Bài giảng số 4: Góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn

Chứng minh rằng số đo của cung định trên đường tròn bởi các cạnh của tam giác bằng 60 0.. Chứng tỏ K là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC.[r]

BÀI GIẢNG SỐ 4: GÓC CÓ ĐỈNH Ở TRONG

HOẶC NGỒI ĐƯỜNG TRỊN

I Tóm tắt lý thuyết

i) Từ điểm M bên trongđường tròn ( )O kẻ hai dây cung AB CD góc

  

( )

2

AMC ACBD góc bên đường tròn

ii) Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) kẻ hai cát tuyến MAB MCD góc BMD

được gọi góc bên ngồi đường trịn (O) BMD = 1( ) BDAC

iii) Nếu MC tiếp tuyến BMD = 1( ) BCAC

II Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Trên đường tròn ( )O cho điểm , , ,A B C D theo thứ tự Gọi A B C1, 1, 1 D 1 lần lượt điểm cung AB BC CD , , DA Chứng minh đường thẳng

1 1

A C B D

Giải:

Gọi I giao điểm A C 1 1 B D 1 1 , , ,

    theo thứ tự số đo cung

   , , ,

AB BC CD DA.Khi đó:

360    

Xét góc A IB góc có đỉnh nằm đường trịn ( )1 1 O Ta có: 1 1

2

A IB  (sđ A BB + sđ 1 1 C DD ) 1 1

2

 (sđ A B +sđ 1 BB + sđ 1 C D + sđ 1 DD ) 1

1( )    

   

Nghĩa : A C1 1B D1 1 (đpcm)

Bài tập mẫu 2: Cho bốn điểm A B C D, , , theo thứ tự nằm đường trịn tâm O đường kính 2

AB R(C D nằm phía so với AB) Gọi E F theo thứ tự hình chiếu vng

góc A B, đường thẳng CD Tia AD cắt tia BC I Biết AEBF R 3

a) Tính số đo góc AIB

I O

A B

C

D A1

C1 B1

b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K Gọi giao điểm KA KB, với DC M N,

Tìm giá trị lớn MN K di động cung nhỏ CD

Giải:

a) Kẻ OH CD H( CD) , ta thấy OH đường trung bình hình thang ABFE

Suy ra: 1( ) 3

2 2

R OH  AEBF 

Từ OCD đều, nên sđCOD  sđCKD  600 Góc AIB có đỉnh nằm ngồi đường trịn ( )O nên:

sđ 1

2

AIB  (sđ AmB sđCKD)

1(1800 60 )0 600 2

  

b) Ta thấy AEM NFB nên EM NF.  AE BF. (khơng đổi).Do MN lớn EM NF nhỏ Theo EM NF. không đổi nên EM NF nhỏ

.

EM  FN  AE BF Vậy giá trị lớn MN EF2 AE BF.

Bài tập mẫu 3: Trong tam giácABC đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC D Giả sử ( )T đường tròn tiếp xúc với BC D qua điểm A Gọi M giao điểm thứ hai

( )T AC, P giao điểm thứ hai ( )T BM , E giao điểm AP BC

a) Chứng minh rằng: EAB MBC

b) Chứng minh hệ thức: BE2 EP EA.

Giải:

C D

O I

A

B K

H E

a) Gọi N giao điểm thứ hai AB với ( )T Do AD phân giác góc BAC nên

sđDM = sđDN

Ta có:   1

2

MBC MBD (sđDM  sđDP)

1 2

 (sđ DN  sđDP) 1

2

 sđNP  NAP  EAB

b) Từ kết câu a) ta thấy: EBP EAB Từ đó: EBP EAB(g.g)

Suy ra: BE EA EP  BE hay

2

.

BE EP EA(đpcm)

Bài tập mẫu 4: Giả sử A B C, , ba điểm thuộc ( )O cho tiếp tuyến A đường tròn cắt tia BC D Tia phân giác BAC cắt đường tròn M , tia phân giác ADC cắt AM tại I Chứng minh AM  DI

Giải:

Giả sử N giao điểm AM BC Ta có:

 1

2

AND  (sđ AC + sđ BM )

1

2

 (sđ AC + sđCM)

1

2

 sđ ACM (1)

Mặt khác:  1

2

NAD  sđACM (góc tạo tiếp tuyến dây cung) (2)

Từ (1) (2) suy AND NAD, hay DAN

 cân D Từ đó: AM DI

Bài tập mẫu 5: Trên đường trịn tâm O bán kính R ta kẻ ba dây cung liên tiếp

, ,

AB BC CD ( dây có độ dài nhỏ R) Gọi I giao điểm AB CD Các tiếp tuyến

của đường tròn B D cắt K

a) Chứng minh rằng: BIC  BKD

P

N M

B C

A

D E

N

O

D

A

B

C

M

b) Chứng tỏ BC tia phân giác góc KBD

Giải:

a) Ta có:  1

2

BIC  (sđAmD sđBC) (1)

b) Xét EAB EBD có:

   

EBD EBC  EAC  BAE

Nên EAB EBD g g( )

Suy ra: EA EB EB  ED hay

2

.

ED EAEB

III Bài tập tự luyện

Bài 1: Dọc theo cạnh tam giác ta lăn đường trịn có bán kính đường cao tam giác Chứng minh số đo cung định đường tròn cạnh tam giác 600

Hướng dẫn: Gọi số đo cung bị chắn

cạnh tam giác .Chứng minh  600

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm ( )O Các đường phân giác tam giác kẻ từ A B C, , cắt I cắt đường tròn ( )O theo thứ tự D E F, ,

a) Chứng minh CI ED

b) Gọi M giao điểm AC DE Chứng minh IM / /BC

c) Gọi K điểm đối xứng với I qua D Chứng tỏ K tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn:

a) Gọi I giao điểm CF DE

Chứng minh CHD  900

b) Chứng minh MIC ICB

c) Chứng minh K giao điểm tia phân

giác góc BAC tia phân giác ngồi

góc ACB

Bài 3: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn ( )O Gọi D điểm thuộc cung BC không chứaA, E giao điểm BC AD

C

O I

K

A

B

a) Chứng minh  AEB ABD b) Chứng minh hệ thức AC2  AD AE.

c) Các kết câu a) b) có thay đổi khơng điểm D thuộc cung BC chứa A? Hướng dẫn:

a) Chứng minh   1 

2

AEB ABD ACD

b) Chứng minh AEB ABD

c) Các kết luận

Bài 4: Cho đường tròn tâm ( )O dây AB Trên hai cung AB ta lấy điểm M N Hai tia AM NB cắt C, hai tia AN MB cắt D Chứng minh

 

ACN  ADM ABCD

Hướng dẫn: Chứng minh AB đường kính đường tròn ( )O Suy B trực tâm ACD

Bài 5:Qua điểm A nằm bên đường tròn ( )O vẽ hai cát tuyến ABC và AMN (B nằm Avà C,M nằm Avà N) Hai đường thẳng BN CM cắt S Chứng minh rằng:)

a)  ABSM 2CBN b) AM AN.  AB AC.

Hướng dẫn

a) Chứng minh A BSM sđ CN b) Chứng minh ABN ACM

Bài 6: Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn PB  PC QA; QC RA ;  RB Chứng minh rằng:

a) AP QR

b) Cho APCR{I} Chứng minh CPI cân Hướng dẫn:

a) Gäi giao ®iĨm cđa AP vµ QR lµ E Chứng minh AER= 900