Bài giảng số 5: Bài toán dựng thiết diện trong phần quan hệ song song

A. Từ đó, xác định được giao tuyến với các mặt này.  Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. Tương tự đối với hình lăng trụ, hình hộp,… việc xác [r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net Bài giảng số 5: BÀI TOÁN DỰNG THIẾT DIỆN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Để tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng  P , ta thực theo bước sau:

 Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến  P với mặt hình chóp (có thể mặt phẳng trung gian)

 Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm cắt cạnh mặt hình chóp, ta điểm chung  P với mặt khác Từ đó, xác định giao tuyến với mặt  Bước 3: Tiếp tục tới giao tuyến khép kín ta thiết diện

Tương tự hình lăng trụ, hình hộp,… việc xác định thiết diện cắt mặt phẳng ta tiến hành tương tự hình chóp

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Thiết diện hình chóp

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, độ dài cạnh 2a Gọi M N trung điểm cạnh , AC,

BC, gọi P trọng tâm BCD Tính diện tích thiết diện tứ diện với mặt phẳng MNP Giải:

a) Xác định thiết diện: Trong BCD, ta thấy N P D thẳng , , hàng Suy MND thiết diện cần dựng

b) Tính diện tích thiết diện Xét MND, ta có:

MN  ABa, MN đường trug bình

2

3

a

ND a , 3

2 a

MD a , ND MD đường , trung tuyến tam giác

Như MND cân D, gọi H chân đường cao hạ từ D Ta được:

2

1

2

MND

S  MN DH  MN DM MH

 

2 2

2

1 11

2

a a

a a  

   

 

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi I trung điểm AD, J điểm đối xứng với D qua C, K điểm đối xứng với D qua B

a) Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng IJK

B

C

D A

M

N P

D

(2)

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net b) Tính diện tích thiết diện xác định

Giải:

a) Xác định thiết diện

Nối I K cắt AB M Nối I J cắt AC N

Suy IMN thiết diện cần dựng b) Tính diện tích thiết diện

Diện tích IMN tính cơng thức Hê-rơng Vì M trọng tâm ADK nên 2

3

a AM  AB Khi đó, AIM có:

2 2

2 cos IM  AI AM  AI AM A

2 2

0

2 13

2 .cos 60

2 3 36

a a a a a

   

     

   

13 a IM

 

Vì N trọng tâm ADJ nên 2

3

a

AN  AC Khi đó: AIM AIN 13

6 a IN IM

  

Do MN BC

3

MN AM

BC AB

   2

3

a

MN BC

  

Từ ta được:

2

13 13

6 3 6

IMN

a a a a a a a

S       

   



Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N, P trung điểm SB, SD OC

a) Tìm giao tuyến MNP với SAC tìm giao điểm SA với MNP b) Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng MNP

c) Tính tỷ số mặt phẳng MNP chia cạnh SA, BC CD Giải:

a) Ta thực việc: Nối MN cắt SO O 1 Nối O P cắt 1 SA S 1

Vậy MNP  SACPS1, MNPSAS1 b) Ta thực hiện: Nối S N kéo dài cắt 1 AD

1

D Nối S M kéo dài cắt 1 AB B Nối 1 B D cắt 1

CD, CB theo thứ tự D , 2 B 2

Khi đó, ta đoạn giao tuyến S M , 1 MB , 2 2

B D , D N 2 NS Do thiết diện cần tìm đa 1 giác S MB D N 1 2

D

J

K A

I

C

B M

N

A

C D

B S

O B

M

N

D P O

S

D

B

2

1

(3)

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net

c) Ta có: MN đường trung bình SBD nên O trung điểm 1 SO, suy ra:

PO SC 1

1 S S PC S A PA

  

Xét SAD với S , 1 N, D thẳng hàng, theo định lý Mêlêlaus, ta được: 1

1

1 D D S A NS

ND D A S S   

1

1 D D D A

 

Xét SAB với S , 1 M , B thẳng hàng, theo định lý Mêlêlaus, ta được: 1 1

1 B B S A MS

MB B A S S   

1

2 B B B A

 

Từ    1 , suy ra: BD B D 1 1 2

B D

 đường trung bình BCD nên B2, D theo thứ tự trung 2 điểm BC, CD

Do đó: 2

1 D D

D C 

2 B B B C 

Chú ý: Định lý Mêlêlaus có nội dung sau: “Trên cạnh AB, BC, CA ABC (hoặc

phần kéo dài chúng) lấy điểm C1, A B 1, 1 C1, A B thẳng hàng khi: 1, 1

1 1

A B B C C A A C B A C B  ”

 Dạng 2: Thiết diện hình lăng trụ hình hộp

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD A B C D     a) Chứng minh BDA  B D C  

b) Chứng minh đường chéo AC qua trọng tâm G , 1 G hai tam giác 2 BDA

B D C  

c) Chứng minh G 1 G chia đoạn thẳng 2 AC thành ba phần

d) Chứng minh trung điểm sáu cạnh BC, CD, DD, D A , A B , B B nằm một mặt phẳng

Giải:

a) Gọi O, O theo thứ tự tâm hình bình hành ABCD

A B C D   , ta có: A O CO BD B D

 

 

  



 BDA  B D C  

S

A D

D

N

1

S

A B

B

M

1

D' C'

C M B A

D N

P

Q O'

S R

B' A'

G1

(4)

b) Vì AC, AO, CO nằm mặt phẳng ACC A  nên gọi G1 ACA O

G  ACCO

Trong A BD , điểm G thuộc trung tuyến 1 A O AO A C   nên:

2

GO AO

GA  A C  G1 trọng tâm A BD Chứng minh tương tự G trọng tâm 2 B D C 

c) Nhận xét OG , 1 O G 2 theo thứ tự đường trung bình ACG2 A C G  1 nên

1 2

AG G G G C

Tức G 1 G chia đoạn thẳng 2 AC thành ba phần

d) Gọi M N P Q R S theo thứ tự trung điểm , , , , , BC, CD, DD, D A , A B , B B

Vì đoạn thẳng MN, NP, PQ , QR , RS song song với mặt phẳng A BD  nên chúng nằm mặt phẳng

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD A B C D     Trên ba cạnh AB, DD, C B  lấy ba điểm M , N, P

không trùng với đỉnh cho: AM D N B P

AB D D B C

 

 

   a) Chứng minh rằng: MNP  AB D 

b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng MNP Giải:

a) Từ giả thiết: AM D N

AB D D

 

 suy MN, AD, BD thuộc ba mặt phẳng đơi song song với Vì BD B D   nên MNAB D   1 Từ giả thiết AM B P

AB B C

 

  suy MP, AB, BC thuộc ba mặt phẳng đôi song song với Vì BCAD nên MPAB D   2 Từ  1  2 suy MNP  AB D 

b) Để có thiết diện, ta thực hiện: Kẻ Mx BD cắt AD S Nối SN Kẻ Py B D   cắt C D  R Kẻ Pz BC cắt BB

Q

Khi đó, lục giác MSNRPQ thiết diện cần dựng

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi H trung điểm cạnh A B  a) Chứng minh rằng: B C AHC

b) Tìm giao tuyến  d hai mặt phẳng A B C   A BC  Chứng minh:   d  BB C C   c) Xác định thiết diện hình lăng trụ ABC A B C    cắt mặt phẳng H d, 

Giải:

D' C'

C

B A

D

B' A'

M S

Q N

(5)

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net a) Giả sử ACA C  N

Khi N trung điểm AC A C B C NH

  (tính chất đường trung bình)

 

B C AHC

 

b) Giả sử ABA B  M A B C    A BC MN Từ tích chất đường trung bình, suy ra:

 

MNBC BB C C  MNBB C C  

c) Nối MH cắt AB P (Plà trung điểm AB) Khi đó: H d,   ABCPx MN BC

Px

 cắt AC Q ( Q trung điểm AC)

H d,   A B C  Hy MN BCB C  Hy

 cắt A C  R (R trung điểm A C ) Khi đó, ta thiết diện hình bình hành HPQR

Ví dụ 7: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C , đáy tam giác cạnh 1 1 1 a Các mặt bên ABB A , 1 1 ACC A 1 1 là hình vng Gọi I J tâm mặt bên nói , O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

a) Chứng minh I J song song với mặt phẳng ABC

b) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng IJO Chứng minh thiết diện hình thang cân Tính diện tích theo a

Giải:

a) Ta có: 1

IA JA

IB  JC  IJBCABCIJABC

b) Ta có:

   

à

IJ IJO v BC ABC IJ BC

IJO ABC Ox

  

 

  



 Ox IJ BC

Và Ox cắt AB AC theo thứ tự E F

Nối EI cắt A B 1 1 H nối FI cắt A C 1 1 G Như vậy, thiết diện tứ giác EFGH

Ta lại có:

   

1 1

ABC A B C

IJO ABC EF

IJO A B C GH

 

 

 

 





EF GH

  EFGH hình thang

Vì ABB A , 1 ACC A hình vng nên 1 EH FG Vậy thiết diện EFGH hình thang cân

B' C'

R H

A'

N

C

Q A

P B

M

B C

A J

C

A B

I

1

F E

G H

(6)

http://baigiangtoanhoc.com Khoá học: Quan hệ song song không gian

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net Trong ABC có:

3

EF BC 

2

a EF

 

Trong A B C1 1 1 có: 1 1

1 A H

HG BE

B C  A B  BA 

a HG

 

Trong IBE có:



2 2

2 cos IE BI BE  BI BE IBE

2 2

2

2 .cos 45

2 3 18

a a a a a

   

     

   

 

10 a IE

  10

3 a

EH IE

  

Khi đó, xét hình thang cân EFGH , hạ đường cao HM , ta có:

2 2 39

2

EF HG a

HM  EH ME  EH    

 

 

2

1 39 39

2 3 12

EFGH

a a a a

S  EFHG HM     

 

 Dạng 3: Bài tốn hình chóp cụt

Ví dụ 8: Cho hình chóp cụt ABC A B C    có đáy lớn ABC cạnh bên AA, BB, CC Gọi M , N,

P trung điểm cạnh AB, BC, CA M , N , P trung điểm cạnh A B , B C , C A  Chứng minh MNP M N P    hình chóp cụt

Giải:

Để chứng minh MNP M N P    hình chóp cụt, ta cần chứng minh: + Các đường thẳng MM , NN , PP đồng quy

+ MNM N , NP N P  , PM P M 

a) Gọi S điểm đồng quy đường thẳng AA, BB, CC, ta có: AB A B   ,

M M  theo thứ tự trug điểm AB, A B  suy SMM  Tương tự, ta có SNN  SPP

Vậy đường thẳng MM , NN , PP đồng quy S

b) Theo tính chất đường trung bình, ta có: MN AC, M N  A C  Ngồi ra, theo tính chất hình chóp cụt ACA C  nên MN M N  Tương tự, ta có NP N P  , PM P M 

Vậy ta có kết luận MNP M N P    hình chóp cụt

Ví dụ 9: Cho hình chóp SABCD Gọi A trung điểm cạnh 1 SA A trung điểm đoạn 2 AA 1 Gọi     mặt phẳng song song với mặt phẳng ABCD qua A , 1 A Mặt phẳng 2

F

G H

M E

C A

B

N M

P

C'

B' A'

M' N'

(7)

  cắt cạnh SB, SC, SD B , 1 C , 1 D Mặt phẳng 1   cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt B , 2 C , 2 D Chứng minh: 2

a) B , 1 C , 1 D trung điểm cạnh 1 SB, SC, SD b) B B1 2 B B2 , C C1 2 C C2 , D D1 2 D D2

c) Chỉ hình chóp cụt có đáy tứ giác ABCD Giải:

a) Vì   song song với ABCD, suy AB A B 1 1 1

A B

 đường trung bình SAB

1 B

 trung điểm cạnh SB

Chứng minh tương tự, ta C , 1 D trung điểm 1 cạnh SC, SD

b) Vì   song song với ABCD, suy AB A B 2 2

A B

 đường trung bình hình thang ABB A 1 1

B

 trung điểm BB1B B1 2 B B2

Chứng minh tương tự, ta C C1 2 C C2 , D D1 2 D D2 c) Hình chóp cụt ABCD A B C D , 1 1 1 1 ABCD A B C D 2 2 2 2

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp SABCD M, N điểm AB, CD; ( ) mặt phẳng qua MN song song với SA

a Tìm giao tuyến ( ) với (SAB), (SAC) b Xác định thiết diện hình chóp với ( )

c Tìm điều kiện M, N để thiết diện hình thang Bài 2: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’

a CMR: CB’ // (AHC)

b Tìm giao điểm AC’ với (BCH)

c Gọi ( ) mặt phẳng qua trung điểm CC’, song song với AH CB’ Xác định thiết diện ( ) lăng trụ

Bài 3: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD; O tâm mặt BCC’B’

D A

B

C S

A

B

C D

B C

D A1

1

2

(8)

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân -Trung tâm gia sư VIP – website: http://giasuvip.net a Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNO) với hình hộp

b Xác định giao điểm A’C với mặt phẳng thiết diện

Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành tâm O, có: AC = a, BD = b Tam giác SBD tam giác Một mặt phẳng ( ) di động song song với mặt phẳng (SBD) qua điểm I đoạn AC

a Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( ) b Tính diện tích thiết diện theo a, b x = AI

Bài 5: Trong mặt phẳng ( ) cho ABC vuông A, B= 600, AB = a gọi O trung điểm BC Lấy điểm S ( ) cho SB = a SB  OA Gọi M điểm cạnh AB; mặt phẳng ( ) qua M, song song SB OA, cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt x = BM (0<x<a)

a CMR: MNPQ hình thang vng

b Tính theo a x diện tích hình thang Tìm để diện tích lớn

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SB Gọi O tâm đáy ABCD

a CMR: MN // (ABCD) Gọi I điểm thuộc đoạn OM CMR: IN // (SCD)

b Xác định thiết diện hình chóp bị cắt (OMN) Thiết diện hình gì? Tại sao? Tính chu vi diện tích thiết diện theo a

c Gọi E, F trung điểm cạnh SC, SD Gọi H, K, P, Q giao điểm cặp đường thẳng BM CF, AN DE, AF BE, DM CN CMR: H, K, P, Q đồng phẳng

Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Trên đường BA lấy điểm M cho A nằm B M,

2

MA AB

a Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua M, B’ trung điểm E AC

b Tính tỉ số BD