Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chủ đề này, Chứng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và cá[r]
(1)Một số bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi tuyển sinh ĐH – THPT quốc gia lớp 10 chuyên toán
Tạp chí tư liệu tốn học sưu tầm chỉnh sửa Trong kì thi học sinh giỏi mơn Tốn THCS, THPT kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ xuất cách đặn đề với tốn ngày khó Trong chủ đề này, Chứng tuyển chọn giới thiệu số toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ trích đề thi học sinh giỏi mơn tốn cấp tỉnh và đề thi chun toán năm gần
Bài
a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh ( + + ) + +
1 1
a b c
a b c b) Cho số dương a, b, c thoả mãn + + a b c Chứng ming
+
+ + + +
2 2
1 2009
670 a b c ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010
Lời giải
a)Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương + + a b c 3abc; 1 1+ + 33
a b c abc
Suy ra( + + ) + +
1 1
a b c
a b c .
Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy = =a b c
b) Ta có + + + + + + ( + + )
2
2 2 a b c
ab bc ca a b c ab bc ca
3 , Suy + +
2007 669 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có
( )
+ + + + + + +
+ + + + + +
2 2
2 2
1 1 a b c 2ab 2bc 2ca 9
a b c ab bc ca ab bc ca Suy
( )
+
+ + + + + +
2 2
1 1
a b c ab bc ca a b c
Do ta +
+ + + +
2 2
1 2009
670 a b c ab bc ca
Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy = = =a b c
Bài Với số tự nhiên n Chứng minh Sn1
2 Với
( ) ( ) ( )( )
= + + +
+ + + + +
n
1 1
S
3 2n n n
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Tỉnh Bình Định năm 2009-2010
Lời giải
(2)( )( )
+ − + −
= =
+
+ + + + +
+ −
= = −
+ +
+
2
2
1 n n n n
2n
2n n n 4n 4n
n n 1
2
2 n n n n
4n 4n
n+1- n
Do ta
− + − + + − = −
+ +
n
1 1 1 1 1
S
2 2 n n n
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài Chứng minh
( )
−
+
2
m
2
n n 3 2 , với số nguyên m, n
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình năm 2009-2010
Lời giải
Vì m, n số nguyên nên m
n số hữu tỉ số vô tỉ nên −
m 2 0
n
Ta xét hai trường hợp sau
Trường hợp Với m
n , ta +
2 2
m 2n m 2n hay 2− m 2n 1.
Từ suy
( )
+
− − = + −
+ −
= =
+
+ + + +
2
2
2
2
m 2n 1
2 2
n n n
1
2 1 1
n
1 n
2 n 2
n n
Trường hợp Với m
n , ta −
2 2
m 2n m 2n hay m 2n2−1 Từ suy
( )
− + −
− = − − = − − =
+ −
=
+ − +
2 2
2
2
2
2
1 2
m m 2n 1 n
2 2 2
n n n n 2 2
n
1
1 n
n 2
n Vậy toán chứng minh
Bài Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh
( − ) (+ − ) (+ − )
2 2
2 2
a b c 2
b c c a a b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010
Lời giải
(3)( )( ) ( )( ) ( )( )
+ + + + +
− − − − − − − − −
2
a b c 2 2 ab bc ca
b c c a a b b c c a c a a b a b b c
Mà ta lại có
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( ) (( )()( )()( ))
+ +
− − − − − −
− + − + − − − −
= = = −
− − − − − −
ab bc ca
b c c a c a a b a b b c
ab a b bc b c ca c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
Do bất đẳng thức trở thành + +
− − −
2
a b c 0
b c c a a b
Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh
Bài Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn + + =a b c
Tìm giá trị nhỏ biểu thức = + + + + +
+ +
2 2
2 2
ab bc ca
P a b c
a b b c c a.
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010
Lời giải
Dự đoán dấu đẳng thức xảy = = =a b c giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức
+ +
+ + +
+ +
2 2
2 2
ab bc ca
a b c
a b b c c a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có
( + + )=( + + )( + + )
= + + + + + + + +
2 2 2
3 3 2 2 2
3 a b c a b c a b c
a b c a b b c c a ab bc ca Áp dụng bất đăngr thức AM - GM ta có
+ + +
3 2 2 2
a ab 2a b;b bc 2b c; c ca 2c a Suy a( 2+b2+c2) ( a b b c c a2 + + )0
Do ta + + + + + + + + + +
+ + + +
2 2 2
2 2 2
ab bc ca ab bc ca
a b c a b c
a b b c c a a b c .
Phép chứng minh hoàn tất ta
+ +
+ + +
+ +
2 2
2 2
ab bc ca
a b c
a b c
Hay ( )
( )
− + +
+ + +
+ +
2 2
2 2
2 2
9 a b c
a b c
2 a b c Đặt = + +
2 2
t a b c
Từ giả thiết + + = a b c a2+b2+c23 , ta t Bất đẳng thức trở thành
( )( )
−
+9 t 2+ − − −
t 2t t 8t t 2t
2t
Bất đẳng thức cuối t Vậy toán chứng minh xong
Bài Cho biểu thức =P a2+b2+c2+d2+ac bd , + ad bc − =
Chứng minh P
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010
(4)Cách Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
+ + − = + + + − +
= + + + = + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
ac bd ad bc a c 2abcd b d a d 2abcd b c
a c d b d c a b c d
Vì ad bc nên − = +( + ) =( + )( + )
2
2 2
1 ac bd a b c d (1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )( )
= 2+ 2+ 2+ 2+ + 2+ 2+ + + P a b c d ac bd a b c d ac bd
Suy ta P 1 +(ac bd+ )2 +ac bd Rõ ràng + P 1+(ac bd+ )2 ac bd + Đặt =x ac bd , ta +
( ) ( )
+ + + + + + 2= + + + + 2+ P x x P x 4x x x x 4x x 4x
Hay ( + + ) +
2
2
P x 2x 3 Do ta P Vậy bất đẳng thức chứng minh
Đẳng thức xảy
− =
= −
= − −
ad bc 2a 3d c
2b 3c d
Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành
( )
+ + + + + −
2 2
a b c d ac bd ad bc Hay a2+b2+c2+d2+ac bd a 3d c+ ( − +) (b − 3c d − )
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( )
( ) ( )
− − +
− + = +
− − + +
− − + = +
2
2
2
2
2
2
3d c 3d 2 3cd c
a 3d c a a
4
3c d 3d 2 3cd c
b 3c d b b
4
Cộng theo hai bất đẳng thức ta
( ) ( )
+ + + + + − + − −
2 2
a b c d ac bd a 3d c b 3c d Bài toán chứng minh xong
Bài Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn
Chứng minh với số thực x, y, zta ln có + + + + + +
2 2
2
2 2 2
y 2x 2y 2z
x z
a b c a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010
Lời giải Cách Vì a2+b2+c20 nên ta có
( + + ) + +
+ − + − + −
= + + + + +
+ − + − + −
= + + + + +
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
y
x z
a b c
a b c
b c a a c b a b c
x y z
a b c
b c a a c b a b c
2x 2y 2z x y z
(5)Giả sử a b c, c2−a20; c2−b20
Với c cạnh lớn góc nhọn nên c2a2+b Do ta có
+ − + − + −
2 2 2 2 2
b c a 0; a c b 0; a b c Suy
+ − + − + −
+ + + + +
+ +
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
b c a a c b a b c
2x 2y 2z x y z
a b c
2x 2y 2z
Hay ( + + ) + + + +
2
2
2 2 2
2 2
y
x z
a b c 2x 2y 2z
a b c
Hay + + + +
+ +
2 2
2
2 2 2
y 2x 2y 2z
x z
a b c a b c Bài toán chứng minh xong
Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( )
( ) (( )) (( ))
− + − + −
+ + + + + +
+ − + − + −
+ +
+ + + + + +
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y 2y
x 2x z 2z
0
a a b c b a b c c a b c
x b c a y a c b z a b c
0
a a b c b a b c c a b c
Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên
+ + +
2 2 2 2 2
a b c ; b c a ; c a b Nên ta b2+c2−a2 0; a2+c2−b20; a2+b2−c2 0
Do bất đẳng thức Bài toán chứng minh xong
Bài
a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau
( )
−
+ +
1 1
2
k k k k
b) Chứng minh 1+ + + + 88 2010 2009 45
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010
Lời giải
a)Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( + ) + −+ + − ( + ) ( + − )
2
1 k k 2k k k 1 0 k 1 k 0
k k k k
Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh
b) Áp dụng kết câu a ta có
= + + + +
− + − + + −
= − − = =
1 1
VT
2 2010 2009
1 1 1
2 2
1 2 2009 2010
1 88
2 VP
(6)Vậy bất đẳng thức chứng minh xong
Bài Với a, b, c số thực dương Chứng minh
+ +
+ +
+ + + + + +
2 2
2 2 2
a b c a b c
5 3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )
+ + = + + + + + = +
2 2 2
3a 8b 14ab 3a 8b 12ab 2ab 4a 9b 12ab 2a 3b
Suy
( )
=
+ +
+ +
2 2
2
2
a a a
2a 3b 2a 3b
3a 8b 14ab
Áp dụng tương tự ta thu
+ +
+ + + + + +
+ +
+ + +
2 2
2 2 2
2 2
a b c
3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca
a b c
2a 3b 2b 3c 2c 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ + + +
+ + =
+ + + + +
2
2 2 a b c
a b c a b c
2a 3b 2b 3c 2c 3a a b c Do ta
+ +
+ +
+ + + + + +
2 2
2 2 2
a b c a b c
5 3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca
Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 10 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện 0 x, y, z + + = x y z Tìm giá trị
nhỏ lớn biểu thức
( )( )( )
= 4+ 4+ 4+ − − − M x y z 12 x y z
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010
Lời giải
Đặt = −a x 1; b y 1; c z , ta − = − = − a; b; c + + = a b c Biểu thức M viết lại thành
( ) ( ) ( )
= 4+ 4+ 4+ 3+ 3+ + 2+ 2+ + + + + −
M a b c a b c a b c a b c 12abc Để ý + + =a b c a3+b3+c3−3abc nên biểu thức thử thành =
( )
= 4+ 4+ 4+ 2+ 2+ +
M a b c a b c
Theo đánh giá quen thuộc
( )
( )
+ + + + =
+ + + + =
4 4
2
2 2
a b c abc a b c
a b c a b c
3 Do suy M hay giá trị nhỏ M
Đẳng thức xảy = = =a b c hay = = =x y z Mặt khác − 1 a; b; c nên ta có a ; b ; c Từ ta có
4 4
(7)Suy M a= 4+b4+c4+6 a( 2+b2+c2)+ 3 a( + b + c)+3 Mà ta lại có + + =a b c nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b + = + =c b c a Đến ta có M 14 a 17 hay + giá trị lớn M 17 Đẳng thức xảy =a 1; b= −1;c hoán vị hay =
= = =
x 2; y 0; z hoán vị
Bài 11
a) Cho số thực a, b, c Chứng minh
( − ) ( − ) ( − )
+ + + + + + +
2 2
2 2 a b b c c a
a b c ab bc ca
26 2009
b) Cho a 0; b Chứng minh + −
1
a b 2a b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010
Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( − ) ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) ( − )
+ + + +
2 2 2
a b b c c a a b b c c a
2 2 26 2009
Hay ( − ) (+ − ) + ( − )
2 2
12 a b b c 2007 c a
13
Bất đẳng thức cuối ln
Vậy tốn chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+
− −
1
a b 2a b
Đặt = −c b , b nên ta c , bất đẳng thức viết lại thành +
+
1
a c 2a c Theo đánh giá quen thuộc ta
+ = + =
+ +
1 2 2.4
a c 2a c 2a c 2a c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy 2a= −b
Bài 12 Cho a, b số dương thỏa mãn + =
+ +
a 2b 1
1 a b Chứng minh
2
ab
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Quảng Bình năm 2015-2016
Lời giải
Từ giả thiết + =
+ +
a 2b 1
1 a b Đặt = + = +
a b
x ; y
1 a bSuy = − = − y x
a ; b
1 x y Khi ta +x 2y bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành =
( − )( − )
2
xy
8 x y
(8)( + ) ( + )
2
2
xy
4xy x y
2y x y
Đánh giá cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy =a b
Bài 13 Cho x, y, z số thực dương cho xyz x y z Chứng minh = + + +
+ +
1 1
2
xy yz zx
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010
Lời giải
Giả thiết toán viết lại thành + + =
+ + +
1 1
1 x y z
Đặt = = =
+ + +
1 1
a ; b ; c
x y z Khi ta + + =a b c Từ suy
− + − + − +
=1 a b c= =1 b c a= =1 c a b=
x ; y ; z
a a b b c a
Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
( + )( + )+ ( + )( + )+ ( + )( + )
ab bc ca
b c c a c a a b a b b c
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )( )
( )( )
( )( )
+
+ + + +
+
+ + + +
+
+ + + +
ab b a
b c c a b c c a
bc c b
c a a b c a a b
ca a c
a b b c a b b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( + )( + )+ ( + )( + )+ ( + )( + )
ab bc ca
b c c a c a a b a b b c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 14 Cho số thực không âm a, b, c cho ab bc ca Chứng minh + + =
+ +
+ + +
2 2
1 1 1
a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ +
+ + +
2 2
2 2
a b c 1
a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( ) ( )
( )
+ + + +
+ + = =
+ + + + + + + + + + +
2
2 2
2 2 2 2 2
a b c a b c
a b c 1
a b c a b c a b c ab bc ca
(9)Bài 15 Cho x, y, z số dương thỏa mãn +x 2y 3z 18 Chứng minh + =
+ + + + + + + +
+ + +
2y 3z 3z x x 2y 51
1 x 2y 3z
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh, 2009 – 2010
Lời giải
Đặt =a x; b 2y; c 3x , giả thiết trở thành + + == = a b c 18 bất đẳng thức viết lại thành
+ + + + + + + +
+ + +
b c c a a b 51
1 a b c
Bất đẳng thức tương đương với
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + +
b c c a a b 51
1 1
1 a b c
Hay( + + + ) + +
+ + +
1 1 72
a b c
1 a b c Phép chứng minh hoàn tất ta
+ +
+ + +
1 1
1 a b c Thật theo bất đẳng thức AM - GM ta có
+ + = =
+ + + + + +
1 1 9
1 a b c a b c 21 Vậy toán chứng minh
Đẳng thức xảy = = =a b c hay =x 6; y 3; z = =
Bài 16 Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện + + =x y z
Chứng minh + + + +
2
xy z 2x 2y
1 xy
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà Nội năm 2010-2011
Lời giải
Ta quy toán việc chứng minh bất đẳng thức bậc
( ) ( )( )
+ + + + +
+ + + + + + +
+ + +
2
2
xy z x y z 2x 2y
1 x z y z 2x 2y x y z xy
x y z xy
Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có 2x2+2y2 +x y.
Do ta cần chứng minh (z x z y+ )( + ) +z xy.
Bất đẳng thức tương đương với
( ) ( )
+ + + + + − 2
2
z xy z x y z xy 2z xy z x y
Bài tốn chứng minh hồn tồn Đẳng thức xảy =x y= 1; z 0=
2
Bài 17 Cho a, b, c số dương thỏa mãn + + +a b c ab bc ca Chứng minh + + =
+ + + +
3 3
2 2
a b c
a b c
b c a
(10)Lời giải
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức + + + +
3 3
2 2
a b c
a b c
b c a
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ +
+ +
2
2 2
3 3 a b c
a b c
b c a ab bc ac Theo đánh giá quen thuộc ta có a2+b2+c2ab bc ca + +
Do ta (a2+b2+c2) (2 a2+b2+c2)(ab bc ca , nên ta có+ + ) ( + + ) + + + +
2
2 2
2 2
a b c
a b c
ab bc ac .
Do ta suy + + + +
3 3
2 2
a b c
a b c
b c a
Chứng minh a2+b2+c23 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+ + + + + +
2 2 2 2 2
a b 2ab; b c 2bc; c a 2ca; a 2a;b 2b;c 2c Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( 2+ 2+ 2)+ ( + + + + + )= a b c ab bc ca a b c 12
Hay a2+b2+c2 3 Kết hợp hai kết ta + + + +
3 3
2 2
a b c a b c 3
b c a .
Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 18 Cho số dương a, b, c thoả mãn + + =a b c abc Tìm giá trị lớn biểu thức
( ) ( ) ( )
= + +
+ + +
a b c
S
bc a ca b ab c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Phú Thọ năm 2010-2011
Lời giải Cách Kết hợp với giả thiết ta có
( + 2) = + = + ( + + )= ( + )( + )
bc a bc a bc bc a a b c a b a c Hoàn toàn tương tựta
( + 2)= ( + )( + ) ( + 2)= ( + )( + )
ca b a b b c ; ba c a c b c ; Nên
( )( ) ( )( ) ( )( )
= +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
a b c
S
a b a c a b b c a c b c
a . a b . b c . c
a b a c b c b c c b a c Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+
+ + + +
a . a a a
a b a c a b a c Hoàn toàn tương tự ta
+ + + + + =
+ + + + + +
1 a a b b c c
S
2 a b a c b c a b a c b c Vậy giá trị lớn S
(11)Cách Ta viết lại giả thiết thành + + =1
ab bc ca Đăt =x 1; y= 1; z=1
a b c ,khi giả thiết trở thành xy yz zx Ta viết lại biểu thức S thành + + =
= + +
+ + +
2 2
yz zx xy
S
x y z
Để ý đến giả thiết xy yz zx ta + + =
( )( ) ( )( ) ( )( )
= + +
+ + + + + +
yz zx xy
S
x y x z y z x z z x y z
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta chứng minh
( + )( + )+ ( + )( + )+ ( + )( + )
yz zx xy
x y x z y z x z z x y z
Vậy giá trị lớn S
Bài 19 Cho số dương a, b c Tìm giá trịnhỏ biểu thức
( )
( ) (( )) (( ))
+ + +
= + +
+ + +
2 2
2 2
c ab a bc b ca S
b bc c ca a ab
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2010-2011
Lời giải
Cách1 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng + + x y z xyz ta 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
+ + + + + +
=
+ + +
=
2 2
3
2 2
3
c ab a bc b ca ab bc ac
S 3
b bc c ac a ab abc ab.2 bc.2 ca
3
abc
Vậy giá trị nhỏ S 6, đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Đặtx=ab 1+ ; y=bc 1+ ; z=ca 1+
b c a
Khi biểu thức viết lại thành = + +
2
2 y
x z
S
y z x
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạngphân thức ta có
( + + )
= + + = + +
+ +
2
2 y x y z
x z
S x y z
y z x x y z
Do ta + + + + + = + + + + +
ab bc ca 1 1
S a b c
b c a a b c .
Vậy giá trị nhỏ S 6, đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 20 Cho x, y, z số dương thỏa mãn + + =x y z 18 Chứng minh
( + )+ ( + )+ ( + )
1 1
4 y z x
x y z z x y
Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh, 2010 – 2011
(12)Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( + )+ ( + )+ ( + )
1 1
4 2y z x
2x y z 2z x y
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có 2x y z( + )2x y z , ta + +
( + ) + +
1
2x y z 2x y z
Hoàn toàn tương tự ta bất đẳng thức
( ) ( ) ( )
+ + + +
+ + + + + +
+
+ +
1 1 1
2
2x y z x 2y z x y 2z 2y z x
2x y z 2z x y
Phép chứng minh hoàn tất ta
+ +
+ + + + + +
1 1
2x y z x 2y z x y 2z Thật theo bất đẳng thức AM - GM ta
( )
+ + = =
+ + + + + + + +
1 1 9
2x y z x 2y z x y 2z x y z 4.18 Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy =x y z = =
Bài 21 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh =
+
+ + + +
3
1
a b c ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh vĩnh Phúc năm 2010-2011
Lời giải Cách Bất đẳng thức cho tương đương
(a b c ab bc ca+ + )( + + ) (+3 ab bc ca+ + ) (6 a b c + + )
Để ý rằng(ab bc ca+ + )23abc a b c( + + ) (=3 a b c+ + ).
Nên toán quy chứng minh a b c( + + )3 +3 a b c( + + )6 a b c( + + ).
Bất đẳng thức tương đương với a b c( + + )( a b c+ + − 3)20.
Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c 1.
Cách Đặt =a 1;b= 1;c= 1 xyz 1=
x y z Khi ta có
+ +
+ + + + + + + +
+ +
+ + + +
+ + + +
3 3abc 6abc
1
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
3 6
1 1 1 1 1 1
xy yz zx x y z ab bc ca a b c
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có3 xy yz zx( + + ) ( x y z + + )2 Suy
( )
+ +
+ + + +
3
1
(13)Mặt khác
( )
+ − = −
+ + + +
+ +
2
9
1
x y z x y z
x y z với x, y,z
Nên ta
( )
+
+ + + +
9
1
x y z x y x
Từ ta bất đẳng thức +
+ + + +
3
1
xy yz zx x y z
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 22 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + a b c Chứng minh
+ + + + +
2 2
2 2
1 1 97
a b c
b c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn TP Hải Phòng năm 2010-2011
Lời giải Cách Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau
( ) ( )
+ + + + 2+ +
2 2
a x b y a b x y
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
+ + + + + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
a b x y a x b y
2 a b x y 2ax 2by a b x y ax by
Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Áp dụng bất đẳng thức ta có
( )
( )
+ + + + + + + + + +
+ + + + +
2
2 2
2 2
2
1 1 1
a b c a b c
b c a a b a
1 1 a b c
a b c
Ta cần chứng minh ( + + ) + + +
2
2 1 97
a b c
a b c
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM - GM ý giả thiết + + a b c , ta
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
+ + + + + + + +
+ +
= + + + +
+ + + +
2
2
2
2
1 1 81
a b c a b c
a b c a b c
16 65 97
a b c
4
a b c a b c
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
+ + + = +
2
2
1 81 9
a a a
b 16 4b 4b
Hay 97 a2+ 12 +a
4 b 4b Chứng minh tương tự ta
+ + + +
2
2
97 97
b b ; c c
(14)Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ + + + + + + + + +
2 2
2 2
97 1 1
a b c a b c
4 b c a a b c
Mà ta lại có + + + +
1 1
a b c a b c Do ta
( )
+ + + + + + + +
+ +
2 2
2 2
1 1 81
a b c a b c
b c a 97 a b c
Ta cần chứng minh
( )
+ + +
+ +
4 a b c 81 97
4 a b c
97 , hay + + + ( + + )
81 97
a b c
4 a b c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( ) ( )
( )
+ + + = + + + +
+ + + + + +
+ + + = + =
+ +
81 65
a b c a b c
4 a b c a b c a b c
4 65 65 97
2 a b c
a b c 4.2 8
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 23 Cho số a, b, c 1;2 Chứng minh + + + + +
2 2 2
a b b c c a
7
ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010-2011
Lời giải Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
+ + + + +
− − + + − − + + − −
− − + + + − − +
− − + + − −
2 2 2
2 2
2 2
a b ab b c bc c a ca 7abc
c ab ca b bc a ab ca b bc 5abc 2bc 2a b ab ca b bc c a b 4ca 2c 2a ca
a b b c c a b 2a c 2c a
Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng quát ta giả sử 2 a b c ta 2a c; 2c a Do ta
(a b b c c a− )( − )( + )0; b 2a c 2c a( − )( − )0
Nên bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b 2; c hoán vị =
Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + + a b b c c a
7 b a c b a c
Vì vai trị biến nên khơng tính tổng qt ta giả sử 2 a b c Khi ta có
+ − − = − −
+ − − = − −
a 1 a b a 1 b 1 0
c b c b c
c 1 b c b 1 c 1 0
a a b a b
Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta
+ + − + + + + + + + + + +
a c a b b c a c a b b c a c
2 2
(15)Phép chứng minh hoàn tất ta
( )( )
+ − −
a c
2 2a c a 2c
c a
Từ 2 a b c suy 2a c; 2c a nên bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh xong
Bài 24 Cho a, b, c số thực dương không âm thỏa mãn + + =a b c Tìm giá trị lớn biểu thức =P a b b c c a+ + − abc
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2010-2011
Lời giải
Đặt =x a ; y= b ; z= c Từ giả thiết ta x2+y2+z2 =3 , biểu thức P trở thành = + + −
P x y y z z x xyz Dễ thấy P theo bất đẳng thức AM – GM
Khơng tính tổng qt ta giả sử y số nằm x, z Khi ta có
( − )( − ) + −
z y z y x y z z x xyz z y Do ta có P x y y z z x xyz x y z y y x= + + − + = ( 2+z 2)
Mặt khác theo bất đẳng thức AM - GM ta có
( + )( + ) + + =
3
2 2
2 2 2 2x 2y 2z
2y x z x z
3
Suy y x( 2+z2)2 nên ta P Đẳng thức xảy = =
=
=
2
x y z z x 2y
và hoán vị = = = =
= =
a b c
a 2; b 1; c hoán vị
Vậy giá trị lớn biểu thức P
Đẳng thức xảy = = =a b c =a 2; b 1; c hoán vị = =
Bài 25 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh + + =
+ − + + − + + − + +
2 2
a a b b c c 1
bc ac ab a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hưng Yên năm 2010-2011
Lời giải
Để ý a2+ =1 a2+ab bc ca+ + =(a b c a , ta + )( + )
( )( )
+ = + +
2
a a b c a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( + )( + )− + + −
+ − = = + = +
2 a b c a a 2a b c a
a a 2 b c 1
bc bc bc 2bc b c
Hoàn toàn tương tự ta + − + + − +
2
b b 1 ; c c 1
ac a c ab a b
(16)+ − + + − + + − + +
2 2
a a b b c c 1
bc ac ab a b c
Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 26
a) Cho số dương a b Chứng minh +
+
1 1
a b a b . b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn 1 1+ + =2010
x y z Tìm giá trị lớn biểu thức
= + +
+ + + + + +
1 1
P
2x y z x 2y z x y 2z
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Yên năm 2010-2011
Lời giải
a) Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau
( ) ( )
+ + −
+
2
1 1
4ab a b a b
a b a b
Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy =a b
b) Áp dụng bất đẳng thức ta
+ + +
+ + + +
1 1 1 1
2x y z x y x z 16 x y z Hoàn toàn tương tự ta
+ + + +
+ + + +
1 1 1 1
;
x 2y z 16 x y z x y 2z 16 x y z Cộng theo vế bất đẳng thức ta
= + + + + = =
+ + + + + +
1 1 1 1 2010 1005
P
2x y z x 2y z x y 2z x y z
Vậy giá trị lớn P 1005
2 Đẳng thức xảy =x y z 670 = =
Bài 27 Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện + + a b c Chứng minh
+ +
+ + +
1 1
1 ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Phước năm 2011-2012
Lời giải Cách Theo bất đẳng thức AM - GM ta có
= + +
+ + + + + +
1 1
A
1 ab bc ca ab bc ca
Mặt khác dễ thấy + + ( + + )
2
a b c ab bc ca
3 Mà + + a b c nên ab bc ca 3+ + .
Do ta =
+ + + +
9
A
(17)Dấu xảy
+ = + = +
= = = = =
+ + =
1 ab bc ca
a b c a b c
a b c
Cách 2Áp dụng bấtđẳng thức AM - GM ta có
+ + + −
+ = − =
+ + +
1 ab 2 .1 ab 1 1 ab ab
1 ab ab ab 4
Hồn tồn tương tự ta có − −
+ +
1 ab; ca
1 ab ca
Do ta + + −( + + )
+ + +
9 ab bc ca
1 1 .
1 ab bc ca
Mặt khác ta chứng minh ab bc ca + +
Do ta suy + + −( + + )
+ + +
9 ab bc ca
1 1
1 ab bc ca
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Cách 3Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
= − − = −
+ +
1 ab ab ab
1 1
1 ab ab ab
Tương tự ta có − −
+ +
1 bc ca
1 ;
1 bc ca
Cộng theo vế theo vế bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )
+ + − + +
+ + +
+ + + + +
− + + = − − =
1 1 3 ab bc ca
1 ab bc ca
1 a b b c c a a b c 3
3 3
2 2 2 2
Bài toán chứng minh xong
Bài 28 Chứng minh bất đẳng thức
+ + + +
+ + + +
1 1 4
1 79 80
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội năm 2011-2012
Lời giải
Dễ thấy
+ + + + + +
1 ; 1 ; 1
1 2 3 4 79 80 80 81
Do ta
+ + + + + +
+ + + + + +
1 1 1
1 79 80 80 81
Suy
+ + + + + +
+ + + + + +
1 1 1
2
1 79 80 2 80 81
Hay + + + − + − + + −
+ + +
1 1
2 81 80
1 79 80
Nên ta + + +
+ + +
1 4
1 79 80
(18)Bài 29 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh
(a b b c c a ab2 + + )( 2+bc2+ca2)abc+3(a3+abc b)( 3+abc c)( 3+abc )
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2011-2012
Lời giải Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + + + + +
2 2
3
a b c b c a 1 a 1 b 1 c 1
c a b c a b bc ca ab
Đặt =x a; y= b; z= c x; y; z 0; xyz 1 =
b c a
Khi bất đẳng thức trở thành
( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + + +
+ + + + + + + +
3 3
y
x z
xy yz zx x y z 1 1
z x y
x y y z z x x y y z z x xyz
xyz x y y z z x 1 x y y z z x
Đặt t=3(x y y z z x suy + )( + )( + ) t Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành
( )( )
+ + + + + − +
3
t 1 t t 1 2t t t t t Bất đẳng thức cuối t
Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy = =a b c
Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + + + + +
2 2
3
a b c b c a 1 a 1 b 1 c 1
c a b c a b bc ca ab
Hay + + + + + + + + + +
2 2 2
3
2 2
bc ca ab a b c a b c
3 1 1
a b c bc ca ab bc ca ab
Đặt = = =
2 2
a b c
x ; y ; z
bc ca ab,khi ta có xyz Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành =
( )( )( )
+ + + + + + +1 1 + + +
3 x y z 1 x y z
x y z
Hay 3 x y z xy yz zx 1+ + + + + + +32 x y z xy yz zx+ + + + + + .
Đặt =t 32 x y z xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có + + + + + +
+ + + + +
x y z xy yz zx Do ta có t 32 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành + =
( )( )
+ + + + + + −
3 2
t 1 t t t 2t t t t Đánh giá cuối với t
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
(19)= + +
+ + +
ab bc ca
P
ab 2c bc 2a ca 2b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2011-2012
Lời giải
Để ý đến giả thiết + + =a b c ta có ab 2c ab c a b c+ = + ( + + ) (= b c c a + )( + ) Do theo bất đẳng thức AM - GM ta
( )( )
= +
+ +
+ + +
ab ab 2ab 2ab
b c c a ab 2c b c c a
Hoàn toàn tương tự ta + +
+ + + +
+ +
bc 2bc 2bc ca 2ca 2ca
;
a b c a a b b c
bc 2a ca 2b
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( )
+ + + + + + +
+ + + + + +
+ + +
= + + =
ab bc ca 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca 2ca
b c c a a b c a a b b c ab 2c bc 2a ca 2b
2 a b c Hay P Vậy giá trị lớn P
Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 31 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc=
4 Chứng minh
+ + + + + + +
3 3
a b c a b c b a c c a b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012
Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( + ) ( + ) ( + )
+ = = +
3 ab a b ab a b ab a b
a b a b
9
2 abc c
4 Từ ta có + + + + +
3
3 a b a b
c c 2c a b
2 c Tương tự ta có
+ +
+ + +
+ +
+ + +
3
3
3
3
a c a c
b b 2b a c
2 b
b c b c
a a 2a b c
2 a
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta
+ + + + + + +
3 3
a b c a b c b a c c a b Bài toán chứng minh xong
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
+ + + + + + + + +
+ + + + = + + + +
2 2 2 2
2 2 2
a b c b a c c a b a b c a b c
2 a b c a b c abc a b c a b c
Theo bất đẳng thức quen thuộc ta cóabc a b c( + + )1(ab bc ca+ + )2
(20)( )( ) ( )( )
( ) ( )
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
=
2
2 2 2
3 6
2 2
4
abc a b c a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca a b c
3
Do ta có ( + + + + + ) ( + + )
6
4
a b c a b c b a c c a b
3 .
Hay + + + + + ( + + )
3
a b c a b c b a c c a b
3 .
Dễ dàng chứng minh ( + + )( + + )
3
3 3 a b c
a b c
9 .
Từ ta bất đẳng thức sau
+ + + + + + +
3 3
a b c a b c b a c c a b Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 32 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + +
+ + + +
3
2 2
2 2 2 2 2
2 4
54 abc
c a b a b c b c a
a b c ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012
Lời giải
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + = =
+ + + + = =
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 4 3 8 4 3 8 2
c a b a b c b c a c 2ab a 2bc b 2ca 12a b c 3abc
a b c ab bc ca abc a b c a b c a b c 3a b c Nhân theo vế hai bất đẳng thức ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
+ + + + + + + + +
= =
2 2 4
2 2 2 2 2
3 2
c a b a b c b c a a b c ab bc ca
2 3abc.9 3a b c 54 abc
Hay ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + +
+ + + +
3
2 2
2 2 2 2 2
2 4
54 abc
c a b a b c b c a
a b c ab bc ca
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 33 Cho số dương a,b,c thay đổi thỗ mãn3a 4b 5c 12 Tìm giá trị lớn biểu + + =
thức = + +
+ + + + + +
ab 2ac 3bc
S
ab a b ac a c bc b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2011-2012
Lời giải
Ta viết lại biểu thức S thành = + +
+ + + + + +
1
S
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
.
Áp dụng bất đẳng thức + + + +
1 1 1
(21)( + + ) ( + + )
+ +
= + + + +
+ + + + + +
+ + +
= = =
2 c a b c
1 a b
S 1 1 1 1 1 1
9 9
1 1
a b c a b c
6 3a 4b 5c 18
9
Vậy giá trị lớn biểu thức S Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 34 Cho a, b số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( )
= +
+ + +
3
3
3 3
a 4b
P
a 8b b a b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà Nội năm 2011-2012
Lời giải
Biểu thức P viết lại = +
+ + +
3
3 3
3
4b
1 a
P
8b b b
1
a a a
Đặt =t b0
a Khi bất đẳng thức viết lại = + + +( + )
3
3
1 4t
P
1 8t t t . Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( )( ) ( + ) ( )
+ = + − + = +
2
2
3 2 4t
1 8t 2t 2t 4t 2t
2
Suy
( )
=
+ + 2 +
1 1
1 8t 1 2t 2t Ta chứng minh +( + ) +
3
3
3
4t 2t
1 2t t t
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + − + +
+
+ +
2
3 2
3
2
3
3
4t 2t 1 2t t t t t 1 2t t 1 0
1 2t t t
Bất đẳng thức cuối với t Do ta
( )
= + + =
+ + + + +
3
3
3 3 2
1 4t 2t
P
1 8t t 1 t 2t 2t
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đẳng thức xảy =a b
Bài 35 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức + + =
( ) + ( + )
=
+ + + + +
2 2
3a 3b 2c P
6 a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà Nội năm 2011-2012
Lời giải
Từ giả thiết ab bc ca ta có + + =
( )( )
+ = + + + = + +
2
a a ab bc ca a b c a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( 2+ )= ( + )( + ) a b( + ) (+2 c a+ ) =5a 3b 2c+ + a a b c a
2
(22)( 2+ )3a 5b 2c+ + 2+ a b 2c+ +
6 b ; c
2
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( 2+ )+ ( 2+ )+ 2+ 9a 9b 6c+ +
6 a b c
2 Suy
( ) ( ) ( )
+ + + +
= =
+ +
+ + + + +
2 2
2 3a 3b 2c
3a 3b 2c
P
9a 9b 6c
6 a b c
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đẳng thức xảy = =a b 1; c =
Bài 36 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c Tìm giá trị lớn biểu thức
= 2+ + 2+ + 2+ +
P a abc b abc c abc abc
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bắc Ninh năm 2011-2012
Lời giải
Ta cóa2+abc a a b c= 2( + + )+abc a a b a c = ( + )( + )
Do ta a2+abc= a a b a c( + )( + ) a a b a c( + + + )= a a 1( + )
2
Chứng minh tương tự ta
( + ) ( + )
+ +
2 b b c c
b abc ; c abc
2
Do ta
( + ) ( + ) ( + )
+ + + + + + +
2 2 a a b b c c
a abc b abc c abc
2 2
Mặt khác theo bất đẳng thức AM - GM ta lại có
( + )+ + + + = + + + =
a a abc a a b c a a b c a
2 2
Chứng minh tương tự ta
( + ) ( + )
+ +
b b c c
abc b; abc c
2
Như ta có
= 2+ + 2+ + 2+ + + + +
P a abc b abc c abc abc a b c abc Mà ta có
( ) + +
+ + + + = =
3
a b c
a b c a b c 3; abc
3
Nên ta suy P 3+ = =5 3
3
Vậy giá trị lớn P
3 Đẳng thức xảy = = = a b c
3
Bài 37 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
+ +
+ +
+ + + + + +
2ab 3bc 3ca a 2b 3c
(23)Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2011-2012
Lời giải
Cách Đặt =x a; y 2b; z 3c , bất đẳng thức viết lại thành = =
+ +
+ +
+ + + + + +
xy yz zx x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )
= +
+ + + + + + + + + + + +
+
+ + = +
+ + + +
xy xy xy
3x 4y 2z x 2y x y z x y z x 2y x y z
xy 2 2x y 2xy
9 9x 9y x y z 81 x y z Hoàn toàn tương tự ta
( ) ( )
+ +
+ +
+ + + + + + + +
yz 2y z 2yz ; zx 2z x 2zx
3y 4z 2x 81 x y z 3z 4x 2y 81 x y z Cộng theo vế cảu ba bất đẳng thức ta
( )
( )
+ +
+ +
+ + +
+ + + + + + + +
2 xy yz zx
xy yz zx x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 27 x y z
Mà theo đánh giá quen thuộc ta lại có + + ( + + )
2
x y z xy yz zx
3
Do ta có + + + ( ( + + ) ) + + + ( + + )= + + + +
2 xy yz zx x y z
x y z x y z x y z
27 x y z 27 27
Suy + + + +
+ + + + + +
xy yz zx x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y
Hay bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =a 2b 3c =
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có
( )
( )
( )
+ +
= + +
+ + + + + + + +
+
= +
+ +
2
6
xy xy xy 18
3x 4y 2z 81 x y z 2y x 81 x y z y x
2xy 2x y
9 x y z 81 Hoàn toàn tương tự ta
( ) ( )
+ +
+ +
+ + + + + + + +
yz 2y z 2yz ; zx 2z x 2zx
3y 4z 2x 81 x y z 3z 4x 2y 81 x y z Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( )
( )
+ +
+ +
+ + +
+ + + + + + + +
2 xy yz zx
xy yz zx x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 27 x y z Đến chứng minh hoàn toàn tương tự
Bài 38 Giả sử a, b, c số dương thoả mãn abc Tìm giá trị lớn biểu thức =
= + +
+ + + + + +
2 2 2
a b c
M
b c a c a b a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Dương năm 2011-2012
Lời giải
(24)Đặt 3a x; b y; c z ,khi = = = x; y; z xyz Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành =
+ +
+ + + + + +
3
3
6 6 6
y
x z
1
y z x z x y x y z
Dễ thấy (y z y− )( 5−z5) 0 y6+z6y z yz , suy + y6+z6+x yz yz x4 ( 4+y4+z4).
Từ ta
( )
+ + + +
6 4
1
y z x yz x y z , hay + + + +
4
6 4
x yz x
y z x x y z .
Do ta
+ + + +
3
6 4
x x
y z x x y z Tương tự ta có
+ + + + + + + +
3 4
6 4 6 4
y y z z
;
z x y x y z x y z x y z
Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta
+ +
+ + + + + +
3
3
6 6 6
y
x z
1
y z x z x y x y z
Vậy giá trị lớn M Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 39 Cho a, b, c số dương thoả mãn abc Chứng minh =
( + )+ ( + )+ ( + )
3 3
a b c
b c a c a b a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2011-2012
Lời giải
Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số dương ta
( + )+ + + ( + )+ + + ( + )+ + +
3 3
a b c a 3a; b c a b 3b; c a b c 3c
b c a c a b a b c
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
+ + + + +
+ + +
3 3 3 a b c
a b c
a b c
b c a c a b a b c
Hay ( )+ ( )+ ( ) + +
+ + +
3 3
a b c a b c
b c a c a b a b c
Mặt khác theo bất đẳng thức AM - GM ta lại có + + a b c abc 3 = Nên ta
( + )+ ( + )+ ( + )
3 3
a b c
b c a c a b a b c
Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Áp dụng bất đẳng thức bunhiacioxki dạng phân thức ta
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
+ +
+ + + + + +
2
2 2
3 3
2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c a b b c c a 3abc Ta cần chứng minh a( 2+b2+c2)23 a b b c c a 3abc ( + + + )
Vì abc nên ta + + = a b c
Dễ thấy ( + + ) ( + + ) ( + + )( + + )( + + )
2 2
2
2 2 a b c a b c 2
a b c a b c a b c
3
(25)( + + )( 2+ 2+ 2) ( + + + ) a b c a b c a b b c c a 3abc Hay
( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + +
3 2 2 2 2 2
3 2 2 2
2 a b c a b b c c a ab bc ca a b b c c a 3abc a b c ab bc ca a b b c c a
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( )
+ + +
+ + = + + =
3 2 2 2
3 3 2
a ab 2a b; b bc 2b c; c ca 2c a a b c 9abc 9; ab bc ca 9abc Cộng theo vế bất đẳng thức thu gọn ta
( 3+ 3+ 2) (+ 2+ 2+ 2) + + + a b c ab bc ca a b b c c a Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 40 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn + + =a b c Tìm giá trị nhỏ
( ) + +
= + + +
+ +
2 2
2 2
ab bc ca A 14 a b c
a b b c c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn ĐHQG TP Hồ Chí Minh năm 2012-2013
Lời giải
Dễ dàng tính + + = −( + + )
2 2
1 a b c
ab bc ca
2 Lại có
( )( )
+ + = + + + + = + + + + + + + +
2 2 2 3 2 2
a b c a b c a b c a b a b bc c ca a b b c c a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+ + +
3 2 2 2
a b a 2a b; b bc 2b c; c ca 2c a Do suy
( )
+ + = + + + + + + + + + +
2 2 3 2 2 2
a b c a b a b bc c ca a b b c c a a b b c c a
Từ ta
+ + + +
2 2 2
1
a b b c c a a b c , hay
( ) ( )
( )
− + +
+ + + +
=
+ + + + + +
2 2
2 2 2 2 2
3 a b c ab bc ca
ab bc ca
a b b c c a a b c a b c
Đặt =t a2+b2+c2 t
3 Khi biểu thức viết lại thành −
= +3 3t 28t= + −3t 27t= + + −t A 14t
2t 2t 2t 2t 2
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có27t+ 2 27t =9
2 2t 2t
Mặt kháct 3− − = −4
2 Suy − = 23 A
3 Vậy giá trị nhỏ A 23
3 Đẳng thức xảy = = = a b c
3
Bài 41 Cho a, b, clàcác số thực dương thỏa mãn a b c; c b 1; a b c + +
Tìm giá trị nhỏ biểu thức = ( + + +)( )(( −))
+ + +
2ab a b c ab Q
a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà Nội năm 2012-2013
(26)( )
( )( )( ) ( ()( )() ( )( )() )
( )( )
+ + + − + + + − +
= =
+ + + + + +
− −
= + = +
+ + + + + + + +
2ab a b c ab a b ab c Q
a b c a b c
1 ab 1 ab
c a b a b ab a b
Từ giả thiết a b c b 1+ + b a (a b 1− )( − ) 0 ab a b c 2 + − − .
Suy
( − )
+
+ +
1 ab
Q
ab 2 ab Đặt =x ab x , ta ( ) −
+
+ +
1 x
Q
x 2 x
Suy − + ( − )− = ((− )()(+ ))
+ + + +
x x
5 x
Q
12 x 2 x 12 12 x x
Do ta có Q
12 Vậy giá trị nhỏ Q 12 Đẳng thức xảy =a 1;b 2;c = =
Cách Nhận thấy + + a b c b a ta c b a
Khi (a b 1− )( − ) 0 ab a b c + − − Ta chứng minh Q
12 Thật
( )
( )( )( )
+ + + −
=
+ + +
2ab a b c ab Q
a b c 12 Tương đương với7abc a b+ ( + )+19ab 5c a b− ( + )−17c − Đặt A 7abc a b= + ( + )+19ab 5c a b− ( + )−17c ta có −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
= + + + − + − −
= + + + + − + − −
+ − + − + + − − + − −
= −
A 7abc a b 19ab 5c a b 17c 5abc 2abc a b 19ab 5c a b 17c
5c a b c 7c 19 c 5c a b 17c 10c 30
Bất đẳng thức chứng minh Vậy giá trị nhỏ Q
12 Đẳng thức xảy =a 1;b 2;c = =
Cách Ta có + + − a b c a b c
Từ + + a b c b a mà b a Do ta
( − )( − ) + − −
+ + + +
ab a b ab c a b
a b ab a b ab Khi ta
( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )
( )( ) ( ( ))( ) ( ( )( ) )
( )( )
( )
+ + + − + + − + +
= =
+ + + + + + + + +
+ + +
= =
+ + + + + + + + + +
− +
+ +
= = = −
+ + + +
+ +
−
2
2ab a b c ab 2ab a b c abc 2ab abc Q
a b c a b c a b c
ab c ab c ab c
ab a b c ab ab 1 c ab c c c
1 c c 1
1 c 1 c 2c c c c 12
2
ab c
Vậy giá trị nhỏ Q
(27)Bài 42.Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc Tìm giá trị lớn biểu + + =
thức = + +
+ + +
2 2
1 1
P
a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Tỉnh Bình Phước năm 2012-2013
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ +
= + + + + = =
+ + +
2 2
1 1 1 ab bc ca
P
a b c 2a 2b 2a 2abc
Vậy giá trị lớn P
2 Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 43 Cho n số thực x , x , , x với 1 n n Kí hiệu max x , x , , x } số lớn số n
1 n
x , x , , x Chứng minh
1+ 2+ + n + 1− + 2− + + n−
1 n
x x x x x x x x x
max x , x , , x }
n 2n
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội năm 2012-2013
Lời giải
Để ý hai số thực x, y ta ln có
min x, y x, y max x, y max x,y =x y x y+ + − Sử dụng đẳng thức max x,y =x y x y+ + −
2 ,ta có
− + − + + −
+ + +
+ 2 n
1 n x x x x x x
x x x
n 2n
+ + − + + − + + −
= + + +
+ +
1 2 2 n n
1 2 n
1 n
x x x x x x x x x x x x
2n 2n 2n
max x , x max x , x max x , x
max x ; x ; ; x n
Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy x1=x2= = x n
Bài 44 Cho x, y, z số không âm thỏa mãn + + =x y z
2 Tìm giá trị nhỏ = 3+ 3+ 3+ 2
S x y z x y z
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2012-2013
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
( x2 + y2 + z2)(( ) ( ) ( )x x 2+ y y 2+ z z 2)(x2+y2+z2)2
Hay 3(x3+y3+z3) ( x2+y2+z2)2x3+y3+z3 2(x2+y2+z2)2 (*)
2
(28)( )( )( )
( ) ( )
( )
+ − + − + − = − − −
= − + + + + + −
+ +
− + + −
2
2 2
2 2 2
3 3
xyz x y z x z y y z x 2z 2x 2y
2 2
27
x y z xy yz xz 8xyz
x y z
27
9xyz x y z x y z
8
Đặt = + + ( + + ) =
2
2 2 x y z
t x y z
3 Khi ta
+ − = + − + = − + = − + +
2 2 2 2
2
2 t 2t t t 7t t 11 25
S t t t
3 3 64 64 64 64
Vậy giá trị nhỏ S 25
64 Đẳng thức xảy =x y z= = 12
Bài 45 Cho a,b,c số dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh + + =
+ + +
+ +
+ + +
1 3a 3b 3c 6
1 b c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2012-2013
Lời giải Cách Ta viết lại vế trái thành
+ + +
+ + = + + + + +
+ + + + + + + + +
1 3a 3b 3c 1 3a 3b 3c
1 b c a b c a b c a
Ta chứng minh
+ + + +
+ + + + + +
1 1 3; a b c
1 b c a b c a
Trước hết ta chứng minh + + + + +
1 1
1 b c a Ta có hướng sau
Hướng Khơng tính tổng quát, giải sử a b c Do ab bc ca 3+ + = bc
Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với x, y 0; xy ta có
+
+ + +
2
1
y z yz
Thật vậy, ta có (y2+z2+2 yz 1)( + )(y2+1 z)( 2+1)(y z− ) (2 yz 1− )0
Do vai trò biến nên khơng tính tổng qt ta giả sử a b c.
Khi ta được3bc ab bc ca + + bc 1 .
Khơng tính tổng qt, giải sử a b c Do ab bc ca 3+ + = bc Áp dụng bất đẳng thức ta
= + + +
+ + + + +
2 2
1 1
P
a b c a bc
Do ta chứng minh
( )
+ +
+ + + −
+ + + + +
2
2 2
1 2a bc 3 a a b c 3abc 0
a bc a bc a bc
Từ giả thiết suy + + a b c abc Do + + − a b c 3abc
Do ta + + +
+ + + + +
2 2
1 1
a b c a bc
(29)
= + + = − + +
+ + + + + +
2
2 2 2
1 1 a b c
P
a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
= + = +
+ + + + + + + + + +
2 2 2
2 2 2
4a 4a a a a a
3a 3a ab bc ca a ab ac 2a bc a b c 2a bc Áp dụng tương tự với hai biểu thức lại ta
+ + + + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2
4a 4b 4c a b c
1
3a 3b 3c 2a bc 2b ca 2c ab
Ta chứng minh + +
+ + +
2 2
2 2
a b c 1
2a bc 2b ca 2c ab
Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
− + +
+ + +
2 2
2 2
3 a b c
2 2a bc 2b ca 2c ab
Hay + +
+ + +
2 2
bc ca ab
2a bc 2b ca 2c ab
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( ) ( ) ( )
( )
( )
+ + = + +
+ + + + + +
+ +
=
+ + + + +
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
bc ca ab
bc ca ab
2a bc 2b ca 2c ab 2a bc b c 2ab c c a 2abc a b ab bc ca
1 a b b c c a 2abc a b c Như bất đẳng thức chứng minh
Chứng minh + +
+ + +
a b c
1 b c a . Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
= − − = −
+ +
2
2
a ab ab ab
a a a
b b 2b
Tương tự ta có − −
+ +
2
b b bc; c c ca
c a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + + + − = + + −
+ + +
2 2
a b c ab bc ca
a b c a b c
b c a 2
Mặt khác ta có(a b c+ + )23 ab bc ca( + + ) + + a b c
Suy + +
+ + +
a b c
1 b c a
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Ta viết lại vế trái thành
+ + +
+ + = + + + + +
+ + + + + + + + +
1 3a 3b 3c 1 3a 3b 3c
1 b c a b c a b c a
Khi áp dụng ta đẳng thức AM - GM ta
= − − = −
+ +
2
2
1 b b b
1 1
b b 2b
Hoàn toàn tương tự ta − −
+ +
2
1 c a
1 ;
(30)Khi ta có bất đẳng thức
+ +
+ + −
+ + +
2 2
1 1 3 a b c
b c a
Mặt khác ta lại có + + + + − + + = + + −
+ + +
2 2
a b c a b c ab bc ca a b c
b c a 2
Do ta
( + + )
+ + + + + + −
+ + + + + +
5 a b c
1 1 3a 3b 3c
3
1 b c a b c a 2
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 46 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( )
= +
− + +
1
P
abc ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012-2013
Lời giải
Do a b c 1+ + = −1 ab bc ca( + + )=a2+b2+c
Suy = + + + = + + +
+ + + +
2 2 2
1 a b c 1 1
P
a b c abc a b c ab bc ca
Đến ta chứng minh P 30 cách sau
Cách Theo bất đẳng thức AM - GM ta có
( )
+ + =
+ + + + + + + +
2 2
1 1 9
a b c ab bc ca ab bc ca a b c
Bất đẳng thức chứng minh ta + +
7
21 ab bc ca
Tuy nhiên, dễ thấy ( + + + ) + + + +
2
a b c
ab bc ca ab bc ca
3 Do ta + +
7
21 ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh
Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có
( )
( ) ( )
+ + +
+ + + + + + +
=
+ + + + +
2 2 2
2
1 1 16
a b c 3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca
16 12
1
a b c a b c
3 Bất đẳng thức chứng minh ta
+ +
2 1 18
3 ab bc ca Để ý tiếp bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( )
+ + =
+ +
+ +
2 1 6
18
3 ab bc ca ab bc ca a b c
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Cách Theo đánh giá quen thuộc ta có + +
+ +
1 1
(31)+ + + +
+ + + + + +
2 2 2
1 1 1
a b c ab bc ca a b c ab bc ca Áp dụng tiếp đánh giá ta
( )
+ + + + + + +
+ + + + + +
2 2
2 2
1 1
a b c 2ab 2bc 2ca a b c ab bc ca ab bc ca
Hay +
+ + + +
2 2
1 9
a b c ab bc ca , mặt khác ta lại có + +
7 21
ab bc ca . Cộng theo vế bất đẳng thức ta + + +
+ +
2 2
1 1 30
a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh
Vậy giá trị nhỏ P 30 Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 47 Cho số thực dương a, b, cthỏa mãn abc Chứng minh
+ + + +
3 3
a c
c a a
b c b
b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012-2013
Lời giải
Đặt =x 1; y= 1; z= 1 xyz 1
a b c Khi bất đẳng thức viết lại thành + + + +
3 y
x z 1
z x y x y z
Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopcxki ta
( + + )
+ + + +
+ +
2
2 2
3
3
2 2
x y z
y
x z
x y z
z x y xx yz zx
Phép chứng minh hoàn tất ta x2+y2+z2 + +1 1 x y z Thật theo đánh giá quen thuộc giả thiết xyz ta có
+ +
+ + + + = + +
2 2 xy yz zx 1
x y z xy yz zx
xyz x y z
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 48 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn + + =a b c Chứng minh
(1 a b c+ )( + )( + ) (8 a b c − )( − )( − )
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bắc Ninh năm 2012-2013
Lời giải
Vì a, b, c số dương + + =a b c nên ta có a,b,c Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )( )
+ = − + − − −
1 a b c b c Tương tự ta có1 b c a ; c a b + ( − )( − ) + ( − )( − )
Nhân theo vế ba bất đẳng thức ta
(32)Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 49 Cho số a, b, c thỏa mãn 0 a b c Tìm giá trị lớn biểu thức
( )
= + + + + +
+ + +
1 1
A a b c
a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Dương năm 2012-2013
Lời giải
Đặt = +x c, y b, z a Từ = + = + a b c ta 1 x y z
Ta viết lại biểu thức A =( + + ) + + = + + + + + +
y y
1 1 x x z z
A x y z
x y z y z x z x y
− − − − + + +
y y x.y y
x x x x
1 1
y z y z y.z y z z
− − − − + + +
+ + + + + + + + + + + +
y y z.y y
z z z z
1 1
y x y x y.x y x x
y y y y
x z x z 2 x x z z 2 x z 2
y z y x z x y z x z x y z x
Đặt =t x 1 t
z Do ta
( − )( − )
+ − +
+ = + = = + = 2t t +
x z t t 2t 5t 5
z x t t 2t 2t
Do 1 t
2 nên ta có
(2t t 2− )( − )
2t suy + x z z x 2. Từ ta A 2. + 5+ =2 10
2 .
Vậy giá trị lớn A 10 Đẳng thức xảy
Bài 50 Cho a, b, c ,d số thực dương thỏa mãn điều kiện + + +a b c d Tìm giá trị nhỏ =
của biểu thức = + + +
+ + +
4 4
3 3
a b c d
P
a b c d
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nam Định năm 2012-2013
Lời giải
Cách Dự đoán dấu đẳng thức xảy = = =a b c d=
4 Ta chứng minh P
4 Điều tương đương với chứng minh + + +
+ + +
4 4
3 3
a b c d
a b c d
Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta có
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
4 4 3 3
4 4 3 3
4 4 3 3
4 a b c d a b c d
4 a b c d a b c d a b c d
3 a b c d a b c d b a c d c a b d d a b c Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + + = + + + = + + + =
4 4 4 4 4 4
(33)Hoàn toàn tương tự ta
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
4 4
4 4
4 4
9b a c d 4b a c d
9c a b d 4c a b d
9d a b c 4d a b c
Do ta
( 4+ 4+ 4+ 4) 3( + + )+ 3( + + )+ 3( + + )+ 3( + + )
12 a b c d 4a b c d 4b a c d 4c a b d 4d a b c Hay
( 4+ 4+ 4+ 4) 3( + + )+ 3( + + )+ 3( + + )+ 3( + + )
3 a b c d a b c d b a c d c a b d d a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh
Suy giá trị nhỏ P
4, đạt = = =a b c d= 34
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( ) ( )
( )( ) ( )
+ + + + + +
+ + + + + + + + +
2
4 4 2 2
2
4 4 2 2 3 3
4 a b c d a b c d ;
a b c d a b c d a b c d
Nhân theo vế bất đẳng thức ta
( 4+ 4+ 4+ 4) (2 3+ 3+ 3+ 3) (2 2+ 2+ 2+ 2)
4 a b c d a b c d a b c d
Hay 16 a( 4+b4+c4+d4)24 a( 3+b3+c3+d3) (2 a2+b2+c2+d2).
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
( 2+ 2+ 2+ 2)( + + + )2= a b c d a b c d Do a( 3+b3+c3+d3) (2 a2+b2+c2+d2) (9 a3+b3+c3+d3)2.
Suy ta 16 a( 4+b4+c4+d4)29 a( 3+b3+c3+d3)2 Hay4 a( 4+b4+c4+d4) (3 a3+b3+c3+d3).
Do ta = + + +
+ + +
4 4
3 3
a b c d
P
a b c d 4.
Suy giá trị nhỏ P
4, đạt = = =a b c d= 34
Bài 51 Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá
trị nhỏ biểu thức
= + +
+ − + − + −
a 4b 9c
S
b c a c a b a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Dương năm 2013-2014
Lời giải
Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi nên + + =a b c
Đặt + − =b c a x; c a b y; a b c z ,do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên + − = + − = x; y;z Khi ta + + =x y z a=y z+ ; b=x z+ ; c=x y+
(34)( + ) ( + ) ( + ) ( + )
+ +
= + + = + +
= + + + + +
9 x y x y
4 x z x z
y z y z
S
2x 2y 2z x y z
y 9y
1 4x z 9x 4z
2 x y x z y z
Ta có
+ = − +
+ = − +
+ = − +
2
2
y 4x y 2 x 2 2
x y x y
z 9x z 3 x 6 6
x z x z
9y y
4z 2 z 3 12 12
y z y z
Do S 1(4 12+ + )=11
2 Đẳng thức xảy =
=
=
= = = =
=
=
+ + =
x
y 2x 3
z 3x
y a ; b ; c
2z 3y
z x y z
Khi đóa2 =b2+c Vậy giá trị nhỏ S 11 ABC vuông
Bài 52 Cho x, y, z ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức
− + − + − +
= + +
+ + + + + +
2 2 2
x xy y y yz z z zx x
S
x y 2z y z 2x z x 2y
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Dương năm 2013-2014
Lời giải
Ta có − + =( + ) − ( + ) − ( + ) (= + )
2
2
2 x y x y
x xy y x y 3xy x y
4
Suy − + ( + )
+ + + + +
2
x xy y x y
x y 2z x z y z Áp dụng tương tự ta
+ + +
+ +
+ + + + + + + + +
x y y z
1 z x
S
2 y z z x z x x y x y y z Đặt = +a x y; b y z; c z x , ta = + = +
+ + =
+ + +
1 a b c 3
S
2 b c c a a b 2 Vì theo bất đẳng thức Neibizt + +
+ + +
a b c
b c c a a b Vậy ta giá trị nhỏ S
4 đạt =x y z =
Bài 53 Giả sử a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abc bcd cda dab + + + =
(35)Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐH KHTN Hà Nội năm 2013-2014
Lời giải
Do vai trò a, b, c nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy = = =a b c kd , với k số dương Khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương ta
( + + )
+ +
+ +
+ +
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1 3abc
a b c
k k
a b 3abd
d
k k k
b b 3bcd
d
k k k
c a 3cad
d
k k k
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( ) ( + + + )
+ + + + =
3 3
2 2
3 abc abd bcd cad
1
a b c 3d
k k k k
Hay + ( + + )+
3 3
2
3 a b c 9d
k k k
Ta cần tìm k để 32 + 63 = 4 4k3−3k 0− =
k k ta chọn k số dương Đặt = +
2
1
k x
2 x thay vào phương trình biến đổi ta thu − + =
6
x 12x
Giải phương trình ta =x 36 35 , để ý (6+ 35 6)( − 35)=1 nên ta tính
− + +
= 36 35 36 35 k
2 Do ta tính giá trị nhỏ P
(3 − +3 + )2
36
6 35 35
Đẳng thức xảy = = = − + +
36 35 36 35
a b c d
2
Bài 54 Giả sử dãy số thực có thứ tự x1x2x3 x thỏa mãn điều kiện 192
+ + + + =
+ + + + =
1 n
1 192
x x x x
x x x x 2013
Chứng minh 192 − 1
2013
x x
96 .
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐH KHTN Hà Nội năm 2013-2014
Lời giải
Trước hết ta chứng minh toán phụ sau Với a1a2 a3 a thỏa mãn n
+ + + + =
+ + + + =
1 n
1 n
a a a a a a a a
Khi ta n− 1
2 a a
n
(36)+
1 k k n
a a a a a a
Khi từ ++ ++ + ++ + = =
1 n
1 n
a a a a
a a a a 1suy
( ) ( )
( ) ( )
+ +
+
+ + =
+ + + + + + + =
− + + + + + + + =
+ + + + = −
k n
1 k k n
1 k k n
1 k
1 a a
a a a a a a 2
1 a a a a a a a a a a
2 Cũng từ a1a2a3 ak 0 ak 1+ a ta n
( )
+
−
−
1 k
k n n
1 a a a a a
2k a a a
2 n k
Do
( ) ( ) ( )
− + = =
− − − +
n
1 n 2n
a a
2 n k 2k n k n n k n n Như toán chứng minh xong
Từ giả thiết toán ta viết lại sau
+ + + + =
+ + + + =
3
1 n
3 192
1
x
x x x
2013 2013 2013 2013
x x
x x
2013 2013 2013 2013 Áp dụng kết toán phụ ta
− −
192
192
x x x x 2013
2013 2013 192 96
Vậy toán chứng minh xong
Bài 55 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+b2+c2 =1 Chứng minh
+ + +
+ + + + +
+ − + − + −
2 2
2 2
ab 2c bc 2a ac 2b 2 ab ba ca
1 ab c bc a ac b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013-2014
Lời giải
Do a2+b2+c2=1 nên ta có
( )( )
+ + + +
= = =
+ − + + + − + + + + +
2 2
2 2 2 2 2 2 2
ab 2c ab 2c ab 2c ab 2c
1 ab c a b c ab c a b ab ab 2c a b ab
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( + )( + + ) + + + ( + + )= + +
2 2
2 2
2 2 2c a b 2ab a b c 2
ab 2c a b ab a b c
2
Suy
( )( )
+ = + + = +
+ − + + + + +
2 2
2
2 2 2 2 2
ab 2c ab 2c ab 2c ab 2c
1 ab c ab 2c a b ab a b c
Tương tựta + + + +
+ − + −
2
2
2
bc 2a ca 2b
bc 2a ; ca 2b
(37)Cộng vế theo vế bất đẳng thức kết hợp a2+b2+c2=1 ta có bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
3
Bài 56 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh =
( + )( + ) (+ + )( + ) (+ + )( + )
a b c
a b b c c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013-2014
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + +
4a c 4b a 4c b a b c
4 ab bc ca a b c 3abc ab bc ca a b c ab bc ca a b c
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số dương ta
( )
+ + 3 = + + 3 =
ab bc ca abc 3; a b c abc Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta ab bc ca a b c + + + + +
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 57 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + +a b c ab bc ca 6abc + + =
Chứng minh 12 + 12 + 12 3
a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn TP Hà Nội năm 2013-2014
Lời giải
Giả thiết toán viết lại thành
+ + + + + =
1 1 1 6
ab bc ca a b c Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2
1 1 1
; ;
a b ab b c bc c a ca
1 1 1; 1 1; 1
a a b b c c
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ + + + + + + + = =
2 2
1 1 1 1 1
3 2.6 12
a b c ab bc ca a b c
Hay 12 + 12 + 12 3
a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 58 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh =
+ +
+ + + + + +
1 1
ab a bc b ca c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2013-2014
Lời giải
Đặt =a x; b=y; c=z
(38)= + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
yz xy
1 1 zx
P
ab a bc b ca c xy xz 2yz xy yz 2xz xz yz 2xy Biến đổi tương đương ta
( )
− = − + − + −
+ + + + + +
− = + + + +
+ + + + + +
yz zx xy
3 P 1
xy xz 2yz xy yz 2xz xz yz 2xy
1 1
3 P xy yz xz
xy xz 2yz xy yz 2xz xz yz 2xy
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng + +
+ +
1 1
A B C A B C
Ta có − =( + + ) = − =
+ +
9 9
3 P xy yz xz P
4xy 4yz 4xz 4
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 59
a) Chứng minh a3+b3ab a b , với a, b hai số dương ( + )
b) Cho a, b hai số dương thỏa mãn + a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( ) ( )
= 3+ 2+ 2+ +3
F a b a b ab
2
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2013-2014
Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
(a b a+ )( 2−ab b+ 2)−ab a b( + ) 0 (a b a+ )( 2−2ab b+ 2) 0 (a b a b+ )( − )20 Ta thấy với a, b hai số dương nên bất đẳng thức cho
b) Cách Áp dụng bất đẳng thức chứng minh ta có(a3+b3)2 ab a b( + )2 nên theo giả thiết ta (a3+b3)2 ab a b( + )2 ( )ab Mặt khác ta có2 a2+b2 =(a b+ )2−2ab 1ab Do −
( ) ( )
( )
+ − + = − +
= − + + = − +
2
2
3 ab
F ab 2ab ab ab
2
1 15 15 15
ab 2.ab ab
4 16 16 16 16
Dấu đẳng thức xảy = =a b Vậy giá trị nhỏ F 15
16 , đạt = = a b
2
Cách Ta có F=(a3+b3)2+(a b+ )2−1ab
2 . Mà ta ln có bất đẳng thức + ( + )
3
3 a b
a b
4 , với a, b >
Áp dụng bất đẳng thức ta có( + ) ( + )
2
3 a b
a b
4 16 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( + ) ( + )
+ + − = + + =
2
2 a b a b
1 1 15
F a b
(39)Vậy giá trị nhỏ F 15
16 , đạt = = a b
2
Bài 60 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn + + + + +
2 2
1 1 1
12
a b c a b c
Chứng minh + +
+ + + + + +
1 1
4a b c a 4b c a b 4c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2013-2014
Lời giải
Theo đánh giá quen thuộc ta có
+ + + + + + +
2
2 2
1 1 1 1 1
4 12
a b c a b c a b c
Suy ra + + − + + +
1 1 1
1
a b c a b c
Do ta +1 1+ 1
a b c + + a b c Đặt = + + + + + + + +
1 1
P
4a b c a 4b c a b 4c Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng +
+
4 1
x y x y ta
= + +
+ + + + + +
+ + + + +
+ + + + + +
= + + + + =
+ +
1 1
P
4a b c a 4b c a b 4c
1 1 1 1
4 3a a b c 3a a b c 3a a b c
1 1 1 1
4 3a 3b 3c a b c 3
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 61 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh
+ − + + − + + −
2 2 2 2 2
b c a c a b a b c
2
bc ca ab
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2013-2014
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
+ − + + − + + −
+ − + + − + + −
+ + − + + − − + + − − −
+ − + − − + − −
+ − + + + − − + − + − − − +
+
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
b c a c a b a b c
2
bc ca ab
a b c a b c a b c a b c 2abc
a b c 2abc a b c a 2abc b c a b c 2abc c
a b c a b a c b c a b c
a b c a b c a b a c b a b c c a b c a b c b
( ) ( )
( )( )( )
− − −
+ − + − + −
2
c a a b c
a b c b c a c a b Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên
+ − + − + −
a b c 0; b c a 0; c a b
(40)Bài 62 Cho số thực dươngx, y, z thỏa mãn x2+y2+z2 =3xyz Chứng minh
+ +
+ + +
2
2
4 4
y
x z
x yz y xz z xy
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nam Định năm 2014-2015
Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+
+ +
2
2
4
2
1 x
2x yz x yz
x yz x yz
2x yz yz
+ +
2 1 1 1
y z y z
yz yz
Từ hai bất đẳng thức ta + +
2
x 1
x yz y z
Hoàn tồn tương tựta có + + + +
2
4
y 1 ; z 1
y xz x z z xy x y Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + + + =
+ + +
2
2
4 4
y xy yz zx
x z 1 1
x yz y xz z xy y z x xyz
Mặt khác ta lại cóxy yz zx x+ + 2+y2+z Do ta + + = =
2 2
x y z 3xyz
xyz xyz
Suy + +
+ + +
2
2
4 4
y
x z
x yz y xz z xy
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z = =
Cách Từ giả thiết toán ta
= 2+ 2+ + + 3xyz x y z xy yz zx
Suy 1 1+ + 3
x y z Đặt = = =
1 1
a ; b ; c
x y z, ta + + a b c
Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành + +
+ + +
2 2
4 4
a bc b ca c ab a bc b ca c ab Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta a4+bc 2a bc
Do ta =
+
2
4
a bc a bc bc a bc 2a bc
Hoàn toàn tương tự ta + + + +
+ + +
2 2
4 4
a bc b ca c ab ab bc ca
a bc b ca c ab
Dễ thấy ab+ bc+ ca a b c nên ta + + + +
+ + +
2 2
4 4
a bc b ca c ab a bc b ca c ab Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z = =
Bài 63 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh + + =
( + + ) +5 2+ 2+
(41)Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn ĐHKHTN Hà Nội năm 2013-2014
Lời giải
Cách Áp dụng bất đẳng thức dạng x2+y2+z2xy yz zx ta + +
( )
+ + + +
4 4 2 2
a b b c c a abc a b b c c a
Bài toán quy chứng minh 2abc a b c( + + ) +5 abc a b b c c a( + + )
Hay a b c( + + ) +(a b b c c a2 + + ) 9abc
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta a b2 + 2a; b c2 + 2b; c a2 + 2c
9b 9c 9a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ + + + + + +
2 2 1 2a 2b 2c
a b b c c a
9a 9b 9c 3
Haya b b c c a2 + + +ab bc ca 2+ + (a b c+ + ) 9abc
Như ta cần a b c( + + ) +2(a b c+ + ) 9abc
Hay 4abc a b c( + + ) 4 3abc a b c( + + )1
3
Đánh giá cuối đánh giá 1=(ab bc ca+ + )23abc a b c ( + + ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
3
Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành
( + + + +) 4 2+ 2+
2abc a b c a b b c c a
Để ý 1=(ab bc ca+ + )2 =a b2 2+b c2 2+c a2 +2abc a b c ( + + )
Như ta quy toán chứng minh 4a b2 2+b c2 2+c a2 2+a b4 +b c4 2+c a4
Để ý đến giả thiết ta biến đổi tương đương bất đẳng thức thành
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
+ + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + +
+ + +
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 a b a 1 b c b 1 c a c 1
4
a b a b a c b c b c a b c a c b c a
a b b c c a a b b c c a
b c c a a b Dễ dàng chứng minh
( + )( + )( + ) ( + + )( + + ) (= + + )
9 a b b c c a a b c ab bc ca a b c Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta lại có
( )
( ) ( )
+ +
+ + =
+ + + + + + +
2 2 2 2 ab bc ca
a b b c c a
b c c a a b a b c a b c Nhân theo vế hai bất đẳng thức ta
( + )( + )( + ) + +
+ + +
2 2 2
a b b c c a
9 a b b c c a
(42)Hay bất đẳng thức chứng minh
Bài 64 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh
( ) ( )
+ + + + +
2 2
a b c abc 2 ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Nghệ An năm 2014-2015
Lời giải
Đặt =x 3a ; y2 =3b ; z2 =3c
Suy a2 =x ; b3 =y ; c3 =z , nên =3 a x , b3 = y , c3 = z với x; y; z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
( )
+ + + + +
3 3 3 3 3
x y z 3xyz x y y z z x
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta đượcxy x y( + )2xy xy x y = 3 Tương tự ta cóyz y z( + )2 y z ; zx z x3 ( + )2 z x 3
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( + )+ ( + )+ ( + ) ( 3 + 3 + 3)
xy x y yz y z zx z x x y y z z x Như phép chứng minh hoàn tất ta
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + +
3 3
x y z 3xyz xy x y yz y z zx z x Vì vai trị biến bình đẳng nên giả sử x y z
Khi x x y( − )2+z y z( − ) (2+ z x y x y y z+ − )( − )( − )0 Suy x3+y3+z3+3xyz xy x y ( + )+yz y z( + )+zx z x ( + )
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 65 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện 2c b abc Tìm giá trị + =
nhỏ biểu thức = + +
+ − + − + −
3
S
b c a c a b a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bắc Ninh năm 2014-2015
Lời giải
Từ giả thiết ta có + − a b c 0; b c a 0; c a b + − + − Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng +
+
1
x y x y ta
= + + + + + + +
+ − + − + − + − + − + −
1 1 1
S
b c a c a b b c a a b c c a b a b c c b a
Mà 2c b abc+ = + =2 a
b c nênkết hợp với bất đẳng thức AM - GM ta +
S 2a
a Vậy giá trị nhỏ S dấu xảy = = =a b c
Bài 66 Cho phương trình ax2+bx c a có hai nghiệm thuộc đoạn + = ( ) 0;2 Tìm giá trị lớn
nhất biểu thức = − +
− +
2
2
8a 6ab b P
4a 2ab ac.
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2014-2015
Lời giải
(43)+ = − =
1 2
b c
x x ; x x
a a
Khi ( ( ) () )
− + + + + +
− +
= = =
− + − + + + +
2
2
2
1 2
2
1 2
b b
8
8 x x x x
8a 6ab b a a
P b c
4a 2ab ac 4 2 x x x x
a a
Do 0 x1x2 2 x21 x x ; x1 22 4 x21+x22x x1 2+4 ( + ) +
1 2
x x 3x x
Do ta + ( (+ )+) + =
+ + +
1 2
1 2
8 x x 3x x
P
4 x x x x
Đẳng thức xảy x1 =x2 =2 x1=0; x2=2 hay
= − =
= − =
c b 4a b 2a; c Vậy giá trị lớn P
Bài 67 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + a b c 2014 Chứng minh
− − −
+ +
+ + +
3 3 3
2 2
5a b 5b c 5c a 2014 ab 3a bc 3b ca 3c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Lào Cai năm 2014-2015
Lời giải
Dễ dàng chứng minh a3+b3ab a b , ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên sau ( + )
( ) ( ) ( )
( )( )
+ + − − + − − −
−
− − + −
+
3 3 3 3 2
3
3
2
a b ab a b 5a b 6a ab a b 5a b a 6a ab b 5a b
5a b a 2a b 3a b 2a b
ab 3a
Hoàn toàn tương tự ta − − − −
+ +
3 3
2
5b c 2b c; 5c a 2c a
bc 3b ca 3c
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
− − −
+ + + +
+ + +
3 3 3
2 2
5a b 5b c 5c a a b c 2014 ab 3a bc 3b ca 3c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c 2014
Bài 68 Cho số dương x, y, zthỏa mãn x x 1( + )+y y 1( + ) (+z z 1+ )18
Tìm giá trị nhỏ biểu thức = + +
+ + + + + +
1 1
B
x y y z z x
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2014-2015
Lời giải
Ta biến đổi giả thiết
( + )+ ( + ) (+ + ) 2+ 2+ 2 −( + + )
x x y y z z 18 x y z 18 x y z Áp dụng đánh giá quen thuộc ta (x y z+ + )254 x y z − ( + + )
Hay + + 0 x y z Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng + + + +
1 1
a b c a b c ta
( )
= + + =
+ + + + + + + + + +
1 1 9
B
x y y z z x x y z 2.6
Hay B
(44)Vậy giá trị nhỏ B
5 Đẳng thức xảy =x y z = =
Bài 69 Cho a, b, c ba số thực dương có tổng Chứng minh
− + − + −
+ + +
a bc b ca c ab a bc b ca c ab
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2014-2015
Lời giải
Kết hợp với giả thiết ta có biến đổi sau
( ) ( )( )
−
= − = − = −
+ + + + + + +
a bc 1 2bc 1 2bc 1 2bc
a bc a bc a a b c bc a b a c
Hoàn toàn tương tự ta
( )( ) ( )( )
− −
= − = −
+ + + + + +
b ca 1 2ca ; c ab 1 2ab .
b ca b c b a c ab c a b c
Khi ta
( )( ) ( )( ) ( )( )
− − −
+ + = − + +
+ + + + + + + + +
a bc b ca c ab 3 2 bc ca ab
a bc b ca c ab a b a c b c b a c a c b
Ta quy toán chứng minh
( + )( + ) (+ + )( + ) (+ + )( + )
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b Bất đẳng thức tương đương với
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ − + + − + + −
− − −
+ +
2 2 2
2 2
4bc b c 4ca c a 4ab a b a b b c c a b c c a a b
b c bc c a ca a b ab 6abc
a a b b c c
b a 2 c b 2 c a 2 0
a b b c a c
a b b c c a
0
ab bc ca
Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy = = =a b c
3
Bài 70 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 6a 3b 2c abc Tìm giá trị lớn biểu + + =
thức = + +
+ + +
2 2
1
B
a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015
Lời giải
Giả thiết toán viết lại thành + + =1 bc ca ab Đặt =a 1; b=2; c=
x y z, ta xy yz zx + + = Biểu thức B viết lại thành = + +
+ + +
2 2
y
x z
B
x y z
Để ý đến giả thiết xy yz zx ta có + + = x2+ =1 x2+xy yz zx+ + =(x y z x + )( + ) Khi ta
( )( )
=
+ +
+
2
x x
(45)Hoàn toàn tương tự ta
( )( ) ( )( ) ( )( )
= + +
+ + + + + +
y
x z
B
x y x z x y y z z x y z
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )( )
( )( )
( )( )
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
x x x
2 x y z x x y z x
y y y
2 x y y z x y y z
z z z
2 z x y z x z y z
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( )( ) ( )( ) ( )( )
= + +
+ + + + + +
y
x z
B
2
x y x z x y y z z x y z
Vậy giá trị lớn B
Đẳng thức xảy =a 3; b 3; c 3 = =
Bài 71 Cho số thực a, b, c dương Chứng minh
+ +
+ + +
2 2 2
a b c 2
b c c a a b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Quảng Trị năm 2014-2015
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )
=
+ +
+ +
2
2 2
2 2 2
a a 2a
a b c
b c a b c
Hoàn toàn tương tự ta
+ + + +
+ +
2
2 2 2
2 2
b 2b c 2c
;
a b c a b c
c a a b
Cộng theo vế bất đẳng thức ta + +
+ + +
2 2 2
a b c 2
b c c a a b
Vì đẳng thức khơng xảy nên ta có bất đẳng thức + +
+ + +
2 2 2
a b c
2
b c c a a b
Bài toán chứng minh xong
Bài 72 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( + − ) ( + − ) ( + − )
= + +
3
b c a c a b a b c
A
2a 2b 2c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Đăk Lăk, 2014 – 2015
(46)( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+ − + −
+ +
+ − + −
+ +
+ − + −
+ +
3 3
b c a 2a b c a
2a 2
c a b 2b c a b
2b 2
a b c 2c a b c
2c 2
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( + − ) ( + − ) ( + − ) + + ( + + )
+ + + +
3
b c a c a b a b c a b c 3 a b c
2a 2b 2c 2
Hay( + − ) (+ + − ) (+ + − ) + + − =
3
b c a c a b a b c a b c 3
2a 2b 2c 2
Vậy giá trị nhỏ A
2 Đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Đặt = + −x b c a; y c a b; z a b c , ta viết lại giả thiết thành + + == + − = + − x y z Bài
tốn quy tìm giá trị nhỏ biểu thức
( ) ( ) ( )
= + +
+ + +
3
3 y
x z
A
2 y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ + + +
= + +
+ + + + +
2
2 2
3 2
3 y x y z x y z
x z
A
y z z x x y xy yz zx 2
Vậy giá trị nhỏ A
2 Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 73 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn −x 1; y −2; z −3 + + = −x y z Chứng minh
rằng + +
+ + +
1
36 x y z
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Yên Bái năm 2014-2015
Lời giải
Do −x 1; y −2; z −3 nên + x 0; y 0; z + +
Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ + =
+ + + + + +
2
1
1
36 x y z x y z Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy
+ + = −
= =
+ + +
x y z
1
x y z
Bài 74 Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn + + +x y z xyz Tìm giá trị lớn biểu =
thức
= + +
P xy yz zx
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Đại Học Vinh năm 2014-2015
Lời giải
(47)• Trường hợp yz Kho ta xy 1; zx nên P • Trường hợp yz Khi ta xyz x Do
( )( )
= + + + + + + + +
= 2+ + + = 2+
4 x y z xyz x y z x x y x z x xy yz zx x P P Suy P Kết hợp kết ta giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy =x 0; y z hoán vị = =
Cách Giả sử x số lớn số x, y, z
Khi ta + + x y z 3x; xyz x 3.
Suy x3+3x hay (x x− )( 2+ +x 4) 0 x Ta có
( ) ( )
( ) ( )
= + + = + + + − = − + −
= − − + + −
2
2
P xy yz zx x x y z yz x x xyz yz x x yz x
Suy P Vậy giá trị nhỏ P
Đẳng thức xảy =x 0; y z hoán vị = =
Bài 75 Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn + + =a b c Chứng minh
+ +
+ + +
2 2
a b c
2
b c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bắc Giang năm 2014-2015
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + = + + + +
+ + +
+ + + + + +
2 2 2 2 2
a b c 4a 4b 4c 4a 4b 4c
b c a b c a b c a
Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ + = =
+ + + + + + +
2
2 2 4 a b c
4a 4b 4c 4.9
b c a a b c 21 21
Suy ta + +
+ + +
2 2
a b c
2
b c a
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 76
1) Cho a, b, c ba số thực dương tùy ý Chứng minh a+ ab+3abc3(a b c+ + )
2) Cho a, b, c ba số thực dương tùy ý Chứng minh
+ +
+ + +
2 2
bc ca ab
1 a 2bc b 2ca c 2ab
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tin - Toán Tỉnh Tiền Giang năm 2014-2015
Lời giải
1) Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+ +
= + =3
a b 4c
a a a 4
ab .b b; abc b.4c
(48)Từ ta có ( )
+ + + +
+ +3 + + + =
a
b 4c a b c
a 4
a ab abc a b
4 3
Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy =a 4b 16c = 2) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ +
+ + +
2 2
2 2
a b c 1
a 2bc b 2ca c 2ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ + =
+ + + + + + + +
2
2 2
2 2 2
a b c
a b c
1 a 2bc b 2ca c 2ab a b c 2ab 2bc 2ca Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 77 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn + + =x y z Chứng minh
−
− −
+ +
+ + +
2
2 1 y
1 x z 6
x yz y zx z xy
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Thành Phố Hà Nội năm 2014-2015
Lời giải
Áp dụng giả thiết ta
( )( )
( )( ) ( )(( ))(( ))( )
+ + + + +
− +
− = =
+ + + + +
2 1 x x x y y z z x y z
1 x
x yz x y z x x y z x
Hoàn toàn tương tưh ta
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
+ + + + +
− =
+ + +
+ + + + +
− =
+ + +
2
x z x y x z y z y
y zx x y y z
x y y z x y x z z
z xy y z z x
Đặt a=(x y y z ; b+ )( + ) =(y z z x ; c+ )( + ) =(x y z x , ta viết lại bất đẳng thức + )( + ) thành
+ + +
+ +
a b b c c a 6
c a b
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta a b+ 2; b c+ 2; c c+ 2
b a c b a a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b b c c a+ + + + + 6
c a b
Vậy toán chứng minh xong
Bài 78 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xy yz zx Chứng minh + + =
+ +
+ + +
2 2
y
x z
2
x y z
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP TP Hồ Chí Minh, 2014-2015
Lời giải
Áp dụng giả thiết ta
( )( )
= =
+ +
+ + + +
2
x x x
x y x z x x xy yz zx
(49)( )( ) ( )( )
= +
+ + + +
+ +
2
x x x x
x y x z x y z x x y x z
Do ta + + +
+
2
x x x
2 x y z x x
Hoàn toàn tương tự ta
+ +
+ + + +
+ +
2
y y y z z z
;
2 x y y z z x y z
y z
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + +
+ + + + + =
+ + + + + +
2 2
y
x z
x y z
y y
1 x x z z
2 x y z x x y y z z x y z
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z= =
Bài 79 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn
+ + + + + =
2 2 2
x y y z z x 2014
Tìm giá trị nhỏ biểu thức = + +
+ + +
2
2 y
x z
P
y z z x x y
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa, 2014 – 2015
Lời giải
Dễ dàng chứng minh y( 2+z2) +x y ta
( )
+ +
2
2
x x
y z 2 y z Hoàn toàn tương tự ta
( ) ( ) ( )
+ +
+ + +
2
2
2 2 2
y
x z
P
2 y z z x x y
Đặt =a y2+z ; b2 = z2+x ;c2 = x2+y , suy + + =2 a b c 2014
Từ ta = + − = + − = + −
2 2 2 2 2
2 b c a c a b a b c
x ; y ; z
2 2
Khi ta + − + + − + + −
2 2 2 2 2
1 b c a c a b a b c
P
a b c
2 Xét biểu thức
( )
+ − + − + −
= + +
= + + + + + − + +
2 2 2 2 2
2 2 2
b c a c a b a b c
Q
a b c
b c a c a b a b c
a a b b c c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( ) ( ) ( )
= + + + + + − + +
+ + + +
+ − + + = + + =
+ + + +
2 2 2
2
a b c b c a
Q a b c
b c a a b c
a b c a b c
a b c a b c 2014
(50)Do ta P 2014
2 Vậy giá trị nhỏ P 2014
2 Đẳng thức xảy = = =x y z 2014
3
Bài 80 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ac abc Chứng minh + + +
( )
+ + + + + + +
2 2
a b c a b c ab bc ac
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2015-2016
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM số ta có
+ + + 3 + + 2
4 abc ab bc ac a b c abc a b c abc a b c Khi ta quy toán chứng minh a2+b2+c2+3 a b c3 2 2 ab bc ac ( + + )
Đặt 3a2 =x, b3 =y, c3 =z x, y,z , bất đẳng thức viết lại thành ( )
+ + + + +
3 3 3 3 3
x y z 3xyz x y z x z y Dễ dàng chứng minh
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + +
3 3
x y z 3xyz xy x y yz y z xz x z
( + )+ ( + )+ ( + ) 3 + 3 + 3
xy x y yz y z xz x z x y z x z y Khi ta
+ + + + +
3 3 3 3 3
x y z 3xyz x y z x z y
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 81 Giả sử x, y, z số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức
= + +
+ − + − + −
y
x z
P
y z z x x y
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2015-2016
Lời giải
Ta có = + +
+ − + − + −
4y
4x 4z
P
4 y z 4 z x 4 x y
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )
+ − = + − + − + = +
4 y z 4 y z y z 4 y z
Áp dụng tương tự ta
= + + + +
+ + +
+ − + − + −
4y y
4x 4z x z
P
y z x z x y y z 4 z x 4 x y
Dễ dàng chứng minh + +
+ + +
y
x z
y z x z x y
Do ta P 6 Vậy giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy x y z 4= = =
Bài 82 Tìm số thực khơng âm a b thỏa mãn
+ + + + = + +
2 3 1
a b b a 2a 2b
4 2
(51)Lời giải
Ta dễ dàng chứng minh
− + + + + +
− + + + + +
2
2
2
2
1
a a a a b a b
2 4
1
b b b b a a b
2 4
Áp dụng đánh giá bất đẳng thức AM - GM ta
( )
+ + + + + + = + +
+ + +
= + +
2
2
2
2
3 1
a b b a a b 2a 2b
4 4
1
2a 2b
2 1
2a 2b
4 2
Đẳng thức xảy = =a b
Bài 83 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 12 + 12 + 12 =1
x y z Tìm giá trị nhỏ biểu
thức
( ) ( ) ( )
= + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
y z z x x y
P
x y z y z x z x y
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2015-2016
Lời giải
Ta có = + +
+
+ +
2 2 2
1 1
P
1
1 y 1
x z x z
z y x y
Đặt =a 1; b= 1; z=1
x y zthì a;b;c + + =
2 2
a b c Khi ta
( ) ( ) ( )
= + + = + +
+ + + − − −
2 2
2 2 2 2 2
a b c a b c
P
b c c a a b a a b b c c
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có
( ) ( )( )
( ) ( )
+ − + −
− = − − =
−
−
3
2 2
2
2 2 2
2
2
2
1 2a a a
a a 2a a a
2 27
2 a 3.a
a a
2 a a
3 Hoàn toàn tương tự ta
( − ) ( − )
2 2
2
b 3.b c 3.c
;
2
b b c c
Cộng theo vế kết ta P 3
2 Vậy giá trị nhỏ P 3
2 Đẳng thức xảy =x y z= =
Bài 84 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc Tìm giá trị lớn biểu thức =
= + +
+ + + + + +
4 4 4
a b c
T
(52)Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nam Định năm 2015-2016
Lời giải
Ta có b( 4+c4) ( b2+c2)22bc b( 2+c2)b4+c4bc b( 2+c 2) Do ta
( ) ( )
= =
+ + + + + + + +
2
4 2 2 2 2
a a a a
b c a bc b c a abc b c a a b c
Hoàn toàn tương tự ta
+ + + + + + + +
2
4 2 4 2
b b ; c c
a c b a b c a b c a b c
Cộng theo vế kết ta T
Vậy giá trị lớn T Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 85 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh
( ) ( ) ( )
+ − + − + −
+ +
+ + + + + +
2 2
2 2
2 2 2 2 2
4a b c 4b c a 4c a b
3
2a b c 2b c a 2c a b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nam Định năm 2015-2016
Lời giải
Ta có
( ) ( + + ) (− + + − ) ( )
+ − +
− = =
+ + + + + +
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2a b c 4a b c 2bc
4a b c b c
2
2a b c 2a b c 2a b c
Áp dụng tương tự ta viết lại bất đẳng thức
( + ) ( + ) ( + )
+ +
+ + + + + +
2 2
2 2 2 2 2
b c c a a b
3
2a b c 2b c a 2c a b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
( )
+
+
+ + + +
+
+
+ + + +
+
+
+ + + +
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
b c b c
2a b c a b c a
c a c a
2b c a b c b a
a b a b
2c a b c a c b
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( + ) ( + ) ( + )
+ +
+ + + + + +
2 2
2 2 2 2 2
b c c a a b
3
2a b c 2b c a 2c a b
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 86 Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a b+ )3+4ab 12 Chứng minh
+ +
+ +
1
2015ab 2016 a b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Dương năm 2015-2016
Lời giải
Ta có 12 (a b) + 3+4ab(2 ab)3+4ab Đặt =t ab , t
( )( )
(53)Do 2t2+3t 0, t nên − + t t Vậy 0 ab Dễ dàng chứng minh +
+ + +
1
1 a b ab , a,b 0,ab Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )( )
− −
− + − +
+ + + + + + + +
− −
−
−
+ +
+ + + +
2
1 1 0 ab a ab b 0
1 a ab b ab a ab b ab
b a ab
b a a b
0
1 a b
1 ab ab a b
Do 0 ab nên bất đẳng thức Tiếp theo ta chứng minh +
+
2 2015ab 2016,
1 ab a,b 0,ab Đặt =t ab,0 t ta +
+
2
2 2015t 2016 t
( )( )
+ − − − + +
3 2
2015t 2015t 2016t 2014 t 2015t 4030t 2014 Do 0 t nên bất đẳng thức
Vậy + +
+ +
1
2015ab 2016
1 a b
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b
Bài 87 Cho a, b, c số thực Chứng minh
( + )( + )( + ) ( + + )
2
2 2 a b c
a b c
4
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghện An năm 2015-2016
Lời giải Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
(2a2+2 2b)( 2+2 2c)( 2+2)3 2a( + 2b+ 2c )2 Đặt =x a ; y b ; z c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành = =
(x2+2 y)( 2+2 z)( 2+2)3 x y z ( + + )2
Ta có (x2+2 y)( 2+2)=x y2 2+ +1 2x2+2y2+3
Suy ( + )( + ) + + +( + ) + = ( + ) +
2
2
2 2 x y
x y 2xy x y x y
2
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + +
+ + + + = + +
2
2 2 2
2 2
3
x y z x y z x y 2z
2
3 4 x y z x y 2z 3 x y z
Do ta ( + )( + )( + ) ( + + )
2
2 2 a b c
a b c
4
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = = a b c
(54)( ) ( )
+ + + + + + + + +
2 2 2 2 2 2
4a b c a b b c c a a b c ab bc ca Theo nguyên lý Dirichlet ta giả sử
( − )( − ) ( − )( − )
+ +
2 2 2
2 2 2 2
2a 2b c 2a 2b 4a b c c 2a c 2b c
Khi ta quy tốn chứng minh
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + +
− + −
− + − +
2 2 2 2 2 2
2
2
4 a b b c c a a b 2a c 2b c ab bc ca 2bc 2ca
a b 2ab
2
Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh
Bài 88 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c 1 1+ +
a b c Chứng minh + +
+ +
+ + +
3 3
a) a b c 3abc
a b c
b)
1 3bc 3ca 3ab
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, 2015 – 2016
Lời giải
a) Giả thiết toán viết lại thành
( + + )= + +
abc a b c ab bc ca
Mà ta lại có + + ( + + )
2
a b c ab bc ca
3
Do ta ( + + ) ( + + ) + +
2
a b c
abc a b c 3abc a b c
3
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c b) Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
+ +
+ + +
4 4
a b c
a 3abc b 3abc c 3abc Áp dụng kết câu a ta
+ + + +
+ + + + + + + + +
4 4 2
a b c a b c
a 3abc b 3abc c 3abc 2a b c a 2b c a b 2c Ta cần
+ +
+ + + + + +
2 2
a b c
2 2a b c a 2b c a b 2c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ +
+ + + + + + + + + + + + + +
2
2 2 a b c
a b c
2a b c a 2b c a b 2c 2a b c a 2b c a b 2c Mà theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( )
+ + + + + + + + + +
2a b c a 2b c a b 2c 12 a b c Suy
( ) ( )
( )
( )
+ + + + + + + +
=
+ + + + + + + + + +
2
a b c a b c a b c a b c
(55)Cũng từ giả thiết + + =a b c 1 1+ +
a b c ta suy
+ + = + + + +
+ +
1 1
a b c a b c
a b c a b c Do (a b c a b c+ + ) + + 3
2
2
Từ kết ta + +
+ + + + + +
2 2
a b c
2 2a b c a 2b c a b 2c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 89 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh + + =
+ +
+ + +
2 2
1 1 1 3
2 a b c 1
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh TháiBình năm 2015-2016
Lời giải
Theo đánh giá quen thuộc ta
( + + )2 ( + + )= + + a b c ab bc ca a b c
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta = − − = −
+ +
2
2
1 a a a
1 1
1 a a 2a
Hoàn toàn tương tự ta − −
+ +
2
b c
1 ;
2
1 1
b 1 c 1
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + −
+ + +
2 2
a b c
1 1 1 3 3
2 a b c 1
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 90 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh =
( )
+ + +
+ +
2 2
b c a 9
a b c ab bc ca
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2015-2016
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ + = + +
+ +
2
2 2 a b c
b c a
a b c
a b c a b c
Mà theo đánh giá quen thuộc a b c+ + ab bc ca Do ta ( + + )
( ) ( ) ( )
+ + + + + +
+ + + +
2 2
b c a 9
3 ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
(56)( ) ( )
( ) ( )
( )
+ + +
+ +
+ + + +
= + + =
+ +
9 ab bc ca
2 ab bc ca
3 ab bc ca ab bc ca 27
3
2 2 ab bc ca
Suy
( )
+ + +
+ +
2 2
b c a 9
a b c ab bc ca
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 91 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn (a b b c c a+ )( + )( + )=1 Chứng minh
+ + ab ac bc
4
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015-2016
Lời giải
Dễ dàng chứng minh (a b b c c a+ )( + )( + )8(a b c ab bc ca+ + )( + + )
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
( + )( + )( + ) ( + + )( + + )
9 a b b c c a a b c ab bc ca
Ta có đẳng thức (a b c ab bc ca+ + )( + + ) (= a b b c c a+ )( + )( + )+abc Nên ta
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
+ + + + + + +
+ + +
9 a b b c c a a b b c c a 8abc a b b c c a 8abc
Đánh giá cuối đánh giá Do bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức kết hợp với giả thiết ta
( )( )
8 + + + +
1 a b c ab bc ca
Lại có a b c+ + ab bc ca Nên ta ( + + )
( )( ) ( )
+ + + + + +
2
3
8
1 ab bc ca ab bc ca ab bc ca
9
Hay ab bc ca+ +
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 92 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c Chứng minh
+ + + + +
5 5 1
a b c
a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bạc Liêu năm 2015-2016
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + +
5 5
a 2a ;b 2b ; c 2c
a b c
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( )
+ + + + + + +
5 5 1 2
a b c a b c
(57)Dễ thấy + + ( + + ) =
2
2 2 a b c
a b c
3
Do ta a5+b5+c5+ + + 1 1 a b c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 93 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn + + =x y z Chứng minh
( + )+ ( + )+ ( + )
1 1
4 y 3z 5x
x 3y 5z z 3x 5y
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Thuận năm 2015-2016
Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
+
+ +
+ + + + +
1 1
y 3z 5x
x 3y 5z z 3x 5y
9
x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y Mà theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + +
+ + + + + = + +
x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y
3 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y 24 xy yz zx Mà theo đánh giá quen thuộc xy yz zx( + + ) ( x y z+ + )2=18 Do ta
( + )+ ( + )+ ( + ) =
x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y 8.18 12
Suy
( + )+ ( + )+ ( + ) =
1 1
12 y 3z 5x
x 3y 5z z 3x 5y
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z= =
Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( + ) + +
2 8x 3y 5z 8x 3y 5z
Suy
( + ) = ( + ) + +
1 4
8x 3y 5z x 3y 5z 8x 3y 5z
Hoàn toàn tương tự ta
( + ) + + ( + ) + +
1 ;
8y 3z 5x 8z 3x 5y
y 3z 5x z 3x 5y
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( + ) + ( + ) + ( + )
+ +
+ + + + + +
1 1
y 3z 5x
x 3y 5z z 3x 5y
4 4
8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y Mà theo bất đẳng thức AM - GM ta có
( )
+ + = =
+ + + + + + + +
4 4 9.4 36
(58)Suy
( + )+ ( + )+ ( + )
1 1
4 y 3z 5x
x 3y 5z z 3x 5y
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z= =
Bài 94 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn + + =a b c Tìm giá trị nhỏ biểu
thức = + + + + + +
+ +
2 2
2 2
ab bc ca
P a b c
2 a b c
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH Vinh năm 2015-2016
Lời giải
Từ giả thiết + + =a b c ta + + = −( + + )
2 2
4 a b c
ab bc ca
2 Do biểu thức P viết lại thành
( )
− + +
= + + + +
+ +
2 2
2 2
2 2
4 a b c 1
P a b c
4 a b c
Đặt =t a2+b2+c2 t
3 Khi ta
( − )( − )
= + 12 −t2 + = + +t t 12 +3t t− + +3 t + 3
P t 1
t 8 2t 4 4
Vậy giá trị nhỏ P
4 Đẳng thức xảy = =a b 0; c hoán vị =
Bài 95
a) Cho a, b số thực dương Chứng minh (1 a b+ )( + ) +1 ab b) Cho a, b số thực dương thỏa mãn + =a b ab Tìm giá trị nhỏ biểu
thức = + + ( + )( + )
+ +
2
2
1
P a b
a 2a b 2b
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Phước năm 2015-2016
Lời giải
a) Bình phương hai vế ta
(1 a b+ )( + )= +1 ab ab+ + a b ab( a− b)20 b) Áp dụng bất đẳng thức câu a +
+
1
x y x y ta
( ) ( )
+ + = + + = + +
+ + + + − + +
= + + + + + + = +
2
2 2
3 2
4 4
P ab ab ab
a 2a b 2b a b 2ab a b a b
4 ab ab 7ab 1 4. 1. 7ab 1 7ab
a b 16 16 16 16 8
Mặt khác từ giả thiết ta có ab a b ab= + ab
Do ta P 7.4 21+ =
4 Vậy giá trị nhỏ P 21
4 Đẳng thức xảy = =a b
Bài 96 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện +1 1+ 3
(59)+ +
+ + +
+ + +
a b c ab bc ca
3
1 b c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Ninh Bình năm 2015-2016
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + + +
+ +
1 1
3 a b c
a b c a b c Biến đổi áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
= − − = =
+ +
2
2
a ab ab ab
a a a
1 b b 2b
Hoàn toàn tương tự ta
− −
+ +
b b bc; c c ca
1 c a
Khi ta
+ + + + + +
+ + + + + − +
+ + +
a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca 3
1 b c a 2
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 97 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + a b c Chứng minh
( + )( + ) (+ + )( + ) (+ + )( + )
4 4
a b c
a b b c c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bắc Giang năm 2015-2016
Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( )( )
( )( )
( )( )
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ + +
+ +
4 4
a a b 4a
a b 27 27 9
b b c 4b
b c 27 27 9
c c a 4c
c a 27 27 9
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
+ + + +
+ + + +
+ + + + + +
4 4 2 a b c 4 a b c
a b c
a b b c c a 27 3
Hay
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
+ +
+ + − =
+ + + + + +
4 4 10 a b c
a b c 21
a b b c c a 27 27
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ) )
+ +
+ +
+ + + + + + + + + + + +
2
2 2
4 4 a b c
a b c
a b b c c a ab bc ca a b c 12 Phép chứng minh hoàn tất ta
( ) ( )
( )
+ + + + + + + +
+ + + + +
2
2 2
2
2 2
(60)Theo đánh giá quen thuộc ta có
( 2+ 2+ 2)2( + + )2( 2+ 2+ 2) ( 2+ 2+ 2)
3 a b c a b c a b c a b c
Lại thấy + + + + ( + + ) ( + + ) =
2
2 2 2 a b c
a b c ab bc ca; a b c 8.3 24
3 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta
( 2+ 2+ 2)2 ( 2+ 2+ 2) + + + a b c a b c ab bc ca 24
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 98 Cho ba số thực x; y;z Chứng minh
( − ) +( − ) (+ − )
4
4
2
y
x z 48
x z
y
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Tiền Giang năm 2015-2016
Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsxki ta
( ) ( ) ( )
+ + + +
− − − −
−
−
2
4
4 2
2
y y
x z x z
x y z x z
y
Ta quy toán chứng minh − + − + −
2
2 y
x z
144
y z x , hay − + − + −
2
2 y
x z
12 y z x . Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ +
− − − + + −
2
2 y x y x
x z
y z x x y z
Phép chứng minh hoàn tất ta ( + + ) + + −
2
x y x 12 x y z hay
( + + )2 ( + + )− ( + + )2− ( + + )+ ( + + − )2 x y z 12 x y z 36 x y z 12 x y z 36 x y z 0 Bất đẳng thức cuối
Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xảy =x y z = =
Cách Ta chứng minh bất đẳng thức Với a a4 16 a ( − )2
Thật
( ) ( ) ( )
− − + − − + −
4 2
a 16 a a 16a 32a 16 a a 4a Vì a nên a2+4a , bất đẳng thức −
Áp dụng bất đẳng thức ta đượcy416 y ( − )2
( − )
4
2
x 16x
y
y
Hoàn ta tương tự ta
( ) ( ) ( )
+ + + +
− −
−
4
4 4
2 4
y y
x z x z
16 48
x y z x
z y
Vì theo bất đẳng thức AM - GM + +
4
4
4 4
y
x z 3
y z x
(61)Bài 99 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz + + =
Tìm giá trị nhỏ biểu thức = ( )+ ( )+ ( )
+ + +
y
x z
P
z z x x x y x x z
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Cần Thơ năm 2015-2016
Lời giải
Biến đổi giả thiết ta 1 1+ + =2
x y z Đặt = = =
1 1
a ; b ; c
x y z, giả thiết trở thành + + =
a b c Ta viết lại biểu thức P = + +
+ + +
2 2
2
a b c
P
a 2b b 2c c 2a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ + + +
= + + = =
+ + + + +
2
2 2
2
a b c
a b c a b c
P
a 2b b 2c c 2a a b c 3
Vậy giá trị nhỏ P
3 Đẳng thức xảy =x y z= = 32
Bài 100 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c Chứng minh
+ +
+ + +
1 1 1
2 a b b c c a
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2015-2016
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ +
+ + +
2 2
2 2
a b b c c a
1 a b b c c a
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có +2 a b 1 a b a b = + +
Do ta =
+
3
2 2
2 3 2
a b a b a ab
2 a b 3 a b Hoàn toàn tương tự ta
+ +
+ +
+ + +
3
2 2 2
2 2
a b b c c a a ab b bc c ca
2 a b b c c a
Cũng theo bất đẳng thức AM - GM ta 3ab2 a b b a 2b+ + = +
3
Suy ( + )= +
2 a a 2b a 2ab
a ab
3
Hoàn toàn tương tự ta + + ( + + ) =
2
3 3 a b c
a ab b bc c ca
3 .
Từ ta + +
+ + +
2 2
2 2
a b b c c a
1 a b b c c a .
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 101 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 11 + + =
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( ) ( )
+ + =
+ + + + +
2 2
5a 5b 2c P
12 a 11 12 b 11 c 11
(62)Lời giải
Dễ thấy a2+11 a= 2+ab ca ca+ + =(a b a c , ta + )( + )
( 2+ )= ( + )( + ) ( + ) (+ + )= + + 12 a 11 a b a c a b a c 4a 3b c Hoàn toàn tương tự ta
( 2+ )= ( + )( + ) ( + ) (+ + )= + +
12 b 11 a b b c a b b c 3a 4b c
( )( ) + + + + +
+ = + + =
2 c a b c a b 2c
c 11 c a b c
2
Khi ta 12 a( 2+11)+ 12 b( 2+11)+ c2+1115a 15b+ +3c
2
Suy + + = + + =
+ +
+ +
5a 5b 2c 10a 10b 4c P
15a 15b 3c 15a 15b 6c
2
Vậy giá trị nhỏ P
3 Đẳng thức xảy
+ = + =
= = =
+ + =
2a 3b 3a 2b c
a b 1; c ab bc ca 11
Bài 102 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=3 Chứng minh
+ +
+ + +
1 1
1
1 8a 8b 8c
Trích đề thi HSG tỉnh Nam Định năm 2011-2012
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( )( ) + + − + ( )
+ = + − + = +
2
2 2
3 2a 2a 4a
1 8a 2a 2a 4a 2a
2
Do ta +
+
1
1 2a
1 8a Hoàn toàn tương tự ta
+ +
+ +
1 1
;
1 2b 2c
1 8b 8c
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ + + +
+ + +
+ + + 2
1 1 1
1 2a 2a 2a
1 8a 8b 8c
Theo bất đẳng thức AM - GM ta lại có
( )
+ + =
+ + + + 2+ 2+
1 1
1 2a 2a 2a a b c
Suy + +
+ + +
1 1
1
1 8a 8b 8c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy hi = = =a b c
Bài 103 Cho x, y thỏa mãn
x, y R x, y
2
Chứng minh +
+ +
y
x 2
1 y x
(63)Lời giải
Từ giả thiết suy
− − + +
1 x y 0 x y 2 xy
2
2
( )
+ +
x x x ; y y y x x y y x y
2 2
Lại có
( )
+ +
+
+
2 2
1 xy xy
xy xy
3
4
x y 2 2
xy xy x y
2 3 6
.
Từ bất đẳng thức ta
( ) ( ) ( + + + )
+ + + + + + + + +
2 x y xy
2 2 2
x x y y x y x y xy x y
2
Suy + = + + +
+ + + + +
y x x y y x y
x 2
1 y x x y xy
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Dấu đẳng thức xảy =x y=
Bài 104 Cho a, b, c,d số thực thỏa mãn điều kiện
+ + + = + + + +
abc bcd cda dab a b c d 2012 Chứng minh rằng(a2+1 b)( 2+1 c)( 2+1 d)( 2+1)2012
Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012
Lời giải
Từ giả thiết ta có
( )
( )( ) ( )( )
= + + + − − − −
= − + + − +
2
2012 abc bcd cda dab a b c d ab c d cd a b Mặt khác theo bất đẳng thức AM - GM ta có
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
− + + − + − + + − + +
= + + + + + + = + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
ab c d cd a b ab a b cd c d
a b a b c d c d a b c d
Suy (a2+1 b)( 2+1 c)( 2+1 d)( 2+1)2012 Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 105 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc a b 3ab Chứng minh + + =
+ +
+ + + + + +
ab b a 3
a b bc c ca c
Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm 2011-2012
Lời giải
Từ giả thiết ta suy +1 1+ =c
a b Ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành
+ + = + +
+ + + + + +
+ + + + + +
ab b a 1
a b bc c ca c 1 1 c c c c
(64)Đặt =x 1; y= 1; z c=
a b Khi giả thiết trở thành + + =x y z bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
+ +
+ + + + + +
1 1 3
x y xy y z yz z x zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
+ +
+ + + + + + + + + + + + + +
1 1
x y xy y z yz z x zx x y xy y z yz z x zx Đặt A= x y xy+ + + y z yz+ + + z x zx + +
Theo Cauchy - Schwarz ta lại có
( ) ( )
+ + + = + + −
2
A xy yz zx xy z z
Áp dụng Bất đẳng thức AM - GM ta ( + ) =( − )
2
2 z
1
xy x y
4
Khi ta phải chứng minh
( ) ( ) ( )
− − −
+ + − = +
2
2 z z
A z z 27 27
4
Hay A 3 Do ta
=
+ + + + + + + +
9
3 x y xy y z yz z x zx 3
Suy + +
+ + + + + +
1 1 3
x y xy y z yz z x zx
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy bà = = =a b c
Bài 106 Cho ba số dương a, b, c tùy ý Chứng minh
( + )+ ( + )+ ( + )
4 4
3 3
a b c 1
b c 2a c a 2b a b 2c
Trích đề thi HSG Thành phố Hải Phịng năm 2011-2012
Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( )
( )
( )
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+
4
4
4
a 2a c a
b c 2a 9a b
b 2b a b
c a 2b 9b c
c 2c b c
a b 2c 9c a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( + )+ ( + )+ ( + )+ + + + + +
4 4
3 3
a b c c a b a b c
b c 2a c a 2b a b 2c 9a 9b 9c b c a
Hay
( + )+ ( + )+ ( + ) + + −
4 4
3 3
a b c a b c
(65)Để ý ta lại có a b c+ + 3
b c a Do ta
( + )+ ( + )+ ( + ) − =
4 4
3 3
a b c 1
b c 2a c a 2b a b 2c 3
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + +
+ + +
2
4 4 2
3 3
a b c a b c
b c 2a c a 2b a b 2c
b c 2a c a 2b a b 2c b c a
Hay
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + +
+ + +
2
4 4 2
3 3
a b c a b c
3 ab bc ca
b c 2a c a 2b a b 2c b c a
Mặt khác cúng theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta
( )
+ + + + + +
2 2
a b c a b c 3 ab bc ca
b c a
Do ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + +
+ + +
4 4 2
3 3
a b c 3 ab bc ca 3 ab bc ca
b c 2a c a 2b a b 2c
Hay
( + )+ ( + )+ ( + )
4 4
3 3
a b c 1
b c 2a c a 2b a b 2c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 107 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy yz zx 671 Chứng minh + + =
+ +
− + − + − + + +
2 2
y
x z
x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x y z
Trích đề thi HSG Thành Phố Hà Nội năm 2011-2012
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ +
+ +
− + − + − + + + − + + +
2
2 2 3
x y z y
x z
x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x y x 3xyz 2013 x y z Biến đổi mẫu số bên vế phải ta
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
+ + − + + +
= + + + + − − − + + + + +
= + + + + + + + = + +
3 3
2 2
3
2 2
x y x 3xyz 2013 x y z
x y z x y z xy yz zx xy yz zx x y z x y z x y z 2xy 2yz 2zx x y z
Suy ta có
( )
( )
+ +
+ + =
− + − + − + + + + +
2
2 2
x y z y
x z
x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x y z x y z
Vậy bất đẳng thức chứng minh.Đẳng thức xảy = = =x y z 2013
Bài 108
(66)= + +
+ + +
3 3
2 2 2
a b c
P
a b b c c a
Trích đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2011-2012
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2
x y 2xy; y z 2yz; z x 2zx x 2x; y 2y; z 2z
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( 2+ 2+ 2)+ ( + + + + + )= x y z xy yz zx x y z 12 Hayx2+y2+z23 Vậy bất đẳng thức chứng minh
Đẳng thức xảy =x y z = = b) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ −
= = − − = −
+ + +
3 2 2
2 2 2
a a ab ab a ab a ab a b
a b a b a b 2ab
Hoàn toàn tương tự ta − −
+ +
3
2 2
b b c; c c a
b c c a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
= + + =
+ + +
3 3
2 2 2
a b c a b c
P
a b b c c a 2
Vậy giá trị nhỏ P
2 Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 109 Chứng minh bất đẳng thức + + + + 2
2 2012 2011
Trích đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2011-2012
Lời giải
Xét biểu thức
( + )
1
n n với n *
Dễ thấy n 1( + )−2 n n 1( + )1 Thật vậy, ta có
( n 1+ − n)2 + −0 n n n 1( + )+ n n 1( + )−2 n n 1( + )1
Khi ta có
( ) ( )
+ −
= −
+ + +
2 n n
1 1
2
n n n n n n
Khi ta
+ + + +
− + − + + − = −
1 1
2 2012 2011
1 1 1 1
2 2
1 2 2011 2012 2012
Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 110 Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện + + =x y z
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( )( ) ( )( ) ( )( )
= + +
+ + + + + +
4
4
2 2 2
y
x z
F
(67)Trích đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh năm 2012-2013 Lời giải Ta có ( + )( + )−( + )( + )= − 4
2 2
y
x x y
x y x y x y x y , hoàn toàn tương tự ta
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) − = − + + + + − = − + + + + 4
2 2
4
2 2
y z y z
y z y z y z y z
z x z x
z x z x z x z x
Áp dụng bất đẳng thức + ( + )
2
2
a b a b
2 ta
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + 4
2 2 2
4 4 4
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
y
x z
F
x y x y y z y z z x z x
x y y z
1 z x
2 x y x y y z y z z x z x
x y y z z x
1
4 x y x y y z y z z x z x
x y y z z x
1
4 x y y z z x
x y y z z x
1
8 x y y z ( )
= + + = + 1
x y z
z ) 4
Do F đạt giá trị nhỏ
4 Đẳng thức xảy = = = x y z
3
Bài 111 Cho
( ) = + − n A
2n 2n với n * Chứng minh A1+A2+A3+ + A < 1n
Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013
Lời giải Ta có ( ) ( )(− ) − = = = − + − − + + − − = + − − + − + n
1 2n 2n 1
A
2n 2n 2n 2n
2n 2n
2n 1 1
2 2n 2n 2n 2n
Vì −
− +
1 0
2n 2n − + + −
1
2n 2n 2n .
Nên − ( )
− +
n
1
A n *
2n 2n Do ta
+ + + + − + − + + −
− +
1 n
1 1 1
A A A A
3 2n 2n
Hay + + + + −
+
1 n
1
A A A A 1
(68)Vậy toán chứng minh xong
Bài 112 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc Chứng minh =
( + + ) (2 + + + ) (2 + + + )2 + +
a b c
a b c ab a bc b ca c
Trích đề thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2012-2013
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
( )
+ + + +
+ + + + + +
+ +
+ + + + + +
= + + =
+ + + + + +
2 2
2 2
2
a b c
a b c
ab a bc b ca c
a b c
ab a bc b ca c
1 b bc
1 b bc bc b 1 bc b Do ta
( + + ) (2 + + + ) (2 + + + )2 + +
a b c
a b c ab a bc b ca c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 113 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
+ +
+ +
+ + + + + +
ab bc ca a b c
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm 2012-2013
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng + + + +
9 1
x y z x y z ta
= + +
+ + + + + + + +
1 1 1
a 3b 2c a c b c 2b a c b c 2b Do ta
+ + = + +
+ + + + + +
ab ab 1 1 ab ab a
a 3b 2c a c b c 2b a c b c Hoàn toàn tương tự ta
+ + + +
+ + + + + + + +
bc bc bc b ac ac ac c
;
2a b 3c a b b c 3a 2b c a b b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + + + + +
+ + + + + + +
+ + + =
+ + +
ab bc ca
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
1 ac bc ab ac bc ab a b c a b c
9 a b b c a c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 114 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a3+b3+c3−3abc =
Tìm giá trị nhỏ biểu thức =P a2+b2+c
Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2012-2013
(69)Từ giả thiết ta (a b a a+ + )( 2+b2+c2−ab bc ca− − )=1 hay
( ) ( )
( ) ( )
+ + = + + +
+ +
+ + = + + +
+ +
+ + = + + +
+ +
2 2
2 2
2
2 2
1
a b c ab bc ca
a b c
2 a b c ab bc ca
a b c
3 a b c a b c
a b c Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( ) ( )
+ + + = + + + +
+ + + + + +
2
2 a b c 1 a b c 3
a b c a b c a b c
Do ta a( 2+b2+c2) 3 a2+b2+c21
Vậy giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy
( )
= = =
+ + − =
= = =
+ + =
= = =
3 3
3
a b 0; c a b c 3abc
a c 0; b
a b c a 1; b c 0
Bài 115 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=
6 Chứng minh + a +2b 3c+ + + + +1 +
3 a 2b 3c
2b 3c a a 2b 3c
Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012-2013
Lời giải
Đặt =a x; 2b y; 3c z , ta = = xyz bất đẳng thức cần chứng minh viết lại = thành +3 x+ + + + + + +y z x y z 1
y z x x y z.
Đặt =x n ; y=p; z=m
m n p Khi bất đẳng thức trở thành
+ + + + + + + +
3 3 2 2 2
m n p 3mnp m n mn n p np m p mp Biến đổi tương đương ta mnp(m n p n p m p m n + − )( + − )( + − )
Bất đẳng thức Vậy toán chứng minh
Bài 116 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn + + =a b c Chứng minh
+ + + + + + + +
+ + +
b c c a a b 6
a b c
Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm 2012-2013
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + + +
+ + + + +
+ + +
b c 1 c a 1 a b 1 9
a b c
Hay( + + + ) + +
+ + +
1 1
a b c
a b c Theo bất đẳng thức AM - GM ta có
+ +
+ + + + + +
1 1
(70)( + + + ) + + ( + + + ) =
+ + + + + +
1 1
a b c a b c
a b c a b c
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy =a 3; b 2; c = =
Bài 117 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn +1 3+ =3
a b b Chứng minh
( + ) (+ + ) (+ + )
2 2
2 2 2
27a b 8c
2 c c 9a a 4a b b 9b 4c
Trích đề thi HSG Thành Phố Hà Nội năm 2012-2013
Lời giải
Cách Đặt =a 1; b=2; c=3
x y z, giả thiết viết lại + + =x y z
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành + +
+ + +
3
3
2 2 2
y
x z
x y y z z x
Sửdụng kỹ thuật AM - GM ngược dấu ta chứng minh + +
+ + =
+ + +
3
3
2 2 2
y x y z
x z
x y y z z x 2
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =a 3; b 2; c = =
Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+ −
= = − − = −
+
+ +
+ −
= = − −
+
+ +
+ −
= = − −
+
+ +
2 2
2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
27a 27a 3c 3c 3c 3c
c c 9a c c 2a
c c 9a c c 9a c 9a
b b 4a 4a 4a 1
a 4a b a b a 4a b a 4a b
8c 8c 18b 18b 18b
b 9b 4c b 2c b 9b 4c b 9b 4c
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( + ) (+ + ) (+ + ) + + =
2 2
2 2 2
27a b 8c 1 3
2 a b c c c 9a a 4a b b 9b 4c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =a 3; b 2; c = =
Bài 118 Cho số thực dương x, y,z thỏa mãn + + =x y z Chứng minh
+ + + + + +
+ +
− − −
2 2 2 2 2
2x y z 2y z x 2z x y
4xyz
4 yz zx xy
Trích đề thi HSG Tỉnh Phú Thọ năm 2013-2014
Lời giải
Cách Theo bất đẳng thức AM - GM ta có 2x2+y2+z2 2x y z ( + )
Tương tự ta có 2y2+z2+x22y z x ; 2z( + ) 2+x2+y22z x y( + ).
Do ta chứng minh ( + )+ ( + )+ ( + )
− − −
x y z y z x z x y
2xyz
4 yz zx xy .
(71)( − +) +( − +) +( −+ )
y z z x x y
1 yz 2yz zx 2zx xy xy
Ta có ( )
( )( ) ( ) ( )
+
=
− − + − +
2 yz
y z
4 yz 2yz 2 yz 2 yz 2yz 2 yz yz 2 yz
Dễ thấy 0(2− yz) yz= −( xy 1− )2+ 1 nên
( − ) ( + ) +
1
2 yz yz yz yz
Do ta được( +)
− +
y z
4 yz 2yz yz
Hồn tồn tương tự có
( − +) + ( − +) +
x y
z x 1
;
4 zx 2zx zx xy 2xy xy Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta
( − +) +( − +) +( −+ ) + + + + +
y z z x x y 1
4 yz 2yz zx 2zx xy xy xy yz zx Theo đánh giá quen thuộc
+ + =
+ + +
+ + + + + +
1 1 9
1 x y z
2 xy yz zx xy yz zx
Do ta suy ( )
( ) ( )
+ + +
+ +
− − −
y z z x x y 1
4 yz 2yz zx 2zx xy xy
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy rakhi =x y z = =
Cách Gọi vế trái bất đẳng thức P Khi biến đổi P sau
( )
= + + + + + + +
− − − − − −
2
2
2 2
y
x z 1
P x y z
4 yz xz yx yz xz yx
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có
( )
( )
( )
+ +
+ +
− − − − + +
+ +
− − − − + +
2
2 y x y z
x z
4 yz xz yx 12 xy yz zx
1 1
4 yz xz yx 12 xy yz zx Do ta
( )
( ) (( ) )
( )
( ) ( ( ) )
( )
( )
+ + + +
+
− + + − + +
+ + + +
+
− + + − + +
+ +
− + + −
2 2
2 2
2 2
9 x y z x y z
P
12 xy yz xz 12 xy yz xz xy yz xz xy yz xz 12 xy yz xz 12 xy yz xz
36 x y z 12 xy yz xz
12 xy yz xz 12 x y z
Đặt 3xyz t= x y z+ + =1
3 Khi ta có
( )( )
− − + −
−
2
3 2
2
(72)Đánh giá cuối Bất đẳng thức chứng minh xong
Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + +
= + +
− − −
2 2 2 2 2 2
x y x z x y y z z y x z
P
xyz yz xyz xz xyz yx Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + +
+ +
− − −
+ + +
= + +
− − −
= + + + + +
− − − − − −
2xy 2xz 2xy 2yz 2xz 2yz M
xyz yz xyz xz xyz yx
y z x z x z
2
yz yz xz xz yx yx
1 1 1
2
z yz x yz y yx y yz zx yz x yx Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
− − − − − −
+ +
− − − − − −
3
1 1
z yz x yz y yx xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy)
1 1
y yz zx yz x yx xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy)
Do ta
− − −
3
12 P
3xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy) Mặt khác ta lại có
( − )( − )( − ) + − − −
4
3xyz 12 xz xy yz 3xyz xz yz xy
4
Mà + + = + + − − −
+ +
xy yz xz
1 1 3 3 3xyz xy xz yz 0
x y z x y z xyz
Suy
( − )( − )( − ) 3 ( − )( − )( − )
3xyz xz yz xy 81 3xyz xz yz xy 3
Do ta =
3
12
P
3 Như bất đẳng thức chứng minh
Cách Đặt vế trái bất đẳng thức P
Với x, y, z ta có ( + ) ( + + ) = −
2
y z x y z
yz yz
4 4
Tương tự ta có −4 zx 0; xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có −
( 2+ 2+ 2+ 2)( + + + ) (2 = + + )2
4 x x y z x x y z 2x y z
Từ suy + + ( (+ + ))
− −
2 2 2x y z
2x y z
4 yz 4 yz Hoàn toàn tương tự ta có
( )
( ) ( ( ))
+ + + +
+ + + +
− − − −
2
2 2 2y z x 2 2z x y
2y z x 2z x y
;
4 zx 4 zx xy 4 xy
Do ta ( (+ + )) +( (+ + )) +( (+ + )) =
− − −
2 2
2x y z 2y z x 2z x y
P Q
4 yz 4 zx 4 xy
(73)( )
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )
+ + + +
+ − − = + +
− −
+ + + +
+ − − = + +
− −
+ + + +
+ − − = + +
− −
2
2
2
2x y z 4 yz 2 2x y z .4 4 yz 2x y z
4 yz 4 yz
2y z x 4 zx 2 2y z x .4 4 zx 2y z x
4 zx 4 zx
2z x y 4 xy 2 2z x y .4 4 xy 2z x y
4 xy 4 xy
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( ) ( ) ( )
+4 − − − 8 + + = +8 + +
Q 12 xy yz zx x y z Q xy yz zx
9 3
Bất đẳng thức chứng minh ta đươc
( )
+ + +
8
xy yz zx 4xyz
Thậy vậy, ta viết lại bất đẳng thức thành
( + + )3+ ( + + )( + + )
8 x y z x y z xy yz zx 4xyz
81 27
Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+ + + + 2
x y z xyz ; xy yz zx x y z
Suy x y z( + + )3+ (x y z xy yz zx+ + )( + + )4xyz
81 27
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong
Cách Vế trái bất đẳng thức viết lại thành
( )
= + + + + + + +
− − − − − −
2
2
2 2 1 x y z
P x y z
4 xy yz zx yz zx xy Áp dụng bất đẳng AM - GM ta có
( + + ) + + (( + + ) )= ( + + )
− − − − + + + + +
2 2 2
2 2
2 2
9 x y z 18 x y z
1 1
x y z
4 xy yz zx 12 xy yz zx 15 x y z Theo bất đẳng thức AM - GM ta lại có
( ) ( )
( )
− −
+ + =
− −
−
− − = + −
−
2
3
x yz x yz
x 3 x . .1 x
4 yz yz
x yz xyz
x x 5x
4 yz 9
Tương tự ta có + − + −
− −
2
y 5y xyz z 5z xyz
;
4 zx 9 xy 9
Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta
( )
+ + + + + − = +
− − −
2
2 y xyz xyz
x z
x y z
4 yz zx xy 3
Do ta ( + + )+ +
+ + +
2 2
2 2
18 x y z 2 xyz A
15 x y z 3
Từ giả thiết ta x2+y2+z23 Do ta có ( + + )
+ + +
2 2
2 2
(74)Cũng từ giả thiết ta xyz
Từ suy +P 2+xyz=11+xyz 11xyz xyz + =4xyz
3 3 3
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong
Bài 119 Cho x, y số thực dương thoả mãn +x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức =
= +
+
31
B
xy x y
Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm 2013-2014
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
−
= + = + =
− −
+ 3− +
1 2xy
1 1
B
xy 3xy xy xy 3xy x y 3xy x y
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có ( + ) =
2
x y 1
xy
4 Gọi B giá trị B, ln tồn x, y để
(− ) ( ) ( )
= − + + =
−
2
0 0
1 2xy
B 3B xy B xy
xy 3xy
Để tồn x, y phương trình phải có nghiệm xy, tức + = − +
−
0
0
0
B B 8B
B Để ý với giả thiết tốn B > Do ta có B0 +4
Với
( ) ( ) ( )
+ + +
= + = = − =
+ +
0
0
2 B 3 3 3 3
B xy x x
6B 6 2 3 6 2 3
( )
+ − − −
= =
+
− + =
+
2
2 3
1
2
3
x x
6 x
1 1
3 ,
3 x
Vậy giá trị nhỏ B +4 , đạt
+ − − −
= =
2 3
1 1
3
x ; y
2
− − + −
= =
2 3
1 1
3
x ; y
2
Bài 120 Cho a, b, clà số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ca 7abc Tìm giá trị nhỏ + + =
biểu thức = + +
+ + +
4ab 9ca 4bc C
a 2b a 4c b c
Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2013-2014
Lời giải
Từ 2ab 6bc 2ca 7abc ta + + =+ + = c a b Đặt
= = =
+ + =
x,y,z
1 1
x ; y ; z
2z 6x 2y
a b c
Khi ta = + + = + +
+ + + + + +
4ab 9ca 4bc
C
(75)( )
= + + + + + + + + − + + + + +
+ + +
= − + + − + + − + +
+ + +
2 2
4
C 2x y 4x z y z 2x y 4x z y z
2x y 4x z y z
2
x 2y 4x z y z 17 17
x 2y 4x z y z
Vậy giá trị nhỏ C 17 Đẳng thức xảy =x 1; y z 1= =
Bài 121 Cho a, b, clà độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh
+ +
+ − + − + −
4a 9b 16c
26 b c a c a b a b c
Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Trị năm 2013-2014
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + +
+ − + − + −
8a 18b 32c
4 16 81
b c a c a b a b c
Hay ( + + ) + +
+ − + − + −
4 16
a b c 81
b c a c a b a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( + + )
+ + =
+ − + − + − + + + +
2
2
4 16 81
b c a c a b a b c a b c a b c Do ta
( + + ) + + ( + + )=
+ − + − + − + +
81 a b c
4 16
a b c 81
b c a c a b a b c a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 122 Cho a, b, c thỏa mãn 0 a;b;c + + = a b c Tìm giá trị lớn
= 2+ 2+ 2+ + + P a b c ab bc ca
Trích đề thi HSG Thành phố Hà Nội năm 2013-2014
Lời giải
Vì 0 a;b;c ta (a b c 4− )( − )( − )0 , biến đổi tương đương ta thu
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
− − − − + + + + + −
+ + + + + −
a b c abc ab bc ca 16 a b c 64 ab bc ca abc 16 a b c 64
Do abc nên ta
( + + ) + ( + + )− − = + +
4 ab bc ca abc 16 a b c 64 16.6 64 32 ab bc ca Ta có
( ) ( )
= 2+ 2+ 2+ + + = + + 2− + + 2− = P a b c ab bc ca a b c ab bc ca 28
Vậy giá trị lớn P 28 Đẳng thức xảy =a 0; b 2; c hoán vị = =
Bài 123 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn + + =x y z Chứng minh
+ +
+ + +
2 2
1 1
x 4yz y 4zx z 4xy xyz
Trích đề thi HSG tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2013-2014
(76)Dễ thấy
+ + +
2 2
1 1 1
; ;
x 4yz 4yz y 4zx 4zx z 4xy 4xy
Do ta + + + +
+ + +
2 2
1 1 1
x 4yz y 4zx z 4xy 4yz 4zx 4xy Kết hợp với giả thiết ta + + =x y z+ + =
4yz 4zx 4xy 4xyz xyz
Suy + +
+ + +
2 2
1 1
x 4yz y 4zx z 4xy xyz Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 124 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh
+ + +
+ + + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
a b b c c a 2 a b c
c a b b c c a a b
Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm 2013-2014
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng x( 2+y2)(x y ta + )2
( + ) ( + ) ( + )
+ + +
+ + = + +
+ + +
+ +
2 2 2
2 2 2 2 a b b c c a
a b b c c a
c a b 2c 2a 2b
a b b c c a
2c 2a 2b
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức ta
+ + + +
+ + +
+ + +
2 2 2
a b c 2a 2b 2c
b c c a a b
b c c a a b
Phép chứng minh hoàn tất ta
+ + +
+ + + +
+ + +
a b b c c a 2a 2b 2c b c c a a b
2c 2a 2b
Hay + + + + + + +
+ + +
a b b c c a 4a 4b 4c
c a b b c c a a b
Thật vậy, Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng + +
1
x y x y, ta
+ + + + + = + + + + + + +
+ + +
a b b c c a 1 1 1 4a 4b 4c
a b c
c a b c b a c a b b c c a a b
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 125 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
+ + + +
2 2
2 2
a b c 1
b c c a a b a b c
Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013-2014
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2
a b b c a c
; ;
(77)
+ + + + + + +
2 2
2 2
a b c 1 3
2
b c c a a b a b c a b c
Hay + + + +
2 2
2 2
a b c 1
b c c a a b a b c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 126 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 =1 Chứng minh
+ +
+ + +
2 2
a b c
b c c a a b 2
Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2014-2015
Lời giải
Dễ thấy a( 2+b2)(a b Áp dụng tương tự ta + )2
( ) ( ) ( )
+ + + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2 b c 2 c a 2 c a
Đặt =x b2+c , y2 = c2+a , z2 = a2+b Khi ta suy
+ − + − + −
+ + + +
+ + +
2 2 2 2 2
2 2 y z x z x y x y z
a b c
b c c a a b 2x 2y 2z
Áp dụng tiếp bất đẳng thức ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ − + − + −
+ +
+ + +
− + − + −
+ + +
+ − + + − + + −
+ − + + − + + − = + + =
2 2 2 2 2
2 2
2 2
y z x z x y x y z
2 2x 2y 2z
y z z x x y
1 x y z
2x 2y 2z
2
y z z x x y
1 2x 3x 2y 3y 2z 3z
2x 2y 2z
2
1 1
2y z 3x z x 3y x y 3z x y z
2 2 2
Do ta + +
+ + +
2 2
a b c
b c c a a b 2
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 127 Với a, b, c số thực dương Chứng minh
+ +
+ +
+ + + + + +
5 5 3
2 2 2
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
Trích đề thi HSG tỉnh Thái Bình năm 2013-2014
Lời giải Cách Ta có
( )( ) ( )
( )
−
− + + + +
+ +
− + −
3
3 2 3
2
2
2
a 2a b
3a 2a b a ab b a b ab a b
a ab b
a ab b ab a b
(78)Do − −
+ + + +
3
2 2
a 2a b a 2a a b
a ab b a ab b
Chứng minh tương tự ta
+ + + + − − −
+ + +
+ + + + + +
5 5 3 3 3 2
2 2 2
a b c a b c a b c a b b c c a
a ab b b bc c c ca a 3
Mặt khác vai trò a, b, c nên giả sử a b c
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
+ + − − − = − + − + −
= − + + − − +
3 3 2 2 2
2
a b c a b b c c a a a b b b c c c a a b a b a c b c b c
Từ suy + + + +
+ + + + + +
5 5 3
2 2 2
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có
( )
+ +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ +
+ + + + + + + +
5 5
2 2 2
6 6
3 2 2 2
2
3 3
3 3 2 2 2
a b c
a ab b b bc c c ca a
a b c
a a b ab b b c bc c c a ca
a b c
a b c a b ab b c bc c a ca Mặt khác ta có(a b− )2 0 a2−ab b+ aba3+b3ab a b ( + )
Chứng minh tương tự b3+c3bc b c ; c( + ) 3+a3ca c a ( + ) Suy ra3 a( 3+b3+c3)a3+b3+c3+ab a b( + )+bc b c( + +) ca c a ( + )
( + + ) + +
+ + + + + + + +
2
3 3 3 3 3
3 3 2 2 2
a b c a b c
a b c a b ab b c bc c a ca Vậy bất đẳng thức chứng minh
Bài 128 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn + + =a b c Tìm giá trị lớn biểu
thức = + +
+ + + + + +
3 3
a b c
P
9a 3b c 9b 3c a 9c 3a b
Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2014-2015 Lời giải
Cách Ta có = + +
+ + + + + +
3 3
3a 3b 3c
P
27a 9b 3c 27b 9c 3a 27c 9a 3b Đặt = = = + + =
x y z x 3a; y 3b; z 3c
x; y; z Khi ta viết lại
= + +
+ + + + + +
3 3
y
x z
P
x y z y z x z x y
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ý đến giả thiết ta có
( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + +
+ + + + + +
=
+ + + + + + + +
2
3
2
3
1
x y z z x y z
x
1 z
1 x x x zx x zx
(79)Hoàn toàn tương tự thu + + + +
+ + + +
3
y y xy y z yz
;
y z x z x y
Từ suy P3 x y z+ + + +(xy yz zx+ + )=6+(xy yz zx+ + )
9
Dẽ dàng chứng minh xy yz zx+ + 1(x y z+ + )2=3
Do P6+(xy yz zx+ + )6 3+ =1
9 Dấu đẳng thức xảy =x y z 1= = = = = 1a b c Vậy giá trị lớn P đạt = = =a b c
3
Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+ + + + + + + − = +
3 1
9a 3a;9b 2b 9a 9b c 3a 2b c 2a b
3 3
Hoàn toàn tương tự ta
+ + + + + +
3
9b 9c a 2b c; 9c 9a b 2c a Do ta suy
+ + = + +
+ + + + + +
a b c 1
P
b c a
2a b 2b c 2c a 2
a b c
Đặt =x b; y= c; z= a xyz 1=
a b c Khi ta + + + + +
1 1
P
2 x y z.
Ta chứng minh + +
+ + +
1 1
1 x y z Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + +
+ +
2 z y y z z x x y z xy yz zx x y z 12 xyz xy yz zx x y z x y x
Bất đảng thức cuối + + x y z xyz 3 =
Do bất đẳng thức chứng minh
Vậy giá trị lớn P đạt = = =a b c
Bài 129 Cho số thực dương x, y, z thảo mãn x2+y2+z2=3 Chứng minh
+ + + +
3
3
y
x z xy yz xz
yz xz xy
Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015
Lời giải
Ta có = + + = + +
3
3
3
3 3 3
y y y
x z x x z z
A
yz xz xy xyz xyz xyz
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có =3 x2+y2+z23 x y z3 2 xyz
Suy A x x y y z z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz + +
(80)Lại thấy theo bất đẳng thức AM - GM
+ +
+ + + +
3x 1.12 x 1; y 1.13 y 1; z 1.13 z 1
3 3
Nên + + + + + =
2 2
3
3x2 3 y2 z2 x y z 3
3 .
Do ta A x x y y z z xy yz xz , hay + + + + + + + +
3
y
x z
xy yz xz
yz xz xy
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy
= = =
= = = = =
+ + =
2 2
3
3
2 2
x y z
x y z x y z
x y z
Bài 130 Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z 3+ + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
= 2+ + + 2+ + + 2+ +
A 2x 3xy 2y 2y 3yz 2z 2z 3zx 2x
Trích đề thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2014-2015
Lời giải
Ta viết lại biểu thức A thành
( ) ( ) ( )
= + 2− + + 2− + + 2−
A x y xy y z yz z x zx
Theo đánh giá quen thuộc ta có
( + ) − ( + ) (− + ) = ( + )
2
2 x y x y
2 x y xy x y
4
Do ta x y( + )2−xy x y( + )
2
Hoàn toàn tương tự ta thu
( )
= 2+ + + 2+ + + 2+ + + + =
A 2x 3xy 2y 2y 3yz 2z 2z 3zx 2x x y z
Vậy giá trị nhỏ A Đẳng thức xảy x y z 1= = =
Bài 131 Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh
+ + + + + + + +
− + − + − +
2 2
2 2
a 6a b 6b c 6c 24 a 2a b 2b c 2c
Trích đề thi HSG tỉnh Gia Lai năm 2014-2015
Lời giải
Ta có
( )
( ) ( )
− + +
+ + = = + + + + = +
− + − + − +
2
2
2
a 8a
a 6a 8a 8a
1 4a
a 2a a a 2
Hoàn toàn tương tự ta
+ + + +
+ +
− + − +
2
2
b 6b 4b 4; c 6c 4c 4
b 2b c 2c
Cộng theo vế bất đẳng thức kết hợp với giả thiết ta
( )
+ + + + + +
+ + + + + =
− + − + − +
2 2
2 2
a 6a b 6b c 6c 4 a b c 3.4 24 a 2a b 2b c 2c
(81)Bài 132 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Tìm giá trị lớn biểu thức =
= + +
+ + + + + +
1 1
P
a 2b b 2c c 2a
Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2014-2015
Lời giải
Đặt =a x ; b y ; z c ta = = xyz bểu thức P viết lại thành =
= + +
+ + + + + +
2 2 2
1 1
P
x 2y y 2z z 2x
Ta cóx2+y2 2xy; y2+ 1 2yx2+2y2+ 3 xy y ( + + ) Do ta
+ + + +
2
1 1
x 2y xy y Chứng minh tương tự ta có
+ + + + + + + +
2 2
1 1 1
;
y 2z yz z z 2x zx z Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + + + + +
1 1
P
2 xy y yz z zx x
Ta cần chứng minh + + =
+ + + + + +
1 1
1 ab b bc c ca a Đến ta có hai hướng đánh giá + +
+ + + + + +
1 1
xy y yz z zx x
Hướng Do xyz , nên tồn số dương m, n, p để == x m; y=n; z= p
n p m Khi ta có
+ + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
p
1 1 m n 1
xy y yz z zx x m n p m n p m n p
Hướng Do xyz , nên ta =
+ + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
1 1 zx x 1
xy y yz z zx x z zx zx z zx z Từ ta P
2
Vậy giá trị lớn P
2 Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 133 Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãnxy yz zx xyz Tìm giá trị lớn + + =
biểu thức = + +
+ + + + + +
1 1
M
4x 3y z x 4y 3z 3x y 4z
Trích đề thi HSG Tỉnh Hải Dương năm 2014-2015
Lời giải
Từ giả thiết ta có 1 1+ + =1
x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
+ + + + +
+ + + +
64 16 16 4 4
(82)Tương tự ta + + + +
+ + + +
64 64
;
x 4y 3z x y z 3x y 4z x y z
Do ta = + + + + + + + + + + =
1 1 1 1
M
4x 3y z x 4y 3z 3x y 4z x y z
Vậy M đạt giá trị lớn
8 Đẳng thức xảy =x y z = =
Bài 134 Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn + + =x y z Chứng minh
+ +
+ + + + + +
y
x z 1
x 3x yz y 3y zx z 3z xy
Trích đề thi HSG Tỉnh Hà Nam năm 2014-2015
Lời giải
Áp dụng giả thiết ta ý đến phép biến đổi
( ) ( )( )
+ = + + + = + +
3x yz x x y z yz x y x z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
(x y x z+ )( + )( xy+ xz )2
Do ta =
+ + + + + +
x x x
x 3x yz x xy xz x y z .
Áp dụng tương tự ta
+ + + + + + + +
y z ; z z
y 3y zx x y z z 3z xy x y z
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + + + + +
y
x z 1
x 3x yz y 3y zx z 3z xy
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z = =
Bài 135 Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn +1 1+ =3
a b c Tìm giá trị lớn biểu thức
= + +
− + − + − +
2 2 2
1 1
P
a ab b b bc c c ca a
Trích đề thi HSG Thành Phố Hà Nội năm 2014-2015
Lời giải
Cách Ta có − + =( + ) − ( + ) − ( + ) (= + )
2
2
2 a b a b
a ab b a b 3ab a b
4
Do ta +
+
− +
2
1 1
a b a b
a ab b Hoàn toàn tương tự ta có
+ +
− + − +
2 2
1 1 ; 1 1
2 b c c a
b bc c c ca a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
= + + + + =
− + − + − +
2 2 2
1 1 1
P
a b c
a ab b b bc c c ca a
(83)Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta a2−ab b+ 22ab ab ab − =
Do ta
− +
2
1
ab
a ab b Hoàn tồn tương tự ta có
− + − +
2 2
1 ; 1
bc ca
b bc c c ca a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
= + + + +
− + − + − +
2 2 2
1 1 1
P
ab bc ca
a ab b b bc c c ca a
Dễ thấy + + + + =1 1 a b c ab bc ca
Do ta P Vậy giá trị lớn P
Bài 136 Cho a, b, c các số thực không âm thỏa mãn + + =a b c Chứng minh
+ + + + +
3 3
a b c ab bc ca
Trích đề thi HSG Tỉnh Đăk Lăk năm 2014-2015
Lời giải Cách Để ý đến giả thiết + + =a b c ta có
( ) ( )
( )
+ + − + +
+ + + + + = + + +
− + +
= + + +
2 2 2 2
3 3 3
2 2
3 3
a b c a b c
a b c ab bc ca a b c
2
9 a b c
a b c
2 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + + + + +
3 3 3
a a 3a ; b b 3b ; c c 3c Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( 3+ 3+ 3)+ ( 2+ 2+ 2)
2 a b c 3 a b c
Do ta + + + −( + + ) + + +
2 2
3 3 a b c 2
a b c a b c
2
Lại thấy + + ( + + ) =
2
2 2 a b c
a b c
3
Do ta + + + −( + + )
2 2
3 3 a b c
a b c
2 Haya3+b3+c3+ab bc ca + +
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( 3+ 3+ 3)=( + + )( 3+ 3+ 3) ( 2+ 2+ 2)2
3 a b c a b c a b c a b c
Dễ thấy a2+b2+c2 3 , ta
( 3+ 3+ 3) ( 2+ 2+ 2) 3+ 3+ 3 2+ 2+
3 a b c a b c a b c a b c
(84)( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + + + + + +
= + + − + +
+ +
+ + − = − =
3 3 2
2
2
a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca
a b c
a b c
3
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 137 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a 1;b 2; a b c Chứng minh + + =
(a b c 1+ )( + )( + )4abc
Trích đề thi HSG Tỉnh Bắc Giang năm 2014-2015
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + + + + + + +
+ + +
+ + + + + +
1 1 1 1 1
1 1 4
a b c a b c ab bc ca abc
1 1 a b c 1 1
3
a b c abc a b c abc
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ b ab b c+ bc
a ;
2 2
Do ta = + + + + + +
2 3
b b c 2c ab bc 2c ab c
6 a 2
2 3 108
Do ta ab c2 3108 , mà theo giả thiết a 1;b suy a b 2 Suy ta có 216 108a b ab c a b =(abc)3abc
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM giả thiết ta lại có
+ + + + = =
1 3 3; 2 3.7; 3.7
a b c abc a b 2 abc
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ + + + +
1 1 7
3
a b c abc 2
Hay +1 1+ + 3
a b c abc . Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =a 1; b 2; c = =
Bài 138 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca + + =
Tìm giá trị nhỏ biểu thức = + + + + +
+ + +
19a 19b 19c T
1 b c a
Trích đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên năm 2014-2015
Lời giải
Cách Biến đổi áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( + ) ( + )
+ = + − + − = + − −
+ +
2
2
b 19a b 19a
19a 38a 19ab 3b
19a 19a
1 b b 2
Hoàn toàn tương tự
+ + − − + + − −
+ +
19b 38b 19bc 3c 19c 38c 19ca 3a;
(85)Cộng theo vế bất đẳng thức ta
( ) ( )
( )
+ + + − + +
+ + +
= + +
+ + +
+ + + −
=
2 2
35 a b c 18 19 ab bc ac 19a 19b 19c
T
1 b c a
35 ab bc ca 18 19.3 33
Vậy giá trị nhỏ T 33 Đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Dễthấy + = + ( + )
+ + +
3 a 19a 16a
1 b b b Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
= − − = −
+ +
2
2
16a 16ab 16ab
16a 16a 16a 8ab
1 b b 2b
( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + )
= + − + − = + −
+ +
2
2
3 a a b a b a b
3 a a a
1 b b 2b
Hoàn toàn tương tự ta
( ) ( )
( )
+ + + − + +
+ + +
= + +
+ + +
+ + + −
=
2 2
35 a b c 18 19 ab bc ac 19a 19b 19c
T
1 b c a
35 ab bc ca 18 19.3 33
Vậy giá trị nhỏ T 33
Bài 139 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz 2 Chứng minh =
+ + +
+ +
+ + + + + +
8 8 8
4 2 4 2 4 2
x y y z z x 8
x y x y y z y z z x z y
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Hải Dương năm học 2013-2014
Lời giải
Đặt =a x ; b y ; c z suy = = abc Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành =
+ + + + +
+ + + + + +
4 4 4
2 2 2
a b b c c a 8
a b ab b c bc c a ca
Dễ dàng chứng minh minh
( + ) ( + )
+ + +
2
2 2
4 a b 2 a b
a b ; a b ab
2
Suy + +
+ +
4 2
2
a b a b
a b ab Hoàn toàn tương tự ta
( + + )
+ + +
+ +
+ + + + + +
2 2
4 4 4
2 2 2
2 a b c
a b b c c a
a b ab b c bc c a ca
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + =
2 2 2
a b c a b c 12
Do ta + + + + +
+ + + + + +
4 4 4
2 2 2
a b b c c a
8
a b ab b c bc c a ca
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z= =
Bài 140 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh + + =
+ + + + +
+ + +
2 2
b c c a a b
a b c
(86)Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Bắc Giang năm học 2013-2014
Lời giải
Cách Ta có + = +
+ +
2
b c ab ac
a a
a bc a bc Khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM ý đến giả thiết ab bc ca ta có + + =
( ) ( )
+ + + − = +
2 2
a bc ab c 3abc a bc abc bc abc ab ac Do ta
+ + +
+ + +
2 2
ab ac a. ab ac a. b c
a bc abc a bc bc a bc bc
Áp dụng hoàn toàn tương tự ta
+ +
+ +
2
c a a b
b ; c
b ca ca c ab ab
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ + + + + + +
+ + +
2 2
b c c a a b a b c
a b c
a bc b ca c ab abc
Phép chứng minh hoàn tất ta
( )
+ +
+ +
a b c abc a b c 3
abc abc
Đánh giá cuối đánh giá
( )
= + + + +
3 ab bc ca abc a b c
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( )
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + +
2
2 2 2
b c c a a b ab ac bc ab ca ac
a b c a b c
a bc b ca c ab a bc b ca c a
Ta cần chứng minh
( )
( ) ( )
+ + +
+ + + +
+ + +
+ + +
+ + + +
+ + +
2
2 2
2
2 2
ab ac bc ab ca ac a b c
a bc b ca c a abc
ab ac bc ab ca ac
abc a b c
a bc b ca c a Dễ thấy abc a b c( + + )1(ab bc ca+ + )2=3
3 từ giả thiết ta suy abc
Do ta (abc) (2 a b c+ + )3 Như phép chứng minh hoàn tất ta
+ + + + +
+ + +
2 2
(87)( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
+ + +
− + − + −
+ + +
− − − − − −
+ +
+ + +
− − + − − + − −
+
+
+ +
− + +
2 2
2 2
2
2
2
ab ac 1 bc ab 1 ca ac 1 0
a bc b ca c a
a b a c b c b a c a c b
a bc b ca c a
a b a c b ca b c a bc c a c b c a
a bc b ca b a b a 2a c
Do vai trò biến nên khơng tính tổng qt ta giả sử
Bài 141 Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn
+ + + =
+ + + +
1 1 2
1 a b c d
Chứng minh − + − + − + −
− + − + − + − +
1 a b c d 0
1 a a b b c c d d
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Đồng Tháp năm học 2013-2014
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh
− + − + − + −
+ + + +
2 2
3 3
1 a b c d a b c d
Hay + + + + + +
+ + + + + + + +
2 2
3 3 3 3
1 1 a b c d
1 a b c d a b c d
Từ giả thiếtvà áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+
+ + = − =
+ + + + + +
3
3 3 3
1 1 1 2d 3d
2
1 a b c d d d
Hay + +
+ + + +
2
3 3
1 1 3d
1 a b c d Hoàn toàn tương tự ta
+ +
+ + + +
+ +
+ + + +
+ +
+ + + +
2
3 3
2
3 3
2
3 3
1 1 3a
1 b c d a
1 1 3b
1 a c d b
1 1 3c
1 a b d c Cộng theo vế bốn bất đẳng thức ta
+ + + + + +
+ + + + + + + +
2 2
3 3 3 3
1 1 a b c d
1 a b c d a b c d
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c d =
Bài 142 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + a b c
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức = 2+ + 2+ + 2+
2 2
1 1
S a b c
a b c
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Trà Vinh năm học 2013-2014
(88)( )
+ = + + + = +
2
2 2
2
1 4
17 a a a a
a a a a
Áp dụng tương tự ta + + + +
2
2
1 4
17 b b ; 17 c c
b b c c
Khi ta
+ + + + + + + + + +
2 2
2 2
1 1 4
17 a 17 b 17 c a b c
a b c a b c
Theo đánh giá quen thuộc ta có + +
+ +
1 1 36
a b c a b c Nên ta + + + + + + + +
+ +
4 4 36
a b c a b c
a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM kết hợp với giả thiết ta
( ) ( )
( ) ( )
+ + + = + + + +
+ + + + + +
+ + + = + =
+ +
36 135
a b c a b c
a b c a b c a b c
9 135 135 51
2 a b c
3
4 a b c 4.
2
Từ ta suy + + + + +
2 2
2 2
1 1 51
17 a 17 b 17 c
a b c
Hay a2+ 12 + b2+ 12 + c2+ 12 3 17
a b c
Như giá trị nhỏ S 17
2 Đẳng thức xảy = = = a b c
2
Cách Dễ dàng chứng minh với a, b, x, y số thực dương ta ln có
( ) ( )
+ + + + 2+ +
2 2
a x b y a b x y
Áp dụng bất đẳng thức ta
( )
( )
= + + + + + + + + + +
+ + + + +
2
2 2
2 2
2
1 1 1
S a b c a b c
a b c a b c
1 1 a b c
a b c
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có
( )
+ + =
+ +
+ +
2
2
1 1 81
a b c a b c a b c
Do ta
( ) ( )
( )
+ + + + + + + +
+ +
2
2
2
1 1 81
a b c a b c
a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM giả thiết ta có
( )
( ) ( )
+ + + = =
+ + + +
2
2
81 9 1215 1215 135
a b c ;
9
4
16 a b c 16 a b c 16.
4 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta ( )
( )
+ + + + =
+ +
2
2
81 135 153 a b c
2 4
(89)Từ kết ta S 153 =3 17
4
Như giá trị nhỏ S 17
2 Đẳng thức xảy = = = a b c
2
Bài 143 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức =
( ) ( ) ( )
= + +
+ + +
2 2
bc ca ab
P
a b c b c a c a b
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Lâm Đồng năm học 2013-2014
Lời giải
Kết hợp với giả thiết ta viết lại biểu thức P thành
= + +
+ + +
2 2 2
b c c a a b
P
ab ac ab bc ca bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ + + +
= + + =
+ + + + +
2
2 2 2 ab bc ca
b c c a a b ab bc ca
P
ab ac ab bc ca bc ab bc ca Mặt khác theo bất đẳng thức AM - GM ta
+ + 2 = ab bc ca a b c Suy ta P
2 hay giá trị nhỏ P
2 Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 144 Cho a, b, c số thực thỏa mãn 0 a;b;c Chứng minh
( )( )( )
+ + + − − −
+ + + + + +
a b c 1 a b c 2
b c c a a b
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh An Giang năm học 2014-2015
Lời giải
Từ giả thiết ta −0 a; b 1; a b 1 − + + Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( − ) (+ − ) (+ + + ) ( )( )( )
= a b a b 3 − − + +
1 a b a b
3
Suy ta 1(1 a b a b Vì − − )( − )( + + ) c nên ta
( )( )( )( )
− − − + + −
2 c a b a b c
Suy ra( − )( − )( − ) − + + c a b c
a b Hay +( − )( − )( − )
+ + + +
c
1 a b c
a b a b (1)
Ta chứng minh
+ + + +
a 2a
b c a b Thật vậy, biến đổitương đương bất đẳng thức ta
( + + ) ( + + ) ( + + − )
a a b 2a b c a b 2c a
Tương tự ta
+ + + +
b 2b
(90)( )( )( )
+ + + − − −
+ + + + + +
+ + =
+ + + + + +
a b c
1 a b c b c c a a b
2 2a 2b
2 a b a b a b
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b 0; c =
Bài 145 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c Chứng minh
( )
+ + + + + + +
3 3 1
a b c ab bc ca
a b c
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015
Lời giải
Dễ thấy + + = + +
1 1 18
2
a b c a b c Do ta
( )
+ + + + +
3 3
a b c ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + + + + +
3 3
a 1 3a; b 1 3b; c 1 3c Ta quy toán chứng minh a b c( + + ) (3 ab bc ca + + )
Hay (a b c+ + )23 ab bc ca , đánh giá ( + + )
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 146 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ + +
+ +
+ + + + + +
2 2
a b c b c a c a b
5
a b c b c a c a b
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Thái Bình năm học 2014-2015
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
+( + ) = +( + ) + ( + ) ( + +) ( + ) (= + )( + + )
2
2 2
2 b c 3 b c 4a 3b 3c
a b c a b c a b c b c
4 4
Suy ta ( )
( )
( )
( )( )
+ +
=
+ + + + +
+ +
2
a b c 4a b c 4a
4a 3b 3c b c 4a 3b 3c
a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+
= +
+ + + + + +
2 2
9
4a a . a
4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a b c a
Suy ta ( )
( ) ( )
+
+
+ + + +
2
a b c 27a
a b c 25 a b c 25. Áp dụng hoàn toàn tương tự ta
( )
( ) ( ) (( )) ( )
+ +
+ +
+ + + +
+ + + +
2
b c a 27b c c a 27c
;
25 a b c 25 25 a b c 25
b c a c c a
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ + + + +
+ + + =
+ + + 2+ + 2+ + 2+
a b c b a c c a b 27 a b c
25 a b c 25
b c a c a b a b c
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong
(91)( ) + ( ) + ( )
+ + − + + − + + −
a b c
2 9bc b c 9ca c a 9ab a b
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Thành Phố hải Phòng năm học 2014-2015
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
+ + − + + − + + −
+ +
+ + + + − + − + −
2 2
2
2 2
a b c
1 9bc b c 9ca c a 9ab a b a b c
a b c 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Phép chứng minh hoàn tất ta
( + + )2 + + ( − )2+ ( − )2+ ( − )2
2 a b c 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Hay 4ab a b ( + )+4bc b c( + )+4ca c a( + )+3abc.
Để ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành
( + + )3 ( + )+ ( + )+ ( + )+
a b c 4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc Haya3+b3+c3+3abc ab a b ( + )+bc b c( + )+ca c a ( + )
Biến đổi tương đương ta abc(a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − ).
Bất đẳng thức bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Vậy toán chứng minh
Đẳng thức xảy = = =a b c = =a b 1; c 0=
2 hoán vị
Bài 148 Cho x, y, z số thực không dương.Chứng minh
( + ) ( + ) (+ + ) ( + ) (+ + ) ( + )
3 3 3
2 2
2 3 3 3
xy z yz x zx y
8
x yz y z y zx z x z xy x y
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 2014-2015
Lời giải
Dễ dàng chứng minh y( 3+z3)(y z y+ )( 2+z2)2 yz y( 2+z 2) Và lại có x2+yz 2x yz Nhân theo vế hai kết ta
(x2+yz y)( 3+z3)2xyz y( 2+z 2)
Suy ta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ +
+ +
=
+ + + + +
3 3
2 2
2 3
2 2
2 2 3 2 2 2
xy z xy z
2 x yz xyz y z x yz y z
y z y z
2 x y x z y z yz x y x z 2y z Hoàn toàn tương tự ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
+ + + + + +
+ +
+ + + + + +
3 3 3
2 2
2 3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
xy z yz x zx y
x yz y z y zx z x z xy x y
y z x z x y
(92)Ta càn
+ +
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
y z x z x y
x y x z 2y z x y 2x z y z 2x y x z 2y z Đặt =a x y ; b y z ; c z x Khi bất đẳng thức viết lại thành 2 = 2 = 2
+ +
+ + + + + +
a b c
2a b c a 2b c a b 2c Bất đẳng thức tương đương với
+ + + + +
+ + + + + +
b c a c a b
2a b c a 2b c a b 2c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( ) ( )
+ +
+ + +
+ +
+ + + + + + + + + + +
2
2 2
2a 2b 2c
b c a c a b
2a b c a 2b c a b 2c a b c ab bc ca Phép chứng minh hoàn tất ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + +
2 2
2
2
2 2a 2b 2c a b c ab bc ca a b c a b c ab ba ca
a b c ab bc ca Đánh giá cuối đánh giá
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z =
Bài 149 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn + + =x y z Tìm giá trị lớn biểu thức
= + +
+ + +
2 2
x y y z z x
P
4x 5y 4y 5z 4z 5x
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học 2014-2015
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
( )
+ + + +
+ + +
2 x y z
P xy yz zx
4x 5y 4y 5z 4z 5x
Đặt = + + + + + = − + + + + +
y 5y
x z 5z 5x
Q
4x 5y 4y 5z 4z 5x 4x 5y 4y 5z 4z 5x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
+ +
+ + + + + + + +
= =
− + +
+ + − + +
2
2 2
2
5 x y z
5y 5z 5x
4x 5y 4y 5z 4z 5x xy yz zx x y z
5
5 xy yz zx x y z xy yz zx
Do ta − − ( + + )
1
Q
4 xy yz zx
Khi ta suy ( + + ) − − ( + + )
2
P xy yz zx
4 xy yz zx
Đặt =a xy yz zx+ + 10 a
(93)( )
( )
−
− =
− −
2 a 9a
P a
4 6a 6a
Ta chứng minh (( − )) −
a 9a 6a
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với (1 3a 10 27a− )( − )0 , đánh giá
0 a
3 Do bất đẳng thức chứng minh Suy P
3 hay giá trị lớn P Đẳng thức xảy = = =x y z
3
Bài 150 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh + + =
( + + )
+ +
+ + +
3
3 3
2 2
a b c
a b c
1 9b ca 9c ab 9a bc 18
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2014-2015
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ +
+ +
+ + + + + + + +
2
2 2
3 3
2 2
a b c
a b c
1 9b ca 9c ab 9a bc a b c 9abc ab bc ca
Dễ thấy + + ( + + )
2
2 2 a b c
a b c
3 để ý đến giả thiết ab bc ca ta + + =
( )
( ) ( ( ) )
+ + + +
+ + + + + + + +
2 4
2 2
a b c a b c
a b c 9abc ab bc ca a b c 9abc Do ta có
( )
( )
+ +
+ +
+ + + + + +
4
3 3
2 2
a b c
a b c
1 9b ca 9c ab 9a bc a b c 9abc Phép chứng minh hoàn tất ta
( )
( ) ( )
+ + + +
+ + +
4
a b c a b c
9 a b c 9abc 18
Hay + + a b c 9abc Để ý đến giả thiết ab bc ca , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta + + =
( )( )
+ + = + + + + 3 2 =
a b c a b c ab bc ac abc.3 a b c 9abc
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 151 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh
( ) ( )
+ + + + +
+ + + + +
2 2
2 2
5a 4bc 5b 4ca 5c 4ab
3 a b c ab bc ca
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Quảng Nam năm học 2014-2015
Lời giải
(94)( )
+ − + + − + + − + +
2 2 2
5a 4bc bc 5b 4ca ca 5c 4ab ab a b c Hay
( )
+ + + +
+ + + + + +
2 2
2 2
2 2
5a 5b 5c
3 a b c 5a 4bc bc 5b 4ca ca 5c 4ab ab
Hay
( )
+ +
+ + + + + +
+ +
2 2
2 2
2 2
1 5a 5b 5c
1 5a 4bc bc 5b 4ca ca 5c 4ab ab a b c
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( )
( ) ( ) ( )
( )
+ + + + + +
+ + + + +
+ + =
= + + +
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 5a 4bc a b c 8a 3b 3c 4bc
4.3 bc a b c 3a 3b 3c 9bc bc a b c
3
2 a b c 3bc Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta
( 2+ + ) ( 2+ 2+ 2) 2+ 2+ 2+
2 5a 4bc bc a b c 10a 5b 5c 10bc Suy
( + + ) ( + + ) + + +
2
2 2
2 2
10a 10a
10a 5b 5c 10bc 5a 4bc bc a b c
Lại có 10bc 5b 2+5c nên ta
=
+ + + + + + +
2 2
2 2 2 2 2
10a 10a a
10a 5b 5c 10bc 10a 10b 10c a b c Do ta
( + + ) ( + + ) + +
2
2 2
2 2
10a a
a b c
2 5a 4bc bc a b c Chứng minh hoàn toàn tương tự ta
( )
+ +
+ + + + + +
+ +
+ + =
+ + + + + +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 5a 5b 5c
5a 4bc bc 5b 4ca ca 5c 4ab ab a b c
a b c
1
a b c b a c c b a
Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 152 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức
+
= + −
+ + + + + +
2a 3b 4b 8c
P
a 2b c a b 2c a b 3c
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Quảng Nam năm học 2014-2015
Lời giải
Đặt = +x a 2b c; y a b 2c; z a b 3c Khi ta + = + + = + +
= − − = + − = −
a 5y x 3z; b x z 2y; c z x
Biểu thức P viết lại thành =P 4x+2y 8y+ +4z−17
y x z y
(95)=4x+2y 8y+ +4z− 4x 2y+ 8y 4z− = −
P 17 17 12 17
y x z y y x z y
Vậy giá trị nhỏ P 12 17 Đẳng thức xảy − =
=
= =
=
=
2
2
2y 4x
y x 2x y
z 2y 2x
8y 4z 2y z
z y
Bài 153 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 2 xy+ xz Xh]ngs minh =
+ +
3yz 4zx 5xy
x y z
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Tuyên Quang năm học 2014-2015
Lời giải
Biến đổi vế trái bất đẳng thức sau
+ + = + + + + +
3yz 4zx 5xy yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy
x y z x y x z y z
Khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
+ + +
yz zx 2z; 2yz 2xy 4y; 3zx 3xy 6x
x y x z y z
Do ta 3yz+4zx+5xy6x 4y 2z+ +
x y z
Mặt khác theo bất đẳng thức AM - GM ta
( ) ( ) ( )
+ + = + + + + = + =
6x 4y 2z x y x z xy xz xy xz
Do ta suy ra3yz+4zx+5xy4
x y z
Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =x y z
Bài 154 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện
( 4+ 4+ 4) (− 2+ 2+ 2)+ = x y z x y z 12
Tìm giá trị nỏ biểu thức = + +
+ + +
2
2 y
x z
P
y 2z z 2x x 2y
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Yên Bái năm học 2014-2015
Lời giải
Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết tốn
Áp dụng đánh giá quen thuộc ta cóx4+y4+z43 x( 2+y2+z2)2
Khi ta x( 2+y2+z2)2−7 x( 2+y2+z2)+12 Hay x2+y2+z23 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ +
= + +
+ + + + + + + +
2
2 2
2
2
2 2 2
x y z
y
x z
P
(96)( )( )
( )( ) ( )
+ + + + + +
+ + + + + +
= + +
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
2 2
x y y z z x x y z x y y z z x
x y z x y z x y z
x y z
3
Hoàn toàn tương tự ta
( 2+ 2+ 2) ( 2+ 2+ 2) x2+y2+z2
2 xy yz zx x y z
3
Do ta ( )
( ) + + + + = = + + + +
2 2 2 2 2
2 2
2 2
x y z x y z
P
3
x y z
3 x y z
3
Vậy giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy =x y z = =
Bài 155 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − + − + + + + + + + +
2 2
2 2 2
a b c b c a c a b
5
a b c b c a c a b
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2014-2015
Lời giải
Để ý ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − + + − + + = = − + + + + + +
2 2
2 2 2 2
a b c a b c 2c a b 2c a b
1
a b c a b c a b c
Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + +
+ + + + + +
2 2
a b c b c a c a b
5
a b c b c a c a b
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + + = + + + + + + + + + =
2 2
2 b c 3
a b c a b c a b c b c
4 4
b c 4a 3b 3c
Suy ta ( )
( ) ( ) ( )( ) + + = + + + + +
+ + 2
a b c 4a b c 4a
4a 3b 3c b c 4a 3b 3c
a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( ) ( ) + = + + + + + + + 2
4a a . a
4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a b c a
Suy ta ((+ )) ( )+
+ + + +
2
a b c 27a
a b c 25 a b c 25 Áp dụng hoàn toàn tương tự ta
( )
( ) ( ) (( )) ( )
+ +
+ +
+ + + +
+ + + +
2
b c a 27b ; c c a 27c
25 a b c 25 25 a b c 25
b c a c c a
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + = + + + 2+ + 2+ + 2+
a b c b a c c a b 27 a b c
25 a b c 25
(97)Vậy bất đẳng thức chứng minh xong
Bài 156 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz Chứng minh + + =
+ +
+ + +
2 2 2
y
x z
1 2y z xyz 2z x xyz 2x y xyz
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Gia Lai năm học 2014-2015
Lời giải
Giả thiết toán viết lại thành 1 1+ + =2
x y z Đặt = = =
1 1
x ;y ; z
a b c ta + + =
a b c Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
+ +
+ + +
bc ca ab
1 2a bc 2b ca 2c ab Chú ý đến giả thiết + + =a b c , ta có
( ) ( )( )
= = +
+ +
+ + + + + +
bc bc bc bc 1
2 a b c a 2a bc a a b c bc a b a c
Hoàn toàn tương tự ta
+ +
+ + + +
+ +
ca ca 1 ab ab 1
;
2 b c a b c a b c
2b ca 2c ab
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ +
+ + +
+ +
+ + + + + = =
+ + + + + +
bc ca ab
2a bc 2b ca 2c ab
bc 1 ca 1 ab 1 a b c
1
2 a b c a b c a b c a b c
Như bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy =x y z= =
Bài 157 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức =
(+ ) (+ ) (+ )
= + +
+ + +
3 3
y
x z
P
x y z y z x z x y
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Cần Thơ năm học 2015-2016
Lời giải
Đặt =a 1; b= 1; z=1
x y c , suy abc Biểu thức P viết lại thành =
( + ) ( + ) ( + )
= + +
+ + +
2 2
a bc 2a b ca 2b c ab 2c P
b c c a a b
Hay = ( + )+ ( + )+ ( + )
+ + +
a 2a b 2b c 2c P
b c c a a b .
Ta viết biểu thức P thành = + + + + +
+ + + + + +
2 2
a b c 2a 2b 2c
P
b c c a a b b c c a a b. Dễ dàng chứng minh + +
+ + +
a b c
b c c a a b 2.
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ + + +
+ + = =
+ + + + +
2
2 2 a b c
a b c a b c abc
(98)DO ta P 3+2.3 9=
2 2 Vậy giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy = = = =a b c x y z = =
Bài 158 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh
+ + + + + +
3 2 2 2
a b c ab bc ca a b c
3 3
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015-2016
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + + +
6 2 2
a b c ab bc ca .a b c
3 3
Hay( + + ) ( + + ) ( + + )
6
2 2
a b c
ab bc ca a b c 27
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + = + + + + + +
+ + + + + + + + + +
=
2 2 2 2
3 6
2 2
ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c
ab bc ca ab bc ca a b c a b c
3 27
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Bài 159 Cho a, b, c số thực khơng âm khơng có hai số Chứng
minh
+ +
− + − + − + + +
2 2 2
1 1
a ab b b bc c c ca a ab bc ca
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016
Lời giải
Vì vai trị biến nên khơng tính tổng quát ta giả sử c số nhỏ ba số a, b, c Khi ta
( )
( )
( )
− + = − −
− + = − −
+ + = + +
2 2
2 2
b bc c b c b c b a ac c a c a c a ab bc ca ab c a b ab Từ ta có
+ + + +
− + − + − + − +
2 2 2 2 2
1 1 1
a ab b b bc c c ca a a ab b a b
Và có
+ +
3
ab bc ca ab Phép chứng minh hoàn tất ta
+ +
− +
2 2
1 1
a b a ab b ab
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
( ) (( ) )
− + − + −
− +
−
− − − −
+ +
− + − +
2 2
4
2 2
3 2 2 2
1 1 1 0
a ab b ab a ab b ab
a b ab a ab b 2ab a b
0
(99)Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh xong
Bài 160 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác + + =a b c Chứng minh
+ + + + +
+ + +
4 4 1 9
a b b c c a a b c
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Thành Phố Hà Nội năm học 2015-2016
Lời giải
Cách Để ý đến giả thiết lại viết lại bất đẳng thức thành
( + + )+ ( + + )+ ( + + ) + + + + + + + + +
+ + +
+ + +
+ + + + + +
+ + +
+ + +
+ + + +
+ + +
4 a b c a b c a b c a b c a b c a b c
a b b c c a a b c
4c 4a 4b 12 b c a c a b 12
a b b c c a a b c
4c 4a 4b b c a c a b
a b b c c a a b c
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng + +
1
x y x y, ta
+ + + + + = + + + + +
+ +
+ + +
a b b c c a 1 1 1
a b c
c a b c b a c a b
4a 4b 4c
b c c a a b
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = =a b c
Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
+ + + + +
− − −
4 4 1 9
1 c a b a b c Ta chứng minh − −
−
4
18c
1 c c Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
( )( ) ( ) ( )
− − − − 2− − 3 − −
5c c c 18c 5c 21c 3c 18c 3c 2c Do a, b, c ba cạnh tam giác + + =a b c nên
( ) ( )
− = − + + = − +
2c 2c a b c c a b Do bất đẳng thức Vậy tốn chứng minh xong
Bài 161 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn + + =a b c a b c+ +
b c a Tìm giá trị lớn biểu thức
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
3 3 3
a b b c c a
P
a b b c c a
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Trường Đại học Vinh năm học 2015-2016
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho giả thiết ta + + = + + a b c
a b c
b c a
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức cho giả thiết ta
( + + )
+ + = + + + + + +
+ +
2
a b c a b c
a b c ab bc ca a b c
(100)( + + )( + + )( + + ) ( + + ) ( + + )
2 2
2
3 2 a b a b
a b a b a b
3 Do ta + +
+ + + +
3 2
a b
a b a b
Hoàn toàn tương tự ta thu + +
+ + + + + +
2 2 2
3 3
P
a b b c c a
Ta chứng minh + +
+ + + + + +
2 2 2
1 1
1
a b b c c a
Thật vậy, bất đẳng thức viết lại thành
+ + + + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2
a b b c c a
2
a b b c c a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta
( )
( )
+ + + + +
+ + +
+ +
+ + + + + + + + +
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a a b c
Phép chứng minh hoàn tất ta
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a a b c
a b b c b c c a c a c a a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta
(a2+b2)(b2+c2)b2+ac Áp dụng tương tự ta
( + )( + ) (+ + )( + ) (+ + )( + )
+ + + + +
2 2 2 2 2 2
2 2
a b b c b c c a c a c a
a b c ab bc ca Mà từ giả thiết ta ab bc ca Do ta + +
(a2+b2)(b2+c2) (+ b2+c2)(c2+a2) (+ c2+a2)(c2+a2)a2+b2+c2+3 Vậy bất đẳng thức chứng minh
Suy giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 162 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh
( + ) (2+ + ) (2+ + )2 ( + )( + )( + )
a bc b ca c ab a b b c c a
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Đăk Lăk năm học 2015-2016
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta
( + ) (+ + ) ( + + + ) (= + ) ( + )
2 2
2 a bc b ca a b c
a bc b ca
2
Khi ta ( + ) (+ + ) (+ + ) ( + ) ( + ) (+ + )
2
2 2 a b c
a bc b ca c ab c ab
2 Cũng theo bất đẳng thức AM - GM ta có
( + ) ( + ) ( ) ( + )( + )( + ) ( )( )( )
+ + = + + +
2
2
a b c a b c c ab
c ab 2 a b c c ab
(101)Bài toán quy chứng minh
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
+ + + + + +
+ + + + + = +
− −
2 a b c c ab a b b c c a c c ab b c c a c abc bc ca c a b
Theo ngun lí Dirrichlet ba số a, b, c ln tìm hai số phía với Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử hai số a b Khi bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh xong
Bài 163 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn + + =x y z Chứng minh
( ) ( ) ( )
− +
− + − +
+ +
+ + +
3
3 y 2y y
x 2x x z 2z z
3
x y z y z x z x y
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015-2016
Lời giải
Áp dụng giả thiết + + =x y z ta
( ) (( )) ( )
−
− +
= = − = −
+ −
2
3 x x
x 2x x x x x x x
x y z x x Áp dụng tương tự ta
( ) ( ) ( )
( )
− +
− + + + − +
+ + +
= + + − + +
3
3 y 2y y
x 2x x z 2z z
x y z y z x z x y
x y z x x x y x z
Ta cần chứng minh x+ y+ z−(x x x y x z+ + ) 3
Từ + + = x y z x+ y+ z Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
( + + ) ( + + )( + + )( + + )2
3 x x y y z z x y z x x y y z z x y z
Do ta x x y y z z+ +
3 Tư ta có
( )
+ + − + + − =2
x y z x x x y x z
3
Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy = = =x y z
Bài 164 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=3 Chứng minh
+ + + +
2 2 2
a b b c c a a b c
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2015-2016
Lời giải
Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + +
2 2 2
4 4 4 2 2 2
2
4 4 2
2 a b c a b b c c a
a b c a b c a b c a b b c c a
a b c a b c a b c
(102)Hay là(a4+ +a a) (+ b4+ +b b) (+ c4+ +c c)9.
Điều hiển nhiên theo bất đẳng thức AM - GM ba số ta có
+ + =
+ + =
+ + =
3
4
3
4
3
4
a a a a a.a 3a b b b b b.b 3b c c c c c.c 3c
Bài toán giải Bất đẳng thức xảy = = =a b c
Bài 165 Cho a, b, c số thực dương thả mãn abc Chứng minh =
+ + + + + + + +
+ + +
4 4
2 2 2
2a 2b 2c
a b c a b c
b c a c a b
Trích đề thi chọn học sinh dự thi HSGQG Tỉnh Thái Nguyên năm học 2015-2016
Lời giải
Dễ dàng chứng minh + ( + )= +
2
4 2 a b
a b ab a b
c Áp dụng hoàn toàn tương tự ta
( 4+ 4+ 4)a2+b2 +b2+c2 +c2+a2 a b c
c a b
Bài toán quy chứng minh
( )
+ + +
+ + + + + + + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
a b b c c a 2 a b c 4a 4b 4c 18
c a b b c a c a b
Áp dụng bất đẳng thức Caychy ta
+ + +
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
a b 4c 4; b c 4a 4; c a 4b 4
c a b a b c b c a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta
+ + +
+ + + + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
a b b c c a 4a 4b 4c
12
c a b b c a c a b