Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ôn thi vào chuyên toán

Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũngbiết được cách giải một [r]

(1)

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Web: http://edufly.vn

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM

NGUYÊN BẬC HAI HAI ẨN

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải Qua q trình giảng giải tơi xin đưa số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn” Việc giải phương trình cịn giúp học sinh có kỹ tìm giá trị nhỏ biểu thức bậc hai hai ẩn phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũngbiết cách giải số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn

II NỘI DUNG

Bài toán: Xét phương trình 2

1

a x a xya xa ya y a  Trong a10

2

a 0, a50

A.Các phương pháp giải

Phương pháp thứ :Viết vé trái thành tổng bình phương

Dạng 1: 2

A B C 

0 0 A

B

C     

  

Ví dụ:Giải phương trình nghiệm ngun

2

5x 2y 4xy9y8x140 (1)

(2)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

một tam thức cần có cách tách hợp lý Ta biết hang tử có bình phương hệ

sổ số phương,

2 2

5

2

x x x

y y y

 

Phương trình (1)  4x2x2y2y24xy4x4x9y140

Ta coi bình phương tam thức 2

(a b c  ) ((a b )c) bình phương

của nhị thức với biểu thức thử (a+b) bểu thức thứ hai c

Vậy (1) 4x2x2y2y24xy4x4x9y140

 ((2 )x 22.2 (x y1) ( y1)2(x2)2(y3)2 0

2 2

(2x y 1) (y 3) (x 2)

       

2

3

x y

y

x

   



  

  



2 x

y    

  

Bài tập luyện tập

Giải phương trình nghiệm nguyên:

2

(3)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Giải:

2

1, 2x + 5y +14 - 4xy -8y - 4x =

2 2

4 14

( 1) ( 3) ( 2)

2

3

x x y y xy y x

x y x y

x y

x x

y y

        

       

   

   

   

 

  



2

2) 5x + 2y +14 + 4xy - 4y + 8x =

2 2

4 14

(2 1) ( 2) ( 3)

x x y y xy x y

x y x y

        

       

2

3

x y

x x

y y

   

   

   

 

  



2

3) 5x +10y + 3-12xy + 8y - 2x =

2 2

4 12

(2 1) ( 1) ( 1)

2

1

x x y y xy x y

x y x y

x y

x x

y y

        

       

   

   

   

  

  



2

(4)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

2 2

9 38 12 16 36

((3 ) 2.3 (2 5) (2 5) ) ( 9) ( 4) (3 5) ( 3) ( 2)

3

2

x x y y xy y x

x x y y x x y y

x y x y

x y

x x

y y

        

           

       

   

  

   

 

  



2

5, 10x + 4y + 34 -12xy + 20y - 36x =

2 2

2

9 34 12 20 36

(3 5) ( 3)

3

x x y xy y x

x y x

x y

       

     

   

 

 

   

 

2. 2 2 2

A m

A B C m n p B n

C p

   

         

   

hoán vị chúng

Ví dụ: Giải phương trình:

2

2 2 2

6

4 24

| (2 1) | | (2 ) | 25

x x y

x y

   

    

       

Do 2x-1 lẻ nên | 1| 2;

| |

x x

y y

     



 

   



Hoặc | 1| 3;

| | 0

x x

y y

   

 



 

 

(5)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Phương trình cho có nghiệm:

(x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0)

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

2

1, 100 13

2, 169

x xy y

  

  

Giải

2

1,x 100 6 xy13y

2 2

2 2 2

6 100

| | | | 100 10

| |

x xy y y

x y

x x

y y

    

       

    

 

  



hoặc | | 11

| |

x x

y y

    



 

  



hoặc | | 10 13

| | 0

x x

y y

    



 

  



hoặc | |

| | 10

x x

y y

    



 

  



Vậy phương trình cho có nghiệm:

 

( , )x y  (9; 4)(11;3)(3;5)

2

2,x 4xy5y 169

2 2

2 2 2

4 169

| | | | 169 12 13

x xy y y

x y y

    

(6)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

| | 12 22

| | 5

x y x

y y

  

 

 

 

 

hoặc | | 19

| | 12 12

x y x

y y

  

 



 

 

 

hoặc | | 26

| | 13 13

x y x

y y

    



 

  



Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử:

Dạng A.B.C=0

0 0 A

B

C   

 

   

Dạng A.B.C = m.n.p (Với m, n,p số nguyên)

A m

B n

C p

  

 

   

và hoán vị chúng

Ví dụ: Giải phương trình nghiệm ngun dương:

2

3x +10xy + 8y = 96

2

3 96

( )(3 ) 96 16.6 12.8 24.4

x xy xy y

x y x y

    

      

Do x,y số nguyên dương nên: (3x + 4y) > (x + 2y) 

2 16

2

x y x

x y y

  

 

 

  

(7)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

hoặc 12

2

x y x

x y y

     



 

   



(loại)

hoặc 24 16

2

x y x

x y y

    



 

    



(loại)

2

1, y = x + x +

2

2, x - 25 = y ( y + 6)

2

3, x - 6xy + 5y =121 4,5(x + y) = 3xy - 5, x - x - xy + 3y - =

Giải

2

1, y = x + x +

2

2 2

4 4 24

(2 ) (4 1) 23 (2 ) (2 1) 23

y x x

y x

   

    

   

hoặc (2 1) 23

(2 1)

y x y

y x x

   

 



 

   

 

hoặc (2 1)

(2 1) 23

y x y

y x x

     



 

     



hoặc (2 1) 23

(2 1)

y x y

y x x

     

 



 

     

(8)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

hoặc (2 1)

(2 1) 23

y x y

y x x

     

 



 

    

 

Vậy phương trình cho có nghiệm ngun: 6;5 , 6; ,    6;6 , 6;5

2

2, x - 25 = y ( y + 6)

2

( 9) 16 ( ) ( 3) 16

( 3)( 3) 16

x y y

x y

x y x y

    

   

     

Do (x-y-3) (x+y+3)

và (xy3); (xy3) tính chẵn lẻ nên

3

x y x

x y y

     

 

    



3 4

3

x y x

x y y

     

 

     



3

x y x

x y y

     

 

 

    

 

3 4

3

x y x

x y y

       

 

       

Vậy phương trình cho có nghiệm ngun: (x;y) = 5;0 , 4; ,    5;0 ,  4; 3

2

3, x - 6xy + 5y =121

2 2

2

6 121

( ) (2 ) 121

(| | | |)(| 3 | | |) 121

x xy y y

x y y

x y y y y

    

   

     

(9)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Và (|x3 |y | |);(|y x3 |y | |)y tính chẵn lẻ nên

(| | | |) 121 | | 61 | | 61

(| | | |) | | 60 30

x y y x y x y

x y y y y

       

 

  

     

  

Nếu y=30 x90 61x151; 29

Nếu y=-30 x90  61x 151; 29

(| | | |) 11 11 11

(| | | |) 11 | | 0

x y y x y x

x y y y y

       

 

  

    

  

Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên

(x; y) = 151;30 , 29;30 ,   151; 30 ,  29; 30 , 11; ,    11; 0

4 5xy3xy2

3 (5 ) 5(5 ) 25 (3 5)(3 5) 31

x y y

x y

      

   

3

3 31 12

x x

y y

    

 

   



4

3 3

3 31 26

3

x x

y

 



    

 

 

   

  



 



(loại)

Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên: (x;y) =2;12

2

5) x - x - xy + 3y - = x23xxy3y2x 6

x x( 3)y x( 3)2(x3)0 3; ( 3)( 2)

2;

x y Z

x x y

y x x Z

 



      

  

(10)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm phương trình bậc hai

Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn phương trình bậc hai ẩn ẩn

là số.Chẳng hạn f( , )x y  ta coi y số

Dạng

y ay by c

    có hệ số a <

hoặc y=by+c có hệ số b <

Để phương trình f( , )x y 0 có nghiệm y  từ tìm nghiệm y

và suy nghiệm lại x

Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm ngun:

2 2

(3x xyy )x8y3x (3y1)x3y 8y0

Coi phương trình phương trinh bậc hai ẩn x Ta có:

27

y y y

    

Để pt cho có nghiệm   y 27y29y 

0, 01 y 3, 3;y Z

    

Vì y   nên y = 0; 1; 2; Thay vào ta

Nếu

0

y  x  x

1

3

0

x

x x

x

  

   

  

Nếu y 1 3x22x 5 0

1

3 5

3

x

x x

x

  

     

  

Nếu y 2 3x25x 4

25 48 73

    (khơng phải số phương)

Nếu

3

(11)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

'

16

    (khơng phải số phương)

Vậy phương trình cho có nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập:

2

1, x + xy + y - 2x - y = 2, x - xy + y = x + y

Giải:

2

1, x + xy + y - 2x - y =

2

( 2)

4 4

4

x x y y y

y y y y

y

     

     

  

Để phương trình cho có nghiệm ngun

2

4 3 y 0 y    1 y1

Nếu

1

y  x   x x 

2

3

1 x

x x

x  

     

 

Nếu y =

2

x x

  

2

0 x

x x

x  

    

 

Nếu

1

y x  x

1 x

x     



Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên:

(12)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

2

2, x - xy + y = x + y

2

2 2

( 1)

2 4

x x y y y

y y y y y y

     

         

Để phương trình cho có nghiệm ngun

3y 6y 0,15 y 2,15

       

Vì yy0;1;

Nếu y=0

x x

  

2

x

0 x x

x       

 

Nếu y = 2

2

0 x

x x

x  

    

 

Nếu y = 2

3

1 x

x x

x  

     

 

x y ;  1; , 0; , 2;1 , 0;1 , 2; , 1; 2          

Dạng Nếu

y ay by c

    có hệ số a số phương Để phương

trình f( , )x y 0 có nghiệm

2

y m

  từ tìm nghiệm y suy

nghiệm cịn lại x

Ví dụ 5: giải phương trình nghiệm nguyên:

2

1, x + 2y + 3xy - 2x - y = x (3y 2)x 2y y

      

Coi phương trình phương trình bậc ẩn x:

8 16 12

y y y

(13)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Để phương trình có nghiệm

y m

 

2

8 16 12

y y y m

     

2

( 4) 12

( 4)( 4) 12 2.6 2.( 6)

m y

m y m y

   

        

Vì (m+y- 4)  (m- y +4) Và chúng có tính chẵn lẻ nên

4

4 6

m y m

m y y

     



 

    



Thay y=6 vào pt cho ta có:

2

72 18 12 16 60

x   x x  x  x 

PT vô nghiệm

4

m y m

m y y

        

 

     



Vậy phương trình cho vô nghiệm

2 2

3, x + xy + y - x y =

2 2

(1 )

x y xy y

    

Coi phương trình phương trinh bậc hai ẩn x

2 2 2 4 2

4 (1 ) 4 (4 3)

y y y y y y y y y y y

          

Để pt cho có nghiệm y số phương

2 2

4 | | | | (| | | |)(| | | |)

| | | | | |

| | | | | | 1

y m y m y m y m

y m y y

y m m m

         

       



  

     

 



Nếu 2

1 1

(14)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Nếu 2

1 1

y  x   x x      x x

Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên: x y  ;   1;1 , 1; 1   

Phương pháp thứ tư: dùng tính chất số phương:

Nếu phương trình f( , )x y  có dạng

2 ( , )x y

A A( , )2x y  B( )y Thì

2 ( )

( )

x

B m

B

 

 

 



2 ( )

( ) 0

y

B m B

 

 

 



Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình

2 2

( ) ( 9)

x  xy  x

Giải

Phương trình

2 2

( ) ( 9) ( 9) 9(9 )

x  xy  x  xy   y

Do 18-2y chẵn và18-2y <18 để pt có nghiệm 18-2y số phương

2

18 9;

18 16 1; 20

18 2 7;

y y x

    

     

Vậy pt cho có nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1)

B Phương trình đưa dạng bậc hai hai ẩn:

Ví dụ: giải phương trình nghiệm ngun

3

7 ( )

x  yy  x x y

(15)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

3 3

2 2

7 ( ) 7( )

7

4 28 28

y

x y y x x y x y x y

x xy y x xy y

y y y

       

        

     

Để phương trình cho có nghiệm  y

 

2 2

28 3y y y 1; 4;9

      

Nếu y  1 x2   x 0 x2  x 0x1 2;x2 3

Nếu 2

1

1 2;

y x    x  x   x x  x  

Nếu 2

1

2 1;

y   x  x    x  x  x   x 

Nếu 2

1

2 1;

y x  x    x  x  x  x  

Nếu 2

1

3 1;

y  x  x   x  x  x   x  

Nếu 2

1

3 1;

y  x  x   x  x  x  x 

x y   ;   1; , 3; , 1; ,      3; , 1;3 , 2;3 , 1; , 2; 3      

III KẾT LUẬN:

(16)

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	810,69 KB