Bài giảng số 1: Giải hệ phương trình bậc nhất bằng phương pháp cộng đại số

Bài giảng số 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ..  Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình..[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Điều kiện để hệ có nghiệm nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm

Cho hệ phương trình: ax by c a b c a b c, , , , , 0 a x b y c

 



    

     

 Hệ có vơ số nghiệm a b c

a b c

  

  

 Hệ vô nghiệm a b c

a b c

  

  

 Hệ có nghiệm a b

a b

 

 

 Phương pháp cộng đại số: Hệ phương trình ax by c a x b y c

 

 

     

 Nếu có ax by c ax b y c

 

 

 

  



b b y c c ax b y c

 

   

  

 

 

 

 Nếu có ax by c ax b y c

 

 

 

 



b b y c c ax b y c

 

   

  

 

 

 

 Nếu có

ax by c

k ax b y c

 

 

 

 



kax kby c

k ax b y c

 

  

 

 



kb b y kc c ax by c

 

   

  

 

 

 Nếu hệ ax by c a x b y c

 

 

     

có a a ,  1 hệ aa x ba y ca aa x ab y ac      

 

     

 Chú ý: Phương trình axb  1

+) Nếu a 0 phương trình  1 có dạng 0xb

- Khi b 0 phương trình  1 có dạng 0x 0 phương trình có vơ số nghiệm - Khi b 0 phương trình  1 vơ nghiệm

+) Nếu a 0 phương trình  1 có nghiệm x b a 

 Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình

Cho hệ phương trình    

1 ax by c

a x b y c

  

 

     



có nghiệm 0

x x

y y

  

 

(2)

 Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình

Cho hệ phương trình: ax by c a x b y c

 

 

     

có nghiệm 0 x x y y     

Thay xx y0;  y0 vào hệ phương trình ta được:

0

ax by c

a x b y c

         

Sau giải hệ phương trình chứa ẩn tham số

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: a)

4

x y x y       

b)

3 x y x y        

c)

5 19

x y x y        

d)

13

x y x y        Giải

a)

4

x y x y        10 x x y        2 x y         Vậy nghiệm hệ phương trình 2;1

2

 

 

 

b)

3 x y x y         y x y         3 y x         Vậy nghiệm hệ phương trình 2;3

3

 

 

 

c)

5 19

x y x y        

5 35 10

5 19

x y x y          29 29 y x y         y x         Vậy nghiệm hệ phương trình  5; 1

d)

13

x y x y       

18 63 81

91 63 14 x y x y         73 67

2

x x y         67 73 791 511 x y             Vậy nghiệm hệ phương trình 67; 791

73 511

 

 

 

(3)

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình  

     

3

5

x y

n x n y n n

  

 

     

 

Tìm n để hệ có nghiệm x y ;  1; 2 

Giải:

Thay x y ;  1; 2  vào  1 ta có: 2.  2 7 3 471; 2  nghiệm  1 Thay x y ;  1; 2  vào  2 ta có: 5n12n2n24n37n 3 n24n

 11 n n

  

11 n

n    

 

Vậy với 11 n

n   

 

hệ cho có nghiệm x y ;  1; 2 

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:      

 

2

5 1

3

4

m m x my m

mx y m m 

   

 

    



Tìm m để hệ có nghiệm x1;y 3

Giải:

Điều kiện để hệ có nghiệm: 2.5  1

m m  m m

Thay x1;y vào  1 ta có: 2 5m 5m m  1 4m4m

1 m

   

1 m

I m

     

 Thay x1;y vào  2 ta có:

4m 6 m 3m6 m m 10   m

II m

    

 Từ  I  II suy m 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với m 1 hệ phương trình có nghiệm x1;y

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:  

 

2

3

mx n y

m x ny

   

 

  

 

Tìm m n, để hệ có nghiệm x3;y  1

Giải:

Thay x3;y  vào hệ phương trình ta có:

   

   3

6

m n

    

 

   

 

3

12 14

m n

m n    

 

 

(4)

9 18

3

m

m n    

   

2

3.2

m m

n n

 

 

 

   

 

Vậy với m 2 n 5 hệ có nghiệm x3;y 

Ví dụ 5: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 52

( 1)

x y

a x y a

  

 

  



Giải:

Hệ phương trình cho có nghiệm

1

5

a  

 



2

1 10 a

  

9 a

  a 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm a  3

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình: x y

mx y

 

 

  

Tìm m để hệ có nghiệm x0,y 0

Giải:

Ta có: x y

mx y

 

 

  

2

x y

mx y

 

  

 



   

 

2 1

2

m x

x y

  

  

 

   1 có nghiệm 1

2

m m

     Khi  1 x

m  

 Thay vào  2 ta có:

2 2m1 y

5

m y

m 

 



Do đó,

1

0 2 1

0

2

x m

y m

m 

 



  



 

 

  

 



1

2

m

m 

    

  

 

m   

Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu đề

Ví dụ 7: Cho hệ phương trình:

2

x my

 

 

 



Tìm m để hệ có nghiệm x y;  thỏa mãn: m21x10my4m5 * 

Giải

Ta có:

2

x my

 

 

 



2

x my

 

  

 



1 my

x my     

 



1 my

x     

 

Hệ phương trình có nghiệm m0 Khi nghiệm hệ là:

1 x

y m    

(5)

Thay vào  * ta được: 4m2 1 10 m 4m m

 

    

 

2

4m 10 4m

    

4m 4m

   

1 m

  (thỏa mãn)

Vậy với

m  thỏa mãn yêu cầu đề

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:

2

3

x y z

    



  



   



Giải

Ta có:

2

3

x y z

    



  



   



2

3

x y z

    



   

   



2

3

y z

x y z

   



    

   



2

3

y z

x y z

   



    

   



2

2 4

2

y z

x y z

   



         

2

y z

x y z    

 

   



 

2

2 2

y z

x z z

   

  

     

 

2

y z

x z    

    

Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm thỏa mãn:

2

x z

y z

z    

   

 

 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số:

2

x y

 

 

  

ĐS: 2;1

2

6

x y

 

 

 



ĐS: Vô nghiệm

3

4 10

x y

 

 

 



ĐS: Vô số nghiệm

4

5 14

x y

  

 

 



(6)

5

3 14

x y

 

 

 



ĐS: 4; 1 

6 10 15 18

x y

 

 

 



ĐS: Vô nghiệm

Bài 2: Giải hệ phương trình:

a)

2 2

x y

  

 

  

 

ĐS: 6;

8

   



 

 

b) 2

6 2

x y

  

 

 

 

ĐS: ;

6

 



 

 

c) (1 2) (1 2) (1 2) (1 )

x y

    

 

   

 

ĐS: 6;

2

  



 

 

d)

2

2 ( 1)

( 1)

a x a y a

ax a y

   

 

   

 

(a tham số) ĐS: a;1

Bài 3: Cho hệ phương trình:

2

3

x ay a a

ax y a a

    

 

  

 

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm x0,y ĐS:  1 a0

Bài 4: Giải hệ phương trình:

a)

4

x y

x y   



 



ĐS: 5; 2

 

 

 

b)

3

4

a b

 

  

   



ĐS: 40; 32

3

 



 

 

Bài 5: Cho hệ phương trình:  

 

2

3

1 13

mx n y

m x ny

   

 

  

 

a) Giải hệ phương trình với m2;n ĐS: 5; 6  b) Giải hệ phương trình với m1;n  ĐS: 28;

5 10

 



 

 

Bài 6: Cho hệ phương trình: nx y 2n nx ny n

  



 



Giải biện luận hệ theo n

ĐS: +) n 1: Vô nghiệm

+) n 1: Nghiệm ;

1

n n n n 

 

 

 

 

(7)

a)

2

x y

x y   



   

ĐS: 5; 3

 

 

  b) 2 10

3

x y

  

 

  

 

ĐS:  2; 

Bài 8:

a) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng sau: y3x2  d1 y 2x3  d2 ĐS:  1;1

b) Tìm diện tích tam giác giới hạn đường sau: y  , 1 x 2, y   x ĐS:

2

Bài 9: Tìm giá trị a để hệ sau: 2

2

x y a

  

 

  



có nghiệm x y0; 0 thoả mãn điều kiện x02y02 đạt

giá trị nhỏ ĐS: a 0

 

2

3

x y

mx m y m m

 

  

    

 

Tìm m để hệ có nghiệm x y ;  2;1

ĐS: 13 193

2 m 

Bài 11: Cho hệ phương trình:    

1 2

3

m x ny

mx n y

   

 

  

 

a) Giải hệ phương trình với m1;n  ĐS: 11 3; 2

 

 

 

b) Tìm m n, để hệ có nghiệm 3; 1  ĐS: m1;n

 

3

3 1

x y

mx m y m   

  

   

 

Tìm m để hệ có nghiệm x y;  thỏa mãn: 4x2y  ĐS: 15 217 m 

Bài 13: Cho hệ phương trình 3

3

x my

mx y

 

 

   



1 Tìm m để hệ phương trình có vơ số nghiệm ĐS: m 3 Giải hệ phương trình với m  2 ĐS: 3; 3  Tìm m để hệ có nghiệm x y;  với x0, y ĐS: m  3

Bài 14: Giải hệ phương trình sau:

a)

1

2

3 27

x y z

   



  



    

(8)

b)

2 11

2

3

x y z

  

 

    

    