Đang tải... (xem toàn văn)
Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP Sử dụng công thức tích thành tổng.. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến?[r]
(1)Năm học 2017 2018
Biên soạn & Giảng dạy:
Ths Lê Văn §oµn
0933.755.607
(2)Chuyên đề
§ NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Khái niệm ngun hàm tính chất
1 Khái niệm nguyên hàm
— Cho hàm số f x( ) xác định K Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm hàm số ( )
f x K nếu: F x( ) f x( ), x K
— Nếu F x( ) nguyên hàm f x( ) K họ nguyên hàm hàm số f x( )
K là: f x x( )d F x( )C const, C
2 Tính chất: Nếu f x( ), ( )g x hai hàm số liên tục K k ta ln có:
f x x( )d f x( )C, f x x( )d f x( )C, f( )dx x f x( )C,
kf x x( )d k. f x x( )d , với k số thực khác
f x( )g x( ) d x f x x( )d g x x( )d
F x( ) f x( ) (định nghĩa)
Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)
0dx C k xd kx C
1
d
1
n
n x
x x C
n
( ) d ( )
1
n
n ax b
ax b x C
a n
1dx lnx C
x
dx 1lnax b C
ax b a
12 dx C
x
x
2 d 1
(ax b) x a ax b C
sin dx x cosx C sin(ax b x)d 1cos(ax b) C
a
cos dx x sinx C cos(ax b x)d 1sin(ax b) C
a
12 d cot
sin x x x C
2 d 1cot( )
sin ( ) x
ax b C
a
ax b
12 d tan
cos x x x C
2 d 1tan( )
cos ( ) x
ax b C
a
ax b
e xxd ex C
eax bdx 1eax b C
a
d
ln
x
x a
a x C
a
d
ln
x
x a
a x C
a
♦ Nhận xét Khi thay x (ax b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm 1
(3)Dạng tốn Tính ngun hàm bảng nguyên hàm
1 Tích đa thức lũy thừa PP khai triễn Tích hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ Chứa PP chuyển lũy thừa
4 Tích lượng giác bậc sin cosin PP Sử dụng cơng thức tích thành tổng
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
cos cos cos( ) cos( )
2
a b ab ab
5 Bậc chẵn sin cosin Hạ bậc: sin2 1cos , cos2 1cos
2 2
a a a a
6 Nguyên hàm hàm số hữu tỷ ( )d , ( )
P x
I x
Q x
với P x( ), Q x( ) đa thức
Nếu bậc tử số P x ( ) bậc mẫu số Q x( ) PP Chia đa thức
Nếu bậc tử số P x ( ) bậc mẫu số Q x( ) PP phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số (pp che)
2
1
,
( )( )
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c
với b2 4ac 0
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
xa xb x a xb
Lưu ý Nếu mẫu khơng phân tích thành tích tìm hiểu phần đổi biến.
Bài tập vận dụng
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định):
a) ( ) ( ) d
3
f x x x F x x x x
b) f x( )2x3 5x24x 7 F x( ) f x x( )d
c) f x( )6x5 12x3 x2 8 F x( ) f x x( )d
d) f x( )(x23 )(x x 1)F x( ) (x23 )(x x 1)dx
(4)f) f x( )x x( 1)2 F x( ) x x( 1) d2 x
g) f x( )(3x)3 F x( ) (3x) d3 x
h) f x( )(2x 1)5 F x( ) (2x 1) d5 x
i) f x( )(2x 10)2018 F x( ) (2x 10)2018dx
j) f x( )(34 )x 2019 F x( ) f x x( )d
k) f x( )(2x2 1)2 F x( ) (2x2 1) d2 x
l) f x( )(x2 1)3 F x( ) (x2 1) d3 x
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k
a) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 4x3 4x5 thỏa mãn F(1)3
Lời giải tham khảo
Ta có: F x( ) f x x( )d (4x3 4x 5)dx x4 2x2 5x C
Vì F(1)3 nên 4C C 1 Suy F x( )x42x2 5x1
Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm F a( ) ta cần x vào a F x( ) tìm F a( )
b) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) x3 3x22x thỏa mãn F(1)0
c) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )3x3 2x2 1 thỏa mãn F ( 2)
d) Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) 5x4 4x26 thỏa mãn F(3)1 Hãy tính F ( 3)
e) Hàm số f x( )x3 3x2 có nguyên hàm F x( ) thỏa F(2)14 Tính F ( 2)
(5)
f) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )(1x)9 thỏa 10 (2)F 9
g) Hàm số f x( )(2x 1)3 có nguyên hàm F x( ) thỏa F
Tính F
h) Hàm số f x( ) (1 )x có nguyên hàm F x( ) thỏa
2
F
Tính F(1)
i) Gọi ( )F x nguyên hàm hàm số f x( )(2x3)2 thỏa mãn (0)
F Tính giá trị biểu thức P log (1)2 F 2 (2) F
j) Gọi F x nguyên hàm hàm số 1( ) f x1( )x x( 2)2 thỏa F1(0) F x 2( ) nguyên hàm hàm số f x2( )x3 4x2 5 thỏa F2(0) Tìm nghiệm
của phương trình F x1( )F x2( )
(6)k) Gọi F x nguyên hàm hàm số 1( ) f x1( )(x 1)(x 2) thỏa F1(0) F x 2( ) nguyên hàm hàm số f x2( )x2 x thỏa F2(0)0 Biết phương
trình F x1( )F x2( ) có hai nghiệm x1, .x Tính 2
1
2x 2 x
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định):
a) f x( ) x2 3x F x( ) f x x( )d
x
b) f x( ) 3x2 F x( ) f x x( )d
x
c) f x( ) 3x2 12 F x( ) f x x( )d
x x
d)
2 3 1 3 1
( ) x x ( ) x x d
f x F x x
x x
e)
4
2
2 3
( ) x x x ( ) x x x d
f x F x x
x x
f) ( ) ( ) d
2
f x F x x
x x
g) ( ) ( ) ( )d
3
f x F x f x x
x
h) ( ) ( ) ( )d
3
f x F x f x x
x
i) ( ) ( ) ( )d
2
f x F x f x x
x
j) ( ) 2 32 ( ) ( )d
5
f x F x f x x
x x x
k) ( ) 22 ( ) ( )d
2
f x F x f x x
x x x
(7)l) ( ) 12 2 ( ) ( )d
( 1)
f x F x f x x
x x
m) ( ) 2 ( ) ( )d
3 (3 1)
f x F x f x x
x x
n) ( ) 1 2 ( ) ( )d (2 )
f x x F x f x x
x x
o) f x( ) 13 22 44 F x( ) 13 22 44 dx
x x x x x x
p) ( ) 3 ( ) 2d 3
(2 1) (2 1)
x
f x F x
x x
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k
a) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
2
f x x
thỏa mãn F(1)2 ln
b) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 10
f x
x
thỏa mãn F(2)3 ln
c) Biết F x( ) nguyên hàm ( ) 1 f x
x
F(2)1 Tính F(3)
d) Biết ( )F x nguyên hàm hàm số ( )
2
f x x
thỏa (0)F 2 Tính ( ).F e
e) Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn ( )
2
f x x
f(1)1 Tính f(5)
(8)f) (Đề tham khảo Bộ GD & ĐT câu 37 năm 2018) Cho hàm số f x( ) xác định
\
thỏa ( ) ;
2
f x x
f(0)1 f(1)2 Tính P f( 1) f(3) Lời giải tham khảo
Có
2
1 ln(2 1)
2 2
( ) ( )d d ln
1
2 ln(1 )
2
x C x
f x f x x x x C
x x C x
Để
1
(0) 1
(1) 2
f C
f C
Suy ra:
1 ln(2 1)
2 ( )
1 ln(1 )
2
x x
f x
x x
Do P f( 1) f(3) 3 ln 3ln 5 3 ln15
Nhận xét: Sử dụng tính chất f x x( )d f x( )C, f x x( )d f x( )C,
và vận dụng định nghĩa trị tuyệt đối khi
A A
A
A A
g) Cho hàm số f x( ) xác định \ {1} thỏa ( ) ;
f x x
f(0)3 f(2)4 Tính giá trị biểu thức P f( 2) f(5)
h) Cho hàm số f x( ) xác định \
thỏa ( ) ;
3
f x x
f ( 2) f(1)1 Tính giá trị biểu thức P f( 1) f(4)
(9)i) Cho hàm số f x( ) xác định * thỏa mãn f x( ) 12,
x
f ( 1) 1, f(1)0
(2)
f Giá trị biểu thức f ( 2)
A 12 ln B 2ln C 3ln D ln
j) Cho hàm số f x( ) xác định \ {2} thỏa f x( ) 2x 4 , f(1)1 f(3) 2 Giá trị biểu thức f( 1) f(4) ?
A B C 14. D 0
k) Cho hàm số f x( ) xác định \ { 1;1} thỏa ( ) 21 ;
f x x
f( 3) f(3)0
1
0
2
f f
Tính giá trị biểu thức P f( 2) f(0)f(4)
A 2 ln 22 ln 3ln B 6 ln 22 ln 3ln
(10)Lời giải tham khảo
2
2 1
( ) ( )d d d ln ln
1
1
f x f x x x x x x C
x x
x
Hay
1
2
3
1
ln + 1
1
( ) ln ln(1 )+ 1
1
1
ln
1 x
C x
x x
f x C x C x
x
x
C x
x
Theo đề ta có:
2
( 3) (3)
2 ln
1 2 ln 3 4 ln 2
2
2
f f
C C C
f f
Do ( 2) (0) (4) ln1 3 2 ln3 1
3
f f f C C C
( 2) (0) (4) ln ln 2 ln ln ln 2 ln ln
f f f
Chọn đáp án B
l) Cho hàm số f x( ) xác định \ 1;1
thỏa mãn ( ) 24 ,
2
x f x
x x
(1) ( 2)
f f f(0)f(1)0 Tính ( 3) (3)
2 f f f
A ln 280 B ln 10. C ln 70 D ln 28
(11)m) Cho hàm số y f x( ) xác định \ {1;2} thỏa mãn f x( ) x 1 x ,
(0)
2 f f
f(4)2 Giá trị biểu thức
3
( 1) (3)
2 f f f
A 4 B
2
C
2
D 2.
n) Cho hàm số f x( ) xác định \ {0} thỏa mãn f x( )xln ,x ( 1) f
(2)
f Giá trị biểu thức f( 2) f(1)
A ln 2 1 B 12 ln C D 0
(12)o) Cho ( )f x 2x f(1)5 Phương trình f x ( ) có hai nghiệm x1, .x Tính 2 tổng log2 x1 log2 x2
p) Cho hàm số ( ) 2 2 (2 1) ( 1) f x
x x
thỏa mãn
1 (2)
3
f Biết phương trình
( )
f x có nghiệm x x Tính 2017
x
q) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai f x( )12x2 6x4 thỏa mãn f(0)1,
(1)
f Tính giá trị hàm số f x( ) x 1
r) Tìm hàm số f x( ), biết f x( ) ax b2, (1)f 0, (1)f
x
f ( 1) Tính f(2)
(13)s) Cho hàm số ( )f x xác định [ 1;2] thỏa (0)f f x f x2( ) ( ) 1 2x 3 x2 Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số ( )f x đoạn [ 1;2].
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k
a) f x( ) nax b F x( ) naxb xd
Nhận xét: d ( )
( 1)
nax b x n ax b axn b C
n a
Với ( ) d ( )
3
n F x ax b x ax b ax b C
a
Với ( ) d ( )3
n F x ax b x ax b ax b C
a
b) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) x thỏa mãn (4) 19
F
c) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 2x1 thỏa mãn (1)
F
d) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 4x5 thỏa mãn F
(14)
e) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 2 x thỏa mãn
2
F
f) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 1x thỏa mãn ( 3)
F
g) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 32x 4 thỏa mãn ( 2)
F
h) Gọi ( )F x nguyên hàm hàm số f x( ) 3x thỏa mãn 2 (3)
4
F Tính
giá trị biểu thức T 2log13F(10) 3log13F( 6)
i) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 3 5 x thỏa mãn ( 1)
F
j) ( ) ( ) d
n n
f x F x x
ax b ax b
(15)
Nhận xét: d
( 1)
n n
n ax b
x C
n a
ax b ax b
Với n F x( ) dx ax b C a
ax b
Với
3
1
3 d ( )
2
n x ax b C
a ax b
k) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) f x
x
thỏa mãn F(3)3 11
l) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) f x
x
thỏa mãn F(2)
m) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 1 f x
x
thỏa mãn
2018
F
n) Biết d ( 2) ( 1)
2
x
a x x b x x C
x x
với a b, số hữu
tỉ C số Tính S 3ab
o) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1 f x
x x
thỏa
2 (0)
3
F Tính giá
trị biểu thức T 3[ (3)F F(2)]4
(16)
p) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
2 2
f x
x x
thỏa (1)F
q) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm ( )
10 10 x
f x
x x
thỏa (0)F 10
r) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
3 7
x f x
x x
thỏa F(2)1
s) Tìm nguyên hàm F x( ) ( )
( 1)
f x
x x x x
thỏa F(2)2
t) Tìm nguyên hàm ( )
( 2) ( 1)
f x
x x x x
(17)
u) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm ( )
( 2)
f x
x x x x
thỏa (1)F
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k a) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) x sinx thỏa F(0)19
b) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sinx cosx thỏa F
c) Biết F x( ) nguyên hàm f x( )2x3 cosx
2
2
F
Tính F ( )
d) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )cos 2x thỏa
4
F
e) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin(1 ) x thỏa 1 F
(18)
f) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
( ) sin cos
2
x x
f x thỏa
3
2
f
g) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )cos4xsin4x thỏa
4
F
h) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin4xcos4x thỏa 16 F
i) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin (2x cos )x thỏa (0)F 11
j) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) cos f x x
thỏa
5
3
F
k) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )cos 6x cos 4x thỏa
8 12
F
l) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin2x 3x2 thỏa F(0)
(19)m) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 22 cos
f x
x
thỏa
4 F
n) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 12 sin
f x
x
thỏa
6 F
o) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 12 sin
f x x
x x
thỏa F
p) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) sin 12 cos
f x x
x
thỏa
4
F
q) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 1 tan2x thỏa
6
F
r) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )tan2x thỏa F(0)3
s) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ) a 2
( t n
f x x thỏa F
(20)
t) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )(tanxcot )x thỏa F
u) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 2
sin cos
f x
x x
thỏa
8 F
v) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) cos 22 2
sin cos
x f x
x x
thỏa
4 F
w) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 (cos sin ) f x
x x
thỏa F(0)1
x) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 (sin cos ) f x
x x
thỏa
1 (0)
2
F
y) Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) a bcos ,x thỏa (0) ,
2
F F
và
12 F
(21)
z) Một nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) sin 5
f x x x thỏa đồ thị hai hàm số F x( ) f x( ) cắt điểm nằm trục tung Tìm hàm số F x( )
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k
a) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos2x thỏa mãn F(0)10
b) Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin2
x
f x thỏa mãn F
c) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin ,2 x biết đồ thị hàm số ( )
y F x qua điểm ; M
d) Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos2
x
f x thỏa mãn
2
(22)
e) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (1 sin )x thỏa F(0)
f) Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 4m sin ,2x
thỏa mãn F(0)1
4
F
Tìm giá thực tham số m
g) Cho hàm số f x( ) a cos 2x
Tìm tất giá trị a để ( )f x có nguyên
hàm ( )F x thỏa mãn đồng thời (0)
F
4
F
h) Tìm hàm số f x( ), biết ( ) cos2
4 f x x
13 (0)
4
f
(23)
i) Gọi F x nguyên hàm hàm số 1( )
2
1( ) sin
f x x thỏa F1(0) F x 2( )
một nguyên hàm hàm số f x2( ) cos2x thỏa mãn F2(0)0 Giải phương trình
1( ) 2( )
F x F x
j) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos4x thỏa mãn
F
k) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin 24 x thỏa mãn (0)
F
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k
a) Hàm số f x( ) sin cosx x có nguyên hàm F x( ) thỏa 15 16 F
Tính F
(24)
b) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )2 sin cos 3x x thỏa mãn
F
c) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin cosx x thỏa mãn F ( )
d) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )cos cosx x thỏa mãn F
e) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )cos cos 2x x thỏa
F
f) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )cos cos 8x x thỏa 2018
F
g) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin sinx x thỏa
F
(25)
h) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sin sin 3x x thỏa mãn
4
F
i) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )10 sin sin 5x x thỏa F
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k
a) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )e3x thỏa F(0)1
b) Biết F x( ) nguyên hàm f x( )e3x1 thỏa mãn (0) e
F Tính
ln (1) F
c) Biết ( )F x nguyên hàm f x( )(2e3x)2 thỏa (0)
F Tính F
d) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )ex(2ex 1) biết F(0)1
(26)
e) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )ex(3ex) thỏa F(ln 2)3
f) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) e4x2, biết 1 F
g) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) e3x 12,
x
biết
2
(1)
3
e F
h) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x ( ) 2017x thỏa mãn F(1)ln 2017.1
i) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x ( ) 3x 2 3x x thỏa (0) ln
F
j) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )9x 3x2 thỏa (0) ln
F
k) Một nguyên hàm F x( ) f x( )4 2x 2x3 thỏa (0) ln
F Tính
3
10 ln (1)
2
F A
(27)
l) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x ( ) 72x x x thỏa (1) ln 84
F
m) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )2 3x 2x thỏa (1)
F
BT 10 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định):
a) ( ) ( ) 1d
1
x x
f x F x x
x x
b) ( ) ( ) 1d
2
x x
f x F x x
x x
c) ( ) ( ) d
2 3
x x
f x F x x
x x
d) ( ) ( ) d
3
x x
f x F x x
x x
e)
2 1
( ) ( ) ( )d
2
x x
f x F x f x x
x
f)
2
4
( ) ( ) ( )d
2
x x
f x F x f x x
x
g)
2 2
( ) ( ) ( )d
2
x x
f x F x f x x
x
(28)h)
3
4
( ) ( ) ( )d
2
x x
f x F x f x x
x
i)
3 2 3 5
( ) ( ) ( )d
2
x x x
f x F x f x x
x
BT 11 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định):
a) f x( ) 2 2 F x( ) f x x( )d
x a
b) ( ) 21 ( ) ( )d
f x F x f x x
x
c) ( ) ( ) ( )d
( 1)
f x F x f x x
x x
d) ( ) 2 ( ) ( )d
f x F x f x x
x x
e) ( ) 2 ( ) ( )d
f x F x f x x
x x
f) ( ) 2 ( ) ( )d
6
f x F x f x x
x x
g) ( ) 2 ( ) ( )d
4
f x F x f x x
x x
h) ( ) 2 ( ) ( )d
2
f x F x f x x
x x
(29)
i) ( ) 2 ( ) ( )d
2
f x F x f x x
x x
j) ( ) 24 ( ) ( )d
x
f x F x f x x
x x
k) ( ) 24 11 ( ) ( )d
5
x
f x F x f x x
x x
l) ( ) 2 ( ) ( )d
6
x
f x F x f x x
x x
m) ( ) 25 ( ) ( )d
3
x
f x F x f x x
x x
n)
2
2
2
( ) ( ) ( )d
( 4)
x x
f x F x f x x
x x
o)
2
3
2 6
( ) ( ) ( )d
6 11
x x
f x F x f x x
x x x
p) ( ) 2 ( ) ( )d
6
f x F x f x x
x x
q) ( ) 23 ( ) ( )d
4
x
f x F x f x x
x x
r) ( ) 13 ( ) ( )d ( 1)
x
f x F x f x x
x
(30)
s) ( ) 13 ( ) ( )d ( 1)
x
f x F x f x x
x
t) ( ) 2 ( ) ( )d ( 1)
f x F x f x x
x x
u) ( ) 2 ( ) ( )d
( 1)( 2)
f x F x f x x
x x
v) ( ) 2 ( ) ( )d ( 1)
f x F x f x x
x x
w) ( ) 2 2 ( ) ( )d
( )( 2)
f x F x f x x
x x x
x) ( ) 2 ( ) ( )d ( 1)
x
f x F x f x x
x x
y)
2
3
10
( ) ( ) ( )d
2
x x
f x F x f x x
x x x
z) ( ) 2 ( ) ( )d
( 1)( 2) x
f x F x f x x
x x x
(31)
BT 12 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )F x k
a) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )
1
x f x
x
thỏa F(2) 3 ln
b) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
( ) ,
1
x f x
x
biết đồ thị hàm số y F x( ) qua điểm M(2;5)
c) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
( ) ,
2
x f x
x
biết F ( 1)
d) Hàm số
3
2 ( )
2
x f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F ( 2)6 Tính F(0)
e) Hàm số ( ) 3 ( 1)
x f x
x
có nguyên hàm F x( ) thỏa
5 F
Tính F
(32)
f) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 13; ( 1)
x f x
x
biết F ( 2)5
g) Hàm số ( ) 3 (2 1)
x f x
x
có nguyên hàm F x( ) thỏa
1
4
F Tính
1 F
h) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
3
( ) ,
1
x f x
x
biết
5 (2)
3
F
i) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
3 1
( ) ,
1
x f x
x
biết
5 (1)
6
F
j) Hàm số
3 ( )
2
x f x
x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F ( 3) Tính F ( 1)
k) Biết ( )
x f x
x
(2)f Tính giá trị (0).
f
e
(33)l) Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
3 ( )
1
x f x
x
thỏa mãn
5 (2)
3
F
m) Gọi ( )F x nguyên hàm ( ) 2
2
x f x
x x
thỏa (0)F Tính ( 2).F
n) Gọi ( )F x nguyên hàm
2
( 1)
( )
2
x f x
x
thỏa
1 ( 1)
2
F Tính (2).F
o) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 ;
4
f x
x x
biết đồ thị hàm số y F x( ) qua điểm 1;1
2 M
p) Hàm số ( )
x f x
x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F ( 2) Biết phương trình F x( )2x 4 có hai nghiệm x1, .x Tính tổng 2
1
1
2x 2x
(34)
q) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
2
( ) ,
2
x x f x
x
biết đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ
8
r) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2
f x
x x
thỏa mãn
5
(1) ln
3
F
s) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 ;
f x
x x
biết đồ thị hàm số y F x( ) cắt trục tung điểm có tung độ 2ln
3
t) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 ;
f x
x x
biết
6
( 1) ln
5
F
u) Hàm số ( ) 2
3
f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F(3)0 Tính F
(35)
v) Hàm số ( ) 22
2
x f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa
11
( 1) ln
3
F Tìm eF(0)
w) Hàm số ( ) 24 11
5
x f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F ( 1) ln Tính ( 4)
F
e
x) Hàm số 2
7 12
x y
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F ( 2) 18 ln Tìm F ( 5)
y) Hàm số ( ) 29 10
6 11
x f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F(1)ln Gọi
1,
x x hai nghiệm phương trình ( ) ln 1ln
F x x Tính 3x1 3 x2
z) Hàm số ( ) 2 ( 1) f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F(1)ln Tính F ( 2)
(36)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Câu (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 09) Tìm họ nguyên hàm hàm số
( )
f x x
A x3 C B
x
x C
C 6x C D x3 x C
Câu (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 37) Cho hàm số f x( ) xác định
\
thỏa mãn ( ) ;
2
f x x
f(0)1 f(1)2 Tính P f( 1) f(3) A P 4ln 15 B P 2ln 15 C P 3ln 15 D P ln 15
Câu Xét hàm số y f x( ) xác định \ {1}, có f(0)2 f(2)1 Biết hàm số
( ) ax b
f x
x c
có đồ thị đường cong hình vẽ Tính giá trị f( 1) f(3) A f( 1) f(3)2 ln
B f( 1) f(3)6
C f( 1) f(3) 6 ln
D f( 1) f(3) 3 ln
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 02) Tìm nguyên hàm hàm số
( )
5
f x x
A d 1ln
5x 2 x x C
B d 1ln(5 2)
5x 2 x 2 x C
C d ln
5x 2 x x C
D d ln
5x2 x x C
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 09) Tìm nguyên hàm hàm số ( ) x
f x
A dx x 7 ln 7x C B dx x 7x1C
C d
ln
x
x x C
D
1
7 d
1
x x
x C
x
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 02) Tìm nguyên hàm hàm số
( ) cos
f x x
A cos dx x 3 sin 3x C B cos d sin
3
x x x C
C cos dx x sin 3x C D cos dx x cos 3x C
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 08) Tìm nguyên hàm hàm số
( ) sin
f x x
(37)C sin dx x sin 2x C D sin dx x 2 cosx C
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 28) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sinx cosx thoả mãn
2 F
A F x( )cosx sinx 3 B F x( ) cosx sinx 3 C F x( ) cosx sinx 1 D F x( ) cosx sinx 1
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 27) Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn ( )f x 3 sinx f(0)10. Mệnh đề ?
A f x( )3x 5 cosx 5 B f x( )3x 5 cosx 2
C f x( )3x5 cosx 2 D f x( ) 3x 5 cosx 15
Câu 10 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 13) Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )ex 2x thoả mãn (0)
2
F Tìm F x( )
A ( )
x
F x e x B ( ) 2
x
F x e x
C ( )
x
F x e x D ( )
2
x
F x e x
Câu 11 (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm
( )
1 f x
x
F(2)1 Tính F(3)
A F(3)ln2 1. B F(3)ln21. C (3)
F D (3)
4
F
Câu 12 (Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x 2x 1 A ( )d 2(2 1)
3
f x x x x C
B ( )d 1(2 1)
3
f x x x x C
C ( )d
f x x x C
D ( )d
2
f x x x C
Câu 13 (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos2 x
A ( )d 1sin
f x x x C
B ( )d 1sin
2
f x x x C
C f x x( )d 2 sin 2x C D f x x( )d 2 sin 2x C
Câu 14 (Đề thi minh họa lần – Bộ GD & ĐT năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
2 ( )
f x x x
A
3 2
( )d
3
x
f x x C
x
B
3 1
( )d
3
x
f x x C
x
C
3 2
( )d
3
x
f x x C
x
D
3 1
( )d
3
x
f x x C
x
(38)Câu 15 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Tìm họ nguyên hàm hàm số
( ) x
f x x
A ( )d ln
x
f x x C
B
2 2
( )d
2 ln
x
x
f x x C
C
2
( )d ln
2
x
x
f x x C
D
2
( )d
2
x
x
f x x C
Câu 16 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Biết nguyên hàm hàm số ( )
y f x F x( )x2 4x1 Tính giá trị hàm số y f x( ) x A f(3) B f(3)10 C f(3)22 D f(3)30 Câu 17 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Hàm số F x( )2 sinx 3 cosx
một nguyên hàm hàm số sau ?
A f x( )2 cosx 3 sin x B f x( ) 2 cosx 3 sin x C f x( ) 2 cosx 3 sin x D f x( )2 cosx 3 sin x
Câu 18 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Xác định hệ số a b c, , để hàm số
2
( ) ( ) x
F x ax bx c e
nguyên hàm hàm số f x( )(x23x 2)ex A a 1, b 1, c 1 B a 1, b 5, c 7
C a 1, b 3, c 2 D a 1, b 1, c 1
Câu 19 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Tìm họ ngun hàm hàm số
1
( ) sin
2
x f x x
A ( )d cos
4
x f x x x C
B ( )d 1cos
2
x f x x x C
C ( )d 1cos
4 2
x f x x x C
D ( )d 1cos
4
x f x x x C
Câu 20 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Hàm số F x( )2 sinx 3 cosx một nguyên hàm hàm số ?
A f x( )2 cosx 3 sin x B f x( ) 2 cosx 3 sin x C f x( ) 2 cosx 3 sin x D f x( )2 cosx 3 sin x
Câu 21 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Cho biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) Tìm I 3 ( )f x 1 d x
A I 3 ( )F x 1 C B I 3xF x( ) 1 C
C I 3xF x( ) x C D I 3 ( )F x x C
Câu 22 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Tìm họ nguyên hàm hàm số
( )
2
f x x
A ( )d 1ln(2 1)
f x x x C
B ( )d 2
(2 1)
f x x C
x
( )d ln f x x x C
(39)Câu 23 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
( ) f x x
A ( )d
f x x x x
B ( )d
2 f x x
x
C ( )d
3
f x x x x
D ( )d
3
f x x x
Câu 24 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Cho f x x( )d F x( )C Với 0,
a hỏi khẳng định sau ?
A f ax( b x)d F ax( b)C B f ax( b x)d aF ax( b)C
C f ax( b x)d F ax( b) C
a b
D f ax( b x)d 1F ax( b) C
a
Câu 25 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017)Tìm ngun hàm F x( ) hàm số
2
( ) x(1 x)
f x e e
A F x( )ex 3e3x C B F x( )ex 3ex C
C F x( )ex 3ex C D F x( )ex 3e2x C
Câu 26 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) cos cosx x thỏa mãn
3 F
Tính F
A
6 12
F
B F
C
3
6
F
D
3
6
F
Câu 27 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh Cụm năm 2017) Gọi F x( )(ax3 bx2 cxd e) x
là nguyên hàm f x( )(2x3 9x2 2x 5) ex Tính T a2 b2 c2 d2
A T 244 B T 247 C T 245 D T 246
Câu 28 (THPT Kim Liên – Hà Nội lần năm học 2017)Biết F x( )(ax2 bxc e) x nguyên hàm hàm số f x( )x e2 .x Tìm a b c, ,
A a 1, b 2, c 2 B a 2, b 1, c 2 C a 2, b 2, c 1 D a 1, b 2, c 2
Câu 29 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp Hồ Chí Minh năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sin x
A cos 2x C B cos 2 x C C 1cos
2 x C
D 1cos2
2 x C
Câu 30 (THPT Lê Lợi – Thanh Hóa lần năm 2017) Tìm ngun hàm F x( ) hàm số
2
( ) sin
cos
f x x
x
thỏa mãn điều kiện
4
F
(40)Câu 31 (THPT Chuyên Biên Hịa – Hà Nam lần năm 2017) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x ( ) 20162017x
A f x x( )d 2017.20162017xln 2016C. B
2017 2016
( )d
2017
x
f x x C
C
2017 2016
( )d
2017.ln 2016
x
f x x C
D
2017 2016
( )d
ln 2016
x
f x x C
Câu 32 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần năm 2017) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) sin
f x x f(0)10 Tính f
A 10
4
f
B f 4 12
C f 4
D f 4
Câu 33 (Sở GD & ĐT Phú Thọ lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )3x 2
A ( )d 2
2
f x x x x C
B ( )d 2
2
f x x x x C
C f x x( )d 3x2 2x C D f x x( )d 3x2 2x C
Câu 34 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )cos2x F ( ) Tính
4 F
A
4
F
B
3
4
F
C
4
F
D
3
4
F
Câu 35 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
1 ( )
2 f x
x
A ( )d
x
f x x C
B f x x( )d 2 2x 1 C
C f x x( )d 4 2x 1 C D f x x( )d 2x 1 C
Câu 36 (THPT Chuyên Đại học Vinh lần năm 2017) Tìm họ nguyên hàm hàm số
( ) cos
f x x
A ( ) 1s in2
2
F x x C B ( ) 1s in2
2
F x x C
C F x( ) s in2x C D ( ) 1s in2
2
F x x
Câu 37 (THPT Chuyên Đại học Vinh lần năm 2017) Hàm số sau nguyên
hàm hàm số ( ) f x
x
(41)A ( )
1 F x
x
B ( )F x x 1 C F x( )4 x 1 D ( )F x 2 x 1
Câu 38 (Sở GD & ĐT Hải Dương năm 2017) Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )sin x A sin dx x 2 cos 2x C B sin dx x 2 cos 2x C
C sin d 1cos
2
x x x C
D sin d 1cos
2
x x x C
Câu 39 (Sở GD & ĐT Hải Dương năm 2017) Cho hàm số f x( )2x sinx 2 cos x Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn F(0)1
A F x( )x2 cosx 2 sinx2 B F x( ) 2 cosx 2 sin x C F x( )x2 cosx2 sin x D F x( )x2cosx2 sinx 2
Câu 40 (Sở GD & ĐT Bình Dương lần năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm f x( )cos 2x
A sin
2
x x
C
B cos
2
x x
C
C cos
2
x x
C
D sin
2
x x
C
Câu 41 (Sở GD & ĐT Bình Dương lần năm 2017)Cho hàm số f x( ) thỏa ( )f x 2 sinx f(0)14. Trong khẳng định sau đây, khẳng định ?
A
2
f
B f ( )2
C f x( )2x 7 cosx 14 D f x( )2x7 cosx 14
Câu 42 (Sở GD & ĐT Bình Phước năm học 2017) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
( ) cos ,
f x x biết
F
A ( ) sin
2
F x x x B ( ) 1sin 2
2
F x x
C F x( )sinx 2 D F x( )2x 2
Câu 43 (Sở GD & ĐT Phú Thọ năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )e2x A d
2
x x
e x e C
B d
2
x x
e x e C
C e2xdx 2e2x C D e2xdx 2e2x C
Câu 44 (Sở GD & ĐT Phú Thọ năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số
( )
f x x thỏa mãn F(1)3 Tính F(0)
A F(0)0 B F(0)5 C F(0)1 D F(0)3 Câu 45 (THPT Nguyễn Huệ – Huế năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm f x( )e3x1
A e3x1 B
3
2
x
e
C
3
4
x
e
D
3
3
x
(42)Câu 46 (THPT Kim Liên – Hà Nội năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(2x 1)
A ( )d (2 1)10 10
f x x x C
B ( )d 2 110
20
f x x x C
C ( )d (2 1)9 10
f x x x C
D ( )d (2 1)9
20
f x x x C
Câu 47 (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
3
1 ( )
2 f x
x
A ( )d 34
f x x x C
B ( )d 33
4
f x x x C
C
3
3
( )d
4 16
f x x C
x
D
3
3
( )d
8 16
f x x C
x
Câu 48 (THPT Chuyên Thái Nguyên lần năm 2017) Giả sử nguyên hàm hàm số
2
1 ( )
(1 )
1
x f x
x x
x
có dạng
3
1
1 B
A x
x
Tìm AB
A AB 2 B
AB C AB 2 D
3
AB
Câu 49 (THPT Chuyên Nguyễn Bĩnh Khiêm – Quãng Ngãi lần năm 2017) Biết ( )F x
một nguyên hàm ( )f x 4x thỏa mãn (1)
ln
F Tìm F(2)
A (2)
ln
F B (2) ln
F C (2) ln
F D (2) ln
F
Câu 50 (THPT Thực Hành Cao Nguyên lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
( ) sin cos
2
x x
f x
A f x x( )d x cosx C B f x x( )d x cosx C
C f x x( )d x cosx C D
3
( )d sin cos
3 2
x x
f x x C
Câu 51 (THPT Thực Hành Cao Nguyên lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
( ) sin
f x x
A ( )d 1cos
4
f x x x C
B ( )d 1cos
4
f x x x C
C f x x( )d 4 cos 4x C D f x x( )d 4 cos 4x C Câu 52 (THPT Chuyên Bến Tre năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sin x
A f x x( )d 5 cos 5x C B f x x( )d 5 cos 5x C
C ( )d 1cos
5
f x x x C
D ( )d 1cos
5
(43)Câu 53 (THPT Chuyên Bến Tre năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số
2
( ) x
f x e thỏa mãn (0)
F Tính F
A 1
2
F e
B
1
1
2
F e
C
1 1
2 2
F e D
1
2
F e
Câu 54 (Sở GD & ĐT Hà Tĩnh năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sinx cos x
A sinx cosx C. B sinx cosx C C cos x sinx C D sin 2x C
Câu 55 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần nãm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )
x
F(1)3 Tính F(4)
A F(4)5 B F(4) C F(4) 3 ln 2. D F(4)4
Câu 56 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần năm 2017) Hàm số
nguyên hàm hàm số ( ) 1
f x
x
A ( ) 1ln( 2 1)
2
F x x x B F x( ) ln(2x 2)4
C ( ) 1ln 4
F x x D F x( )ln 1 x
Câu 57 (THPT Chu Văn An Hà Nội lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm f x( )cos x
A cos d 1sin
3
x x x C
B cos dx x sin 3x C
C cos dx x sin 3x C D cos d 1sin
x x x C
Câu 58 (THPT Chu Văn An – Hà Nội lần năm học 2017) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm
( )
f x
x
f(0)1 Tính f(5)
A f(5)2 ln B f(5) 1 ln C f(5) 1 ln 2. D f(5) 2 ln
Câu 59 (THPT Thanh Chương – Nghệ An lần năm học 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
2
( ) 2x
f x
A
2
( )
ln
x
F x C B
2
2
( )
ln
x
F x C
C
2
( )
ln
x
F x C D
2
2
( )
ln
x
F x C
Câu 60 (THPT Thanh Chương – Nghệ An lần năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin
3 x f x
thỏa F
Tính F(0)
(44)Câu 61 (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp lần năm 2017) Tìm nguyên hàm
( )
F x hàm số f x( )cos2x thỏa mãn
F
A F x( )sinx 2 B F x( )2x 2
C ( ) 1sin 2
2
F x x D ( ) sin
2
F x x x
Câu 62 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quãng Trị lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm
số
2 ( )
2
x
e f x
A
2
( )d
4
x
e
f x x C
B f x x( )d e2x C
C
2
( )d
4
x
e f x x C
D f x x( )d e2x1C
Câu 63 (THPT Quốc Học Quy Nhơn – Bình Định lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm
số f x( )(tanxcot ) x
A f x x( )d 2 cot(2x 2017 ) C. B f x x( )d tanxcotx 2x C
C f x x( )d tanx cotx 2x C D ( )d 1cot2
f x x x C
Câu 64 (THPT Quốc Học Quy Nhơn – Bình Định năm 2017) Biết f x( )(ax2 bx c e) x nguyên hàm hàm số g x( )x(1x e) x Tính S a 2b2015 c
A S 2019 B S 2018 C S 2017 D S 2017 Câu 65 (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình lần năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm số
2
( )
cos
x
x e
f x e
x
A F x( )2ex cotx C B F x( )2ex tanx C
C F x( )2ex tanx C D F x( )2ex tan x
Câu 66 (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội lần năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
2 ( )
sin
f x
x
A f x x( )d tanx C B f x x( )d cotx C
C f x x( )d cotx C D f x x( )d tanx C
Câu 67 (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam lần năm 2017) Tìm nguyên hàm
hàm số f x( ) tan 2x
A f(x)dx tanx C B f( )x dx tanx x C
C f(x)dx x tanx C D f( )x dx tanx x C
Câu 68 (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi lần năm 2017)Tìm giá trị m để hàm số
3
( ) (3 2)
(45)A m 0 B m 2 C m 3 D m 1
Câu 69 (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi lần năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm
số f x( ) x2 x
x
A
3
3 ln
3
x
x x C
B
3
3
3 ln
3
x
x x C
C
3
3 ln
3
x
x x C
D
3
3
3 ln
3
x
x x C
Câu 70 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện ( )f x 2 cos 2x
2
f
Mệnh đề sai?
A f(0) B ( ) sin
2
x f x x
C ( ) sin
2
x
f x x D
2 f
Câu 71 (THPT Chuyên Biên Hòa – Đồng Nai lần năm 2017) Tìm nguyên hàm F x( )
của hàm số f x( ) x sinx thỏa mãn f(0)19
A F x( )x2 cosx 20 B F x( )x2 cosx20
C ( ) cos 20
F x x x D ( ) cos 20
F x x x
Câu 72 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình lần năm 2017)Kết phép tính sau ?
A cos dx x sin cosx x C B cos dx x 2 sin 2x C C cos dx x 2 cos2x C D cos dx x sin 2x C
Câu 73 (THPT Chuyên Sơn La lần năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x x
A ( )d
2
f x x x C
B ( )d
3
f x x x C
C ( )d
2
f x x x x C
D ( )d
3
f x x x x C
Câu 74 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017)Tìm nguyên hàm hàm số f x( )e2x
A f x x( )d e2x C B f x x( )d 2e2x C
C ( )d
2
x
f x x e C
D ( )d
2
x
f x x e C
Câu 75 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm 2017)Cho hàm số y f x( ) liên tục thoả mãn f x x( )d 4x3 3x2 2x C Tìm hàm số f x( )
(46)C f x( )12x2 6x 3 D f x( )12x2 6x 2
Câu 76 (THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần năm 2017)Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) ax b2 ( , a b , x 0),
x
biết F ( 1) 1,F(1)4, f(1)0
A
2
3
( )
4
x F x
x
B
2
3
( )
4
x F x
x
C
2
3
( )
2 4
x F x
x
D
2
3
( )
2 2
x F x
x
Câu 77 (THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần năm 2017)Phát biểu sau ?
A
2
2
( 1) d
3
x
x x C
B (x2 1) d2 x 2(x2 1)C
C
5
2 2
( 1) d
5
x x
x x x C
D
5
2 2
( 1) d
5
x x
x x x
Câu 78 (THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh lần năm 2017)Tìm khẳng định sai ?
A d
2 x x x C
B 12 dx C
x
x
C cos dx x sinx C D d ln
x
x a
a x C
a
Câu 79 (THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh lần năm 2017)Công thức sau sai ?
A ln dx x C
x
B 12 d tan
cos x x x C
C 1dx lnx C
x
D sin d 1cos2
2
x x x C
Câu 80 (THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh lần năm 2017)Biết F x( ) nguyên hàm của hàm số ( )
2
f x x
thỏa mãn F ( 3)1 Tính F(0)
A F(0)ln 21. B F(0)ln 1. C F(0)ln D F(0)ln 23 Câu 81 (THPT Phú Xuyên A – Hà Nội năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm f x( )(2e3x)
A 4
3
x x
x e e C B 3
3
x x
x e e C
C 4
3
x x
x e e C D 3
3
x x
x e e C
Câu 82 (THPT Phú Xuyên A – Hà Nội lần năm 2017) Hàm số ( ) 1sin
2
F x x x C nguyên hàm hàm số sau ?
A 1sin
2 x B
2
cos x C 1cos2
2 x D
2 sin x
Câu 83 (Sở GD & ĐT Hải Phòng lần năm 2017)Cho hàm số
4
2
2
( ) x
f x
x
(47)A
3
2
( )d
3
x
f x x C
x
B
3
2
( )d
3
x
f x x C
x
C f x x( )d 2x3 C
x
D
3
2
( )d
3
x
f x x C
x
Câu 84 (Sở GD & ĐT Bắc Giang lần năm 2017)Tính nguyên hàm hàm số f x( )e3x2
A ( )d
3
x
f x x e C
B f x x( )d e3x2 C
C f x x( )d 3e3x2 C D f x x( )d (3x 2)e3x2 C
Câu 85 (Sở GD & ĐT Quảng Ninh năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm f x( ) sin(2x 1)
A ( )d 1cos(2 1)
2
f x x x C
B ( )d 1cos(2 1)
2
f x x x C
C f x x( )d cos(2x 1)C D f x x( )d cos(2x 1)C
Câu 86 (Sở GD & ĐT Vũng Tàu lần năm 2017)Cho y f x( ), y g x( ) hàm số liên tục . Tìm khẳng định sai khẳng định sau ?
A f x( )g x( )dx f x x( )d g x x( ) d B k f x ( )dx k f x( ) ,dx với k \ {0}
C f x g x( ) ( )dx f x x( )d g( d x) x
D f x( )dx f x( )
Câu 87 (Sở GD & ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm
( ) sin
f x x F
Tính F
A
6
F
B F
C
3
6
F
D
5
6
F
Câu 88 (Sở GD & ĐT Vũng Tàu lần năm 2017) Cho hàm số f x( )(2x3) ex Giả sử
( ) ( ) ,x
F x mx n e (m n , ) nguyên hàm f x( ) Tính mn A m n B m n C m n 1 D m n Câu 89 (THPT Gia Lộc – Hải Dương lần năm 2017)Cho hàm số f x( )(2x1)2017 Tìm
hàm số F x( ) thỏa mãn F x( ) f x( ) 2018
F
A
2018
(2 1)
( ) 2018
4036
x
F x B F x( )2017(2x1)2016 2018
C
2018
(2 1)
( ) 2018
2018
x
F x D F x( )4034(2x 1)2016 2018
Câu 90 (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần năm 2017) Cho a b, số hữu tỉ thỏa d
( 2) ( 1)
2
x
a x x b x x C
x x
(48)A
S B
S C
3
S D
S
Câu 91 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )(x2 1)2 thỏa (1) 28 15
F Tính giá trị biểu thức T 5 (6)F 30 (4) 18.F
A T 8526 B T 1000 C T 7544 D T 982 Câu 92 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )(2x3)2 thỏa (0)
3
F Tính giá trị biểu thức T log (1) (2) 2 F F
A T 2 B T 4 C T 10 D T 4
Câu 93 Giả sử F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )4x 1 Đồ thị hàm số y F x( ) ( )
y f x cắt điểm trục tung Tìm tọa độ điểm chung hai đồ thị ( )
y F x y f x( )
A (0; 1) 5;
2
B (0; 2)
5 ;
C (0; 2) 8;14
3
D (0; 1)
5 ;9
Câu 94 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần năm 2017) Cho hai hàm số
3
( ) ( ) (2 )
F x ax ab x a b c x f x( )3x2 6x 2 Biết F x( ) nguyên hàm f x( ). Hãy tính tổng S a b c
A S 5 B S 4 C S 3 D S 2
Câu 95 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) 3x thỏa mãn (3)
F Tính giá trị biểu thức T 2log13F(10) 3log13F( 6)
A T 2 B T 3 C T 5 D T 10 Câu 96 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số ( )
2 f x
x
thỏa mãn F(0) Biết phương trình F x( ) 1 x có nghiệm dạng x a b, với a b, nguyên dương Tìm ab
A a b B a b C a b D a b
Câu 97 Biết F x( ) nguyên hàm của hàm số f x( )sinx đồ thị hàm số y F x( ) qua điểm M(0;1) Tính
2 F
A
2 F
B F
C F
(49)Câu 98 (THPT Chuyên Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Huế lần năm 2017) Cho hàm số
2
( ) a cos
f x x
Tìm tất giá trị a để f x( ) có nguyên hàm F x( ) thỏa
mãn đồng thời (0)
F
4
F
A a B a C
a D
2
a
Câu 99 (THPT Lương Đắc Bằng – Thanh Hóa năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm
hàm số f x( )e3x1 thỏa mãn (0)
e
F Tính ln (1) 3 F
A ln (1)3 F 64. B ln (1)3 F 8. C ln (1)3 F 81. D ln (1)3 F 27
Câu 100 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )4 2x 2x3 thỏa mãn (0) ln
F Tính
giá trị biểu thức
3
10 ln (1)
2
F A
A A 1 B A 8 C A 16 D A 32
Câu 101 Cho f x( ) 2x f(1)5 Phương trình f x ( ) có hai nghiệm x1, .x2 Tính tổng S log2 x1 log2 x2
A S 0 B S 1 C S 2 D S 4
Câu 102 (THPT Chuyên Hạ Long – Quãng Ninh năm học 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
( ) sin cos
f x x x
A f x x( )d cos 3x sin 3x C B f x x( )d cos 3x sin 3x C
C ( )d cos 1sin
3
f x x x x C
D ( )d 1cos 1cos
3
f x x x x C
Câu 103 (THPT Chuyên Hạ Long – Quãng Ninh năm học 2017) Tìm nguyên hàm hàm số
( ) x x
f x e e
A f x x( )d ex ex C B f x x( )d ex ex C C f x x( )d ex ex C D f x x( )d ex ex C
Câu 104 (THPT Chuyên Hạ Long – Quãng Ninh năm 2017) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )f x 3x thỏa mãn F(0)
A ( ) 38
3
F x x B ( ) 2(3 4) 16
3
F x x x
C ( ) 2(3 4) 56
9
F x x x D ( ) 2(3 4)
3
F x x x
Câu 105 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 3x
A
3
3
( )d
4
x f x x C
B
3
( )d
4
(50)C
3
4
( )d
3 x
f x x C
x
D
3
4
( )d
3 x
f x x C
x
Câu 106 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) x x
(0;)
A f x x( )d C x
B ( )d
2
x f x x C
C ( )d
2
x f x x C
D f x x( )d C
x
Câu 107 Biết nguyên hàm d 1ln
2
x
x C x a
Tính a
A 3a 6 B 3a 27 C 3
a
D 3
27
a
Câu 108 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 2 51x
e
A 2 55x C
e B 5
x C
e
C
5 x e C D x e C e
Câu 109 Biết nguyên hàm 2x 2 3dx alnx b C
x x
Tìm a b
A a 2, b 3 B a 2, b 3. C a 2, b 3. D a 3, b 2
Câu 110 Biết F x( ) cos2x xd ax bsin 2x C Tính a2 b2
A 2
a b B 2
16
a b C a2 b2 2 D 2
a b
Câu 111 Tìm nguyên hàm f x( ) cosx 12
x
(0;)
A cosx 12 dx cosx ln x x
B cosx 12 dx cosx
x x
C cosx 12 dx sinx
x x
D cosx 12 dx sinx
x x
Câu 112 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2
(2 1) f x
x
A 2 d
2 (2x 1) x x C
B 2 d 3
(2x1) x (2x1) C
C 2 d
4 (2x 1) x x C
D 2 d
2 (2x1) x x C
Câu 113 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sin cos x x
A ( )d 1cos
5
f x x x C
B ( )d 1cos
5
(51)C ( )d cos cos
8 12
x x
f x x C
D ( )d 1cos cos
8 12
f x x x x C
Câu 114 Tìm nguyên hàm hàm số f x ( ) 2x x x
A ( )d 84
ln 84
x
f x x C
B
2
( )d
ln 4.ln 3.ln
x x x
f x x C
C f x x( )d 84x C D f x x( )d 84 ln 84x C
Câu 115 Biết F x( ) nguyên hàm ( )
2
f x x
F ( 1) Tính F ( 4) A ( 4) 1ln
2
F B F ( 4) ln 75
C F ( 4) ln 75 D ( 4) 1ln
2
F
Câu 116 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )
2
f x x
thỏa F(1)0 Tính F(2)
A (2) 3ln
2
F B (2) 3ln3
2
F C (2) 3ln
2
F D F(2)1
Câu 117 Tìm F x( ) nguyên hàm ( ) 1
f x x
biết F(2)1
A ln x 1 B ln x 1 C ln(x 1) 1. D 2
(x 1)
Câu 118 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )
f x x
( 3)F Tính 1 F(0) A F(0)ln 1. B F(0)ln 23. C F(0)ln D F(0)ln 21
Câu 119 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )2ex 3x2 thỏa (0)
F
A ( ) 3
x
F x e x B ( )
2
x
F x e x
C ( )
x
F x e x D ( )
x
F x e x
Câu 120 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )e2x 4x thoả mãn
2
(1)
2
e F
A
2
2
( )
2
x
e
F x x B
2
2
( )
2
x
e
F x x
C
2
2
( )
2
x e
F x e x D
2
2
( )
2
x e
F x e x
Câu 121 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )f x 2x 3 x
(4) 16 ln
f Mệnh đề ?
A ( ) 2 16 32 ln
x
f x x B ( ) ln
x
(52)C ( ) 16 24 ln
x
f x x D ( ) 2 16
ln
x
f x x
Câu 122 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )sinx 2 cosx thoả mãn F
A F x( )cosx 2 sinx 8 B F x( ) cosx 2 sinx 8
C F x( ) cosx 2 sinx 5 D F x( ) cosx 2 sinx 5
Câu 123 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )sinxcos 2x thỏa
4
F
Tìm hàm số F x( )
A ( ) cos 1sin
2
F x x x B ( ) cos 1sin
2
F x x x
C ( ) cos 1sin 2
2
F x x x D ( ) cos 1sin 2
2
F x x x
Câu 124 Cho hàm số f x( ) thỏa f x( )sin2xcos2x
4
f
Mệnh đề ?
A ( ) 1sin3 1sin 2
3 12
f x x x B ( ) 3sin
2
f x x x
C ( ) 3sin
2
f x x x D ( ) 1sin3 1sin 2
3 12
f x x x
Câu 125 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )f x 7 cosx f
Mệnh đề ?
A f x( )7x 4 sinx 7 B f x( )7x 4 sinx 7
C ( ) sin
2
f x x x D ( ) sin
2
f x x x
Câu 126 Cho F x( ) nguyên hàm f x( ) cos2x5 thỏa F ( ) Tìm F x( )
A F x( ) 3x sin 2x 3 B ( ) 4sin3 5
3
F x x x
C ( ) 4cos3 5
3
F x x x D F x( ) 3x sin 2x 3
Câu 127 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )f x 2x 3 x thoả mãn F(1)
A F x( )x2 33x2 4 B F x( )x2 2 x3 3
C F x( )x2 23x2 3 D F x( )x2 3 x3 4
Câu 128 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )2x8 sin cosx x thỏa mãn F ( )
A F x( )x2 4 cos 2x 22 B F x( )x22 cos 2x2 4
(53)Câu 129 Cho hàm số f x( ) xác định \ {2} thỏa mãn ( ) ;
3
f x x
4
(0) ln
3
f
(3) ln
3
f Tính P f( 7) f(11)
A P ln 162 B P ln 18 C P ln D P 3 ln
Câu 130 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
2 ( )
3
x f x
x x
thỏa F(1)ln
A F x( ) x ln x 1 lnx 2 ln 1.
B F x( ) x lnx 1 lnx 2 ln 31 C F x( ) x lnx 1 lnx 2 ln 31 D F x( ) x ln x 1 lnx 2 ln 1.
Câu 131 Tìm nguyên hàm hàm số
2
2 ( )
5
x x f x
x x
thỏa F(4)6 ln A ( ) ln
2 x
F x x
x
B
3
( ) ln
2 x
F x x
x
C ( ) ln
3 x
F x x
x
D
2
( ) ln
3 x
F x x
x
Câu 132 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2 40
30 200
x f x
x x
thỏa F(11)6 ln A F x( )ln x 10 2 lnx 20 2 ln
B F x( ) lnx 10 2 lnx 20 2 ln C F x( )lnx 10 2 ln x20 2 ln
D F x( ) lnx 10 2 lnx20 2 ln
Câu 133 Hàm số ( ) 25 11
3 10
x f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F(3)3 ln Tìm ( 6).
F
e
A eF( 6) 64 B eF( 6) 512 C eF( 6) 4096 D eF( 6) 32768 Câu 134 Hàm số ( ) 29 10
6 11
x f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa mãn F(1)ln Gọi
1,
x x hai nghiệm phương trình ( ) ln 1ln
F x x Tính 3x1 3 x2
A 3x1 3x2 28 B 3x1 3x2 4
C 31 32 730
27
x x
D 31 82
27
x x
Câu 135 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
2 ( )
7 12
x f x
x x
(54)B F x( ) x 16 lnx 4 lnx 3 ln
C F x( ) x 16 lnx 4 lnx 3 ln
D F x( ) x 16 lnx 4 lnx 3 ln
Câu 136 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 2 ;
( )
f x
x a b x ab
giả sử hàm số xác định
A f x x( )d ln x b C
x a
B f x x( )d ln x a C
b a x b
C f x x( )d ln x a C
x b
D f x x( )d ln x b C
b a x a
Câu 137 Hàm số
4 ( ) x f x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa
14 (0)
3
F Tính eF(2)
A (2) 3
F
e B (2)
F
e C eF(2) D (2)
3
F
e
Câu 138 Hàm số ( ) 22 x f x x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa
10 ln
(2)
3
F Tính eF( 1)
A eF( 1) 32 B eF( 1) ln 2.3 C eF( 1) 32 D eF( 1) ln Câu 139 Hàm số 2
7 12 x y x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F ( 2) 18 ln Tìm F ( 5) A F ( 5) 33 ln 2. B F ( 5) 21ln
C F ( 5) 17 ln 2. D F ( 5) 11ln
Câu 140 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
3 ( ) x x f x x
thỏa mãn
3 (1)
2
F
A
3
( ) ln
3
x
F x x B
3
( ) ln
3
x
F x x
C
2 2
( ) ln
2
x
F x x D
2
( ) ln
2
x
F x x
Câu 141 Hàm số ( ) 2
5
f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa mãn F(4) 1 ln Phương trình F x ( ) có nghiệm x a;
b
với a
b phân số tổi giản Tìm a b
A a b B a b C a b D a b Câu 142 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 2;
( 1) x f x
x
biết đồ thị hàm số y F x( ) qua gốc tọa độ O
A ( ) ln
1
x
F x x
x
B
1
( ) ln
2
F x x
x
C ( ) ln 1
1
F x x
x
D ( ) ln
x
F x x
x
(55)Câu 143 Hàm số ( ) 2
( 1) f x
x x
có nguyên hàm F x( ) thỏa F(1)ln Tính F ( 2)
A ( 2) ln1
2
F B ( 2) ln 2
F
C ( 2) ln1
2
F D ( 2) ln
2
F
Câu 144 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) x 21,
x
biết đồ thị hàm số y F x( )
qua điểm M e;2 e
A F x( ) lnx
x
B F x( ) lnx 1
x
C F x( ) lnx
x
D F x( )lnxlnx2 1
Câu 145 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số
2
2
2
( ) ,
2
x x f x
x x
biết đồ thị hàm số ( )
y F x cắt trục hoành điểm có hồnh độ
A ( ) 2
1
F x x x
B
2
( )
1
F x x x
C F x( ) x ln(x1) D ( ) 2
1
F x x x
Câu 146 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số
3
2
3
( )
2
x x x
f x
x x
thỏa
1 (1)
3
F Xác định hàm số F x( )
A
2 2 13
( )
2
x
F x x
x
B
2 1 11
( )
2
x
F x x
x
C
2 2 13
( )
2
x
F x x
x
D
2 2 11
( )
2
x
F x x
x
Câu 147 Hàm số F x( ) nguyên hàm f x( )(1x)ln(x2 1) Hỏi hàm số F x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A 0 B 1 C 2. D 3
Câu 148 Hàm số F x( ) nguyên hàm f x( )(x2 x 1)(1cos ).x Hỏi hàm số F x( ) có điểm cực trị ?
A Vô số B 1 C 2 D 3
Câu 149 Hàm số F x( ) nguyên hàm ( )f x 25x 2017.5x 2018 Hỏi hàm số F x( ) có điểm cực trị ?
A 0 B 1 C 2 D 3
Câu 150 Hàm số F x( ) nguyên hàm f x( )x(log2x logx2 3) Hỏi hàm số F x( ) có điểm cực trị khoảng (0;) ?
(56)BẢNG ĐÁP ÁN NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
1.D 2.C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A 9.D 10.B
11.B 12.A 13.A 14.B 15.B 16.A 17.A 18.A 19.A 20.D
21.D 22.C 23.D 24.B 25.C 26.D 27.D 28.C 29.D 30.C
31.D 32.A 33.A 34.D 35.B 36.C 37.C 38.D 39.D 40.B
41.B 42.B 43.C 44.D 45.B 46.B 47.D 48.A 49.A 50.B
51.C 52.B 53.A 54.A 55.B 56.A 57.C 58.A 59.C 60.C
61.C 62.A 63.B 64.C 65.C 66.B 67.D 68.B 69.C 70.C
71.A 72.D 73.C 74.D 75.A 76.C 77.D 78.A 79.A 80.A
81.D 82.B 83.A 84.B 85.C 86.C 87.A 88.A 89.C 90.B
91.A 92.D 93.A 94.C 95.D 96.A 97.D 98.A 99.D 100.B
101.C 102.A 103.C 104.B 105.D 106.D 107.C 108.A 109.B 110.C
111.A 112.C 113.A 114.D 115.C 116.A 117.D 118.B 119.A 120.D
121.C 122.B 123.C 124.D 125.A 126.B 127.C 128.A 129.A 130.B
131.D 132.C 133.A 134.C 135.B 136.D 137.C 138.D 139.C 140.C
(57)Dạng toán Nguyên hàm phần
Định lý: Nếu hai hàm số u u x( ) v v x( ) có đạo hàm liên tục K
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
I u x v x x u x v x u x v x x hay I u vd uv v ud
Vận dụng giải toán:
— Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, Ví dụ: exsin d , x x xln d , x x
— Đặt:
d d
d d
Vi phân
Nguyên m
u u x
v x v
Suy ra: I u vd uvv ud — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv phần lại
— Lưu ý bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm — Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi
Bài tập vận dụng
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định):
a) Tính I ln d x x Chọn
d
d
u u
v v
b) Tính I xln d x x Chọn
d
d
u u
v v
c) Tính I (2x 1)ln d x x Chọn
d
d
u u
v v
d) Tính I xln(1x x)d Chọn
d
d
u u
v v
(58)
e) Tính I xsin d x x Chọn
d
d
u u
v v
f) Tính I xcos d x x Chọn
d
d
u u
v v
g) Tính I (x1)sin2 d x x Chọn
d
d
u u
v v
h) Tính sin d x
I x x Chọn
d
d
u u
v v
i) Tính I xsin cos d x x x Chọn
d
d
u u
v v
j) Tính I x(2 cos2x1)d x Chọn
d
d
u u
v v
k) Tính I xe xxd Chọn
d
d
u u
v v
l) Tính I (1 ) d x e xx Chọn
d
d
u u
v v
(59)
m) Tính I xe3xd x Chọn
d
d
u u
v v
n) Tính I xexd x Chọn
d
d
u u
v v
o) Tính I (4x1)e2xd x Chọn
d
d
u u
v v
p) Tính 2 d sin
x
I x
x
Chọn
d
d
u u
v v
q) Tính 2 d cos
x
I x
x
Chọn
d
d
u u
v v
r) Tính d cos
x
I x
x
Chọn
d
d
u u
v v
s) Tính d cos
x
I x
x
Chọn
d
d
u u
v v
t) Tính I ln3x d x x
Chọn
d
d
u u
v v
(60)u) Tính
2
2
ln d
x
I x x
x
Chọn d d
u u
v v
v) Tính I ex cos d x x Chọn d d
u u
v v
w) Tính I exsin d x x Chọn d d
u u
v v
x) Tính I e2x cos d x x Chọn d d
u u
v v
(61)
y) Tính I xln(x2 1)d x Chọn d d
u u
v v
z) Tính
2
3
ln(4 3)
d
( 1)
x x
I x
x
Chọn d d
u u
v v
BT Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện cho trước
a) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )f x xex
thỏa mãn F(0)1
b) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )xcos 3x thỏa mãn F(0)1
(62)c) Cho F x( )lnx nguyên hàm f x( )3
x Tìm nguyên hàm hàm f x( )ln x Lời giải tham khảo
Vì F x( )lnx nguyên hàm hàm số f x( )3
x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (ln )x f x( )3 f x( )3 f x( ) x2 f x( ) x
x
x x
Khi I f x( )ln dx x ln d x x x
Chọn
2
2
ln d d
ln d ln
2
d d
u x u x x
I x x x x x x C
x
v x x v x
Lưu ý: Nếu hàm f x( ) phức tạp (dạng u v. u
v
ta bỏ qua bước tính f x( ) chọn dv f x x( )d v f x( ), tùy vào toán cho đơn giản d) Cho F x( )lnx nguyên hàm hàm f x( )2
x Tìm nguyên hàm f x( )ln x
e) Cho F x( )lnx nguyên hàm xf x( ) Tìm nguyên hàm hàm f x( )ln x
f) Cho F x( ) x2 nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm f x( )ln x
(63)
h) Cho F x( ) x2 nguyên hàm f x e( ) 2x
Tìm nguyên hàm hàm f x e( ) 2x
i) Cho F x( ) 12 x
nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm
3
( )( 1) f x x
j) Cho F x( ) x
nguyên hàm x f x Tìm nguyên hàm 2 ( ) f x x( ) 3ln x
k) Cho F x( ) 12 x
nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm f x x( ) ln x
(64)l) Cho F x( ) 13 x
nguyên hàm f x( )2
x Tìm nguyên hàm hàm f x( )ln x
m) Cho
4
( ) 16 x
F x nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm f x( )ln x
n) Cho ( )F x xex nguyên hàm f x e( ) 2x
Tìm nguyên hàm f x e( ) 2x
o) Cho ( )F x 2(x 1)ex
nguyên hàm hàm số f x e( ) x
thỏa f(0)0 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) f x e x
p) Cho
2
( ) cos sin
x
F x x x x
nguyên hàm hàm số f x( )sin x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos x
(65)q) Cho
2
( ) sin cos
x
F x x x x
nguyên hàm hàm số f x( )cos x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sin x
r) Cho F x( )xtanx ln cosx nguyên hàm hàm số ( )2 cos
f x
x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )tan x
s) Cho F x( ) xcotx ln sinx nguyên hàm hàm số ( )2 sin
f x
x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cot x
t) Cho
2
( )
2
x
x
F x x e
nguyên hàm hàm số ( )
x
f x e Tìm nguyên hàm
của hàm số ( ) f x e x
(66)BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 32) Cho F x( )x2 nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x
A f x e( ) d2x x x2 2xC B f x e( ) d2x x x2 x C C f x e( ) d2x x 2x22xC D f x e( ) d2x x 2x2 2xC
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 40) Cho F x( )(x 1)ex
nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x
Tìm nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x
A f x e( ) d2x x (x2)ex C B ( ) d2
x x x
f x e x e C
C f x e( ) d2x x (2x e) x C D f x e( ) d2x x (4 ) x ex C
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 37) Cho ( ) 12 F x
x
nguyên hàm hàm số f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm số ( )ln f x x A ( ) ln d ln3 15
5 x
f x x x C
x x
B ( )ln d ln3 15
5 x
f x x x C
x x
C ( ) ln d ln3 13
3 x
f x x x C
x x
D ( )ln d ln3 13
3 x
f x x x C
x x
Câu (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 42) Cho ( ) 12 F x
x
nguyên hàm hàm số f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm số ( )ln f x x
A ( )ln d ln2 12
2
x
f x x x C
x x
B f x( )ln dx x ln2x 12 C
x x
C ( )ln d ln2 12
x
f x x x C
x x
D f x( )ln dx x ln2x 12 C
x x
Câu (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017)Tìm ngun hàm y xex A f x x( )d x e2 x C B f x x( )d xex C
C f x x( )d (x 1)ex C D f x x( )d (x 1)ex C
Câu (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Tìm nguyên hàm y xln x A
2
2
1
ln
2
x
x x C B 2ln
2
x x x C
C.
2
1
ln
2
x
x x C D ln
2 x x x C
Câu (THPT Thực Hành Cao Nguyên lần năm 2017) Tìm họ nguyên hàm hàm số
( ) ln
(67)A
2
ln
2 x
x x C B
2
2ln 2 .
2 x
x x C
C
(ln 1)
x
x C D
2 1
ln
2
x
x C
Câu (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )
x
f x xe thỏa f(0) 1 Tính F(4)
A F(4)3 B
2
7
(4)
4 e
F C F(4)4e2 3. D F(4)4e2
Câu (Sở GD & ĐT Phú Thọ năm 2017) Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x xln(x 2) A
2
4
ln( 2)
2
x x x
x C B
2
4
ln( 2)
2
x x x
x C
C
2 4
ln( 2)
2
x x x
x C D
2 4 4
ln( 2)
2
x x x
x C
Câu 10 (THPT Chuyên Bến Tre – Bến Tre năm 2017) Tìm nguyên hàm f x( ) ln x
A lnx x C B x xlnx C C lnx x x C D xlnx x C
Câu 11 (THPT Chuyên Đại Học Vinh lần năm 2017)Cho y f x( ) thỏa f x( )(x 1)ex
và f x x( )d (ax b e) x c, với , , a b c Tính a b
A a b B a b C a b D a b Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xln(2x 1)
A
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
B
2
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
C
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
D
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
Câu 13 Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x (2x 1)ex
A (2x 1)ex C B (2 x 1)ex C C (2 x 3)ex C D (2 x3)ex C Câu 14 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(x 1)sin x
A (1 )cos sin
2
x x x
C
B (2 )cos sin
2
x x x
C
C (1 )cos sin
4
x x x
C
D (2 )cos sin
x x x
C
Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số y (x 1)cos x
A (x 1)sinx cosx C B (x 1)sinx cosx C
C (x 1)sinxcosx C D (x 1)sinx cosx C
Câu 16 Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) lnx thỏa F(1)3 Tính F e( )
(68)A 1 1sin cos
2
x
x x C
B
1
sin cos
2
x
x x C
C 1 1sin cos
2
x
x x C
D
1
sin cos
2
x
x x C
Câu 18 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )xsinx thỏa mãn
2 201
F
A F x( )xsinx cosx 2019 B F x( ) sinx xcosx 2018
C F x( )xsinx cosx 2019 D F x( )sinx xcosx 2018 Câu 19 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )xcosx thỏa mãn F ( ) 2017
A F x( )xsinx cosx 2019 B F x( )xsinx cosx 2018
C F x( ) xsinx cosx 1 D F x( ) xsinx cosx 2017 Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x xex
A f x x( )d xex ex C B f x x( )d xex ex C
C f x x( )d xex ex C D f x x( )d xex ex C Câu 21 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xln x
A
3
( )d ln
3
x x
f x x x C
B
3
( )d ln
3
x x
f x x x C
C
3
( )d ln
3
x x
f x x x C
D
3
( )d ln
3
x x
f x x x C
Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xsin cos x x A ( )d 1sin cos
4
x x
f x x x C
B ( )d 1sin cos
4
x
f x x x x C
C ( )d 1sin cos2
8
x
f x x x x C
D ( )d 1cos sin
4
x
f x x x x C
Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos2
2 x
f x x
A
2 sin cos
4 2
x x x x
C
B
2 sin cos
4 2
x x x x
C
C
2 sin cos
4 2
x x x x
C
D
2 sin cos
4 2
x x x x
C
Câu 24 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 3.
x
f x xe
A 3
x
x
e C
B 3
x
x
e C
C 3( 3) .
x
x e C D ( 3) .
x
x e C
Câu 25 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x2cos x
A (2x x2) cosxxsin x B (x2 2)sinx 2xcos x
(69)Câu 26 Tìm nguyên hàm hàm số
2
( ) sin cos
2
x x
f x x
A
cos sin
2
x
x x x C
B
2
cos sin
2
x
x x x C
C
2
cos sin
2
x
x x x C
D
2
cos sin
2
x
x x x C
Câu 27 Tìm nguyên hàm hàm số 2 co ( )
s
f x x x
A xcotx ln cosx C B xtanx ln cosx C
C xcotx ln cosx C D xtanx ln cosx C
Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xsin x A ( )d 1(2 cos sin )
4
f x x x x x
B ( )d 1(2 cos sin )
4
f x x x x x
C ( )d 1(2 cos sin )
f x x x x x
D ( )d 1(2 cos sin )
4
f x x x x x
Câu 29 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(x2 2 ) x ex
A (2x 2) .ex B x e2 x C (x2 x e) .x D (x2 2 ) .x ex Câu 30 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )f x x e x
thỏa mãn F(0)1
A ( x 1)ex 1 B (x 1)ex 2
C (x 1)ex 1
D (x 1)ex 2
Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(x 1)sin x
A (x 1)cosx s inx C B (x 1)cosx s inx C
C (x 1)cosx s inx C D (x 1)cosxs inx C Câu 32 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) ln x
A x(lnx 1) C B 1 C
x C
2
ln
x C
D x(lnx 1) C
Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos cos
f x x x
x
A sin
sin
x
x x C
x
B x(1sin )x cosx C
C x(1sin )x cosx C D x(1 sin ) x cosx C
Câu 34 Tìm n guyên hàm F x( ) hàm số f x( )xcos 3x thỏa mãn F(0)1
A ( ) sin 1cos
3 9
F x x x x B ( ) sin 1cos
3
F x x x x
C ( ) 2sin
6
F x x x D ( ) sin 1cos
3 9
F x x x x
Câu 35 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(x2 2 ) x ex
A ( )F x (2x 2) .ex
(70)C F x( )(x2 x e) .x D F x( )(x22 ) .x ex
Câu 36 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xcos x
A 1 sin 1cos
2x x 4 x C B
1
sin cos 2x x 2 x C
C
2sin 2
x x
C
D sin 2x C
Câu 37 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x.sin(2x 1)
A cos(2 1) 1sin(2 1)
2
x
x x C
B
2
cos(2 1)
4
x
x C
C cos(2 1) 1sin(2 1)
2
x
x x C D cos(2 1) 1sin(2 1)
2
x
x x C
Câu 38 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xln(1x) A 2( 1) x C
x B
2
3
1
ln(1 ) ln(1 )
2
x
x x x C
C 1( 1)ln(1 )
2
x
x x x C D
2 1
ln(1 ) ln( 1)
2
x x
x x C
Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(x 2)sin x
A ( 2)cos 1sin
3
x x
x C
B ( 2)cos sin
3
x x x
C
C ( 2)cos sin
3
x x x
C
D sin ( 2) cos
3
x x x
C
Câu 40 Cho F x( ) 12 x
nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )ln x A f x( )ln dx x ln2x 12 C
x x
B f x( )ln dx x ln2x 12 C
x x
C f x( )ln dx x ln2x 12 C
x x
D f x( )ln dx x ln2x 12 C
x x
Câu 41 Cho F x( ) 13 x
nguyên hàm f x( )2
x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )ln x A ( )ln d ln2 32
2 x
f x x x C
x x
B ( ) ln d ln2 32
2 x
f x x x C
x x
C ( ) ln d ln2 32
x
f x x x C
x x
D ( )ln d ln2 32
2 x
f x x x C
x x
Câu 42 Cho F x( ) 12 x
nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm f x x( ) ln x A f x x( ) ln dx x ln2x C
x x
B f x x( ) ln dx x ln2x C
x x
C f x x( ) ln dx x 41lnxC
D f x x( ) ln dx x 4lnx 1C
(71)Câu 43 Cho F x( ) x
nguyên hàm x f x Tìm nguyên hàm 2 ( ) f x x( ) ln x
A f x x( ) ln d3 x x 4(lnx 1) C
x
B f x x( ) ln d3 x x 4(lnx 1) C x
C f x x( ) ln d3 x x 4(lnx 1) C x
D f x x( ) ln d3 x x 4(lnx 1) C
x
Câu 44 Cho F x( ) 12 x
nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm
3
( ).( 1) f x x
A f x x( )( 1)dx 4x 22 C x
B f x x( )( 1)dx 4x 22 C
x
C f x x( )( 1)dx 4x 22 C x
D f x x( )( 1)dx x 22 C
x
Câu 45 Cho F x( ) 12 x
nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm
4
( ).( ) f x x x
A f x x( )( x3)dx x2 x C B f x x( )( x3)dx x2 x C C f x x( )( 4x3)dx x2 x C D f x x( )( x3)dx x2 x C
Câu 46 Cho F x( )x2 nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm f x( )ln x A f x( )ln dx x x2(2 lnx 1) C B f x( )ln dx x x2(1 ln ) x C
C f x( )ln dx x x2(2 lnx 1) C D f x( )ln dx x x2(2 lnx 1) C
Câu 47 Cho F x( )lnx nguyên hàm xf x( ) Tìm nguyên hàm f x( )ln x
A ( )ln d 12 ln
2
f x x x x C
x
B ( )ln d ln
2
f x x x x C
x
C ( )ln d 12 ln
2
f x x x x C
x
D f x( ) ln dx x 12(2 lnx 1) C x
Câu 48 Cho F x( )lnx nguyên hàm f x( )2
x Tìm nguyên hàm f x( )ln x A f x( )ln dx x x(lnx 1) C B f x( )ln dx x x(lnx 1) C
C f x( )ln dx x x(lnx x)C D f x( )ln dx x x(1ln )x C
Câu 49 Cho F x( )lnx nguyên hàm f x( )3
x Tìm nguyên hàm f x( )ln x
A ( )ln d ln
2
f x x x x xC
B ( )ln d ln
2
f x x x x x C
C f x( )ln dx x x2(2 lnx 1) C D ( )ln d ln
2
f x x x x x C
(72)Câu 50 Cho
2
( ) x
F x nguyên hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm f x( )ln x
A
2 1
( )ln d ln
2
x
f x x x x C
B
2 1
( )ln d ln
2
x
f x x x x C
C
2 1
( )ln d ln
2
x
f x x x x C
x
D
2 1
( )ln d ln
2
x
f x x x x C
x
Câu 51 Cho
4
( ) 16 x
F x nguyên hàm hàm f x( )
x Tìm nguyên hàm f x( )ln x
A
4 1
( )ln d ln
4
x
f x x x x C
B
4 1
( )ln d ln
4
x
f x x x x C
C
6
( ) ln d ln
30 16
x x
f x x x x C
D
6
( )ln d ln
30 16
x x
f x x x x C
Câu 52 Cho ( )F x xex nguyên hàm f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm f x e( ) 2x
A f x e( ) d2x x 2(1x e) x C B ( ) d2
2
x x x
f x e x e C
C f x e dx( ) 2x (x 1)ex C D f x e( ) d2x x (x 2)ex C
Câu 53 Cho F x( )2(x 1)ex nguyên hàm hàm số f x e( ) x f(0)0 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) f x e x
A f x e x( ) dx (x22x 1)ex C B f x e x( ) dx (x2 2x2)ex C
C f x e x( ) dx (x2 2x 2)ex C D f x e x( ) dx (x2 2x 1)ex C
Câu 54 Cho
2
( ) cos sin
x
F x x x x
nguyên hàm hàm số f x( )sin x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos x
A f x( )cos dx x cosx xsinx C. B f x( )cos dx x sinx xcosx C
C f x( )cos dx x cosx xsinx C. D f x( )cos dx x sinx xcosx C
Câu 55 Cho
2
( ) sin cos
x
F x x x x
nguyên hàm hàm số f x( )cos x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sin x
A f x( )sin dx x sinx x cosx C. B f x( )sin dx x cosx xsinx C
C f x( )sin dx x sinx xcosx C. D f x( )sin dx x cosx xsinx C
Câu 56 Cho F x( )x tanx ln cosx nguyên hàm hàm số ( )2 cos
f x
x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )tan x
(73)C f x( )tan dx x ln cosx C D f x( )tan dx x ln sinx C
Câu 57 Cho F x( ) xcotx ln sinx nguyên hàm hàm số ( )2 sin
f x
x Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cot x
A f x( )cot dx x ln sinx C B f x( )cot dx x ln cosx C
C f x( )cot dx x ln sinx C D f x( )cot dx x ln cosx C
Câu 58 Cho
2
( )
2
x
x
F x x e
nguyên hàm hàm số ( ) x
f x e Tìm nguyên hàm
của hàm số ( ) f x e x
A f x e x( ) dx (1 x e) x C B f x e x( ) dx xex C
C f x e x( ) dx (x 1)ex C D f x e x( ) dx xex C
Câu 59 Cho F x( ) 14 x
nguyên hàm hàm số f x( )
x Tìm nguyên hàm f x( )ln x A ( ) ln d ln4 14
4 16 x
f x x x C
x x
B ( ) ln d ln4 4
4 16 x
f x x x C
x x
C f x( )ln dx x ln4x 14 C
x x
D f x( )ln dx x ln4x 14 C
x x
Câu 60 Gọi ( )F x nguyên hàm hàm số ( )f x lnx thỏa mãn điều kiện (1)F 3 Tính giá trị biểu thức T 2F e( ) log 3.log4 3F e( )
A T 2 B T 8 C
2
T D T 17
Câu 61 Gọi ( )F x nguyên hàm hàm số f x( ) xe2x thỏa F
Tính
5
ln
2 F
A ln
2 F
B
5
ln
2 F
C
5
ln
2 F
D
5
ln
2 F
Câu 62 Cho ( )F x nguyên hàm hàm số ( )f x x e x
thỏa mãn (0)F Tính tổng S nghiệm phương trình ( )F x x
A S 3 B S C S 2 D S 1
Câu 63 Biết ( )F x nguyên hàm hàm số ( )f x xsinx thỏa mãn ( )F 2 Tính giá trị biểu thức T 2 (0)F 8 (2 ).F
A T 6 B T C T 8 D T 10 Câu 64 Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x sin x
A cos
2 x x C B cos x C
(74)Câu 65 Cho số nguyên , , , a b c d thỏa (x 2)cos dx x (x a)sin 3x cos 3x c
b d
Tính S a b d
A S 8 B S 4 C S 10 D S 14
Câu 66 Biết ( )F x nguyên hàm hàm số f x( )xcosx thỏa (0)F 2018 Tính tổng ( ) ( ) 4032
F F
A ( )F F()2017 B F( ) F()4032
C ( )F F()4034 D ( )F F()2018
Câu 67 Biết ( )F x nguyên hàm ( )f x xsinx thỏa 2 F
Tính (0)F F ( )
A (0)F F ( ) . B (0)F F ( )3 C F(0)F ( ) 2 D (0)F F ( ) 3 Câu 68 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xln(2x 1)
A
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
B
2
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
C
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
D
4 ( 1)
ln
8
x x x
x C
Câu 69 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(x1)sin x A (1 )cos sin
2
x x x
C
B (2 )cos sin
2
x x x
C
C (1 )cos sin
4
x x x
C
D (2 )cos sin
x x x
C
Câu 70 Tìm nguyên hàm hàm số ( )f x ln 2x
A ln(2 1) 1ln(2 1)
2
x
x x C B ln(2 1)
2 x
x C
C ln(2 1) 1ln(2 1)
2
x x
x x C D ln(2 1) 1ln(2 1)
2
x
(75)BẢNG ĐÁP ÁN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 D
11 A 12 B 13 A 14 D 15 B 16 C 17 C 18 B 19 B 20 C
21 A 22 C 23 B 24 C 25 C 26 C 27 B 28 C 29 B 30 B
31 B 32 A 33 C 34 D 35 B 36 A 37 A 38 C 39 A 40 B
41 C 42 D 43 A 44 B 45 C 46 D 47 A 48 B 49 D 50 A
51 A 52 C 53 C 54 C 55 C 56 C 57 C 58 C 59 C 60 D
(76)Dạng tốn Tìm ngun hàm phương pháp đổi biến số
Định lí: Cho f u( )duF u( )C u u x( ) hàm số có đạo hàm liên tục ( ) ( ) d ( )
f u x u x x F u x C
Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm
Một số dạng đổi biến thường gặp
1
2
( ) d d d
d d ( 1) d ,
1
( ) d d d
PP n
m n
PP n n
n
PP n
I f ax b x x t ax b t a x x
I x t x t n x x
ax
I f ax b x x t ax b t ax x
với , m n
I n f x f x( ) ( )d x PP Đặt t n f x( )tn f x( )ntn1dt f x( ) d x
1 (ln ) d
1 ( ln ) d
I f x x
x
I f a b x x
x PP
Đặt
1
ln d d
ln d d
t x t x
x b
t a b x t x
x
I f e e x( ) dx x
PP Đặt d d
d d
x x
x x
t e t e x t a be t be x
I f(cos ).sin dx x x PP
Đặt cos d sin d
cos d sin d
t x t x x
t a b x t b x x
I f(sin ).cos dx x x PP Đặt sin d cos d
sin d cos d
t x t x x
t a b x t b x x
(tan ) d2
cos
x
I f x
x
PP
Đặt
2
tan d d (1 tan )d
cos
t x t x x x
x
(cot ) d2
sin
x
I f x
x
PP Đặt
2 d
cot d (1 cot )d
sin
x
t x t x x
x
I f(sin ; cos ).sin d2x 2x x x PP Đặt
2
2
sin d sin d
cos d sin d
t x t x x
t x t x x
I f(sinx cos ).(sinx x cos )dx x PP Đặt t sinx cos x
(77)Bài tập vận dụng
BT Tìm ngun hàm hàm số sau (loại )
a) Tính I x(1x)2018d x Đặt t 1 x x t dx d t
2018 2018 2019 2018
(1 ) d ( 1) d ( )d
I t t t t t t t t t
2020 2019 (1 )2020 (1 )2019
2020 2019 2020 2019
t t x x
C C
b) Tính I x x( 1)2017d x Đặt t
c) Tính I x x( 1) d x Đặt t
d) Tính I x x2( 1) d x Đặt t
e) Tính I (1x x2) d 5 x Đặt t
f) Tính I x5(1x3 6) d x Đặt t
g) Tính I x3(23 ) d x2 x Đặt t
(78)
h) Tính 2d x x I
x
Đặt 2 2 d d d 1d
2
t x x t x x t x x t
2
1 1
d ln ln
2 2
I t t C x C
t
i) Tính d 5
( 1)
x x I
x
Đặt t
j) Tính
3
2
d (1 )
x x I
x
Đặt t
k) Tính
3
4
4 d ( 2)
x x I
x
Đặt t
l) Tính
5
2
d x x I
x
Đặt t
m) Tính
4
10 d
4
x x I
x
Đặt t
n) Tính
3
2 d
1 x
I
x x
Đặt t
(79)
o) Tính
2017
2019
( 1)
d (2 3)
x
I x
x
Ta có
2017
2
1
d
2 (2 3)
x
I x
x x
Đặt d 2 d
2 (2 3)
x
t t x
x x
Suy
2018 2018
2017 1
d
2018 2018
t x
I t t C C
x
p) Tính
5
7
d ( 1)
x x I
x
Ta có:
q) Tính
99
101
(7 1) d (2 1)
x x
I
x
Ta có:
r) Tính
9
2
d ( 1)
x x I
x
Ta có:
s) Tính
2001
2 1002
d (1 )
x x
I
x
Ta có:
(80)
BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (loại )
a) Tính
2
( 1)d
x x
I
x x
Đặt t x2 2x 4 t2 x2 2x4 dt t 2(x 1)dx (x 1)dx t td
Suy I t dt dt t C x2 2x C
t
b) Tính
2
(2 3)d
x x
I
x x
Đặt t
c) Tính I x 2017x xd Đặt t
d) Tính I x x2 3 d x Đặt t
e) Tính I x 2019x2 d x Đặt t
f) Tính I x x3 22018 d x Đặt t
(81)
g) Tính
2
2
d x
I x
x
Đặt t
h) Tính I 5x 31x2d x Đặt t
i) Tính
2
d
x
I x
x
Đặt t
j) Tính
3
2 d
4 x
I x
x
Đặt t
k) Tính
2
d x I
x x
Đặt t
l) Tính
2
d x I
x x
Đặt t
(82)
m) Tính I x53(1 ) d x2 x Đặt t
n) Tính
3
2
2
d
x x x
I x
x x
Đặt t
o) Tính ln d
1 ln
x x I
x x
Đặt t
p) Tính I lnx lnx d x x
Đặt t
q) Tính
3
d ln
x I
x x
Đặt t
r) Tính
2 ln
d
ln
x
I x
x x
(83)
s) Tính I ex 5e xxd Đặt t
t) Tính d x
x I
e
Đặt t
u) Tính I cosx sinx 2d x Đặt t
v) Tính I sinx 2018cos d x x Đặt t
w) Tính
2
d ln ln
x I
x x x
Đặt t
(84)
x) Tính
2 d
1
x x I
x x
Ta có:
y) Tính
3
4
d x x I
x x
Ta có:
z) Tính
2
3
d
2
x
I x
x x
Ta có:
(85)
BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (loại )
a) Tính I lnx d x
x
Đặt t
b) Tính
2 ln
d
x
I x
x
Đặt t
c) Tính I lnx d x
x
Đặt t
d) Tính
4
1 ln
d
x
I x
x
Đặt t
e) Tính ln 1d ln
x
I x
x x
Đặt t
f) Tính I lnx d x
x
Đặt t
g) Tính ln 2 d (2 ln )
x
I x
x x
Đặt t
h) Tính
1
4 ln
d
e
x
I x
x
Đặt t
i) Tính I lnx d x x
Đặt t
j) Tính ln d ln
x
I x
x x
(86)BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (loại )
a) Tính d
x
x
e x I
e
Đặt t
b) Tính d
x
x I
e
Đặt t
c) Tính d
x
x I
e
Đặt t
d) Tính I x dx x
e e
Đặt t
e) Tính d x
x x
e x I
e e
Đặt t
f) Tính d
2
x x
x I
e e
Đặt t
g) Tính d
x x
x I
e e
Đặt t
(87)
h) Tính
3
(1 )
d
x
x
e
I x
e
Đặt t
i) Tính
2
2
3
d
3
x x
x x
e e
I x
e e
Đặt t
j) Tính d 2 ( 1)
x
x
e x I
e
Đặt t
k) Tính 1d x
x
e
I x
e
Đặt t
l) Tính
2 d
1 x
x
e x
I
e
Đặt t
m) Tính
2
d
x
x
e x
I
e
Đặt t
n) Tính d x
x I
e
Đặt t
(88)
a) Tính I tan d x x Ta có:
b) Tính I sin3x xd Ta có:
c) Tính I sin5x xd Ta có :
d) Tính I cos2017xsin d x x Đặt t
e) Tính sin d2 cos
x x I
x
Đặt t
f) Tính I sin cosx 2x xd Ta có:
g) Tính sin d
2 cos
x
I x
x
Đặt t
h) Tính
3 sin
d
1 cos
x
I x
x
Ta có:
i) Tính I sin2xtan d x x Ta có:
j) Tính sin cos d
1 cos
x x
I x
x
Ta có:
(89)
l) Tính sin 42 d
1 cos
x
I x
x
Ta có:
m) Tính tan tan sin d
x
I x x x
Ta có:
n) Tính sin d
cos cos x x I
x x
Ta có:
o) Tính sin d cos cos
x x I
x x
Ta có:
p) Tính sin sin d cos
x x
I x
x
Ta có:
(90)
r) Tính sin sin d cos
x x
I x
x
Ta có:
s) Tính d sin
x I
x
Ta có:
t) Tính d3 sin
x I
x
Ta có:
u) Tính d
sin cos x I
x x
Ta có:
(91)
a) Tính I cot d x x
b) Tính I cos3x xd
c) Tính I cos5x xd
d) Tính I sin2019xcos d x x
e) Tính I (12 sin ) cos d x x x
f) Tính cos d
4 sin
x
I x
x
g) Tính cos d
9 sin
x
I x
x
h) Tính sin d sin
x
I x
x
i) Tính sin 2 d (2 sin )
x
I x
x
j) Tính I (1sin ) cos d x x x
(92)
k) Tính I sin sinx 5x xd
l) Tính I (12 sin ) cos d x x x
m) Tính (2 sin 3)cos d
2 sin
x x
I x
x
n) Tính cos d
1 sin
x
I x
x
o) Tính
2 sin
d
1 sin
x
I x
x
p) Tính cos d 2 sin sin
x x I
x x
(93)
q) Tính I cosx esinxd x
r) Tính I cosx 1sin d x x
s) Tính I cosx sinx 1 d x
t) Tính cos d
2 sin
x x I
x
u) Tính d cos
x I
x
v) Tính d3 cos
x I
x
(94)
BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (loại )
a) Tính tan2 d cos
x
I x
x
b) Tính
2
4 sin
d cos
x
I x
x
c) Tính
4
6 sin
d cos
x
I x
x
d) Tính
2
2
(1 tan )
d cos
x
I x
x
e) Tính tan d
1 cos
x
I x
x
f) Tính
2 tan
d cos2
x
I x
x
g) Tính 2 d 2
sin cos
x I
x x
(95)
h) Tính 2 d
sin sin cos
x I
x x x
i) Tính 2 d 2
5 cos sin cos sin
x I
x x x x
j) Tính d 3 sin cos
x I
x x
k) Tính 4d 2
cos sin
x I
x x
l) Tính d4 cos
x I
x
m) Tính (1 sin )d3 4
2 sin cos cos
x x I
x x x
(96)
BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (loại )
a) Tính cot2 d sin
x
I x
x
b) Tính
2
2
(2 cot )
d sin
x
I x
x
c) Tính
2
4 cos
d sin
x
I x
x
d) Tính cot d
1 cos2
x
I x
x
e) Tính
4
6 cos
d sin
x
I x
x
(97)
f) Tính d4 sin
x I
x
g) Tính
2 cot
d cos
x
I x
x
h) Tính
4 cot
d cos
x
I x
x
i) Tính d 3 cos sin
x I
x x
j) Tính sin d 3
(sin cos )
x x I
x x
(98)
BT Tìm nguyên hàm hàm số sau (loại )
a) Tính sin 2 d
1 cos
x
I x
x
b) Tính sin 22 d
1 sin
x
I x
x
c) Tính sin 2 d
3 cos
x
I x
x
d) Tính I sin (1x sin2x) d x
e) Tính I esin2x sin d x x
(99)
f) Tính I ecos2x sin d x x
g) Tính sin 42 d
1 cos
x
I x
x
h) Tính
2
sin
d cos sin
x
I x
x x
i) Tính
2
sin cos
d cos sin
x x
I x
x x
(100)
BT 10 Tìm nguyên hàm hàm số sau (loại )
a) Tính sin cos d
sin cos
x x
I x
x x
b) Tính sin cos d
sin cos
x x
I x
x x
c) Tính cos2 d
sin cos
x
I x
x x
d) Tính cos 3 d (sin cos 4)
x
I x
x x
e) Tính sin cos d
3 sin
x x
I x
x
f) Tính sin cos d
sin cos
x x
I x
x x
(101)
g) Tính sin cos d sin 2(1 sin cos )
x x
I x
x x x
h) Tính cos d
2 sin cos x
I x
x x
i) Tính 4(sin cos ) cos d 2(sin cos 1) sin
x x x
I x
x x x
j) Tính cos d
(1 sin )cos
4
x
I x
x x
(102)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu Xét I x3(4x4 3) d x Bằng cách đặt u 4x4 3, hỏi khẳng định ?
A 5d
I u u B 5d 12
I u u C 5d
16
I u u D I u u5d
Câu Cho I x(1x2 10) d x Đặt u 1 x2, hỏi khẳng định sau ?
A I 2u10d u B I 2 u10d u C 10d
2
I u u D 10d
I u u
Câu Xét d ,
4 x I x x
cách đặt t 4x1, mệnh đề sau ?
A t
I t C
B
3
t
I t C
C t
I t C
D
3
t
I t C
Câu Tìm nguyên hàm hàm số y cos sin 2x x
A 1cos3
3 x C B
3
cos x C
C 1cos3
3 x C
D 1sin3
3 x C
Câu Biết ( )F x nguyên hàm f x( )sin cos3x x (0)F Tìm F
A
2
F
B
1
2
F
C
1
2
F
D F
Câu Cho ( )F x nguyên hàm hàm số ( ) ln
f x
x x
( )F e Tính F e( ).2
A 32 ln B 3ln C 1ln D 3ln
Câu Biết ( )F x nguyên hàm hàm số ( )f x cotx F
Tính F
A 1 ln
2
B 1ln C 1 ln
2
D 1ln
Câu Tìm nguyên hàm hàm số
10 12 ( 2) ( ) ( 1) x f x x A 11 11 x C x B 11 x C x C 11 11 x C x
D
11 33 x C x
Câu Tìm hàm số ( ),f x biết ( ) cos 2 (2 sin )
x f x
x
(103)A ( ) sin 2
(2 sin ) x
f x C
x B ( ) cos
f x C
x
C ( )
2 sin
f x C
x D sin ( ) sin x
f x C
x
Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số
3 ( ) ( 1) x f x x x
A lnx2 C
x
B lnx2 C x
C lnx 12 C x
D lnx 12 C x
Câu 11 Tìm nguyên hàm hàm số
2 ( ) ( 1) x f x x x
A lnx 12 C x
B lnx C x
C lnx C
x
D lnx2 C x
Câu 12 Biết ( )F x nguyên hàm hàm số ( ) 2
x f x
x
(0)F 1 Tính (1).F
A ln 2 1 B 1ln
2 C D ln 2 2 Câu 13 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x 1x2
A 1 2
2x x C B
2
1
( )
3 x x C
C 1( 3)
3 x C D
2
1
1
3x x C
Câu 14 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos5xsin x
A 1cos6
6 x C
B 1sin6
6 x C
C 1cos6
6 x C D
4
cos
4 x C
Câu 15 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )2 (x x2 1)4 thỏa mãn (1)F 6
A
2( 1)5 2
( )
5
x x
F x B
2
( 1)
( )
5
x
F x
C
2( 1)5 2
( )
5
x x
F x D
2
( 1)
( )
4
x
F x
Câu 16 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )x x( 1) d9 x thỏa mãn (0) 21 20
F
A ( ) ( 1)10 20
F x x B ( ) ( 1)10
20
F x x
C F x( )2(x2 1)101 D F x( )(x2 1)10 2 Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x(3x)5
A (3 )6
6
x
x C
B
6
(3 )
7
x
x C
(104)C (3 )6
7
x
x C
D
6
(3 )
7
x
x C
Câu 18 Biết F x( ) nguyên hàm f x( ) lnx ln2x x
thỏa (1)
F Tính F e( ) 2
A ( )2 F e
B
2
( ) F e
C
2
( ) F e
D
2
( ) F e
Câu 19 Gọi ( )F x nguyên hàm hàm số
2
( )
x f x
x
thoả (2)F 0 Tìm tổng nghiệm phương trình ( )F x x.
A 1 B C D 1
Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )e3 cosx.sin x
A 1 cos cos
3
x
e x C B cos
3
x
e C
C 3e3 cosx C
D 3e3 cosxcosx C
Câu 21 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cosx s inx1
A 2 (sin 1)3
3 x C B
3
(sin 1)
3 x C
C 2 s in
3 x C D
3
(s in 1)
3 x C
Câu 22 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )(x21)ex33x, biết đồ thị hàm số ( )
F x có điểm cực tiểu nằm trục hoành
A F x( )ex33x e2. B
3 3 2
2
1 ( )
3 x x
e F x
e
C
3 3 2
( )
3
x x
e e
F x
D
3 3
1 ( )
3
x x
e F x
Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sin2xcos 3x
A 1sin3 1sin5
3 x5 x C B
5
1
sin sin
5 x 3 x C
C sin3x sin5x C D 1sin3 1sin5
3 x 5 x C
Câu 24 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( ) cos x esinx
A F x( )esinx B F x( )ecosx C F x( )esinx D F x( )ecosx Câu 25 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )sin cos 22 x x thỏa
2 F
A ( ) 1sin 23 sin
6 10
F x x x B ( ) 1sin 23 sin
6 10
F x x x
C ( ) 1sin 23 sin 25
6 10 15
F x x x D ( ) 1sin 23 sin 25
6 10 15
(105)Câu 26 Phát biểu sau phát biểu đúng ?
A
6
5 sin
cos sin d
6
x x x x C
B
6
5 cos
cos sin d
6
x x x x C
C
6
5 cos
cos sin d
6
x x x x C
D
6
5 sin
cos sin d
6
x x x x C
Câu 27 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos20 sin
x f x
x
A 119
19 sin x C
B 119
19 sin x C C 19
1
19 cos x C
D 119
19 cos x C
Câu 28 Hàm số f x( )sin5x có nguyên hàm ( )F x thỏa F
Tính ( ).F
A ( ) 15 16
F B ( ) 15
F C ( ) 16
15
F D ( ) 15
F
Câu 29 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )cos5x thỏa
2 15
F
A ( ) sin 2sin3 1sin5
3
F x x x x B ( ) cos 2cos3 1cos5
3
F x x x x
C ( ) sin 2sin3 1sin5
3
F x x x x D ( ) cos 2cos3 1cos
3
F x x x x
Câu 30 Tìm nguyên hàm hàm số
5 cos ( ) sin x f x x A sin cos cos x x
x C B
3
sin cos
sin
3
x x
x C
C sin cos sin x x
x C D
3
sin cos
sin
9
x x
x C
Câu 31 Hàm số
3 sin ( ) cos x f x x
có nguyên hàm ( )F x thỏa
3
3
F
Tính F
A
3
F
B F
C
3
3
F
D F
Câu 32 Hỏi hàm số F x( )ln sinx 3 cosx nguyên hàm hàm số hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D ?
A ( ) cos sin
sin cos
x x
f x
x x
B ( )f x cosx 3 sin x
C ( ) cos sin
sin cos
x x f x x x D
sin cos
( )
cos sin
x x f x x x
Câu 33 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) sin cos
sin cos x x f x x x
thỏa
1 ln
4
F
(106)C ( )F x 2ln sinx cos x D ( )F x ln sinx cosx
Câu 34 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )tan (tan3x 2x1) thỏa
4
F
A ( ) tan4
4
F x x B
4 tan
( )
4
x
F x
C ( ) tan4
F x x D
4 tan
( )
4
x F x
Câu 35 Hàm số ( ) sin
f x
x
có nguyên hàm ( )F x thỏa F
Tính
2 F e A 3 F e B F e C 3 F e D F e
Câu 36 Hàm số ( )f x cotx có nguyên hàm ( )F x thỏa F
Tính
4 F e
A
2 F e
B
F e
C
2 F e
D
F e
Câu 37 Hàm số ( )f x tanx có nguyên hàm ( )F x thỏa ln
F
Tính
4 F e
A ln
F e
B F e
C
F e
D 2
F e
Câu 38 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )xex21 A 1
2
x
e C B
x
e C
C 1
2
x
e C
D 1
x
e C
Câu 39 Hàm số f x( )xex2 có nguyên hàm ( )F x thỏa (0)
F Tìm nghiệm phương trình ( )F x ex2
A x hoặc1 x 2 B x 0 x 2 C x 1 x 0 D x 0 x 2
Câu 40 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
2 x x e f x e
thỏa (0)F ln
A F x( )ln(ex 2)ln B F x( ) ln(ex 2) ln 3. C F x( )ln(ex 2)2 ln D F x( )ln(ex 2) ln 3.
Câu 41 Tìm nguyên hàm hàm số ( )
x x
f x
e e
A 1ln
2 x x e C e
B
1 ln x x e C e
C 1ln
x
e
C
D 1ln
x
e
C
(107)Câu 42 Hàm số F x( )ex2 nguyên hàm hàm số liệt kê ? A f x( )2 x ex2 B f x( )e2x C
2 ( ) x e f x x
D f x( )x e2 .x2
Câu 43 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ln x f x x A ln x C B ln x C C ln x C
x D
2x C
Câu 44 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ln
ln x
f x x
x x
A ln2x x2 C B
2 ln x x C C 2 ln x x C
D
2
ln ln
2 ln
x
x x C
x
Câu 45 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) lnx
x
A ln2x C B 1ln
2 x C C
2
ln
2 x C D
1
C x
Câu 46 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x3 x1
A ( )d 2( 1)4 5( 1)3 6( 1)2 2( 1)
9
f x x x x x x x C
B ( )d 2( 1)4 6( 1)3 6( 1)2 2( 1)
9
f x x x x x x x C
C ( )d 2( 1)4 6( 1)3 6( 1)2 2( 1)
9 7
f x x x x x x x C
D ( )d 2( 1)4 6( 1)3 6( 1)2 1( 1)
9
f x x x x x x x C
Câu 47 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
2 ( ) x f x x x
A ( ) 2( 1)
3
F x x x x B ( ) 2( 1)
3
F x x x x
C ( ) 2( 1)
3
F x x x x D ( ) 2( 1)
3
F x x x x
Câu 48 Hàm số
2
ln ln
( ) x x
f x
x
có nguyên hàm ( )F x thỏa (1)
F Tìm F e2( )
A 2( )
F e B 2( )
F e C 2( )
9
F e D 2( )
(108)Câu 49 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) x x e f x e
thỏa F(0) 27
A F x( )2 ex 3 B F x( ) ex 3
C F x( )2 ex 3 D F x( ) ex 3 Câu 50 Hàm số
3 ( ) x f x x
có nguyên hàm ( )F x thỏa
1 ( 1)
3
F Tính (1).F
A (1)F 2 B (1)
3
F C (1)
F D (1)
5
F
Câu 51 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
2 x f x
x
thỏa mãn
2 (3)
3
F
A ( ) ( 2)3 4
3
F x x x B ( ) ( 2)3 4
F x x x
C ( ) ( 2)3 4
F x x x D ( ) ( 2)3 2
F x x x Câu 52 Phát biểu sau phát biểu ?
A 4
d ( 1)
8
x
x x C
x
B
3
4
3
3 1d ( 1)
x
x x C
x
C 4 3
d ( 1)
4
x
x x C
x
D 4 3
d ( 1)
8
x
x x C
x
Câu 53 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )x 4x7
A
5
2
1 2
( )d 7
20
f x x x x C
B
5
2
1 2
( )d 7
18
f x x x x C
C
5
2
1 2
( )d 7
14
f x x x x C
D
5
2
1 2
( )d 7
16
f x x x x C
Câu 54 Hàm số ( )
1 f x
x
có nguyên hàm ( )F x thỏa (0)F 2 ln Tính (1).F
A (1)F 2 ln B (1)F 2 ln C F(1)2 D (1)F 0
Câu 55 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( )
2 f x
x
thỏa (1)F 2 ln
A 2x 1 ln( 2x 1 4) B 2x 1 ln( 2x 1 4)
C 1 7ln( 4)
2
x x D 1 7ln( 4)
2
(109)Câu 56 Hàm số ( ) x f x x
có nguyên hàm ( )F x thỏa
2 (0)
3
F Tính (1).F
A (1)
2
F B (1)
2
F C (1) 2
F D (1)
3
F
Câu 57 Một nguyên hàm ( )F x hàm số
2 ( ) x f x x
thỏa (0)F 1 Tính log2 F( 1)
A
2 log ( 1)
2 F
B
1
log ( 1)
2
F
C log2F( 1) 2. D log2F( 1) 2 Câu 58 Tìm hàm số ( ),f x biết f x( )x 1x2 ( 1)f 3
A
2
( )
( )
3 x
f x B
2
( )
2
x f x
C
2 2
( )
( )
2
x x
f x D
2
( )
( )
3 x
f x
Câu 59 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số
2 ( ) x f x x x
thỏa mãn (1)F 2017
A F x( ) x2 2x 5 2017 B F x( )2 x2 2x 5 2017
C
2
2
( ) 2016
2
x x
F x D
2
2
( ) 2016
2 x F x x x
Câu 60 Hàm số ( ) 2
x f x
x
có nguyên hàm ( )F x thỏa
3
(1) ln
2
F Tính eF 7
A eF 7 3 B eF 7 9 C eF 7 27 D eF 7 81 Câu 61 Tìm nguyên hàm hàm số f( )x x(1x)2015
A
2017 2016
(1 ) (1 )
2017 2016 x x C B 2017 2016
(1 ) (1 )
2017 2016 x x C C 2017 2016
(1 ) (1 )
2017 2016
x x
C
D
2017 2016
(1 ) (1 )
2017 2016
x x
C
Câu 62 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x x( 1)2016
A 2017 ( 1) 4034 x C
B
2 2016 ( 1) 4032 x C C 2016 ( 1) 2016 x C D 2017 ( 1) 2017 x C
(110)A (cos 1) d x
f x x C
B
4 sin d
4
x f x x C
C
4
(sin 1)
d
4
x
f x x C
D f x x d 4(sinx 1)3 C
Câu 64 Tìm nguyên hàm hàm số
3 2 ( ) x x f x x x
A x4 x2 1 x C B x4x2 1 x C
C x4 x2 1 C D
4
1
C
x x
Câu 65 Tìm nguyên hàm hàm số
5
( )
18 x
f x x A 18 x C
B
6
6
18 x C C 1 18 x C
D
6 1 18 x C
Câu 66 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )esinx cos x
A esinx C B cos x esinx C C ecosx C D esinx C
Câu 67 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) lnx ln2x
x A (ln 1) x C
B
2 (ln 1) x C C
2
(ln 1) (ln 1) x x C D (ln 1) x C
Câu 68 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ln
f x
x x x
A ln lnx 1 C B ln lnx 1 C
C ln lnx 1 C B ln lnx 1 C
Câu 69 Tìm nguyên hàm hàm số
2 ( ) x f x x
A 1 2
3 x C B
2
3
3
C x C 1 2 x C D
2
2
x
C
Câu 70 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cot2 sin
x f x
x
(111)A cot x C
B
2 cot x C C tan x C
D
2 tan x C
Câu 71 Tìm nguyên hàm hàm số
5 ( ) x f x x
A 2( 3)
9 x x C
B 1( 3) 2
3 x 3 x C
C 2( 3)
9 x 3 x C D
3 3
1
( )
3 x x C
Câu 72 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin cos
5 sin cos
x x f x x x
A 17 ln sin cos
26x 78 x x C
B 17 ln sin cos
26x 78 x x C
C 17 ln sin cos
26x 78 x x C D
17
ln sin cos
26x 78 x x C
Câu 73 Biết ( )F x nguyên hàm ( ) sin
1 cos
x f x
x
F 2
Tính (0).F
A 1ln 2
B 2ln 2
3
C 2ln 2
3
D 1ln 2
3
Câu 74 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x x( 7) 15
A 16 ( 7) x C B 16 ( 7) 32 x
C C
2 16 ( 7) 16 x C D 16 ( 7) 32 x C
Câu 75 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 12 cos2
x x
A 1sin2
2 x C
B 1cos2
2 x C
C 1sin2
2 x C D
1
cos
2 x C
Câu 76 Cho ( )F x nguyên hàm hàm số ( )
x
f x e
thỏa mãn
1
(0) ln
3
F Tìm tập nghiệm S phương trình 3 ( )F x ln(ex 3)2
A S {2} B S { 2;2} C S {1;2} D S { 2;1}
Câu 77 Giả sử (1 )2017d (1 ) (1 ) ,
a b
x x
x x x C
a b
với , a b số nguyên dương Tính 2a b
A 2a b 2017 B 2a b 2018. C 2a b 2019 D 2a b 2020
Câu 78 Cho cos d , sin d
sin cos sin cos
x x
I x J x
x x x x
Tìm T 4J 2 I
(112)C T 3x ln sinx cosx C D T 2xln sinx cosx C
Câu 79 Tìm nguyên hàm hàm số
2
( )
1 x
x
e f x
e
A ex ln(ex 1) C B ex ln(ex 1) C C ln(ex 1) C D e2x ex C
Câu 80 Tìm nguyên hàm hàm số ( )
1 f x
x
A 2 x 2 ln(1 x)C B 2 x 2 ln(1 x)C
C ln(1 x)C. D 22 ln(1 x)C
Câu 81 Tìm nguyên hàm hàm số ( )
1 x f x
x
A 3( 4)
4 x x C B
2
( 4)
3 x x C
C
2( 1)
x
C
x x D
1
1
1
x C
x
Câu 82 Tìm nguyên hàm hàm số ( )
1 x f x
x
A 1
1
x C
x
B
2
(2 1)
3 x x C
C 2(2 1)
3 x x C
D 2(2 1)
3 x x C
Câu 83 Tìm nguyên hàm hàm số
2
( )
3
x f x
x
A 2
3 x C
B 1 2
6 x C
C 2 2
3 x C D
2
3
3 x C
Câu 84 Tìm nguyên hàm hàm số
3
2
( )
x f x
x
A 1( 8)
3 x x C
B 1( 8)
3 x x C
C
3 x C
D 2( 8)
3 x x C
2
( ) sin cos
(113)A 1sin3
3 x C B
3
sin x C C 1sin3
3 x C
D sin3x C
Câu 86 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos2xsin x
A cos3x C B 1cos3
3 x C
C 1cos3
3 x C D
3
cos x C
Câu 87 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) sin 3x
A 3 sin cos2x x C. B co s
cos
6
x
x C
C
3 co s
cos
3
x
x C
D
3 co s
cos
3
x
x C
Câu 88 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )cos 3x
A
3 sin
sin
3
x
x C B
3 sin
sin
3
x x C
C
3 sin
sin
3
x
x C
D 3 sin cos2x x C
Câu 89 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )sin4xcos x
A 1sin5
5 x C
B sin5x C C 1sin5
5 x C D
5
sin x C
Câu 90 Tìm nguyên hàm hàm số
tan
2 ( )
cos
x
e f x
x
A etanx C
B etanx C
C tan x etanx C
D etanx C
Câu 91 Tìm nguyên hàm hàm số
2
1 ( )
cos f x
x x
A tan2 x C B 2 tan x C C 1tan
2 x C D tan x C
Câu 92 Tìm nguyên hàm hàm số
2
3
3 ( )
1 x f x
x
A
4
4
x
C
x x B
3
4
x
C
x x C
3
ln(x 1) C D lnx3 1 C
Câu 93 Tìm nguyên hàm hàm số
2
3
6 12 ( )
3
x x
f x
x x
A lnx33x2 6 C B 1ln 3
2 x x C
(114)Câu 94 Tìm nguyên hàm hàm số
3
4
4
( )
3
x x
f x
x x
A lnx4 x2 3 C B 2 ln x4 x2 3 C
C 1ln
2 x x C D
4
2 ln(x x 3) C
Câu 95 Tìm nguyên hàm hàm số
2
3
1 ( )
3 x
f x
x x
A lnx3 3x 1 C B lnx3 3x 1 C
C 1ln( 3 1)
3 x x C D
3
ln
3 x x C
Câu 96 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )x x2( 1)
A ( 1)6
18 x C B
3
1
( 1)
9 x C C
3
18(x 1) C. D (x3 1)6 C
Câu 97 Một nguyên hàm ( )F x hàm số f x( )x x1 thỏa (0)F 2 Tính (3).F
A 886
105 B
116
15 C
146
15 D
105 886
Câu 98 Tìm nguyên hàm ( )F x hàm số ( ) sin 22
sin
x f x
x
thỏa mãn (0)F 0
A
2
ln sin
x
B
2 sin ln
3
x
C ln 1sin2x D ln cos2x
Câu 99 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) sin cos
f x
x x
A ln sin 1ln sin2
2
x x C B ln sin 1ln sin2
2
x x C
C 1ln sin 1ln sin2
2 x 2 x C D
2
ln sin ln sin
2
x x C
Câu 100 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )(tanx e2 sinx)cos x
A cosx e2 sinx C
B cos sin
2
x
x e C
C cos sin
2
x
x e C D cos sin
2
x
x e C
(115)BẢNG ĐÁP ÁN NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ
1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.A
11.C 12.B 13.C 14.A 15.B 16.B 17.C 18.B 19.D 20.B
21.A 22.B 23.A 24.A 25.D 26.C 27.A 28.C 29.A 30.C
31.D 32.A 33.B 34.B 35.C 36.A 37.B 38.C 39.A 40.D
41.B 42.A 43.A 44.B 45.C 46.B 47.A 48.C 49.C 50.B
51.A 52.D 53.D 54.C 55.B 56.C 57.B 58.A 59.C 60.B
61.B 62.A 63.C 64.B 65.A 66.A 67.A 68.A 69.A 70.A
71.C 72.A 73.B 74.D 75.A 76.A 77.D 78.A 79.A 80.A
81.B 82.C 83.D 84.A 85.A 86.B 87.C 88.B 89.C 90.A
(116)§ TÍCH PHÂN
Khái niệm tích phân
— Cho hàm số f x( ) liên tục K a b, K Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm ( )
f x K F b( )F a( ) gọi tích phân f x( ) từ a đến b kí hiệu
( )d b
a
f x x
Khi ( )d ( ) ( ) ( ), b
b
a a
I f x x F x F b F a (a cận dưới, b cận trên)
— Đối với biến số lấy tích phân, chọn chữ khác thay cho x, nghĩa
( )d ( )d ( ) ( )
b b
a a
I f x x f t t F b F a (không phụ thuộc biến mà phụ thuộc cận)
Tính chất tích phân
( )d ( )d
b a
a b
f x x f x x
( )d
a
a
f x x
( )d ( )d ,
b b
a a
kf x x k f x x
với k
( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
( )d ( ) , ( )d ( ) , ( )d ( ) ,
b b b b b
b
a a a
a a a
f x x f x f x x f x fx x f x
Dạng tốn Tích phân & tính chất tích phân
Nhóm Tích phân bản
BT Tính tích phân sau:
a) Tính
3
3
2
1
(3x 4x 5)dx (x 2x 5 )x 14 4 20
b) Tính
3
3
2
(4x 3x 10)dx
c) Tính
4
1
(x 3 x x)d
d) Tính
2
2
0
( 1) d
x x x
e) Tính
1
3
d (1 )
x
x
(117)f) Tính
4
2
1 d
x x
x
g) Tính
3
2
3 dx
x x
h) Tính
1
0
d x
e x
i) Tính
2018
0
7 dx
x
j) Tính
6
0
d x
x
k) Tính
3
1
d 3x
x
l) Tính
1
5
0
(2x 1) dx
m) Tính
3
10
1
(13 ) dx x
n) Tính
2
2
d (4 1)
x
x
o) Tính
4
2
4 d (1 ) x x
p) Tìm số thực m thỏa mãn
1
d
m x
e x e
q) Tìm số thực m thỏa mãn
0
(2 5)d m
x x
r) Tìm số thực m thỏa mãn
5
2
2
(5 )d 549
m x x
(118)
s) Tìm số thực m thỏa mãn
2
4 122
(3 ) d
5 m
x x
t) Tìm số thực m thỏa mãn
0
(3 12 11)d m
x x x
u) Tìm số thực m thỏa mãn
2
2
1
(4 ) d d
m m x x x x x
BT Tính tích phân sau:
a) Tính
2
3
sin dx x
b) Biết
0
1 sin cos d
4 a
x x x
Tìm a.
c) Có số nguyên m (0;2018) thỏa
0
cos d m
x x
d) Tính
2
3
2
cos d
3
x x
e) Biết
4
0
2 sin d
2
I x x a b
với a b , Tính giá trị P ab b a
(119)f) Tính
3
2
4 d cos
x x
g) Biết
4
2
6
1 sin
d
2 sin
x a b c
x x
với a b c , , Tính P a2 b3 abc.
h) Tính
4
2
6
d
3
cos sin
x
a b x x
với a b , Tính giá trị P ab a b
i) Tính
4
6
tan x xd
j) Tính
3
4
cot x xd
k) Tính
2
6
sin x xd
l) Tính
3
4
cos x xd
m) Biết
4
0
2 sin sin d ;
10 b
x x x a
với a b, số nguyên Tính a b
(120)
n) Tính
4
0
sin sin dx x x
o) Tính
6
0
sin cos dx x x
p) Tính
4
0
sin cos2 dx x x
q) Tính
6
0
cos cos dx x x
r) Tính
6
0
cos cos dx x x
s) Tính
4
0
sin x xd
(121)
BT Tính tích phân sau:
a) Biết
2
1
1 2x 1dx a
b
với a Tính ab3
b) Biết
3
1
8 d
3
a b
x x
với a b, số nguyên dương Tính P ab a b
c) Biết
3
3 3
0
5 5d
4
x x a b
với a b, số nguyên Tính P a b a b
d) Tính
3
1
1 dx x
e) Biết
6
2
2d
x
a b
x
với a b, số nguyên dương P ab a b
f) Tính
5
2
d
x x
g) Tính
7
2
4d
1
x
x x
h) Tính
5
3
4 d
5
x x
x x
(122)
i) Tính
5
1
5 d
8
x x
x x
j) Biết
2
1
d
( 1)
x
a b c
x x x x
với , , a b c Tính P a b c
k) Tính
6
1
d
( 3)
x
x x x x
l) Tính
3
2
d
( 2) ( 1)
x
x x x x
(123)
Nhóm Tích phân hàm số hữu tỷ
BT Tính tích phân sau:
a) Biết
2
0
d
ln
x
b x a
với b 0 Tính S a2 b.
b) Biết
1
0
2
d ln 2
x
x a b
x
với a b , Tính P a 2b2a2 b
c) Biết
1
0
2
d ln
1 x
x a b
x
với a b , Tính P ab a b
d) Biết
2 2
0
d ln
1 x
x a b
x
với a b , Tính S 2a b 2 b
e) Biết
1
0
d ln ln 2,
2
x a
x b c
x
với a b c Q, , Tính S 2a4b23 c3
f) Biết
0 2
1
3
d ln ,
2
x x
x a b
x
với a b , Tính giá trị S a b
(124)
g) Biết
5
3
1
d ln
1
x x b
x a
x
với a b, số nguyên Tính S a b
h) Tính
1
2
d ( 1)
x x
x
i) Tính
1
3
d ( 2)
x x
x
j) Biết
1
2
3
d ln 6
x a
x
b
x x
với , a b a
b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P 2a 2b ab.
k) Biết
1
0
1
d ln ln
1 x a b
x x
với a b , Tính S a b ab2.
l) Biết
5
2
d
ln ln ln x
a b c
x x
với a b c Q, , Tính S 2a b 3 c2
m) Biết
5
2
3
d ln ln
3 x a b
x x
với a b c , , Tính S a b ab
(125)
n) Biết
2
1
d
ln ln ln ( 1)(2 1)
x x
a b c
x x
với a b c , , Tính S a b c
o) Biết
1
2
d
ln ln
x
a b
x x
với a b , Tính S a b
p) Biết
3
2
d
ln ln ln
2
x
a b c
x x
với a b c , , Tính 2a b 2 2 c
q) Biết
1
2
5
d ln ln 3
x
x a b
x x
với a b , Tính 2a 3 ab
r) Biết
2
2
1
d ln ln
4
x
x a b
x x
với a b , Tính P ab3a a.
s) Biết
2
2
1
d ln
2 ( 1)
a x
b
x x
với , a b a
b phân số tối giản Tính 2
b
a
(126)
Nhoùm Tính chất tích phân
BT Bài tốn sử dụng tính chất ( )d ( )d ( )d ,
b c b
a a c
f x x f x x f x x
( )d ( )d
b a
a b
f x x f x x
a) Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [0;10] thỏa mãn
10
0
( )d f x x
6
2
( )d f x x
Tính
2 10
0
( )d ( )d P f x x f x x
Lời giải tham khảo
Ta có:
10 10
0
7 f x x( )d f x x( )d f x x( )d f x x( )d
2 10 10
0 6
7 f x x( )d f x x( )d P f x x( )d f x x( )d
b) Cho ( )d b
a
f x x
( )d
b
c
f x x
với a b c Tính ( )d c
a
I f x x
c) Cho hàm yf x( ) liên tục thỏa mãn
3
1
( )d 2017, ( )d 2018
f x x f x x
Tính
4
1
( )d f x x
d) Cho hàm số ( )f x xác định liên tục thỏa
5
2
( )d f x x
7
5
( )d f x x
Tính
7
2
( )d f x x
e) Biết ( )f x hàm số liên tục thỏa mãn
6
0
( )d 4, ( )d f x x f t t
Hãy
tính
2
0
( ) d
f v v
f) Cho
4
( )d 10 f x x
4
( )d g x x
Tính tích phân
4
(127)
g) Cho
5
1
( )d 5, f x x
5
4
( )d f t t
4
1
1 ( )d
3 g u u
Tính
4
1
( ) ( ) d
I f x g x x
h) Cho tích phân
4
0
( )d
f x x a
Tính tích phân
4
2
( ) cos d cos
f x x
I x
x
theo a.
i) Biết
2
0
( )d f x x
Tính
2
0
( ) sin d
f x x x
j) Cho
2
1
( )d f x x
2
1
( ) d g x x
Tính tích phân
2
1
2 ( ) ( ) d
I x f x g x x
k) Cho
4
1
( ) d 10 f x x
6
4
( )d f x x
Tính
1
6
( )d f x x
l) Cho
6
3
( )d f x x
Tính
6
3
( ) d
x f x x
m) Cho
2
0
( )d f x x
2
0
( ) d
x a
e f x x e b
Tìm a b
(128)BT Bài tốn sử dụng tính chất ( )d ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ,
b b
b b
a a
a a
f x x f x f b f a f x dx f x
a) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn [1;2], (1)f 1 f(2) 2. Tính
2
1
( )d f x x
Lời giải tham khảo
Sử dụng tính chất định nghĩa có
2
2
1
( )d ( ) (2) (1) 1 f x x f x f f
b) Cho hàm ( )f x có đạo hàm liên tục [1;4], (1)f
4
1
( )d f x x
Tính (4).f
c) Cho ( )f x có đạo hàm liên tục đoạn [1; 3], (3)f
3
1
( )d f x x
Tính (1).f
d) Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm cấp hai đoạn [1;3], (1)f 1 f(3)m Tìm m để
3
1 f x x( )d 5
e) Biết f(1)12, ( )f x hàm số liên tục [1;4]
1 f x x( )d 17
Tính f(4)
f) Cho hàm ( )f x có đạo hàm [ 3;5], f ( 3) f(5)9 Tính
34 ( )d f x x
g) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp [ 3;2], f ( 3) 4 f (2)6. Tính giá trị tích phân
2
3f ( )dx x
(129)BT Tính tích phân phương pháp đổi biến hàm ẩn:
a) Cho ( )f x liên tục
1
0
( )d 2017 f x x
Tính
4
0
(sin ) cos d
I f x x x
Lời giải tham khảo
Đặt sin d cos d cos d 1d
t x t x x x x t Đổi cận:
0
1
x t
x t
Khi
1
0
1 2017
( )d ( )d
2 2
I f t t f x x
Cần nhớ: Đổi biến phải đổi cận
b) Cho
4
0
( )d 16 f x x
Tính tích phân
2
0
(2 )d
I f x x
c) Cho hàm số ( )f x thỏa mãn
2017
0
( )d f x x
Tính tích phân
1
0
(2017 )d
f x x
d) Cho
4
0
( )d f x x
Tính
1
0
(4 )d
I f x x
e) Biết
3
1
(3 1)d 20
f x x
Tính
5
2
( )d
I f x x
f) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục khoảng 1; 2 thỏa mãn
2
1 f x x( )d 10
và
2
1 ( )
d ln
( )
f x x f x
Biết hàm số ( )f x 0, x 1;2 Tính f(2).
(130)
g) Cho hàm ( )f x có đạo hàm 1;2 , (2) f 2 (4)f 2018 Tính
2
1
(2 )d I f x x
h) Cho hàm số ( )f x liên tục có
2
0
( )d f x x
Tính
4
0
(2 ) sin d
I f x x x
i) Cho tích phân
2
1
( )d f x x a
Hãy tính tích phân
1
2
0
( 1)d
I x f x x theo a.
j) Cho ( )f x liên tục thỏa
9
1
( )
d
f x x
x
2
0
(sin ).cos d
f x x x
Tính tích
phân
3
0
( )d
I f x x
k) Cho hàm số ( )f x liên tục có
4
0
(tan )d
f x x
1
2
( )
d
x f x x
x
Tính
tích phân
1
0
( )d
I f x x
(131)
l) Cho ( )f x hàm liên tục a Giả sử với x [0; ],a ta có ( )f x 0 ( ) ( )
f x f ax Tính
0
d ( ) a
x I
f x
BT Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần hàm ẩn:
a) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm 1;2 thỏa (1)f 0, (2)f
2
1
( )d f x x
Tính
2
1
( )d I x f x x
Lời giải tham khảo
Chọn
2
1
d d
( ) ( )d (2) (1)
d ( )d ( )
u x u x
I xf x f x x f f
v f x x v f x
Lưu ý: Tùy vào toán mà ta cần chọn u dv cho d b
a
v u
đơn giản
b) Cho hàm số ( )f x có nguyên hàm ( )F x [1;2], (2)F
2
1
( )d F x x
Tính
2
1
( 1) ( )d
I x f x x
c) Cho hàm ( )f x liên tục
2
0
(2) 16, ( )d
f f x x Tính
1
0
(2 )d I x f x x
(132)
d) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa mãn
2
0
( )d f x x
(2)
f Tính tích phân
4
0
( )d
I f x x
e) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [1;2] thỏa
2
1
( ).ln ( ) d f x f x x
(1) 1, (2)
f f Tính f(2)
f) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa
1
0
( )
) 10
1 d
(x f x x
2 (1)f f(0)2 Tính tích phân
1
0
d ( )
I f x x
g) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện
1
0
( )d 12 x f x x
2 (1)f f (1) 2. Tính tích phân
1
0
d ( ) I f x x
h) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn
3 ( )
0
( )d f x
xe f x x
f(3) ln Tính
3 ( )
0
d f x
I e x
(133)
i) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa f(1)4,
1
0
223 ( )d
10
xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d
I x f x x
j) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa f(1) 0,
1
0
1 ( )d
3 x f x x
Tính
tích phân
1
0
( )d
I x f x x
k) Cho hàm f x( ) có đạo hàm liên tục [0; 3] thỏa f(3)2
3
0
5461 ( )d
120
x f x x
Tính tích phân
3
0
( )d
I x f x x
l) Cho hàm số f x( ) thỏa ( )d 4, ( ) 2, ( ) b
a
x f x x f a f b
với a b, số
thực dương f a( ) f b( ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
4
3
a b
P
b a
(134)
m) (Đề thi tham khảo Bộ GD & ĐT câu 50 năm 2018) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa f(1) 0,
1
2
0
( ) d
f x x
1 ( )d x f x x
Tính
1
0
( )d f x x
Cách giải Ta có:
2
0
1
( )d
3 x f x x Chọn
( ) d ( )d
1
d d
3
u f x u f x x v x x v x
Suy ra:
1 1
2 3
0
0 0
1 1
( )d ( ) ( )d ( )d
3 x f x x 3x f x 3 x f x x x f x x
1 1
2
3
0 0
7 x f x x( )d 7x f x x( )d f x( ) d x
1
2
0
( ) d
f x x
1 3 0
7x f x( )+ f x( ) dx f x( ) + ( ) dx f x x
3 3
7 + ( ) ( ) ( ) ( )d d
4
x f x f x x f x f x x x x x C
Vì
4
7 7
(1) 0 ( )
4 4
x
f C C f x
Vậy
1
1
0 0
7 7 7
( )d d
4 20
x x
f x x x x
Cách giải Ta có:
2
0
1
( )d
3 x f x x Chọn
( ) d ( )d
1
d d
3
u f x u f x x v x x v x
Suy ra:
1 1
2 3
0
0 0
1 1
( )d ( ) ( )d ( )d
3 x f x x 3x f x 3 x f x x x f x x
Ta lại có:
1 1 3 0
( ) d
2 ( )d 14 ( ) d
(7 ) d
f x x
x f x x f x x x
x x Mà
3 0
1
2
0
( ) d
( ) ( )
( ) d
f x x x
f x x f x x
f x x x
(135)Vì
4
7 7
(1) 0 ( )
4 4
x
f C C f x
Vậy
1
1 4 5
0 0
7 7 7
( )d d
4 20
x x
f x x x x
n) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa f(1)4,
1
2
0
( ) d 36
f x x
1
0
1 ( )d
5 xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d f x x
o) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;2] thỏa f(2)3,
2
2
0
( ) d
f x x
2
0
1 ( )d
3 x f x x
Tính tích phân
2
0
( )d f x x
(136)
p) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa f(1)4,
1
2
0
( ) d
f x x
1
0
1 ( )d
2 xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d f x x
q) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;2] thỏa f(2)6,
2
2
0
( ) d
f x x
2
0
17 ( )d
2 xf x x
Tính tích phân
2
0
( )d f x x
(137)
BT Cho hàm số f x( ) liên tục lẻ đoạn [a a; ] Chứng minh: ( )d a
a
I f x x
Chứng minh: Ta có
0
0
( )d ( )d ( )d
a a
a a
I f x x f x x f x x
Xét tích phân
0
( )d a
f x x
Đặt x t dx d t Đổi cận:
0
x a t a
x t
Do f x( ) hàm số lẻ liên tục [a a; ] nên f( x) f x( ) f( )t f t( )
0 0
0
( )d ( )d ( ) d ( )d ( )d ( )d
a a
a a a a
f x x f t t f t t f t t ff t t f x x
Vậy
0
( )d ( )d ( )d
a a a
a
I f x x f x x f x x
(đpcm)
a) Cho f x( ) hàm số lẻ thỏa mãn
0
2
( )d f x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
b) Tính tích phân
2017
2019
2017
2018d
I x x x
c) Tính tích phân
4
2018
4
sin d
I x x x
d) Biết
4
2
4
sin
d
4
x a b
x x x
với a b, số nguyên dương Tính T ab
(138)
BT 10 Cho hàm số f x( ) liên tục chẵn đoạn [a a; ] Chứng minh rằng:
0
0
( )d ( )d ( )d
a a
a a
f x x f x x f x x
0
( )
d ( )d ( )d
2
a a a
x
a a
f x
x f x x f x x b
Chứng minh:
0
0
( )d ( )d ( )d
a a
a a
I f x x f x x f x x
Ta có
0
0
( )d ( )d ( )d
a a
a a
I f x x f x x f x x A B
Xét
0
( )d a
A f x x
Đặt x t dx d t Đổi cận
0
x a t a
x t
Do f x( ) hàm số chẵn liên tục [a a; ] nên f( x) f x( ) f( )t f t( )
Khi đó:
0
0 0
( )d ( )d ( )d ( )d
a a a
a
A f t t f t t f x x f x x B
Suy
2 I AB nên
0
0
( )d ( )d ( )d
a a
a a
I f x x f x x f x x
(đpcm)
Chứng minh:
0
( )
d ( )d ( )d
2
a a a
x
a a
f x
I x f x x f x x
b
với 0 b a .
Đặt x t dx d t Đổi cận
0
x a t a
x t ( ) ( ) ( ) ( )
d d d d
1
1 1 1
a a a t a x
t t x
a a a a
t
f t f t b f t b f x
I t t t x
b b b
b
Cộng vế cho I 2 ( )d ( ) d ( 1) ( )d ( )d
1 1
a x a a x a
x x x
a a a a
b f x f x b f x
I x x x f x x
b b b
0
( )d ( )d ( )d
2
a a
a a
I f x x f x x f x x
(đpcm)
a) Cho hàm số f x( ) hàm chẵn liên tục , thỏa mãn
3
0
( )d I f x x
Tính
3
3
( )d
A f x x
Tính
1
(3 )d
(139)Tính
2
2
cos (3 sin )d
C x f x x
b) Cho f x( ) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [ 6;6]. Biết
2
1
( )d f x x
3
1
( )d f x x
Tính
6
1
( )d
I f x x
c) Cho f x( ) hàm số chẵn liên tục đoạn [ 1;1] thỏa mãn
1
1
( )d f x x
Tính
tích phân
1
1
( ) d 2x
f x
I x
d) Tính tích phân
3 2018
3
d x
x
I x
e
e) Tính tích phân
1
2
d
(2018x 1)( 4) x
I
x
f) Tính tích phân
4
4 cos
d
2017x
x
I x
g) Tính tích phân
4 6
4
sin cos
d
6x
x x
I x
(140)
BT 11 Cho hàm số f x( ) xác định liên tục đoạn [ ; ].a b Chứng minh rằng:
Nếu ( )d b
a
f x x k
( )d
b
a
f a b x x k
Nếu f a( b x) f x( ) ( )d b
a
f x x
Nếu f a( b x) f x( ) ( )d ( )d
b b
a a
a b
x f x x f x x
Hướng dẫn chứng minh
Chứng minh: Nếu ( )d
b
a
f x x k
( )d
b
a
f a b x x k
Đặt t a b x dt d x Đổi cận: x a t b x b t a
Suy ( )d ( )d ( )d
b a b
a b a
f a b x x f t t f x x k
(đpcm)
Chứng minh: Nếu f a( b x) f x( ) ( )d b
a
f x x
Đặt t a b x dt d x Đổi cận: x a t b x b t a Suy ( )d ( )d ( )d
b a b
a b a
f a b x x f t t f x x
Mà f a( b x) f x( ) nên ta có
( )d ( )d ( )d ( )d
b b b b
a a a a
f a b x x f x x f x x f x x
(đpcm)
Chứng minh: Nếu f a( b x) f x( ) ( )d ( )d
b b
a a
a b
x f x x f x x
Đặt t a b x dt d x Đổi cận: x a t b x b t a
Khi ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d
b a b
a b a
xf x x a b t f a b t t a b t f a b t t
( ) ( )
( ) ( )d ( ) ( )d ( )d
b f a b x f x b b
a a a
a b x f a b x x a b f x x xf x x
Suy ( )d ( ) ( )d ( )d ( )d
b b b b
a a a a
a b
x f x x ab f x x x f x x f x x
(đpcm)
a) Cho tích phân
2018
1
( )d f x x
f x( ) hàm số liên tục đoạn [1;2018]
Tính tích phân
2018
1
(2019 )d
I f x x
(141)b) Cho tích phân
2
1
( )d 10 f x x
f x( ) hàm số liên tục đoạn [ 1;2]. Tính
tích phân
2
1
(1 )d
I f x x
c) Cho f x( ) hàm số liên tục [ ; ]a b thỏa ( )d b
a
f x x
Tính ( )d
b
a
f a b x x
d) Biết
4
0
ln(1 tan )dx x alnc b
với a
b phân số tối giản c 0 Tính a 9b c
e) Biết
0
sin d
b
a
x x x
c
với a b c , , Tìm phần nguyên a 210b c
f) Biết
0
(sin )d
xf x x
Tính tích phân
0
(sin )d
I f x x
g) Biết
0
2 (sin )d
3
f x x
Tính tích phân
0
(sin )d
I xf x x
h) Chứng minh
2
0
sin d
4 sin cos
n
n n
x x
x x
với n .
(142)
i) Tính tích phân
0
d sin
x x x
BT 12 Cho hàm số f x( ) xác định liên tục thỏa mãn mf( x) nf x( )g x( )
( )d ( )d
a a
a a
f x x g x x
m n
Hệ quả: Nếu f x( ) liên tục [0;1] 2
(sin )d (sin )d
(cos )d (cos )d
x f x x f x x
x f x x f x x
a) Cho f x( ) liên tục thỏa f( x) 2017 ( )f x cos x Tính
2
2
( )d
I f x x
b) Cho f x( ) liên tục thỏa ( ) ( ) 2
f x f x
x
Tính
2
( )d
I f x x
c) Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn ( )f x f( x) 22 cos , x x Tính tích phân
3
( )d
I f x x
(143)
BT 13 Cho tích phân ( )d
a T
a
f x x k
với f x( ) hàm xác định, liên tục tuần hoàn với
chu kỳ T tích phân
0
( )d ( )d
T a T
a
f x x f x x k
Chứng minh: Ta có
0
0
( )d ( )d ( )d ( )d
a T T a T
a a T
I f x x f x x f x x f x x
Xét ( )d a T
T
J f x x
Đặt t x T Đổi cận x T t
x a T t a
Khi đó:
0 0
( )d ( )d ( )d ( )d
a T a a a
T
J f x x f t T t f t t f x x
0
0 0
( )d ( )d ( )d ( )d ( )d
a T T a T
a a
I f x x f x x f x x f x x f x x k
(đpcm)
Lưu ý: Hàm số f x( ) có chu kỳ T f x( T) f x( ) với T số dương nhỏ
a) Cho tích phân ( ) 2018 a
a
I f x dx
với f x( ) hàm xác định, liên tục
tuần hoàn với chu kỳ Tính tích phân
0
( )d
I f x x
b) Tính tích phân
5
4
sin d cos sin
x x I
x x
c) Tính tích phân
2017
0
1 cos d
I x x
(144)
Nhóm Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối
BT 14 Tính tích phân sau:
a) Tính tích phân
2
0
d
I x x x Ta có: x2 x x x 1
Bảng xét dấu x2x đoạn [0;2] :
x
2
x x
Suy ra:
1
1 3
2
0 1
( )d ( )d
3
x x x x
I x x x x x x
b) Tính tích phân
3
0
2 d
I x x x
c) Tính tích phân
4
0
4 d
I x x x
d) Tính tích phân
3
3
0
2 d
I x x x x
(145)
e) Tính tích phân
0
cosx sin d x x
f) Tính tích phân
2
0
1 cos d
I x x
g) Tính tích phân
3
2
6
tan cot 2d
I x x x
h) Tính tích phân
12 d
x x
I x
i) Tính tích phân
2
22 d
I x x x
(146)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Nhóm Sử dụng tính chất ( )d ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ,
b b
b b
a a
a a
f x x f x f b f a f x dx f x
Câu (Sở GD & ĐT Thành phố Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) Khi hiệu số F(1)F(2)
A
1
( )d f x x
B
2
1
( )d f x x
C
1
2
( )d F x x
D
2
1
( )d F x x
Câu (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn
[1;2], f(1)1 f(2) 2. Tính
2
1
( )d I f x x
A I 1 B I 1 C I D
2 I
Câu Cho f x( ) hàm số có đạo hàm liên tục có f(0)1 Tính
0
( )d x
I f t t
A I f x( )1 B I f x( 1) C I f x( ) D. I f x( ) 1.
Câu Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp [2; 4] thỏa mãn f (2)1 f (4)5. Tính tích phân
4
2
( )d I f x x
A I 4 B I 2 C I 3 D I 1
Câu Biết hàm số f x( ) có đạo hàm f x( ) liên tục , thỏa mãn (0)
f tích phân
0
( )d f x x
Tính f ( )
A ( )
2
f B f ( )2 C ( )
f D f ( )3
Câu Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f x( ) liên tục f(0) ,
2
0
( )d f x x
Tính f (2 )
A f (2 )6 B f (2 )7 C f (2 )5 D f (2 ) Câu Biết ( )f x hàm số có đạo hàm liên tục có (0) 1.f Tính
0
( )d x
I f t t
A I f x( ) 1 B I f x( 1) C I f x( ) D I f x( ) 1.
Câu Cho hàm số f x( ) lnx x2 1 Tính tích phân
1
0
( )d f x x
(147)A
0
( )d ln f x x
B
1
0
( )d ln f x x
C
0
( )d ln f x x
D
1
0
( )d ln f x x
Câu Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn [1; 3] thỏa mãn f(1)1 (3)f m Tìm giá trị tham số m để tích phân
3
1
( )d f x x
A m 6 B m 5 C m 4 D m 4
Câu 10 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn [ 2;4] thỏa mãn f ( 2) f(4)2 Tính tích phân
4
2
( )d
I f x x
A I 6 B I 6 C I 2 D I 2
Câu 11 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm đoạn [ 3;5] thỏa mãn f ( 3) f(5)9 Tính tích phân
5
3
4 ( )d
I f x x
A I 40 B I 32 C I 36 D I 44
Câu 12 Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục đoạn [1;4], thỏa f(1)1
4
1
( )d f x x
Tính giá trị (4).f
A f(4)2. B f(4)3. C (4)
f D f(4)4.
Câu 13 Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục đoạn [1;3], thỏa f(3)5
3
1
( )d f x x
Tính giá trị (1).f
A f(1) 1 B (1) 11
f C (1)f 11 D (1)f 10
Câu 14 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )f x đoạn [ ; ]a b ( ) 1F a 2 ( ).F b Tính tích phân ( )d
b
a
I f x x
A I 1 B I 1 C
2
I D
2 I
Câu 15 Cho hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số ( )f x đoạn [ 1;2]. Biết
2
1
( )d f x x
F ( 1) Tính F(2)
A F(2)2 B F(2) C F(2)3 D (2)
3
(148)Nhóm Sử dụng tính chất ( )d ( )d ( )d
b c b
a a c
f x x f x x f x x
( )d ( )d
b a
a b
f x x f x x
Câu 16 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 21) Cho tích phân
1
( )d f x x
( )d g x x
Tính
2
1
2 ( ) ( ) d
I x f x g x x
A
2
I B
2
I C 17
2
I D 11
2 I
Câu 17 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 104 câu 25) Cho
0
( )d f x x
Tính tích
phân
2
0
( ) sin d
I f x x x
A I 7 B
2
I C I D I 5
Câu 18 Cho
1
( )d f x x
3
1
( )d g x x
Tính
3
1
1008 ( ) ( ) d I f x g x x
A I 2017 B I 2016 C I 2019 D I 2018
Câu 19 Cho f x g x( ), ( ) hai hàm số liên tục Chọn mệnh đề sai ?
A ( )d ( )d
b b
a a
f x x f y y
B ( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
C ( )d
a
a
f x x
D ( ) ( ) d ( )d ( )d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
Câu 20 Cho
0 f x x( )d a
Tính tích phân
2
2
( )cos
d cos
f x x
I x
x
theo a.
A I a B I a C I a D I a
Câu 21 Biết ( )f x hàm số liên tục thỏa mãn
6
0
( )d 4, ( )d f x x f t t
Hãy tính
tích phân
2
0 ( ) d
I f v v
A I 1 B I 2 C I 4 D I 3
Câu 22 Cho
2
( )d 10 f x x
4
2
( )d g x x
Tính tích phân
4
2
3 ( ) g( ) d I f x x x
(149)Câu 23 Cho ( )d
b
a
f x x
( )d
b
c
f x x
với a b c Tính tích phân ( )d c
a
I f x x
A I 2 B I 5 C I 1 D I 1
Câu 24 Cho
1
( )d 5, f x x
5
4
( )d f t t
4
1
1 ( )d
3 g u u
Tính
4
1
( ) ( ) d
I f x g x x
A
3
I B 10
3
I C 22
3
I D 20
3 I
Câu 25 Cho tích phân
2
( )d 1, f x x
4
2
( )d f t t
Tính
4
2
( )d I f y y
A I 5 B I 3 C I 3 D I 5
Câu 26 Biết ( )f x hàm số liên tục có
0
( ) f x dx
Tính
4
0
(2 ) sin d
I f x x x
A 2
I B 2
I C
2
I D 2
I
Câu 27 Biết
0
( )d f x x
Tính tích phân
2
0
( ) sin d
I f x x x
A I 5 B
2
I C I 7 D I 3
Câu 28 Cho
1
( ) d 10 f x x
6
4
( )d f x x
Tính
1
6
( )d
I f x x
A I 10 B I 12 C I 2 D I 8
Câu 29 Cho
4
( )d f x x
Tính
2
4
( )d
I e f x x
A I 2e2 B I e3 2 C I e2 2 D I e3
Câu 30 Cho
1
( ) d 10 f x x
4
1
( )d g x x
Tính
4
1
3 ( ) ( ) d
I f x g x x
A I 6 B I 7 C I 10 D I 1 Câu 31 Cho
6
3
( )d f x x
Tính
6
3
( ) d I x f x x
A I 7 B I 56 C I 42 D I 18 Câu 32 Cho
2
0
( )d f x x
2
0
( ) d
x a
e f x x e b
với a b, số nguyên Khẳng định sau ?
(150)Câu 33 Cho hàm số ( )f x xác định liên tục [0; 4] thỏa
4
0
( )d f x x
3
0
( )d f x x
Tính tích phân
4
3
( )d I f x x
A I 8 B I 1 C I 2 D I 1
Câu 34 Cho hàm số ( )f x xác định liên tục có
2
( )d f x x
7
5
( )d f x x
Tính
7
2
( )d I f x x
A I 3 B I 6 C I 12 D I 6
Câu 35 Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [0;10] thỏa mãn
10
0
( )d f x x
6
2
( )d f x x
Tính
2 10
0
( )d ( )d P f x x f x x
A P 10 B P 4 C P 7 D P 4 Câu 36 Cho f x( ) liên tục
3
1
( )d 2016, ( )d 2017
f x x f x x
Tính
4
1
( )d I f x x
A I 4023 B I 1 C I 1 D I 0
Nhóm Tích phân đổi biến số với hàm ẩn
Câu 37 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 101 câu 25) Cho
0
( )d 12 f x x
Tính tích
phân
2
0
(3 )d I f x x
A I 6 B I 36 C I 2 D I 4
Câu 38 (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT 2017) Cho
0
( )d 16 f x x
Tính
2
0
(2 )d I f x x
A I 32 B I 8 C I 16 D I 4
Câu 39 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017)Cho tích phân
1
0
( )d f x x
Tính
tích phân
6
0
(sin ).cos d
I f x x x
(151)Câu 40 Cho
0
( )d 12 f x x
Tính
2
0
(3 ) d I f x x
A I 6 B I 36 C I 2 D I 4
Câu 41 Cho 10
5
( ) d f x x
Tính
2
1
(5 ) d I f x x
A
5
I B
5
I C
5
I D
5 I
Câu 42 Cho 10
4
( )d 10 f x x
Tính
5
2
(2 ) d I f x x
A I 10 B I 5 C I 2 D I 4
Câu 43 Cho 10
4
( )d 18 f x x
Tính
3
1
(3 1)d I f x x
A I 18 B I 6 C I 9 D I 15
Câu 44 Cho ( )f x liên tục thỏa mãn
9 ( ) d f x x x
2
0
(sin ).cos d
f x x x
Tính
tích phân
3
0
( )d I f x x
A I 2. B I 6. C I 4. D I 10.
Câu 45 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục khoảng 1; 2 thỏa mãn
2
1
( )d 10 f x x
2
1
( )
d ln ( ) f x x f x
Biết hàm số ( )f x 0, x 1;2 Tính f(2).
A f(2) 10. B f(2) 20. C f(2) 10. D f(2) 20.
Câu 46 Cho hàm số ( )f x thỏa mãn 2017
0
( )d f x x
Tính tích phân
1
0
(2017 )d
f x x
A
0
(2017 )d 2017
f x x
B
1
0
(2017 )d
f x x
C
0
(2017 )d
f x x
D 1 (2017 )d 2017
f x x
Câu 47 Cho ( )f x hàm số liên tục
1
0
( )d 2017 f x x
Tính
4
0
(sin )cos d
f x x x
A
2017
I B 2017
2
I C I 2017 D 2017
(152)Câu 48 Cho tích phân
1
( )d f x x a
Hãy tính tích phân
1
2
0
( 1)d
I x f x x theo a.
A I 2 a B I 4 a C a
I D
4 a I
Câu 49 Cho hàm số yf x( ) liên tục thỏa
1 (ln ) d e f x x e x
Mệnh đề ?
A
0
( )d f x x
B
1
0
( )d f x x e
C
0
( )d e
f x x
D
0
( )d e
f x x e
Câu 50 Biết ( )F x nguyên hàm hàm số
x
e y
x
(0; Tính )
2 d x e x x
A I 3F(2)F(1) B I F(6)F(3)
C (6) (3)
3
F F
I D I 3 (6)F F(3)
Câu 51 Cho hàm số f x( ) liên tục
4
2
( )d f x x
Mệnh đề sau sai ?
A
1
(2 )d f x x
B
3
3
( 1)d
f x x
C
(2 )d f x x D
( 2)d 2f x x
Câu 52 Cho ( )f x có đạo hàm đoạn 1;2 , (2) f 2 (4)f 2018 Tính
2
1
(2 )d I f x x
A I 1008. B I 2018. C I 1008. D I 2018.
Câu 53 Cho
0
( )d f x x
Tính tích phân
1
0
(4 )d I f x x
A I 8. B
I C I 4. D I 2.
Câu 54 Biết
1
(3 1)d 20
f x x
Hãy tính tích phân
5
2
( )d I f x x
A I 20. B I 40. C I 10. D I 60.
Câu 55 Biết 27
0
( )d 81 f x x
Tính
3
0
(9 )d I f x x
A I 3 B I 81 C I 27 D I 9
Câu 56 Cho hàm số f x( ) liên tục [ 1; )
3
0
( 1)d
f x x
Tính
2
1
( )d I xf x x
(153)Câu 57 Biết
0
( )d xf x x
Tính
4
0
(cos ).sin d
I f x x x
A I 2 B I 6 C I 8 D I 4
Câu 58 Biết
1
1 ( )d
2
xf x x
Tính
2
6
sin (sin )d
I x f x x
A I 2 B
3
I C
2
I D I 1
Câu 59 Biết
2
0
( ) d f x x x
Tính
4
0
( )d I f x x
A I 2 B I C
2
I D I 1
Câu 60 Biết
0
( )d f x x
Tính
1
1
2 d
I f x x
A I 3 B I 6 C
2
I D I 0
Câu 61 Cho f x( ) hàm số liên tục thỏa mãn
2
0
( )d f x x
3
1
(2 )d 10 f x x
Tính giá trị
2
0
(3 )d I f x x
A I 8 B I 5 C
5
I D I 6
Câu 62 Biết
1
( )d 15 f x x
Tính
2
0
(5 ) d I f x x
A I 15 B I 37 C I 27 D I 19 Câu 63 Biết
2
1
( )d f x x
Tính
4
2
d x I f x
A I 6 B
2
I C I 1 D I 5
Câu 64 Cho ( )f x liên tục tích phân
4
0
(tan )d
f x x
1 2
2
( )
d
x f x x
x
Tính
tích phân
1
0
( )d I f x x
(154)Nhóm Tích phân phần với hàm ẩn
Câu 65 (Đề thi minh họa lần – Bộ GD & ĐT năm học 2017) Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn
1
0
(x 1) ( )df x x 10
(1)f f(0)2 Tính
1
0
( )d I f x x
A I 12 B I 8 C I 1 D I 8
Câu 66 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Thành phố Hồ Chí Minh năm 2017) Cho ( )f x
hàm liên tục thỏa (1)f và1
0
1 ( )d
3 f t t
Tính
2
0
sin (sin )d
I x f x x
A
3
I B
3
I C
3
I D
3 I
Câu 67 Cho hàm số ( )f x có nguyên hàm ( )F x đoạn [1;2], (2)F
1
( )d F x x
Tính
2
1
( 1) ( )d I x f x x
A I 3. B I 6. C I 4. D I 1.
Câu 68 Cho hàm số ( )f x có đạo hàm 1;2 thỏa (1)f 0, (2)f
2
1
( )d f x x
Tính
2
1
( )d I x f x x
A I 2. B I 1. C I 3. D I 8.
Câu 69 Cho ( )f x liên tục
2
0
(2) 16, ( )d
f f x x Tính
1
0
(2 )d I x f x x
A I 13. B I 12. C I 20. D I 7
Câu 70 Giả sử hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thoả mãn điều kiện
(1) 6,
f
1
0
( )d xf x x
Tính
1
0
( )d I f x x
A I 1 B I 1 C I 11 D I 3
Câu 71 Cho hàm số f x( ) thỏa
1
0
( )d 12 x f x x
2 (1)f f (1) 2. Tính
1
0
( )d I f x x
A I 10 B I 14 C I D I 5
Câu 72 Cho hàm số f x( ) thỏa
3
( )
0
( ) f x d xf x e x
f(3)ln Tính
3 ( )
0
d f x
I e x
(155)Câu 73 Cho hàm số f x( ) thỏa ( )d b
a
xf x x
a b, số thực dương, đồng thời
( ) 2,
f a f b( )3 f a( )f b( ) Tìm giá trị nhỏ
2
4
3
a b
P
b a
A min 23
20
P B minP C min 784
391
P D min P
Câu 74 Cho hàm số f x( ) thỏa
2
1
( ).ln[ ( )]d f x f x x
f(1)1, (2)f 1 Tính f(2)
A f(2)2 B f(2)3 C f(2)e D f(2)e2
Câu 75 Cho hàm số f x( ) thỏa
2
0
( )d f x x
f(2)2 Tính
4
0
( )d I f x x
A I 2 B I C I 5 D I 1
Câu 76 (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 50) Cho hàm f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) 0,
1
2
0
( ) d
f x x
1 ( )d x f x x
Tính
tích phân
1
0
( )d I f x x
A
5
I B I 1 C
4
I D I 4
Câu 77 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa mãn f(1)4,
1
2
0
( ) d 36
f x x
1 ( )d xf x x
Tích phân
1
0
( )d f x x
A 5
6 B
3
2 C D
2 3
Câu 78 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;2] thỏa f(2)3,
2
2
0
( ) d
f x x
2 ( )d x f x x
Tích phân
2
0
( )d f x x
A
115 B 297
115 C 562
115 D 266 115
Câu 79 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa f(1)4,
1
2
0
( ) d
f x x
1 ( )d xf x x
Tích phân
1
0
( )d f x x
A 15
19 B
17
4 C 17
18 D 15
(156)Câu 80 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa f(2)6,
2
2
0
( ) d
f x x
17 ( )d xf x x
Tích phân
2
0
( )d f x x
A 8 B C D
Câu 81 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 3] thỏa f(3)6,
3
2
0
( ) d
f x x
154 ( )d
x f x x
Tích phân
3
0
( )d f x x
A 53
5 B 117
20 C 153
5 D
13
Câu 82 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa f(1)2,
1
2
0
( ) d
f x x
( )d 10 x f x x
Tích phân
1
0
( )d f x x
A
285
B 194
95 C 116
57 D 584 285
Câu 83 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa f(1)6,
1
2
0
( ) d
f x x
( )d xf x x
Tích phân
1
0
( )d f x x
A B 79
12 C 48
D 103 16
Câu 84 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 3] thỏa f(3)6,
3
2
0
( ) d 91
f x x
17 ( )d x f x x
Tích phân
3
0
( )d f x x
A 72
B 112
5
C 153
5 D
3 5
Câu 85 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa f(1)3,
1
2
0
( ) d
f x x
2 ( )d x f x x
Tích phân
1
0
( )d f x x
A
36 B. 20
9 C 73
(157)Câu 86 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa f(2)2,
2
2
0
( ) d
f x x
2
( )d 16 x f x x
Tích phân
2
0
( )d f x x
A 5
2 B
401
160 C 399
160 D 160
Câu 87 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa f(1) 4,
1
2
0
[ ( )] df x x 5
223 ( )d 10
xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A
4
I B 17
4
I C
18
I D 17
18 I
Câu 88 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa f(2)3,
2
2
0
[ ( )] df x x 4
2 1238 ( )d 35
x f x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A I 2 B
39
I C I 38 D 38
39 I
Câu 89 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 3] thỏa
3
2
0
(3) 2, [ ( )] d
f f x x
và 3 5461 ( )d 120
x f x x
Tính tích phân
3
0
( )d I f x x
A
1228
I B 1228
3
I C
1227
I D 1227
2
I
Câu 90 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục [0;1] thỏa mãn
1
2
0
(1) 6, [ ( )] d
f f x x
và 367 ( )d 30
xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A
4
I B 27
4
I C 29
4
I D
5 I
Câu 91 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa f(2)7,
2
2
0
[ ( )] df x x 8
2 766 ( )d
x f x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A 131
I B
I C 134
5
I D 137
5
(158)Câu 92 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 3] thỏa
3
2
0
(3) 7, [ ( )] d
f f x x
và 3 5461 ( )d 96
x f x x
Tính tích phân
3
0
( )d I f x x
A I 507 B I 705 C I 75 D I 57
Câu 93 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa
1
2
0
(1) 0, [ ( )] d
f f x x
và ( )d 10 xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A
I B
I C
I D
4
I
Câu 94 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa
2
2
0
(2) 1, [ ( )] d
f f x x
và 2 409 ( )d 21
x f x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A I 21 B 106
5
I C 84
I D
5
I
Câu 95 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(1)6,
1
2
0
[ ( )] df x x 7
1
0
699 ( )d
40
xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A
I B 13
2
I C 14
I D 14
13
I
Câu 96 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 3] thỏa mãn điều kiện f(3)1,
3
2
0
[ ( )] df x x 2
3 5461 ( )d 120
x f x x
Tính tích phân
3
0
( )d I f x x
A I 609 B
I C 1221
2
I D I 610
Câu 97 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(1) 3,
1
2
0
[ ( )] df x x 4
1
0
84 ( )d
5 xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A 13
4
I B
I C
I D 13
14
I
Câu 98 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(1)2,
1
2
0
[ ( )] df x x 3
1
0
271 ( )d
80
xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A
I B
(159)Câu 99 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(1)6,
1
2
0
[ ( )] df x x 7
1
0
771 ( )d
80 xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A
I B I 7 C
I D I 2
Câu 100 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(1)1,
1
2
0
[ ( )] df x x 2
1
0
29 ( )d
5 xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A
4
I B
I C
I D
6
I
Câu 101 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa mãn điều kiện f(2)6,
2
2
0
[ ( )] df x x 7
2 3387 ( )d 56
x f x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A I 13 B 188
I C I 21 D 188
5
I
Câu 102 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa mãn điều kiện f(2)5,
2
2
0
[ ( )] df x x 6
2 4405 ( )d 84
x f x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A 178
5
I B 178
I C 178
I D
178
I
Câu 103 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(2)6,
1
2
0
[ ( )] df x x 7
1
0
367 ( )d
30
xf x x
Tính tích phân
1
0
( )d I f x x
A 27
4
I B
I C 27 28
I D
28
I
Câu 104 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] thỏa f(2)6,
2
2
0
[ ( )] df x x 7
2 3383 ( )d 70
x f x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A I 44 B 44
45
I C 45
44
(160)Nhóm Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ hàm số liên tục
Câu 105 (Đề minh họa lần – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số y f x( ) liên tục
và thỏa mãn ( )f x f( x) 22 cos , x Tính x
3
3
( ) d
I f x x
A I 6 B I 0 C I 2 D I 6
Câu 106 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Cho hàm số y f x( ) liên tục
thỏa f x( ) f( x) cos , x x Tính
2
2
( )d
I f x x
A
3
I B
2
I C
2
I D
2 I
Câu 107 Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa f( x) ( )f x cos x Tính
2
2
( )d
I f x x
A
I B
I C
I D I 1
Câu 108 Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa f x( ) f( x) sin x Tính
2
2
( )d
I f x x
A I 0 B
2
I C I D I 2
Câu 109 Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa (f x) f x( ) x3 Tính
1
1
( )d
I f x x
A I 0 B
3
I C
I D I 1
Câu 110 Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa f x( ) f( x) cos 4x Tính
2
2
( )d
f x x
A 2 B. 16
C ln
D ln 3
5
Câu 111 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Cho
1
( )
d 4, 2x
f x x
hàm
số y f x( ) hàm số chẵn đoạn [ 1;1]. Tính
1
-1
(161)Câu 112 Tính tích phân 2016 d x x I x e A 2016 2017
T B
2018 2017
T C
2017 2017
T D
2018 2018
T Câu 113 Cho hàm số f x( ) lẻ liên tục đoạn [ 2;2]. Tìm khẳng định ?
A
2
2
2
( )d ( )d
f x x f x x
B
2
2
( )d f x x C 2 2
( )d ( )d
f x x f x x
D
2
2
( )d ( )d
f x x f x x
Câu 114 Cho ( )f x hàm số chẵn liên tục thỏa
1
( )d f x x
Tính
1
0
( )d f x x
A 1 B 2 C 1
2 D
1 4
Câu 115 Cho ( )f x hàm số chẵn thoả mãn
0
3
( )d f x x
Chọn mệnh đề ?
A
3
( )d f x x
B
3
3
( )d f x x
C
3
0
( )d f x x
D
0
3
( )d f x x
Câu 116 Tính tích phân
2017
1
2017d
I x x x
A I 0. B I 2. C I 2. D
3 I
Câu 117 Cho f hàm số liên tục [a b; ] thỏa ( )d b
a
f x x
Tính ( )d
b
a
I f a b x x
A I 7. B I a b 7. C I 7 a b. D I a b 7.
Câu 118 Cho ( )f x hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [ 6;6]. Biết
2
1
( )d f x x
3
1
( )d f x x
Tính
6
1
( )d
I f x x
A I 11. B I 5. C I 2. D I 14.
Câu 119 Cho ( )f x hàm số chẵn
2
( )d
f x x a
Mệnh đề sau ?
A
0
( )d f x x a
B
2
2
( )d
f x x a
C
2
2
( )d f x x
D
2
0
( )d
f x x a
(162)A
2
B
2
6
C
2
8
D
2
4
Câu 121 Tính d sin x I x x A
I B
I C
I D I
Câu 122 Tính
2 2007 2007 2007 sin d sin cos x I x x x A
I B
I C
I D
I
Câu 123 Cho ( )f x hàm số lẻ
2
( ) f x dx
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A I 2 B I 2 C I 1 D I 1
Câu 124 Cho hàm số ( )f x hàm chẵn liên tục , thỏa mãn
3
0
( )d I f x x Tính
tích phân
2
2
cos (3 sin )d
J x f x x
A J B J C J D J
Câu 125 Cho tích phân
1
( )d f x x
( )f x hàm số liên tục đoạn [ 1;2]. Tính
tích phân
2
1
(1 )d
f x x
A 1 B 2 C 5 D 8
Câu 126 Biết
0
ln(1 tan )d a ln
I x x c
b
với a b c, , a
b phân số tối giản Giá trị
2
a b c thuộc khoảng khoảng sau ?
A (17;19) B (25;27) C (31;33) D (41;43)
Câu 127 Biết
(sin )d
xf x x
Tính
0
(sin )d
f x x
A 1 B . C 2 D 4
Câu 128 Biết
2 (sin )d
3
f x x
Tính
0
(sin )d
xf x x
A
3
B 2
C 2
(163)Nhóm Tích phân hàm đa thức bản
Câu 129 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TPHCM 2017)Tính tích phân d
1
2017
0
(1 )
I x x
A
2018
I B
2017
I C I 0 D
2018 I
Câu 130 Tìm m thỏa mãn
2
4 122
(3 ) d
5 m
x x
A 0 B 9 C 7 D 2
Câu 131 Tính
5
0
(2x 1) d x
A 301
3 B
1 60
3 C
2 60
3 D
2 30
3
Câu 132 Có giá trị b thỏa mãn
0
(3 12 11)d b
x x x
A 4 B 2 C 1 D.
Câu 133 Biết
2
0
(x )dx x m n
với m n , m
n phân số tối giản Tính m n
A 5 B 1 C 1 D 6
Câu 134 Để
( )d k
k x x k
giá trị nguyên k ?
A k 1 B k C k D k
Câu 135 Có số thực a thỏa mãn đẳng thức tích phân
2
d a
x x
A Khơng có B Ba C Một D Hai
Câu 136 Có hai giá trị số thực a a a a1, (2 1a2) thỏa mãn
1
(2 3)d a
x x
Hãy tính
1
4
2a 2a log ( )
T a a
A 13
2
T B T 14. C T 20. D T 56.
Câu 137 Tìm tham số a để bất phương trình
0
1
2( 1) d
x
t a t
nghiệm với
mọi giá trị thực x.
A 3;
2
a
B a 0;1
(164)Câu 138 Cho b a 2. Tính d b
a
x
I x
A I (b a) B I 2(ba) C I b a D I 2(ba)
Câu 139 Tính tích phân
(3 1)d b
I x ax x với , a b tham số
A I 3b22 ab B I b3b a b2 . C I b3b. D I a Câu 140 Giải phương trình
2
2
0
2 (t log )dx t log
x
với ẩn x.
A x 1. B x {1; 4} C x (0; ) D x {1;2}
Câu 141 Cho bất phương trình
(3 4)d , ( 0) x
t t t x x
Tính tổng nghiệm nguyên
của bất phương trình
A 4 B 5 C 6 D 7
Câu 142 Với a b, tham số thực Hỏi giá trị
0
(3 1)d b
x ax x
?
A 3b2 2 ab B b3 b a2 b C b3 b D a 2 Câu 143 Tập hợp giá trị a thỏa mãn
1
(2 3)d a
x x
A {1;2} B {2} C { 2;1}. D {1}
Câu 144 Tìm tất tham số thực m 1 để phương trình
0 (2 1)d
m
x x x x
có
hai nghiệm phân biệt ?
A m 3 B 2m3 C m 2 D 1m2 Câu 145 Tìm m biết
0 (2 5)d
m
x x
A m 1, m 6 B m 1, m 6
C m 1, m 6 D m 1, m 6
Câu 146 Tập hợp giá trị b cho
(2 4)d b
x x
A {5} B { 5;1}. C {4} D {4; 1}.
Câu 147 Hỏi a thuộc khoảng sau
2
2
1
(4 ) d d
a a x x x x x
A ( ; 3) B [ 3;1). C [1;5) D [5;)
Câu 148 Cho f x( ) liên tục [0; 3] thỏa
2
1
( )d f x x
2
1
( ) d
mx f x x
Tìm m.
(165)Nhóm Tích phân hàm lượng giác bản
Câu 149 Biết
3
cos dx x a b 3,
với a b số hữu tỉ Tính a4 b
A
a b B a4b3. C
a b D a b
Câu 150 Cho , a b số hữu tỉ thỏa mãn
0
2 sin d
2
x x a b
Tính a b .
A
5
a b B
5
a b C
10
a b D a b 0.
Câu 151 Biết
0
cosx xd m1
Hỏi khẳng định sau ?
A m 1 B 1m C m 2 D 13m
Câu 152 Cho
0
(1 sin )dx x b
a c
với ,a c b
c phân số tối giản Tìm 2a b c
A B C D
Câu 153 Có số nguyên m (0;2017) thỏa mãn
0
cos d m
x x
A 643 B 1284 C 1285. D 642
Câu 154 Cho , , a b c số nguyên thỏa mãn
4
2
6
1 sin
d
2 sin
x a b c
x x
Hãy tính
giá trị biểu thức T 2a2 3b3 abc
A T 16. B T 12. C T 3. D T 12.
Câu 155 Biết
3
3
2
1 cos d
3
x x
a b
với a b , Tính tổng S a2 abb2
A S B S 12 C S 16 D S
Câu 156 Cho
0
( sinx cosx 1)dx b a
với a b , Trong hệ trục tọa độ Oxyz, gọi ( ; ;3)
M a b Tính độ dài đoạn OM
(166)Câu 157 Cho hàm số f x( )asinx b thỏa mãn f(1)2
1
0
( )d f x x
Tính ab
A . B 2 C 2 2 D 2 Câu 158 Biết
0
1 sin cos d
4 a
x x x
Hãy tìm giá trị a.
A
2
a B
3
a C
a D
6 a
Câu 159 Tìm tập hợp nghiệm phương trình
sin d x
t t
với ẩn x.
A k, (k ) B k2 , ( k )
C , ( )
2 k k
D , ( )
4 k k
Câu 160 Tính tích phân
2
2
4
1 sin
d sin
x
I x
x
A 2
I B
2
I C
4
I D
4
I
Câu 161 Biết
6
2
8
cos
d cos
x b
x
a c d x
với a b c d , , , b
c phân số tối giản
Tính tổng S a b c d
A S 28 B S 29 C S 30 D S 31
Câu 162 Biết
2
2
2
1 sin d sin
2 x
x b
x a
với , a b Tìm a b
A a b B a b C a b 11 D a b 14
Câu 163 Biết
2
0
sin cos d
2
x x
x m
Hỏi khẳng định sau ?
A 2m 2 B 2m 2 C 2m D 2m
Câu 164 Trong hàm số sau, hàm số có tích phân đoạn [0; ] đạt giá trị ?
A f x( )cos x B f x( )sin x
C ( ) cos
4
x
f x D ( ) sin
4
x
f x
Câu 165 Cho
2
6
1
d
sin cos
a c x
b x x
với , b c , a
(167)A 11 B 5 C 10 D 11
Câu 166 Cho
2
6
cos
d
sin cos
x b
x a c x x
với , b c ; a b
c phân số tối giản
Tính T a b c
A T 9 B T 5 C T 5 D T 9 Câu 167 Để
0
1
sin d 0,
2 x
t t
với k x phải thỏa mãn điều kiện sau ?
A x k 2 B x k C
2 k
x D x k2
Câu 168 Nếu
( sin cos )d a
x x x
với 0 a 2 giá trị a ?
A
4
B
2
C 3
2
D
Câu 169 Với giá trị tham số m
2
0
4
( sin )d
32 m
x x x
A m 1 B
6
m C
3
m D
4 m
Câu 170 Biết
4
cot dx x a lnc
b d
với , b d , a c
b d phân số tối giản Trong mặt
phẳng tọa độ Oxy, gọi M a b( ; ), ( ; ).N c d Tính độ dài đoạn thẳng MN
A MN 2 B MN C MN 2 D MN 4
Câu 171 Biết
2
0
sin x xd b
a c
với a b c, , số nguyên với b
c phân số tối giản Tính tổng a b c
A 13 B 12 C 11 D 10
Câu 172 Biết
sin cos d a
x x x
với 0 a 2 ?
A a B
2
a C
2
a D
4 a
Câu 173 Giải phương trình ẩn m sau
cos d m
x x
A ,
3
m k k B ,
3
m k k
C. ,
6
(168)Câu 174 Biết
0
2 sin sin d
10 b
x x x a
với a b, số nguyên Tính S a b
A S 2 B S 3 C S 2 D S 3
Câu 175 Biết
2
sin sin dx x x a b
với a
b phân số tối giản Tính tổng
2 .
S a b
A S 61 B S 23 C S 49 D S 63
Câu 176 Cho
0
cos cos dx x x a b
với b a
b phân số tối giản Tính T a b A T 1 B T 5 C T 3 D T 3
Câu 177 Cho
0
sin sin dx x x a b
với b a
b phân số tối giản Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M a b( ; ) tâm đối xứng đồ thị hàm số sau ?
A
1 x y
x
B
1
x y
x
C
4 1 x y
x
D
2 x y
x
Câu 178 Cho
0
1 d sin
a x
x b
với b a
b phân số tối giản Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm I a b( ; ) đỉnh parabol có phương trình sau ?
A y x2 2x 3. B y x2 4x 5 C y x2 6x 7 D y x2 2x
Câu 179 Cho
0
1 d cos
a x
x b
với b a
b phân số tối giản Tính T a b
A T 1 B T 1 C T 3 D T 2
Câu 180 Cho
3
d
1 cosx x a b
với a , b Tính T 2a b
A T 11 B T 5 C T 6 D T 7
Câu 181 Với x 0, ta có
2
0
( )d cos x
f t t x x
Hãy tính (4).f
A (4)
f B (4)f 1 C (4)f 2 D (4)
4
(169)Nhóm Tích phân hàm số mũ bản
Câu 182 Tính tích phân
0
3 d x
I x
A
ln
I B
I C I 2 D ln
I
Câu 183 Tính tích phân
2016
0
7 d x
I x
A
2016
7
ln
I B I 72016ln 7. C
2017
7 2017
I D I 2016.7 2015
Câu 184 Tính tích phân 2018
1
10 d x x
A 2017
10 10
ln10
B 2019
10 10 ln10
C
2018
10 10 ln10
D 2018
10 ln10
Câu 185 Tính tích phân 50
2
0
2017x d x
A
103
2017 ln 2017
B
103
2017 2017 ln 2017
C
103
2017 2017 ln 2017
D 2017103 20173 ln 2017
Câu 186 Biết
2
0
(2 ) d
ln ln ln x x x a b c
với a b c , , Tìm a b2 c3
A 67 B 76 C 877 D 615
Câu 187 Tính tích phân
2
0
d x
I e x
A I e2 1. B I e 1. C
2 1
2
e
I D
2 I e
Câu 188 Biết
4
0
1 d
a
x e
e x
b
với a b, , b 0. Tìm khẳng định ?
A a b B a b C a b 10 D a 2 b Câu 189 Cho số thực a thỏa mãn
1
d
a x
e x e
Tìm a
A a 1 B a 1 C a 0 D a 2 Câu 190 Cho số thực a thỏa mãn
1
d
a x
e x e e
Tìm a
(170)Câu 191 Tích phân
ln 2 1
0
1 d x
x
e a
x e
b e
với a
b phân số tối giản Tính tích ab
A ab 1 B ab 2 C ab 6 D ab 12
Câu 192 Tìm m thỏa mãn
0
2
2
4 d
x
e x m e
A m 12 B m 9 C m 11 D m 10
Câu 193 Tính
0
d x
ke x
với k số
A k e ( 1) B. e 2 C k e( 2e) D e2e
Câu 194 Biết
2
2
1
(1 x) d a
e x
e be c
với a b c , , Tính T a b c
A T 2 B T 4 C T 6 D T 8
Câu 195 Biết
1 4
2 2
0
(1 x) d e b
e x e
a c
với b b
c phân số tối giản Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi điểm M a b c( ; ; ) Khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy) ?
A d 1 B d 4 C d 17 D d 3
Câu 196 Biết
2
d cos
x
x x e
e e x a
b x
với a b , . Tính T a b
A T 9 B T 6 C T 2 D T 7
Câu 197 Cho ln
2
1
(3 x)d ln a c
x e x e
b d
với ;a
b c
d phân số tối giản Tính
a c
b d
A a c
b d B
a c
b d C
a c
b d D
a c
b d
Nhóm Tích phân hàm thức, trị tuyệt đối hàm chứa max – min
Câu 198 Biết
0
1d
3
a b
x x
c
với a 0 b
c phân số tối giản Tính
2 3.
ab c
A 32 B 45 C 96 D 134
Câu 199 Biết
1
2x 1dx a c b
với a b c, , số nguyên dương Tính a b2 c3
(171)Câu 200 Biết
1
6 d
3 b
x x a
với a b, số nguyên dương Tính a2 b
A 31 B 18 C 12 D 24
Câu 201 Cho
3
1
d a( )
x x c
b
với , ,a b c a
b phân số tối giản Tính
5.
a b c
A 8 B 6 C 6 D 8
Câu 202 Cho
2 3 3
1
2
d
x x x a b c
x
x d
với , ,a b c; d Tính a b c d
A 5 B 5 C 10 D 10
Câu 203 Cho a b, số thực dương thỏa mãn a b 1 Tính d b
a
x I
x
A I 2 B I 1 C I 2 D
2
I
Câu 204 Biết
1
2 d
2 x a b
x
với a b, số nguyên dương Tính a b3
A 107 B 27 C 39 D 67
Câu 205 Biết
0
d
3
1
x b
a
x x
với , a b Tính tổng a b
A 28 B 30 C 32 D 36
Câu 206 Biết
1
d
3
1
x a b c
x x
với , , a b c Tìm a b c
A 36 B 42 C 27. D 54
Câu 207 Biết
1
d
3
2 3
x a b c
x
x x
với a b c, , số nguyên dương Tính P a b c
A P 750 B P 978 C P 728 D P 1000
Câu 208 Biết
1
d
( 1)
x
a b a
x x x x
với a b c, , số nguyên dương Tính giá
trị biểu thức P b a
A P 5 B P 1 C P 5 D P 1
Câu 209 (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 Câu 32) Cho a b c, , số nguyên dương thỏa
2
1
d
( 1)
x
a b c
x x x x
Tìm P a b c
A P 24 B P 12 C P 18 D P 46
Câu 210 Biết
5
d
1 ( 1) x
a b c
x x x x
(172)A P 16 B P 19 C P 19 D P 16
Câu 211 Biết
3
3
3 3 2
1
d
( )
2
( )
x
a b c
x x x x x x x
với a b c, ,
số nguyên dương Tính P c b a
A P 86 B P 82 C P 76 D P 80
Câu 212 Biết
3
3 3
26
d
( )
2
( )
x
a b c
x x x x x x x
với a b c, ,
số nguyên dương Tính P ac b
A P 8 B P 25 C P 15 D P 3
Câu 213 Biết
1
d
3
1
x a b
x
với a b, nguyên dương Tính T a2 2b1
A T 1 B T 4 C T 2 D T 5
Câu 214 Biết
1
1
2d a
x x
x b
với a
b phân số tối giản Tính tổng a b
A 14 B C 17 D 20
Câu 215 Biết
3
0
( 1) d
35 35
a b
x x x
với , a b Tính a b5
A 218 B 128 C 812 D 182
Câu 216 Cho hàm số
2 ( )
x x
f x
x x
Tính tích phân
2
0
( )d I f x x
A
6
I B
3
I C
2
I D
6
I
Câu 217 Biết
1
2
d ln ln x
x a b
x
với a b , Tính S a b
A S 9 B S 11 C S 3 D S 5
Câu 218 Tích phân
2
1
3 d a
x x x
b
với ,a b a
b phân số tối giản Tính a2 b A 22 B 17 C 23 D 67
Câu 219 Tính tích phân
2
1
2 d
x x x
A 0 B. 64
3 C 7 D
25
Câu 220 Tính tích phân
0
1 d I x x
A
(173)Câu 221 Biết có ba giá trị tham số m lập thành cấp số cộng giảm thỏa mãn
0
d
m
x x m
Tìm cơng sai d cấp số cộng ?
A d 2 B d 2 C d 3 D d 3
Câu 222 Biết
3
0
2 d
15 15
a b
x x x x
với , a b Tính a b
A 60 B 30 C 40 D 50
Câu 223 Cho số thực , m n thỏa mãn
(1 )d a
x x m
1
(1 )d b
x x n
a b,
là số thực a 1 b Tính tích phân d b
a
I x x
A I m n B I n m C I m n D I mn
Câu 224 Tính tích phân 2017
0
1 cos d x x
A 3034 B 4043 2. C 3043 D 4034
Câu 225 Tính tích phân
2
0
max{ 1; 2}d
I x x x
A 80
3
I B 76
3
I C I 24 D 148
I
Câu 226 Tính tích phân
2
2
max { ; 3}d
I x x x
A 56
3
I B 58
I C I 18 D
3
I
Câu 227 Tính tích phân
2
0
min{ ; }d
I x x x
A I 9 B
I C 11
I D 27
2
I
Câu 228 Tính tích phân
2
0
min{1; }d
I x x
A
3
I B I 2 C
I D
3 I
Câu 229 Tính tích phân
0
3
max ; d
x
I x x
x
A ln3
2
I B ln3
2
I C ln3
2
I D ln3
2
I
Câu 230 Tính tích phân 2
0 max{ ; }d
(174)A
I B
3
I C
I D
I
Câu 231 Tích phân
4
2
0
max 1; d
I x x x x
A 83
6
I B
6
I C
6
I D 83
6 I
Câu 232 Tích phân
2
0
min ; d
I x x x x
A 11
6
I B 19
6
I C 11
6
I D 19
6 I
Câu 233 Tính tích phân
1
min{ ;x x}d
I e e x
A I 2
e
B I 2
e
C I 2
e
D I
e
Câu 234 Tính tích phân
3
3
0 max{ ; }d
I x x x x
A 117
I B 707
12
I C I 19 D I 27
Câu 235 Tính tích phân
0
min{sin ; cos }d
I x x x
A I 2 2 B I C I 2 D I 2
Nhóm 10 Tích phân hàm hữu tỉ bản
Câu 236 (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 19) Tích phân
0
d x x
A 16
225 B log
3 C ln
3 D
2 15
Câu 237 Biết
0
d
ln
x
b x a
với a b, số nguyên dương Tính a2 b
A a2 b 12 B a2 b 10 C a2 b D a2 b 14
Câu 238 Cho
0
1 d
64 n
x x
5
1
d
ln ,
x
m x
với n m, số nguyên dương Tìm khẳng định ?
(175)Câu 239 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 28) Cho a b, số nguyên thỏa mãn
1
0
1
d ln ln
1 x a b
x x
Mệnh đề ?
A a b B a2b 0 C a b D a2b0
Câu 240 Cho
0
3
d ln ln
2 x a b
x x
với , a b Mệnh đề ?
A 2a 3b 10 B 3a2b 4 C a b D 3a2b 13
Câu 241 Cho
4
3
d ln ln
2 x a b
x x
với , a b Mệnh đề ?
A 2a b 11 B a2b 7 C a b D a2b 15 Câu 242 Cho
5
4
2 25
d ln ln
2 x a 27 b
x x
với a b, số nguyên Mệnh đề ?
A a b B a2b 1 C a b D a2b
Câu 243 Cho
4
2016 2018 2012 2014
d ln ln
2017 2019 x a 2013 b 2015
x x
với a b, số nguyên
Mệnh đề ?
A a b 4034 B a b C a2 b D ab2 4 Câu 244 Cho
1
0
2 2015 2016
d ln ln
2x 2017 2x 2018 x a 2017 b 2018
với a b, số nguyên
Mệnh đề ?
A a b B a b C b a D a 2 b Câu 245 Cho
1
0
6
d ln ln 3 2x x x a b
với a b, số nguyên Mệnh đề dưới ?
A
b
a B
1
a
b C b a D b a
Câu 246 Cho
2
2
2 3
d ln ln
3
e
e e
x a b
ex x e e
với a b, số nguyên Mệnh đề ?
A a2 b2 5 B a2 b2 13 C a2 b2 4 D b a 4 Câu 247 Cho
4
3
1 17
d ln ln x 3x x a b 14
với a b, số nguyên Mệnh đề dưới ?
A
a
b B
1
a
b C
1
b
a D
1
b
a
Câu 248 Tích phân d x x x
(176)A 1 ln3
5
B 1 ln5
C ln5
3 D
3 ln
5
Câu 249 Cho 2018
2016
1
d ln 2015 ln 2019
1 x x x a b
với a b, số nguyên Mệnh đề nào ?
A a
b B a b C
1
b
a D
1
b
a
Câu 250 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017)Biết
5
3
1
d ln
1
x x b
x a
x
với
,
a b số nguyên Tính S a b
A S 2 B S 10 C S D S 2
Câu 251 Biết
0
1
3
d ln
2
x x
x a b
x
với a b, số hữu tỉ Tính a 2 b
A a 2b30 B a 2b40 C a 2b50 D a 2b60 Câu 252 Biết
3 2
2
4
d ln ln
1
x x
x a b c
x
với a b c, , số dương Tính abc
A abc 12 B abc 36 C abc 72 D abc 6 Câu 253 Biết
1 d a x x e x
Tìm a
A a e B a e
C a e D
e a
Câu 254 Biết
0
2
d ln 2
x
x a b
x
với , a b Hãy tính a 2 b
A a 2b B a 2b2 C a 2b D a 2b Câu 255 Biết
2
1
1
d ln x a x x b
với a b , a
b phân số tối giản Tính 2ab
A 2a b B 2a b 13 C 2a b 14 D 2a b 20
Câu 256 Biết
2 2
0
d ln
1 x
x a b
x
với a b , b 0 Hỏi giá trị 2a b thuộc khoảng sau ?
A (8;10) B (6;8) C (4;6) D (2;4)
Câu 257 Tìm tất số thực dương m thỏa mãn
2 d ln 2 m x x
x
A m 2 B m 1 C m 3 D m Câu 258 Biết
3
1
d
ln ln ln ( 1)( 4)
x
a b c
x x
(177)Câu 259 Cho a b c, , số nguyên thỏa mãn
2
1
d ln ln ln ( 1)(2 1)
x
x a b c
x x
Tính S a b c
A S 1. B S 0. C S 1. D S 2.
Câu 260 Cho
4
4 25
d ln ln
(2 ) 27
x
x a b
x x
với a b, số nguyên Mệnh đề ?
A a b B a2b 1 C a b D a2b
Câu 261 Biết
2
d ln ln
x
x a b
x
với a b , Khi a b đồng thời hai nghiệm
của phương trình ?
A x2 4x 3 B 2
4
x x C
x x D x22x 3
Câu 262 Biết
2
d
ln ln ln x
a b c
x x
với a b c, , số nguyên Tính S a b c
A S 6. B S 2. C S 2. D S 0.
Câu 263 Giả sử
2
d
ln ln ln 2, ( , , ) x
a b c a b c
x x
Tính S 2a b 3 c2
A S 3. B S 6. C S 0. D S 2.
Câu 264 Cho a b, số nguyên thỏa
5
2
3
d ln ln
3 x a b
x x
Mệnh đề ?
A a2b B 2a b 0. C a b 0. D a b
Câu 265 Cho a b, số nguyên thỏa mãn
2
2
2d
ln ln
x
a b
x x
Tính S a b
A S 1. B S 1. C S 2. D S 0.
Câu 266 Biết
2
d
ln ln
x
a b
x x
với a b, số nguyên Tính S 2a b
A
S B
S C S 2 D
3
S
Câu 267 Biết
2
d
ln ln 3
x
a b
x x
với a b , . Mệnh đề ?
A a b B a2b 0 C a b D a2b0
Câu 268 Cho a b, số nguyên thỏa
1
2
d
ln ln
5
x
a b
x x
Tính S a b
A S 3. B S 2 C S 1 D S 0
Câu 269 Biết
2
1
d ln ln
4
x
x a b
x x
với a b , Hãy tính Pab.
(178)Câu 270 Biết
2
1
d ln ln
2
x
x a b
x x
với a b , . Mệnh đề ?
A 2a b 11 B a 2b 7 C a b D a2b 15 Câu 271 Biết
1
2
4 15
d ln ln
2
x
x a b
x x
với a b , . Mệnh đề ?
A
b
a B
1
a
b C b a D b a
Câu 272 Biết
2
9 17
d ln ln 14
3 10
x
x a b
x x
với a b , . Mệnh đề ?
A
a
b B
1
a
b C
1
b
a D
1
b
a
Câu 273 Biết
2
2
d ln 12 ln 7
x
x a b
x x
với a b , Tính tổng ab
A a b B a b C a b D a b
Câu 274 Biết
2
3
d ln 6 x a x b x x
với a b , a
b tối giản Tính P ab.
A ab 5. B ab 27 C ab 6. D ab 12.
Câu 275 Xét tích phân 2 dx I x
Khẳng định sau ?
A 1 1 I x B
1 1
1 2 I x C
1 1
1 2 I x
D
2
1
ln ln
I x
Câu 276 Tính tích phân 2 d I x x x
A 2
I e B ln 2
I C I 2ln2. D I 0.
Câu 277 Cho , a b thỏa
1 2
3
0
2
d ln
6
2
x x a b
x a
x x x
Tính 20a log (2 a2 b)
A 22 B 40log 5.2 C 8002 D 160000
Câu 278 Cho a b , thỏa
2
2
d ln ln
7 12
x
x a b
x x
Tính tổng S a b
A S 9. B S 41. C S 9. D S 7
Câu 279 Cho a b c , , thỏa
3
2
3
d ln ln
x x
x a b c
x x
Tính T a 2b2 3 c3
A T 4. B T 6. C T 3. D T 5.
Câu 280 Biết
3
d
ln ln x
a b c
x x
(179)A
S B
S C
S D
6
S
Câu 281 Biết
1
2
1
d ln
2
1 x
x
a
x
với a Hỏi a thuộc khoảng sau ?
A (0;2) B (2;4) C a (4;6) D a (6; 8)
Câu 282 Biết
6
2
4
4
d ( )
8
x x
x a b c
x
với a b c, , số nguyên
Tính giá trị biểu thức S a b2 c4
A S 20 B S 241 C S 196 D S 48 Câu 283 Biết 3
1
d
ln( 1) ln e
x
a e b c
x x
với a b c , , Tính S a b c A S 1 B S 1 C S D S 2 Câu 284 Biết
1 2 d ln ( 1)
x x a
c b x
với a b c, , , c0 a
b tối giản Tính S abc
A S 16 B S C S 80 D S 10 Câu 285 Biết
2
4
d 1
ln ln ln
2 6
2 x
a b c
x x
với , , a b c Tính abc
A abc 16 B abc 20 C abc 30 D abc 60
Câu 286 Biết
4
d
ln ln
4
( 1) x
a b
x x
với , a b Tính S aba2b
A S 13 B S 17 C S 30 D S 34
Câu 287 Biết 2 d ln ( 1)
x a c
b d
x x
với , , ,a b c d a c;
b d tối giản Tính a b c d
A 32 B 16 C 12 D 14
Câu 288 Biết
2 2 (3 1)d ln ( 1)
x x c a
d b
x x
với , , , a b c d a; c
b d phân số tối giản
Tính a b c d
A 32. B 42 C 81 D 7 Câu 289 Biết
2
2
2
d ln
( 1)
x a c
x b d x x
với , , , a b c d a; c
b d phân số tối
giản Tính a b c d
A 7 B C 10 D 12
Câu 290 Biết 2 d ln ( 1)( 1)
x x a
c b
x x
với , , a b c a
b tối giản Tính a b c
(180)BẢNG ĐÁP ÁN
1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A 10.A
11.B 12.B 13.A 14.C 15.B 16.C 17.A 18.D 19.D 20.B
21.A 22.A 23.D 24.C 25.A 26.C 27.C 28.B 29.A 30.D
31.B 32.C 33.C 34.C 35.B 36.C 37.D 38.B 39.C 40.D
41.B 42.B 43.B 44.C 45.B 46.D 47.B 48.C 49.B 50.B
51.C 52.C 53.B 54.D 55.D 56 57.D 58.D 59.A 60.A
61.B 62.D 63.A 64.A 65.D 66.A 67.C 68.C 69.D 70.A
71.D 72.A 73.B 74.C 75.A 76.A 77.B 78.C 79.D 80.A
81.B 82.C 83.D 84.A 85.B 86.C 87.B 88.C 89.D 90.B
91.C 92.A 93.D 94.B 95.B 96.C 97.A 98.C 99.B 100.A
101.D 102.A 103.A 104.A 105.D 106.C 107.C 108.A 109.A 110.B
111.D 112.C 113.B 114.A 115.B 116.A 117.A 118.D 119.B 120.D
121.D 122.B 123.B 124.D 125.C 126.A 127.D 128.A 129.A 130.A
131.C 132.D 133.A 134.D 135.D 136.A 137.A 138.B 139.B 140.C
141.C 142.B 143.A 144.C 145.C 146.B 147.C 148.B 149.B 150.D
151.A 152.C 153.D 154.C 155.A 156.A 157.B 158.C 159.A 160.D
(181)171.A 172.A 173.D 174.D 175.A 176.B 177.B 178.A 179.A 180.D
181.D 182.A 183.A 184.C 185.C 186.D 187.C 188.B 189.A 190.B
191.B 192.D 193.A 194.A 195.B 196.A 197.B 198.B 199.A 200.D
201.B 202.B 203.C 204.A 205.D 206.A 207.D 208.D 209.D 210.D
211.D 212.D 213.A 214.C 215.B 216.A 217.D 218.C 219.B 220.B
221.A 222.C 223.D 224.D 225.A 226.B 227.C 228.D 229.A 230.A
231.A 232.B 233.C 234.B 235.D 236.C 237.D 238.D 239.D 240.D
241.B 242.B 243.B 244.B 245.B 246.B 247.B 248.B 249.B 250.D
251.B 252.B 253.C 254.C 255.B 256.D 257.B 258.A 259.B 260.B
261.B 262.B 263.B 264.C 265.B 266.D 267.D 268.C 269.B 270.B
271.B 272.B 273.D 274.D 275.C 276.B 277.A 278.C 279.A 280.D
(182)Dạng tốn Tích phân phần
Định lý: Nếu u u x( ) v v x( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]a b
( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d
b b
b
a
a a
I u x v x x u x v x u x v x x hay d d
b b
b
a
a a
I u v uv v u
Thực hành:
— Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác,…
— Đặt:
Vi phân
NH
d d
d d
u u x
v x v
Suy ra: d d
b b
b
a
a a
I u v uv v u
— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv phần lại Nghĩa có ln hay logax chọn u ln hay log ln
ln a
u x x
a
dv lại Nếu khơng có ln; log chọn u đa thức dv cịn lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn
u lượng giác,…
— Lưu ý bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm
— Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi.
BT Tính tích phân sau:
a) Tính
1
0
d x
I xe x Chọn d
d xd x
u x du x
v e x v e
Khi đó:
1
1
0
0
d
x x x
I xe e x e e
b) Tính
1
0
( 3) d x
I x e x Chọn: d d
u u
v v
c) Tính
2
0
(2 1) d x
I x e x Chọn: d d
u u
v v
d) Tính
1
0
(2 1) d x
I x e x Chọn: d d
u u
v v
(183)e) Tính
1
2
0
(4 1) xd
I x e x Chọn: d d
u u
v v
f) Tính
1
2
0
( 1) xd
I x e x Chọn: d d
u u
v v
g) Tính
3
1
d x
I xe x
Chọn: d d
u u
v v
h) Tính
2
0
(1 ) xd I x e x
Chọn: d d
u u
v v
i) Tính
1
0
( ) d x
I x x e x Chọn: d d
u u
v v
j) Tính
3
1
d x
I x e x
Chọn: d d
u u
v v
k) Tính
0
cos d x
I e x x
Chọn: d d
u u
v v
(184)
l) Tính
4
0
5 sin d x
I e x x
Chọn: d d
u u
v v
m) Tính
2
0
cos d x
I e x x
Chọn: d d
u u
v v
n) Tính
4
0
sin d x
I e x x
Chọn: d d
u u
v v
o) Tính
2
0
cos2 d x
I e x x
Chọn: d d
u u
v v
p) Tính
1
2
3
d x
x
I x
e
Chọn: d d
u u
v v
(185)
BT Tính tích phân sau:
a) Tính
3
1
ln d
I x x Chọn: d d
u u
v v
b) Tính
2
1
ln d
I x x x Chọn: d d
u u
v v
c) Tính
2
1
(2 1)ln d
I x x x Chọn: d d
u u
v v
d) Tính
1
ln d e
I x x x Chọn: d d
u u
v v
e) Tính
1
(1 )ln d e
I x x x Chọn: d d
u u
v v
f) Tính
1
( 2)ln d e
I x x x Chọn: d d
u u
v v
g) Tính
1
ln d e
I x x x Chọn: d d
u u
v v
(186)
h) Tính
1
(1 ln )d e
I x x x
i) Tính
2 3
2
2 ln d
x x
I x
x
j) Tính
2
2
ln( ) d ( 2)
x
xe
I x
x
k) Tính
1
2 (1 ln )d e
I x x x
l) Tính
2
(1 ln ) d e
e
I x x x
m) Tính
3
2
1 ln( 1) d x
I x
x
(187)
n) Tính
3
2
2 ln( 1)d
I x x x
o) Tính
1
(4 5)ln(2 3)d
I x x x
p) Tính
1
0
(2 1)ln( 1)d
I x x x
q) Tính
1
2
0
ln(2 )d
I x x x
r) Tính
1
0
( 5)ln(2 1)d
I x x x
s) Tính
4
2
ln(sin cos ) d cos
x x
I x
x
(188)
t) Tính
ln
0
ln( 1)d
x x
I e e x
u) Tính
1
2
ln( 1) d ( 2)
x
I x
x
v) Tính
3
2
2
ln ( 3) d
I x x x
w) Tính
1
3
ln(4 3) d ( 1)
x x
I x
x
x) Tính
2
2
4
log (3 sin cos )
d sin
x x
I x
x
(189)
BT Tính tích phân sau:
a) Tính
2
0
sin d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
b) Tính
4
0
2 cos d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
c) Tính
4
0
( 1) sin d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
d) Tính
2
0
( 2)cos d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
e) Tính
2
0
(2 1)sin d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
f) Tính
2
0
( 1)cos d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
g) Tính
2
0
( 1)sin d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
h) Tính
2
0
cos d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
(190)i) Tính
2
0
(2 1)cos d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
j) Tính
4
0
(3 ) sin d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
k) Tính
2
0
3 cos d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
l) Tính
2
0
sin d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
m) Tính
2
0
cos d
I x x x
Chọn: d d
u u
v v
n) Tính
3
2
0
( cos ) d
I x x x x
(191)
o) Tính
4
2
ln(cos ) d cos
x
I x
x
Chọn: d d
u u
v v
p) Tính
2
0
( 1)sin d
I x x x
q) Tính
0
( sin )d
I x x x x
r) Tính
2
0
( cos ) d
I x x x x
s) Tính
4
0
(1 sin )d
I x x x
t) Tính
2
2
0
(1 cos )d
x x
I e xe x x
(192)
u) Tính
2
0
cos ( sin )d
I x x x x
v) Tính
2
2
0
( sin ) d
I x x x
w) Tính
2
4
0
cos d
I x x
x) Tính
2
0
sin d
I x x
y) Tính
2
0
sin ln(1 cos )d
I x x x
z) Tính
2
2
0
sin ln(1 cos )d
I x x x
(193)BT Tính tích phân sau:
a) Tính
1
2
0
(1 )(2 x)d
I x e x
b) Tính
0
( sin )d
I x x x x
c) Tính
2
1
(2 ln )d
I x x x
d) Tính
2 3
2
2 ln d
x x
I x
x
e) Tính
2
1
1
d x
x e
I x
x
(194)
f) Tính
1
0
d x
x
e x
I x
e
g) Tính
4
1
4 ln d
x x
I x
x
h) Tính
3
2
1 ln( 1) d x
I x
x
i) Tính
1
0
2 d x
I x e x
x
j) Tính
1
2
0
( x 1) d
I e x x x
k) Tính
2
2
0
( cos ) sin d
I x x x x
(195)
l) Tính
1
1
ln d e
I x x x
x
m) Tính
1
0
d x
I x e x
n) Tính
1
0
d x
I x e x
o) Tính
1
0
(8 ) d x
I x x e x
p) Tính
1
0
d x
I xe x
(196)
q) Tính
3
27
0
sin d
I x x
r) Tính
2
1
1
cos d
I x x
s) Tính
2
2
4
log (3 sin cos )
d sin
x x
I x
x
t) Tính
2
2
6
cos ln(sin ) d sin
x x
I x
x
u) Tính
3
2
4
ln(tan ) d cos
x
I x
x
(197)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu Với u v hàm số xác định liên tục đoạn [ ; ].a b Công thức biểu diễn tích phân phần cho cơng thức sau ?
A d ( ) d
b b
b
a
a a
u v uv u v
B d ( ) d
b b
b
a
a a
u v uv v u
C d ( ) d
b b
b
a
a a
u v uv u v
D d ( ) d
b b
b
a
a a
u v uv v u
Câu Cho tích phân
3
2
ln d ,
I x x biểu thức sau thể cách tính I theo cơng thức tích phân phần ?
A
3
2
( ln ) d
I x x x B
3
2
( ln ) d I x x x x
C
3
2
( ln ) ln d
I x x x x D
3
2
( ln ) ln d
I x x x x
Câu Khi tính tích phân sin d b
a
x x x
cách đặt sau phù hợp với phương pháp tích phân phần ?
A sin
d d
u x
v x x
B d sin d
u x
v x x
C
sin u x v x
D sin
u x v x
Câu Khi tính tích phân ln d b
a
x x x
cách đặt sau phù hợp với phương pháp tích phân phần ?
A
d ln d
u x
v x x
B ln u x v x C ln d d u x
v x x
D ln
u x v x
Câu Khi tính tích phân sin d b
a
x x x
cách đặt sau phù hợp với phương pháp tích phân phần ?
A sin u x v x B sin d d u x
v x x
C sin u x v x
D d sin d
u x
v x x
Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức nói tích phân
2
0
cos d
I x x x
A
2
0
sin cos
2
x x x
I
B
2
0
sin cos
2
x x x
I
(198)C
2
0
sin cos
4
x x x
I
D
2
0
sin cos
2
x x x
I
Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức nói tích phân
2
0
sin d
I x x x
A 2 0
cos2 sin
2
x
I x x
B
2
0
1
cos sin
2
x
I x x
C 2 0
cos sin
2
x
I x x
D
2
0
1
cos sin
2
x
I x x
Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức nói tích phân
4 d cos x I x x
A 4
0
( tan ) ln(cos )
I x x x
B 4
0
( tan ) ln(cos )
I x x x
C 4
0
( tan ) ln(cos )
I x x x
D 4
0
( tan ) ln(cos )
I x x x
Câu Cho tích phân
1
ln d e
I x x x Mệnh đề dây ?
A 2
1
1
ln ln d
2
e e
I x x x x x B 2
1
ln ln d e
e
I x x x x x
C 2
1
ln ln d
e e
I x x x x x D 2
1
1
ln ln d
2
e e
I x x x x x
Câu 10 Cho tích phân
0
( 1)sin d
I x x x
Hỏi mệnh đề sau ?
A
4
0
( 1)cos cos d
I x x x x
B
4
0
( 1)cos cos d
I x x x x
C 4 0 1
(1 )cos cos d
2
I x x x x
D
4
0
1
(1 )cos cos d
2
I x x x x
Câu 11 Cho tích phân
cos d
I x x x
u x2, dvcos d x x Khẳng định ?
A
0
sin sin d
I x x x x x
B
0
sin sin d
I x x x x x
C I x2sinx xsin d x x
D I x2sinx xsin d x x
(199)Câu 12 Cho tích phân
(2 5)ln d e
I x x x Hỏi khẳng định sau ?
A
1
( ) ln ( 5)d e
e
I x x x x x B
1
( )ln ( 5)d e
e
I x x x x x
C
1
( )ln ( 5)d e
e
I x x x x x D 1
1
( 5) ln ( )d e
e
I x x x x x
Câu 13 Xét tích phân
2
0
(2 4) dx
I x e x đặt u 2x2 4, dv e2xd ,x
ta tích phân
1
1 2
0
( ) xd
I x xe x Tìm hàm số ( ).x
A ( )x (2x24)e2x B ( )x (x22)e2x
C ( )x (x22) ex D x (x22) ex
Câu 14 Cho tích phân
0
(2 )sin d
I x x x
đặt u 2 x, dv sin d x x Hỏi khẳng định nào sau ?
A.
2
0
(2 )cos cos d
I x x x x
B
2
0
(2 )cos cos d
I x x x x
C
2
0
(2 )cos cos d
I x x x x
D
2
0
(2 ) cos d
I x x x
Câu 15 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Biết
0
ln(x 1)dx a lnb
với , a b số nguyên Tính (a 3) b
A 25 B 1
7 C 16 D
1 9
Câu 16 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Biết
( 1) ln d e
a c
x x x e
b d
với a b
c
d hai phân số tối giản Tính
a c
b d
A 3
2 B
5
4 C
1
2 D 2
Câu 17 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Biết
3
ln
d ln
x a c
x
b d
x
với a
b
và c
d hai phân số tối giản Tính
a c
(200)A 7
8 B
3
8 C
3
16 D 16
Câu 18 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Biết
2
0
(3 1) d x
x e x a be
với
,
a b số nguyên Tính S a b
A S 12 B S 16 C S 8 D S 10
Câu 19 (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Biết
ln d e
a c
x x x e
b d
với a
b
và c
d hai phân số tối giản Tính
a c
b d
A
9
a c
b d B
1
a c
b d C
1
a c
b d D
1
a c
b d
Câu 20 Biết
1
4 (1 ln )d e
x x x ae b
với , a b số nguyên Tính M ab4(ab)
A M 5 B M 2 C M 5 D M 6 Câu 21 Biết
2
2
ln
d ln
x b
x a
c
x
với a b
c phân số tối giản Tính 2a 3bc
A 4 B 6 C 6 D 5
Câu 22 Biết
2
1
d ln
cos x x a b x
với , a b số thực khác 0 Tính P a b
A P 2 B P 6 C P 0 D P 8 Câu 23 Biết
1
2
0
3xe xdx a ce
b d
với a
b c
d hai phân số tối giản Tính
a c
b d
A 3
2 B
3
4 C
5
4 D
7 2
Câu 24 Biết
2
0
ln(1 )d a ln
x x x c
b
với , , a b c a
b phân số tối giản Tính tổng S a b c abc
A 9 B 6 C 15 D 12
Câu 25 Biết
2
0
cos d
x x x a b
với , a b Tính P ab
A 0 B
32
C
16
D
64
Câu 26 Biết
3
0
d
x a
e x e
b
với , a b thỏa mãn a b 2 Tính ab