tìm hiểu hệ hình thức lagrange và áp dụng giải toán cơ học

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC TÌM HIỂU HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ TÌM HIỂU HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC GVHD: Ths. Trần Ngọc Bích SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại Lớp: ĐHSP Toán – Lý K50 Đồng Hới, tháng 5 năm 2011 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khoa học ngày càng phát triển đưa con người tới một tầm cao mới. Trong những bước tiến của công nghệ, vật lý học nói chung và cơ học nói riêng càng thể hiện rõ vai trò là những kiến thức nền tảng. Việc nghiên cứu tìm hiểu quy luật chuyển động của các vật thể và tìm phương trình biểu diễn chuyển động ấy vốn là vấn đề được các nhà vật lý đặc biệt quan tâm. Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton mô tả chuyển động của các vật thể bằng phương trình liên hệ giữa ba đại lượng lực, khối lượng và gia tốc. Cũng là một phạm vi kiến thức của Cơ học cổ điển – Cơ học Newton, 2 Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh Đào Văn Thoại 3 Cơ học lý thuyết giải quyết bài toán mô tả chuyển động bằng các hình thức khác. Một trong số đó là hệ hình thức Lagrange với công cụ cơ bản là nguyên lý biến phân Hamilton. Nguyên lý này cùng với các nguyên lý vật lý đã cho phép xây dựng một hệ thống khái niệm đầy đủ để xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xác định được sự biến đổi trạng thái theo thời gian. Nói cách khác, hệ hình thức này thiết lập được phương trình chuyển động của cơ hệ, gọi là phương trình Lagrange. Từ đó, phương pháp giải quyết một phạm vi bài toán cơ học khá rộng dựa trên nguyên lý Hamilton với phương trình chuyển động Lagrange được ghi nhận. Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại MỞ ĐẦU HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC MỞ ĐẦU Với mục đích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu liên quan đến chuyên ngành của mình. Và được sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Th.s Trần Ngọc Bích cùng các tài liệu mà cô cung cấp mục đích là để tìm hiểu rõ hơn về hệ hình thức Lagrange cũng như việc áp dụng vào giải các bài toán cơ học, chúng tôi chọn vấn đề “Tìm hiểu hệ hình thức Lagrange và áp dụng giải toán cơ học” để nghiên cứu trong đề tài này. 2. Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu thiết lập phương trình chuyển động Lagrange từ nguyên lý Hamilton và vận dụng vào việc giải một số bài tập cơ học. Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC MỞ ĐẦU 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống lại các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích, thông qua các khái niệm đi đến mối quan hệ giữa nguyên lý Hamiton và hàm Lagrange. - Xây dựng phương trình Lagrange cho các cơ hệ vật lý. Đồng thời ứng dụng vào việc giải các bài toán vật lý cụ thể. 4. Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết: phân tích, đánh giá, tổng hợp các tài liệu tham khảo liên quan, sử dụng công cụ toán học cao cấp, áp dụng phương pháp của hệ hình thức Lagrange để gải quyết bài toán chuyển động của một số cơ hệ vật lý. 5 Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC NỘI DUNG A. HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE • I. Khái niệm liên kết và tọa độ suy rộng • 1. Số bậc tự do • Xét một cơ hệ gồm N chất điểm M 1 , M 2 ,…, M N chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính. Vị trí chất điểm M i trong không gian được xác định bán kính vectơ Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính vectơ hay3N tọa độ Dexcartes • Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do (s) của nó . ( , , ) i i i i r x y z r i r r , , , 1,2, i i i x y z i N= 6 Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC 7 Số bậc tự do của cơ hệ tự do - cơ hệ mà vị trí và vận tốc của những chất điểm của hệ không bị hạn chế bởi một điều kiện nào là 3N. 2. Liên kết. Phương trình liên kết Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ vật lý trong không gian. Những điều kiện này không phụ thuộc vào lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động. Phương trình liên kết là phương trình biểu diễn mối quan hệ giũa các thông số trong cơ hệ. Số phương trình liên kết bằng số liên kết (k). Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC 8 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC Trong trường hợp tổng quát liên kết trong cơ hệ biểu diễn bởi k phương trình Cơ hệ gồm N chất điểm liên hệ với nhau bởi k phương trình liên kết thì có số bậc tự do là s = 3N – k. 3. Tọa độ suy rộng Sự có mặt của các liên kết làm cho bài toán chuyển động của cơ hệ trở nên phức tạp hơn. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để khử được các liên kết. Nếu hạn chế chỉ xét các hệ hôlônôm thì vấn đề trên được giải quyết bằng khái niệm tọa độ suy rộng. Giả sử cơ hệ gồm N chất điêm Mi (i = 1, …N ) chịu k liên kết hôlônôm được biểu diên bằng k phương trình: 1 2 1 2 ( , , , , , , ) 0 N N f r r r r r r t α × × × = ur ur uur r r r ( 1, )k α = Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại • Nếu k phương trình liên kết này là độc lập thì số bậc tự do của cơ hệ là: s = 3N – k. • Tiếp theo, giả sử ta tìm được s thông số q1, q2,…, qs liên hệ với các bán kính vectơ bởi các phương trình sau: • Các thông số độc lập gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu k liên kết. Số tọa độ suy rộng bằng số bậc tự do của hệ. 1 2 ( , , , , ) , ( 1, , ) i i s r r q q q t i N= = r r i r r 9 Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC • II. Nguyên lý Hamilton. Hàm Lagrange • 1. Nguyên lý Hamilton • Các nguyên lý đối xứng hình học gồm: • - Nguyên lý về tính đồng nhất của không gian • - Nguyên lý về tính đồng nhất của thời gian • - Nguyên lý về tính đẳng hướng của không gian. • - Nguyên lý tương đối 10 Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC [...]... phạm Toán – Lý như chúng tôi Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại 22 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã cố gắng tóm tắt đầy đủ, sâu sắc các khái niệm, kiến thức liên quan để trình bày tổng quan về hệ hình thức Lagrange, đồng thời áp dụng vào việc giải quyết một số bài toán tiêu biểu một cách cụ thể, rõ ràng Chúng tôi nhận thấy, phương pháp giải. .. SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại 16 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC Khử t trong các phương trình chuyển động, ta được phương trình quỹ đạo của chất điểm như sau: g 2 y = h + tan ϕ x − x 2 2 2v0 cos ϕ Đây chính là phương trình quỹ đạo cần tìm của chất điểm Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại 17 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC Bài tập 2 Một vật P có khối lượng... Minh Thanh, Đào Văn Thoại 13 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC - Hàm Lagrange có tính chất cộng được: Hàm Lagrange của cơ hệ gồm các thành phần không tương tác bằng tổng tất cả các hàm Lagrange của các thành phần đó L = L1 + L2 + + LN 2.1 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm N 1 không tương tác với nhau 2 L = ∑ mi vi i =1 2 2.2 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm... quả mà nó đem lại Trước một bài toán cơ học, phương pháp giải bằng phương trình Lagrange cho chúng ta cái nhìn tổng quát, lôgic, biết phân tích hiện tượng vật lý xảy ra trong cơ hệ và dùng giải tích toán học giải quyết bài toán, từ đó xác định một cách đơn giản giá trị cần tìm Nói cách khác, chúng tôi đã tích lũy được cách tư duy theo phương pháp Lagrange khi giải toán cơ học Điều này đặc biệt cần thiết... nêm đứng yên hệ chỉ có 1 bậc tự do, gọi x là quãng đường đi của vật P, ở đây tọa độ suy rộng của hệ cũng chính là q1 = x Hàm lagrange của hệ là: L = T –U với T là động năng, U là thế năng của hệ Ta có: 1 1 2 & + m2v 2 + J ω 2 T = m1 x1 2 2 −U = m1 gx + m2 gx sin α Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại 19 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC Sử dụng phương trình Lgrange và giải ta nhận...HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC •Các nguyên lý đối xứng hình học đó chưa đủ để xác định phương trình chuyển động cơ bản Người ta thấy rằng cần đề ra một nguyên lý khác, một phần mang tính chất toán học rõ : nét, một phần dựa vào một số kinh nghiệm của sự phát triển vật lý, nguyên lý này gọi là nguyên lý Hamilton hay nguyên lý tác dụng dừng Hamilton hay nguyên... có khối lượng m3 (như hình vẽ) Vật B chuyển động kéo ròng rọc lăn trên mặt phẳng nghiêng của nêm Sử dụng cơ học gải tích, hãy xác định quãng đường đi của vật P trong hai trường hợp chiếc nêm đứng yên và chiếc nêm chuyển động Biết vận tốc ban đầu bằng 0, vị trí ban đầu của vật là x0 Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại 18 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC Lời giải a) Khi chiếc nêm... dung như sau: Mỗi cơ hệ hôlônôm đều có thể được đặc trưng bởi một một & & hàm L nào đó có dạng L = L(qi , qi , t ) ≡ L( q, q, t ) gọi là hàm Lagrange của cơ hệ, các đối số của hàm là thời gian t, các tọa độ suy rộng và các đạo hàm bậc nhất của chúng theo thời gian q ≡ dq / dt , i = 1, s & i i Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại 11 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC ∂F d ∂F − =0 ∂y... Thoại 23 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC [ 1] TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật lý lý thuyết tập I, Nhà xuất bản Giáo dục 1983 [ 2] Đào Huy Bích, Phạm Huyễn, Phạm Hữu Vĩnh, Giáo trình cơ học lý thuyết, Tủ sách Đại học Tổng hợp, 1997 [ 3] Trần Ngọc Bích, “Bài Giảng Cơ học lý thuyết”, Trường Đại học Quảng... – Lagrange (phương trình Lagrange) , dùng để xác định hàm y(x) sao cho phiếm hàm I có giá trị dừng Theo phép tính biến phân đã trình bày ở trên ta sẽ thu được hệ s phương trình Lagrange sau: d ∂L − ∂L = 0 , i = 1,2, , s & dt ∂qi ∂qi trong đó các giá trị δ qi (t1 ), δ qi (t2 ) được giả thiết bằng không Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại 12 HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC 2 Hàm Lagrange . KHOA HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC TÌM HIỂU HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ TÌM HIỂU HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC . Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC 11 : Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh, Đào Văn Thoại HỆ HÌNH THỨC LAGRANGE VÀ ÁP DỤNG GIẢI TOÁN CƠ HỌC (