Vậy tập hợp những điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là đường thẳng đi qua điểm H (xác định như (1)) và vuông góc với O 1 O 2. Từ định lý 2.1 ta suy ra được các tính [r]
(1)PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
NGUYỄN TĂNG VŨ
I. Phương tích điểm đường tròn (Power of a point).
1 Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA MB MO 2 R2 d2 R2
Chứng minh:
Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có
CBAM hay B hình chiếu C AM
Khi ta có
2 2 2
MA MB MA MB MC MA MO OC MO OA
MO OA MO OA
MO OA OM OA d R
2 Định nghĩa Giá trị không đổi MA MB d 2 R2 định lý 1.1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu PM/(O) Ta có:
2
/
M O MA MB d R P
3 Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P PA PB PC PD điểm
A, B, C, D thuộc đường tròn
Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD D’ Khi ta có theo định lý 1.1 ta có PA PB PC PD , suy PC PD PC PD D D Suy điểm A, B, C
và D thuộc đường tròn 4 Chú ý:
1) Khi M nằm (O) PM O/ 0
2) Khi M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O)
2 /
PM O MT
GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglang.wordpress.com
B
C O
A
(2)B
T O
A
M
3) Nếu A, B cố định AB AM const M cố định Ý tưởng giúp ta giải toán
về đường qua điểm cố định
II. Trục đẳng phương hai đường tròn (Radical axis) – Tâm đẳng phương(Radical center)
1 Trục đẳng phương
a) Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M
có phương tích hai đường tròn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2)
Chứng minh:
a) Phần thuận
Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường trịn
Gọi H hình chiếu M O1O2, I
trung điểm O1O2 Ta có:
1
2 2
1 2
/ /
2 2
1 2
2 2 2
1 2
2 2
1 2
2
1 2
2
2 1
2 2
1
.2
1
PM O PM O MO R MO R
MO MO R R
MH HO MH HO R R
HO HO R R
HO HO HO HO R R
O O HI R R
R R IH O O
Từ suy H cố định, suy M thuộc đường thẳng qua H vng góc với O1O2
b) Phần đảo
O1 H O2
(3)Các phép biến đổi phần thuận phép biến đổi tương đương nên ta dễ dàng có điều cần chứng minh
Vậy tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn là đường thẳng qua điểm H (xác định (1)) vng góc với O1O2
b) Các hệ quả
Cho hai đường tròn (O) (I) Từ định lý 2.1 ta suy tính chất sau: 1) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm
2) Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng. 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc
với OI trục đẳng phương hai đường trịn
4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn
5) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng.
6) Nếu (O) (I) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với OI là trục đẳng phương hai đường trịn
2 Tâm đẳng phương (Radical Center)
a) Định lý 2.2 Cho đường tròn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương
cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn
Chứng minh
Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Ci) (Cj) Ta xét hai trường hợp sau
a) Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng qt ta giả sử d12 // d23
Ta có d12 O O d1 2, 23 O O2 suy O O O1, 2, thẳng hàng Mà d13 O O1 3suy d13//d23//d12 b) Giả sử d12 d23 có điểm M chung Khi ta
có
1
1
2
/ /
13
/ /
/ /
P P
P P
P P
M O M O
M O M O
M O M O
M d
Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại
GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglang.wordpress.com
M
O1
(4)Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương lại
b) Các hệ
1 Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm
2 Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng. Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng
4 Cách dựng trục đẳng phương hai đường trịn khơng cắt nhau:
Cho hai đường trịn (O1) (O2) khơng cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương hai
đường tròn sau:
- Dựng đường tròn (O3) cắt hai đường tròn (O1) (O2) A, B C, D
- Đường thẳng AB CD cắt M
- Đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1)
(O2) (Hình vẽ)
M
C
D
B
A
O1 O2
(5)III. Các ví dụ
1 Các tốn phương tích
Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định
Hướng dẫn Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có:
/ /
PA I AC AB AM AN PA O (khơng đổi vì
A, (O) cố định)
Suy
/
PA O
AC
AB
Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định
Suy I thuộc đường trung trực BC cố định
Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định
Hướng dẫn
Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K)
Gọi M giao điểm CD AB
Vì CD trục đẳng phương (O) (K) nên ta có:
GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglang.wordpress.com
C M
N O
I A
B
I O
A B
K
(6)
2 2
2
MH MI MC MD MA MB
MB BH MB BI MB MB BA
MB BH MB BH MB MB BA
MB BH MB MB BA
BH BM
BA
Vì A, B, H cố định suy M cố định Ví dụ (Chọn đội tuyển PTNK 2008):
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hính chiếu A lên d A B A C âm không đổi Gọi M hình chiếu
của A’ lên AB Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định
Hướng dẫn
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’
Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN
Dễ thấy AM AB AA 2 AN AC
Suy tứ giác BMNC nội tiếp
AMN ACB
Mà ADB ACB
Nên AMN ADB
Suy MPDB nội tiếp
Do ta có AP AD AM AB AA2
Mà A, A’ D cố định suy P cố định Gọi H hình chiếu K AA’
Ta có
2
4
AP AH AI AK IN AA
Mà A, P, A’ cố định suy H cố định
Vậy K thuộc đường thẳng qua H vng góc với AA’ I
P
H D
K M
N A
(7)Ví dụ (IMO 95/1)
Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường trịn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường trịn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui
Hướng dẫn:
Gọi Q, Q’ giao điểm DN AM với XY Ta cần chứng minh Q Q
Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy PM PC PQ PZ
Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy PQ PZ PN PB Mà P thuộc XY trục đẳng phương đường trịn đường kính AC đường trịn đường kính BD nên
PN PB PX PY PM PC
Suy PQ PZ PQ PZ Q Q Vậy XY, AM DN đồng quy
2 Các toán trục đẳng phương – Tâm đẳng phương
Ví dụ Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường trịn C Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F
a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy
b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng
Hướng dẫn
a) Ta có
2
CA CD CH CB CE, suy ADEB nội tiếp Xét
GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglang.wordpress.com
Q
Z N
M
Y X
A B C D
P
P
Q
M E
D
C
O
(8)đường tròn (ADEB), (O) đường trịn đường kính CH, DE, AB CF trục đẳng phương cặp đường tròn nên chúng đồng quy
b) Ta có PQ trục đẳng phương ( C) (O) nên OCPQ Ta dễ thấy ODDE
Hơn H tâm đẳng phương ba đường trịn (O), ( C) đường trịn đường kính CH Suy PQ qua H
Vậy DE, PQ qua H vng góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hang
Ví dụ (MOP 95)
Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt tai H M trung điểm BC, N giao điểm DE BC Chứng minh NH vng góc với AM
Hướng dẫn
j
F I O
H
M N
E
D A
B C
Ta có
2. 2.
DEH DAH DBC FEH
FED FEH DBC DMC
Suy tứ giác EDMF nội tiếp
Từ ta có NE ND NF NM , suy N nằm trục đẳng phương đường tròn đường
kính MH đường trịn đường kính AH
Mặt khác H giao điểm (O) (I), suy NH trục đẳng phương (O) (I) Suy NH OI, rõ rang OI // AM, NH AM
(9)Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi P điểm bên tam giác ADE, F G giao DE với BP CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt điểm thứ hai Q Chứng minh AQ OI
Hướng dẫn.
M
N
F G
E A
B C
P
D
Gọi M giao điểm thứ hai AB (PDG), N giao thứ hai AC (PFG) Ta có AMP PGD PGD PCB (đồng vị), suy AMP PCB , suy BMPC nội tiếp.
Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp
Suy BMNC nội tiếp, suy AM AB AN AC
Mà
AD AE
AB AC (Định lý Thalet) Suy AM AD AN AE
Do A thuộc trục đẳng phương PQ (PDG) (PEF) suy AQ OI
Ví dụ (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác ABC tam giác nhọn tam giác cân nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho vng góc với OA cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm d AB, AC Giả sử BN CN cắt K, AK cắt BC
a) Gọi P giao AK BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định
(10)b) Gọi H trực tâm tam giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ A đến HK.Chứng minh KH qua trực tâm tam giác ABC, từ suy ra:
2
4
l R a
Hướng dẫn.
Z
Q
J
D I
Q P
L
K
X H
M
N
O A
B C
Y
a) Gọi Q giao điểm MN BC, E trung điểm BC Xét tứ giác BMPC ta biết Q, P, B, C hang điểm điều hòa Suy (QPBC) = - Khi ta có:
2
EP EQ EB , suy QE QP QE 2 QE PE QE 2 EB2 OQ2 OB2 QB QC
Mà tứ giác BMNC nội tiếp có NCB xAB AMN (Ax tia tiếp tuyến (O)) Suy ra
QM QN QB QC
Từ suy QM QN QP QE , suy tứ giác MNIP nội tiếp, suy đường tròn ngoại tiếp tam
giác MNP qua điểm E cố định
b) Giả sử đường cao AD, BF CJ tam giác ABC cắt I; ba đường cao MX, AY, NZ tam giác AMN cắt H Ta cần chứng minh K, I, H thẳng hàng Xét đường trịn tâm (O1) đường kính BN tâm (O2) đường kính CM
(11)
KC KM KB KN IC IJ IB IF HM HX HN HZ
Suy K, I, H thuộc trục đẳng phương (O1) (O2) nên thẳng hang
Từ suy AL AI
Mà
2
2 2
2
4
BC
AI OE R R a
Nên AL l 4R2 a2
IV Bài tập
1. Cho đường tròn (O) A, B hai điểm cố định đối xứng qua O M điểm chuyển
động (O) MA, MB giao với (O) P Q Chứng minh rằng:
AM BM
AP BQ nhận giá trị không đổi
2 (Thi vào trường Phổ Thông Năng Khiếu năm 2003 – 2004)
a) Cho đường tròn (C ) tâm O điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (C ) M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O
b) Cho đường tròn (C ) tâm O đường thẳng (d) nằm ngồi đường trịn I điểm di động (d) Đường trịn đường kính IO cắt (C ) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định
3 Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi ln qua hai điểm A B CM CM’ hai tiếp tuyến (O) Chứng minh rằng: a) M M’ thuộc đường tròn cố định
b) Trung điểm H MM’ thuộc đường cố định
4 (Việt Nam 2003) Trên mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) (O2) cố định tiếp xúc
tại M bán kính (O2) lớn bán kính (O2) Một điểm A di chuyển (O2)
sao cho điểm O1, O2 A không thẳng hàng Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB AC đến
(O1) (B, C hai tiếp điểm) Đường thẳng MB MC cắt đường tròn (O2) E F Gọi
giao điểm EF với tiếp tuyến A (O2) D Chứng minh D di chuyển
trên đường cố định A thay đổi (O2) mà O1, O2 A không thẳng hàng
(12)5 Cho đường trịn tâm O đường kính AB D điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d qua D vng góc với AB H điểm thay đổi d AH BH cắt (O) P Q Chứng minh PQ qua điểm cố định
6 Cho tam giác ABC đường cao AH thỏa AD = BC Gọi H trưc tâm tam giác, M N trung điểm BC AD Chứng minh HN = HM
7 Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi H, K trực tâm tam giác OAD OBC; M, N trung điểm AB CD Chứng minh MNHK
8 (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB D, E, F X điểm bên tam giác ABC cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BD D, tiếp xúc với XB, XC Y, Z Chứng minh EF, YZ BC đồng quy
9 (USAMO 1997) Cho tam giác ABC Về phía tam giác dựng tam giác cân DBC, EAC, FAB có đỉnh D, E, F Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vng góc với EF, FD DE đồng quy
10 F điểm cạnh đáy AB hình thang ABCD cho DF = CF E giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi (O1), (O2) đường tròn ngoại tiếp tam giác
ADF BCF Chứng minh EF O O1
11 (IMO 1994 Shortlist) Một đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng song song d1
d2 Đường tròn thứ hai (C1) tiếp xúc với d1 A tiếp xúc với (C) C Đường
tròn thứ (C2) tiếp xúc với d2 B tiếp xúc với (C) D tiếp xúc với (C)
E Gọi Q giao điểm AD BC Chứng minh QC = QD = QE
12 Cho tam giác ABC Dựng hình vng DEFG nội có đỉnh D, E thuộc cạnh BC, F, G thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phương hai đường tròn (ABD)
(ACE) Các đường thẳng dA, dB xác định tương tự Chứng minh dA, dB, dC đồng
quy
13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M trung điểm BC, M’ giao điểm AM (O) Tiếp tuyến M cắt đường thẳng qua M vng góc với AO X Y, Z xác định tương tự Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng
(13)Kiến thức phương tích trục đẳng phương đơn giản dễ hiểu, nhiên có ứng dụng nhiều thường cho lời giải hay tốn chứng minh vng góc, thẳng hàng hay tốn đồng quy…Bài viết cịn sơ sài mong bạn góp ý để hồn thiện chun đề