Bài giảng số 6: Bài toán thiết diện trong hình học không gian

diện. theo thiết diện là hình thang vuông MNPQ.. theo thiết diện là tứ giác AEFH. b) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC. Tính diện tích thiết diện đó.. Vậy thiết [r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 6: DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Định lý: Cho S diện tích đa giác phẳng, S’ diện tích đa giác chiếu  góc mặt phẳng đa giác mặt phẳng chiếu Khi ta có: S’ = S.cos

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với ABa, AD2a, SAB vuông cân A, M điểm cạnh AD (M khác A D) Mặt phẳng   qua M song song với mặt

phẳng SAB cắt BC, SC, SD N, P, Q

a) Chứng minh MNPQ hình thang vng

b) Đặt AM x Tính diện tích MNPQ theo a x

Giải

a) Ta có:

   

SAB

SAD MQ MQ SA

SAB SAD SA 



 

  

 

 

 



   

SAB

ABCD MN MN AB

SAB ABCD AB 



 

  

 

 

 



Do suy 

90

NMQ 

Mặt khác, ba mặt phẳng ABCD, SCD   cắt theo ba giao tuyến MN, CD, PQ có: MN CD MNPQ

MNPQ

 hình thang vng

b) Ta có: 1 

2

MNPQ

S  MNPQ MQ

Ta có: MN  ABa

Trong SAD, ta có:

2

MQ DM AD AM a x

SA DA DA a

 

  

2

a x

MQ 

 

Trong SCD, ta có:

2

PQ SQ AM x

CD  SD  AD  a

x PQ

 

Vậy 14 2

2 2

MNPQ

x a x

S  a    a x

 

D

C A

B

S

N M

Q

(2)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD góc đường thẳng AB CD a Gọi M điểm thuộc cạnh AC, đặt AM x 0xAC Xét mặt phẳng  P qua điểm M song song với AB,

CD

a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện hình tứ diện ABCD với mặt phẳng  P đạt giá

trị nhỏ

b) Chứng minh chu vi thiết diện nêu không phụ thuộc vào x ABCD

Giải:

a) Ta thực hiện: Dựng MN CD MQ AB Dựng NP AB

Khi MNPQ thiết diện cần dựng hình bình hành có: MQ MN,   AB CD, 



sinQMN sin

 

Ta có ngay: SMNPQ MQ MN .sinQMN

Trong ABC ta có: MQ CM AC AM

AB AC AC



  MQ ABAC x

AC

  

Trong ACD ta có: MN AM

CD  AC

CD

MN x

AC

 

Do SMNPQ AB CD 2 AC x x sin

AC 

 

Mà  

2

4

AC AC AC

ACx x x  

 

Từ đó, suy

2

max sin sin

4

MNPQ

AB CD AC

S AB CD

AC  

  đạt

2

AC

x  , tức M trung

điểm AC

b) Gọi p nửa chu vi thiết diện, ta có: p MQ MN ABAC x CD.x CD AB.x AB

AC AC AC



      

Từ đó, suy chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi: CD AB AB CD AC



  

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh a SASBSCb Gọi G trọng tâm ABC

a) Chứng minh SGABC Tính SG

b) Xét mặt phẳng  P qua A vng góc với SC Tìm hệ

thức liên hệ a b để  P cắt SC điểm C nằm 1

giữa S C Khi tính diện tích thiết diện hình chóp S ABC cắt mặt phẳng  P

Giải:

a) Gọi M trung điểm BC, ta có:

B

C A

D

M

N P

Q

A

C B

S

M G

(3)

BC AM

BC SM

  



  

BC SAM

  BCSG

Chứng minh tương tự, ta nhận được: ABSGSGABC Trong GSA vng G, ta có:

2

2 2

3

a a

SG SA GA b   b 

 

2

9

3

b a

SG 

 

b) Để điểm C nằm 1 S C, điều kiện SAC (cân S) nhọn ASC900 cosASC0

2 2

0

SA SC AC

SA SC

 

  2

2b a

   2

2b a

  ab

Ta có: SACSBC c c c SCBC1SCABC1ABC1 cân C thiết diện 1

Ta có:  

2

2 2

2

1

2

.sin cos

2

b a a b a

AC SA ASC SA ASC b

b b

   

      

 

Vậy

1

2 2

4

ABC

a b a

S

b 



Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh a , SAa vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M điểm tùy ý cạnh AC,   mặt phẳng qua M vuông góc với AC

a) Tùy theo vị trí điểm M cạnh AC, có nhận xét thiết diện tạo bới   với hình chóp

S ABC

b) Đặt CM x, với 0xa Tính diện tích thiết diện theo a x xác định x để diện tích có giá trị lớn Tính diện tích lớn

Giải:

a) Gọi E trung điểm AC, ta có ngay: BEAC

Do cần xét hai trường hợp khác vị trí điểm M cạnh AC ta sử dụng SAABCSAAC

Trường hợp 1: Với M thuộc đoạn CE, ta thực hiện:

- Trong ABC dựng Mx BE cắt BC N (ta

MN  AC)

- Trong SAC dựng My SA cắt SC P (ta MPAC)

Như vậy, trường hợp ta thiết diện MNP vuông M

Trường hợp 2: Với M thuộc đoạn AE (trừ điểm E)

A

B

C E

M N

C

B A

S

E M P

(4)

- Trong ABC dựng Mx BE cắt AC N (ta MN  AC)

- Trong SAC dựng My SA cắt SC P (ta MPAC)

- Trong SAB dựng Nz SA cắt SB Q (ta NQAC)

Như vậy, trường hợp ta thiết diện hình thang vng MNPQ (vng M N )

b) Ta xét hai trường hợp điểm M

Trường hợp 1: Với M thuộc đoạn CE, ta có

2

a x

  diện tích

MNP

 là:

2

MNP

S  MN MP

Trong BCE, ta có:

2

MN CM x

a

BE  CE  MN x

Trong SAC, ta có: MP CM x

SA  CA a MPx

Do

2

1

2

MNP

x

S  x x

Ta có ngay:  

2

max

3

2

MNP

a

a S

     

 

 , đạt

2

a x 

Trường hợp 2: Với M thuộc đoạn AE, ta có

2

a

x a

  diện tích MNPQ là:

 

1

MNPQ

S  MPNQ MN

Trong ABE, ta có:

2

MN AM a x

a

BE AE



  MN  3ax

Vì SAC vuông cân A nên PMC vuông cân N, đó: MPCEx

Trong SAB, ta có:

2 a x

NQ BN ME

a

SA BA EA



   NQ2x a

Do 1  3  33  

2

MNPQ

S  x x a ax  x a ax

Ta biến đổi tiếp:

2

2 2

2

3 3

2 3

MNPQ

ax a a a a

S   x     x  

 

 

   

C

B A

S

E M P

(5)

Suy  

2

max

3

MNPQ

a

S  đạt

3

a x 

Tóm lại, ta được:

  

2

0

2

3

2

td

x a

khi x

S

a

x a a x khi x a



  

   

   

 

Và  

2

max

3

td

a

S  đạt

3

a x 

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , SAa vng góc với mặt phẳng ABCD

a) Gọi   mặt phẳng qua O, trung điểm M SD vng góc với ABCD Hãy xác định

mặt phẳng   , mặt phẳng   cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình gì? Tính diện tích

thiết diện

b) Gọi   mặt phẳng qua A, trung điểm E CD vng góc với SBC Hãy xác định mặt

phẳng  , mặt phẳng   cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết

diện

Giải:

a) Ta thực hiện:

- Xác định mặt phẳng   : Trong SAD dựng Mx SA cắt AD Q trung điểm AD, ta có:

 

MQ ABCD MQ  Vậy   mặt phẳng OMQ

- Xác định thiết diện: Kéo dài QO cắt BC P trung điểm BC, ta có:

   

à

PQ v CD SCD

PQ CD

SCD My



  

 

  



 My PQ CD 

Và My cắt SC N trung điểm SC

Vậy mặt phẳng   cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình thang vng MNPQ

- Tính diện tích thiết diện: Ta có: 1 

MNPQ

S  MNPQ MQ

Trong đó:

2

a

MN  CD MN đường trung bình SCD, PQa,

2

a

MQ SA MQ

là đường trung bình SAD

Suy

2

1

2 2

MNPQ

a a a

S  a  

 

B

C A

D

S

O

M N

(6)

b) Ta thực hiện:

- Xác định mặt phẳng   : Trong SAB hạ AH SB

H trung điểm AB, ta có:

BC AB

BC SA

  



  

BC SAB

  BCAH

Như AH SB

AH BC

  



  

AH SBC

  AH  

Vậy   mặt phẳng AHE

- Xác định thiết diện: Kéo dài AE cắt BC K, nối HK cắt SC F

Vậy mặt phẳng   cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện tứ giác AEFH

- Tính diện tích thiết diện: Ta có:



1 1

.sin

2 2

AEFH HAK EKF

AH

S S S AH HK KE KF EKF AH HK KE KF

AK

       

Trong SAB, ta có:

2

a AH  SB

Trong ADE, ta có: 2

2 a AE AD DE 

Trong KAB, ta có:

1

CE AB

 5

2 a

KE AE

   AK 2AEa

Trong HAK vng H, ta có: 2 2 a

KH  AK AH 

Trong SBK, ta có SC SH hai đường trung tuyến, đó: 2

KF  KH a

Từ đó, ta được:

2 2

2

1 2

2 2 2 4

AEFH

a

a a a a a a

S a

a

    

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a a) Chứng minh AC vng góc với A BD 

B CD 

b) Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác Tính diện tích thiết diện

Giải:

B

C A

D

S

E

H

F

K

H A

E

F

D

C A

B

D'

C' A'

B'

M

N

P F

G

E

(7)

a) Ta có: A B AB A B AB C D A B AD

  



  

 

   

A B AC

 

 

BD AC

BD AA C C

BD AA

 

 

 



  

BD AC

 

Do ACA BD 

Chứng minh tương tự, ta có ACB CD 

b) Gọi M , N, P trung điểm AB, B C , DD, suy ra: MNP song song với mặt phẳng AB D  BDC

Ta nhận xét:

   

AB D MNP

AB D A B C D B D

MNP A B C D Nx

  



          



   

 





Suy Nx B D   NxC D F với F trung điểm C D 

   

BDC MNP

BDC ABCD BD

MNP ABCD My

  

  

 

 





My BD

  MyADQ với Q trung điểm AD

Kéo dài FN cắt A B  G, nối GM cắt BB E

Vậy thiết diện hình lập phương với mặt phẳng MNP lục giác MENFPQ mặt phẳng trung trực AC

Dựa theo tính chất đường trung bình ta thấy MENFPQ lục giác có độ dài cạnh 2 a

Khi đó:

2

2 3 3

6

4

MENFPQ

a

a S

 

 

 

 

Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C , đáy tam giác cạnh 1 1 1 a , AA1a 2 Gọi M , N lần lượt trung điểm cạnh AB, A C 1 1

a) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng   qua M , N vng góc với BCC B1 1

Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện

Giải:

a) Gọi E, E theo thứ tự trung điểm 1 BC B C , ta có ngay: 1 1  1

AE BCAE BCC B

 

1 1 1 1 A E B C  A E  BCC B

1 AEA E



B

C A

B

C A

1

E1

E M

N P

(8)

Do đó: Dựng Mx AE cắt BC Q trung điểm BE Dựng Ny A E 1 cắt B C 1 P trung điểm E C 1

Vì MQ NP nên M , N, P, Q đồng phẳng, MNPQ thiết diện cần dựng

Nhận xét rằng: 1 1 1

2

MQ AE A E NP

  

MNPQ

 hình bình hành

Ta lại có: MQBCC B1 1MQPQ Vậy thiết diện MNPQ hình chữ nhật b) Ta có: SMNPQ MQ NP

Trong ABC, ta có: a

AE  , ABC có cạnh a

Trong ABE, ta có:

2

a

MQ AE , MQ đường trung bình

Trong ECC1, ta có: 1 1 a PQEC  EC C C 

Từ đó, ta được:

2

3 15

4

MNPQ

a a a

S  

Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng đỉnh C, CAa, CBb, mặt bên ABB A  hình vng Gọi  P mặt phẳng qua C vng góc với AB

a) Xác định thiết diện hình lăng trụ cho cắt  P Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện nói

Giải:

a) Để xác định thiết diện, ta thực hiện: Kẻ CH  ABCH AB Kẻ HK  AB

Khi đó, ta thiết diện CHK

b) Vì CHK vng H nên

CHK

S  HC HK

Trong ABC, ta có: 2 12 12

CH CA CB 2

ab CH

a b

 

 ,

2

AC  AH AB

2

AC a

AH

AB a b

  



Nhận xét rằng: HK  ABHK A B AHK vuông cân

A

2

2 a

HK AH

a b

  



Vậy

 

2

2 2 2

1

2

CHK

ab a a b

S

a b

a b a b

 



 



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

B'

C' A'

B

C A

K

(9)

Bài 1: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A’B’C’D’ Một mặt phẳng() hợp với mặt đáy (ABCD) góc 450 cắt cạnh bên lăng trụ M, N, P, Q Tính diện tích thiết diện, biết cạnh đáy lăng

trụ a ĐS: a2

Bài 2: Cho tam giác ABC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng () Trên đường

thẳng vng góc với () vẽ từ B C lấy đoạn 2 a

BD  , CE=a nằm phía với

()

a) Chứng minh tam giác ADE tam giác vng tính diện tích tam giác

b) Tính góc ((ADE), ())

ĐS:

, a

cos

3  

Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB SA Tính diện tích tam giác AMN biết hai mp(AMN) (SBC) vng góc

ĐS:

10 16 a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, SAmp(ABC), SA = 2a, M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích

ĐS:

2 a

Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC chiều cao h, đáy tam giác cạnh a Tính diện tích thiết diện tạo mp() qua AB vng góc với SC với hình chóp theo a h

ĐS:

2

3

4

a h S

h a





Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, đường cao bằng a

Mặt phẳng ()

qua A vng góc với SC, cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính diện tích tứ giác AB’C’D’ theo

a ĐS:

2 3 a

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a , mặt phẳng (P) qua AB vng góc với mặt phẳng (SCD) cắt SC, SD C’, D’ Tính diện tích tứ giác ABC’D’

ĐS:

3

2 a

(10)

(ABCD) góc 450 cắt cạnh bên lăng trụ M, N, P, Q Tính diện tích thiết diện, biết

cạnh đáy lăng trụ a ĐS: a2

Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi E, F M trung điểm AD,

AB CC’

a Dựng thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (EFM) b Tính góc tạo (ABCD) (EFM)

c Tính diện tích thiết diện câu a

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đường cao SH mặt phẳng ( ) qua A vng góc với SC Biết mặt phẳng ( ) cắt SH điểm H1 mà SH1 : SH = : cắt SB, SC, SD B’, C’, D’

Tính tỉ số diện tích thiết diện A B’C’D’ diện tích đáy hình chóp

Bài 11: Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường trịn (C) đường kính AC, B điểm thuộc (C) Trên nửa

đường thẳng Ax  (P) lấy điểm S cho AS = AC Gọi H, K chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng SB, SC

a CMR SBC, AHK tam giác vuông

b Tính độ dài đoạn thẳng HK theo AC BC

c Xác định vị trí B (C) cho tổng diện tích tam giác SAB CAB lớn Tìm GTLN Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng có chiều cao AB=a , đáy BC =a AD=2a ,

SA=a SAmp(ABCD)

a CMR: mặt bên hình chóp tam giác vng

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	573,75 KB