Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng số đo của cung định trên đường tròn bởi các cạnh của tam giác bằng 60 0.. Chứng tỏ K là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC.[r]
(1)BÀI GIẢNG SỐ 4: GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG
HOẶC NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
I Tóm tắt lý thuyết
i) Từ điểm M bên trongđường tròn ( )O kẻ hai dây cung AB CD góc
( )
2
AMC ACBD góc bên đường tròn
ii) Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) kẻ hai cát tuyến MAB MCD góc BMD
được gọi góc bên ngồi đường trịn (O) BMD = 1( ) BDAC
iii) Nếu MC tiếp tuyến BMD = 1( ) BCAC
II Bài tập mẫu
Bài tập mẫu 1: Trên đường tròn ( )O cho điểm , , ,A B C D theo thứ tự Gọi A B C1, 1, 1 D 1 lần lượt điểm cung AB BC CD , , DA Chứng minh đường thẳng
1 1
A C B D
Giải:
Gọi I giao điểm A C 1 1 B D 1 1 , , ,
theo thứ tự số đo cung
, , ,
AB BC CD DA.Khi đó:
360
Xét góc A IB góc có đỉnh nằm đường trịn ( )1 1 O Ta có: 1 1
2
A IB (sđ A BB + sđ 1 1 C DD ) 1 1
2
(sđ A B +sđ 1 BB + sđ 1 C D + sđ 1 DD ) 1
1( )
Nghĩa : A C1 1B D1 1 (đpcm)
Bài tập mẫu 2: Cho bốn điểm A B C D, , , theo thứ tự nằm đường trịn tâm O đường kính 2
AB R(C D nằm phía so với AB) Gọi E F theo thứ tự hình chiếu vng
góc A B, đường thẳng CD Tia AD cắt tia BC I Biết AEBF R 3
a) Tính số đo góc AIB
I O
A B
C
D A1
C1 B1
(2)b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K Gọi giao điểm KA KB, với DC M N,
Tìm giá trị lớn MN K di động cung nhỏ CD
Giải:
a) Kẻ OH CD H( CD) , ta thấy OH đường trung bình hình thang ABFE
Suy ra: 1( ) 3
2 2
R OH AEBF
Từ OCD đều, nên sđCOD sđCKD 600 Góc AIB có đỉnh nằm ngồi đường trịn ( )O nên:
sđ 1
2
AIB (sđ AmB sđCKD)
1(1800 60 )0 600 2
b) Ta thấy AEM NFB nên EM NF. AE BF. (khơng đổi).Do MN lớn EM NF nhỏ Theo EM NF. không đổi nên EM NF nhỏ
.
EM FN AE BF Vậy giá trị lớn MN EF2 AE BF.
Bài tập mẫu 3: Trong tam giácABC đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC D Giả sử ( )T đường tròn tiếp xúc với BC D qua điểm A Gọi M giao điểm thứ hai
( )T AC, P giao điểm thứ hai ( )T BM , E giao điểm AP BC
a) Chứng minh rằng: EAB MBC
b) Chứng minh hệ thức: BE2 EP EA.
Giải:
C D
O I
A
B K
H E
(3)a) Gọi N giao điểm thứ hai AB với ( )T Do AD phân giác góc BAC nên
sđDM = sđDN
Ta có: 1
2
MBC MBD (sđDM sđDP)
1 2
(sđ DN sđDP) 1
2
sđNP NAP EAB
b) Từ kết câu a) ta thấy: EBP EAB Từ đó: EBP EAB(g.g)
Suy ra: BE EA EP BE hay
2
.
BE EP EA(đpcm)
Bài tập mẫu 4: Giả sử A B C, , ba điểm thuộc ( )O cho tiếp tuyến A đường tròn cắt tia BC D Tia phân giác BAC cắt đường tròn M , tia phân giác ADC cắt AM tại I Chứng minh AM DI
Giải:
Giả sử N giao điểm AM BC Ta có:
1
2
AND (sđ AC + sđ BM )
1
2
(sđ AC + sđCM)
1
2
sđ ACM (1)
Mặt khác: 1
2
NAD sđACM (góc tạo tiếp tuyến dây cung) (2)
Từ (1) (2) suy AND NAD, hay DAN
cân D Từ đó: AM DI
Bài tập mẫu 5: Trên đường trịn tâm O bán kính R ta kẻ ba dây cung liên tiếp
, ,
AB BC CD ( dây có độ dài nhỏ R) Gọi I giao điểm AB CD Các tiếp tuyến
của đường tròn B D cắt K
a) Chứng minh rằng: BIC BKD
P
N M
B C
A
D E
N
O
D
A
B
C
M
(4)b) Chứng tỏ BC tia phân giác góc KBD
Giải:
a) Ta có: 1
2
BIC (sđAmD sđBC) (1)
b) Xét EAB EBD có:
EBD EBC EAC BAE
Nên EAB EBD g g( )
Suy ra: EA EB EB ED hay
2
.
ED EAEB
III Bài tập tự luyện
Bài 1: Dọc theo cạnh tam giác ta lăn đường trịn có bán kính đường cao tam giác Chứng minh số đo cung định đường tròn cạnh tam giác 600
Hướng dẫn: Gọi số đo cung bị chắn
cạnh tam giác .Chứng minh 600
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm ( )O Các đường phân giác tam giác kẻ từ A B C, , cắt I cắt đường tròn ( )O theo thứ tự D E F, ,
a) Chứng minh CI ED
b) Gọi M giao điểm AC DE Chứng minh IM / /BC
c) Gọi K điểm đối xứng với I qua D Chứng tỏ K tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC
Hướng dẫn:
a) Gọi I giao điểm CF DE
Chứng minh CHD 900
b) Chứng minh MIC ICB
c) Chứng minh K giao điểm tia phân
giác góc BAC tia phân giác ngồi
góc ACB
Bài 3: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn ( )O Gọi D điểm thuộc cung BC không chứaA, E giao điểm BC AD
C
O I
K
A
B
(5)a) Chứng minh AEB ABD b) Chứng minh hệ thức AC2 AD AE.
c) Các kết câu a) b) có thay đổi khơng điểm D thuộc cung BC chứa A? Hướng dẫn:
a) Chứng minh 1
2
AEB ABD ACD
b) Chứng minh AEB ABD
c) Các kết luận
Bài 4: Cho đường tròn tâm ( )O dây AB Trên hai cung AB ta lấy điểm M N Hai tia AM NB cắt C, hai tia AN MB cắt D Chứng minh
ACN ADM ABCD
Hướng dẫn: Chứng minh AB đường kính đường tròn ( )O Suy B trực tâm ACD
Bài 5:Qua điểm A nằm bên đường tròn ( )O vẽ hai cát tuyến ABC và AMN (B nằm Avà C,M nằm Avà N) Hai đường thẳng BN CM cắt S Chứng minh rằng:)
a) ABSM 2CBN b) AM AN. AB AC.
Hướng dẫn
a) Chứng minh A BSM sđ CN b) Chứng minh ABN ACM
Bài 6: Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn PB PC QA; QC RA ; RB Chứng minh rằng:
a) AP QR
b) Cho APCR{I} Chứng minh CPI cân Hướng dẫn:
a) Gäi giao ®iĨm cđa AP vµ QR lµ E Chứng minh AER= 900
