ĩ tìm Khi * ta có un = un + un , un nghiệm tổng quát phơng * trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = vµ un lµ nghiệm tuỳ ý phơng trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n Theo d¹ng ta tìm đợc un , hệ số A, B cha đợc xác * định , un đợc xác định nh sau : * 1) Nếu #1 un đa thức bậc với f n * 2) Nếu = nghiệm đơn un = n.g n , g n đa thức bËc víi f n * 3) NÕu λ = nghiệm kép un = n g n , g n đa thức bậc với f n , * Thay un vào phơng trình , đồng hệ số, tính đợc hệ * * sè cña un BiÕt u1 , u2 tõ hệ thức un = un + un tính đợc A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n ≥ Bµi giải (6.2) Phơng trình đặc trng + = cã nghiÖm kÐp n * λ = Ta cã un = un0 + un* ®ã un = ( A + B.n ) = A + Bn, un = n ( a.n + b ) * Thay un vào phơng trình (6,2) , ta đợc ( n + 1) a ( n + 1) + b  − 2n ( a.n + b ) + ( n − 1)  a ( n − 1) + b  = n + Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình a = 4 ( 2a + b ) − ( a + b ) = ⇔  a + b − a + b + a + b = ( ) ( ) ( ) b =   n 1 un* = n + ữ Vậy Do n 1 un = un0 + un* = A + Bn + n  + ÷ 6 2 Mặt kh¸c 1  A + B + + =1 A =   ⇔  −11 1    A + B +  + ÷ =  B = 3 2  VËy un = − 11 n 1 n + n2  + ÷ 6 2 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = d µ n , n ≥ (7.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = để tìm Khi ®ã * ta cã un = un + un , un đợc xác định nh dạng hệ số A * B cha đợc xác định, un đợc xác định nh sau * n 1) Nếu # un = k µ * n 2) NÕu λ = µ lµ nghiÖm đơn un = k nà * n 3) Nếu = nghiệm kép un = k n * Thay un vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng thức * hệ số tính đợc hệ số k Biết u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tính đợc A,B Bài toán 7: Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = 3.2n , n ≥ Bài giải Phơng trình đặc trng 2λ + = cã nghiÖm kÐp n * n λ = Ta cã un = un0 + u1*n ®ã un = ( A + B.n ) = A + Bn, un = k * Thay un vào phơng trình , ta đợc k 2n+1 − 2k 2n + k 2n −1 = 3.2 n ⇔ k = * n n +1 * n +1 VËy un = 6.2 = 3.2 Do ®ã un = un + un = A + bn + 3.2 (1) Thay u1 = 1, u2 = vào phơng trình (1) ta thu đợc = A + B + 12 A = ⇔  0 = A + B + 24  B = −13 VËy un = − 13n + 3.2n +1 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , u2 = β , au n+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n ≥ (8.1) n ®ã a # , f n đa thức theo n g n = v.à Phơng pháp giải * * Ta cã un = un + u1n + u2 n un nghiệm tổng quát ph* ơng trình aun+1 + bun + c.un = , u1n nghiệm riêng tùy * ý phơng trình không aun +1 + bun + c.u n −1 = f n u2n lµ nghiệm riêng tùy ý phơng trình không aun +1 + bun + c.un−1 = g n Bµi toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mÃn điều kiÖn 10 u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + n , n (8.2) Phơng trình đặc trng − 2λ − = cã nghiƯm Bµi gi¶i λ1 = −1, λ2 = Ta cã un = un0 + u1*n + u2*n ®ã un0 = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2*n = k 2n n * Thay u1n vµo phơng trình un+1 2un 3un1 = n , ta đợc a ( n + 1) + b ( an + b ) −  a ( n − 1) + b  = n ⇔ ( 4a + 1) n − ( a − b ) = VËy a=b=− Do ®ã un* = −1 ( n + 1) n * Thay u2n vào phơng trình un+1 2un 3un = , ta đợc k 2n+1 2.k 2n = 3.k 2n −1 = 2n ⇔ k = − Do ®ã u2*n = − 2n = − 2n+1 3 VËy un = un0 + u1*n + u2*n = A ( −1) + B.3n − n 1 ( n + 1) − 2n+1 (8.3) Ta thay u1 = 1, u2 = vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình 61   − A + 3B − − =  A = − 48 ⇔   A + 9B − − =  B = 25   48 VËy 11 un = − 61 25 1 n ( −1) + 3n − ( n + 1) − n+1 48 48 C Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba phơng trình sai phân dạng u1 = α , u2 = β , u3 = γ , a.un + + bun+1 + c.un + d un−1 = f n , n ≥ (a.1) ®ã a,b,c, d, , , sè , a # vµ f n lµ biĨu thức n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba cã ba nghiƯm kĨ c¶ nghiƯm phøc, song néi dung đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Phơng pháp giải Nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tÝnh cÊp * ba cã d¹ng un = un + un , un nghiệm tổng quát phơng * trình tuyến tính nhất, un nghiệm riêng phơng trình tuyến tính không Xét phơng trình đặc trng a + bλ + cλ + d = (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba a) Nếu (a.2) cã ba nghiÖm thùc λ1 , λ2 , λ3 phân biệt un0 = a1 1n + a2 2n + a3 λ3n b) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc bội nghiệm đơn (1 = # λ3 ) th× un0 = (a1 + a2 n)λ1n + a3 λ3n c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi (λ1 = λ2 = λ3 ) th× 12 un0 = (a1 + a2 n + a3 n )λ1n * 2) Xác định nghiệm riêng un phơng trình (a.1) ã Xét f n đa thức n ta có * a) Nếu #1 un ®a thøc cïng bËc víi f n * b) NÕu = (nghiệm đơn ) un = n.g n , g n đa thức bậc với f n * c) NÕu λ = (béi ) th× un = n g n g n đa thức bậc với fn * d) NÕu λ = (béi 3) th× un = n g n g n đa thức bậc với fn ã Xét f n = v.à n ta có * n a) Nếu # un = k n.µ * n b) NÕu λ = µ (nghiƯm đơn ) un = k * s n c) Nếu = (nghiệm bội s ) un = k n Bài toán 9: Tìm dÃy sè (un ) biÕt r»ng u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− + 5.un , n Bài giải (9.1) Xét phơng trình đặc trng + 11λ − = cã nghiÖm thùc λ1 = λ2 = 1, λ3 = n VËy un = c1 + c2 n + c3 Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc c1 = , c2 = , c3 = 16 16 VËy un = − + ( n − 1) + 5n 16 16 D Bài tập áp dụng 13 Cho dÃy số (an ) đợc xác định theo công thức sau Bài toán 10: a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an−1 + 1, n ≥ (10.1) Chøng minh sè A = 4.an an+ + số phơng Bài giải Ta cã an+1 = 2an − an−1 + (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta đợc an = 2an −1 − an −2 + (10.3) Trõ vế (10.1) cho (10.2) ta thu đợc an+1 − 3an + 3an−1 − an− = (10.4) Phơng trình đặc trng (10.4) 3λ + 3λ − = cã nghiÖm λ = lµ nghiƯm béi bËc ba VËy nghiƯm tổng quát phơng trình (10.4) an = (c1 + c2 n + c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc = c1 c1 =   ⇔ 1 = c2 + c2 + c3 c = c = 3 = c + 2c + 4c  2  Ta thu đợc an = n ( n + 1) từ ta có A = 4an an + + = ( n + 3n + 1) Điều chứng tỏ A số phơng Bài toán 11: Cho dÃy số ( xn ) đợc xác định theo công thức sau x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = xn + xn −1 − 1975 ( n ≥ ) (11.1) Chứng minh x1996 M1997 Bài giải Xét d·y sè ( yn ) víi y1 = 7, y2 = 50 vµ yn +1 = yn + yn −1 + 22 ( n ≥ ) (11.2) DÔ thÊy yn ≡ xn ( mod1997 ) Do ®ã chØ cÇn chøng minh 14 y1996 ≡ ( mod1997 ) Đặt zn = yn + 11 suy z1 = 39, z2 = 211 NhËn xÐt r»ng zn +1 = yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = zn + 20 yn−1 + 55 (11.3) Ta l¹i cã zn −1 = yn −1 + 11 suy 20 yn−1 = zn−1 − 55 ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta đợc zn +1 = zn + zn1 Suy zn +1 − zn − zn−1 = (11.5) Phơng trình đặc trng (11.5) λ − 4λ − = cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = NghiƯm tỉng qu¸t cđa (11.1) lµ zn = ( −1) α + 5n β n Ta cã  α=   z1 = −α + 5β = 39  ⇔   z2 = α + 25β = 211  β = 25 Do ta nhận đợc 25 n zn = ( −1) + 5n 3 (11.6) Tõ (11.6) ta suy z1996 + 25.51996 = Ta cÇn chøng minh z1996 ≡ 11( mod1997 ) Do 51996 − M1997  1996 5 − M3 15 (11.4) 1996 Nªn − 1M3.1997 Tõ ®ã , ta cã 51996 = 3n.1997 + , 25 ( 3n.1997 + 1) z1996 = + = 25.n.1997 + 11 3 VËy z1996 11( mod 1997 ) E Bài tập tơng tự Bài 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + − 9n , ∀n ∈ N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ = −8.xn+1 + xn 3) x0 = 1, x1 = 3, xn+ − xn+1 + xn = −n − 2n + 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − xn + xn −1 = n − 6n + 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + − xn+1 + xn = Bài 2: Cho dÃy số (an ) thoả m·n ®iỊu kiƯn an = an −1 + 2.an −2  a1 = a2 = n∈ N ( n 3) Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dÃy số (bn ) xác định bn = 2.bn −1 + bn −2  b1 = 1, b2 = n∈ N ( n ≥ 3) n 5 Chøng minh r»ng bn ≤  ÷ , ∀n ∈ N 2 Bµi 4: Cho d·y sè (un ) thoả mÃn điều kiện un + 2.un+1 + un = n∈ N  u = 1, u =  ( n ≥ 2) Chứng minh un số phơng 16 Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 Toán 11 Lần thứ VIII 2002 NXB giáo dục ) Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n nh sau un ∈ Z + , ∀∈ N  u0 = 1, u1 = u = 10.u − u ∀n ∈ N , n ≥ n −1 n−2  n Chøng minh : ∀k ∈ N , k ≥ 2 1) uk + uk −1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 M4 va 3.uk − 1M2 ( MkÝ hiÖu chia hÕt ) Bài 6: Cho dÃy số (un ) thoả mÃn ®iỊu kiƯn un + = 2un +1 + 2un − un −1 , n ∈ N * Chøng minh tồn số nguyên M cho số M + 4.an+1an số phơng Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dÃy số (ai ) ( i=1,2,3,4)đợc xác định bëi a1 = 1, a2 = −1, an = −an −1 − 2an − , n = 3,4, Tính giá trị biểu thức 2 A = 2.a2006 + a2006 a2007 + a2007 Bµi 8: Cho d·y số nguyên dơng (un ) thoả mÃn điều kiện u0 = 20, u1 = 100, un + = 4.un +1 + 5.un + 20, n ∈ N * T×m số nguyên dơng h bé có tính chất an+ h − an M1998 , n ∈ N F X©y dựng toán dÃy số truy hồi 17 Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm công thức tổng quát lớp d·y sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh xác nhất, giúp Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dÃy số Dới số ví dụ xây dựng thêm toán dÃy sè cã tÝnh quy luËt ” chØ mang tÝnh chÊt tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dÃy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phơng trình ( λ − 1) ( λ + ) = ⇔ λ + 8λ − = (12.1) phơng trình (12.1) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo c«ng thøc sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cã thÓ cho u0 = 2, u1 = −8 Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = n N Xác định công thức xn Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác ®Þnh nh sau  xn + + 8.xn+1 + 9.xn =   x0 = 2, x1 = n N Tính giá trị biểu thức A = x2006 − 5.x2007 + VÝ dô 2: XuÊt phát từ phơng trình ( 1) = ⇔ λ − 2λ + = 18 (12.2) phơng trình (12.2) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo c«ng thøc sau un+ − 2.un +1 + un = cã thÓ cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật toán xác định đợc công thức tổng quát dÃy số xn = ( n − 1) Ta cã thĨ ph¸t biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dÃy số ( xn ) thoả mÃn điều kiện sau xn + xn+1 + xn = n∈ N  x = 1, x = Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau  xn + − xn+1 + xn = n∈ N   x0 = 1, x1 = Chøng minh r»ng xn lµ mét sè chÝnh phơng Bài toán 3: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau xn + xn+1 + xn = n∈ N  x = 1, x = Xác định số tù nhiªn n cho xn+1 + xn = 22685 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài tìm đọc nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung để làm bật nội dung cần phân tích 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2013 – 2014 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 11A1, 19 11A2 làm kiểm tra 45 phút với đề tương tự phần khảo sát thực tiễn thay đổi mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết thu Trong lớp 11A1 lớp thực nghiệm trình triển khai đề tài cịn lớp 11A2 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài Sau chấm kiểm tra thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh) Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh) Điểm Lớp Lớp 11A1 Lớp 11A2 1 – 2,5 3 – 4,5 – 6,5 – 8,59 9– 10 0% 2% 18% 20% 60% 4% 28% 52% 14% 2% Căn vào kết kiểm tra Đối chiếu so sánh kết làm lớp thực nghiệm lớp cịn lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 11 có nhìn bao qt cách giải toán dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun giúp em tự tin đứng trước toán dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú với mơn Tốn thường có phép tuyệt đẹp suy luận rất logic 20 KẾT LUẬN 3.1 Những học kinh nghiệm: Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt môn học người giáo viên phải có số kỹ sau: * Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề * Kỹ giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc * Kỹ trình bày lời giải 3.2 Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 3.3 Khả ứng dụng, triển khai: Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm nối bậc phương pháp giảng dạy phương pháp đặt vấn đề phận tích hướng dẫn học sinh giải vấn đề 3.4 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn học, thân có kiến nghị với phòng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung số tài liệu tham khảo thường xuyên tổ chức buổi thảo luận chuyên đề toán học nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014 Người Viết Đào Hu Trang 21 Tài liệu tham khảo 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dÃy số , Nhà xuất Giáo Dục - 2003 22 ... dàng áp dụng vào việc giải toán lạ, tốn khó GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng un