Chuyên đề: Định lý CEVA và ứng dụng trong chứng minh đồng quy

Nếu ta sử dụng các phương pháp khác như đưa về chứng minh thẳng hàng hay tạo ra tam giác nhận 3 đường thẳng đó là đường đặc biệt sẽ gặp khó khăn.. Bài toán 3 vẫn đúng khi thay đường t[r]

ĐỊNH LÝ CEVA

Và toán chứng minh đường thẳng đồng quy điểm (cùng qua điểm)

I Định lý Ceva

Cho tam giác ABC, điểm D, E, F nằm đường thẳng BC, CA,

và AB Các đường thẳng AD, BE CF đường thẳng đồng qui

khi: AF BD CE

EB DC EA  

Chứng minh:

Phần thuận:

Giả sử , đồng qui điểm (trong hay ngồi tam giác) Do có chung chiều cao (độ dài đường cao), với ΔBOD ;

ΔCOD diện tích tam giác ta có

Tương tự,

Ta suy

Tương tự,

và

(điều phải chứng minh) *Phần đảo

Giả sử ta có điểm , thỏa mãn đẳng thức Gọi giao điểm , gọi giao điểm Theo chứng minh trên,

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

Thêm vào vế ý , ta có

Do , trùng Vì , = đồng qui , định lí chứng minh (là theo hai chiều)

II Áp dụng

Bài toán 1: Sử dụng phần đảo định lý Ceva để kiểm tra lại đồng quy

đường trung tuyến, đường phân giác trong, đường phân giác đường phân giác ngoài, đường cao tam giác

* đường trung tuyến đồng quy điểm

* đường phân giác AA', BB', CC' (hoặc đường phân giác BB', CC' đường phân giác AA') đồng quy điểm

Theo tính chất đường phân giác ta có

' ' '

; ;

' ' '

A B AB B A AB C A AC A C  AC B C  BC C B  BC

Vậy ' ' '

' ' '

A B CB AC AB CB AC

A C AB BC  AC AB BC   (đpcm) * đường cao AH, BI, CK đồng quy điểm

Vận dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có

1 HB IC KA AB.cosB BC.cosC ACcosA

=

HC IA KB  AC.cosC ABcosA BCcosB  (đpcm)

Bài toán 2: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB, đáy nhỏ CD AD cắt BC F, M

là trung điểm AB Chứng minh MF, AC, BD đồng quy

Lời giải:

Theo phần đảo định lý Ceva, ta phải chứng minh MA BC FD MB FC AD  

Thật vậy:

1

MA

MB  (theo giả thiết) FD FC

AD  BC (Theo định lý Talet)

Từ đó: MA BC FD 1.BC FC 1.1

MB FC AD   FC BC   (đpcm)

Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với tiếp điểm A', B', C'

Lời giải

Ta phải chứng minh ' ' '

' ' '

A B B C C A A C B A C B  

Vì cạnh AB, BC, AC tiếp tuyến (O) nên AB'=AC'; CA'=CB'; BC'=BA'

Suy ' ' '

' ' '

A B B C C A A C B A C B  

Nhận xét: toán áp dụng định lý Ceva cách đơn giản Nếu ta sử dụng phương pháp khác đưa chứng minh thẳng hàng hay tạo tam giác nhận đường thẳng đường đặc biệt gặp khó khăn Bài tốn thay đường tròn nội tiếp thành đường trịn bàng tiếp

Bài tốn 4: Cho tam giác ABC đường cao AH Nửa đường trịn đường kính MN

Theo phần đảo định lý Ceva, ta phải chứng minh ' '

' '

HB B C C A

HC B A C B   (1)

 '

'

HB C B

HC  CB (2) (AC'=AB')

*Trước hết ta cần chứng minh dẳng thức phụ sau:

Cho (O) điểm A khơng nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai cát tuyến ABC AEF Chứng minh AB.AC=AE.AF

- Chứng minh

Thật ADE ∽ AFC (góc Â

chung, ADEAFC)

AD AF

AD AC AE AF AE AC

   

Ta áp dụng kết vào việc chứng minh toán

* Dễ thấy điểm A, B', O, H, C' thuộc nửa đường tròn (O) Áp dụng kết đẳng thức phụ vừa chứng minh ta có:

BH.BO=BC'.BA (3); CH.CO=CB'.CA (4) Từ (2) (3) suy '

'

BH BO BC BA CH CO  CB CA (5)

Mặt khác, AD phân giác góc ˆAnênBO AB

CO  AC (6)

Từ (5) (6) suy '

'

HB C B

HC  CB (2) (1) (đpcm)

III Bài tập rèn luyện

Bài 2: Trên các ca ̣nh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hinh vuông A1,

B1, C1, trung điểm cạnh hình vng nằm đới với cạnh BC,

CA, AB tương ứ ng Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy

Bài 3: Chứng minh các đường cao, đường trung tuyến, tâm đường tròn nô ̣i tiếp,ngoại tiếp tam giác đồng quy ta ̣i mô ̣t điểm

Bài 4: Trên các ca ̣nh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A1, B1, C1 cho

các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại mô ̣t điểm Chứng minh rằng các đường

thẳng AA2, BB2, CC2 đối xứ ng với các đường thẳng đó qua các đường phân giác