Toàn cảnh đề vào 10 chuyên toán

Lời giải.. Chứng minh rằng:.. Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Vậy bất đẳng thức đã cho được chứ[r]

(1)

1

TOÀN CẢNH ĐỀ THI CHUYÊN

1 CHUYÊN KHTN -HÀ NỘI 2 CHUYÊN THÁI BINH 3 CHUYÊN SP- HÀ NỘI

4 CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐINH 5 CHUYÊN BẮC NINH

6 CHUYÊN HƯNG YÊN 7 CHUYÊN ĐHSP VINH

8 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN 9 CHUYÊN QUẢNG BÌNH

10 CHUYÊN THÀNH PHỐ HCM

(GIAI ĐOẠN 2010-2020)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG

(2)

2

CHỦ ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHỦ ĐỀ 2:BẤT ĐẲNG THỨC-MIN-MAX

CHỦ ĐÊ 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐÊ 4:HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐÊ 5:HÀM SỐ

CHỦ ĐÊ 6:GIẢI BT BẰNG CÁCH LẬP PT,HỆ PT, BÀI TỐN THỰC TẾ CHỦ ĐÊ 7:HÌNH HỌC

(3)

3

MỤC LỤC CÁC ĐỀ ĐÃ TÁCH

Chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định

Đề số Đề thi

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2019-2020 (Chuyên Toán) 2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2018-2019 (Chuyên Toán ) 3 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2017-2018 (Chuyên Toán ) 4 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2016-2017 (Chuyên Toán ) 5 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2015-2016 (Chuyên Toán) 6 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2014-2015 (Chuyên Toán ) 7 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2013-2014 (Chuyên Toán ) 8 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2012-2013 (Chuyên Toán ) 9 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2011-2012 (Chuyên Toán ) 10 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2010-2011 (Chuyên Toán ) 11 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2009-2010 (Chuyên Toán ) 12 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định năm 2008-2009 (Chuyên Toán ) 13 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2019-2020 (Chung)

14 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2018-2019 (Chung) 15 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2017-2018 (Chung) 16 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2016-2017 (Chung) 17 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2015-2016 (Chung) 18 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2014-2015 (Chung) 19 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2013-2014 (Chung) 20 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2012-2013 (Chung) 21 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2011-2012 (Chung) 22 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2010-2011 (Chung) 23 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2009-2010 (Chung) 24 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Nam Địnhnăm 2008-2009 (Chung)

Chuyên Thái Bình

Đề số

Đề thi

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2019-2020 (Chung)

2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2019-2020 (Chuyên Toan Tin) 3 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2018-2019 (Chung)

4 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2018-2019 (Chuyên Toán Tin) 5 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2017-2018 (Chung)

6 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2017-2018 (Chuyên Toán Tin) 7 Đề thi vào lớp 10 chun Thái Bình 2016-2017 (Chun Tốn Tin) 8 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2016-2017 ( Chung)

(4)

4

12 Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2013-2014 (Chuyên Toán Tin) 13 Đề thi vào lớp 10 chun Thái Bình 2012-2013 (Chun Tốn Tin)

Chuyên ĐHSPHN

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 1) 2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 2) 3 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 1) 4 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 2) 5 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 1) 6 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 2) 7 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 1) 8 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 2) 9 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 1) 10 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 2) 11 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 1) 12 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 2) 13 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 1) 14 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 2) 15 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 1) 16 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 2) 17 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 1) 18 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 2) 19 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 1) 20 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 2) 21 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 1) 22 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 2) 23 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2008-2009(vòng 1) 24 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2008-2009(vòng 2)

Chuyên ĐHKHTN

(5)

5

6 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2017 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2016 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2016 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2015 (vòng 1) 10 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2015 (vòng 2) 11 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2014 (vòng 1) 12 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2014 (vòng 2) 13 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2013 (vòng 1) 14 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2013 (vòng 2) 15 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2012 (vòng 1)

Chuyên Phan Bội Châu - ĐH Vinh- Nghệ An

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2019-2020 (Chuyên Toán) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2018-2019 (Chuyên Toán ) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2017-2018 (Chuyên Toán ) Đề số Đề thi

(6)

6

5 Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2015-2016 (Chuyên Toán) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2014-2015 (Chuyên Toán ) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2013-2014 (Chuyên Toán ) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2012-2013 (Chuyên Toán ) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2011-2012 (Chuyên Toán ) 10 Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2010-2011 (Chuyên Toán ) 11 Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2009-2010 (Chuyên Toán ) 12 Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2008-2009 (Chuyên Toán ) 13 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2018-2029 (Chuyên Toán) 14 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2015-2016 (Vòng ) 15 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2015-2016 (Vòng ) 16 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2014-2015 (Vòng ) 17 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2013-2014 (Vòng 1) 18 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2013-2014 (Vòng ) 19 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2012-2013 (Vòng ) 20 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2012-2013 (Vòng ) 21 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2011-2012 (Vòng ) 22 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2011-2012 (Vòng ) 23 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2010-2011 (Vòng ) 24 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2010-2011 (Vòng ) 25 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2009-2010 (Vòng 1) 26 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2009-2010 (Vòng 2) 27 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2008-2009 (Vòng 1) 28 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2008-2009(Vòng 2) 29 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2007-2008 (Vòng 1) 30 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2007-2008 (Vòng 2) 31 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2006-2007 (Vòng 1) 32 Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2006-2007 (Vòng 2)

(7)

7 Chuyên Hưng Yên

TT Đề thi

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2019-2020 (Chung)

2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2019-2020 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2018-2019 (Chung)

4 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2018-2019 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2016-2017 (Chung)

7 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2016-2017 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2015-2016 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013-2014 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 10 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2012-2013 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 11 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2013-2014 (Chung)

12 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2011-2012 (Chung)

13 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2010-2011 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 14 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2009-2010 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 15 Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2008-2009 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)

Chuyên TP Hồ Chí Minh

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2019-2020 (Chuyên)

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2019-2020 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2018-2019 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 3 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 4 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2016-2017 (Chung)

5 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2016-2017 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 6 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2015-2016 (Chung)

7 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh2015-2016 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 8 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2014-2015 (Chung)

9 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2014-2015 (Chuyên Toán, Chuyên Tin) 10 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013-2014 (Chung)

(8)

8

3 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2018-2019 (Chuyên) 4 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2017-2018 (Vòng 1) 5 Đề thi vào lớp 10 chun TP Hồ Chí Minh 2017-2018 (Vịng 2) 6 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2017-2018

7 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2016-2017

8 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2016-2017 (Vịng 1) 9 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2016-2017 (Vòng 2) 10 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2015-2016 (Chuyên) 11 Đề thi vào lớp 10 chuyên PTNK Hồ Chí Minh 2014-2015

12 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2014-2015 13 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014 14 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014 15 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014 16 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013 17 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014 18 Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2008-2009

19 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong -TP Hồ Chí Minh 2015-2016

Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2019-2020 (Chuyên Tin học) 2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2019-2020 (Chun Tốn) 3 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2018-2019 (Chuyên Toán) 4 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2018-2019 (Chuyên Tin) 5 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2017-2018 (Chung)

6 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2017-2018 (Chun Tốn) 7 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2016-2017 (Chung)

8 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2016-2017 ( Chun Tốn) 9 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 ( Chung)

10 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Tin) 11 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Toán) 12 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Tin) 13 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2014-2015 (Chun Tốn) 14 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2014-2015 ( Chung)

(9)

9

18 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chung) 19 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chuyên Tin) 20 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chung)

21 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chuyên Nga Pháp) 22 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 ( Chuyên Toán) 23 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2011-2012( Chuyên Tin) 24 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2011-2012( Chung)

25 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2010-2011( Chun Tốn) 26 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2010-2011 (Chung)

27 Đề thi vào lớp 10 chun Lam Sơn - Thanh Hóa 2009-2010 (Chun Tốn) 28 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2009-2010 (Chuyên Tin) 29 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2008-2009 (Chuyên Tin) 30 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2008-2009 ( Chuyên Toán) 31 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2007-2008( Chun Tốn) 32 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2006-2007( Chun Tốn) 33 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2005-2006( Chuyên Tin)

34 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2005-2006( Chuyên Nga Pháp) 35 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2004-2005( Chung)

36 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2004-2005( Chuyên Tin)

37 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2003-2004( Chuyên Nga Pháp) 38 Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2003-2004( Chuyên Toán)

Chuyên Bắc Giang

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Giang 2018-2019

2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Giang 2015-2016 ( Chung) 3

Chuyên Trần Phú- Hải Phòng

1 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Trần Phú- Hải Phòng 2019-2020 2 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Trần Phú- Hải Phòng 2018-2019

Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương

(10)

10

2 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương 2014-2015 3 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương 2013-2014 4 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương 2010-2011 5

6

Chuyên Hải Phòng

1 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Giang 2019-2020 2 Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Giang 2018-2019 3

Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ

1 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2019-2010 2 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2015-2016 3

Chuyên Quãng Ninh

1 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Quãng Ninh 2019-2010 2

Chuyên Hà Tĩnh

1 Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hà Tĩnh 2014-2015

Chuyên Võ Nguyên Giáp - Quãng Bình

(11)

11 Chuyên Quãng Nam

(12)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS

CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài 1:[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chung 2014-2015] 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức x−

2) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng có độ dài cạnh huyền 10cm

3) Cho biểu thức P=x2+ − +x Tính giá trị P x=

4) Tìm tọa độ điểm thuộc parabol y=2x2 biết điểm có hồnh độ x=1

Lời giải

1) Điều kiện xác định biểu thức x 2− x2

2) Bán kính cần tìm R 10 5(cm)

= =

3) Khi x = ta P= +2 2− +4 = + −2 2+ =6

4) Khi x= ta y=2 Tọa độ điểm cần tìm

( )

1;2

Bài 2:[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2014-2015]

Cho biểu thức Q a a 1 a

a a a a a a

 

+ +

=  − 

−  − − + −  (với a0;a 1 )

1) Rút gọn biểu thức Q

2) Chứng minh a1thì giá trị biểu thức Q không số nguyên

Lời giải:

1)

2

( a 1) a

Q

a a (a 1)( a 1)

 

+

=  − 

−  − + − 

(

) (

)

2

a a

a (a 1)( a 1)

+ −

=

− + −

Suy Q a a

+ =

+

2) Khi a1,ta có a a a 1 a

+

  

+

(13)

Với số nguyên dương ,n chứng minh

(

) (

)

Lời giải:

Đặt

(

) (

)

n

x= +3 5; y= −3 ;S = 3+ + 3− = x + y ; n=1, 2,3

Ta có S1=6;S2 =28 số nguyên dương

(

)

(

)

(

)

n n n n n n

n

S + =x + +y + = x +y x+y −xy x − +y −

x+ =y 6;xy=4 Sn 1+ =6Sn −4Sn 1− với n 1 (*)

Giả sử S ;S ; ;S1 2 k số nguyên dương, từ (*) suy Sk 1+ số nguyên

Theo nguyên lý qui nạp ta Sn số nguyên, mặt khác Sn số dương Sn số nguyên dương

Bài : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2016-2017] a) Đơn giản biểu thức x+ +2 x+ −1 x+ −2 x+1 với x 0

b) [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2016-2017]

Cho , ,a b c số thực thỏa mãn điều kiện a+ + =b c 6; 1 47 60

a+b+b+c +c+a =

Tính giá trị biểu thức a b c

b+c +c+a+ a+b

Lời giải:

a) x+ +2 x+ −1 x+ −2 x+ =1 x+ +1 x+ + −1 x+ −1 x+ +1

(

) (

)

1 1

x x

= + + − + −

1 1

x x

= + + − + −

(

)

1 1

x x

= + + − + − =

Bài : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2016-2017] 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức

3

A x

x

(14)

2) Tính giá trị biểu thức B= x2 −6x+ +9 x với x = −3

3) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD, biết cạnh AB =5cm 4) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng y= − +x parabol

=

y x

Lời giải:

1)Biểu thức

3

A x

x

= − +

− xác định

1

3

x x

−  

 

 

 

 

2)Ta có B=

(

x

)

x

Với x = −3 3, ta có B = 3− 3− + −

(

)

3)Đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có đường kính AC =5 cm

Suy bán kính đường trịn

2

AC

R = = cm

4)Xét phương trình 2

2

x

x x x x

x

=  = − +  + − =  

= − 

Với x=  =1 y 1; với x= −  =2 y

Tọa độ giao điểm cần tìm

( )

(

)

Bài : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2016-2017]

Cho biểu thức 3

(

)

2

x x x x

P

x x x x

+ + +

= − −

+ − − + (với x0; x1)

1) Rút gọn biểu thức P

2) Chứng minh x0; x1 P 

2 Lời giải:

1)Ta có

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2

2 1

3

1 2

x x x

x x

P

x x x x x x

+ + −

+

= − −

− + − + − +

(

)(

)

3 4

1

x x x x x

x x

+ − − − − +

=

(15)

(

)(

)

x x

+ −

=

− +

(

)(

)

(

)(

)

1 3

2

1

x x x

x

x x

− + +

= =

+

− +

2) 1

2

x P

x x

+

= = +

+ +

Với x0; x1 ta có 2 1 1 3

2 2

2

+     +   

+ +

x P

x x

Bài : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chung 2016-2017] 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức x −5

2) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng có phương trình y= − +3x y= −x 3) Tính giá trị biểu thức P= + −x x + +x −2 x=1.

4) Tính chu vi đường trịn có bán kính R=3 cm. Lời giải:

1) Biểu thức x −5 xác định  −   x x 5.

2) Xét phương trình: − + = −  =3x x x 1. Với x =1ta y = −1

Tọa độ giao điểm cần tìm là: ( ;1 1− )

3) Khi x =1 ta P= + −1 + +1 −2 = +1 1− + + 2−2 =1.

4) Chu vi cần tìm là: 2R=6 cm .

Cho biểu thức 1 :

3 3

a a

P

a a a a a a

+ +

 

= + 

− − −

  ( với a0;a9 )

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tìm giá trị a để

2

P= .

(16)

1) Biến đổi

(

)

1 1

3 3

a

a a a a a

+

+ =

− − −

(

)

(

)

2

3

a

a a

a a a a a

+

+ + =

− −

(

)

(

)

1

3 1

a a

P .

a

a a a

− +

= =

+

− +

2) với a0;a9, 1

2

a

P a

a

=  =  =

+  =a 1.

Bài :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chung 2017-2018]

1) Tìm điều kiện xác định biểu thức 2

2017

x P

x x

= −

+ −

2) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số

y=x − y=2x−2 3) Tìm giá trị m để hàm số

1 2017

y= m − x+ m đồng biến

4) Tính chu vi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABCcó cạnh cm

Lời giải:

1)Biểu thức 2

2017

x P

x x

= −

+ − xác định

0

x x

    

2)Tọa độ điểm M

( )

3)Hàm số

1 2017

y= m − x+ m đồng biến

1−m    0 m

4)Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC R 3 3

= =

Diện tích hình trịn R

S= = 

Bài 10: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2017-2018]

Cho biểu thức 1

1

x x x

A

x

x x x

 + − + 

= + − 

−

− + −

  (với

1 0, 1,

4

x x x )

1) Chứng minh

1

A x

=

(17)

2) Tìm giá trị x nguyên lớn để A 1 Lời giải:

1)Ta có

(

) (

)

2

1 3 1 3

1 1

x x x

A

x x x x

 + − 

+

 

= + − 

− − − −

 

 

(

)(

)

2

1

x x

x

x x

− +

=

−

− +

(

)(

)

(

)(

)

3

1

x x

x x x

− −

=

− + −

1

x

=

+

2)Ta có

1

A

x

  

+

 x  2 x

Kết hợp đk x =4 giá trị cần tìm

Bài 11: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chung 2017-2018] Tìm điều kiện xác định biểu thức

1

P

x x

= −

− −

2) Tìm tọa độ giao điểm Mcủa đường thẳng y=2x+3 trục Oy 3) Với giá trị m hàm số

(1 ) 2017

y= −m x+ m đồng biến? 4) Tam giác ABCcó diện tích hình trịn ngoại tiếp

3 cm Tính độ dài cạnh

tam giác

Lời giải:

1)Biểu thức

1

P

x x

= −

−

− xác định

2

1

x x

−  

 



   

 

2)Tọa độ điểm M

( )

3)Hàm số

(1 ) 2017

y= −m x+ m đồng biến

1−m   −  0 m

4) 2

.R cm R

S = =   =

(18)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS Bài 12: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2017-2018]

Cho biểu thức

(

)(

)

1

:

x A

x x

x x x x

− =

+

+ − + (với x 0)

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm giá trị nguyên x để

A số nguyên Lời giải:

1)Ta có

(

)

(

)(

)

1 ( 1) 1

:

1

x x

A

x x

x x x x

− +

=

+

+ − +

(

) (

)(

)

1

x

x x x x

x x x

−

= + − +

− +

= −x

2)Ta có 1

1

A= x−

Để thỏa mãn tốn 1

1

x x

− = =

 

  − = −  =

 

Kết hợp điều kiện x =2 giá trị cần tìm

Bài 13: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chung BD2017-2018]

1) Tính giá trị biểu thức

2

3

A= − + −

2) Tìm tập nghiệm phương trình 3x+4 = x

3) Gọi S tổng P tích hai nghiệm phương trình x2 +8x−7=0.Tính tổng S+P 4) Cho(O;R) dâyAB =R Tìm số đo cung lớnAB

Lời giải:

1)

2

1

3

(19)

2) x

x x

0 x x

4 x

3 2  =

  

= +   = +

3)Ta có ac=−70 nên phương trình ln có nghiệm Theo Vi-ét ta có

15 P S P ,

S=− =−  + =−

4)Từ giả thiết ta có AB độ dài cạnh tam giác nội tiếp (O;R) Số đo cung lớn AB 2400

Bài 14: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung BD2017-2018] Cho biểu thức

x

1 x x

3 x x x

x 10 P

− + + +

− −

− +

= (với x0; x1)

2) Chứng minh x0; x1 P 

Lời giải:

1)Với x0; x1 Ta có

(

)(

)

4 x

x x x

7 x 10 x P

+ − = + −

− +

− =

2)

4 x

19

P

+ + − =

Với x0; x1 ta có

4 P 19 x

19   

+

Bài 15: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chung BD2017-2018]

1) Tính giá trị biểu thức : ( 3−2)2

2) Tìm giá trị m để đường thẳng : y = 2x - đường thẳng : y = ( m-2 )x – song song với

3) Tỡm giá trị a để phương trình x2 - 2x + a - = (a tham số) có nghiệm

4) Cho tam gi¸c ABC cã Aˆ = 90 0, Bˆ = 600 vµ AC = 10 Tính độ dài cạnh BC

Lời giải:

1) ( 3−2)2 = 3−2 = 2−

2) Hai đường thẳng song song 

2

4

1

m

− = 

 = −  −

(20)

3) Phương trình : x2 - 2x + a - = (a lµ tham sè) phương trình bậc hai ẩn x có

 ’ = – a + = 4- a

Phương trình có nghiệm  ’ = => 4- a =  a = 4)BC =

0

10 10 20

sin 60 3

2

= =

Bài 16: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung BD2017-2018] 1) Chứng minh đẳng thức

(

)(

)

2) Rút gọn biểu thức A = :

1

x

x x x x

   

+ +

   

 − −   + − 

  với x > 0, x 

Lời giải:

1) Ta có:

(

)(

) (

)

(

)

(

)

Vậy

(

)(

)

2) Với x > 0, x  Ta có A

(

)

1

x x

x x x

   − 

 

= −  + 

 − −   − − 

 

(

)

1

x x

x x x

 −   + 

 

=  

 −   − 

 

= 1

x x

+ −

+

x

−

=

Vậy A x

x

−

= với x > 0, x 

Bài 17: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2017-2018] 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức

2

p x

=

−

2) Tìm tọa độ giao điểm M đường thẳng y= − +2x 3và trục Ox

3) Với giá trị m hàm số y=(m−1)x+2017m nghịch biến?

4) Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp 2 cm Tính độ dài canh

tam giác

Lời giải 1,Biểu thức

2

p x

=

(21)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 10

2,Tọa độ điểm M 3;

 

 

 

3,Hàm sốy=(m−1)x+2017m nghịch biến m−   1 m

4,Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 3

3

AB

R= = cm

Suy độ dài cạnh ABC là6 cm

Bài 18: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2017-2018] Cho biểu thức

(

)(

)

1

:

x A

x x

x x x x

− =

+

+ − + (với x 0)

1)Rút gọn biểu thức A

2)Tìm giá trị x đểA.( x +1)0

Lời giải

1,Ta có : 2

( 1)( 1)

x A

x x x x x x

− =

+ − + +

( 1)( 1)

x

x x x x

−

= + − +

+ − +

= x−1

( 1) ( 1)( 1)

A x+ = x− x+ = −x

( 1) 1

A x−   −   x x

Kết hợp với điều kiện x 0 x 1 giá trị cần tìm

[Chun Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chuyên 2018-2019]

Bài 19: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2018-2019]

Chứng minh 12 12 12 12 1 2 2 2018

1 2 2017 2018

+ + + + + + + + + 

Lời giải:

Đặt 12 12 12 12 1 2 2

1 2 2017 2018

S = + + + + + + + + +

Ta có

2

1 1

1

( 1) ( 1)

n n n n n n

 

+ + = + −  +

+  +  +

*

(22)

2

1 1

1

n n n n

 

=  + −  = + −

+ +

 

Áp dụng đẳng thức ta 1 1 1 1

1 2 2017 2018

S = + −   + + − + + + − 

     

= 2018 2018 2018

−  (điều phải chứng minh)

Bài 20: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2019-2020] 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức 2019

9

P

x x

= −

−

2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng

(

)

1

y= m − x+ đường thẳng

3

y= x+ +m (với m  1) hai đường thẳng song song

3) Cho tam giác ABC vng A có AB = 6cm, BC = 10cm Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC

4) Một hình trụ có diện tích hình trịn đáy 9cm2, độ dài đường sinh 6cm Tính thể tích hình trụ

Lời giải:

1) 2019

9

P

x x

= −

− −

ĐKXĐ:

0

9

x

x x

 



 

−  

  

  − 



2)Hai đường thẳng

(

)

1

y= m − x+ y=3x+ +m (với m  1) song song với

2 2

1

2

7

m

m m

= 

 − =  = 

     = −

 +  

  (TMĐK)

Vậy m = −2 giá trị cần tìm

3)

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

A B

H

(23)

2 2

10

AC= BC −AB = − = (cm)

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có:

6.8

4,8

10

AB AC

AH BC AB AC AH

BC

=  = = = (cm)

4)Trong hình trụ chiều cao độ dài đường sinh

6

h

 = cm

Thể tích hình trụ là:

54

V =S h=  = (cm3)

Bài 21: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2019-2020] Cho biểu thức

2

1

4 :

1 1

a a a a a

P a

a a a

 + −   + 

= − +    

− + +

    với a0,a1

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên Lời giải:

1)

(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

2

1

4 :

1 1

:

1

2 4

:

1

4

:

1

a a a a a

P a

a a a

a a a a a a a

a

a a

a a a a a a a

a a a

a a a a

a a

 + −   + 

= − +    

− + +

   

+ − − + − +

=

+

+ −

+ + − + − + −

=

−

= =

− −

Vậy

1

P a

=

− với a0,a1 2)Với aZ a, 0,a  − 1 a 1

P nhận giá trị nguyên 4

1 Z a

a

   −

−

Mà a−   − 1 a





a





(24)

2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y 2mx 1= + qua điểm M 1;2

( )

4) Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết HB cm, HC cm= = Tính độ dài AH

5) Cho hình trịn có chu vi 20 cm Tính độ dài đường kính Lời giải

1) Điều kiện 1−   x x

2) Đồ thị hàm số qua điểm M

( )

2

= +  =

3) Do tổng hai nghiệm tích hai nghiệm nên phương trình cần tìm

5x

− + =

x

4) Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có

= =  =

AH HB HC AH

5) Áp dụng công thức C=d suy độ dài đường kính d =20cm

Bài 23: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2012-2013]

Cho biểu thức 3

(

)

1

x x

A

x x x x

− +

+

= +

+ + , với điều kiện x0 1) Rút gọn biểu thức A

2) Chứng minh A4

Lời giải 1) Ta có

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

3 3

1 1 1 1

x x x x x x

x x x x

A

x x x x x x x x x x x x

− + + − +

+ + +

= + = + = + =

+ + + + − + + + +

2) Thực 1

A

x

= +

+ với x0

Do 1 1

1

x x A

x

  +     

+

Bài 24: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2013-2014] Cho biểu thức

3

3 3

3 :

x x

M

x

x x

 +  +

= + 

+ +

(25)

1) Rút gọn biểu thức M

2) Chứng minh x 0, ta ln có M 4 Tìm xđể M =4 Lời giải :

1) ĐK x 2

Ta có x+ x− =2 x− 1 (x− −1) x− + +1 x− = 2

(

x

)

x

(

x − −

)

x −

x 

Nên (1) 1

2

x

x x

 − =



  =

− =

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình cho có nghiệm x =2

2)

(

)(

)

(

) (

)

2

3

3 2

1 (1)

5 8

2 10 16 10 16 2 (2)

x y y

x y y y x y y y

y x x x y x x x y x x

 − = − −

 = − + −  − = − + −

  

  

= − + − + − = − + − +

  − = − − −

  

Nếu x 1thì từ phương trình (1) suy y 1  − y

Khi từ phương trình (2) suy x 1 (mâu thuẫn với x 1)

Nếu x 1 từ phương trình (1) suy y 1  − y

Khi từ phương trình (2) suy x 1 (mâu thuẫn vớix 1 ) Với x =1thay vào hệ phương trình cho suy

Vậy hệ có nghiệm

( ) ( )

x y =

Bài 25: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung XH 2018-2019]

Cho biểu thức P 1 1 : x 1 1 x ,

x x x x

 − − 

 

= −   +  +

    (với x0và x1) Rút gọn biểu thức P

Lời giải

+ Ta có 1 1 x 1

x x

−

− =

và

(

)

(

)

1

1 1 1 1 1

1

1 1

x x

x x x x x

x x x x x x x x

−

− − − + − −

+ = = =

+ + + +

nên 1. 1 1

1

x x x

P

x x x

− + +

= =

−

2 Tính giá trị biểu thức Ptại x= 2022 2018+ − 2022 2018−

(26)

(

) (

2

)

2

2018 2 2018 2

= + − −

2018 2 2018 2 2018 2 2018 2 4

= + − − = + − + = (thỏa mãn điều kiện x0và x1)

+ Vậy giá trị biểu thức Ptại x=4 là: 4 1 3. 2 4

+ =

Bài 26: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2012-2013]

1 Cho x y, số không âm Chứng minh

(

)

2

3 3

x+ x y + y+ y x= x + y

2 [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2012-2013]

Cho a b c, , số phân biệt thỏa mãn:

2 2

0

a b c

b c a

abc

 + = + = + 



 



Chứng minh

2

abc =

Lời giải

1 Ta có: x+3 x y2 + y+3 y x2 = x2

(

x

y

)

y

(

x

y

)

(

x

y

)

x

y

= +  + 

 

(

x

y

)(

x

y

)

= + +

(

)

3 3

x y VP

= + = (đpcm)

a Cho x = 3+ 3+ + 3− 3+ Tính giá trị biểu thức P=x 2

(

x

)

Bài 27: Cho ba số a b c, , thỏa mãn ab bc ca+ + =2019 Chứng minh

2 2

2019 2019 2019

a bc b ca c ab

a b c

− − −

+ + =

+ + +

Lời giải

a Ta có

(

)

2

3 3 6

x = + + + − +  = + − + = + −

 

(

)

(

)

6 3

= + − = + = +

Do x 0 nên x = 1+ Suy

(

x −

)

2

x − x= , P = −2

(27)

Tìm tất số tự nhiên x thỏa mãn 1

1

x x x

  

− − 

 −  + 

  

Lời giải

ĐK: x 0và x 1

Ta có:

(

)

1 1

1

1 1 1

x x

x x x x x x x

− − −

 −  − = =

 −  +  + −

−

  

Vậy 1 1 1(*)

1 1

x x x x

 −  −   

 −  +  −

  

Vì xlà số tự nhiên, x 0và x 1vì x − 1 (*) x−  1 x  2 x

Ta có xlà số tự nhiên, x 0và x 1nên x=2;x=3;x=4 Vậy giá tri xcầm tìm x=2;x=3;x=4

Bài 29 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2017 (vòng 2)] Với a, b số thực dương thỏa mãn ab a b Chứng minh rằng:

2 2 2

1

1 2 1 1

a b ab

a b a b

Lời giải

Với a, b số thực dương thỏa mãn ab a b Chứng minh rằng:

2 2 2

1

1 2 1 1

a b ab

a b a b

Cách Do ab a b nên ta

2 1 1 ; 1 1

a a ab a b a b a b b ab a b a b b

(28)

2

1

1 2 1 1

1 1

1 2 1 1

1 1 1

a b ab

a b a a b b a b a b

a b b a ab

a b a b a b a b

a b a b a b ab a b

Do đẳng thức cuối nên đẳng thức cần chứng minh

Cách Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2

2 2 2

1 1

1 2 1 1

a b b a ab

a b a b

Mà ta có a b2 1 b a2 1 a b ab 1 nên đẳng thức tương đương với

2 2 2 2 2 2 2

2

1

2 1

2

1

1 1

a b

a b a b a b ab a b

a b

a b ab a b ab ab a b

Do đẳng thức cuối nên đẳng thức cần chứng minh

Bài 30 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2013 (vòng 2) Giả sử x y; số thực thỏa mãn

2

3

x x y y

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x2 xy y2. Lời giải Đặt a x 3 x2 0

2

2 2

3

2

a

a x x a ax x x x

a

Tương tự đặt 3 0

2

b

b y y x

b

Khi 3

2 2

a b

x y

a b

(29)

9 3

2

2 2 3

a a a a

x y

a a a a

Lại có 2

4

x xy y x y x2 xy y2

Dấu “=” xảy x y

Vậy 2 3.

mim

x xy z

Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, khai thác giả thiết bất đẳng thức Cosi để tìm giá trị nhỏ

Nhắc lại kiến thức phương pháp:

• Cách giải phương trình có dạng x x2 n m

2 2

2

m n

x n m x x n x mx m x

m

Hoặc giải cách liên hợp sau

2 n

x x n m x n x

m

2

n m n

x x n x n x m x

m m

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương a b ab

Ý tưởng: Bài toán xuất giả thiết phức tạp, chưa biết khai thác Nhưng biểu thức P hay giả thiết cho có đối xứng x y, nên ta dự đoán điểm rơi

xảy x y k Khi thay ngược lại giả thiết, ta có:

2

3

k k k Và Pmin

, đến công việc thuận lợi cho ta nhiều biết trước điểm rơi Với x y

ta có đánh giá quen thuộc 2

0

x y x y xy

2 2

4 x xy y x 2xy y

2

2 3

4

x xy y x y P x y

Vậy nên bây giờ, từ giả thiết ta tìm x y coi toán giải Biến x xuất

3

x x đồng thời y xuất y y2 Do tư tưởng ta rút x y; từ giả thiết cách đặt ẩn phụ sau: đặt

2

3

a x x x a x

2

2 2

3

2

a

x a ax x x

a Tương tự với

2 3

b y y ta thu

2

b y

b Khi

đó, cần chứng minh 3

2

a b

a b với điều kiện ab Ta dễ dàng chứng minh

sau:

2 3 3 3 3 3 3

2

2 2 2 3

a b a b a a

(30)

Bài tập tương tự:

1 Cho x y; hai số thực thỏa mãn 2

2

x x y y Tìm giá trị nhỏ

biểu thức 2

2

P x y x y

2 Cho x y; hai số thực thỏa mãn 2

1 1

x y y x Tìm giá trị nhỏ

biểu thức 2

2

P x y x y

Bài 31 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2011 (vòng 1)Với a b c; ; số thực thỏa mãn điều kiện ab bc ca abc a b c; ab 2a b; bc 2b c;

3 ca 2c a Chứng minh

1 1

1 ab 2a b bc 2b c ac 2c a

Lời giải

Ta có điều kiện ab bc ca abc a b c a b c

Và

1 1

1 1 1 1 1 1

VT

a a b b b c c c a

1

1 1 1 1 1 1

a b

a

a a b a a b a b a

1 1

1

1 1

a a b

Nhận xét: Bài toán kết hợp giả thiết cách phân tích nhân tử đẳng thức suy điều phải chứng minh

Ý tưởng: Trước hết, quan sát giả thiết toán, đẳng thức cồng kềnh nhiên đối xứng, ta nhóm nhân tử lại sau:

1 1 1

1 1 1 1

gt ab c b c c a c

c ab a b a b c

Để đơn giản nữa, ta đặt x a y; b z; c, suy xyz Chính ta cần biểu diễn mẫu phân số đẳng thức cần chứng minh theo x y z; ; việc a x b; y c; z vào đẳng thức cho, ta có:

1 1

1

(31)

1 1

VT

x xy y yz z zx

Kết hợp với giải thiết xyz ta đưa VT mẫu sau:

1 1

VT

x xy y yz z zx

2

1

xy x

x xy x xy xyz xy xyz x yz

1

1 1

xy x xy

x xy x xy xy x x xy (điều phải chứng minh)

Bài toán kết thúc

Bài 32: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 1)]

a) Cho số thực khác Rút gọn biểu thức

b) Cho số thực thoản mãn

Chứng minh

Lời giải:

a) Ta có

Vậy

b) Đặt đẳng thức đề viết lại thành

Do nên

Từ ta có hay

Suy Đây kết cần chứng minh

a −1

2 3 1 1 a a a a P a a a a +   +  −  +   =  − − − −   +  +    , ,

x y a x2+3 x y4 + y2+3 y x4 =a

3 x2 +3 y2 = 3a2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

)

2 2

2

1

3 1 1

1

1 2

1

1 1 1 1

1

1 1

a a

a

a a a

a

a a a

a P

a a a a a a a a

a a a + + − +   +  −  + − + − +   =  − =  − − − − + + − + + − −   +  +    +

(

)

(

)

(

)

(

)

4 1 1

1

4 1 1

a a a a a a a

a

a a a a a a

− + + − + +

= −

−

+ + − + − +

1

1 1

a a a

+ −

= − = = −

− − −

1

P = −

3

s= x t=3 y2 s3+s t2 + t3+t s2 =a

,

s t  3

,

s +s t =s s+t t +t s =t s+t

(s+t) s+ =t a ( )3

s+t =a

3

(32)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 21 Bài 33 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 1)]

Cho biểu thức với x >

1 Rút gọn biểu thức P 2 Tìm x để P = x –

Lời giải:

a) Đặt ,

Vậy

b) Với điều kiện x > Đáp số x =

Bài 34 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 1)] Cho biểu thức

Với

a) Chứng minh

b) Tìm số a b biết P =

Lời giải:

Cho biểu thức

Với

a) Chứng minh

Với ta có

( ) ( ) 2 1

1 1

1 − + − = + + + − − − − + x x x P

x x x x

x x

1 ,

+ = − =

x a x b =x a2 +b2

( )

(

)

2 2

3 2 2

2 2

1 + + − − = = = − + − + − + −

a b a b ab

a

b b

P

a b

a b a b a ab b a b

b a ab

( ) 1 1 + = = + + − − x P x x x

1 1

3 =  + = −  + = − +   =  x

x x x x x

x

(

)

2

3 2

2 2 : 1 b a a b

a a ab a b b a

P

a b a b

b

a a b a a − − −  + + +  =  +  − −     − + + +    

, 0, ,

a b ab a+ b a

P= −a b

3 − = a b

(

)

3 2

2

b

a a 2b a a ab a b b

a

P :

a b

1 b

1 a a b

a a − − −  + + +  =  +  −    −   − +  + +     a, b 0;a b;a b a  + 

(33)

Từ ta b) Tìm a b biết

Với ta Khi ta có hệ

Kết hợp với điều kiện xác định ta thỏa mãn yêu cầu toán

Bài 35 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 1)

Cho biểu thức 2

2

1 1

1

1 1 1

 + −  

= +  − − 

+ − − − − +

  

a a

P

a a

a a a a

với < a <

Chứng minh P= −1

Phân tích Đây dạng rút gọn phân thức quen thuộc, thay đổi cách hỏi, việc chứng minh q trình rút gọn phân thức

Lời giải Điều kiện xác định biểu thức

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

2

3 2

2

3 2

4 2

2

4 2

2

b

a a 2b a a ab a b b

a

P :

a b a b

1 b

1 a a b

a a

a a ab a b b a b a a 2ab b

:

a b a b

a a b a a b

a a b a a b a b a a b

: a a b : a b

a b

a a b a b a b

− − −  + + + 

=  + 

−

   − 

 − +  + +

 

 

+ + + + +

− − −

=

− +

− + + +

− + + + + + +

 

= =  + +  = −

−

− + + −

P a b= −

P 1= a3 −b3 =7

2

a, b 0;a b;a b a  +  P a b= − P 1= a3 −b3 = 7

(

) (

)

3

a b

a b a b a

ab b

a b a b a b 3ab

 − =

 − =  − =  =

      

 − =  −  − +  =  =  =

 

     

   

( ) ( )

•

(34)

Vậy hay toán chứng minh

Bài 36: [ Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 2)]

Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với giá trị nguyên dương n

(

)

(

)

2 2

1 2

 

= + + + − +  + − +

 

P n n n n n n

Phân tích Để chứng minh biểu thức P nhận giá trị nguyên dương với n nguyên dương ta cần biến đổi biểu thức làm thoát bậc hai Để ý ta có

Do tốn chứng minh ta biến đổi

Lời giải Biến đổi biểu thức thức ta

Từ ta Do

Vậy P nhận giá trị nguyên dương với n số nguyên dương

Bài 37 : [ Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 2)]

(

)(

) (

)

(

)

(

)(

)

(

)

2

1 a a 1

P

a a

1 a a a a

1 a a a

a a

1 a a a a a

1 a a a

a a

1 a a a a

a 2a

1 a a a a

 + −   

   

= +   − − 

+ − − − − +

   

   

+ − −

   

=  +   −



+ − − − + − −  

 

 

   

+ − −

   

=  +   −



+ − − + − −  

 

 

− + − −

− + −

+ + − + + −

=  = 

+ − − + − −

(

)(

)

1

2a 2a

− + − − + + − −

= = = −

P= −1

2

2 1 1

n n n n

2 2

4n 2 4n 2n 2n 2n 2n

2

2 2

2

4 2 4 2

2 2 2 2 2

2 2

n n n n n

n n n n n n n n

n n n n

2 2

4n 2 4n 2n 2n 2n 2n

2

2 2

2

1 2

2 2 2 2

2 2

P n n n n n n

n n n n n n n n

(35)

1 Cho a ≥ 0, Rút gọn biểu thức

2 Cho x, y thỏa mãn 0< x <1, < y <1

Tính giá trị biểu thức

Lời giải

1 Ta có

2 Ta có

Thay Ta có

Nếu Thì P =

Nếu P = 3xy

Bài 38 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 1)] Cho số thực dương a, b ; a  b.Chứng minh

Lời giải

1 

a

3

6 20 14 ( 3) :

2( 1)

a

S a a a

a

 − 

= − + + + − −  − 

−

 

1

x y

x+ y =

− −

2

P= + +x y x −xy+y

(

)(

) (

) ( )

3

6 20 14 ( 3) :

2( 1)

2

2 2 :

2

a

S a a a

a

a a

a

 − 

= − + + + − −  − 

−

 

 − + 

 

= − + + −

 − 

 

= + =

(

)

1

x y

x y xy

x y

xy x y

+ =  + = +

− −

+  + =

1

xy x+ =y +

(

)

2

3

1 3 3

3

2 2

1 3

2

P x y x xy y x y x y xy

xy xy xy xy

xy

xy xy

= + + − + = + + + −

+  +  +  − 

= +   − = +  

   

+ −

= +

1 

xy

1 

xy

3

( )

2

3

( )

0

a b

b b a a

a ab a b

b a a a b b

− − +

+

− + =

(36)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 25 Bài 39 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 1)]

1 Cho biểu thức:

Với Chứng minh giá trị Q không phụ thuộc vào a, b 2 Các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0, chứng minh đẳng thức:

Lời giải a) Ta có:

b) Ta có

Từ a + b + c = ta có

Thay vào (*) ta có điều phải chứng minh

Bài 40 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 2)] 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( )

3 ( )

( ) ( )( ) ( )( ) − − + + − = + − − − + − + + − = − − + + − + a b

b b a a

a ab

a b

Q

b a a a b b

a b a b

b b a a

a a b

a b

a b a ab b a b a b

3 3

( )( )

+ + + +

= −

− + + −

a a a b b a b b a a a

a b a ab b a b

3 3 3

( )( )

0 ( )

+ + − − −

=

− + +

=

a a a b b a a a a b b a a b a ab b

DPCM 3 3  −  + +  +  −   = + + − a b

a a b b

ab a

a b

Q

a b ab a a b a

, 0, 

a b a b

(

)

(

)

2

+ + = + +

a b c a b c

(

)

(

)

(

)

3 3

 −  + +  +  − − + + −   = + = − + − + − a b

a a b b

a b a a b b a a b

ab a

a b

Q

a b ab a a b a a b ab a a b

2

3 3 3

3 3

− − + + + − +

= − = −

+ + + +

a a b b a b b a a a b b a a a b b a

a b ab a b a b ab a b

(

)

(

)(

)

3 1 1 1

0 − + = − = − = + + + + − +

a a ab b

a b a b a b

a a b a ab b

(

)

(

)

( )

4 4 2 2 2 2

2 *

+ + = + + − + +

a b c a b c a b b c c a

(

)

2 2 2

2 2   + + + + + + =  + + + + + =    

a b c a b c

ab bc ca a b b c c a abc a b c

(

) (

)

2 2 2 2 2

2

+ +

(37)

1 Các số thực thỏa mãn đồng thời đẳng thức sau : i

ii

Chứng minh :

2 Các số thực dương thỏa mãn Chứng minh bất đẳng thức

Lời giải 1) Từ i) ii) suy

Nếu suy Lại có

Kết hợp với (1) suy a = b = c, , điều mâu thuẫn với Vậy abc =

2) Từ giả thiết suy

với a > b >

1/ Rút gọn biểu thức P

2/ Biết a – b = Tìm giá trị nhỏ P

Lời giải 1/ Rút gọn biểu thức P

, ,

a b c

(

a b b c c a

)(

)

abc

(

)(

)

a +b b +c c +a =a b c

0

abc =

,

a b ab2013a+2014 b

(

)

2013 2014

a+ b +

(

)(

)

,

− + − + − + =

abc a ab b b bc c c ca a a b c

0 

abc

(

)(

)

( )

1

− + − + − + =

a ab b b bc c c ac a a b c

(

)(

)

− + − + − +  =

a ab b b bc c c ac a ab bc ca a b c

3

8a =  = 0 a abc=0



abc

(

)

2013 2014 2013 2014

1 2013 2014

2013 2014

2013 2014 2013 2014

 +  +  + + +

 + + = +

a b

b a b a

a b

b a

2

2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b

 − −  + 

= +  

+ + − − − +  − 

 

2

2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b

 − −  + 

= +  

+ + − − − +  − 

 

(

)

2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b a b

 − −  + 

 

= +  

 + + − − + − −  − 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

a b a b a b a b a b a b a b

P

a b a b a b a b a b a b

− + − − + − + + −  + 

=  

(38)

2/ Biết a – b = Tìm giá trị nhỏ P Từ a – b = => a = b + Khi

(1).Coi (1) phương trình bậc hai b, Ta có

Để có b,

Do P > => => P(min) =

Khi => a =

Bài 42 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vịng 2)] Giải phương trình:

Lời giải Phương trình cho tương đương với

Đặt , ta có

Đáp số

với

1) Rút gọn biểu thức A

2) Cho y = 1, tìm x cho

Lời giải

1) Đáp số

2) Với y =

(

)

2 2

2

a b a b a b a b

P

b

b a b a b

 

− + + +

=  =

−  − 

(

)

2

b b

P b P b

b

+ +

= = + − + =

2

(2 P) P 4P

 = − − = − −

2 2

0 4

2 2

P

P P

P

  +

  = − −  = 

 − 

2 2

P  + 2 2+

(

)

(2 )

4

P b

− − − − −

= = = 2

2 +

2 2

2 2 4

x + x+ x + x− + x + x− =

(

)

(

)

2

2 2

+ − + + − − =

x x x x

(

)

2

= + − 

t x x t 2t2 + − =t

1

;

2

−

= =

x x

2 2

2 4

:

2

 − + + −  + + −

= + 

− + − + + +

 

x y x y y x x y y

A

y x y xy x x y xy x

2

0, 0, , 2

    −

x y x y y x

2 =

A

(

)

(

)

1

2 2

+ =

− + +

x A

y x x y

3 2

4 11

5

=  − + − =  =

(39)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 28 Bài 44 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 1)]

Cho biểu thức

2) Tìm tất giá trị nguyên x cho A có giá trị nguyên Lời giải

1) ĐK

ĐS

2) Biến đổi Vậy A nguyên nguyên ĐS

Bài 45: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2010 (vòng 2)] 1) Giả sử a b hai số dương khác thỏa mãn Chứng minh

2) Chứng minh số nguyên dương

Lời giải 1) Từ giả thiết, ta có

Vì (giả thiết ) nên 2) Đặt a = 2009, ta có

Vậy toán chứng minh

B = a4 + 20a3 + 102a2 + 40a + 200

a-Rút gọn A

b- Tìm a để A + B =

Lời giải Ta có

(

)

3

4

2

4

3 29 78

:

2 6 12 36

  +  − − −  + +

= − −  

+ + − − + −

   

 

x x x

A x

x x x x x x

26; 6; 3; 1;1;

 − − − −

x

3

2

− =

+

x A

x

15

2

3 = −

+

A

x

15 +

x x − − 2; 4; 0; 8;12; 18 − − 

2

1

− = − − −

a b b a

2

+ =

a b

2 2

2009 +2009 2010 +2010

2 2

1 1

+ − = + −  − = −

a a b b a a b b

(

)(

)

2 4 2 2

1 a −a =b −b  a −b a +b − =

2

− 

a b ab a2 +b2 =1

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 2

2 2 2 2 2

2

4 2

2009 2009 2010 2010 1 1

2 1

+ + = + + + + = + + + + +

= + + + + = + +

a a a a a a a a a

a a a a a a

64 16

92

20 + + + +

= a a a

(40)

B=( a4 + 20a3 + 10a2) + 2(a2 + 20a + 100) = a2(a + 10)2 + 2(a + 10)2 = (a + 10)2(a2 + 2) ;B = (a + 10)2(a2 + 2) 0;A + B dấu “=” a = -10

Bài 47 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 1)] Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :

Chứng minh x + y =

Bài 48 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2009 (vòng 2)] Các số thực x, y thoả mãn Chứng minh biểu thức

sau không phụ thuộc vào x, y

Lời giải

Bài 49: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2008-2009(vòng 1)] Cho biểu thức

Với a > 0;b > a khác b 1.Rút gọn P

2 Tìm a ,b cho b = (a+1)2 P = -1

Lời giải 10 ) 10 ( 100 20 ) ( 92 20 64 16 92 20 2 2 + = + = + + = + + + = + + + + = a a a a A a a a a a A 10  + = a

A  

(

x

)(

y

)

2 

xy xy−

3 3 3 2 2 2 2 2 − − +       + − + − = xy xy xy xy xy xy y x xy P 2 ) )( ( ) ( 2 ) )( ( 2 2 ) ( 2 ) )(( ( 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 = − − + − + + = − − + − + + − + = − − +         + − + − + = − − +         + − + − = xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy y x xy P xy xy xy xy xy xy xy xy xy P xy xy xy xy xy xy y x xy P ) ( : b a ab a a ab b b b a b a b a b a

P − −

     − + − − − + + + =

Câu 3: ( điểm) Giải hệ phương trình

(41)

Nếu a > b >

Nếu < a < b

2 Khi P = -1 a < b

Bài 50 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2008-2009(vòng 2)] Cho ba số dương a,b,c thoả mãn

Chứng minh đẳng thức

Lời giải

Ta có

:

2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

:

2

( )( )

( )

:

2

( )( )

2 ( )

:

( )( )

a b

a b a b b a

P

a b a b a b b a b a a b

a b

a b ab b a a b a b a b

a b P

a b a b a b ab

a b

a b a ab b ab ab b a a ab ab

P

a b a b a b ab

a b ab a b

P

a b a b a b ab

−

 

+ +

=  + + −

+  − + − − 

−

 + + + + − 

+

=  −

+  − + 

−

 

+ + + + + −

=  −

+  − + 

 

+ +

=  −

+  − + 

( )( )

2

2 ( )

2

a b

a b a b a b ab

P

a b ab a b

a b

P

−

+ − +

= −

+ +

− −

= −

0

2

a b a b

P= − − − =

2

a b b a

P= − − − = a− b

1 (1 )

: 1;

P a b a a a a

Vi a a b

= − = − + = −  − =

  = =

2

, , ( )

bc a+ b  c a+ =b a+ b− c

2

( )

a a c a c

b b c b c

+ − = −

+ − −

2

( ) 2

2 2

a b a b c a b a b c ab ac bc

c ac bc ab

+ = + −  + = + + + − −

 = + −

2

( )

(*)

( )

a a c a a ac c

b b c b b bc c

+ − = + − +

(42)

thay Vào (*)

Ta có

Bài 51 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2019-2020 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Tính giá trị biểu thức

4

2

2 38

4

x x x x

A

x x x = +2

Lời giải Ta có x 2 3 x 2 3 x2 4x 1 0

2 4 5 4 1 4 2

x x x x

4

2 38

x x x x

4 4 2 8 2 10 40 10 5 5

x x x x x x x x

2

A

Bài 52: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2018-2019 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Rút gọn biểu thức :

2 2 2

2

2 2

4

: ,

a a b a a b a a b

P a b

b

a a b a a b

 + + − +  −

= −   

− + + +

 

Lời giải

2 2

c= ac+ bc− ab 2

2

( ) 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( )( )

; ( )

( )( )

a a c a a ac c a b b ac bc ab ac

b b c b b bc c a b a ac bc ab bc

a b b bc ab a b c b b c a

a b a ac ab a b c a a c b

a b c a c a c

dpcm

a b c b c b c

+ − = + − + = + − + + − −

+ − + − + + − + + − −

+ − + − + − − − +

= =

+ − + − + − − − +

+ − − −

= =

(43)

(

) (

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

4

: ,

2

a a b a a b a a b

P a b

b

a a b a a b

a a b a a b b

a a b a a b a a b

a a b a a b a a b a a b b

a a b a a b

a a b b a a b

b a a b a a b

a b k a b

 + + − +  −

= −   

− + + +

 

+ + − − +

=

+ + − + −

+ + + + − + + − +

=

− − −

+ +

= =

− −

+ − =

2 2

0

hi a

a b

khi a a b



 

 

+

− 

 −



Bài 53 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

Cho biểu thức

2

x x

P

x

3 2 2

2

x x x

Q

x với x 0;x 4

a) Rút gọn biểu thức P Q b) Tìm tất giá trị x để P Q

Lời giải

Cho biểu thức

2

x x

P

x

3 2 2

2

x x x

Q

x với x 0;x

a) Rút gọn biểu thức P Q Với x 0;x ta có

3

2

2 2

2

2 2

1

2 2

1

2 2

x x

x x x x x

P x

x x x

x x

x x x x x x x

Q x

x x x

b) Tìm tất giá trị x để P Q

Với x 0;x ta P x Q x Khi

2

2 1 2

1 3

P Q x x x x x

(44)

Kết hợp với điều kiện xác định ta x thỏa mãn yêu cầu toán

Bài 54 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2016-2017 (Chung)] a) Giải phương trình x2 5x 6 0.

b) Tính giá trị biểu thức A 12 27 108 Lời giải a) Giải phương trình x2 5x 6 0.

Ta có 1nên phương trình có hai nghiệm x 2;x b) Tính giá trị biểu thức A 12 27 108

Ta có A 3 3 3 3

Bài 55 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2016-2017 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

a) Phân tích đa thức thành nhân tử

b) Rút gọn biểu thức với

Lời giải

+ Nếu

Bài 56: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2015-2016 (Chung)] 1 Cho hai số a1 2;a2 Tính a1 a2

4 5 5 5 6

P x x x x x

4 2 2

5 6 1

P x x x x x x x x x x x x x

2

4 1

1

4

x x x x

Q

x

x x

1

x x

2

1 1 1 2

1

1 1 2 1 1 2

1

2

x x x x x

Q

x x

x x x x x x

x x x

x

1 x 1 1 2

2 1

x x x

Q

x x x

2

x 1 1 2

2 1

x x x

Q

(45)

2 Giải hệ phương trình

2

x y

Lời giải 1) Ta có a1 = +1 2;a2 = −1 2a1+a2 =2

2) Hệ phương trình 2 5

2 1

x y x y x x

x y x y x y y

 + =  + =  = −  = −

  

 − = −  − = −  + =  =

  



Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (-1; 1)

Bài 57 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2015-2016 (Chung)]

Cho biểu thức : 0,

4

2 2

a a a

A a a

a

a a a

1 Rút gọn biểu thức A

2 Tính giá trị biểu thức A với a Lời giải

1) Ta có:

(

)

(

)

(

)

4

a a a a a

A a

a

− − + + −

= +

−

2 1.

(

)

4

a a a a a

a

a a

− − − + −

= + = −

− −

2) Ta có a= +6 =

(

)

a

Khi đó: 1

2

2 2 2

A

a

= = = = −

− − − −

Bài 58 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh2015-2016 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

Cho biểu thức:

1

1 2

x x x x x x x x

P

x

x x x x x

1 Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P

2 Tính giá trị biểu thức P

5 49 20 6

4 9 3 11 2

x

Lời giải

(46)

Cho biểu thức

(

)

2

1 ,

1

x x x

P x x

x x

 −  − 

= −  +  

− −

   với x0,x1

1) Rút gọn P

2) Tìm số phương x cho

P số nguyên

Lời giải

(

)

(

)(

)

2

(1 )(1 )

1

1 1

x x x x

P x x

x x x

 

 − + +  − 

= −  + 



− − +

  

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2

1

1 1 1

1

x x x x x x x

x x

= − + + + = − + = −

+ +

Ta có x

P  − ước gồm:  1,

Từ tìm đượcx 





Bài 60: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013-2014 (Chung)] a) Giải phương trình: 2x − =3

b) Với giá trị x biểu thức x −5 xác định? c) Rút gọn biểu thức: 2 2

2

A= + −

+ −

Lời giải a,Ta có 2x =3

3  =x

b, x −5xác định x −50 x

c, A= 2( 1) 2( 1)

2

+ −

= 2=2

Bài 61 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013-2014 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

a) Rút gọn biểu thức 2 :

1 1

x x x

A

x x x x x x x

 + +  +

= + + 

− + + − + +

  với x0, x1

b) Cho

(

)

3

3 10 21

x

− +

=

+ + , tính giá trị biểu thức

(

)

4

P= x + x−

Lời giải

a, 2 1

( 1)( 1)

x x x x x x x

A

x x x x

+ + + − − − − + +

= 

(47)

1

( 1)( 1)

x x x

x x x x

− + +

=  =

− + + +

B,

(

)

3

2

3 ( 1) ( 1)( 1) 2

5

20 2( 2)

( 20 1)

x

− + − +

= = = = −

+ +

2

4 1

x x P

 + − = = = −

Bài 62 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2012-2013 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Rút gọn biểu thức sau:

A= 4− 10 5− − 4+ 10 5− Lời giải

Nhận xét A 0

(

)(

)

2

A = −4 10 5− + +4 10 5− −2 4− 10 5− 4+ 10 5−

8

= − +

(

)

8

= − +

(

)

6 5

= − = −

Vậy A= −1

Bài 63 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2018-2019 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho hai biểu thức A x x x x 2(x 1)

x x x x x

− + +

= − +

− + 1

x

B x

x

= + +

− với x0, x 1 a Rút gọn biểu thức A

b Tìm x để A B=

2 Cho a, b hai số thực thỏa mãn 0 a 1, 0 b 1, a b a b− = 1−b2 − 1−a2 Tìm giá trị biểu thức Q= a2 +b2 +2019

Lời giải

1 a Ta có 1 2( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2( 1)

( 1) ( 1)

x x x x x x x x x x x x

A

x x x x x x x x x x

− + + − + + + − + +

= − + = − +

− + − +

2 x 2(x 1) 2(x x 1)

x x x

+ + +

= + =

Vậy A 2(x x 1)

x

+ +

(48)

2( 1) 2 2 2 2 4

1

x x x

A B x x x x x x x

x x

+ + −

=  =  − = −  =  =

− (TMĐK)

Vậy với x =4 A B= 2

2

2 2

2

1 1

1

a b

a b b a a b a b b a

b a

−

− = − − −  − =  + = − + −

− + −

Từ ta có hệ:

2

2 2

2

1 1 1 2020

1

a b b a a b a b Q

a b b a

 − = − − −

  = −  + =  =



+ = − + −



Bài 64 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] a) Rút gọn biểu thức A = 2.

(

)

b) Tìm m để đường thẳng 2

y= +x m + đường thẳng y=

(

m

)

x

Lời giải

(

)

( )

(

)

2

) 2

2

2 3.1 1

2 1

a A = + − −

= + − −

= + − + −

= + − −

= + − − =

b) Hai đường thẳng cắt a   −  a' m m

Giả sử hai đồ thị cắt điểm AOy A

(

yA

)

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho :

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2

2 11

3

3 3 (*)

x m m x

m x m

m x m m

+ + = − +

 − = −

 − = − +

Hai đồ thị cắt A nên x =0là nghiệm phương trình (*)

(

)

0.( 3) ( 3)

( 3)( 3)

3

m m m

m m

 − = − +

 − + =

− = =

 

   

+ = = −

 

Với m =3(loại) đường thẳng trùng

Vậy với m = −3thì hai đường thẳng cắt điểm trục tung

(49)

Cho biểu thức

2

1

:

x A

x x x x x x

+ −

=

+ + − +

4

5 2025

B=x − x − x+ với x0,x1 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị xđể biểu thức T = −B 2A2đạt giá trị nhỏ

Lời giải a) Điều kiện x0;x1

(

) (

)

(

) (

)

(

)(

) (

)(

)

2

1 1

:

1

1 1

1

x x x

A x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x

x x x x x x

x x

+ − + +

= = − = −

+ + − + + + + +

+

= − + + = + − = −

+ +

b) Ta có:

2

T = −B A

(

)

(

)

(

)

2

4

4 2

4

4 2

2

5 2025

7 2023

8 16 4 2003

4 2023

x x x x

x x x x x

x x x

x x x x

x x

= − − + − −

= − − + − + −

= − − +

= − + + − + +

= − + − +

Vì

(

)

(

)

4 0, 2003

x −  x−   T

Dấu “=” xảy

2

4

2

x x

x

 =

 − = 

  = −  =

− =

  =



Vậy với Tmin =2003 =x

Bài 66 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

Cho biểu thức 2

1

x x

P

x x với x 0;x

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị x để

P

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x x P Lời giải

Cho biểu thức 2

1

x x

P

x x với x 0;x 1

(50)

2

1

1 1 1

1 2

1

x x x x x x

P

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x

P

Với x 0;x ta có

1

x P

x ,

3

8 3

4

3 3

x

P x x x x

x

x x x x

Kết hợp với điều kiện xác định ta x thỏa mãn yêu cầu tốn c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x x P

Với x 0;x ta có

1

x P

x , ta

2

4 4

1

x

A x x P x x x x x x

x

Ta có

2

2 8 8 2 8

A x x x x x , dấu xẩy x

thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy giá trị nhỏ A 8, đạt x

Bài 67 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2016-2017 (Chung)] Rút gọn biểu thức A 27 48

Lời giải Rút gọn biểu thức A 27 48

Ta có

2

27 48 9.3 16.3 3 3 1

A

Bài 68 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2016-2017 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] a) Đặt a 2;b 32 Chứng minh 1 a b a b

(51)

b) Cho x 28 28 Tính giá trị biểu thức P =

3

6 21 2016

x x x

Lời giải

a) Đặt a 2;b 32 Chứng minh 1 a b a b 1

a b b b a

Ta có 1 a b a b 1 a b a b a b

a b b b a b b a

2 2

1

a a b

VP a b

b b a

Do a 2;b 32 nên

2

2; 1 1 2 1

a b a b

b VP a VT

b b b a

Từ ta có điều phải chứng minh

b) Cho x 28 28 Tính giá trị biểu thức P x3 6x2 21x 2016 Ta có

3

3 3 3

3

2 28 28

28 28 28 28 28 28 20

x

Từ ta x3 6x2 12x 8 20 9x x3 6x2 21x 28 Do P x3 6x2 21x 2016 28 2016 2044

Bài 69 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2015-2016 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

1

2

x x

A

x

x x x x vớix 0,x

a) Rút gọn A b) Tìm x để

Alà số tự nhiên

(52)

2

1 1

:

2

1

2

3

2

1

2

x x

A

x

x x x x

x

x x

x

x x

a) để

A số tự nhiên

1

x

là số tự nhiên suy x 12 x

Bài 70 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013-2014 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

Cho A 13 48

6

+ − +

=

+ , chứng minh A số nguyên

Lời giải

Ta có:

(

)

2

2 13 48

A

6

+ − +

= =

+ +

(

)

2

2 3

2

6

+ −

= =

+ +

2

6

+ +

= =

+ +

(

)

2

1

+

= =

+

Vậy A số nguyên

Cho A = 2 2

(53)

Cho A = 2 2

2012 +2012 2013 +2013

Đặt 2012 = a, ta có 2 2

2012 +2012 2013 +2013 = a2+a (a 1)2 + 2+ +(a 1)2

2 2

(a a 1) a a

= + + = + +

Bài 72 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2013-2014 (Chung)] Rút gọn biểu thức: A 27 48 75

2 Giải phương trình:

x 3x 6x

Lời giải a) A 3 15

b)

x 3x 6x x4 2x2 x2 6x 2

x x

* Nếu

x x x2 x 16 17

Phương trình có nghiệm là: x 17

* Nếu

x x x2 x  phương trình vơ nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm x 17

Bài 73 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2010-2011 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho A= 2+ 3 2+ 2+ 3 2− 2+ 3

 

= + +  − −

+ +

 

1 1

B 5 2 3 2

5 2 5 1

So sánh A B

Lời giải

Cho a 2 : 1 1

7 1 7 1

 

=  − 

+ − + +

 

Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Lời giải

(54)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 43 k 2 2

2k 1 a

(k k )

+ =

+ với k =1; 2; 3; ; 2008

Tính tổng S2008 =a1+a2 +a3+ +a2007 +a2008

Lời giải

Bài 76: [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2019-2020 (Chuyên)]

Cho a b c, , ba số thực thỏa điều kiện a b c+ + =1 Tính giá trị biểu thức:

(

)(

)

3 3

3

A=a + + −b c ab c c+ −

Lời giải Ta có: ab c+ =ab c a b c+

(

) (

a c b c

)(

)

và c− = − +1

(

a b

)

Do đó: 3 3 3

(

)(

) (

)

3

A=a + + +b c a b b c c+ + +a = a b c+ + =

Bài 77 : [Đề thi vào lớp 10 chun TP Hồ Chí Minh 2017-2018 (Vịng 1)] Biết a b số dương, a bvà

2

: a a b b a a b b 3

a b b a

ab

a b a b

Tính S 12 2ab2 a b

Lời giải Biết a b số dương khác

2

2 2 3

2

2 2

2

: 3

4 4

: 3

3

: 3 :

a a b b a a b b

a b b a

ab

a b a b

a ab b b ab b a b

ab

a b a b

a b

a b ab ab a b a b a b

a b

Khi ta có a b 1 a2 2ab b2 1 a2 b2 1 2ab Do

2

1

ab S

a b

Bài 78 : Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014] Thu gọn biểu thức: 7 2

7 11

A= + + − − −

(55)

Lời giải

Bài 79 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2008-2009] Thu gọn biểu thức sau:

a) S = a b c

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)− − + − − + − − (a, b, c khác đôi một)

b) [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2008-2009]

P = x x x x

x 2x x 2x

+ − + − −

+ − − − − (x ≥ 2)

Lời giải

a) S = a b c

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)− − + − − + − − (a, b, c khác đôi một)

= a(c b) b(a c) c(b a) (a b)(b c)(c a)

− + − + −

− − − =

ac ab ba bc cb ca (a b)(b c)(c a)

− + − + −

− − − =

b) P = x x x x

x 2x x 2x

+ − + − −

+ − − − − (x ≥ 2)

=

2

2 ( x 1) ( x 1)

2x 2x 2x 2x

 − + + − − 

 

 

+ − − − −

=

2

2 x 1 x 1

( 2x 1) ( 2x 1)

 − + + − − 

 

− + − − −

= x 1 x 1

2x 1 2x 1

 − + + − − 

 

− + − − −

= x 1 x 1

2x 1 ( 2x 1)

 − + + − − 

 

− + − − − (vì x ≥ nên x 1−  2x 1− ≥ 1) = x 1−

Bài 80 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2019-2020 (Chuyên Tin học)] Chứng minh rằng:

1 1 44

45 1 2+ +3 2+2 + +2025 2024+2024 2025 =

2 Cho x số thực âm thỏa mãn x2 12 23

x

(56)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 45 3 A x x = + Lời giải

1 Xét: 1 1

( 1) 1( ) 1

n

n n n n n n n n n n n n

n

+ −

= = = −

+ + + + + + + +

Áp dụng đẳng thức ta có:

1 1 1

1 2

1 1

1

3 2024

2 2 2025 2024 2024 2025 2025

2025

1 44

1 (dpcm)

45 45 − + − + + − = − = + + + + = + = − +

2 Từ giả thiết

2 2 2 23 1

25 ( 0)

1 23 x x x x x x do x x x  +  − =        +  =  + = −    + =  Ta có: 3 3

1 1

3

1

=

= ( 5) 3( 5)

= -1

10

x x x

x x x x A x x  +  −  +           +  −  +         − +  − = − =

Vậy A = -110

Bài 81 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2017-2018 (Chung)] Cho biểu thức: A = 

     + − 1 x x :       + − + + − + − − + 2 x x x x x x x

Với x 0 ; x4 ; x 9

(57)

1) A = 

     + − 1 x x :       + − + + − + − − + 2 x x x x x x x

A =

1

+

x :

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

2 2 3 − − + + − + − − + x x x x x x x

A =

1

+

x :

(

)(

)

2 − − + + + − − x x x x x = 1 +

x :

(

)(

)

3 − − − x x x = 1 +

x :

1 −

x =

2 + −

x x

2) A =

1 + − + x x = 1-1 + −

x Để A nhận giá trị nguyên + −

x đạt giá trị nguyên Hay -3

(

x

)

x

Nên x+1=1 x = x = thỏa mãn

1 +

x =-1 x = -2< không thỏa mãn

1 +

x =3  x =  x = thỏa mãn

1 +

x =-3 x = -4< không thỏa mãn x = x = A nhận giá trị nguyên

Bài 82 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2016-2017 (Chung)]

Cho biểu thức 11

9

3

x x x

A x x x + − = + + −

+ − (Với x0;x9)

a/ Rút gọn A

b/ Tìm tất giá trị x để A 0

Lời giải a/ Rút gọn A

2 11

9

3

x x x

A x x x + − = + + − + −

(

)(

)

2 11

3 3

x x x

A

x x x x

+ −

= + +

+ − + −

(

) (

)(

)

(

)(

)

2 3 11

3

x x x x x

A

x x

− + + + + −

=

+ −

(

)(

)

2 11

3

x x x x x

A x x − + + + + − = + −

(

)(

)

(

)(

)

) (

)

3

3 3 3

x x

x x x

A

x x x x x

+ +

= = =

+ − + − −

Vậy với x0;x9

3 x A x = −

(58)

A   3

x

x−  

3

0

3

x

x x

x

  

 −  = 

  =

  

  

−  

 

Kết hợp điều kiện => x > x = A 0

Bài 83 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2016-2017 ( Chun Tốn)] a) Chứng minh rằng: 1 1931

1975 1+3 2+ +2016 2015  b) Với a > 8/3, chứng minh rằng: 3

3a− +1 a 8a− +3 3a− −1 a 8a− =3 Lời giải

a) Ta có:

1 1 1

1.2 2.3 2015.2016

2 2016 2015

1 1 1 2015 1931

1

2 2015 2016 2016 2016 1975

+ + +  + + +

= − + − + + − = − = 

b) Đặt: 3

3 3

= − + − + − − −

A a a a a a a

(

)

(

) (

)

(

)

3

3 3

3 3 3 3

= − + − + − − −

+ − + − − − − − + − + − − −

A a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

(

)

(

)

3

6 3

= a− + a− −a a− A

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3

2

6

2 3

2

1 1

1

= − + − + − +

= − + − +

= − − −

 − + − − − =

 − + + − − =

 

 −  + + − =

 = + + − 

a a a a a A

a a A

A A a A a

A A A a A

A A A a

A Do A A a

Bài 84 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 ( Chung)]

Cho biểu thức: : ( 0, 4)

2 4

a a a

M a a

a a a a a

+

 

= +   

− − − +

(59)

Rút gọn biểu thức M

Tìm tất giá trị a để M ≤

Lời giải

a/ Rút gọn biểu thức M ( a > a ≠ 4.)

2

1 :

2 4

1 :

( 2) ( 2)

( 2) ( 1) ( 2)

2 2

( 2)

a a a

M

a a a a a

a a a

a a a a

a a a a a a

a a a a a

a a a a

+

 

= + 

− − − +

 

  +

= + 

− − −

 

  − + −

= +  =

− − + − +

 

= − = −

b/ Tìm tất giá trị a để M ≤

0 ( 2) 0( 0)

2

M a a a do a

a a

 = −  = −  

=  = 

Kết hợp điều kiện : Với < a < M ≤ Khơng xảy dấu = a ≠ a ≠

Bài 85 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Tin)] a) Chứng minh 2+ = 6+

b) Cho

1 − − =

x x = Tính

6

4

3 2015

− + − +

=

− − − +

x x x x

P

x x x x

Lời giải

a) Ta có + = + =

(

)

2

2 6

b) Ta có

(

)(

)

(

)(

)

− + − − − +

− + − +

= = = =

− − − + + + + + − − +

4 2

6

6 2

x 2x 2x x x x 2015

x 3x 3x x 2015 2015

P

2015

x x 3x 3x 2015 x x 2x 2x x x 2015

Bài 86 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chun Tốn)] Cho biểu thức:

(

)

− + − − − +

=

− − −

1 x x x

M

x x

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị nhỏ M

(60)

(

)

(

)

2

1 x x 1

1 x x x

M

x x x 1

1 x 1 x

1 x x

 

− +  − −  +

− + − − − +  

= =

− − − −

− + − − +

= =

− −

b) Vì 0 x nên ta 1− x 1 2 M 1− x    Vậy giá trị nhỏ nhât M 2, xẩy x =0

Bài 87 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Tin)]

Cho biểu thức: P 16

2 3

x x x x

+ − + −

= − −

+ − + − ( Với x > 0)

1 Rút gọn biểu thức P

2 Tính giá trị biểu thức P x = 2 + Lời giải

1) Ta có:

3 16 3

P

2 3 ( 3)( 1)

x x x x x x x x

+ − + − + − + −

= − − = − −

+ − + − + − + −

3 ( 1)( 1) ( 3)( 3)

( 3)( 1)

x x x x x x

x x

+ − − + − − − +

=

+ −

3

( 3)( 1)

x x x x

x x

+ − − + − +

=

+ −

4

( 3)( 1)

x x

+ +

=

+ −

( 3)( 1)

x x

+ +

=

+ −

1

x

+ =

−

2) Ta có:

2

x = + = ( +1)2 (Thoả mãn ĐKXĐ)

=> x = +1

=> P 1

x x

+ =

− =

2 1 1 + + =

− +

2

2 +

= = +

(61)

Tính giá trị biểu thức:

2 2 2

1 1 1

1

1 2 2013 2014

S = + + + + + + + + +

Lời giải

Ta có:

2 2 2

1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1

( 1) ( 1) ( 1)

a a a a a a a a

a a a a a a

+ + + + + + + +

+ + = =

+ + +

4 2 2

2 2

2 ( 1) ( 1) ( 1) 1

1

( 1) ( 1) ( 1)

a a a a a a a a

a a a a a a a a

+ + + + + + + +

= = = = + −

+ + + +

Vậy: S (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 )

1 2 3 2013 2014

= + − + + − + + − + + + −

S = 2013 - 2014

Cho biểu thức C a 2

a 16 a a

= − −

− − +

1 Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C Tính giá trị biểu thức C a= +9

Lời giải

1/ Tìm điều kiện a để biểu thức C có ngĩa, rút gọn C

+ Biểu thức C có nghĩa

a a 0

a 16 a 16

a 0, a 16

a a 16

moi a

a



  

 −  



 = =  

 −   

 

 +   



+ Rút gọn biểu thức C

(

)(

)

a 2 a 2

C

a 16 a a a a a a

= − − = − −

(62)

(

) (

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

a a a a 2 a 8 a 8 a 4 a

C

a a a a a a

− + − − − − − + −

= = =

− + − + − +

(

)(

)

(

)(

)

) (

)

a a

a a a

C

a a a a a

− −

= = =

− + − + +

2/ Tính giá trị C , a= +9

Ta có : a= +9 5= +4 5+ =5

(

)

(

)

(

)

C

2

a

+ +

= = =

+ + +

+

Bài 90 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2014-2015( Chuyên Nga Pháp)]

Cho biểu thức: P =

2

3

1 a :

1 a a

 

+ −  + 

 

+

   − 

a) Rút gọn A; b) Tìm a cho P =

2 1 a−

Lời giải

a) Điều kiên: a a *

( )

 − 

 −    + 



(

)(

)

2 2

2

3

P a :

1 a a

3 a a 3 1 a

:

1 a a

3 a a

1 a a

1 a

 

= + −   + 

+

   − 

+ − + + −

=

+ −

+ − −

=

+ + −

= −

(63)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

3

2 1 a

1 a a a 1 a a 1 2a a a 1 2a a a 2a a

a a a

a a a a

do (*)

1

a

2 − =

−

 − + =

 − + + =

 − + + − + =

 − − =

 =



 −

 = 

Bài 91 : [Đề thi vào lớp 10 chun Lam Sơn - Thanh Hóa 2013-2014( Chun Tin)] Tính giá trị biểu thức: P 2x 2x

1 2x 1 2x

+ −

= +

+ + − − với

3

x

4 =

Lời giải

Với

4 =

x thì:

(

) (

)

(

) (

)

2

3 1

1 3

2 4

2 1

1 3

2 4

+ = + = + + = +

− = − = − + = −

x

Từ suy ra:

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

3

1

2 3

2

1 3 3 3 3

1 1

2

2 3 3 3 6 3 6 3 3

1

3 3

+ − + −

= + = +

+ −

+ + − −

+ − + − + + − + − −

= = =

−

+ −

P

Bài 92 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chung)

Cho biểu thức 1

1

a a

P a

a a a a

 + − 

= − + 

− +

  , (Với a > , a 1)

1 Chứng minh :

P a

= −

2 Tìm giá trị a để P = a

(64)

1 Chứng minh :

P a

= −

1 1

4

1

a a

P a

a a a a

 + − 

= − + 

− +

 

(

) (

)

(

)(

)

(

)(

)

2

1 1 1

1

a a a a a

P

a a

a a

+ − − + + −

=

+ −

(

)(

)

2 4

1

a a a a a a a

P

a a

a a

+ + − + − + −

=

+ −

4

1

a a P

a a a a

= =

− − (ĐPCM)

2 Tìm giá trị a để P = a P = a

2

 = = − − =

− a a a

a

Ta có + + (-2) = 0, nên phương trình có nghiệm a1 = -1 < (khơng thoả mãn điều kiện) - Loại

2

a

1 −

= c = =

a (Thoả mãn điều kiện)

Vậy a = P = a

Cho biểu thức : :

2

 

= + 

+ +

 

x x

P

x x x x (Với x > )

1 Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P =

Lời giải Cho biểu thức :

2

:

2

 

= + 

+ +

 

x x

P

x x x x (Với x > )

1 Rút gọn biểu thức P Với x > ta có

:

2 2

  + +

= −  = =

+ +

 

x x x

P

x x x x x

2 Với x > 0, P =

4 4

(

)

2

+ +

 x x =  +x x+ − x=  −x x+ =  x− =

(65)

 =x (T/m đ/k)

Bài 94 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chuyên Nga Pháp)]

5

x x x x

A

x x x x x

 + + +   

= − −    − 

− + − − +

   

1/ Rút gọn biểu thức A

2/ Tìm giá trị x để

A −

Lời giải

5

x x x x

A

x x x x x

 + + +   

= − −    − 

− + − − +

   

1/ Rút gọn biểu thức A

2

:

5

x x x x

A

x x x x x

 + + +   

= − −    − 

− + − − +

    (ĐK: x  0, x  4, x  )

A = … =

4

x x

+ −

2/ Tìm giá trị x để

2

A  −

1 5

2 5

2

1

2 3

2

1

4

x

x x

A x

x x x x

x

−

 −   −  −  − −

+

 + −   −     

  

Kết hợp với ĐK 

x

 

Bài 95 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chuyên Nga Pháp)] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2

(

a 

)

+

1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2)

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ)

Lời giải

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2

(

a 

)

= bx +

1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) M (P)  …  a =  y = 2x2

(66)

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ)

Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x +  2x2 - x - =

( )

1

1; ; ;

1 2 2 x y M N x y =  =      −   = −  =   

(

)

0, 75 (dvv)

MON thang

S

=

S

−

S

+

S

= =

Bài 96 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2011-2012( Chun Tin)]

1 Giải phương trình:

2 17

2−x= − x − x

2 Chứng minh rằng:

2 12 17 12 17 4 = − + + Lời giải

a)Giải phương trình

2 17

2−x= − x − x



(

x

)

x



x

+

8

x

+

4

−

4

2

x

+

4

x

−

8

2

x

=

17

−

4

2

x

−

8

2

x



x

+ x

12

−

13

=

0

Đặt t = x2 (t0)

Ta có phương trình; t2 + 12t – 13 =

Phương trình có hai nghiệm phân biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại)

t1=1 x2 = 1x= ±

b)Chứng minh rằng:

2 12 17 12 17 4 = − + +

VT =

2 12 12 2 12 17 12

17 4

4 + + + − +

= − + + =

(

) (

)

(

)

3

4 + + + − +

= −

+ +

=

(

) (

)

2 2 2

2+ + − = + + − =

= VP

Vậy :

2 12 17 12 17 4 = − + + (đpcm)

Bài 97 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2011-2012( Chung)] Cho biểu thức:

3 2 3 11 15 + + − − − + − + − = x x x x x x x A

(67)

2/ Chứng minh

A 

Lời giải 1/ Rút gọn biểu thức:

(

)(

)

15 11 2 15 11 2

2 3 3

x x x x x x

A

x x x x x x x x

− − + − − +

= + − = + −

+ − − + − + − +

(ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1) A=

(

)(

)

x x x

x x

− + − − +

− +

=

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

15 11 3

1

x x x x x

x x

− + − + − + −

− +

=

(

)(

)

15 11 3

1

x x x x x

x x

− − + − − + −

− + =

(

)(

)

5

1

x x

− + −

− +

=

(

)(

)

(

)(

)

1

x x

− − +

− + =

(

)

5

3

x x

− +

+

2/ Chứng minh

A 

Ta có:

(

)

x

− +

+ =

(

)

3 17

17

+ + − = +

+ + −

x x

x

Do x + 3 với x 

3 17

 +

x  − + x + − + = 3x 17 17

5

Vậy

3

A  (với x t/m điều kiện)

Bài 98 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2010-2011( Chun Tốn)] Giải phơng trình:

3 140

x + x− =

2 Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: 3

70 4901 70 4901

= + + −

P

Lời giải

1) Ta có:

3

3 140 ( 5)( 28)

x + x− =  x− x + x+ =

5

x

 − = (

2

2 87

5 28 0,

2

 

+ + = +  +  

 

do x x x x )

5

x

 =

Vậy, phơng trình có nghiệm nhất: x = 2) Với P = 370+ 4901+ 70− 4901 ta có:

3

140 3 140

(68)

Do P nghiệm phơng trình:

3 140

x + x− =

Theo ý 1, phơng trình có nghiệm nhất: x =0

Vậy 3

70 4901 70 4901

P = + + − =

Cho biểu thức: A = : 10

4 2

−  − +   − +   − − +   +      x x x

x x x x x x

1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A <

Lời giải

a) ĐK: x>0 ;x 4

A = 

    + − + −       + + − − − 10 : 6 x x x x x x x x x

A =

(

)

      + + − − − ) (

4 x x

x x x :

(

)(

)

x

A =

(

)

      + + − − − ) (

4 x x

x x : 10 + − + − x x x

A =

(

)(

)

(

)

      + − + + − + − + − 2 ) ( ) ( 2 x x x x x x x x : 10 + − + − x x x

A =

(

)(

)

x

A =

(

)(

)

x

x : 2

6 +

x

A = 1

2

− =

− −

x x

b) với x>0 ;x 4 ta có : A < 

2 − x <

2 -

(69)



2

− −

−

x

x =

3 2

− −

x x >

3

2 4

9

3 0

4

2

 −  

 −   

 

 −  

   

 

− 

   

x

x x

x

Vậy với x4

 x A <

Bài 100 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2009-2010 (Chuyên Toán)

Cho số x

(

x xR

)

thoả mãn điều kiện: x2 +

2

x =

Tính giá trị biểu thức: A = x3 +

3

x và B = x 5 +

5

x

Giải hệ phương trình:

1

2

1

2



+ − =

  

 + − =

 

y x

x y

Lời giải

Bài 101 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2008-2009 (Chuyên Tin) Cho phương trình : 4x2 + 2x - 2 = (1)

1 Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 nghiệm dương phương trình (1) Chứng minh rằng:

1

4

1 1

x +

= x + x + - x

Lời giải

Bài 102 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2008-2009 ( Chun Tốn) Tính giá trị biểu thức M = +

1 + 2a + 1 - 2a + 1,

biết rằng: a =

x + y x + z

(

)

(

)(

)

49 13

=

z - y 2x + y + z x + z

Lời giải

Bài 103 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2005-2006( Chuyên Tin) Cho biểu thức P(x) = x +12x + 12 - 3x.2 Gọi x1 , x2 nghiểm phương

trình x2 – x – = Chứng minh:

( )x1 ( )x2

P = P

(70)

Lời giải

Bài 104 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 09-10 (Chun Tốn )] Giải phương trình

Lời giải

( thỏa mãn )

Bài 105: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2014-2015 (Vòng )] Rút gọn biểu thức

với

Lời giải

Ta có

=

Bài 106 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2012-2013 (Vòng )]

3 x+ +2 7− =x 3

3

2

x+ + − =x

(

)

3 3

2 7 27

x x x x x x

 + + − + + − + + − =

3

9 (x 2)(7 x) 27

 + + − =

3 (x 2)(7 x) 2

 + − =

(x 2)(7 x)

 + − =

2

5

x x

 − − =

1

x

= −    =



2

,

( )

x x y y x y

A xy

x y

 +  +

= − 

− +

  x y , xy

3

2

( )

x y x y

A xy

x y

 +  +

 

= −

 +  −

 

(

)

x y x xy y xy

x y

+

= − + −

−

(

)

2

( )

x y x y

x y

+ −

−

(

)

(

) (

)

2

x y x y

+

= −

− +

1

x y

(71)

Chứng minh

Lời giải

Sử dụng BĐT với ta suy đpcm

Bài 107 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2011-2012 (Vòng )]

Cho biểu thức số thực dương phân

biệt Tính giá trị biểu thức

Thay ta

Bài 108 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2010-2011 (Vịng )]

1 Tính giá trị biểu thức

2 Tìm giá trị nguyên x để số nguyên

Lời giải

1, Ta có

2, Giả sử x số nguyên Ta có số nguyên, nên số nguyên 2012 2013 2011 2012 1

1 + + + + 

      + −  + 1 ) ( k k k

k k=1,2, ,2012

, ) ( ) ( y x y x y y x x y x P − − + + + + +

= x, y

21 , 21

5+ = −

= y x + − + + = y x x y y x y x P ) ( + − + = y x y x xy 21 , 21

5+ = −

= y x 21 10 + = P 3 3 + + − + = P 1 + + x x ) )( ( 3 ) 3 )( ( 3 ) (

23

+ − − + − + − + = + + − + = P 3

2+ + − =

(72)

Suy

Từ ta có

Bài 109 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2008-2009 (Vịng 1)] Tính giá trị biểu thức

với

Lời giải

Ta có:

4 ; = =

+y xy

x

Khi đó:

xy y x xy x y y x y y x

A − =− +

− + − = 5 − = − =

Bài 110 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh - Nghệ An năm 2007-2008 (Vòng 1)] Cho biểu thức

A =

a) Rút gọn A

b) Tìm x để

Lời giải a) Điều kiện: < x 

A =

(

)

(

) (

)

1 1

16

12 2

− + − − − x x x x x =

(

)

(

)

x

1=

+

x x+1=2

, , ,

0 =− = =−

= x x x

x ), 1 )( ( y x y x y y x A − − + + = 21 , 21

5+ = −

(73)

b) 2A +

x x x

2 −

= + x =

x x

2 +

Theo giả thiết ta có

x x

2 +

=

5 

0

2x− x + =

Đặt x=t (0t 1) ta 2t2-5t+2 = t = t =

2

Suy x = x =

Bài 111 : Cho hàm số f(x) = (x3 + 6x – 5)2006 Tính f(a) với a = +

Lời giải Ta có a3 = + 17 + - 17 + 33

3+ 17 .3

3− 17.a

= – 6a

 a3 + 6a =

 f(a) = (a3 + 6a – 5)2006 = (6 – 5)2006 =

Bài 112 : [Chuyên Vĩnh Phúc năm 2011] Cho biểu thức ( ) 1

1

P x

x x

= +

− +

a) Rút gọn P x( )

b) Tìm giá trị x để P x = −( )

Lời giải

a) Điều kiện:

1

x x

  

− 

  0 x

Khi đó: ( ) 1

(1 )(1 )

x x

P x

x x

+ + −

=

+ −

2 ( )

1

P x

x

 =

−

b) Theo phần a) có: ( ) 2

1

P x

x

= −  = −

−

1 1 x

 = −

−  − = −1 x 1 =x 2 (thỏa mãn điều kiện) Bài 113 : Chuyên Hạ Long- Quang Ninh năm 2019]

Cho biểu thức

3 2

x x x x

A

x x x x

− − + − −

= + −

+ + + + (với x 0)

3

(74)

a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị lớn A

Lời giải:

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

1 2 1

4

1 2

x x x x

x x

A

x x x x x x

− + − +

− − +

= + −

+ + + + + +

(

)(

)

(

)(

)

1 1 5

1

x x x

x

x x

− + −

= =

+

+ +

B, 5

1

x A

x x

−

= = − +

+ + Với x 0ta có: x + 1 nên

6

x+ 

Do

1

A

x

= − + 

+ Giá trị lớn A đạt x =0

Bài 114 : [Chuyên Quãng Bình năm 2015] Cho biểu thức

4

:

2

x x x

P

x

x x x x

   − 

= −    + 

−

− +

    với x > 0, x ≠ 1, x ≠

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P = –1

Lời giải:

a) Ta có:

4

:

2

4 (2 ) ( 2)

:

(2 )(2 ) ( 2)

4 2

:

(2 )(2 ) ( 2)

4 ( 2)

2 2

2

x x x

P

x

x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

   − 

= −    + 

−

− +

   

+ − − + +

=

− + +

− + −

=

− + +

+ =

+ −

= −

Vậy

1

x P

x

= −

(75)

2

1 2

1

( 1)(2 1)

2

x

P x x x x

x

x x x x

= −  = −  = −  + − =

−

 + − =  =  =

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy P = –1

x

 =

Bài 115 : [Chuyên Quang Nam năm 2019] Cho biểu thức

2

1

 + +  − + −

= − 

− + + +

 

x x x x x x

A

x x x x x với x0

Rút gọn biểu thức A tìm x để A=6 Lời giải Với x0, ta có:

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

2

1

2 1

3

1

3 2

1

3

 + +  − + −

= − 

− + + +

 

+ + − − − + −

= 

+

+ − +

+ −

+ + − −

= 

+ +

−

= + − − 

+ −

= − + 

+

= − −

= − +

x x x x x x

A

x x x x x

x x x x x x x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x x x

x x

x

x x

(

)(

)

(

)

6

4 4

4 0

=  − + =  − − =

 + − − =  − + =

 − = +   

A x x x x

x x x x x

x x x

16

 =x (TMĐK)

Vậy với x=16 A=6

(76)

Cho biểu thức 1

1

x x x

A

x x

+ −

= −

− + (với x ≠ 1; x ≥ 0) Rút gọn A, sau tính giá trị A –

khi x =2016 2015+

Lời giải: a) Với x ≥ 0, x ≠ ta có

( )

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

3

2

1 1 1

1

1 1

1

x x x x x

A x

x x

x x x x

x x

A

x x

+ − + − +

= − = − −

+ −

− + − −

= =

− −

− = =

− −

Ta có x =2016 2015+ thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠

Cóx=2015 2015 1+ + =

(

)

x

1

2015

A − =

Bài 117 : [Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2015]

Rút gọn biểu thức 5

2 2

A

Lời giải:

Ta có

2

3 5 5

2

5 5

4 5

A

3 5 5 5

2

5 5

15 5 5 15 5 5 20

2 2

25 20

Vậy A

Nhận xét: Đây toán rút gọn biểu thức đơn giản, điểm đáng ý việc phát đẳng thức

(77)

số phương Dựa vào đẳng thức bậc hai ta đồng hệ số như:

2

3 a b

2

5

2

a b

a b ab a b

ab Suy

2

1

3

2

Tương tự ta có

2

1

3

2 , biểu thức A trở thành:

2

3 5 5

2

5 5

4 5

A

3 5 5 5

2

5 5

15 5 5 15 5 5 20

2 2

25 20

Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:

1 Rút gọn biểu thức 2

2

2 4

x x x x

P

x x x x

2 Rút gọn biểu thức 1 :

1

a Q

a a a a a

Bài 118 :

a) Rút gọn biểu thức P 3x 9x x x

x x x x

+ − + −

= − −

+ − + − Tìm x để P=3

b) Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện

(

)(

)

Lời giải: Điều kiện: x0, x1.Ta có

3x x x x x x

P

x x

( )( ) ( )( )

( )( )

+ − − + − − + −

=

(78)

x x x x x

( )( )

( )( ) ( )( )

+ + + + +

= = = 

− + − + −

P x x x

x +

=  =  =  =

− (thỏa mãn điều kiện)

a) Ta có 2=xy+ (x2+1)(y2+ +1) x y2+ +1 y x2+ =1 xy+ (x2+1)(y2+ +1) Q

(

)

2

2 2 2

2 Q xy (x 1)(y 1)

 − = + + + 

2 2 2

4 4Q Q 2x y x y 2xy (x 1)(y 1)

 − + = + + + + + +

Ta lại có 2 2 2

Q =x (y + +1) y (x + +1) 2xy (x +1)(y +1)

Q2 =2x y2 2+x2+y2+2xy (x2+1)(y2+1)

Do 4Q Q

− =  = 

Bài 119 : [ Chuyên Quốc Học - Huế năm 2015]

Giải phương trình: 2015 2015x−2014+ 2016x−2015 =2016

Lời giải:

2015 2015x−2014+ 2016x−2015=2016(1) ĐK: 2015

2016

x 

2

2015 x

2016

(1) (2015 2015 2014 2015) ( 2016 2015 1) 2015( 2015 2014 1) ( 2016 2015 1)

2015(2015 2015) 2016 2016 2015 2014 2016 2015

2015 2016

( 1)

2015 2014 2016 2015

x x

x

x x

  

= − − + − − =

− −

= + =

− + − +

= − +

− + − +

1

x

 

 

  =

 

 

= =

(thoả mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm phương trình (1) {1}

Bài 120 : [Chuyên Hải Phòng năm 2019]

a.Cho biểu thức: :

1 1

x x x

P

x x x x x x x

  +

= − + 

+ − + + − +

(79)

Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để

P 

b Cho phương trình x2 + 4x – m = (1) (m tham số) Tìm giá trị m để phương

trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn

(

)

1

4( 2)

x x m

x x

 

+ + = +

 

 

Lời giải:

a) :

1

x P

x x x x

+ =

− + − +

1

3

x

=

+

1 1

2

5

P x x

x

      

+

Vậy 0 x thỏa mãn tốn b)

Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt

' m m

  = +    − Áp dụng hệ thức Vi-ét:

1 2

4

x

x x

x x m

+ = − 

 = −



(

)

(

)(

)

4 16

4

m

gt m m

m

+

 = + 

2

16

m m

 =  = 

Kết hợp với điều kiện m −4;m0t m =4thỏa mãn

Bài 121 : [Chuyên Hải Phòng năm 2018]

a) Cho biểu thức 1: 1

4 2 2

x P

x x x x (với x 0;x 4)

Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để

7

P

b) Cho phương trình x2 6x 6m m2 0 1

(với m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12 6x1 x2

Lời giải:

(80)

1) Cho a b 29 12 5 Tính giá trị biểu thức

2 1 1 11 2015

A a a b b ab

2) Cho x y; hai số thực thỏa mãn xy (1 x2)(1 y2) 1 Chứng minh

2

1

x y y x

Lời giải:

1) Ta có a b 29 12 5

2

3 5 5

Theo đề 3 2

11 2015

A a b a b ab

2 2 11 2015

a b a b ab a b ab

2 2

3 a b ab a b 11ab 2015

2

4 a 2ab b 2015 a b 2015 2051

Nhận xét: Bài toán kết hợp với việc rút gọn giả thiết đồng thời đưa biểu thức cần tính ẩn giả thiết từ tính giá trị biểu thức

• Hằng đẳng thức: 2 2 2 2

2 ;

a b a ab b a b a ab b a3 b3 a b a2 ab b2

• Cho a2 a a a 0 a2 a a a 0

Và 3b3 b; b

Ý tưởng: Đây tốn địi hỏi tư cao, trước hết ta thấy giả thiết chứa thức rắc rối ta cần rút gọn giả thiết, dễ thấy 29 12 nằm bậc hai, ta biến đổi dạng phương sau:

2

2 2 2 29

29 12

2 12

x

x y

x y x xy y

y xy

2

29 12 5 29 12 5 5

(81)

chọn cách biến đổi để tìm giá trị này, biến đổi biểu thức cho xuất hiệu a b,

đó ta nhóm sau: 2 3 2

1 11 2015 11 2015

A a a b b ab a b a b ab

2 2 11 2015

a b a ab b a b ab

2 2

3 a ab b a b 11ab 2015

2

2 2

4 a 2ab b 2015 a b 2015 4.3 2015 2051

Thật ra, tìm a b ta rút a b vào biểu thức A, sau khai triển

tích ta thấy biến b tự triệt tiêu cho giá trị A số Bài toán kết thúc

1 Cho a b 5 Tính giá trị biểu thức

3

6 2016

P a b ab

2 Cho a b 14 5 Tính giá trị biểu thức

2( 1) 2( 1) 11 2016

A a a b b ab

Bài 123 : [Chuyên Hà Tĩnh năm 2014]

: Cho biểu thức :

( 9) 3

x x

P x

x x x x x

 −   

= + −   + − 

− − +  − 

  với x > 0; x 

a) Rút gọn biểu thức P

P = −

Lời giải: a)

2 ( 3) ( 3) ( 3)( 3)

:

( 9)

9

:

( 3)( 3)

9 ( 3)

9 ( 3)( 3)

x x x x x x x x

P

x x x

x

x x x x

x x

x x x x

− + + − − + − −

=

− −

− =

+ − −

− −

= =

− + − +

b)

1 1

4

3

1( )

P

x x

x TM

− − −

= = =

+

= + =

= =

(82)

Cho biểu thức

(

)

2

a

P a a

a a a

 − 

= +  − −

− −

  với a0,a 4

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị P

(

)

a= + − 

−

Lời giải:

A,Ta có: 4.

(

)(

)

a

P a a

a a

−

= + −

−

(

)

(

) (

)(

)

4

2

a

a a

−

= + −

−

4

(

a

)

a

− =

bTa có:

(

)

(

)

(

) (

)

3 3 2

3

3 2

a= + − = + −

− −

+ −

= = +

−

Suy ra: a = 1+

Khi đó: 3

(

)

P= + − =

+

Bài 125 : [Chuyên Võ Nguyên Giáp- Quảng Bình năm 2014]

a) Chứng minh A= 3+ 5 3+ + 3− 5 3+ − 3 số nguyên

(83)

ab + bc + ca = 25 a2 + + =b2 c2 (a b− )2 + −(b c)2 + −(c a)2

Tính : a + b + c

Lời giải:

A,Đặt B= 3+ 5 3+ + 3− 5 3+

Ta có: B

2 2

3 5 3 3 5 3 6 2 9 5 3

 

= + + + − +  = + − −

 

2

6 2 4 2 3 6 2( 1) 4 2 3 ( 1)

= + − = + − = + = +

Suy B= 3+1 (do B > 0)

Ta có A= −B 3 = 3+ −1 3=1 số nguyên b

Ta có : a2 + + =b2 c2 (a b− )2 + −(b c)2 + −(c a)2

a2 + + −b2 c2 2(ab bc+ +ca)=0



(

a

b

c

)

ab

bc

ca

 + + =a b c 10 (do a, b, c > 0)

Bài 126 : [Chuyên Võ Nguyên Giáp- Quảng Bình năm 2017]

Cho biểu thức: :

9

x x x x x

P

x x x x x

 −   − − − 

= −   + − 

− − + + −

   

với x0, x9,x

a Rút gọn biểu thức P

b Tìm giá trị x để P = 1

Lời giải:

(84)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

3

1 :

9

3 2

9

:

9 2 3

x x x x x

P

x x x x x

x x x

 −   − − − 

= −   + − 

− − + + −

   

 − + + − − + − 

 − − +   

=  −   

− +

   

(

)

(

)(

)

2

9

3

:

9 2 3

x x x

x

x x x

 − − − + − 

−  

=  

− − +

 

 

(

)

(

)

3 3 3

9 2

x x

x x x

− +

=  =

− − − −

b Tìm giá trị x để P = 1

Ta có:

2

P

x

=  =

−

2

x x

 − =  =

25 ( )

x TM

 =

Vậy với x =25 P = 1

Bài 127 : [ Chuyên Quảng Bình năm 2019]

Cho parabol

( )

P

y

x

d

M

( )

k

a) Chứng minh đường thẳng d cắt

( )

P hai điểm A B phân biệt với

k

b) Chứng minh OAB tam giác vuông với giá trị k (O gốc tọa độ) Lời giải:

1a) Chứng minh đường thẳng d cắt

( )

P hai điểm A B phân biệt với giá

k

Phương trình đường thẳng d qua điểm M

( )

có hệ số góc k: y

kx

d

( )

P : x

kx

Phương trình (1) có

4 0,

k k

(85)

Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng d cắt

( )

P

hai điểm ,A B phân biệt với giá trị k

b) CMR OAB tam giác vuông với giá trị k (O gốc tọa độ)

Gọi A x x

(

)

B x x

(

)

x x

x x = −

Phương trình đường thẳng OA: y= x x1

Phương trình đường thẳng OB: y=x x2

Do x x = −1 2 nên OA⊥OB Vậy OAB tam giác vuông

Bài 128 : [ chuyên Bình Định - Chung- năm 2018-2019]

1

x A

x x x x x

 

= − 

+ + + +

  , với x 0

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị x để

A 

Lời giải

a) 1 :

1

x A

x x x x x

 

= − 

+ + + +

  , với x 0

Điều kiện: x 0

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

2

1

:

1

1 1 1

1

x A

x x x x x

x x

A

x

x x x x

x x x x x

A

x x

x x x

 

= − 

+ + + +

 

  +

 

= −

 + + 

 

− + − + −

= = =

+

b) Điều kiện: x 0

1 1

2

x

A x x x x

x

−

    −     

Kết hợp với điều kiện x 0, Vậy với

x

 

2

A 

(86)

Cho biếu thức :

(

)

3

a b ab a b a b

T :

a b

a b a b

− +  − − 

=  − 

−

+  − , với ab, a0, b0

a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T >

Lời giải: a) Rút gọn T:

Với ab, a0, b0, ta có:

(

)(

)

(

)(

)

3 3 a b a b

a b ab a a b b a b a b a b ab a b ab

T :

a b a b a b a b ab a b ab

− +

+ − + − − − + + − + −

= =  =

+ − + + −

Vậy : T a b ab ab + −

= , với ab, a0, b0 b) Chứng tỏ T >

Ta có: T a b ab ab + −

= , với ab, a0, b0 (kết câu 1.a)

(

)

(

)

2

a b ab a b

T 1

ab ab

− + −

 = = +  (vì ab0, a − b 0 với ab, a0, b0)

Vậy T >

Bài 130 : [Chun Lê Q Đơn- Bình Định- năm 2019] Tính giá trị biểu thức 3

(

)

x y x

A = + − + y , biết

3

x = 3+ 2 + 3− 2 ; y = 317 +12 2 + 317 −12 2 Lời giải:

Đặt x = 33+ 2 2+ 33− 2 2 =a+bkhi

(

)

(

)

(

)(

)

3 3 3

x = a +b = a + b +3ab a + b = +3 2 + −3 2+3 3+ 2 3− 2 x

 3

x = +6 3x  x −3x =6 (1)

Đặt 3

y = 17 +12 2+ 17 −12 = +c dkhi

(

)

(

)

(

)(

)

3 3 3

y = c +d =c + d +3cd c + d =17 +12 +17 −12 2+3 17 +12 17 −12 y

3

y 34 3y y 3y 34

 = +  − = (2)

Từ (1) (2) suy A = x3+ y3−3 x

(

)

(87)

2) Giải hệ phương trình

x y

Lời giải:

1) Ta có P 3

2

3 3 3

3 3

• Quy tắc khai phương tích: Với a b, khơng âm ta có a b a b

2 2 2.3 2 3

P

• Quy tắc nhân hai bậc hai: Với a b, khơng âm ta có a b a b

2 2

P

• Hằng đẳng thức bình phương hiệu 2 2 2

a ab b a b

4

P

2

3 3

• Hằng đẳng thức

0

a khi a

a a

a a

2

3 3 3

P

(vì 3 1 0)

• Hằng đẳng thức 2

a b a b a b

2

3 3

P

2) Ta có

2

6

x y

x y x

y y

x y y

Nhận xét: Bài tốn giải hệ phương trình phương pháp Nhắc lại kiến thức phương pháp:

(88)

2 6

6 3

x y x y x y

• Thế ẩn rút vào phương trình cịn lại giải phương trình

2 6

2

6 12 3

x y

x y x y x y

y y

x y y y y

6

3

x y x y

y y

• Thay giá trị ẩn vừa giải vào ẩn rút để tìm giá trị ẩn lại

2 3

6

y

x y y y

x

x y x y x

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x y; ; Bài 132 : [Chuyên Lê Q Đơn- Bình Định- năm 2014] Cho biểu thức

2

1

a a a a

A

a a a

+ +

= − +

− + , với a >

a Rút gọn A

b Tìm giá trị a để A = c Tìm giá trị nhỏ A

Lời giải: a) Rút gọn A

Ta có:

2

1

a a a a

A

a a a

+ +

= − +

− +

Với a =0 acó nghĩa;

2

1

2

a− a+ = a−  + 

  với a > => A có nghĩa với

0

a 

( )

(

)

1 2 1

1

a a a a

A a a

a a a

 + 

+

 

 

= − + = −

− +

b)Tìm giá trị a để A =

Ta có: A= −a a Để: A = => a− a =  −2 a a− =2

Đặt: a = t có pt:

2

t − − =t t1= -1 (loại) t2 = (thõa mãn điều kiện)

(89)

c)Tìm giá trị nhỏ A

Ta có: A= −a a

2 2

1 1 1

2

2 2 4

a a      a 

= − +  −  = −  −  −

      với a >0

( vì:

2

0

a

 −  

 

  với a > 0)

Dấu “=” 1

2

a− =  =a (thõa mãn điều kiệna 0 )

Vậy:

4

nho nhat

A = −

a =

Bài 133 : [ Chuyên Bắc Giang- chung - năm 2015-2016] Giải phương trình hệ phương trình sau:

1)

2x +( 3−2)x− 3=0 2)

2

x − x − = 3)

1

3

2

2 13

x y x y

 + =

 

 + = 

Lời giải: 1)

2x +( 3−2)x− 3=0 (1)

Phương trình (1) phương trình bậc hai có tổng hệ số

2 ( 2) ( 3)

a+ + = +b c − + − = nên có hai nghiệm

3 1;

2

c

x x

a

= = = −

Vậy tập nghiệm phương trình (1) 1;

 

 − 

 

 

 

2)

2

x − x − = (2) Đặt

t=x , với t ≥ phương trình (2) trở thành

2 ( 2)( 4)

t − − =  +t t t− =  t = –2 (loại) t = (thỏa mãn) Với t = x2 = ⇔ x = ±2

Vậy tập nghiệm phương trình (2) {–2;2}

3)

1

3

2

2 13

x y x y

 + =

 

(90)

Ta có:

1

3 18 36

3

2

2 13 39

2 13

3

6 39 9.3 39

x y x y

x y

x y x y

x y

y y x

x y x y

 + =  + =  + =

  

  + =  + =

 

 + = 

= = =

  

  

+ = + = =

  

Vậy nghiệm hệ phương trình (2;3)

Bài 134 : [ Chuyên Bắc Giang- chung - năm 2015-2016]

1) Cho biểu thức: 11

2

x x x

A

x x x x

− −

= − +

− − + −

a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa, rút gọn A

b) Tìm số phương x cho A có giá trị số nguyên 2) Tìm giá trị m để phương trình: 2

3

x +mx+m − = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho:

x1 + 2x2 =

Lời giải:

1) 11

2

x x x

A

x x x x

− −

= − +

− − + −

a) Để A có nghĩa, điều kiện là:

0

2 0

4

2

1

x

x x x x

x

x x

x

  

− −     

  

   

−    



 + 



(91)

11

2

11 ( 2) (2 1)( 1)

( 1)( 2)

11 ( ) (2 1)

( 1)( 2)

4 12 ( 2)( 6)

( 1)( 2) ( 1)( 2)

6

x x x

A

x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x

x x

− −

= − +

− − + −

− − − + − +

=

+ −

− − − + + −

=

+ −

+ − − +

= =

+ − + −

+ =

+

Vậy A =

1

x x

+

+ với x ≥ x ≠

b) Ta có: A =

1

x x

+

+ = +

5

1

x +

Để A có giá trị số nguyên

x + số nguyên

 x +1 ước (*)

Mặt khác x + 1 1nên (*) ⇔ x +1∈{1; 5}

– Nếu x +1= ⇒ x = (tm)

– Nếu x +1= ⇒ x = 16 (tm)

Vậy giá trị x cần tìm x = x = 16

2) 2

3

x +mx+m − = (1)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = m2 – 4(m2– 3) >

⇔ –3m2 +12 > ⇔ m2 < ⇔ –2 < m <

Hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức x1 + 2x2 = => x1 = - 2x2

1 2

2

1 2 2

2 2

1 2

2

3

2 3

x x m x x x x

x x m x x m x m

x x x x m m m

+ = −

  = −  = −

  

 = −  − + = −  =

 = − = − − = −

 



2 2

2m m m m

 − = −  =  =  (tm) Thử lại:

– Với m = 1: (1) ⇔ x2 + x – = ⇔ x

(92)

– Với m = –1: (1) ⇔ x2 – x – = ⇔ x

1 = 2; x2 = –1 (tm)

Vậy m = ± giá trị cần tìm

Bài 135 : [ Chuyên Bắc Giang- chung - năm 2015-2016]

Cho biểu thức 4 : 1

1

2 1

x x x x

A

x

x x x x

 + + +   

= +   − 

−

+ −  + − 

  (với x0; x1)

b) Có giá trị nguyên x để 2018 2018

A +

Lời giải:

+ Biến đổi

(

)

(

)(

)

(

)(

)

2

4

1

2 1

x x x

x x x x

x

x x x x x x

+ +

+ + +

+ = −

−

+ − − + − +

= 2

1 1

x x

x x x

+ − =

− − −

+ Biến đổi

(

)(

)

1

1 1

x

x x x x

− =

+ − + −

+ Ta có

(

)(

)

(

)(

)

1

2 2

:

1 1

x x

x A

x x x x x

+ −

= =

− + − −

+ Vậy A x x

+

= , với điều kiện x0, x1 Phần 1.b

1 2018 1 1

1

2018 2018 2018

A

x x

+

  +  +  

2018 2018

x    x

Vì x0, x1 x nguyên nên x 2;3; 4; ; 2018 Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa

mãn toán

Bài 136 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2019-2020 (Chung)] Cho biểu thức: = + +1 1

(

)

+

 

xy x y xy P

x y

xy x x y y (với x0;y0) Rút gọn biểu thức P

(93)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 82 Lời giải:

a) Ta có:

(

)

(

)(

)

(

)

2

1

xy x y xy

xy x y xy x y

P

xy x y x y xy xy x y

x y x y

xy x y xy

+ −

+ + + +

= =

+

+ + −

+ +

= =

+

b) Với x > 0; y > xy = 16 ta có:

2

1

4

x y xy

x y

P= +  = =

Vậy giá trị nhỏ P x = y =

Bài 137 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2018-2019 (Chung)]

Cho biểu thức: :

(

)

3 2

−

 

= +    

− + − +

 

x

P x x x

x x x x

1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm x cho P = 2019

3) Với x ≥ 5, tìm giá trị nhỏ T = +P 10

x

Lời giải:

a)

b)

c)

=21 ( Do cơsi) Vậy T có giá trị nhỏ 21

Bài 138 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2018-2019 (Chuyên Toán Tin)]

Cho biểu thức

(

x

)(

y

)

P

x

y

Lời giải:

( 2)( 2)

1 (2 1)( 1)

( 1)( 2)

x x

P x x

x x

 − + 

= +  − −

− −

 

2

(2 1)( 1)

1

x

P x x

x

+

= − −

−

4

P= x−

2019 2019

P=  x− =

505

x =

10 10 10 18

4 ( )

5

x x

T P x

x x x

= + = + − = + + −

10 18 10 18

( )

5 5

x x x

T

x x

= + + −  + − x 5

5

(94)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 83 Từ giả thiết ta có:

Tương tự ta có:

Cộng vế hai phương trình ta được:

Xét

Dấu xảy

Vậy

Cho

2

1

1 1 4

x x

A

x x x x x x với x 0;x

b) Đặt B x x A Chứng minh B với x 0;x Lời giải:

a) Với x 0;x ta có

(

)

(

)

(

)

2

2018

1 2018

1

y y

x x y y

y y

− +

+ + = = = + −

− +

+ +

(

)

2

1 2018

y+ + y = +x −x

(

)

(

)

2019 x+y =2017 1+x + 1+y

(

)

(

)(

)

2 2 2

1 2 1

A= +x + + y = +x +y + +x + y

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 2

2

2017

2019( ) 2017 2019 2017

2019 2017

4.2017 2017 2017 2018

2.4036 2018 2018

A x y xy x y

VP x y

VT x y x y

P P

  + + + + = + +

  + +

 = +  + +

 = +

  +

    =

"=" 2017 2018

4036

x y

 = =

2017 2018 2018

MinP = 2017 2018

4036

(95)

2

1

1 5

1

1 1 4 1 1 4

1 1

1

4

1 1 1

x x x

x x

A

x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x x

x x x x

Vậy A

x với x 0;x

b) Đặt B x x A Chứng minh B với x 0;x Với x 0;x ta có

2 1

1 x x x x x

B x x A

x x x

Bài 140 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2016-2017 ( Chung)] Cho biểu thức:

x x x

x x

x x x x P

+ + − −

− +

+

= 2

(

x x

)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị thức P x=3−2

c) Chứng minh rằng: với giá trị x để biểu thức P có nghĩa biểu thức

P

7

nhận giá trị nguyên

Lời giải:

a,P 2x x x x x

x x x x x

+ − +

= + −

− +

(

)(

)

(

)

(

)(

(

)

1 1

2

1

x x x x x x

x

x x x x x

− + + + − +

+

= + −

− +

(

) (

)

2x x x x x

x x x

+ + − +

+

= + −

2 2 2

2

x x x

x x

+ + +

= + =

B,

Ta có x= −3 2 x = 1−

Thay vào biểu thức 2

(

)

P = − + +

(96)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 85 C,

Đưa 7 2

x P = x+ + x

Đánh giá 2x+ +2 x 6 x, suy 7 2

x

x x

 

+ +

Vậy

P nhận giá trị nguyên

4

7 2 2 1 1

4

x x

x x x x x

x x

 =  =

 

= + +  − +   

 = =

 



Bài 141 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2015-2016 ( Chun Tốn Tin)]

Cho phương trình: 2x2 −mx− =1 0 (với m tham số)

a) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 −4x22 =0

b) Chứng minh với m phương trình có nghiệm x thỏa mãn x 1 Lời giải:

Ta có

8

m

0 với m nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Vi-et ta có

1

2

m

x x

x x

giả thiết cho 2

x x

Nên ta có

1

2

m

x x

x x

x x

(1)

1

2

m

x x

x x

x x

(2)

+ Giải (1):

Ta có 2 2

x x (vơ nghiệm), nên hệ phương trình (1) vơ nghiệm + Giải (2):

Ta có 2 2

2

1

1 2

2

1

2

x x m

x x

x x m

Nhận xét: Bài toán áp dụng định lý Vi-ét phương trình bậc hai biến đổi biểu thức Nhắc lại kiến thức phương pháp:

(97)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 86 Phương trình bậc hai

2x mx có hai nghiệm phân biệt x1 x2 với giá trị tham số m m2 4.2. 1 m2 8 8 0 với giá trị m

• Định lý Vi-ét phương trình bậc hai

1

b

x x

a c x x

a

Ta có

1

2

m

x x

x x

kết hợp với đề cho 2

1

2

x x

• Giải hệ phương trình

+

1 2

1

2 2

1

2

1

2 2

2

6

2 1

9

2

2 2.

2 6 2

m x x x x x x

x x

m m m

x x x x

x x

m m

x x

x x

(vơ nghiệm m2 0 nên không tồn

9

m )

+

1 2

1

2 2

1

2

1

2 2

2

2 1

1

2

2 2.

2 2 2

m x x x x x x

x x

m m m

x x x x

x x

m m

x x

x x

1 2

1

2

1

2

1

2

m

m m

m

x x x x

m x x

x

(thỏa mãn, nhận)

Vậy m 2) Ta có

8

m

0 với m nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 Theo định lý Vi-et ta có 1 2

2

x x suy

1

2

1

,

2

x

x x m

x

Nhận xét: Bài toán áp dụng định lý Vi-ét phương trình bậc hai kiến thức bất phương trình,…

• Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

Phương trình bậc hai cho có hai nghiệm phân biệt với giá trị m (đã chứng minh ý trên)

(98)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 87 • Định lý Vi-ét phương trình bậc hai

1

b

x x

a c x x

a

Ta có 1 2 1 2 1 1 2 1

2 2

x x x x x x

Do x

Cho biểu thức :

2 2 10

x x

A

x x x x x x

 −  +

= + − 

− + − − −

  (x > 0, x ≠ 4)

1, Rút gọn biểu thức A

2, Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Lời giải:

1 Với x > 0, x ≠ ta có:

(

) (

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

2

:

2 2 10

2 5 10

2

5

2

5

2

x x

A

x x x x x x

x x x x x

x

x x

x x x

x

x x

 −  +

= + − 

− + − − −

 

+ + − − − −

=

+

− +

=

+

− +

= +

2 Vìx 0 x 0; x+   1 A

Mặt khác, xét 2

(

)

2

x x x

A

x x

− + − −

− = = 

+ +     x A

Vậy < A <

Do A nguyên ⇔ A = A =

5 1

1

3

2

x

A x x x x x

x

=  =  = +  =  =  =

+ (thỏa mãn)

5

2 2(2 1) 2

2

x

A x x x x x

x

=  =  = +  =  =  =

+ (loại)

Vậy

9

(99)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: PHẠM VĂN VƯỢNG- THCS NBS 88 Bài 143 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2013-2014 (Chun Tốn Tin)]

Cho biểu thức 1 ( 4)

4

2

x

P x

x

x x

 

= + +  −

−

+ −

  với x0;x4

1) Rút gọn biểu thưc P

2) Tìm giá trị nhỏ P

Lời giải:

1,

1

( 4)

2 ( 2)( 2)

( 2)

( 4)

2

( 4)

3

x

P x

x x x x

x x x

x x

x x x

x x

 

= + +  −

+ − + −

 

 − + + + 

=  −

−

 

− + +

= −

−

= − +

1) 0.5 điểm

Với x0;x4, ta có:

2

min

1 11 11

3

2 4

11 1 11

0 ( / )

4 4

P x x x

P x x t m P

 

= − + = −  + 

 

=  − =  =  =

Bài 144 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2012-2013 (Chun Tốn Tin)] a) Tính A =

(

)(

)

b) Giải hệ phương trình

(

)

(

)

2

1

2

x y x y

y x y y

 + + = +



 − = +



(100)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 89 CHUYÊN ĐỀ 2: BĐT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT

Bài : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2014-2015]

Xét số thực x y z, , thỏa mãn 2(y2+yz+z ) 3x2 + 2=36 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức A= + + x y z

Lời giải:

+) Ta có 2(y2+yz+z ) 3x2 + =36 

(

)

x y z 6 x y z

 + +   −  + + 

+) Khi x= = = y z A =6 Khi x= = = − y z A= −6

+) Đáp số: GTLN A 6; GTNN A −

Bài :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2014-2015]

Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn x2+y2+z2 =3xyz Chứng minh

2 2

4 4

x y z

x +yz + y +xz +z +xy 

Lời giải: +) Với x, y dương, áp dụng BĐT Cơsi ta có:

4 4

x +yz2x yz; y +xz2y xz; z +xy2z xy

+) Đặt

2 2

4 4

x y z

P

x yz y xz z xy

= + +

+ + +

2 2

x y z 1 1

P

2

2x yz 2y xz 2z xy yz xz xy

 

  + + =  + + 

 

+) Áp dụng BĐT Cơsi, lại có :

1 1 1 1 1 1 1 1 xy yz zx

2 y z x z x y x y z xyz

yz xz xy

      + +

+ +   + +  + +  + = + + =

 

   

+) Chứng minh

2 2

2 2 xy yz zx x y z 3xyz

xy yz zx x y z P

xyz xyz xyz

+ + + +

+ +  + +   = =   (đpcm)

(101)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 90

2 2 2

2 2 2 2 2

4 ( ) ( ) ( )

3

2 2

a b c b c b c a b

a b c b c a c a b

+ − + − + −

+ + 

+ + + + + +

Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

4 4

2 2

3

2 2

a b c b c a c a b

b c c a a b

a b c b c a c a b

+ − + − + −

− + − + −  −

+ + + + + +

+ + +

 + + 

+ + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schawtz, ta có

(

)

(

)

(

) (

)

( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

b c b c b c

a b c a b a c a b a c

+ +

=  +

+ + + + + + +

Chứng minh tương tự ta có

(

)

( )

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2

c a c a a b a b

;

b c a b c b a c a b c a c b

+ +

 +  +

+ + + + + + + +

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

3

2 2

b c c a a b b c c a a b

a b c b c a c a b a b a c b c b a c a c b

b c c a a b

a b c b c a c a b

+ + +      

+ +  +  + +  + + 

+ + + + + +  + +   + +   + + 

+ + +

 + + 

+ + + + + +

Từ ta có điều phải chứng minh

Bài :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2016-2017]

Cho x y z, , số thực thỏa mãn

(

x

y

)(

x

z

)

y

z

(

) (

)

1 1

4

x y y z z x

+ + 

− − −

Lời giải: Đặt x− =y a x; − = ta z b ab=1;a b

(102)

(

)

2 2

2 2 2

1 1

4

2

a b

a b a b a b a b ab

+

+ +   + 

+ −

−

2

1

4

a b

 + + 

+ −

2

1

2

a b

 + − + 

+ −

Do ab=1; a nên b a2 +b2 2ab hay a2 +b2 − 

Mặt khác

(

)

(

) (

)

2 2

1

2 2

2

a b a b

+ − +  + −

+ − + − tức

2

1

2

a b

+ − + 

+ − Vậy

(

) (

)

1 1

4

x− y + y−z + z−x 

Xét x y z, , số thực dương thỏa mãn xy+ yz+zx =1 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức 2 2 2

4 4

S

x yz y zx z xy

= + +

− + − + − +

Lời giải: Ta có

(

)(

)

2 2

1 1

4 2( ) 2

1

2

= =

− + − + + + + + +

=

+ +

x yz x yz xy yz zx x xy yz zx

x y x z

Tương tự, ta có

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

S

x y x z y z y x z x z y

= + +

+ + + + + +

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

yz xz xy

S

xz yz xy yz xy xz yz xz yz xy xz xy

 = + +

+ + + + + +

Với a b, ta có

(

)

(

)

(

)

2

0

4 +

−   +    a b

a b a b ab ab Áp dụng bất đẳng thức

trên ta được:

(

) (

)

2 2 2 2 2

4 4

 + +

+ + + + + +

yz xz xy

S

(103)

(

)

1

2 2

4

xy yz zx S

xy yz zx xy yz zx

+ +

  = =

+ +

Đẳng thức xảy

3

x= = =y z Vậy giá trị nhỏ biểu thức S

Bài :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tốn Chung 2016-2017]

Cho hai số khơng âm a, b thỏa mãn a+ b 3. Chứng minh rằng: 2

1 15

a b

.

a b

+ + − 

+ +

Lời giải:

Ta có: 2 1 1 1

1

1 4 1 1

2 2 4

a b

.

a b a b a b

a b

 

 

+ −

+ = + + − =  + 

+ + + +  + +    

+ +

  

    

Mặt khác 1 1 15

2 2

a b a b .

 +  +   + + + 

    

    

Do 2

1 15

a b

.

a b

+ + − 

+ +

Bài :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2017-2018] Cho x y, số thực dương thỏa mãn 3

8

x + y  − xy.Chứng minh

2

1

x + y + xy 

Lời giải:

Từ gt

3

8

x + y  − xy  x3+ y3+6xy−  8

(

x

y

)

xy

(

)

(

) (

)

(

)

3

2

8 ( 2)

2 2

x y xy x y

x y x y xy x y xy

x y x y xy x y

 + − − + − 

 

 + −  + + + + + − 

 

 + −  + − + + + 

2

x y x y

 + −   +  (Do 2

2 0, ,

x +y −xy+ x+ y+  x y )

Ta có 2 2 2 2

2

VT

x y xy x y xy xy

 

= + = + +

(104)

Áp dụng bđt 1 , x y,

x+ y x+ y   ta có

2 2 2

1 4

1

2 (x y)

x + y + xy  x +y + xy = + 

Áp dụng bđt Cô-si ta có 1 3

2 2

x y

xy xy

xy

+

 =    

Suy 2

VT  + =

Dấu “=” xảy

1 0, y>0

x y x y

x y xy

x

= 

 + =

  = =

 =    

Cho a b c, , số thực thỏa mãn a  −2, b −2 a+ +b 2c=6 Chứng minh rằng:

1) 2

4 16 16 20

a + +b ab+  c − c+ (*) 2)

(

)

(

)

2

4

5 16

4

b a

a b ab

c

− − + 

 − +  − + +

 

Lời giải:

1) Thật (*) 2

(

)

4 16 8(6 a b) 20

a b ab a b

 + + +  − − − − − +

(

)

(

) (

)

(

)

2 16 36 12 48 20

a b ab a b a b a b

 + + +  − + + + − + + +

(

)

2 a b ab

 + + +  

(

a

)

a  −

2) BĐT tương đương 2 2 2

4 16 20 16

b a

c c a b ab

−

− + 

− + + + +

2 2

4

5

4 16 20

b a VT

c c

− −

 +

− +

Từ gt có

(

a +

)

ab

Ta có

(

)

(

)

4− a +b = +4 2ab− +a b  −4 4(6 2c) (6 2c)− − − − = −(4c −32c 64)+ Suy

2

4 32 64 (2c 3)

5 5

4 16 20 ( 2)

c c

VT

c c c

− + −

 − + = − + 

(105)

Đẳng thức xảy 2, 5,

a= − b= c= 5, 2,

a= b= − c=

Bài :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung BD2017-2018]

Cho số thực dương x,y thoả mãn x2 +y2 =1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức

y x

M= +

Lời giải:

Ta có 2

(

)

(

)

(

)

Xét

y x

1 y

x y

x3 3

+ − +  − +

(

)

(

)

( )

y x

xy y x xy y

x

2 y x

2

3

+

− − + +

+  − + 

( )

y x

xy xy xy

2 y x

2

3

+ − 

− + 

M y

x3 + −   

 Dấu “=” xảy

2 y x= =

Bài 10 : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung BD2017-2018]

Cho a, b, c dương abc =

Tìm giá trị lớn biểu thức: 3 3 3

1 1

T

a b b c c a

= + +

+ + + + + +

Lời giải:

(

)

3 2 2

2

a b ab a b a (a b) b (b a) (a b)(a b )

(a b) (a b) (1)

+  +  − + −   − − 

 − + 

Đúng với a, b 0 Đẳng thức xảy a = b

Từ 3

(

)

a +b ab a+b ta có

(

)

(

)

(

)

3 3

3

a b abc ab a b abc a b ab a b c

1

a b ab a b c

+ +  + +  + +  + +

 

+ + + +

Dấu đẳng thức xảy khi: a b c

(106)

Vậy gía trị lớn biểu thức T 1, đạt a b c = = =

Bài 11 :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2017-2018]

cho số thực x y z , ,

 

T = +x y +z − − −xy yz zx

Lời giải Do x y z , ,

 

(1−x)(1−y)(1−z)0  −1 (x+ + +y z) xy yz zx xyz+ + − 0

1

x y z xy yz zx xyz

 + + − − −  − 

Mà y z ,

 

y  y; 2018

z z

Suy 2017 2018

1

T = +x y +z − − −  + + − − − xy yz zx x y z xy yz zx

Với x=1;y= =z T =1

Vậy giá trị lớn T

Bài 12 : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2018-2019]

Cho số thực dương a b, thỏa mãn a + b =1

Chứng minh 3

(

) (

)

(

)(

)

a+b − a+ +b ab a+ b b+ a

Lời giải:

Bất đẳng thức cho tương đương 1

3

a+ b + b+ a 

Áp dụng BĐT Cơ si cho số dương ta có (1)

3

a a a b a a b

a b a b a b a b

a b

+  + 

=   + 

+ + + +

+  

1 (2)

2 2

3

b b b

a b a b

a b

 

=   + 

+ +

+  

Từ (1) (2) suy 1 (3)

2 2

3

a b a a

a b a b

+   +    + 

 +   + 

+   +  

Chứng minh tương tự ta có 1 (4) 2

3

b a b b a

 

  + 

+

+  

Từ (3) (4) suy 1

3

(107)

Dấu " "= xảy

a= =b

Bài 13 : [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung 2019-2020]

Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x+ + =y z 2019xyz Chứng minh

2

2 2

1 2019

1 2019 1 2019

2019.2020

y y

x x z z

xyz

x y z

+ + +

+ + + + + + + + 

Lời giải: Ta có:

2

2019 2019

( )( )

2019 1

1 1

2019 1

2

x xy xz

x y z xyz x

yz

x xy xz yz x y x z x x

x

yz yz y z

x x x x x

x

y z y z y z

+ +

+ + =  =

 

+ + + + +  

 + = = = +  + 

 

      

 + =  +  +   + + = +  + 

 

     

(theo BĐT Cô-si)

2

1 1

2

1 2019 1

2

x x

y z

x x

x

x x x y z

 

+ + +  + 

 

+ + +  

  = + +  + 

 

Tương tự:

2

1 2019 1

2

1 2019 1

2

y y

y

y y z x

z z

z

z z x y

+ + +  

 + +  + 

 

 

+ + +

 + +  + 

 

1 1

VT x y z

x y z

 

  + + +  + + 

 

Chứng minh

(x+ +y z) 3(xy+yz+zx)

2

1 1 3( ) 2019.3( )

3

2019

2019.( )

2019( )

xy yz zx xy yz zx

x y z xyz xyz

x y z

  + + + +

  + + = =

 

+ +

 = + +

+ +

2020( ) 2020.2019

VT x y z xyz VP

  + + = =

 Đpcm

(108)

Cho a b c d, , , số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c+ + + =d Tìm giá trị nhỏ biểu thức

4 4

3 3

+ + +

=

+ + +

a b c d P

a b c d

Lời giải

Chứng minh 4 3

x + y x y+xy với x, y dương

Biến đổi 4 3 3

(

)

(

)

(

)

(

)

x + y x y+xy x x−y −y x−y  0 x−y x +xy+y 0

Do

(

)

2

2 2 2

0;

2

y y

x−y  x +xy+y =x+  + 

  , với x, y dương, có điều phải chứng minh

Theo trên, có :

4 3

a +b a b+ab

4 3

a +c a c+ac

4 3

a +d a d+ad

4 3

b +c b c+bc

4 3

b +d b d+bd

4 3

c +d c d+cd

Cộng vế với vế ta

(

)

3 a +b +c +d a (b+ +c d)+b (a+ +c d)+c (a+ +b d)+d (a+ +b c)

(

)

3 a b c d a (3 a) b (3 b) c (3 c) d (3 d)

 + + +  − + − + − + −

(

) (

)

4 a b c d a b c d

 + + +  + + +

4 4 3 3

a b c d

+ + +

 

+ + +

Dấu xảy

a= = = =b c d

Vậy giá trị nhỏ P

4

Bài 15:[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chung XH 2018-2019]

Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn 2 2 2

4.

a +b + +c abc= Chứng minh rằng:

9

2 .

2 a+ + b c

(109)

+ Từ a b c, , 0 2 2 2

4 a +b + +c abc=

2 2 2 2

4 0; 4 0; 4 0.

b c b c

 + −  −  − 

+ Do đó, phương trình bậc hai (ẩn a) 2 2 2

( ) 4 0

a + bc a b+ + − =c có hai nghiệm phân biệt trái dấu

+ Có 2 2

(4 )( ).

a b a c

 = − − Vì a0nên

2 2 (4 )(4 )

. 2

bc b c

a= − + − −

+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số dương 2

4 b− 2

4 c− ta được:

2 2

(4 ) (4 ) 2

2

b c

a − +bc − + − 2 8 ( ) 2

2 b c a − +

 

2 9 ( 1) 2

2 b c a b c − + −

 + + 

9 2

2

a b c

 + +  (đpcm)

Bài 16 :[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2010-2011]

Chứng minh rằng: Nếu x, y,z số nguyên đôi phân biệt thỏa mãn

11

xy+yz+zx= x2+y2+z2 14 (1) Dấu xảy (1) nào?

Lời giải Khơng tính tổng qt giả sử x y z ta có

( ) ( ) (2 ) (2 )2

2 2

2

x +y +z − xy+yz+zx =  x−y + y−z + z−x 

Do x, y,z số nguyên nên: x− y 1;y− z 1;x− z

( )

(

)

2 2 12 12 22

2

x y z xy yz zx

 + +  + + + + +

2 2

14

x y z

 + +  (vì xy+yz+zx=11)

Ta có:

(

) (

)

1 14

3

x

x x x x x

x

= − 

+ − + − =  − − =  

=



Vậy dấu xảy 

(

x y z

)

(

) (

)

Bài 17:

Cho số thực a b c, , thỏa mãn

(

)(

)

a +b b +c c +a = Chứng minh

(

)(

)

1

a −ab b+ b −bc c+ c −ca+a 

Lời giải

a Ta chứng minh kết

(

)

(110)

Thật vậy,

(

)

(

)

(1)2 a +b +a b −2ab a +b a +b  a +b −2ab 0

(

)

0

a b

 −  , bất đẳng thức đúng, dấu xảy a=b Tương tự có (2):

(

)

(

)

2 b −bc c+ b +c , (3) : c −ca a+ c +a

Thấy vế (1), (2), (3) không âm, nhân theo vế bất đẳng thức

ta

(

) (

)(

)

2 2 4 4 4

8 a −ab b+ b −bc c+  a +b b +c c +a =8 hay

(

) (

)

1 (*)

a −ab b+ b −bc c+ c −ca a+ 

Do 2 2 2

, ,

a −ab b+ b − +bc c c −ca a+  nên từ (*) suy

(

)(

)

1

a −ab b+ b −bc c+ c −ca+a  , có Đpcm

Bài 18:[Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Toán Chuyên 2017-2018]

Xét số thực a b c, , không âm, khác thỏa mãn a b c+ + =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 (a b)(4 5c)

a bc b ac

= + + + +

+ +

Lời giải

Chứng minh1

x+ y x+yvới x0;y0 Dấu “=” xảy x=y

Ta có:

(

)(

)

1 4

1

a bc+ +b ac+  a b bc ac+ + + = a b+ +c

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2

1 4

1 1

4

1

4

4 1

1

a bc b ac c c c

P c c

c

P c c P c c c

c c

 +  =

+ + − + −

  + − +

−

 

  + + −    + − + −

−  − 

Vì a b c, , khơng âm khác thỏa mãn a b c+ + =   1 c

Ta có:

(

)

2

1

1 2;

1−c + −c  c −c  với 0 c

8

P

  Dấu “=” xảy 0;

2

c a b

 = = =

Vậy Min P =8khi 0;

c= a= =b

Bài 19 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2019 (vòng 1)]

Với x,y số thực thay đổi thỏa mãn 1≤ y ≤ xy + ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

4

x M

y

+ =

(111)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 100 Lời giải

Từ giả thiết xy + ≥ 2y => 4xy + ≥ 8y

Mà ta lại có 4x2 + y2 ≥ 4xy

4x2 + y2 + ≥ 4xy + ≥ 8y  4(x2 + 4) ≥ 8y + - y2

 4(x2 + 4) ≥ 4(y2 + 1) + (5y + 2)(2 - y) ≥ 4(y2 + 1)

2

4 +

 =

+

x M

y ≥

Dấu “=” xẩy x = y = 2, Mmin =

Bài 20 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2019 (vòng 1)] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz = Chứng minh rằng:

3

2 2 2 2 2

1 1

3

1 1 1 1 1

 

 

+ +  + +

 

+ + +  + + + 

x y z

x y z x y z

Lời giải

2 2 2 2 2

1 1

3

1 1 1 1 1

 

 

+ +  + +

 

+ + +  + + + 

x y z

x y z x y z

Ta có:

1 +x = xy + yz + xz + x2 = (x + y)(x + z) + y2 = xy + yz + xz + y2 = (x + y)(y + z) + z2 = xy + yz + xz + z2 = (z + y)(x + z)

VT= 2( )

( )( )( )

x y z x y y z z x

+ +

+ + +

Ta có:

2

2 2

1 1

 

 + + 

 + + + 

 

x y z

≤( ) 2 2 2

1 1

 

+ +  + + 

+ + +

 

x y z

=( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

 

+ +  + + 

+ + + + + +

 

x y z

(112)

= 2( )

( )( )( )

+ +

+ + +

Do

VP= 4( )

3( )( )( )

+ +

+ + + 2

1 1

 

 + + 

 + + + 

 

x y z

Bất đẳng thức trở thành

2 2

1 1

x y z

+ +

+ + + ≤

3

Ta có:

2

1

( )( )

1

 

=   + 

+ +

+ +  

+

x x x x

x y x z

x y x z

x

2

1

( )( )

1

 

=   + 

+ +

+ +  

+

y y y y

x y y z

x y y z

y

2

1

( )( )

1

 

=   + 

+ +

+ +  

+

z z z z

x z y z

x z y z

z

=>

2 2

1 1

x y z

+ +

+ + + ≤

3

Dấu “=” xảy x = y = z =

3

Bài 21 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2019 (vòng 2)] Với x y, số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện

2

4x +4y +17xy+5x+5y1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

17 17 16

P= x + y + xy Lời giải

Đặt a= +x y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

(

)

4

x y a xy + =

Hay

2

5

1

2a

 +  

 

 

Từ đó, ta có 2

(

)

a  − Suy

(

)

2 2

17 17 16 17 18 17 2

2

(113)

Dấu “=” xảy

5

x= =y −

Bài 22 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2018 (vòng 1)] Với a, b số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a 2b b

3

+ = + Tìm giá trị nhỏ biểu thức M a b

a 2b b 2a

= +

+ +

Lời giải

+ Lời giải Ta chứng minh M 2 với dấu đẳng thức xẩy chẳng hạn a b 3= = Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

(

)

b b 3b 2b 3b b 3b

3b b 2a a 2b b 2a 3b b 2a

=  =

+ + +

+ +

Như ta cần a b 3b a 2b a 2b+ + + 

Đặt x a 2b; y b

(

)

= + =   Khi giả thiết viết lại thành x y 2− = Cũng từ ta có 2

b 3y ; a= =x −6y Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại

thành

2 2

2

x 6y 9y x 6y 9y

2 x y

x x x x

− +   − +  −

Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 3

2

3 2 2

x x 6y 9y x x y x 6xy 9y x x y

9y 6xy x y y 9y 6xy x y 3y x

− +  −  − +  −

 − +   − +   − 

Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn giải hồn toàn

+ Lời giải Xét biểu thức M b a b b

3 a 2b b 2a

+ = + +

+ +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có

(

)

2 2 a b b

b a b b

M

3 a a 2b b b 2a b 3b a a 2b b b 2a b 3b + +

+ = + + 

+ + + + + +

Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có

(

)

(

)(

)

(114)

Từ

(

)

(

)

2

a b b a 2b a 2b

a 2b a a 2b b b 2a b 3b a a 2b 2b a 2b a 2b

+ + + +

 = = +

+ + + + + + + +

Suy M b a 2b

+  + nên M a 2b b

3

 + − = Vậy tốn giải hồn tồn

Bài 23 : [ Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2018 (vòng 2)] Cho a b c, , số thực dương Chứng minh

1

2

ab bc

a b b c a b b c

  

+ + 

  

 + +  + + 

 

Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

1 1

2

ab bc ab bc

a b b c a b b c a b b c a b b c

a c b b a c b b

a b b c a b b c a b b c a b b c

a b c b

a b a b b c b c

      

+ +  + +

 + +  + +   + +   + + 

 

      

=  +  +   +  + + 

+ + + + + + + +

      

   

= +  + + =

+ + + +

   

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu " "= xảy a= =b c

Bài 24 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2017 (vòng 1)] Với a, b số thực dương Tìm giá trị lớn nhát biểu thức

2

1 1

M a b

ab

a b b a

Lời giải

Với a, b số thực dương Tìm giá trị lớn nhát biểu thức

3

1 1

M a b

ab

a b b a

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2

3 ;

a b b a b b a a a b

a b

Từ ta 3 3

1

;

b a

a b a a b b

a b a b

(115)

3 3

1 1

1 a b a b a b b a a b a b

a b

a b a b a b

a b a b a b b a

Suy

1 1

1

a b ab a b a b a b ab a b

a b M

a b ab a b ab ab a b

Vậy giá trị lớn M 1, đạt a b

Bài 25 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2017 (vòng 2)]

Với a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc Tìm giá trị lớn

biểu thức 2 2 2

2 2 2

a b c

M

a a b b c c

Lời giải

Với a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

1 1

2 2 2

a b c

M

a a b b c c

Biến đổi giả thiết ab bc ca abc ta

1 1 1

1 1

1

1 1 1

a b c a b c

a b a c b c

Đặt ; ;

1 1

x y z

a b c , ta thu xy yz zx

Biểu thức M viết lại thành

2 2

1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

a b c x y z

M

a b c

x y z

(116)

2 2

x y z

M

x y x z y z x y x z y z x y z y z x z x y xy yz zx

x y y z z x x y y z z x x y y z z x

Ta chứng minh x y y z z x x y z xy yz zx Vì x y z xy yz zx nên x y z Nên ta

2 9 3

8 4

9

M

x y z x y z xy yz zx

Vậy giá trị lớn M 3

4 , đạ

1

3

x y z a b c

Bài 26 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2016 (vòng 1)]

Với x, y số thực thỏa mãn điều kiện x y 2;2x y 2xy Tìm giá trị

lớn biểu thức P x x2 1 y y2 1

Lời giải

Từ giả thiết 2x y 2xy ta 2

x y Áp dụng bất đẳng thức

2

a b a b ta có

2

2 2 2

1 1 4

2

2 x y

x y x y x y

Hoàn toàn tương tự ta

2

4 2 4

1 16 1 16

2

x y x y x y

Do x y nên ta có

2

2 2

2

4

1 x y y x x

y y

Từ kết hợp với 12 42

x y ta

2

2 2 2 2

2 2

4 4

4 x x 4

y x x y x x x

y y y x

Hồn tồn tương tự ta có 4 4

4

16

1 x y 16 y 16 x x

(117)

Từ kết hợp với 14 164

x y ta

4

4 4 4 4

4 4

4 16 16

16 x 16 x 16 16 17

y x x y x x x

y y y x

Do P x x2 1 y y2 1 x4 y4 x2 y2 17 5 22 Dấu xẩy x 1;y

Vậy giá trị lớn P 22, đạt x 1;y

Bài 27 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2015 (vòng 1)] Giả sử số thực dương thỏa mãn

Chứng minh

Lời giải Theo Côsi cho số ta có

BĐT tương đương (1)

Đặt ( )

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 3:

với số thực không âm

Chứng minh bất đẳng thức

Do vai trò nhau, giả sử

Ta xét

(điều phải chứng minh)

Ta có

Dấu “=” xảy

Nhận xét: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Cosi, phép đặt ẩn phụ đồng thời chứng minh qua bất đẳng thức trung gian bất đẳng thức bổ đề (bất đẳng thức Schur bậc ba) để suy điều phải chứng minh

• Bất đẳng thức Cosi cho ba số thực dương • Bất đẳng thức Schur bậc ba cho số thực dương

; ;

a b c ab bc ac abc

2 2 2

a b c a b c ab bc ac

3

4 3 3 2

4 abc ab bc ac a b c abc a b c abc a b c

3

2 2 2

3

a b c a b c ab bc ac

3 3

; ;

a x b y c z x y z; ;

3 3 3 2 3 2 3 2 3

x y z xyz x y z x z y

3 3

3

x y z xyz xy x y yz y z xz x z

0

x x y x z y y x y z z z x z y

; ;

x y z

; ;

x y z x y z z z x z y

2 0

x x z y y z x xz yz y x y x y z

0

x x z x y y y z x y x x z x y y y z y x

0

x x y x z y y x y z z z x z y

3 3

3

x y z xyz xy x y yz y z xz x z

3 3 3

2 x y z x z y

1 ;

x y z

a b c

x y z

3

a b c abc

3 3

3

(118)

1 Chứng minh với , ta có:

2 Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh

Bài 28 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2015 (vòng 2)] Giả sử số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

Lời giải

Ta có

Dấu = xảy

Nhận xét: Bài toán sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi, kết hợp với bất đẳng thức Cosi đưa bất đẳng thức quen thuộc gọi bất đẳng thức Nesbitt, bất đẳng thức có tới 45 cách chứng minh từ tìm giá trị nhỏ biểu thức cho

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương • Bất đẳng thức Cosi cho ba số thực dương • Bất đẳng thức Nesbitt cho ba số thực dương

Chứng minh: Bất đẳng thức cho tương đương với:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số thực dương, ta có:

; ;

a b c

2 2

2 a b c abc a b c

; ;

a b c a b c

; ;

x y z

4 4

y

x z

P

y z z x x y

4 4

y

x z

P

y z z x x y

4

4 4 4

y

x z

P

y z z x x y

4

4 4 4

y

x z

y z x z x y

4 x y z

y z x z x y

4

9

x

x y z

y

2

a b ab

3

a b c abc

; ;

a b c

3

a b c

b c c a a b

9

1 1

2

a b c

b c c a a b

9

a b c b c a c a b

b c c a a b

1 1

2

a b c

a b b c c a

1 1

9

a b b c c a

(119)

Nhân hai bất đẳng thức với suy điều phải chứng minh

Ý tưởng: Bài toán bất đẳng thức đối xứng, vai trị biến nhau, khơng khó để thấy , dấu đẳng thức xảy Với giá trị

thay ngược lại , ta có:

(*)

Để bất phương trình (*) có nghiệm với ta

Do ta tìm dấu đẳng thức xảy Bây giờ, quan sát biểu thức , chứa ba phân thức đồng thời thức xuất mẫu số phân thức, cách ta đánh giá khử bậc hai Với điểm rơi tìm , ta thấy , khử bậc hai ta áp dụng bất đẳng thức Cosi sau:

Tương tự cho biểu thức lại, ta suy ra:

(*)

Và chứng minh bất đẳng thức (*) tốn hồn thành Nhận thấy lấy tử cộng mẫu phân thức (*) ta đại lượng chung, thế, phân thức ta cộng thêm đó, ta có (*)

Đặt ta có:

(*) ln (điều phải chứng minh) Bài tốn kết thúc

1 Cho số thực dương lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 Cho số thực dương lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Bài 29 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2014 (vòng 1)]

3

1 1

a b b c c a a b b c c a

; ;

x y z

P m x y z k

x y z k P

2 2

3

9

2

k

P m k m k m

k

,

m k (*)

4 36 0 2 36 0 36 6

m m m m m m P

4

k x y z P

4

x y z y z 4

4 4 4 4

4

y z

y z y z y z y z

3

4

2

y y

x z x z

P

y z z x x y y z z x x y

x y z

1

2

x y z x y z x y z

y z z x x y

1 1

2

x y z

x y y z z x

1 1

9

x y y z z x

; ;

a x y b y z c z x

3 3

1 1

3

a b c abc

; ;

x y z

2 2

y

x z

P

y z z x x y

; ;

x y z

2

6 6

y

x z

P

(120)

Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab + bc + ca = Chứng minh

rằng ( ) 4

2

9

+ +  + + +

abc a b c a b b c c a

Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

4 2

1

;

3

1

;

3

1

3

+ + 

a b abc ca a bc

b c bca ab b ca

c a cab bc c ab

Cộng theo vế ba BĐT thay ab + bc + ca = vào rút gọn ta được:

( ) 4 ( )

2

3abc a+ +b c a b +b c +c a +9

Ta có ( ) 1( )2 ( ) ( )

3 3

+ + = + +  + + =  + + 

abc a b c ab ca bc ab ca bc ab bc ca abc a b c

Cộng theo vế (1) (2) ta có đpcm

3  = = =a b c

Bài 30 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 2)]

Giả sử x, y số thực không âm thỏa mãn: x3 + y3 + xy = x2 + y2 Tìm giá

trị lớn nhỏ biểu thức:

2

x x

P

y y

+ +

= +

+ +

Lời giải

Ta có

+ Với

+ Với ,

suy , Dấu “=” xảy

, Dấu “=” xảy

Vậy

3 2

x y x y xy

2 2

x y x y xy x y xy x y x2 y2 xy

2 0 0

1

x y

x y xy

x y

5

0

2

x y P

1 ;

x y x y

1

4

2

P x 1; y

1

3

2 1

P x 0; y

max 1;

P x y m in 0;

3

(121)

Nhận xét: Khai thác giả thiết biểu thức cho, tìm điều kiện chặn biến để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức

Nhắc lại kiến thức phương pháp: • Hằng đẳng thức

• Xét biểu thức , với , ta có:

Ý tưởng: Đi từ giả thiết toán, xuất làm ta nghĩ đến đẳng

thức , giả thiết trở thành:

Ta cần xét với , mặt khác kết hợp với điều kiện biểu thức ta có điều kiện

chặn

Suy

•

Do

Bài tốn kết thúc

Bài 31 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 1)]

Giả sử số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm

giá trị nhỏ biểu thức

Lời giải Với số thực dương ta có

;

Cộng bốn đẳng thức ta thu

Ta tìm cho

Chọn , ta

3 2

a b a b a ab b

m p f x

P

n q f x

0 a f x b

min ; max

m p a m p a m p b m p b

P P P P

n q b n q b n q a n q a

3

x y

3 2

x y x y x xy y

3 2 2 2

x y x xy y x y x xy y x xy y

2

1

x y

x y x xy y

x y

1

x y

,

x y , 1

0

x x y

y

1 2

;

3

2

x x x x

P

y y

1 2

;

2

2 1

x x x x

P

y y

max 1;

P x y m in 0;

3

P x y

; ; ;

a b c d abc bcd cda dab

3 3

4

P a b c d

3 3 3

3 ; 3

3 3 3

d a b dab d b c dbc 3 3 3

3 ; 2

3 3

d c a dca a b c abc

3 3

3 2

2 1

3

d a b c dab dbc dca abc

0 3

3

2 4

2

9

3

1

2 x x

3

1

(122)

Ta có nghiệm dương

Với xác định ta thu

Vậy giá trị nhỏ

Bài 32 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2013 (vòng 2)] Với số thực dương thỏa mãn tìm giá trị nhỏ biểu thức

Lời giải

Ta có

Đặt

Ta thu

Dấu “=” xảy

Nhận xét: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Cosi kết hợp với giả thiết tìm giá trị nhỏ thức cho

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương

• Các hệ từ bất đẳng thức Cosi

Ý tưởng: Bài tốn có đối xứng hai biến ( vai trị chúng ) điểm rơi ta khẳng định , kết hợp với giả thiết suy Mặt khác, xét với biểu thức , có xuất đại lượng căn, nghĩ đến bất đẳng thức Cosi để đánh giá đại lượng

3

1 3

6 12

2 x x x x x x x x

3 3

6 35 ; 35 35 35

2

x x

3 3

2

4

9

d a b c

3 3

2

3

9 36

9

6 35 35

d a b c

3

1 ; =

3

a b c d

P 2

3

36

6 35 35

;

x y x y 1,

2

1 1

P x y

x y

2

1

P x y xy

xy xy

2

1

2

x y

t xy

1 15 17

16 15 16 17

2

P

t t t P

t t

min

1

17

x y P

2

a b ab

2

1

;

2

a b

ab

a b ab

;

x y

x y

2

x y Pmin

P xy

1

(123)

Ta có

Và khai thác giả thiết, ta đánh giá , với điểm rơi ta có đánh giá

Và đặt ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức

với Bằng khéo léo chọn điểm rơi, ta đánh sau:

Dấu “=” xảy

1 Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Giả sử số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức

Lời giải

Ta có

Theo bất đẳng thức Cô si

Vậy giá trị nhỏ

Nhận xét: toán sử dụng bất đẳng thức Cosi dựa điểm rơi suy đoán kết hợp với điều kiện tốn để tìm giá trị nhỏ

2

1

2

x y

P xy

x y xy xy xy

xy x y

2

0

2

x y

x y xy t xy

1

P t

t

1

t

1 15

2 16 15 2 16 15 2 16 17

t t t t

t t

min 17

P

1

x y

;

x y x y

2

1

P x y

x y

;

x y x y

2 2

2

4x y x y

P

y x

x y

;

x y x y

2

2 y

x P

y x

1

x y xy x y

1

3

2 2

x y x y

xy x y x y

2

2 2

2

P

x

y x

y x y

x y

y x

y

x y

x

(124)

• Mở rộng đánh giá

Ý tưởng: Đây tốn có đối xứng rõ ràng nên ta mạnh dạn dự đoán điểm rơi Thay ngược lại giả thiết tốn, ta có Với điểm rơi , ta dễ dàng đánh giá vận dụng bất đẳng thức Cosi, vậy, khai khác giả thiết, ta suy ra:

Vậy nên, ta đánh giá biểu thức theo Hiển nhiên có số

điểm rơi Vậy nên ta cần tìm thỏa mãn Mà bên trên, ta tìm đó, ta cần chứng minh Đánh giá ta có cách sau:

• Biến đổi tương đương, ta có:

• Sử dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

• Sử dụng đánh giá mở rộng nêu, ta có:

Bài tốn kết thúc

1 Cho hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu

thức

Bài 34 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2012 (vòng 1)] Giả sử số thực dương thỏa mãn: ; ;

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

x y xy

2

, ; ; ;

a b

a b x y

x y x y

,

x y

x y k k k

1

x y

1

1 4

x y xy x y

1

3

2 2

3 x y x y x y

xy x y

P

2

y x

f x y

y x

2 x y f x y f x y

2

x y

2

2 y

x

x y

y x

2

0 x x y y x y 0

y x

x y x y

y x y x

2

x x

y y x

y y x y

x y

y x

y y

x x y

x x

2

2 y x y

x

x y

y x x y

;

a b ab

2

a b

P a b

b a

; ;

a b c a b c

2 2

1 1

a b c

P

b c a

; ;

a b c a b c c b

a b c

1 1

ab a b c ab

a b c

(125)

Ta có

Ta chứng minh

Bất đẳng thức tương đương với

Vì (1)

Vì (2)

Vì (3)

Từ (1), (2) (3), suy điều phải chứng minh Vậy giá trị nhỏ

Bài 35 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2012 (vịng 2)]

Tìm giá trị lớn hàm số , với

1 1

abc bc ba b abc ca cb c

a b c

abc ab ac a Q

1 1 1

1 1

a b c b c a c a b

Q

a b c

1 1

a b c

Q

a b c

1

1 1 1 12

a b c

3 0

1 1 1

c b a

4

3

0

c b a

3

1 1

3

4 c

c b

c b b a

3 1

2

c b a

a

3 1

3

12 1 1

b c a b

c b c a b c

b c b a a

3; 3

12 1

c b c c b c

b c

1 ;

6 1

b c a b b c a b

b a

;

2

a b c a a b c

a

Q

12 a 1;b 2;c

2

3

y x x x

(126)

Tập xác định

Ta có

Cộng hai bất đẳng thức ta thu

Vậy

Nhận xét: toán sử dụng việc kết hợp đánh giá điểm rơi bất đẳng thức Cosi để tìm giá trị lớn biểu thức ban đầu

• Giả sử điểm rơi toán, ta sử vận dụng đánh giá quen thuộc xung

quanh điểm rơi

Ý tưởng: Biểu thức cho chứa hai thức bận hai, đồng thời yêu cầu tìm giá trị nhỏ nên ta đánh giá qua hai bước, là: sử dụng đánh giá cosi để khử thức, khéo léo biến đổi theo điểm rơi để khử dần biến số Vậy nên việc quan trọng dự đốn điểm rơi tốn, nhiên nói ta cần sử dụng Cosi cho thức một, nên ta đánh giá cho sau:

Do đó, suy Bây giờ, ta có hướng tư sử dụng

đánh giá để khử hết biến Biểu thức cuối có xuất ta nghĩ nên đánh giá hay ngược lại Và ta chọn giải pháp

Khi đó, ta có: Và

muốn khử hết biến ta quan sát hai mẫu số phải tổng hệ số Chính thế, ta được:

Và từ đó, ta có đánh giá sau:

Bài toán kết thúc

1

x

2 2

2 4x 3x

5 4x

2

x x

2

2x 1 3( 1)

3 2x 3( ) 3x

2

x

2

3 2x 4x

y x

ax

m

y x

2

a b ab

m

2

2 2 0

x m mx x m

3

2 2

2

x

x x x

2 2 2 2

2 4

5

2

m x n x m n x n

mx n x x x

mn

2 4 2 5

3

2

m n x n

x P

mn

2

;

x x

x

2

2 2 2

2

x k

x k kx x

k

2 2 2

3

2

x k k k m n x n

P

mn k

2

x

2

2 2

;

1

2 ;

k mn n m m n k

x

x m x n x

2

2 1

3

2

x x x

P x x x

2 2

max

5 3

3 4

2 2

x x x

(127)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 116 1 Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

2 Chứng minh với ta có bất đẳng thức sau:

Bài 36 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2011 (vòng 1)] Với số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức

Lời giải

Ta chứng minh

(đúng)

Ta chứng minh (2)

Ta có

(đúng) Từ (1) (2), suy

Dấu “=” xảy

Vậy

Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp dự đoán điểm rơi, từ phát tư bất đẳng thức phụ cần thiết để tìm giá trị nhỏ toán

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương • Hệ bất đẳng thức Cosi, là:

Ý tưởng: Đây toán chứa biểu thức đồng bậc, nên điểm rơi tốn có dạng Từ thay ngược lại biểu thức , ta có:

; ;

x y z xy yz zx

2 2

3x 3y z 10

0 x

2

9x x 13x x 16

;

x y

3

3 3

4

y x

x y y x y

P

3

3 2

8

x x

x y x y (1)

3

3 8 2 2

2

x x

x y x y

2

2 2 8

x y x x y 4x y2 4y4 8xy3

2 2

x y xy

3

3 2

y y

x y

y x y

3

3 2

y y

y x y x y

3

2

x y y y x y x2 2y2 y4 y x y

3

2 2 3

x y x y y x y

2

x y x y

2 3 2 2 2 2 2

x y x y y xy y y x y 2 3 2.2

2

x y x y x y y x y y x y

(2)

P

x y

min

P

2

x y xy

2

x y x y

(128)

Các biểu thức xuất căn, nên ta mong muốn số

phương trình nhau, nên dễ thấy Tức

điểm rơi toán giá trị nhỏ Việc dự đốn điểm rơi cần thiết, giúp ta có nhiều lựa chọn việc đánh hay

Với điểm rơi đó, hai mẫu số nên có đánh giá , ta cần đánh giá hai hai biểu thức mẫu, ví dụ mẫu số

Bây giờ, quan sát thức một:

• Với , thức mẫu số có bậc ba, tử bậc nhất,

vậy để đồng hóa bậc ta cần đánh giá thức biểu thức dạng bậc không bậc Hơn lại xuất nên ta chọn đánh giá để tối thiểu hóa ẩn

, tức ta cần chứng minh:

Nhưng điều chưa hồn tồn đúng, cần phải có điều kiện , nên hướng tư chưa Tức ta lựa chọn biểu thức thay ta chọn, thế:

• Với , với hướng tư tương tự, có:

Điều ln theo bất đẳng thức Cosi, ta có:

1 Cho hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 Cho hai số thực dương Chứng minh rằng:

3 3

3

3 8

1

4

8 1 1

k k

k

k k k k

P

3

3 8; 1 1

k k

3

3 8 1 1

k k k3 8 m2

1

m k

x y P

2

x y xy

2

x y x y P P

2 2

2 ; ; ;

x y x y x y x y

3 3 3 ; 8 x

f x y x

x y

x

x y

3

8y x 2y

y

2 3 3

3

1

2

x

x x y x y y y x x y

x y

y x

2 2

x y x 2y

2

2 2 3

3 8 2 2

x x

x x y x x y

x y x y

2

0

xy x y

3 3 3

; y

g x y y

x y y x y

y y

2

3

2 2

2 3 3 y

x y x y y x y

x y x y y y 2

2 2 2

1

3 2

x y x y

x y x y y xy y

3

2 2

3

x y x y y x y

;

a b a b

2 2

3 3

2 3

a b b a

P

a b b a

;

a b

2 3 2 2

4 2

(129)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 118 Bài 37 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2011 (vịng 2)]

Giải phương trình :

Lời giải Điều kiện

Phương trình tương đương với

Nếu , đồng thời ,

suy VT VP (loại)

Thử lại ta thấy nghiệm

Nhận xét: toán kết hợp phương pháp nhân liên hợp phương pháp đáng giá để tìm nghiệm phương trình

Nhắc lại kiến thức phương pháp: • Biểu thức liên hợp

với

• Đánh giá: với

Ta có: , suy phương trình vơ nghiệm Vậy

nghiệm phương trình cho

Ý tưởng: Bài toán xuất ba thức nằm tích, khó để định hình hướng giải, ẩn phụ phức tạp Nhưng xét hai thức ta thấy

Vì ta nghĩ đến chuyện dùng đẳng thức dạng Khi phương trình cho tương đương với:

( )

Với phương trình ( ), ta nhẩm vài giá trị nghiệm đẹp thỏa mãn yêu cầu biểu thức thức số phương ta khẳng định có nghiệm , đồng thời lại miền chặn biến ta đánh giá phương trình ( ) Tức với ta chứng minh ( ) vô nghiệm sau:

( ) vô nghiệm

Vậy ta kết luận nghiệm phương trình cho Bài tốn kết thúc

1 Giải phương trình

1

3 x

x x

0 x

3

1 1 1

3 x x x x

x x

0 x x x x

1

x

x m x x m x x m x

m

x m x

x m x x 0;x m

m f x n g x h x

2

m f x

n m

0

2

m f x n n

f x m

g x h x m

x m

2

3

x x

2

a b a b a b

3

1 1 3

3 x x x x

x x i

i

1 x

1

x

i x i

3 3

0

3

x

x VT VP

x x i

1

x

2 1

(130)

Đáp số:

2 Giải phương trình

Đáp số:

Với số thực dương thỏa mãn đẳng thức , Tìm giá trị nhỏ

biểu thức :

Lời giải

Ta có

,

suy

Vậy

Nhận xét: Bài toán sử dụng phép từ giả thiết bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương để tìm giá trị nhỏ biểu thức

Ý tưởng: Quan sát thấy, tốn có đối xứng hai kiến nên điểm rơi xảy Thế lại giả thiết ta tìm Giả thiết cho

đồng thời số xuất biểu thức nên ta nghĩ đến chuyện giả thiết vào Khi ta có:

Và điều ta cần sử dụng đánh giá để triệt tiêu tử số mẫu số, tức tìm số thỏa mãn:

Thì lúc Câu chuyện tìm , quan sát thấy biểu thức tích hai thừa số dương, ta sử dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương phải thỏa mãn điều kiện điểm rơi Với thức cuối, với điểm rơi ta có

Cũng với tư đó, ta thấy:

2

x

1 1

x x x

3

x

; ;

x y z xy yz zx

2 2

3

6 6

x y z

P

x y z

2 2

6 x y z

6 x y x z y z y x z x z y

3

2 2

x y x z x y y z z x z y

9

3

2

x y z

2 2

3 2

3

6 6

x y z

P

x y z

1;

x y z

min

2

P

;

x y

x y kz x y 1;z xy yz zx

P P

3

6

x y z

P

x y x z y z y z z x z y

m

6 x y x z y z y z z x z y m x3 3y 2z

1

P

m m

x y z x z y

2

x y z

(131)

Nên

Tức

1 Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:

2 Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 39 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2010 (vòng 1)] Với a,b số thực thoả mãn đẳng thức

4 ) )(

( +a +b = , tìm giá trị nhỏ

của biểu thức 4

1

1 a b

P= + + +

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp –xki ta có

(a2;1) (1; 4) ta có

2 " :" ); ( 17 ) ( ) ( 17 2

4 +  +  +  + =  =

a Dau a a a a

(b2;1) (1; 4) ta có

2 " :" ); ( 17 ) ( ) ( 17 2

4 +  +  +  + =  =

b Dau b b b b

Từ (1) (2) ta có (*)

17

2 + +

 a b

P Mặt khác Từ GT ta có

4

5

=

+

b

ab

a

Lại áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có:

2 " :" ; ) ( ) ( 4 2 2 2 2 = =  =  +  = + +  + +            +  +  + b a Dau b a ab b a b a ab b a b b a a

Thay Vào (*) ta có

2 17 17 = +  P 6

x y x z

x y x z

y z y x

y z y x

3

6 3

2

x y x z y z y z z x z y x y z

min

2

3

P P x y 1; z

; ;

a b c a b c

1

bc ca ab

P

a bc b ca c ab

; ;

a b c a b c

3

bc ca ab

P

(132)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 121 Vậy 2 17 )

(P =  a =b =

Min

Bài 40: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2010 (vòng 2)]

Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng:

2

xy z 2x 2y

1 xy + + +  + Lời giải Ta có

(

)

2 xy z x y z x y

xy z 2x 2y

1 xy xy

+ + + + +

+ + +



+ +

(

)(

)

1 xy xy

+ + + + + + +

  =

+ +

Dấu “=” xảy x y z

3 = = =

Bài 41: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2009 (vòng 1)] Với a, b chữ số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức

) ( )

( a b b b a

a b a P + + + + = Lời giải áp dụng BĐT Cô si cho số dương

9a 4a+5b ta có

2 13 ) (

9a a+ b  a+ a+ b = a+ b

9b 4b+55 ta có

2 13 ) (

9b b+ a  b+ b+ a = b+ a

Nên 18 18 ) ( = + +  b a b a

P nên Min(P) =

3

khi a = b

Cách khác áp dụng bất đẳng thức Bunhicôpsky dãy

b

a; dãy 4a+5b; 4b+5a ta có

(133)

ab b ab a a b

b a b a b a b a b a b a =  + = +  + = +  + =

+ 2

5 5 5

Bài 42 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2009 (vòng 1)] Với a, b, c số thực dương, chứng minh

5 14 14 14

3 2

2 2 2 2 c b a ca a c c bc c b b ab b a

a  + +

+ + + + + + + + Lời giải

Ta có a b ab a b a b a b 2a 3b

2 ) )( ( 14

3 + + = + +  + = +

c b c b c b c b cb c

b

2 ) )( ( 14

3 + + = + +  + = +

a c a c a c a c ac a

c

2 ) )( ( 14

3 + + = + +  + = +

Ta có Q a c c c b b b a a P ca a c c bc c b b ab b a a P = + + + + +  + + + + + + + + = 3 14 14 14 2 2 2 2 2 2

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy

a c c c b b b a a ; ;

2 + + + 2a+3b; 2b+3c; 2c+3a

Ta có ( )

5 ) ( ) 5

( a b c a b c Q a b c

Q + +  + +   + + ( )

5 c b a Q

P  + +

Dấu “=” xảy khi a=b=c

Cách khác: Chứng minh Q ( )

1

c b a+ +

 áp dụng BĐT Cô-Si

25 25 5 25 3 2 b a b a a b a a a b a b a

a  − + = −

+   + +

+ tương tự

25 ; 25 2

2 c a

a c c c b c b b −  + −  + Vậy 25 25 25

8a b b c c a a b c

Q − + − + − = + +

Bài 43 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2009 (vòng 2)] Giả sử x,y,z số thực thoả mãn điều kiện

2 , ,

0x y z x+ y + z =

Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức :

(

)

z

y

x

z

y

x

(134)

Giả sử x,y,z số thực thoả mãn điều kiện

, ,

0x y z x + y + z =

Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức :

(

)

4 4

z y x

M = + + + − − −

Giải: cách đặt 1-x = a;1 - y = b;1 – z = c a + b + c = nên a3 + b3 + c3 = 3abc

−1a;b;c1

M=(1-a)4+(1-b)4+(1-c)4+12abc=a4+b4+c4-4(a3+b3+c3-3abc)+6(a2+b2+c2)-4(a+b+c)+3 M= a4+b4+c4+6(a2+b2+c2)+3

áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy a;b;c 1;1;1 ta có 3(a2+b2+c2)(a+b+c)2=0

Nên a2+b2+c20 Dấu “=” xảy a=b=c=0

áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy a2;b2;c2 1;1;1 ta có 3(a4+b4+c4)(a2+b2+c2)2=0

 a4+b4+c40 Dấu “=” xảy a = b = c =

Vậy M3 suy (M)= a=b=c=0 x=y=z=1

Mặt khác a2+b2+c2=(1-x)2+(1-y)2+(1-z)2=3-2(x+y+z)+x2+y2+z2= x2+y2+z2-3

Giả sử 0x yz2; ta có x2+y2+z2-3=(x+y)2-2xy+z2 -3(3-z)2 +z2-3=2z2-6z+6 x2+y2+z2-3=2z2-6z+6=

2 3

2  +     

 −z 0<z2 suy a2+b2+c22

ta có a2;b2;c2

 

Max(M)=17 (a;b;c)=(-1;0;1) hoán vị hay (x;y;z) =(0;1;2)và hoán vị Cách 2: thay x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2-2(x2y2+y2z2+z2x2)

Mà x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=9-2a (đặt xy+yz+zx=a)

x2y2+y2z2+z2x2=(xy+yz+xz)2-2xyz(x+y+z)=a2-6xyz

12(1-x)(1-y)(1-z)=12(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz)=12a-12xyz-24

Nên M=(9-2a)2-2(a2-6xyz)+ 12a-12xyz-24=81-36a+4a2-2a2+12xyz+12a-12xyz-24

M=2a2-24a+57=2(a-6)2-15 (*)

Ta có x2+y2+z2 xy+yz+zx(x+y+z)2 3(xy+yz+zx) nên a3

Ta có (2-x)(2-y)(2-z) 08-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz0

xy+yz+zx2+xyz2 hay a2 2a3 thay suy -4(a-6) -3 Hay 16 (a-6)2 vào (*) 3M17

Vậy Min(M)= a=3 x=y=z=1;

Max(M) =17 a=2 (x;y;z)=(0;1;2) hốn vị

Bài 44 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2014 (vòng 2) Với a b c; ; số thực không âm, chứng minh

2 2 2 2 2 2 2

a b ab b c bc c a ca a b c

Lời giải

Ta có

2

2 3 2

7 7

2 2 4

a b

b b b

a

2 2

a b

(135)

Tương tự 2 ; 2

2 2 2

b c c a

b c bc c a ca

Cộng bất đẳng thức suy

2 2 2 2 2 2 2

a b ab b c bc c a ca a b c

Điều phải chứng minh

Nhận xét: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng đơn giản lợi dụng đánh giá đại lượng không âm

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki phát biểu dạng: cho a b x y; ; ; số thực dương, ta

ln có 2 2

ax by a b x y

• Các đại lượng không âm 2

0;

a b am bn

Ý tưởng: Bất đẳng thức cho biểu thức đối xứng đẹp, với đối xứng ta dự đoán điểm rơi a b c Bây quan sát bên VT biểu thức biểu thức đồng

nhất, bậc hai chứa hai biến số với vai trò a b c; ; , mặt khác bên VP chứa

hàm số bậc Vậy nên ta tư biểu thức bậc hai biểu diễn hay đánh giá qua biểu thức phương xuất biểu thức VP Do

, ,

a b c có vai trị nhau, nên ta cần với m n, dương cho

2 2 , ; 0

a b ab ma nb a b , hai lại đánh giá tương tự Và dự đốn

ban đầu, điều ta mong muốn là:

2

2 2 0

a b ab ma nb k a b với a b k, , Vì cách đồng hệ số biểu thức trên, ta có:

2

2 2 2 2

a b ab ma nb a b ab ma nb

2

2 2

1 m a 2mn ab n b k a b

2

1

; ;

4 16

2

k m n

m n k

k mn

Với điều này, suy 2 ; , 0

4

a b ab a b a b , từ suy luận ngược trở lại theo Bunhiacopxki sau:

2

3

7 7

2 2 4

a b

b b b

a

2

2 2

a b

(136)

Tương tự cho hai thức cịn lại, ta có:

2 2 ; 2

2 2 2

b c c a

b c bc c a ca

Cộng đánh giá lại với nhau, ta suy điều phải chứng minh Bài toán kết thúc

1 Cho a b, hai số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

2 2

4a 2ab 19b 19a 2ab 4b a b 2 Cho a b c, , số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

4 4

3 3 3 2

a b c a b c

a b b c c a

Bài 45 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2013 (vòng 1)

Với x y z; ; số thực thỏa mãn x y z xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu

thức

4 4

P x y z

Lời giải Trước hết ta chứng minh với x y z t; ; ;

2

2 2

x y z t x z y t (*)

Thật vậy, bất đẳng thức (*) tương đương với

2 2 2 2 2

x y z t x y z t x2 2xz z2 y2 2yt t2

2 2

x y z t xz yt

Đúng theo bất đẳng thức Bunhia cốp xki

2 2 2

x y z t xz yt xz yt xz yt

Áp dụng (*) ta có P x4 y4 z4

2

2 2 2 4

2 x y z

2

2 2 2 2

(137)

2 2

36 x y z

Ta có x 12 y 12 z 12 x y y z2 z x2

2 2

3x 3y 3z 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx

2 2 2

3x 3y 3z 2.6 12 x y z Từ P 36

Dấu “=” xảy x y z

Vậy min

Nhận xét: Bài toán sử dụng kết mở rộng (hay phát triển từ bất đẳng thức Bunhiacopxki) kết hợp với kỹ thuật chọn điểm rơi (để đánh giá tổng đại lượng không âm) để tìm giá trị nhỏ biểu thức

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số x y z t; ; ;

2 2

( x y z t xz yt

• Phát triển tử bất đẳng thức trên, ta có:

2 2 2 2

2 x y z t xz yt x y z t 2xz 2yt

2

2 2 2 2 2 2

x y x y z t z t x z y t

2

2 2

x y z t x z y t

2

2 2

x y z t x z y t (*)

Ý tưởng: Bài toán biểu thức cực trị giả thiết, vai trị biến điểm rơi xảy x y z k Và thay ngược lại giả thiết, ta có:

2

3

1

0

k k

k x y z

k Với điểm rơi này, ta đánh giá thoải mái Đầu

tiên, xét tới biểu thức P có dạng bậc bốn ta đánh giá để bậc bé Áp dụng bất đẳng thức (*), xét cho hai thức đầu P, có:

2

4 2 2

4 x y 2 x y x y

2

2 2 2

(138)

Suy P 36 x2 y2 z2 , từ giả thiết ta cần tìm x2 y2 z2 m

coi toán kết thúc Thật vậy, với điểm rơi ban đầu tìm ta có đại lượng khơng âm là:

2 2

1 1

x y z x y y z z x

Cộng hai đánh giá theo vế khai triển bình phương ta được:

2 2

3x 3y 3z 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx

2 2 2

3x 3y 3z 12 x y z

Do 2 2

min

36 5

P x y z P x y z

1 Cho x y; hai số thực dương Chứng minh

2

9 x y 36 x y

2 Cho x y z; ; số thực dương thỏa mãn xyz x y z Tìm giá trị nhỏ biểu

thức

2 2

9 9

P x y z

Bài 46 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2013 (vòng 1) Cho a b c; ; Chứng minh

3 3 3

2 2

11 11 11

2

4 4

a b b c c a

a b c

a ab b bc c ca

Lời giải

Ta chứng minh 3

2

11

3

a b

a b

a ab

3

11a b 3a b 4a ab

3 3 2

11a b 12a 4a b 3a b ab

2 3

a b ab a b

2

(a b a b)( )

Tương tự 3 3

2

11 11

3 ;

4

b c c a

b c c a

(139)

Cộng ba bất đẳng thức ta có

3 3 3

2 2

11 11 11

2 2

4 4

a b b c c a

a b c

a ab b bc c ca

Dấu xảy a b c

Nhận xét: toán sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kết hợp với phương pháp hàm số biến thiên để chứng minh bất đẳng thức

Ý tưởng: Đây bất đẳng thức đối xứng vai trị biến Vì vậy, điểm rơi tốn xảy a b c Khi đưa ta đến đẳng thức

2 2

; ;

a b b c c a , lợi dụng điều ta biến đổi tương đương bất đẳng

thức Tiếp theo quan sát vế trái bất đẳng thức có dạng bậc ba chia bậc hai, đồng thời vế trái có xuất bậc ta cần đánh giá

3

2

11

a b

m a n b

a ab (*) biểu thức

còn lại lập luận tương tự có điều phải chứng minh Và cơng việc cuối tìm m n; • Trước hết, với điểm rơi a b vào (*) ta có: m n

• Quy đồng biểu thức (*), ta được: 11a3 b3 m a. n b. 4a2 ab

3 2 3

3 2

4 11

ma na b ma b nab a b

m a m n a b nab b

Quan sát hệ số

b đồng thời bất đẳng thức a b3 tìm ta nghĩ đến chuyện a b;

hệ số hay nói cách khác 11

m

m n

3

m

n suy (*)

3

2

11

3

4

a b

a b a b a b

a ab

Tương tự, ta có 3 3

2

11 11

3 ;

4

b c c a

b c c a

b bc c ca

1 Cho a b c; ; số thực dương Chứng minh

2 2

2 2 3

4

a a b b b c c c a

a b c

a b b c c a

2 Cho a b c; ; số thực dương Chứng minh

3 3

2 2 2 2

a b c a b c

a b b c c a

(140)

Giả sử a b c; ; số dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

1 1

P

ab bc ca a b c

Lời giải

Ta có 1 1 1 2 12 2

3 3

P

ab bc ca ab bc ca a b c

2 2

2 16

3ab bc ca 3ab 3bc 3ca a b c

Mà

3

ab bc ca a b c

2

2 2

3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca a b c

2

1

( ) ( ) 12

3 a b c a b c

2 16 10

3 12

P

Dấu “=” xảy a b c

Vậy min 10

P

Nhận xét: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Cosi từ dựa vào điểm rơi tốn để phát bổ đề cần dùng

• Hằng đẳng thức 2 2 2

2

a b c a b c ab bc ca

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm a b ab • Từ bất đẳng thức Cosi, phát triển đánh giá sau:

1 1 1 1 16

;

a b c a b c a b c d a b c d

• Đánh giá qua tổng đại lượng không âm:

2 2 2 2 2

0

a b b c c a a b c ab bc ca

Ý tưởng: Nhận thấy dạng bất đối xứng, nên ta dự đoán dấu “=” xảy

a b c mà a b c 3, nên suy a b c Việc biết trước điểm rơi giúp ta vận dụng

các đánh giá cách linh hoạt Tiếp theo, biểu thức có xuất 2

a b c nên ta cần

nghĩ đến đẳng thức 2 2 2

2

(141)

toán Vì a b c nên 2 12 2

3

a b c ta cần tạo lượng

1

3 để cân với biểu thức 2 12 2

a b c

Cụ thể 1

3ab 3bc 3ca, biểu thức P trở thành:

2 2

2 1 1 1

3 3

P

Vậy nên, theo bất đẳng thức Cosi, suy ra:

1 1 1

3

ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca

2 2 2

1 1 16

3ab 3bc 3ca a b c 3ab 3bc 3ca a b c

Mặt khác 2

3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca, nên ta được:

6 16

9

P

ab bc ca ab bc ca

Từ đây, dựa vào tổng đánh giá đại lượng khơng âm ta có:

2 2 2 2 2

0

a b b c c a a b c ab bc ca

2

3 3

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca

Cuối cùng, ta thu 16 10 3

P

1 Cho a b; hai số thực dương thỏa mãn a2 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

1

P a b

b

a

2 Cho a b c; ; số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

4

a b c ab bc ca bc

P

abc b c

Bài 48 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2012 (vòng 1)

Giả sử a b; số thực dương thỏa mãn điều kiện a b Tìm giá trị nhỏ biểu

thức 2 2

1

a b

P

b a

(142)

Theo bất đẳng thức Cosi

3

2

1

8

1

a b b

a b

3

2

1

8

1

b a a

b a

1 1

4 2

a b

P a b P a b

Dấu “=” xảy a b

Vậy min

P

Nhận xét: Bài toán sử dụng kỹ thuật đánh giá qua bất đẳng thức Cosi đốn điểm rơi, hay cịn gọi kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cosi

• Bất đẳng thức Cosi cho ba số thực dương a b c 33abc

Ý tưởng: Trước hết quan sát thấy bất đẳng thức đối xứng vai trị hai biến ta khẳng định a b, đồng thời kết hợp với giả thiết có điểm rơi

tốn a b Mặt khác, biểu thức P hai phân số có dạng bậc ba bậc hai sử dụng giả thiết ta cần tìm số k cho

3

2 2

1

a b

P k a b h k h

b a

Với

điểm rơi dự đoán a b 1, ta thấy

3

2

1

a b

b a

Vì vậy, để sử dụng bất

đẳng thức Cosi cho ba số ta cần tạo thêm hai lượng

8 Do đó, ta đánh sau:

3

2

1 1

;

8 8

1

a b b b a a

a b

b a

3

2

1 1

2 2

1

a b

P a b

b a

1 Cho x y; hai số thực dương thỏa mãn x y; Tìm giá trị nhỏ biểu thức

12

y x P

y x xy

2 Cho x y; hai số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 2

2

(143)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 132 Bài 49 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2012 (vòng 1)

Giả sử a b c; ; số thực dương Chứng minh

2 2

1 a b c a b b c c a

Lời giải Theo bất đẳng thức Cô si:

4

2 2 2

1 a b a b a b Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

2 2 2

1 a b a b (a b)

2

1 a b a b

Tương tự: 2

1 b c b c c2 a2 c a

Cộng ba bất đẳng thức chia cho ta có

1 1 a2 1 b2 1 c2 a b b c c a

2 Dấu “=” xảy a b c

Nhận xét: Bài toán kết hợp hai bất đẳng thức quen thuộc Cosi Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: a b ab • Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số a b c d; ; ; :

2 2 2 2 2

ac bd a b c d

Ý tưởng: Bất đẳng thức cho đối xứng, vai trò biến hồn tồn suy điểm rơi hay nói cách khác a b c dấu đẳng thức xảy Sẽ có bạn hỏi việc dự đốn

trước điểm rơi để làm Thực cơng việc quan trọng giúp ta phát cần áp dụng bất đẳng thức áp dụng Như bên nói, vai trò a b c; ;

nhau nên ta cần chứng minh 2

1 a b k a b (*) biểu thức lại đánh giá tương tự Với điểm rơi a b để bất đẳng (*) thức xảy dấu “=”

2 2k k Và ta chứng minh: 1 a2 1 b2 2 a b

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 1 a2 1 b2 2 14 a2 1 b2 đó, ta cần chứng

minh 1 a2 1 b2 a b Đây kết quen thuộc, ta biến đổi tương đương

(144)

2 4 2

1 a b a b a b (điều phải chứng minh)

1 Cho số thực dương a b c; ; Chứng minh

2

3

a b c a bc b ca c ab

2 Cho số thực dương a b c; ; Chứng minh

2 2

1 1

3

a b c

b c a c a b

Bài 50 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2012 (vòng 2) Giả sử a b c; ; số dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

1 1

P

ab bc ca a b c

Lời giải

Ta có 1 1 1 2 12 2

3 3

P

2 2

2 16

3ab bc ca 3ab 3bc 3ca a b c

Mà

3

ab bc ca a b c

2

2 2

3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca a b c

2

1

( ) ( ) 12

3 a b c a b c

2 16 10

3 12

P

Vậy min 10

P

Nhận xét: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Cosi từ dựa vào điểm rơi toán để phát bổ đề cần dùng

• Hằng đẳng thức 2 2 2

2

a b c a b c ab bc ca

(145)

1 1 1 1 16

;

a b c a b c a b c d a b c d

• Đánh giá qua tổng đại lượng không âm:

2 2 2 2 2

0

a b b c c a a b c ab bc ca

Ý tưởng: Nhận thấy dạng bất đối xứng, nên ta dự đoán dấu “=” xảy

a b c mà a b c 3, nên suy a b c Việc biết trước điểm rơi giúp ta vận dụng

các đánh giá cách linh hoạt Tiếp theo, biểu thức có xuất 2

a b c nên ta cần

nghĩ đến đẳng thức 2 2 2

2

a b c a b c ab bc ca nên ta cần đánh giá mẫu số cho vừa xuất đẳng thức đó, vừa thỏa mãn điều kiện điểm rơi toán Vì a b c nên 2 12 2

3

a b c ta cần tạo lượng

1

3 để cân với biểu thức 2 12 2

a b c

Cụ thể 1

3ab 3bc 3ca, biểu thức P trở thành:

2 2

2 1 1 1

3 3

P

Vậy nên, theo bất đẳng thức Cosi, suy ra:

1 1 1

3

ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca

2 2 2

1 1 16

3ab 3bc 3ca a b c 3ab 3bc 3ca a b c

Mặt khác 2

3ab 3bc 3ca a b c ab bc ca, nên ta được:

6 16

9

P

ab bc ca ab bc ca

Từ đây, dựa vào tổng đánh giá đại lượng khơng âm ta có:

2 2 2 2 2

0

a b b c c a a b c ab bc ca

2

3 3

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca

Cuối cùng, ta thu 16 10 3

P

3 Cho a b; hai số thực dương thỏa mãn a2 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

1

P a b

b

(146)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 135 4 Cho a b c; ; số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

4

a b c ab bc ca bc

P

abc b c

Bài 51 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTNHN( DB ) -2011 (vòng 1) Giả sử a b c; ; Chứng minh

3

6

1 1

a b c b c a c a b

bc a ca b ab c abc

Lời giải Ta chứng minh đẳng bất đẳng thức:

Với x y z; ;

3

6

1 1 1

xyz

x y y z z x

z x y xyz (*)

Dấu xảy x y z

Bất đẳng thức tương đương với

3

1 1

xyz

x y y z z x

z x y xyz

3

1 1

xyz

x y z

z x y xyz

+) Ta có 1 x y z 1 33 xyz (1)

+) Với x y; ta chứng minh

1

1 x y 1 xy (2)

2 2

1

x y

x y xy xy

2 x y xy xy x y 2 x y 2xy xy xy x y xy

2

1

xy x y (bất đẳng thức hiển nhiên đúng) +) Với x y z; ; ta chứng minh

3

1 1

1 x y z 1 xyz (3)

3

1 1

1 1 1 1

P

x y z xyz xyz

(147)

3

2 4

1 1 1

P

xy z xyz xyz xyz xyz

Từ (1) (3), suy (*)

Trở lại toán: Bất đẳng thức cho tương đương với

3

6

1 1 1

1 1

abc

b c c a a b

a b c abc

Với 1 1; ;

a b c Áp dụng (*), suy điều phải chứng minh

Nhận xét: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Cosi bất đẳng thức bổ đề để chứng minh bất đẳng thức

• Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: a b ab

• Bất đẳng thức Cosi cho ba số thực dương: a b c 33abc

• Bất đẳng thức bổ đề: 1 , ; 0,

1 x y 1 xy x y xy

Ý tưởng: Đây toán khó, ngồi việc biểu diễn theo bất đẳng thức Cosi đòi hỏi người làm cần kết hợp với bất đẳng thức bổ đề Nếu chưa tiếp xúc làm Và hướng tiếp cận bổ đề sau:

1

1 x y xy

2 2

1

x y

x y xy xy

2 x y xy xy x y 2 x y 2xy

2 xy xy x y xy

2

1

xy x y (bất đẳng thức hiển nhiên với xy 1)

Với a b c; ; Chứng minh

3

1 1

(148)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 137 Bài 52 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2019 (vòng 1)]

Cho số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Lời giải:

Biểu thức viết lại dạng

Đặt ta có

Dấu đẳng thức xảy và Vậy

Bài : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2018 (vòng 2)]

Cho số thực không âm x, y, z thay đổi thỏa mãn

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Q = x + y + z

Lời giải: Tìm giá trị lớn P:

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

Cộng bất đẳng thức lại theo vế, sau cộng hai vế bất đẳng thức thu với , ta

Từ suy

Mặt khác, dễ thấy dấu đẳng thức xảy x = y = z = nên ta có kết luận max Q = Giá trị nhỏ P: Ta chứng minh với dấu đẳng thức xảy chẳng hạn

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ,

x y

( )( ) 2

2 13 26 24 46

P=xy x− y+ + x + y − x+ y+

P P=x x( −2) (y y+ +6) 13x x( − +2) 4y y( + +6) 46

( 2)

a=x x− =(x−1)2−1 b= y y( − + =6) (y+3)2−9

( )( )

13 46 13

P=ab+ a+ b+ = a+ b+ −

( )2 ( )2

1 3 3.4

x y

   

= − +   + + −  −

6 =

1

x = y = −3 minP =6

2 2 2 2 2

6

+ + + + + =

x y z x y y z z x

2 + 1 2 , 2+ 1 2 , 2 + 1

x y xy y z yz z x zx

2+ +

x y z

( )2 2 2 2 2

3

+ +  + + + + + + =

x y z x y z x y y z z x

3 

Q

6 

Q

6 

Q

2 2 2 2 2 2 2 2

(149)

Từ suy

Chứng minh tương tự, ta có Do đó, ta có

Hay

Vậy

Bài 53 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 1)] Các số thực không âm thỏa mãn hệ điều kiện

Chứng minh

Lời giải: Các số thực không âm thỏa mãn

Chứng minh

Từ ta Do ta có hệ

Mặt khác ta có

Để ý ta thấy

Nên ta

Vậy ta có Dấu xẩy

Bài 54 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2017 (vòng 2)]

Cho số thực dương a, b, c, d tùy ý Chứng minh bốn số sau có số không nhỏ

7

 − 

xy

2,

 

yz zx

2 = + + +2 +2 +2  2+ + + 2 + 2 + 2 =6.

Q x y z xy yz zx x y z x y y z z x

6 

Q

minQ=

1, 2, 3, , x x x x

1

10 18

x x x x

+ + + + =



 + + + + = 

1

1.19x +2.18x +3.17x + + 9.11x 270

1

x , x , x , , x

1

x x x x 10 x 2x 3x 9x 18

 + + + + =



 + + + + =



1

1.19x +2.18x +3.17x + 9.11x+ 270

1

x +x +x + x+ =10 x

(

)

(

)

(

)

1

9 x x x x 90

19x 29x 39x 99x 270 10 x 2x 3x 9x 180

 + + + + =

  + + + + =

 + + + + =



(

) (

)

(

)

1 9

1

2

1.19x 2.18x 3.17x 9.11x 19x 36x 51x 99x 19x 29x 39x 99x 7x 12x 15x 7x

270 7x 12x 15x 7x

+ + + + = + + + +

= + + + + + + + +

= + + + +

2

7x +12x +15x 7x+ 0

(

)

270+ 7x +12x +15x + 7x+ 270

1

1.19x +2.18x +3.17x + 9.11x+ 270

2

1

2

1

9

1

7x 12x 15x 7x

x x x x x 10

x x x x x 2x 3x 9x 18

x 19x 29x 39x 99x 270

 + + + + =

 =

 + + + + =



  = = = = =

 + + + + = 

  =



 + + + + =

(150)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 139 Lời giải:

Giả sử bốn số nhỏ Khi ta có

Mặt khác ta lại có

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta chứng minh

Do áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta

Trái điều giả sử Do khơng thể có bốn số nhỏ hay bốn số có số khơng nhỏ

Bài 55 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2016 (vòng 1) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh:

5a+ +4 5b+ +4 5c+ 4

Phân tích để ý thấy dấu = BĐT không xảy mà xảy

hốn vị Do khó để sử dụng BĐT quen thuộc Có kinh nghiệm nhỏ đứng trước toán BĐT có điểm rơi ta thường khai thác tính bị chặn biến

Lời giải

Từ giả thiết ta có Từ ta

Cộng theo vế bất đẳng thức ta

2 1 1 1 1

a ; b ; c ; d

b c c d d a a b

+ + + + + + + +

2 1 1 1 1

P a b c d 12

b c c d d a a b

= + + + + + + + + + + + 

2 1 1 1 1 2 2 1 1

P a b c d a b c d

b c c d d a a b a b c d

 

= + + + + + + + + + + + = + + + +  + + + 

 

(

)

(

)

4 a b c d a b c d ;

a b c d a b c d

+ + +  + + + + + + 

+ + +

(

)

(

)

2

3

a b c d 16 16

P

4 a b c d a b c d

a b c d 16 16

3 12

4 a b c d a b c d

+ + +

 + +

+ + + + + +

+ + +

 =

+ + + + + +

• a b c

3 = = =

a =1; b= =c

2 2

0 a, b, c 1  a a; b b; c c

2

5a a 4a a 4a a

5b b 4b b 4b b

5c c 4c c 4c c

+ = + +  + + = +

(151)

Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy hoán vị

Bài 56 : [ Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 1)]

Cho biểu thức với a > 0, b > 0, a ≠ b

1 Chứng minh

2 Giả sử a, b thay đổi cho Tìm giá trị nhỏ P Lời giải

Ta có:

Vậy

2.Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương 4a b ta có:

Dấu xảy

Vậy minP = 25 ⇔

Bài 57: [ Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015 (vòng 1)] Tìm số thực khơng âm a b thỏa mãn

a =1; b= =c

2

2 2

1 1

 + +  − 

  

  

=

 

+ − + 

 

a b

b a a b

P

a b a b

b a

1

P ab

=

4a b+ + ab=1

2

2 2

2 4 3

2 2 2 2 2

1

1   − 

 + +  −  + +

  

    

    

= =

 

+ − +  + − + 

   

a b ab a b

a b

ab ab ab ab

b a a b

P

a b a b a b a b ab

b a

b a a b a b a b a b

2 2 3 3

2 3 3

4 3 3

2 2

( ) ( )( )

1

( )( )

 + +  − − −

 

 

= = =

+ − − − −

a b ab a b a b a b

ab a b a b

ab a b a b ab a b a b

a b a b

1

P ab

=

4

1

0

5 25

1 25

a b a b ab

a b ab ab

ab ab

P ab

+  =

= = + + 

=  =  

= = 

1

4 10

10

4

5

a

b a b a

a

a b ab

b

 = 

= 

  = 

 = =

  = 

+ + =

 

  =



10

a b

(152)

Với x, y khơng âm, ta có:

Dấu xảy ⇔ x =

Dấu xảy ⇔ x = y

Áp dụng BĐT (*) với x = a x = b ta

Áp dụng BĐT (**) ta được:

Từ (1) (2) ta suy ra:

Dấu xảy

Vậy giá trị cần tìm

Bài 58 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2014 (vòng 2)] Cho a,b,c số thực dương abc = Chứng minh

Lời giải

2 3 1

2

4 2

 + +  + +  = +  + 

     

a b b a   a  b 

2

1

x (*)

2

 −   = + 

 

  x x

1

2 2

2

( )

2

( ) (**)

−  = − + 

= + + 

= + 

x y x xy y

x xy y xy x y xy

2

3 1

0

4 2

3 1

b

4 2

3

(1)

4

 + + = + + +  + + 

 

  



 

 + + = + + +  + + 

  



    

= + +  + +   + + 

    

a b a b a b

b a a b a

a b b a a b

2 2

1 1 1

4

2 4 4

1

2 b (2)

2

 

 + +  =  +  + +    +  + 

 

        

         

  

= +  + 

  

a b a b a b

a

2 3 1

2 a

4 2

 + +  + +  = +  + 

     

a b b a    b 

1

2

1

4

a

b a b

a b

 =  

 = = = =

 

 + = + 

1

a= =b

1 1

2 2

(153)

Đặt

Thì

Áp dụng Bất đẳng thức

( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương:

Nhân theo vế bất đẳng thức trên, ta được:

Khi Ta có

Dấu “=” xảy

Bài 59 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2013 (vòng 1)]

Các số thực x, y, z thỏa mãn:

Chứng minh x = y = z

Lời giải Điều kiện

Không giảm tổng quát giả sử Ta có

, ;

x y z

a b c

y z x

= = =

1 1

2 2 2

yz zx xy

P

ab a bc b ca c xy xz yz xy yz xz xz yz xy

= + + = + +

+ + + + + + + + + + + +

3 1

2 2

1 1

3 ( )

2 2

yz zx xy

P

xy xz yz xy yz xz xz yz xy P xy yz xz

xy xz yz xy yz xz xz yz xy

− = − + − + −

+ + + + + +

 

− = + +  + + 

+ + + + + +

 

1 1

A+ +B C  A+ +B C

3 1 3

3 ;

A B C ABC

A B C ABC

+ +  + + 

1 1 1

(A B C)

A B C A B C A B C

 

+ +  + +   + + 

+ +

 

9 9

3 ( )

4 4 4

P xy yz xz P

xy yz xz

−  + + =   − =

+ +

2 2

1

xy yz xz xy yz xz xy yz xz

x y z xyz

+ + = + + = + +



 = = =

 =



2011 2012 2013 2011 2012 2013

 + + + + + = + + + + +

 

+ + + + + = + + + + +



x y z y z x

y z z z x y

2011, 2011, 2011

 −  −  −

x y z





x max x y z

2013 2012 2012 2011 2012 2011 2013 2012

+ − + + + − + = + − + + + − +

x x x x y y z z

( )

1 1

1 2013 2012 2012 2011 2012 2011 2013 2012

 + = +

+ + + + + + + + + + + +

(154)

Do nên Đẳng thức xảy x = y = z

Bài 60 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 1)]

Cho số thực dơng x, y thoả mãn điều kiện : Tìm giá trị nhỏ

biểu thức P = x + y

Lời giải Cách 1:

Vì x, y > mà => x > y, Cả hai vế dơng bình phơng hai vế ta có :

=> Đặt xy = X , thay P = x + y ta có

P2 = X(P2 – 4X) <=> 4X2 – P2X + P2 = , coi phương trình bậc hai X =>  = P4 – 16P2 = P2(P2 – 16) Để có nghiệm X,

  => ( P > ) => P (min) =

Khi

Do x > y =>

Vậy P(min) =

Cách

x + y = (x - y) (x + y)2 = (x - y)2xy (x + y)2 = xy(x + y)2 - 4(xy)2

(x + y)2 = => xy-1 >

(x + y)2 = = 4(xy - 1) + + 16 (x + y)2 16 (x + y) 4 (vì x + y > 0)

=> GTNN (x + y) = 4(xy - 1) = xy = mà x + y = => x = + ; y = -

Cách

x + y = (x - y) (x + y)2 = (x - y)2xy (x + y)2 = xy(x + y)2 - 4(xy)2

(x + y)2 = sử dụng phương pháp miền giá trị với phương

trình 4(xy)2 - xy(x + y)2 + (x + y)2 = ẩn (xy) ta (x + y)2 0

,

 

x y x z VT

( )

VP

( )

(

)

x+ =y x−y xy

(

)

x+ =y x−y xy

(

)

(

)

x+y =xy x−y

(

x

y

)

xy

(

x

y

)

xy

4

P 

2

2 2 2

2

4 2 2 2 2

4

P

xy x x

X

Hoac

x y y y

P

  =  = +  = −

= =

 = = 

  + =  

= − = +

  

 =  



2

x y

 = +  

= − 

2

x y

 = +  

= − 

xy  



1 ) (

4

−

xy xy



1 ) (

4

−

xy xy

1

−

xy 

   



1

−

xy 

2

xy  



1 ) (

4

−

xy xy

(155)

(x + y)2 16 (vì x,y số thực dương)

(x + y)2 16 (x + y) (vì x + y > 0)

=> GTNN (x + y) = xy = mà x + y = => x = + ; y =

-Bài 61: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2012 (vòng 2)] Cho n số thực với Kí hiệu số lớn số

.Chứng minh rằng:

Lời giải

Áp dụng nhận xét , ta có

Đẳng thức xảy chẳng hạn

Bài 62: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 1)] Chứng minh bất đẳng thức

Lời giải

Đặt

Khi đó, ta có

Lại có:

Do nên

Bài 63: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2011 (vòng 2)] Cho

1) Chứng minh

2) Tính giá trị biểu thức

Lời giải

 

   

 2

1, , ,2 n

x x x n 3 Max x x



xn



n

x x x





1

, , ,

2

n n n n

n

x x x x x x x x

x x x

Max x x x

n n

−

− + − + + − + −

+ + +

 +

 

2 + + − = x y x y

max x y

(

)

(

)













1 2 1

1 1

1

2

, ,

− + + − + + + + −

− + + − + −

+ +

+ =

+ +

= 

n n

n n n n

n

x x x x x x x x

x x x x x x

x x

n n n

max x x max x x

max x x n

1 = = = n

x x x

1 1

1+ + 3+ + 5+ + + 79+ 80 

1

1 1 1

,

1 79 80 80 81

= + + + = + + +

+ + + + + +

S S

1+ = 81− 1=8 S S

(

)

1

2 2

− − =  = + − 

+ − + +

k k k k k

k k k k

1 

S S S1 4

1

2

2 8

= + −

a

2

4a + 2a− 2=0

2

1

= + + +

(156)

1) Từ giả thiết suy a >

2) Từ (1) suy

Bài 64 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2008-2009(vòng 1)] Cho số thực không âm x,y,z đôi khác thoả mãn

(z + x)(z + y) = Chứng minh bất đẳng thức sau :

Lời giải

Từ GT ta có

Áp dụng BĐT ta có

Vậy

Dấu “=” xảy

Bài 65: Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2019-2020 (Chuyên Tốn, Chun Tin)] Cho số thực khơng âm x y z, , thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M x2 6x 25 y2 6y 25 z2 6z 25

Lời giải

( )

2

2 1 1

2 2

8 8

   

+ = +  +  =  +  + − =

 

a a a a

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 3

1

4 2 4

− − + − +

= a  = + a + + = +a = a + a =

a S a a a

4 ) ( ) ( ) ( 2

2 + + + + 

− y z x z y

x

2

1

( ) ; ( )

(z+x) = +z y (z+y) = +z x





) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 + − + − = + + + + − + + − = + + + + − = + + + + − = y x y x x z y z x z y z y x VT x z y z y x y z x z y x VT

2

A B

+ 

AB

2

2 2 2

1 1 1

( ) 2 ( )

(x−y) +(z+x) +(z+ y) = (x−y) + x−y +  (x−y) x−y + =

4 ) ( ) ( ) ( 2

2 + + + + 

− y z x z y

x

1

( )( )

x y

z y z x

− =  

 + + =

(157)

Từ giả thiết suy x y z; ; Ta có

2

2 2

9 x 6x 25 x 30x 225 8x 24x 15 x 8x x 15 x với

,

x x

(do 0  x 8x x

(

)

x

Do

9 x 6x 25 15 x hay 25 15

x

x x với x, x

Tương tự 6 25 15 ; 6 25 15

3

y z

y y z z với y z, : y z,

Do đó, 15 15 15 45 14

3

x y z

M

Dấu xảy x y z; ; 3;0;0 x y z; ; 0;3;0 x y z; ; 0;0;3 Ta có 5 x2 6x 25 x2 22x 121 4x2 8x 4

11 x x 12 11 x 2với x, x (do 4

(

x

)

x

Do 5 x2 6x 25 11 x hay 6 25 11

x

x x với x, x

Tương tự 11 11

6 25 ; 25

5

y z

y y z z với y z, : y z,

Do đó, 11 11 11 33

5

x y z

M

Dấu xảy x y z

Vậy GTLN M 14 đạt x y z; ; 3;0;0 x y z; ; 0;3;0 ; ; 0;0;3

x y z GTNN M đạt x y z

Bài 66 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2018-2019 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho số thực a b c, , thỏa mãn 0a b c, , 2,a+ + =b c Tìm GTLN GTNN

2 2

a b c P

ab bc ca

+ + =

+ +

(158)

Áp dụng BĐT Co si ta có:

2

2 2

a b ab

b c bc

c a ca

 + 



+  

 +  

(

)

(

)

2 2 2 2 2

2 2

1

2 2

2

1

a b c a b a c b c ab ac bc

a b c ab ac bc

a b c

P

ab bc ca

 + + = + + + + +  + +

 + +  + +

+ +

 = 

+ +

Dấu “=” xảy

3

a b c

a b c a b c

= = 

 + + =  = = = 

Vậy MinP =1khi a= = =b c

Theo đề ta có:

(

)(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2

0 , , 2 2

2

2 12

2 4

2

2 2

2

9

2

a b c a b c

abc ab ac bc a b c

abc ab ac bc ab ac bc abc ab bc ca

a b c ab ac bc

P

ab ac bc a b c

P

ab ac bc

   − − − 

 − + + + + + − 

 − + + + − 

 + +  + 

 + + 

+ + + + +

 = −

+ +

 = −  − =

+ +

Dấu "="xảy

0 0

3

0 , ,

a b c b abc

a c a b c

c a b

a b c

 = 

 + = 

 =  =

 

   + =

+ + =

  =



 + = 

 



Vậy

2

MaxP = abc=0,a b c+ + =3,0a b c, , 2

Bài 67 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

6 6

a a b b c c

M

a a b b c c

Lời giải

(159)

2 2

6 6

a a b b c c

M

a a b b c c

Ta có

2

3

6 3

1

a a a a

a a

a a a a

Áp dụng hoàn toàn tương tự ta 3 3 2

1 1

M

a b c a b c

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng 1

x y z x y z kết hợp với a b c ta

có

3 3 2 1 1 1

3 3

1 1 1

9 9

3 3 15

3 3

M

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c

Dấu xẩy a b c

Vậy giá trị lớn biểu thức M 15, đạt a b c

Bài 68 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2016-2017 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có hay ta

Hồn tồn tương tự ta

Do suy Mà

Nên ta Dấu xảy

Vậy giá trị nhỏ M , xẩy

Bài 69 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh2015-2016 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

1 Chứng minh rằng: a2 b2 x2 y2 ax by 2, a b x y, , , R

2 Cho x, y, z la fba số thực dương x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức

4

3

3a 3b c

M

a b c

4 4

2a a 2a 2a 4a

4

3a 4a 3b4 1 4b3

3 3

3 4a 4b c M

a b c

2 3 3

0

a b a b a b a b

3 3

3

1 4

a b c a b c

M

a b c a b c a b 1;c

1

(160)

y z z x x y

T x y y z z x

x y z

Lời giải 1) Ta có:

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 2

a b x y ax by

a x a y b x b y a x abxy b y

+ +  +

 + + +  + +

2 2

2

a y abxy b x

 − + 

(

)

0

ay bx

 − 

Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên ta toán chứng minh

2) Ta có:

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

y z x z x y

T x y y z z x

x y z

x y z x x y y z y z z x

y z x z x y

x y z

 + + + 

= + + +  + + 

 

+ + + + + +

= + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức câu a ta được:

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

x y z x xz xy y z y z

y z y z y z x y z xy xz

x x x x

y z

xy xz

x x

+ + + + +

+  + = + = + + − +

 

=  + − +

 

Tương tự:

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2

x y y z x z

x z xy yz

y y y

y z z x x y

x y xz zy

z z z

+ +  

+   + − +

 

+ +  

+   + − +

 

Cộng bất đẳng thức theo vế ta được:

(

)

(

)

(

)

3

2

2.6 2

4

x x y y z z

T xy yz zx

y z x z x y

x y z x z y

xy yz zx

y z x z y x

x y z x z y

x y z

y z x z y x

 

  + + + + + − + +

 

   

=  + +   + + + − + +

   

 

 

 

 + − + +

 

 

= −

(161)

Dấu xảy

3

x= = =y z

Vậy giá trị nhỏ T

Bài 70 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2014-2015 (Chung)] Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014

Lời giải Giá trị nhỏ P 2011 a =b =

4P = a2 - ab + b2 + 3(a2 + b2 + + 2ab – 4a – 4b ) + 2014 – 12 = (a-b)2 + (a + b – 2)2 +8044 ≥ 8044

P≥ 2011

Dâu “=” xảy 

2

a b

a b a b

= 

= = =  + − =



Vậy giá trị nhỏ P 2011 a = b =

Bài 71 :[Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2014-2015 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện 2c b+ =abc Tìm

giá trị nhỏ biểu thức S

b c a c a b a b c

= + +

+ − + − + −

Lời giải

Chứng minh 1 , x y,

x+ y x+y   dấu “=” xảy x=y

Từ giả thiết ta có a b c+ − 0,b c a+ − 0,c a b+ − 0

Ta có S 1 1 1

b c a c a b b c a a b c c a b a b c c b a

     

= + +  + +  +  + +

+ − + − + − + − + − + −

     

Mà 2c b abc a b c

+ =  + = nên S 2a

a

 + 

Vậy giá trị nhỏ S 4 dấu xảy a= = =b c Bài 72 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013-2014 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)]

Cho số dương x, y thỏa mãn 3

x− =y x +y Chứng minh 2

1

x +y  Lời giải

Do 3

0,

x  y  nên x− y

3 3 2 2

1

x− =y x +y x −y  x +xy+y x +y 

(162)

(

)(

) (

)(

)

Lời giải

Từ a + b + c = ta có + a = (1 – b) + (1 – c)  (1 b)(1 c)− −

(Vì a, b, c <1 nên – b ; – c ; – a số dương)

Tương tự ta có + b  (1 c)(1 a)− − + c  (1 a)(1 b).− −

Nhân vế ba BĐT ta có:

(

)(

) (

)(

)

đpcm

Dấu xảy a b c = = =

Bài 74: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2012-2013 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Phân chia chín số: 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 thành ba nhóm tùy ý, nhóm ba số Gọi T1

tích ba số nhóm thứ nhất, T2 tích ba số nhóm thứ hai, T3 tích ba số nhóm

thứ ba Hỏi tổng T1+T2+T3 có giá trị nhỏ bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:

1 3

T +T +T 3 T T T

3

T T T =1.2.3.4.5.6.7.8.9=72.72.7071

Do đó, T1+T2+T3 213 mà T ,T ,T1 nguyên nên T1+T2+T3 214

Ngoài ra, 214=72 72 70 1.8.9 3.4.6 2.5.7+ + = + + Nên giá trị nhỏ T1+T2+T3 214

Bài 75 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2011-2012 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho số thực a, b thỏa mãn a+ b Chứng minh rằng:

2

2 ab

a b

+

 

+ +  

+

 

Lời giải

a

2 2 ab

a b

a b +

 

+ +  

+

  ( ) ( ) (

)

( )

2

2 ab

a b ab

a b +

 + − + + 

+

ab

a b 0, a, b, a b

a b +

 

 + −    + 

+

 

Dấu xảy khia b ab a2 ab b2 a b

+

+ =  + + =

+

Bài 76 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2011-2012 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a+ + =b c Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

(163)

,Ta có:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)(

)

2

a abc abc a a bc bc a a a b c bc bc

a a a b a b c bc a a b a c bc

+ + = + + = + + + +

= + + + + = + + +

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: a 1.a a

3

 

=   + 

 

(

)(

)

a b a c bc

2

+ + + +

+ + +  + =

(

)(

)

(

)

a a b a c bc a hay a abc abc a

2 3

   

+ + +   +  + +   + 

   



Chứng minh tương tự:

2 3

b abc abc b ; c abc abc c

2 3

   

+ +   +  + +   + 

   

Mà

3

a b c

abc

3 3

+ +

 

   =

 

(

) (

)

M= a +abc+ abc + b +abc+ abc + c +abc+ abc +6 abc 

3 3

a b c

2 3 3 3

     

  + +  + +  + + = + =

     

Dấu xảy a b c = = =

Bài 77 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2019-2020 (Chun Tốn, Chun Tin)] Cho số thực khơng âm x y z, , thỏa mãn x2+y2+z2 3y

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2

( 1) ( 2) ( 3)

= + +

+ + +

P

x y z

Lời giải Chọn điểm rơi x= =z 1;y=2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có:

2

2 2

( 1) 2( 1) ( 2) 2( 4)

( 3) ( 1 1) 4( 3)

1

2( 1) 0,5( 4) 2( 3)

+  +

+ = + + +  +

  + +

+ + +

x x

y y

z z z

P

x y z

Dễ chứng minh

2 2

( + + )

+ + 

+ +

a b c a b c

x y z x y z với x y z, , 0

(164)

2 2 2

(1 2) 16

2( 1) 0,5( 4) 2( 3) 2( ) 0,5 10 + +

 =

+ + + + + + + +

P

x y z x z y

Từ GT: 2 2 2

3

+ +   +  −

x y z y x z y y

2 2 2

2

2( ) 0,5 10 2(3 ) 0,5 10 1,5 10

16 1,5( 2) 16

 + + +  − + + = − + +

= − − 

x z y y y y y y

y

16 16  P =

Dấu “=” xảy

2 = = 

  = 

x z

y Vậy

1

2 = = 

=   = 

x z P

y

Bài 78: [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2018-2019 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Với x, y số thực thỏa mãn điều kiện (2 )( 1)

4

x y

+ − = Tìm giá trị nhỏ biểu

thức A= x4 +4x3 +6x2 +4x+ +2 y4 −8y3 +24y2 −32y+17 Lời giải

Đặt

2

u x v y

 = + 

= −

 Ta có:

9

(2 )( 1) ( 1)( 1)

4

x y u v

+ − =  + + =

Ta có ( 1)( 1) 1( 2)2 ( 2)2 = u+ v+  u v+ +  u v+ + 

Theo Bunhia ta có:

(

)(

)

u +v + + +  u v+ +  u +v 

Ta có: theo Mincopxki:

4 1 1 ( 2 2) (1 1)2 ( 2 2) 4 4 17

4

A= u + + v +  u +v + + = u +v +  + =

Dấu “=” xảy

1

x y

 = −    = 

Vậy 17

2

Min A =

1

x y

 = −    = 

Bài 79 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho số dương x y z, , thỏa mãn xy+yz+zx=3xyz

Chứng minh

3 3

2 2

1 1

x y z

z x x y y z x y z

 

+ +   + + 

+ + +  

(165)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 154 1

3

xy yz zx

xyz xyz xyz z x y

 + + =  + + =

Lại có: 3 os33

( )

C i

xyz=xy+yz+xz  xyz xyz  + + x y z

Ta có

3

2 2

1

2

1 1

( )

2 2 2

Cosi

x xz xz z z

x x x x

z x z x zx

z z z z z

Do z z z

+

= −  − = −  −

+ +

+ + +

+       − 

3 3

2

1

y x

y x y

z y

z y z

  − +

 +  

+

  −

 + 

Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được:

3 3

2 2

3 1 1

3 ( )

4 2

x y z x y z

x y z dpcm

z x x y y z x y z

 

+ + +

+ +  + + −  − = =  + + 

+ + +  

Bài 80 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2018-2019 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho a, b hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện a 0và a b+ 1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

4

a b

A b

a

+

= +

Lời giải

Theo giả thiết ta có: a+    −b b a

2 2

8 1 1

2

4 4 4

a a

A b a b a a b

a a a

+ −

  + = + − + = + + + −

2 2

1 1 1

2

4 4 4

a a a a a a a a a a

a a a

 + + + − + − = + + − + = + + − + +

2

1 1

2

4 2 2

Co si

a a

a

−  

 + −  +  + =

 

Dấu xảy

1

;

( )

4

2

a a

a b tm

a

b a

 = − =



   = =

 = − 

Vậy

2

MinA=  = =a b

Bài 81 :[ Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2017-2018 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b4 b c4 c a4 3a b c4 4 Chứng minh rằng:

3 3

1 1

4

2 2

(166)

Từ a b4 b c4 c a4 3a b c4 4

ta 14 14 13

a b c

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM a b3 2c2 1 a b3 c2 c2 1 2ac ab 2c

Từ kết hợp với áp dụng bất đẳng thức dạng 1

x y x y ta

3

1 1 1

8

2 2 c

a b c ac ab c ac ab

Hoàn toàn tương tự ta 3 2 1 ; 3 2 1

8

2 a b

b c a ba bc c a b bc ca

Gọi vế trái bất dẳng thức cần chứng minh P, cộng theo vế bất đẳng thức ta

1 1 1 1

8

P

a b c ac ab ba bc bc ca

Bài toán quy chứng minh 1 1 1

a b c

ac ab ba bc bc ca

Áp dụng bất đẳng thức dạng x y z 3 x2 y2 z2

ta có

2

2 2 4

1 1 1 1 1

3 3 3.3

a b c a b c a b c

Từ ta 1

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2 2 2

1 1 1 1 1

ab bc ca

a c a b b c

Ta lại có

2 2 4

2 2 2 4

1 1 1 1 1

3

1 1 1

3

ab bc ca a b c a b c

a c a b b c a b c

Do

2

2 2 2

1 1 1 1 1

9

ab bc ca

a c a b b c

(167)

Suy 1

Do 1 1 1

a b c

Vậy bất đẳng thức cho chứng minh, dấu xẩy a b c + Cách Trường hết ta chứng minh bất đẳng thức bổ đề x4 y4 z4 x y3 y z3 z x3

Thật 2 x4 y4 z4 x4 x y2 y4 y z2 z4 z2 2 x x y2 y z3 z x3 Vậy bất đẳng thức chứng minh

Từ a b4 b c4 c a4 3a b c4 4 ta

4

1 1

3

a b c

Áp dụng bất đẳng thức dạng 1 1

4

x y x y ta

3 3 2

1 1 1 1

4 1 2

P

a b b c c a a b c

Dễ thấy 12 12 12 14 14 14

2

2a 2b 2c a b c

Áp dụng thêm lần bất đẳng thức kết hợp với bổ đề ta

3 3 3 4

1 1 1 1 1 1 3 3

4 4 4

1 1

a b b c c a a b b c c a a b c

Do ta 3 3 3 12 12 12

4 1 2

P

a b b c c a a b c

Vậy bất đẳng thức cho chứng minh, dấu xẩy a b c

Bài 82 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2016-2017 (Chung)] Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh rằng:

5 2 2 2 2

1 1

a b c b c a c a b a b c

Lời giải

Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh rằng:

5 2 2 2 2

1 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho số a b c5; ;

; ;b c

(168)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 157 2

2

5 2 2 2

5 2

2 2

1

1 a b c

a b c b c a b c

a a b c a b c

Chứng minh tương tự ta có

2

5 2

2 2

1

1 b c a

b c a a b c

2

5 2

2 2

1

1 c a b

c a b a b c

Do

2 2

5 2 2 2 2 2 2

1 1

2

1 1 a b c a b c

Mặt khác ta có abc 1 bc;1 ac;1 ab 1 ab bc ac

a b c a b c

Mà ab bc ac a2 b2 c2 Suy

2 2

5 2 2 2 2 2 2 2 2

3

1 1 a b c

a b c b c a c a b a b c a b c

Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xẩy a b c

Bài 83 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Bắc Ninh 2013-2014 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac−bd=1 Chứng minh rằng:

2 2

a +b +c +d +ad+bc Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

(

)(

)

2 2 2 2

a +b + +c d +ad+bc2 a +b c +d +ad+bc

2

(

) (

)

(

)

( )

Đặt ad+bc=x, ta chứng minh:

S=2 x + + 1 x với x Thật vậy,

2 x + + 1 x với x nên:

(

)

2

2 2 2

S =4x +4x x + +1 x + + =1 2x+ x +1 +3

Suy ra:

( )

S   3 S

Từ (1) (2) ta có: 2 2

a +b +c +d +ad+bc 3 (đpcm)

(169)

Cho x > y > Chứng minh :

3 2

(x y ) (x y ) (x 1)(y 1)

+ − + 

− −

Lời giải

3 2 2

(x y ) (x y ) x (x 1) y (y 1) (x 1)(y 1) (x 1)(y 1)

+ − + = − + −

− − − − =

2

x y

y 1− +x 1−

2

(x 1) 2(x 1) (y 1) 2(y 1)

y x

− + − + − + − +

= +

− −

2

(x 1) (y 1) 2(y 1) 2(x 1) 1

y x x y y x

 − −   − −   

= +  + +  + + 

− −  − −   − − 

 

Theo BĐT Côsi

2 2

(x 1) (y 1) (x 1) (y 1)

2 (x 1)(y 1)

y x y x

− + −  − − = − −

− − − −

2(y 1) 2(x 1) 2(y 1) 2(x 1)

x y x y

− + −  − − =

− − − −

1 1

2

y 1− + x 1−  y x 1− −

1 1

2 (x 1)(y 1) 2.2 (x 1)(y 1)

y x y x

 

+ − −  − − =

 − −  − −

 

Bài 85 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2013-2014 (Chung)]

Cho số thực x thỏa mãn x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A

1 x x

Lời giải

Ta có A (2 2x) 2x (1 x) x 2x x

1 x x x x x x

Theo BĐT Cô si: A 2x x

1 x x  A 2

Đẳng thức xảy 

2x x

1 x x

0 x

 x Vậy GTNN A 2

Bài 86 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2010-2011 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Cho ba số dương a, b, c ab+ bc + ca =1 CMR

+ − + + − + + −  + +

2 2 2

a 1 a b 1 b c 1 c 1 1 1

(170)

từ ab+ bc + ca =1 ta có a2 + = a2 +ab+ bc + ca = ( a+ b)(a+ c)

nên áp dụng BĐT Cơsi ta có:

+ −

2

a 1 a bc =

(

)(

)

 =  + 

 

a b a c a

a b a c a 2 1 1 1

bc bc 2 b c ,

tương tự + −

2

b 1 b ac

 

  + 

 

1 1 1 2 a c

+ −   + 

 

 

2

c 1 c 1 1 1

ab 2 a b từ suy đpcm

Bài 87 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Hưng Yên 2008-2009 (Chuyên Toán, Chuyên Tin)] Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi

p a− + p b− + p c−  3p

Lời giải

Bài 88 : [Chuyên Hưng Yên-lớp Toán,Tin năm 2008-2009] Cho a, b số thực dương thoả mãn a b 1+ =

Chứng minh rằng: 2 2 3 2 14 ab+a +b 

Lời giải

Bài 89 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2019-2020 (Chuyên)]

Cho x y z, , số thực thuộc đoạn

 

x

y

z

a) Chứng minh rằng: 2

6

x +y +z 

b) Tìm giá trị lớn biểu thức: 3

3

P= + + −x y z xyz Lời giải

a) Theo giả thiết, ta có:

(

x

)(

y

)(

z

)

(

) (

)

8 x y z xy yz zx xyz

 − + + + + + − 

Từ đó, ta có: 2 2 2

(

) (

)

8

x +y +z x +y +z + − x+ + +y z xy+yz+zx −xyz

(

)

(

)

4

x y z x y z xyz

= + + − + + + −

5 xyz

= −  

b) Ta có:

(

)

(

) (

)

3

P= x+ +y z x +y +z −xy−yz−zx = x +y +z −xy−yz−zx

(

)

(

)

3

2 x y z x y z x y z

   

=  + + − + + =  + + − 

theo chứng minh 2

5

(171)

( )

3

3.5 9

P  − =

(

x y z

)

(

)

P =

Bài 90 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2018-2019 (Khơng Chun Tốn)] Biết 0 x y

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

5

2 )

x y x y y x

x y x y x x y y x y

 + + −   

  + + =

 + + +   + + 

   

 

Tính x

y

Lời giải

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2

5

2

2 .

2( )

3( ) .

1

2

0

1

x y x y y x

x y x y x y x x y y x y

x y xy x y xy y y x x

x y x y xy x y

x y x y xy

x y

x y xy x y

x y xy xy

x y xy

x y

x y x y

 + + −   

  + + =

 + − + +   + + 

   

 

+ + + + − +

 + =

− + + +

+ + −

+

 + =

+ +

+ −

 =

 + − =

 − =

 =  =

Vậy x

y =

Bài 91 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2018-2019 (Chuyên)] a) Chứng minh

0

x − + x với số thực x

b) Cho x y, số thực thỏa mãn điều kiện x2− +xy y2 =3 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức 2

P=x +y

(172)

a,Ta có

2

4 2 1

0

2 4 2

x − + =x x −x + +x − + =x x −  +x− 

   

Dấu xảy

2

0

2

1

0

2

x x

 − =  =

 



   



 − =  =

 

(vơ lý), dấu khơng xảy

Vậy

2

x − + x với số thực x

b,Ta có: 2

3 3

x −xy+y =  −P xy= xy = −P

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số 2 ;

x y ta có:

2

2 2

2

x y x + y  x y = xy  +  xy

2 2

3

2

3

2

3

2

x y x y P P

xy xy

P P

P

P P

P

+ +

 −    −  

−  −  

 

 −  −       

 −   

 

 

Dấu xảy 2

x y x y

 =  =

2 2

1

3

x y

x x x

x x x x y

 = =

 + + =

  

− + =  = =

 

Vậy Pmax = 6 x = y = 3;Pmin = 2 x = y =1

Bài 92 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2017-2018 (Vịng 2)]

a) Cho ba số a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2 abc Chứng minh

a b c

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A, B, C phân biệt với OA OB OC Biết 2 6 0

A B C A B C

x x x x x x Chứng minh ; ;

A B C

Min x x x (kí hiệu xM

là hoành dộ điểm M)

(173)

a) Cho ba số a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2 abc Chứng minh a b c Ta có ab bc ca abc nên ba tích ab bc ca; ; có tích số khơng âm Do vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử tích khơng âm ab Ta có c nên suy ab c Khi ta

2

2 2 0 2 0

a b c abc a b c ab c

Từ dẫn đến a b c2 ab c 2 0 a b c 0

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A, B, C phân biệt với OA OB OC Biết

rằng 2 6 0

A B C A B C

x x x x x x Chứng minh ; ;

3

A B C

Min x x x

Giả sử ; ;

3

A B C

Min x x x , ta 1; 1;

3 3

A B C

x x x

Do vai trò ba số x x xA; B; C nên khơng tính tổng qt ta giả sử x xA B

Mà ta có

3

C

x nên suy x xA B 3xC Khi ta có

2 2 6 0 2 3 1 0

A B C A B C A B C A B C

x x x x x x x x x x x x

Từ suy 2 2 3 1 0 0

A B C A B C A B C

x x x x x x x x x hay ba điểm A, B, C

trùng Điều trái với giả thiết ba điểm A, B, C phân biệt

Do điều giả sử sai hay ta có ; ;

A B C

Min x x x

Bài 93 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2017-2018 ] Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 16 xy x2 y2

x y xy

Lời giải

Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 16 xy x2 y2

x y xy

(174)

2 2

2

16 16

8 10

8 8

10 10

8

10

xy x y xy x y

P

x y xy x y xy

x y x y x y

x y

x y xy xy x y

x y x y xy

x y

xy x y

Mà ta có

2

x y x y xy x y xy nên

2

8

0

x y x y xy

xy x y

Do P 10, dấu xẩy x y Vậy giá trị nhỏ P 10, đạt x y

Bài 94 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2016-2017] Cho x, y số thực dương Chứng minh

2

x y y x x y

x y

Lời giải

Ta có

2

xy x y

x y y x x y x y x y

x y x y x y

Lại có

2

2 2

2

x y

x y x y

Từ ta

2

x y

x y y x x y x y

x y

Ta cần chứng minh

2

1

2 4

x y

hay ta

2

2 1

x y x y x y

Dễ thấy bất đẳng thức cuối đúng, ta có điều cần chứng minh

Vậy ta

2

x y y x x y

x y

Dấu xẩy

4

x y

(175)

a) Tính S x y x y y z y z

b) Tìm giá trị lớn P x y y z z x Lời giải

a) Tính S x y x y y z y z

Ta có x y z x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0

Mà ta có x2 y2 z2 6 nên suy xy yz zx 3 Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2

2

6

S x y x y y z y z x xy y xy y yz zx y yz z

x y z xy yz zx

b) Tìm giá trị lớn P x y y z z x

Do x y z nên ta có 2

3

x y y z x y x y y z y z

Từ suy P x y y z z x 3z x

Ta có z x x z x2 z2 x2 y2 z2 12 Từ suy P 12, dấu xẩy x 3;y 0;z Vậy giá trị lớn P 3, đạt x 3;y 0;z

Bài 96: [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2015-2016 (Chuyên)] Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện: a b+  1

Chứng minh rằng: a a

a b

− −  −

2

4

Lời giải

( )

2

3 9

0 *

4 4

3 3

4 4

a

a a

a b a a b

a a

a a a a a

− −  −  − + − 

+   −  −  − + 

( )

1 1

4b 4b 4a 4b 4a

b+   +b  +  −b 

Lấy (1) cộng (2) ta chứng minh (*) Cách khác:

2 3

4

a a

a b a a

− −  − −

(176)

Ta chứng minh ( )2

(

)

4

a

a a a

a a

− −  −   − + 

− (đpcm)

Bài 97 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2014-2015]

a) Cho x, y số thực khác Chứng minh rằng:

2 2

x y x y

y + x  +y x

b) Cho a, b hai số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

3

( )

a ab b P

ab a b

+ +

=

+

Lời giải

2 2

4 3 3

2 2

2

2 2

) ( 0; 0)

( )( )

0

1

( )

2

( ) ( )

0

x y x y x y x y

a x y

y x y x

x y x y xy x y x y

x y x y

x y x y

x y x xy y

x y x y

+  +   = + − − 

+ − − − −

=  = 

  

−  +  + 

 

 

− + +  

=  = 

(luôn ∀ x,y ≠ 0) a) Tìm minP (a, b > 0)

2

3

( )

(a b)

1

( ) ( )

4

( )

1

1 3

2 ( )

( ) ( )

3

4

4 4 1

2

( ) ( )

a ab b

P

ab a b

a b ab

ab

a b ab a b

ab a b

a b ab

a b ab a b ab

ab a b ab ab a b ab

+ +

=

+

+ +

=

+

+ + + +

=

+

+ + +

= +  + = + =

+ +

Dấu xảy

2

( )

4 a b ab a b

a b

 + =



= = =

 = 

Vậy

2

MinP= = =a b

*Cách khác

2 2

3 ( ) 3

( ) 2

4 4

( ) ( )

a ab b a b ab a b ab a b a b ab

P

a b a b

ab a b ab a b ab ab ab

+ + + + + + +

= = = + = + +  + =

+ +

Bài 98 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014]

Cho x, y hai số dương thỏa mãn x + y = Chứng minh rằng:

3(3x 2) x

y

(177)

Bài 99: [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014]

Cho a, b số dương thoả a2 + 2b2 ≤ 3c2 Chứng minh 1

a+ b c

Lời giải

Bài 100 :

[Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013-2014]

Cho ba số dương a; b c thỏa a + b + c = Tìm GTNN :

(

)

2 2

14 ab bc ca

A a b c

a b b c c a

+ +

= + + +

+ +

Lời giải

Cho ba số dương a; b c thỏa a + b + c = Tìm GTNN :

(

)

2 2

14 ab bc ca

A a b c

a b b c c a

+ +

= + + +

+ +

Ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 

(

)

1

2

a b c

ab bc ca

− + +

= + +

Ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2) = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si:

a3 + b2a ≥ 2a2b ; b3 + bc2 ≥ 2b2c ; c3 + ca2 ≥ 2c2a , dấu “=” xảy a = b = c

suy ra: a2 + b2 + c2 = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a ≥ 3(a2b + b2c + c2a)

suy ra:

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3

1

2

a b c

ab bc ca ab bc ca

a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c

− + +

+ +

   =

+ + + + + + + + + +

Đặt : t = a2 + b2 + c2, ta có : 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 =  t ≥ 1

3, dấu “=” xảy a = b = c =

3

Ta : A = 14 3 28 3 27 3

2 2 2 2

t t t t t

t

t t t t

−

+ = + − = + + −

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si : 27 27

2 2

t t

+  = dấu “=” xảy : t =

Mặt khác : 3 :

2 3

t

 

−  − = −   

 

Suy ra: A 23

3

 − = dấu “=” xảy : a2 + b2 + c2 =

(178)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 167 Vậy A đạt giá trị nhỏ 23

3 , a= b = c =

Bài 101 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013] Cho x, y hai số không âm thỏa mãn x3+y3  −x y

a) Chứng minh rằng: y x 1 

b) Chứng minh rằng: x3+y3 x2+y2 1

Lời giải

a) Ta có: x 0;y 0  x3+y3 −x y Do : x y x−  3+y3 0

Nên x y 0−   x y Ta có : x3+y3x y3− 3=

(

)

(

)

Nên x y− 

(

)

(

)

Nếu x = y x3+y3 0 Ta có : x = y = Nên y x 1 

Nếu x y từ x y− 

(

)

(

)

Vậy y x 1 

b) 0 y x 1   nên y3 y ;x2 3x2 Do : x3+y3 x2+y2 Vì x 2+xy y+ x2 +xy y+ x2+y2 Do đó: x2+y2 1

Vậy x3+y3x2+y2 1

Bài 102 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2013]

Trong kỳ thi, 60 thí sinh phải giải toán Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh ln có toán mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng:

a) Nếu có tốn mà thí sinh khơng giải phải có tốn khác mà thí sinh giải

b) Có tốn mà có 40 thí sinh giải Lời giải Gọi ba toán A, B, C

a) Khơng tính tổng qt, giả sử thí sinh khơng giải toán A

(179)

• Nếu thí sinh giải tốn B tốn C ta có thí sinh giải tốn B; tốn C

• Nếu có thí sinh giải tốn, giả sử giải toán B Xét học sinh với tất học sinh lại Theo giả thiết, có thí sinh giải tốn B Vậy có tốn mà thí sinh khơng giải phải có tốn khác mà thí sinh giải

b) Theo giả thiết ta có thí sinh giải tốn Nếu có thí sinh giải tốn Xét học sinh với tất học sinh cịn lại, ta có thí sinh giải tốn Ta cịn xét trường hợp mà thí sinh giải hai tốn

• Gọi số thí sinh giải A, B mà khơng giải C x, số thí sinh giải B, C mà không giải A y, số thí sinh giải A, C mà khơng giải B z, số thí sinh giải A, B, C t (x, y, z, t N)

Ta có: x y z t 60+ + + = (1)

Cách 1: Giả sử có điều trái với kết luận toán

Ta có: x + z + t < 40; x + y + t < 40; y + z + t < 40

Do : x + z + t + x + y + t + y + z + t < 40 + 40 + 40 2 x y z t

(

)

Điều vơ lí Điều giả sử sai

Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải

Cách : Ta có : số học sinh khơng giải A y, không giải B z, không giải

được C x

Nếu x > 20 ; y > 20 ; z > 20 x + y + z > 60 Mâu thuẫn (1) Do : ba số x, y, z phải có số khơng vượt q 20

Như có tốn mà có nhiều 20 thí sinh khơng giải Do tốn có 40 thí sinh giải

Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải

Bài 103 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2008-2009] Cho a, b, c, d số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d a + d = b + c Chứng minh rằng:

a) a2 + b2 + c2 + d2 tổng ba số phương

b) bc ≥ ad

Lời giải

(180)

a) Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta đặt a = b – k d = c + h (h, k  N) Khi a + d = b + c  b + c + h – k = b + c  h = k

Vậy a = b – k d = c + k

Do đó: a2 + b2 + c2 + d2 = (b – k)2 + b2 + c2 + (c + k)2

= 2b2 + 2c2 + 2k2 – 2bk + 2ck

= b2 + 2bc + c2 + b2 + c2 + k2 – 2bc – 2bk + 2ck + k2

= (b + c)2 + (b – c – k)2 + k2 tổng ba số phương (do b + c, b – c – k k số nguyên)

b) Ta có ad = (b – k)(c + k) = bc + bk – ck – k2 = bc + k(b – c) – k2 ≤ bc (vì k  N b ≤

c)

Vậy ad ≤ bc (ĐPCM)

Bài 104 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh 2008-2009] Cho a, b hai số thực cho a3 + b3 = Chứng minh < a + b ≤ 2.

Lời giải

Cho a, b hai số thực cho a3 + b3 = Chứng minh < a + b ≤

Ta có: a3 + b3 >  a3 > –b3  a > – b  a + b > (1)

(a – b)2(a + b) ≥  (a2 – b2)(a – b) ≥  a3 + b3 – ab(a + b) ≥  a3 + b3 ≥ ab(a + b)  3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b)

 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3  ≥ (a + b)3  a + b ≤ (2)

Từ (1) (2)  < a + b ≤

Bài 105 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong -TP Hồ Chí Minh 2015-2016] Cho hai số dương a , b thỏa mãn điều kiện: a+b 

Chứng minh rằng:

4

a a

a b

−

− − 

Lời giải

Bài 106 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2019-2020 (Chun Tin học)] Với số thực khơng âm a b c, , thỏa mãn a b c+ + =3, tìm giá trị nhỏ biểu thức

(

)(

)

2 2

S = a + b + c +

Lời giải

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :

(181)

Do vai trò a, b, c theo nguyên lý Dirichlet số a2 -1, b2-1,c2-1

luôn tồn số dấu, giả sử b2-1; c2-1

2

2 2

2 2 2

2 2

( 1)( 1)

2 3

( 2)( 2) 3(1 )

b c

b c b c

b c b c b c

b c b c

 − − 

 − − + 

 + + +  + +

 + +  + +

2 2 2

(a 2)(b 2)(c 2) 3(a 2)(1 b c )

 + + +  + + + (2)

Từ (1) (2) , suy ra:

S = = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)3(a +b+c)2 = 3.9 = 27 Vậy GTNN S = 27 a = b = c =

Bài 107 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2019-2020 (Chun Tốn)] Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc =1 Chứng minh rằng:

1

1 1

a b c

ab+ +a +bc b+ + +ca+ +c =

2 Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn 2ab bc+ +2ca=0 Hãy tính giá trị biểu

thức: 2 2 2

8a

bc ca ab

A

b c

= + +

Lời giải

1/ Ta có VT

1

a ab abc

ab a abc ab a ab ac abc ab

= + +

+ + + +  + +

1

1 1

a a b

ab a ab a a ab



= + +

+ + + + + +

1

1 ( )

1

ab a

VP dpcm ab a

+ +

= = =

+ +

2/ Đặt x=2 a, y=b, z=cta xy yz zx 1

x y z

+ + =  + + =

Khi 2 22 2 2 2 2

4

bc ac ab yz zx xy

A

a b c x y z

= + + = + + xyz 13 13 13

x y z

 

=  + + 

 

Mặt khác từ đẳng thức 13 13 13 1 12 12 12 1

x y z xyz x y z x y z xy yz x

  

+ + − = + +  + + − − − =

   ta

có 13 13 13

x + y +z = xyz

3

2A xyz

xyz

 =  = Vậy

2

A =

Bài 108 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2018-2019 (Chuyên Tin)] Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2

3

+ + =

xy z x z y z

Tìm giá trị lớn biểu thức:

(

)

4 4

1 =

+ +

z M

z x y

(182)

Ta có: 2 2 2

2

1

3

+ + =  + + =

xy z x z y z x y x y z z

Đặt 2

, ,

= = =  + + =

x a y b c ab a c bc z

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 4 4

1 4

+ + +   + + 

a a c a c a c a c

Tương tự: 2b4+a4+ 1 3ab2; 2c4+ + b4 1 3c b2

Cộng theo vế ta được:

(

)

(

)

3 a + +b c + 3 ab +a c bc+ =12a + +b c 3

Ta có:

(

)

4

4 4 4

4 4

1 1

1

= = = 

+ +

+ + + +

z M

a b c

z x y x y

z

Vậy giá trị lớn M

1

3 Dấu “=” xảy x = y = z =

Bài 109 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2017-2018 (Chung)] Cho a; b ; c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh

ab c b a

2 2 + −

+

bc a c b

2 2 + −

+

ca b a c

2 2 + −

> Lời giải

2 2 2 2 2

2 2 2

1

2 2

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c b c a a c b

ab bc ac

c a b c abc a b c a abc b a c b abc

c a b c a b c a b a c b

c a b c a b c a b c a b c a b a c b a c b

+ − + + − + + − 

     

 + − +  + + − −  + + − − 

     

  + − +  − − +  − − 

 + − + + + − − − + + − − − + 







2 2

2 2 2

2

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) (

c a b c a b c a b c a a b c b a c b a b c

a b c c a b c a b c a b a c b

a b c ca cb c ab ac a ba bc b

a b c c ab a ba b a b c c a ba b

a b c c a ba b

+ − + + + − − + − + − − + − 

 + − + + + − − + − − 

 

 + −  + + + − − + − − 

   

 + −  + − + −   + −  − + − 

 + − − − + 2

) ( ) ( )

( )( )( )

a b c c a b

a b c c a b c a b

   + −  − − 

   

 + − − + + − 

đúng Vì a;b;c độ dài ba cạnh tam giác ta có : a + b > c suy a + b –c >0 ;tương tụ ta có c + b – a = c - a + b > c + a –b > nhân với với vế ba bất đẳng thức nói ta có ( a + b – c)( c -a + b) (c + a –b) > nên bất đẳng thức đầu → Điều phải chứng minh

Bài 110 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2016-2017 (Chung)] Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z

2 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

1 1

x yz y zx z xy

P

z zx x xy y yz

+ + +

= + +

(183)

Ta có

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

1 1

x yz y zx z xy

P

z zx x xy y yz

+ + + = + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1

xy zx yz y x z P

zx xy yz

x y z

+ + + = + + + + + 2 1

1 1

x

y z

y

z x

P

z x y

x y z

   +   +  +             = + + + + +

Áp dụng BĐT:

(

)

2

1 3

1

1 3

a a a a

a a

b b b b b b

+ +

+ + 

+ + Dấu = xảy 11 22 33

a

a a

b = b = b

2

1 1

1

1 1 1 1 1

x x y z

y z

y x y z

z x

P

z x y x y z

x y z x y z

     +   +  + + + + + +                 = + +    + + +  + + + + +   

1 1

P x y z

x y z

 

 + + + + + 

 

Áp dụng BĐT : 1

x+ + y z x+ +y z

=>

(

)

(

)

9 27

4

P x y z x y z

x y z x y z x y z

 

 + + + = + + + +

+ +  + +  + +

Ta có:

(

)

4

x y z

 

+ + +  =

 + + 

  ;

(

)

27 27

3

4 4.

2

x+ +y z = =

=> 15

2

P  + = Vậy 15

P =

2

x= = =y z

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

1 1

x y z

S

y z x

= + +

+ + +

Lời giải Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x + y + z = Tìm giá trị nhỏ 2 2 2

1 1

x y z

S

y z x

= + +

(184)

Ta có :

2 2

2 ; 2 ; 2

1 1 1

x xy y yz z zx

x y x z

y + y = z + z = = x + x =

+ + + + + +

2 2

2 2 2

2 2

( )

1 1 1

3

1 1

 

= = + + = + + − + + 

+ + +  + + + 

 

= = − + + 

+ + +

 

x y z xy yz zx

S x y z

y z x y z x

xy yz zx S

y z x

Ta có:

2 2 2

2 2

; ;

1 2 2 2

1 1

3

2

xy xy xy yz yz yz zx zx zx

y y z z x x

xy yz zx xy yz zx

y z x

xy yz zx S

 =  =  =

+ + +

+ +

= + + 

+ + +

+ +

=  −

Do

( ) 2( )

3

2

3

x = y = z =1

+ +  + + = + + 

=  − = 

= MIN =

x y z xy yz zx xy yz zx

S S

S

Bài 112 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Tin)] Cho ba số thực x, y, x thỏa mãn xyz =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2 2

xy yz zx

T

z x z y x y x z y z y z

= + +

+ + +

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

= + + = + +

+ + + + + +

= + + = + +

+ + +

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

xy yz zx

T

z x z y x y x z y z y z xy z x z y yz x y x z zx y z y z

xy yz zx xy yz zx

xz yz xy xz xy yz xyz zx zy xyz xy xz zxy yz yz

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy ta

( )

(

)

(

)

+ + + +

+ +  =  =

+ + + + +

2 2

xy yz zx xy yz zx xy yz zx 3 x y z 3

xz yz xy xz xy yz xy yz xz 2

Do T 

2 hay giá trị nhỏ T

2 Dấu xẩy x = y= =z

Bài 113 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Tin)] Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: 2

(185)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức T =

2

x y+z +

2

y z+ x+

2

z x+ y

Lời giải

Bài 114 :[ [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2015-2016 (Chuyên Tin)] Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: 2

x + y + y2 +z2 + z2 +x2 = 2014 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T =

2

x y+z +

2

y z+ x+

2

z x+ y

Lời giải

Đặt: a = 2

x + y ; b = y2 +z2 ; c = z2 +x2 (*) => a + b + c = 2014 (1) Từ (*) => x2 =

2 2

2

a −b +c

; y2 =

2 2

2

a +b −c

; z2 =

2 2

2

a b c

− + +

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

y + z 2(y2 +z2)= b ; z + x 2(z2 +x2)=c ; x + y 2(x2 + y2)= a Từ ta có:

T =

2

x y+z +

2

y z+ x+

2

z x+ y 

1

2 (

2 2

a b c

b

− +

+

2 2

a b c

c

+ −

+

2 2

a b c

a

− + +

)

T

2 (

2

a b +

2

c b +

2

a c +

2

b c +

2

b a +

2

c

a - a – b – c ) (2)

Áp dụng BĐT Cauchy ta lại có:

2

a

b + b



2

c

b + b



2

a

c + c



2

b

c + c



2

b

a + a



2

c

a + a



=>

2

a b +

2

c b +

2

a c +

2

b c +

2

b a +

2

c

a



Từ (2) (3) => T



2 ( a + b + c) (4) ; Từ (1) (4) => T



2 2014

Vậy TMin =

2014

2 , x = y = z = 2014

3

(186)

(

)

(

)

(

)

2 2 2

xyz x y z x y z

S

x y z xy yz zx

+ + + + +

=

+ + + +

Lời giải

(

)

(

)

(

)

2 2 2

xyz x y z x y z

S

x y z xy yz zx

+ + + + +

=

+ + + +

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki :

(

)

(

)

x+ +y z 3 x +y +z =>

(

)

x+ + y z x +y +z

=>

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2 2

xyz x y z x y z

S

x y z xy yz zx

+ + + + +



+ + + + =

(

)

(

)

2 2

xyz

x y z xy yz zx +

+ + + +

(

)

2 2 2

6

xyz 3 1

S

3 3 x y z x y z

+ +

 =

=> S max 3

+

= khi x = y = z

Bài 116 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên LS - Thanh Hóa 14-15( Chuyên Nga Pháp)] Cho x; y hai số thực thỏa mãn điều kiện :

x2013 + y2013 = 2x1006y1006

Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = 1- xy Lời giải

xy = suy S =

x.y  Ta có + 1006 =2

1007 1006

1007

y y y

x

4 4 ) ( 1006

1007 1006

1007

  =

+ xy

y y y

x

( (a + b)2 4ab)

nên xy1 dấu xảy x = y = nên S0 Đẳng thức xảy x = y = (2) Từ (1) (2) suy Min S = x = y =

Bài 117 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2013-2014( Chun Tốn)] Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức x y

A= 36 −5

Lời giải

Với x y, N* 36x có chữ số tận 6, 5y có chữ số tận nên : A có chữ số tận ( 36x > 5y) ( 36x < 5y)

TH1: A = 36x - 5y =1 36x - = 5y Điều không xảy (36x – 1) 35

(187)

TH2: A = Khi 5y - 36x = 5y = + 36x điều khơng xảy (9 + 36x)

cịn cịn 5y khơng chia hết cho

TH3: A = 11 Khi 36x - 5y =11 Thấy x = 1, y = thỏa mãn

Vậy GTNN A 11, x = 1, y =

Bài 118 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2013-2014( Chuyên Tin)] Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 2

5x +4y +3z +2xyz 60.= Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z.= + +

Lời giải

Từ giả thiết suy 4y2 < 60 3z2 < 60, tức y2 < 15 z < 20

Ta coi điều kiện 5x2 + 4y2 + 3z2 + 2xyz = 60 phương trình bậc hai

ẩn x, đó:

(

)(

)

(

)

(

)

2

15 20

15 20 35

2

5 10

− + − + −

− + − − − +

= yz y z  yz y z = y z

x

Từ suy ra:

(

)

(

)

(

)

35 10 60

6

10 10

− + + + − + −

+ +  y z x y = y z 

x y z

Dấu xảy khi:

2

5

6

15 20

 + =  + =  =

 + + =  =  =

  

 − = −  − =  =

 



y z y z x

x y z x y

y z z y z

Vậy max P =

Bài 119 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chung)] Cho a,b,c số dơng không âm thoả mãn : 2

3

a +b +c =

Chứng minh : 2 2 2

2 3

a b c

a + b+ +b + c+ +c + a+ 

Lời giải

* C/M bổ đề:

(

)

2 2

a b

x y x y

+

+ 

+

(

)

2 2 a b c

a b c

x y x x y z

+ +

+ + 

+ + Thật

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

0

a b

a y b x x y xy a b ay bx

x y x y

+

+  = + +  + = − 

+ (Đúng)  ĐPCM

Áp dụng lần , ta có:

(

)

2 2 a b c

a b c

x y x x y z

+ +

+ + 

(188)

* Ta có : a2+2b+ =3 a2+2b+ + 1 2a+2b+2, tương tự Ta có: … 

2 2

2 3 2 2 2 2

a b c a b c

A

a b b c c a a b b c c a

= + +  + +

+ + + + + + + + + + + +

1

(1)

2 1

B

a b c

A

a b b c c a

 

   + + 

+ + + + + +

 

Ta chứng minh

1 1

a b c

a+ +b +b+ +c +c+ +a 

1 1

2

1 1

2

1 1

 − + − + −  −

+ + + + + +

− − − − − −

 + +  −

+ + + + + +

+ + +

 + + 

+ + + + + +

a b c

a b b c c a

b c a

a b b c c a

b c a

a b b c c a

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2 2

3

1 1

2 (2)

1 1 1

−

+ + +

 + + 

+ + + + + + + + +

B

b c a

a b b b c c c a a

* Áp dụng Bổ đề ta có:



(

)

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

2

3

1 1 1

a b c B

a b b b c c c a a

+ + + − 

+ + + + + + + + + + +

(

)

2 2

3

3 (3)

3( )

a b c

B

a b c ab bc ca a b c

+ + +  − 

+ + + + + + + + +

* Mà:

(

)

(

)

2 2

2 2 2

2 2

3( )

2 2 2 6 6

2 2 2 6 6 ( : 3)

2 2 6

3

3( )

a b c ab bc ca a b c

a b c ab bc ca a b c

a b c ab bc ca a b c Do a b c

a b c ab bc ca a b c

a b c

a b c ab bc ca a b c

 + + + + + + + + + 

 

= + + + + + + + + +

= + + + + + + + + + + + =

= + + + + + + + + +

= + + +

+ + + 

+ + + + + + + + +3=2 (4) Từ (3) (4)  (2)

Kết hợp (2) (1) ta có điều phải chứng minh Dấu = xảy a = b = c =

Bài 120 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chuyên Tin)] Cho x y, số thực dương thay đổi thỏa mãn: x+ = Tìm giá trị nhỏ biểu y thức

1

x y

P

x y

= +

− −

Lời giải Điều kiện: < x, y <

(189)

(

)

(

)

(

)

( )

2

= +  + = +

+ − + −

− −

y y y y

x x x x

P x x y y

x x y y

Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

3

2

3

4

2

3

4

+ +  =

x x x x x x x x x

y y y y y y y y y

Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta được:

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 **

2 2

+ +  + =  + 

x x y y x y x y

Từ (*) (**) ta được: P

Dấu “=” xảy x = y =

Bài 121 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chung)] Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z =

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3 3

2 2 2

x y z

S

x xy y y yz z z zx x

= + +

+ + + + + +

Lời giải

C1 Ta có:

(

)

(

)

3 2 2

2 2

2

x x x y y x x y y x

x xy y x xy y

x x xy y xy x y

x xy y

+ + − −

=

+ + + +

+ + − +

=

+ +

Áp dung BĐT Co-Si cho số dương x ; xy; y ta có: 2

(

)

(

)

(

)

2 2

2

3

2 2

x xy y x xy.y 3xy

xy x y xy x y x y

x xy y 3xy

xy x y x y x x y

x x x

x xy y x xy y

+ +  =

+ + +

 −  − = −

+ +

+ + +

 −  −   −

+ + + +

C/m tương tự ta có: 2 y3 2 y y z

y yz z

+  −

+ +

3

2

z z x

z

z zx x

+  −

+ +

(190)

(

) (

)

(

)

3 3

2 2 2

x y z x y y z z x

x y z

x xy y y yz z z zx x 3

2 1

S x y z x y z S x y z

3 3

+ + +

+ +  − + − + −

+ + + + + +

  + + − + +   + + = =

 S với  x; y; z dương t/m x + y = z = 9,

dấu xảy  x = y = z = Vậy GTNN Bt S đạt x = y = z =

C2, Ta có:

0 2 3 2 3 2 3 = − + − + − = + + − + + + − + + + − x z z y y x x zx z x z z yz y z y y xy x y x

Mà = + +

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

x y z

S

x xy y y yz z z xz x

 = + +

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2x 2y 2z

2S

3 3

2 2 2

3 3 3

2 2 2

3 3 3

2 2 2

2x 2y 2z

2S

x y y z z x

2S=

x y y z z x

 − = + + + + + + + + − − −  − + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + mà

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2

x y x xy y

x y

x xy y x xy y

2xy 2xy

(x y)(1 ) x y x y

x xy y 3xy

+ − + + = + + + +   = + −  +  − = + + +   tương tự ;

3 2

3 2 3 z x x zx z x z z y z yz y z

y  +

+ + + +  + + +

Cộng vế ta có: 2S

3 ) (

2 + +  

 x y z S

(191)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 180 Bài 122 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 (Chuyên Nga Pháp)] Cho x, y số thực dương thoả mãn : 2

x + = Chứng minh : y

2

5

x

+ −

y

4

xy

+

y



3

Lời giải

Ta có:

(

)

2

2 2

5

4

3

4

3

0

2

3

0

x

y

xy

y

x

xy

y

x

y

x

y

x

y

+ −

+





−

+

+ − 



−

+

+ − 

*

1

2

1

2

1

2

1

x

y

x

y

x

y

x

−

+ =  = −  =

 =

−

Vì : y > ; x >  2x - >  x > 1/2 Thay y = … vào x2+ − y

Ta có:

3

2

6

3

0

3

0

2

1

2

1

x

y

x

−

+

−

+

+ −  

+

−  



−

Vì 2x - >  (1) 

2

x

−

x

+

2

x

−

6

x

+  

3

0

2

x

−

x

−

4

x

+ 

3

0

2

x

−

x

−

4

x

+

3

(

)

(

)

3 2

2

3

1 2

3

x

=

−

+

− −

+

=

−

+ −

(

) (

)

1

x x x

= − +   

Vậy

(

2

x

−

y

)

+

x

+ − 

y

3

0

 

x

0;

y



0

Bài 123 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2012-2013 ( Chuyên Toán)] Cho x,y số thực thay đổi thỏa mãn: {𝑥 > 1, 𝑦 > 1𝑥 + 𝑦 ≤ 4.

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 𝑥

4

(𝑦−1)3 +

𝑦4 (x−1)3 Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:

(

)

(

)

(

)

(

)

4 x

16 y 16 y 16 y 32x y

+ − + − + − 

−

Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng lại theo vế ta được:

(

)

P −16 x y+ +96 −16.4 96+ =32

(192)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 181 Bài 124 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2011-2012( Chuyên Tin)] Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b =

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 19 26 2 2011(a4 b4)

b a

ab+ + + +

Lời giải

C1. Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b =1

b a

ab + + + +

) (

2011

19 4

2

2 a b

b a ab

T + +

+ + = ) ( 2011 16 ) ( 2011 16 4 2 4 2 b a b a ab ab b a b a ab ab T + +       + + + = + + + + + = 

* Ta cú : (a – b)2 ≥  a, b dấu  a = b =

2

 a2 + b2 ≥ 2ab  (a + b)2 ≥ 4ab 

(

)

4 = +  a b

ab

 16 16.4 16 64

ab

ab dấu  a = b =

1 (1)

* Ta lại cú : (a – b)2 ≥  a, b dấu  a = b = 1

 (a2 + b2 – 2ab)2 ≥  a, b dấu  a = b = 1

 a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 – 4a3b – 4ab3 ≥

 a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 + 4a3b + 4ab3 ≥ 8a3b + 8ab3

 (a2 + b2 + 2ab)2 ≥ 8ab(a2 +b2)

 [(a+ b)2]2 ≥ 8ab(a2 +b2)



(

)

(

)

2 2 b a b a ab ab b a +  + + +

thay a + b = ta có :



1 2

2 +  =

+

b a

ab dấu  a = b =

1

2 (2)

* Ta lại có : (a – b)2 ≥  a, b dấu  a = b = 1

(193)

thay a + b = ta có : 2(a2 + b2) ≥ 1  a2 + b2 ≥ 1

2 dấu  a = b = (3)

Tương tự : (a2 – b2)2 ≥  a, b dấu  a = b = 1

 a4 + b4 ≥ 2a2b2  2(a4 + b4) ≥ a4 + b4 + 2a2b2

 a4 + b4 ≥

(

)

8

2 2

 + b

a

dấu  a = b =

2 (4)

Cộng vế (1), (2), (4) ta cú T ≥ 64 + 6.4 + 2011



8 2715 

T dấu  a = b = 1

2

C2. Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b =1

b a

ab + + + +

Áp dụng bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacopxiki

T

4 4

2 2

2 2 2

2 2

2

16 1 1 1

T 6 2011 (1 1)(a b )

ab 2ab a b 2

16.4 4 1

6. 2011 .(a b )

(a b) (a b) 2

2011 2715

64 24 .(a b)

8 8

 

= +  + + + +

+

 

 + + +

+ +

 + + + =

Dấu xảy a = b =

2

Bài 125 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2011-2012( Chung)] Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P

biết

b ac

ca a

bc bc c

ab ab P

2

2 + + + +

+ =

Lời giải

Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P biết

b ac

ca a

bc bc c

ab ab P

2

2 + + + +

+ =

* Vì a + b+ c = 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c

2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab)

= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) a ; b ; c > nên 0

+ c

a

1  + c

b áp dụng cosi ta có a+ c+

1

c b +

1 

) )( (

1

c b c

a+ + dấu (=)  a+ c =

1

c b +

1 

a + c = b + c a = b

hay ( 1 )

2 ) )( (

1

b c a c b

c a

(194)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 183 

(

)

+ c b

ab a c ab b c a c ab ab c ab ) (

2 (1) dấu  a = b

Tương tự: 

     + + + 

+ a c

bc b a cb a bc bc

2 (2) dấu  b = c

      + + + 

+ b a

ca b c ca ca b ac

2 (3) dấu  a = c

cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có

: P=

b ca ca a bc bc c ab ab 2

2 + + + +

+  ( b c ab a c ab + +

+ + c a

cb a b cb + +

+ + c b

ac a b ac + + + )

 P    + + + + + + + + + +

+ a b

ac b a cb b c ac c b ab a c cb a c ab ( ) ( ) ( =     + + + + + + + + b a a b c c b c b a a c b c

a ) .( ) ( )

( ( ) 2

1 + + = =

= a b c

 P=

b ca ca a bc bc c ab ab 2

2 + + + +

+ ≤ dấu  a = b = c =

2

Vậy P = a = b = c =

Bài 126 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2010-2011( Chun Tốn)] Cho ba số khơng âm a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b + c  16abc Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy nào?

Lời giải Trớc hết chứng minh: (x + y)2 ≥ 4xy với x, y Đẳng thức xảy khi: x = y

áp dụng ta có: (a + b + c)2 = [a +(b + c)]2 ≥ 4a(b + c)

Đẳng thức xảy khi: a = b + c 

2 =

a (*)

Do a + b + c = nên bất đẳng thức suy ra: ≥ 4a(b + c)  b + c ≥ 4a(b + c)2 (do b + c khơng âm)

Nhưng lại có (b + c)2 ≥ 4bc Đẳng thức xảy khi: b = c (**)

Suy ra: b + c ≥ 16abc

Từ (*) (**) có: đẳng thức xảy 1

2

= ; = =

a b c

Bài 127 : [Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2010-2011 (Chung)] Cho tam giác ABC có độ dài cạnh : BC = a ; CA= b ; BA= c

Và chu vi 2p Chứng minh : + + 9

− − −

p p p

p a p b p c

(195)

Trước hết ta chưng minh: với a,b > ta có: 1+ 1 (*) +

a b a b

Thật (*)

(

)

(

)

4

 a b+  ab a b−  (đúng).Dấu “=” xảy  =a b

Áp dụng (*) ta có: +  =4

− − − + −

p p p p

p a p b p a p b c

Tương tự ta có: + 4 ; + 4

− − − −

p p p p p p

p b p c a p c p a b

Suy + +  +2 +2

− − −

p p p p p p

p a p b p c a b c

Hay + +  +3  +   + +   + + 

− − −      

p p p a b b c c a

p a p b p c b a c b a c

mà  + 2; + 2; + 2

     

a b b c c a

b a c b a c (BĐT Cauchy)

Do + + 9

− − −

p p p

p a p b p c (đpcm)

Dấu “=” xảy a = b = c tức ABC tam giác

Bài 128 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2009-2010 (Chun Tốn) Cho biểu thứcad bc− =1,trong P=a2+b2+c2+d2+ac+bd

Chứng minh rằng: P

Lời giải

Bài 129 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2009-2010 (Chuyên Tin) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có : x22 + y22 + z22 > 2x + 2y + 2z22 22 2

a b c a + b + c Lời giải

Bài 130 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2008-2009 (Chuyên Tin) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 – = xy(3 - 2xy) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tích xy

Lời giải

Bài 131 : Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2003-2004( Chuyên Toán) Cho số thực a1; a2; ….; a2003 thoả mãn: a1 + a2 + …+ a2003 =

Chứng minh: 2

1 2003

1 a + a + + a

2003



Lời giải

(196)

Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức

Lời giải

Từ đẳng thức

Đặt

Ta có:

Mặt khác:

Cộng vế theo vế ta có: Dấu xảy Hay

Bài 133 : Đề thi vào lớp 10 Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2018-2019 (Chuyên Toán )] Tìm số nguyên cho

Lời giải Do số nguyên nên

Vậy số nguyên cần tìm , ,

a b c abc= + + +a b c

2 2 2

1 1

P

a b b c c a

= + +

+ + +

1 1

2

abc a b c

ab bc ca abc

= + + +  + + + =

1 1

; ; ( , , 0)

x y z

x y z a = y+z b = z+x c = x+y 

2 2 2

1 1 1

2 2

P

ab bc ca

a b b c c a

= + +  + +

+ + +

(

)(

)

1 1

2

2 2

xy x y

x z y z x z y z

ab

 

=   + 

+ +  + + 

1 1

2

1 1

2

y z

y x z x bc

z x

y z y x ca

 

  + 

+ +

 

 

  + 

+ +

 

3

2

P  x= = =y z a= = =b c

; ;

x y z x2+y2+ + z2 xy+3x+4z

, ,

x y z

(

)

2 2 2

2

6

7

1

3

2

1

2 1

1

2

x y z xy y z

y

x y z

x y

y z z

+ + + +  + +

 + + + − − − 

   

 −  +  −  + − 

   

 − = 

=  

 

 − =  =

  =

− =  

1;

(197)

BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN VƯỢNG - THCS-NBS | 186 Bài 134 : [Đề thi vào lớp 10 Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2018-2019 (Chuyên Toán )] Cho thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải Ta có:

Chứng minh hồn tồn tương tự ta có:

Như

(Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số) Lại có

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy

Bài 135 : [Đề thi vào lớp 10 Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2017-2018 (Chuyên Toán )] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng:

Phân tích Dự đốn dấu xẩy Nhận thấy bất đẳng thức cho khơng có dạng đối xứng nên ta biển đổi đặt ẩn xem

Bất đẳng thức cho tương đương với

, ,

a b c abc =1

4 4

1 1

3

2 2

a a ab b b bc c c ac

+ + 

− + − − + + + + +

(

)

(

)

(

)(

)

4

1 1

1

2

1

a a a a a a a

a a a a a a

a a ab ab a

ab a

a a ab

− + +   − + + + 

 − − +   − + 

 − + +  + +

 

+ +

− + +

4

1 1

;

1

2 bc b ac c

b b bc c c ac

 

+ + + +

− + + − + +

1 1 1

3

1 1

VT

ab a bc b ac c

 

 + +   + + 

+ + + + + +

+ + + + + +  

2

1 1

3

1 1

1

3

1 1

a ab

ab a bc b ac c ab a abc ab a a bc abc ab

a ab

ab a ab a a ab

 + + =  + + 

 + + + + + +   + + + + + + 

   

 

=  + + =

+ + + + + +

 

1

a= = =b c

ca

2 2

a b c

4

a b b c c a

     

+ + 

 +   +   + 

     

• a =b =c

2 2

1

2

b c a

1 1

a b c

+ + 

     

+ + +

     

(198)

Đặt Khi Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Áp dụng bổ đề Để chứng minh bổ đề ta cần sử dụng

phép biến đổi tương đương Ta cần chứng minh Đến cần sử

dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số toán chứng minh Chú ý đến ta có lời giải chi tiết sau

Lời giải

Bất đẳng thức cho tương đương với

Đặt Khi Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức , với x, y số dương

Thật vậy, bất đẳng thức tương ương với

Bất đẳng thức cuối ln Vì ta có

Ta quy toán chứng minh

Đặt Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Khi

(

)

b c

x, y x, y

a = b = 

a c = xy

(

) (

)

2

2 2

1 4x y

2 x+ + y+ + xy+ 

(

) (

)

( )

1 1

* xy

1 x y

+ 

+

+ +

( )

(

)

2

1 4x y

xy 1+ + 1 xy+ 

ca

2 2

1

2

b c a

1 1

a b c

+ + 

     

+ + +

     

     

(

)

b c

x, y x, y

a = b = 

a c = xy

(

) (

)

2

2 2

1 4x y

2

1 x y xy

+ + 

+ + +

(

) (

)

1 1

xy 1 x+ + y+  +

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2 2

2

2 3

2 2x 2y x y xy 1 2x x 2y y 2xy x y x y xy xy xy x y

+ + + + +  + + + +

 − − + +   − + − 

x, y 0

(

) (

)

1 1

xy 1 x+ + y+  +

(

)

2

1 4x y

xy 1+ + 1 xy+ 

(

)

2

1 4x y P

xy 1 xy

= +

+ +

(

)

2

4x y 4xy

1

1 xy xy

+  + +

(

)

2

1 4x y 4xy 3xy

P 1

xy 1 xy xy 1 xy xy

1 xy

= + + −  + − = =

(199)

Ta cần chứng minh hay

Thật vậy, từ giả thiết ta Do

Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xẩy

Bài 136 : [Đề thi vào lớp 10 Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2016-2017 (Chuyên Toán )] Cho a, b, c số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

Phân tích: Đầu tiên ta dự đốn P nhỏ Khi Ta cần chứng

minh hay Ý tưởng ta đưa bất đẳng thức

về dạng hoán vị Lại thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có nên ý tưởng

trên lại có sở

Như ta cần chứng minh

Để ý ta thấy , áp dụng ta

Ta cần chứng minh Nếu áp dụng

bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức sai Do ta nghĩ đến hướng khác

3xy xy+ 

3

1

1 xy

 +

ca a 1

c = xy 

3

1

1 xy

 +

a =b =c

2

2 4

a b c

P

a

a b b c

a b c

4

P

3

P

2

3

4

a b c

a

a b b c

2

4

c c c

a ac a c

2 2

3

a b c

a b b c a c

2

2 2

3

x y z

2

2 2

1

a b c a b c

a b b c c a

a b b c a c

2

1 3

3

a b c a b c

(200)

Ta có ta chứng minh

Hay ta cần chứng minh Đến

ta lại chứng minh đánh giá Như sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá cách trực tiếp khơng đem lại hiệu quả, ta cần thay đổi hình thức tốn trước

Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

Đặt , ta bất đẳng thức trở thành

+ Đến từ giả thiết ta đổi biến tiếp, cách đổi biến ta để ý đến cách đổi biến dạng với m, n, p số dương Khi bất đẳng

thức viết lại thành

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Và ta cần chứng minh hay ta cần chứng minh

2

2 2

2 2 2 2 2

a b c

a b b c a c a a b b b c c c a

2

2 2

3

a b c

a a b b b c c c a

4 4 5 2 2 2 6 3

a b c a b b c c a a b b c c a

2 2

1 1

4

1 b c a

a b c

; ;

b c a

x y z

a b c xyz

2 2

1 1

4

1 x y z

1

xyz

2; ;

np mp mn

x y z

m n p

4 4

2 2 2 2 2

2 2

1 1 3

4

1 1

m n p

np mp mn m np n mp p mn

m n p

2 2

4 4

2 2 2

m n p

m np n mp p mn m np n mp p mn

2 2

3

m n p