Đề tài Phương pháp và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-Si trong giải toán

Dấu = xảy ra khi a = 3 Qua ví dụ 1 có thể thấy kỹ thuật “bằng đều” nêu trên cho ta cách chọn cặp số thoả mãn điều kiện khi dấu đẳng thức xảy ra trong áp dụng bất đẳng thức Cô-si.Như vậy [r]

Më ®Çu Lý chọn đề tài Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức là mảng toỏn khú, nú cú mặt tất các môn: Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích phải nói bất đẳng thức là công cụ sắc bén Toán học Đẳng thức và bất đẳng thức luôn là hai phương tiện hỗ trợ lẫn Đẳng thức cho kết chính xác tuyệt đối còn bất đẳng thức mềm dẻo hơn, cho phép cân nhắc vấn đề, ước lượng kết quả, từ đó nhìn nhận thực tiễn toán học góc độ rộng Vì việc vận dụng các bất đẳng thức uyển chuyển và linh hoạt Học sinh yêu Toán cần học tập cách vận dụng các bất đẳng thức nhiều hình thái đa dạng Trong đề thi học sinh giỏi Toán thường có bài toán liên quan đến bất đẳng thức Trong đề thi Đại học các năm gần đây, Bộ giáo dục thường đề thi với câu cuối cùng là bất đẳng thức với mục đích có thể phân loại học sinh các kỳ thi đó Nhưng thông thường học sinh không nắm phương pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức lẽ: Các bài toán bất đẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều bài toán phải sử dụng các bất đẳng thức phụ khó nhớ, chí phải sử dụng khối lượng lớn kiến thức hệ thức lượng tam giác nên phần lớn học sinh gặp nhiều khó khăn giải các bài toán bất đẳng thức Ngoài các bất đẳng thức hình thành từ phép biến đổi tương đương, bất đẳng thức Cô-si là bất đẳng thức quan trọng, có nhiều ưu giải bài toán bất đẳng thức.Trong bài toán đơn giản, việc áp dụng bất đẳng thức Cô-si diện học sinh đại trà là đơn giản, dễ tiếp cận Song bài toán phức tạp để có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào giải các bài toán này, thì vấn đề không đơn giản chút nào Vấn đề đặt đó là người giải toán phải chọn cặp số thoả mãn các điều kiện bất đẳng thức Côsi Các điều kiện thoả mãn bất đẳng thức Cô-si không là điều kiện không âm cặp số mà còn phải thoả mãn điều kiện dấu đẳng thức xảy Giải điều đó, bài toán áp dụng trở nên đơn giản Như để có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si bài toán phức tạp, người giải toán cần có phương pháp, kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức này Với vài năm kinh nghiệm, với mong muốn tạo hứng thú cho học sinh học nội dung bất đẳng thức đồng thời giúp học sinh dễ hiểu với bất đẳng thức, cùng với mong muốn nâng cao kiến thức thân nâng cao chất lượng dạy và học Toán nhà trường phổ thông, tôi xin trân trọng giới thiệu : “Phương pháp và kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si giải toán” Lop10.com Phần I : Các kiến thức 1- Bất đẳng thức Cô-si 1.1 Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a1  a  a1 a 2 Với hai số không âm a1,a2 ta có 1 Chứng minh: Ta có 1  a1  a   a  a2 a1 a  0 2 Do 2 đúng nên 1 luôn luôn đúng Dấu đẳng thức 1 xảy  a1  a 1.2 Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm Với ba số không âm a1, a2, a3 ta có a1  a2  a3  a1a2 a3 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có: 3 a1  a  a1 a a3  a1 a a3  a3 a1 a a3 4 2 a1 a  a3 a1 a a3   a1 a a3 a1 a a3  43 a1 a a3   Cộng vế 3, 4 5  5 a1  a  a3  a1 a a3 (đpcm) Dấu đẳng thức xảy  3, 4 5, đồng thời xảy đẳng thức  a1  a  a3 1.3 Bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm Với bốn số không âm a1,a2, a3, a4 ta có a1  a  a3  a 4  a1 a a3 a Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có a1  a  a1 a a3  a  a3 a   a1 a  a3 a  a1 a a3 a 5 6 7  Cộng vế 5, 6, 7  Lop10.com Dấu đẳng thức xảy  5, 6 7 đồng thời xảy đẳng thức  a1  a  a3  a Tổng quát: Với các số không âm a1, a2, , an có a1  a  a n n  a1 a a n * Dấu đẳng thức * xảy  a1  a  a n Bất đẳng thức đường gấp khúc  a2 V ới ta có:         a1  a   a n  a1  a   a n   an a1 a1  a   a n  Dấu đẳng thức xẩy  a1  a   a n Các bất đẳng thức phụ thường dùng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với a,b,c (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) với a,b,c 1 (a + b +c )     ≥ với a,b,c > a b c a2 + b2 + c2 ≥ a  b  c 2 với a,b,c Phần II Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Lop10.com Cho a ≥ chứng minh a + 10  a3 a Dự đoán : a + Khi a = → 10  a 1  ; nên không thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số a và vì dấu a a không xẩy Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số a và , vấn đề đặt là chọn  = ? thì đủ, vì a theo dự đoán trên đầu thì dấu = xẩy a = nên ta có    a    a  Bài giải: a+ a a 1  a   a theo bất đẳng thức Cô-si    a a a a Cho a ≥ → 8a 8 10  Vậy a     (ĐPCM) a 3 Dấu = xảy a = Qua ví dụ có thể thấy kỹ thuật “bằng đều” nêu trên cho ta cách chọn cặp số thoả mãn điều kiện dấu đẳng thức xảy áp dụng bất đẳng thức Cô-si.Như có thể thực chứng minh bất đẳng thức theo các bước sau:  Bước 1: Dự đoán nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức  Bước 2: Với dự đoán trên sử dụng kỹ thuật cân ghép các hạng tử Ví dụ toán với các hạng tử thích hợp  Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Sau đây là số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 2: Chứng minh: Lop10.com a b5 c5 + +  a +b +c a,b,c>0  2 bc ca a b Bài giải: Dự đoán tính chất đối xứng bất đẳng thức, nên dấu xảy  a = b = c Khi đó: a5 b5 c5 = = =a =b =c 2 2 bc ca a b Ta có thể chọn đó hạng tử phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Cô-si sau: a5 a5 a a b b c 2 2 + +b +b +c  =5a 2 2 2 bc bc b b c Tương tự: b5 b5 b5 b5 c c a 2 2 + +c +c +a  =5b 2 2 2 ca ca c c a c5 c5 c5 c5 a a b 2 2 + +a +a +b  =5c 2 2 2 a b a b a a b Cộng vế bất đẳng thức nên ta có: a5 b5 c5 + +  a +b +c (ĐPCM) 2 bc ca a b Dấu xảy  a = b = c Ví dụ 3: a, b, c, d  a  b  c  d  Cho:  Chứng minh : a5 + b5 + c5 + d5  a4 + b4 + c4 + d4 Bài giải: Dự đoán tính chất đối xứng và theo giả thiết đẳng thức xảy a = b = c = d = Khi đó: a5 = b5 = c5 = d5 = a4 = b4 = c4 = d4 Từ đó dẫn đến lời giải sau, theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a  a  a  a   5a   b5  b5  b5  b5   5b   c5  c5  c5  c5   5c  d  d  d  d   5d  Lop10.com  4(a  b5  c5  d )   5(a  b  c  d ) (1) a     4a   b     4b   c     4c  d     4d   a  b  c  d  4(a  b  c  d)  12  (2) Từ (1) và (2)  a  b5  c5  d  a  b  c4  d (ĐPCM) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = d = Ví dụ 4: Chứng minh: a4 b4 c4 S= + +  a +b3 +c3 a+3b b+3c c+3d   (a,b,c > 0) Bài giải: Vì bài toán đối xứng với a, b, c nên dấu đẳng xảy a = b = c a  3b a  a a4  a  3b 16 b4 (b  3c)b   b b  3c 16 c4 (c  3a )c   c c  3a 16 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều trên ta có S≥ 3 (a  b  c )  (a b  b c  c a) 16 16 (1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a  a  b  3a b   b  b  c  3b c   a b  b c  c a  a  b  c (2) c  c  a  3c a  Từ (1) và (2) suy S= a4 b4 c4    (a  b  c ) a  3b b  3c c  3a Dấu đẳng thức xảy a = b = c Lop10.com Ví dụ 5: Chứng minh: S= a3 + b3 + c3 3b+c  3c+a  3a+b  2  a+b+c  (a,b,c > 0) 16 Bài giải: Do vai trò bất đẳng thức a,b,c nên dấu xảy a = b = c a3 Khi đó: số: = b3 = c3 3b+c  3c+a  3a+b  a3 2 = a b c = = nên không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 16 16 16 ; 3b+c ; 3b+c ( Do dấu đẳng không xảy ) 3b+c  Theo kỹ thuật cân ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số: a3 3b+c  3b+c 3b+c ; thì dấu xảy a = b = c 64 64 ; Áp dụng Cô-si ta có: a 3b+c  3b+c 3b+c + +  33 = a 2 64 64 3b+c  64 16 a3 3b+c  Tương tự: b3 3c+a  3c+a 3c+a + +  33 = b 2 64 64 3c+a  64 16 b3 3c+a  c3 3a+b  3a+b 3a+b + +  33 = c 2 64 64 3a+b  64 16 c3 3a+b  Cộng vế với vế bất đẳng thức cùng chiều trên ta có: S+ + a+b+c   a+b+c   S  a+b+c  (ĐPCM) 16 16 Đẳng thức xảy khi: a = b = c Ví dụ 6: Chứng minh: a8 b8 c8 d8 + + +  a +b +c +d 3 3 bcd cda da b abc (a,b,c,d > 0) Lop10.com Bài giải: Do tính đối xứng nên đẳng thức xảy a = b = c Tương tự kỹ thuật cân đều, ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô-si a8 a8 + +b +b +b +c +c +d  8a bcd bcd 8 8 8 b b + +c +c +c +d +d +a  8b cda cda c c + +d +d +d +a +a +b  8c da b da b d d + +a +a +a +b +b +c  8d abc abc Cộng các vế bất đẳng thức trên: a8 b8 c8 d8 + + +  a +b +c +d bcd cda da b abc (ĐPCM) Đẳng thức xảy  a = b = c = d Ví dụ 7:  a, b, c  a6 b6 c6 chứng minh :    b c a a  b  c  Cho  Bài giải Do tính đối xứng nên dấu đẳng thức xảy a = b =c =1 Khi đó : a6 b6 c6   1 b5 c5 a5 a6 a6 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số : ; b; a ; b;1 b b a6  b  b  b  b  b  a  7a b5 b6  c  c  c  c  c  b  7b c5 Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: a6 b6 c6   a  b  c b5 c5 a5 Lop10.com gt  a  b  c   6 Như vậy, ta có:  a b c    a  b  c c a b  cmt  a6 b6 c6   3 b5 c5 a5 Dấu đẳng thức xảy  a = b = c =1 Ví dụ 8: Chứng minh: a b6 c6 1      với a,b,c  b c8 c8 a b c Bài giải: Do tính đối xứng nên đẳng thức xảy |a| = |b| = |c| Áp dụng bất đẳng thức Cô-si K 1   (I) ab bc ac 1 1 1 Theo bất đẳng thức Cô-si:     ab  bc  ac        ab Từ (I) và (II)  K  bc ac  ab bc ac (II) ab  bc  ac (ĐPCM) ab  bc  ac Dấu đẳng thức xảy khi: a  b  c Ví dụ 9: Chứng minh T = a2 b2 c2 a2  b2  c2   64 (b  c) (a  c) (b  a ) Bài giải: Theo bất đẳng thức Cô-si a2 (b  c) (b  c) (b  c) a       (b  c) 22 22 22  2 2 b (a  c) (a  c) (a  c) b   T  (b  a )  (b  c)  (a  c)     2 2  (a  c) 2 2  2 2  c (b  a ) (b  a ) (b  a ) c     2 2 2 (b  a ) 2 2   (b  a )  2(b  a )  a2  b2  c2 Mà (b  c)  2(b  c ) T     a  b  c  64  2 (a  c)  2(a  c )    Lop10.com  ( ĐPCM) Ví dụ 10: Chứng minh: a, b, c  a b c d   b  c  d c  d  a d  a  b a  b  c 40 H         a b c d  bcd cda dba abc Bài giải: Ta có: a b c d bcd cda dab abc        bcd cda dba abc 9a 9b 9c 9d 8 bcd cda dab abc 8 40         12  9 a b c d  H Dấu đẳng thức xảy  a = b = c Ví dụ 11:  x, y , z  x 2009 y 2009 z 2009 chứng minh : T  2008  2008  2008  y z x x  y  z  Với giả thiết:  Bài giải: Dó tính đối xứng nên đẳng thức xảy x = y = z = Khi đó: x 2009 y 2009 z 2009  2008  2008  x  y  z  2008 y z x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có : x 2009  y   y  2009 x y 2008 2008 Số y 2009  z   z  2009 y z 2008 2008 Số z 2009  x   x  2009 z x 2008 2008 Số 10 Lop10.com Cộng các vế bất đẳng thức ta : T + 2008(x+y+z) ≥ 2009(x+y+z) →T ≥ (x+y+z) ≥1 Dấu đẳng thức xảy x =y=z = Như trên sở đẳng thức xảy các số tham gia bất đẳng thức Cô-si nhau, ta có thể đưa nhiều cách chọn số khác Sau đây là số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 12: a b c8 Chứng minh:    a  b6  c6 ( a,b,c > ) b c a Bài giải: Cách 1: Theo kỹ thuật cân ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số sau:  a8 a8 a8    b6  4a  b b b  8  a b c8  b b b8 6     c  4b        a  b6  c6 c c c c a  b  8  c c c    a  4c6  a a a    a b c8        a  b6  c6 c a  b   Dấu đẳng thức xảy a = b =c Cách 2: Cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si sau: a8  b a  2b6 b2 b8  c b  2c6 c c8  a c  2a a 11 Lop10.com  a b c8 Vậy    b 2a  c2 b  a 2c4  2(a  b6  c6 ) (1) b c a a  a  b6  3a b b6  b6  c6  3b c  (a  b6  c6 )  a b  b c  c a (2) c6  c6  a  3c a Cộng các vế tương ứng (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Ví dụ 13: Cho a,b,c > a7 b7 a7 Chứng minh: S=    ab  bc  ca b b b Bài giải: Dự đoán tính chất đối xứng bất đẳng thức, nên dấu đẳng thức xẩy ↔ a = b = c Khi đó : a7 b7 a7    ab  bc  ca  a  b  c b3 b3 b3 Do ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số lựa chọn trên, để có lời giải sau: Cách : Theo bất đẳng thức Cô-si ta có : a7 a 7b3a  ab   2a b3 b3 Tương tự : b7 b c 3b  bc   2b c3 c3 c7 c a 3c  ca   2c a3 a3 Cộng các vế bất đẳng thức trên S + (ab3+bc3+ca3) ≥ (a4 + b4 + c4) (1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si : 12 Lop10.com a  a  a  c  a c  4 4 4 3 b  b  b  a  4b a → a + b + c ≥ a c + c b + b a (2)  c  c  c  b  4c b  Từ (1) và (2) → S ≥ a3c + c3b + b3a (ĐPCM) Dấu đẳng thức xảy ↔ a = b = c a  3b a  a a4  a  3b 16 b4 (b  3c)b   b b  3c 16 c4 (c  3a )c   c c  3a 16 Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có S≥ 3 (a  b  c )  (a b  b c  c a) 16 16 (1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có a  a  b  3a b   b  b  c  3b c   a b  b c  c a  a  b  c (2) c  c  a  3c a  Từ (1) và (2) suy S= a4 b4 c4    (a  b  c ) a  3b b  3c c  3a Dấu đẳng thức xảy a = b= c Cách 2: Ta có thể chọn các hạng tử và áp dụng bất đẳng thức Cô-si theo cách sau: a7 a7 a7 a7 4 a a a a b b b + + + +b +b +b  =7a 3 3 3 3 b b b b b b b b Tương tự: b7 b7 b7 b7 4 b7 b7 b7 b7 c c c + + + +c +c +c  =7b 3 3 3 3 c c c c c c c c c7 c7 c7 c7 4 c7 c7 c7 c7 a a a + + + +a +a +a  =7c 3 3 3 3 a a a a a a a a Cộng các bất đẳng thức trên suy ra: 13 Lop10.com a b7 c7 + +  a +b +c (1) b c a Tương tự cách 1: a +b +c4  a 3c+c3b+b3a (ĐPCM) Dấu đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 14: a b c d Cho a,b,c,d > và a  b  c  d  Chứng minh: S  a+b+c+d+     17 Bài giải: Cách 1: Do bất đẳng thức có tính đối xứng nên đẳng thức xảy a  b  c  d  Vì không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số trên vì đẳng thức không xảy Để ý thấy đẳng thức xảy a   a  Để áp dụng Cô-si, ta phải biếu diễn thành 16 số 1 1 , tương tự ; ; 16.a b c d 1 1 S  a+b+c+d+     a+b+c+d a b c d 1 1 1 1 +            16a a16 16b b16 16c c16 16d d16     16 số 16 số 16 số 16 số Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có:  a+b+c+d  a+b+c+d  4 abcd  abcd     4   1 460 68  S  6868 64  68 128  6868 68  17 15 (abcd) 16 4 Vậy Smin  17  a  b  c  Cách 2: 16 1 1 1 S  a+b+c+d         a+b+c+d   abcd a b c d Đặt a  b  c  d  t   t   S  t  16 t 14 Lop10.com Bài toán trở chứng minh S  17 với  t  Áp dụng kĩ thuật cân đều: 15 15 S  t    t   17 ( ĐPCM ) Dấu đẳng thức xảy  a  b  c  d  t t t t Ví dụ 15:  a , b, c , d  a  b  c  d  Cho  Chứng minh : S = a2 b2 c2 d2 a2 b2 c2 d2 33         bcd cda dab abc b  c c  d d  a a  b Bài giải: Cách : Phân tích vai trò a, b, c, d nên đẳng thức xảy ↔a=b=c=d=  a2 b2 c2 d2     4( I )  dab abc Ta có:  2bcd cda 2  a  b  c  d  ( II )  b  c c  d d  a a  b Vậy để áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì số vế phải biểu diễn dạng 32 sô nhỏ nó 32 lần Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 132 sô ta có S= a2 a2 b2 b2 c2 c2 d2 d2 a2 b2 c2 d2                32bcd 32bcd 32cda 32cda 32dab 32dab 32abc 32abc b  c c  d d  a a  b 32 số 32 số 32 số 32 số  132132  132132 1 1 (abcd ) 66  132 128 30 128 96 4 32 32 (abcd ) (a  b)(b  c)(c  d )(d  a )  a  b  c  d     a  b  c  d                 33 4120.2  ( ĐPCM) 128 32 Dấu đẳng thức xảy ↔ a = b = c = d = 15 Lop10.com Cách 2: Theo bất đẳng thức Cô-si: a2 b2 c2 d2 1    4 4  16 (1) bcd cda dab abc abcd abcd      Do a + b+ c+ d = và sử dụng tính chất : A ≥ B > ↔ < Ta lại có : 1  A B a2 bc a b  c   2 a b  c 4 bc Tương tự : b2 cd b (c  d )  2 b cd (c  d ) c2 d a c (d  a)  2 c d a (d  a)4 d2 ab d ( a  b)  2 d ab ( a  b) Cộng lại ta có : a2 b2 c2 d2 abcd      (2) bc cd d a ab 2 Từ (1),(2) → S ≥ 16 + 33  (ĐPCM) 2 Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = d = Ví dụ 16: Chứng minh: K = a 2c b 2c c 2a    ab  bc  ca b c a a, b, c  0 Bài giải: Do tính chất đối xứng đẳng thức xảy khi: a = b = c Mà theo yêu cầu đầu bài, ta nghĩ đến bất đẳng thức: a  b  c      ) a, b, c  0 a 1 Vậy      a b c b c bất đẳng thức xảy a = b = c ab  bc  ca 16 Lop10.com a 2c b 2c c 2a 1 Vậy ta phải chứng minh: K =      a b c b c a Đây là dạng bài toán thông thường dễ chứng minh theo bất đẳng thức Cô-si a 2c 1 3    2 ac ab b  b 1   1  K  2     3   2 b a 1 3 b c  ab bc ca   a    2 ab bc c  c 1 1 1 Mà      c b 1  ab bc ca a b c    2 ac bc a  a     K    I   ab bc ca   Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1  1  II   ab  bc  ca         ab bc ca ab  bc  ca  ab bc ca  Từ (I)(II)  K  (ĐPCM) ab  bc  ca Dấu đẳng thức xảy  a = b = c Ví dụ 17: Cho a, b, c >0 Chứng minh a8 b8  b  c  14b c c  a  14c a c8  8 4 a  b  14a b Bài giải: Do 14b c  8b c  6b c  8b c  3(b  c )  b  c  14b c  4(b  c )  8(b c )  4(b  c ) a8 b4   b  c  14b c c  a  b8 a4  c  a  14c a b  c  c8 c4  a  b  14a b a  b Đặt S  S a8 b8  b  c  14b c c  a  14c a c8 a  b  14a b a4 b4 c4 3   S  4 4 4 2b c 2 c a a b 17 Lop10.com (do x, y >  x y z    ) yx zx x y Dấu đẳng thức xảy  a  b  c Ví dụ 18: Chứng minh: T = Bài giải:: T = x  x  10  x  x   20 ( x  3)  12  ( x  1)  Đặt a  ( x  3;1)   a  b  (4;2) b  (1  x;1)   T  a  b Mà a  b  a  b   2  20 Vậy T  20  Dấu đẳng thức xảy a // b  x    x  x  1 Ví dụ 19: a, b, c  Chứng minh T = a.b.c  27 Cho  a  ab  c  b  bc  c  c  ac  a  Bài giải: Ta có T = b 3b    b  a    2    (a  b  c)   3(a  b  c)       2     c 3c   c    2  a 3a   2 Do tính chất đường gấp khúc : T  3(a  b  c)  333 a.b.c   333 27   (ĐPCM) 2 (a, b, c  27) Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ 20: Cho a,b,c > và a + b +c  Tìm : S  a3 b3 c3   bc ac ab Bài giải: Do tính đối xứng nên ta dự đoán Smin a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số a3 ; (b  c) ;  bc 18 Lop10.com Dấu đẳng thức xảy áp dụng bất đẳng thức Cô-si a  b  c  Theo kĩ thuật cân đều:    1 ;  12 18 Theo bất đẳng thức Cô-si: a3 bc a (b  c)   3  a b  c 12 18 (b  c).12.18 Tương tự: b3 aa b3 (c  a)    33  b c  a 12 18 (c  a).12.18 c3 ba c3 (b  a)    33  c ba 12 18 (b  a).12.18 Cộng vế bất đẳng thức: S 1 1 (a  b  c)  (a  b  c)   6 (do a  b  c  ) Vậy Smin   a  b  c  Ví dụ 21: Tính Min: S= 1+  a  b  c   1+  1+  với (a,b,c > 0) 2b   2c   2a  Bài giải: Do tính đối xứng nên ta dự đoán Smin a = b = c Lúc đó Smin = 33 27 a b c = = = = và 2b 2c 2a 2 Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số ; a 2b 1 2 Muốn áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta phải tách 1= + Hoặc đưa a a dạng 2b b Theo bất đẳng thức Cô-si  a 1 a 33 a     2b 2 2b b 19 Lop10.com Tương tự: 1 b 1 b 33 b     2c 2 2c c 1 c 1 c 33 c     2a 2 2a a Cộng vế bất đẳng thức: a  b  c  27 abc 27 27  S  1   1   1      Smin  8  2b   2c   2a  abc Dấu đẳng xảy  a = b = c Ví dụ 22: Cho a, b, c, d > Tìm S  a b c d bc cd da ab        bc cd da ab a b c d Bài giải: Do tính đối xứng nên Smin a = b = c = d Vì không áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho a bc bc bc bc   và Ta phải tách bc a a 4a a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bc bc và , các biểu thức còn lại tách a 4a b c d bc cd da ab 3 b c c d d a a b  a S                  4b 4c 4d   a a b b c c d d   b  c c  d d  a a  b 4a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số: abcd(b  c)(c  d)(d  a)(a  b) a b2c2d S8  2 2    10 (c  d)(b  c)(d  a)(a  b)abcd a bcd Vậy Min S = 10  a = b = c = d Ví dụ 23: a, b, c  1 Tính S  1   1   1    6a   6b   6c  a  b  c  Cho  20 Lop10.com