Do tính nhỏ nhất và không chứa điểm nguyên nào bên trong của ABCDE suy ra ngũ giác MBCDE phải chứa một điểm nguyên T bên trong. Mâu thuẫn vì T cũng nằm trong ABCDE. 2) Thí sinh có cách[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút
(dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin) Bài I: (2 điểm)
1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14 Tính giá trị biểu thức T = abc
2) Cho n số nguyên dương Chứng minh A = 24n + + 34n + hợp số Bài II: (3 điểm)
1) Giải phương trình 2 5 1 7 1
+ − = −
x x x
2) Giải hệ phương trình
2
2
5 14
5 16 16
x x y
x x y xy y
⎧− − + − =
⎪ ⎨
− + + − − + =
⎪⎩
Bài III: (1 điểm)
Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
4 4 4
ab bc ca a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≤
+ + + + + +
Bài IV: (3 điểm)
Cho đường trịn (O, R) điểm S nằm ngồi đường tròn cho SO = 2R Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB (A ∈ (O), B ∈ (O)) cát tuyến SCD (C nằm S D) thay đổi Gọi K trung điểm CD H giao điểm AB SO
1) Chứng minh điểm C, D, H, O nằm đường tròn 2) Chứng minh AC.BD = 1
2AB.CD 3) Tìm vị trí điểm K cho +
KA KB nhỏ Bài V: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác lồi ABCDE có tọa độ đỉnh số nguyên Chứng minh tồn điểm nằm ngũ giác có tọa độ số nguyên
- Hết -
(Giám thị khơng giải thích thêm)
(2)TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN VÀO LỚP 10 NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016
Mơn thi: TỐN
(Dành cho hệ chun Toán chuyên Tin)
BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
I 2,0
1 Tính giá trị biểu thức T = abc 1,0
Ta có
2 2 14
2 3 14
a b c
a b c
⎧ + + = ⎨
+ + = ⎩
⇒
2 2 14
2a 4 6 28
a b c
b c
⎧ + + = ⎨
+ + =
⎩ 0,25
⇒ a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14 ⇔ (a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3)2 =
0,25
⇔ a = 1; b = 2; c = 0,25
T = abc = 0,25
2 Chứng minh A = 24n + 1 + 34n + hợp số
1,0
A =2.16n + 81n +
Vì n > nên A > + + = (1) 0,25
Vì 2.16n ≡ (mod 5)
81n ≡ (mod 5) 0,25
A ≡ + + (mod 5) ≡ (mod 5) (2) 0,25
Từ (1) (2) suy với n > 0, A > A chia hết A hợp số 0,25
II 3,0
1 Giải phương trình 2 5 1 7 1
+ − = −
x x x 1,5
Điều kiện x ≥1
Ta có 3(x 1) 2(x2 x 1) 7 (x 1)(x2 x 1)
− + + + = − + + 0,5
Đặt a x= − ≥1 0;b x= + + >x 0ta được:
9
3 1
4 b a
a b ab
b a = ⎡ ⎢
+ = ⇔
⎢ = ⎣
0,5
Giải phương trình ta tìm x = ±4 0,5
2 Giải hệ phương trình
1,5
Ta có
( )
2
2
5 14 (1)
4 16 16 (2)
⎧ = + +
⎪ ⎨
− + − + + =
⎪⎩
y x x
y x y x x
Coi (2) phương trình bậc ẩn y, suy ra: Δ =9x2
4
= +
⎡
⇒ ⎢ = −
⎣ y x
y x 0,5
Vớiy=5x+4 suy ra:(5x+4)2 =5x2+14x+8 ta nghiệm( 3; );( 4;0)
2
− −
0,5 Với y= −4 x suy ra: (4 x)− =5x2+14x 8+ ta nghiệm
11 17 27 17 11 17 27 17
( ; );( ; )
4 4
(3)III Chứng minh bất đẳng thức 1,0
Ta có: 1
2b c+ +2b c+ +2c a+ ≥4b+4c a+
1
4b 4c a 2b c 2c a
⎛ ⎞
⇒ ≤ ⎜ + ⎟
+ + ⎝ + + ⎠ 0,25
1
4 2
ab ab ab
b c a b c c a
⎛ ⎞
⇒ ≤ ⎜ + ⎟
+ + ⎝ + + ⎠ 0,25
Tương tự:
4 2
bc bc bc
a c b c a a b
⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟
+ + ⎝ + + ⎠;
1
4 2
ca ca ca
a b c a b b c
⎛ ⎞
≤ ⎜ + ⎟
+ + ⎝ + + ⎠ 0,25
Vậy VT 2
9 2 2 2
ab ab bc bc ac ac
b c c a c a a b a b b c
⎛ ⎞
≤ ⎜ + + + + + ⎟
+ + + + + +
⎝ ⎠
a b c+ + =
Dấu “ = ” xảy a = b = c 0,25
IV 3,0
M H
B
O K C
D A
S
1 4) Chứng minh bốn điểm C, D, H, O nằm đường tròn 1,0
Δ SAC ∼ Δ SDA
⇒ SC.SD = SA2 (1) 0,5
SA2 = SH.SO (Hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Từ (1) (2) ⇒ SC.SD = SH.SO
⇒ Δ SCO ∼ Δ SHD
⇒ CDH COH∑ =∑
⇒ Bốn điểm S, D, H, O nằm đường tròn 0,5
2
3) Chứng minh AC.BD = 1
2AB.CD 1,0
Ta có ∑D ∑ ∑D ∑ ∑D 1
2
KA = AKC A C ABS A C− = − = sđªAB -
1
2sđªAC= 1
2sđªBC=BAC∑
(4)⇒ Δ CAK ∼ Δ BAD ⇒ AC CK
AB = BD ⇒ AC.BD = AB.CK
Vì K trung điểm CD nên . 1 . 2
AC BD= AB CD(4)
0,5
3
4) Tìm giá trị nhỏ 1 1
KA KB+ 1,0
Vì SO = 2R ⇒ Δ SAB
Trên tia KS lấy điểm M cho KM = KB ⇒ Δ KMB (KM = KB
∑ ∑ 600
BKM BAS= = ) ∑MBS ABK= ∑ (600 - ∑MBA)
⇒ Δ SMB = Δ AKB
⇒ AK = SM 0,5
Ta có:
KA + KB = SM + MK = SK ≤ SO = 2R
(vì điểm S, A, B, K, O) nằm đường trịn đường kính SO.)
⇒ 1 1 4 2
A
KA KB+ ≥ K +KB = R
⇒ 1 1
KA KB+ =
2
R SCD cát tuyến qua tâm O hay C trung
điểm SO
0,
V Chứng minh …(1điểm) 1,0
Giả sử tồn ngũ giác nguyên mà bên không chứa điểm nguyên
nào Trong tất ngũ giác ta chọn ngũ giác có diện tích nhỏ không chứa điểm nguyên giả sử ABCDE
Theo ngun lí Dirichlet: có điểm A, B, C, D, E tọa độ nguyên nên tồn điểm tạm gọi X,Y mà cặp tọa độ (x y, )của chúng có tính chẵn lẻ Khi trung điểm M X, Y có tọa độ ngun Do M khơng thể nằm ngũ giác (giả sử) nên M phải thuộc cạnh hay XY phải cạnh ngũ giác
0,5
Không tổng quát ta giả sử điểm A, B Do ta có ngũ giác MBCDE có diện tích nhỏ diện tích ngũ giác ABCDE
Do tính nhỏ không chứa điểm nguyên bên ABCDE suy ngũ giác MBCDE phải chứa điểm nguyên T bên Mâu thuẫn T nằm ABCDE
ĐPCM
0,5
Các ý chấm:
1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ cho điểm tối đa
2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn giám khảo chấm cho điểm theo số điểm quy định dành cho câu (hay ý)