Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trụ[r]
(1)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Bài giảng số 4: TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Trục tọa độ
Trục tọa độ (trục, trục số) đường thẳng xác định điểm O vectơ có độ dài Ký hiệu trục (O; ) x’Ox
O gọi gốc tọa độ; i vectơ đơn vị trục tọa độ Tọa độ vectơ điểm trục
+ Cho điểm M nằm trục (O; ) Khi có số m cho OMmi Số m gọi
tọa độ m trục (O; ) (nó tọa độ OM
)
+ Cho vectơ u
trục (O; ) Khi có số x cho uxi
Số x gọi tọa độ vectơ
u
trục (O; )
Độ dài đại số vectơ trục
Cho A,B nằm trục (O; ) Khi có số a cho = a Ta gọi số a độ dài đại
số trục cho
Kí hiệu: a=AB Như =AB
*Nhận xét:
+ Nếu ABi AB= AB
+ Nếu ABi
AB= AB
+ Nếu hai điểm A B trục (O; ) có tọa độ a b
AB= ba Tính chất:
+ ABCD ABCD
+ABBC AC (hệ thức Salơ)
2 Hệ trục tọa độ
x y
i
j O
Hệ trục tọa độ
i
i
i
i
i
i
i
AB i
AB
AB i
i
O I
i
'
(2)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Hệ trục tọa độ vng góc gồm trục tọa độ Ox Oy vng góc Vectơ đơn vị Ox i
,
vectơ đơn vị Oy j Ký hiệu Oxy (O; ; )
+ Điểm O gọi gốc tọa độ; trục Ox gọi trục hoành, trục Oy gọi trục tung
+ Khi mặt phẳng cho hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng mặt phẳng tọa độ Tọa độ vectơ hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O; ; ), =x +y cặp số (x;y) toạ độ
Ký hiệu = (x ; y) (x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ nhau) Cho = (x ; y), = (x’;y’)
= '
' x x y y
Một số tính chất: Cho = (x ; y), = (x’;y’) Khi đó: 1) = (x x’; y y’)
2) k =(kx ; ky) với k
3) m + n =(mx+nx’ ; my+ny’)
4) // có số k thỏa =k ' ' x kx y ky
' ' ' '
x y
xy yx
x y
Tọa độ điểm hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ vectơ OM
gọi tọa độ điểm M Như vậy, cặp
số (x ; y) tọa độ M OM
=(x ; y)
Khi đó, ta viết M(x ; y) M(x ; y)
+ x gọi hoành độ điểm M, y gọi tung độ điểm M
+ M(x ; y) OM
xi y j
OM
=(x;y)
x=OM1; y=OM2
+ Gốc tọa độ O(0;0)
Tọa độ vectơ MN
biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ; yM) N(xN ; yN) ta có :
= (xM – xN ; yM – yN)
Tọa độ trung điểm: Nếu P(xP;yP) trung điểm đoạn thẳng MN thì:
i
j
i
j
a
i
j
a
a a
a b
a
b
a b
a b
a
a b
a
b
0
a
b
MN
O y
x M2
M1
(3)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
P
x = ; yP =
Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC) Khi tọa độ trọng tâm
G(xG;yG) tính theo cơng thức:
xG = ; yG =
3
A B C
y y y
B.BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Biểu diễn vectơ a
dạng a xiy j
a) a
=(1;1) b) a
=(5;0) c) a
=(0;2) d) a
=(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ u, biết:
a) u
=3i
4j b) u =2i +1 j
c) u
= 3i
d) u
=j
3) Xác định tọa độ vectơ c
, biết:
a) c
=a
+3b
; với a
(2;1), b
(3;4) Tính độ dài c
b) c
=2a
5b
; với a
(1;2), b
(2;3)
Đáp án: a) c
=(11;11), |c
|=11 b) c
=(8;19) 4) Cho a=(2;4); b=(-3;1);
c =(5;-2) Tìm vectơ:
a)
a b c
m b)
a c
n 24 14
Đáp án: a) m
= (30;21) b) n
=(118;68)
5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)
a) Xác định tọa độ vectơ AB BA,
b) Tìm tọa độ điểm M cho BM (3;0)
2
M N
x x
2
M N
y y
3
A B C
x x x
1) |
u| = x 2 y2 với
u= (x;y)
2) |
AB | = 2
) (
)
(xB xA yB yA với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) A, B, C thẳng hàng AC/ /AB
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
(4)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
c) Tìm tọa độ điểm N cho NA (1;1)
Đáp án: a) AB(2; 2),BA ( 2; 2)
b) M(4;3) c) N(2;0)
6) Cho hình vng ABCD có cạnh a=5 Chọn hệ trục tọa độ (A; i j, ), i
và AD hướng, j
và AB hướng Tìm tọa độ đỉnh hình vng, giao điểm I hai đường chéo, trung điển N BC trung điểm M CD
Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)
( ; ),5 ( ;5),5 (5; )5
2 2
I N M
7) Cho hình bình hành ABCD có AD= chiều cao ứng với cạnh AD 3, góc BAD 600 Chọn hệ
trục tọa độ (A; i j, ), i
và AD hướng Tìm tọa độ véctơ AB BC CD AC, , ,
Đáp án: Kẻ BHAD, ta có
BH=3 AB=2 (vì HAB vng BAD 600)
AH= Do đó;A(0;0), B( 3;3), C(4+ 3;0), D=(4;0)
( 3;3), (4;0), ( 3; 3), (4 3;3)
AB BC CD AC
8) Cho tam giác ABC Các điểm M(1;0), N(2;2) P(1;3) trung điểm cạnh BC, CA AB
Tìm tọa độ đỉnh tam giác
Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1)
9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D
Đáp án: D(3;0)
10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)
a) Xác định tọa độ AB Tính AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB
c) Tìm tọa độ điểm C biết A trung điểm BC
d) A’ điểm đối xứng A qua B Tìm tọa độ A’
Đáp án: a) AB=(12;5) b) I(7;11/2) c) 11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3)
a) Tìm tọa độ trọng tâm G
b) Tính chu vi tam giác ABC
(5)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M trung điểm BC Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5) Tính tọa độ
véc tơ AG,GM,AM Tính chu vi tam giác ABC
Đáp án: AG ,GM ,AM
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
a) CE3AB4AC b) AF2BF4CF 0
Đáp án:
14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1) Xác định t để
AB = CD
Đáp án: t=1
15) Cho biết véctơ sau phương hay không phương
a)
a= (1;2)
b= (3;6) b)
a=( = -1)
b= (-2; )
c)
a= (-1;4)
b= (3;7) d)
a= (-1;-3)
b=(1;2)
16) Tìm x để cặp véctơ sau phương
a) a
=(2;3), b
=(4;x) b) u
=(0;5), v
=(x;7)
c) m
=(2;3), n
=(1;x) d) a
=( t+1;2) b
=(3;4-t)
Đáp án: a) x= b) x= c) x= d) t=1; t=2
17) Biểu diễn véctơ
c theo hai véctơ
a
b
a)
c = (4;7) ;
a= (2;1) ;
b= (-3;4)
b)
c= (1;3) ;
a= (1;1) ;
b= (2;3)
c)
c= (0;5) ;
a= (4;3) ;
b= (2;1)
HD: Tìm số m, n cho
c= m
a+ n
bgiải hệ 1
2 2
a a
c m nb
c m nb
Đáp án: a) c
=a
+2
b b) c =3 a 4
b c) c =a 2 b
18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;1), C(4;3) D(16;3) Hãy biểu diễn AD theo AB AC,
Đáp án: AD=3AB+4AC
19) Cho ba điểm A(1;1), B(1;3), C(2;0) Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng
HD: AB 2AC
(6)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Đáp án: A, B, C thẳng hàng AC/ /AB
x=14
21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3) Chứng minh đường thẳng AB//CD
Đáp án: ta có CD 2AB AB CD song song trùng
Ta (2;6), (1; 2)
AC AB
AC
không phương AB C không thuộc AB CD//AB
22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C Oy trọng tâm G Ox Tìm tọa độ đỉnh C
Đáp án: C(0;4)
23) Cho A(2;1), B(4;5) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB tọa độ diểm C cho tứ giác OABC
hình bình hành, O gốc tọa độ
Đáp án: I(1;3), C(2;6)
24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
HD: a) Cần chứng minh AB không phương AC
b) G(1;4)
25) Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ tọa độ (O; i j, ), O trung điểm BC, iOC
,
jOA
a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC
c) Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Đáp án: a) (0; 3), ( ; 0), ( ; 0)
2 2
a a a
A B C
b) ( ; 3) 4 a a
E c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G
26) Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ tọa độ (O; i j, ), O tâm lục giác đều, iOD
,
jEC
Tính tọa độ đỉnh lục giác biết độ dài cạnh lục giác
Đáp án: A(6;0), D(6;0)
27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D biết:
a) – + =
b) – = +
AD
BD
CD 0
AD
AB
BD
(7)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD
28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ A, B
b) Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
29) Cho =(2; 1) ; =( ; 4) =(7; 2)
a) Tìm tọa độ vectơ = - +
b) Tìm tọa độ vectơ thỏa + = -
c) Tìm số m ; n thỏa = m + n
30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để điểm A, B, C thẳng hàng
31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5) Chứng minh A, B, C thẳng hàng
C.BÀI TẬP LÀM THÊM
1/ Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 2
a/ Tìm tọa độ
AB
b/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ điểm M cho
MA +
MB =
d/ Tìm tọa độ điểm N cho 2NA + NB = 1
2/ Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c
a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB
b/ Tìm tọa độ điểm M cho
MA +
MB
MC =
c/ Tìm tọa độ điểm N cho
NA
NB =
NC
3/ Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 3
a/ Tìm tọa độ điểm M cho 3MA 2MB =
c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB
4/ Trên trục x'Ox cho điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR : AC
1 +
AD
= AB
2
b/ Gọi I trung điểm AB CMR : IC.IDIA2
a b c
u a b c
x x a b c
c
(8)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
c/ Gọi J trung điểm CD CMR : AC.ADAB.AJ
5/ Viết tọa độ vectơ sau : a = i
j
, b
=
2
i
+ j
;
c
= i
+
2
j
; d
= i
; e = 4 j
6/ Viết dạng u= x i
+ y j
, biết :
u
= (1; 3) ; u= (4; 1) ; u= (0; 1) ; u= (1, 0) ; u = (0, 0)
7/ Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b
= (2, 0) Tìm tọa độ độ dài vectơ :
a/ u = 3a 2b
b/ v= 2a + b
c/ w = 4a
2
b
8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ vectơ
AB,
AC ,
BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB
c/ Tìm tọa độ điểm M cho :
CM =
AB
AC
d/ Tìm tọa độ điểm N cho :
AN +
BN
CN =
9/ Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2)
a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1)
a/ CMR : ABC vng Tính diện tích ABC
b/ Gọi D(3; 1) CMR : điểm B, C, D thẳng hàng
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành
11/ Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4)
a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC tính bán kính đường trịn
12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trục hồnh điểm M cho ABM vng M
13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trục hồnh điểm C cho ABC cân C
(9)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành
14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
c/ CMR : ABC vuông cân
