Bài giảng chi tiết mở đầu về hình học tọa độ trong gian, tác giả trình bày tinh giản nhưng đầy đủ, đảm bảo bài giảng được dạy trong thời gian nhanh nhất có thể theo ý của người dạy nhưng vẫn không mất kiến thức. Cuối bài giảng là những bài tập căn bản nhất được soạn theo nguyên tắc sư phạm. Đây là bài giảng mở đầu chuỗi các bài giảng tinh giản, gọn nhẹ với mục tiêu rút ngắn thời gian học chương trình Toán THPT.
Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Huỳnh Vĩnh Sang BÀI GIẢNG SỐ SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Hệ trục tọa độ không gian Hệ trục tọa độ Oxyz Hệ trục tọa độ Oxyz không gian gồm ba trục tọa độ x Ox, y Oy, z Oz đôi vng góc − → − → − → Trên ba trục tọa độ có vectơ đơn vị i , j , k → − → − → − → − → − → − → − → − → − Ta có i = j = k i ⊥ k , j ⊥ k , k ⊥ i → − → − → − − − Tọa độ vectơ: → u (x, y, z) ⇔ → u =x i +y j +zk −−→ → − → − → − Tọa độ điểm: M (x, y, z) ⇔ OM = x i + y j + z k Một số công thức → − − Cho hai vectơ → a = (a1 , a2 , a3 ) b = (b1 , b2 , b3 ) STT Tên gợi nhớ Công thức Tổng hiệu hai vectơ → − → − a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) Tích vectơ với số − k→ a = (ka1 , ka2 , k3 ) Độ dài vectơ − |→ a|= Tích vơ hướng hai vectơ → − → − a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 → − → − a ⊥ b = ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = → − − cos → a, b = Bài giảng số a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Hai vectơ Huỳnh Vĩnh Sang → − → − a = b ⇔ → − a Độ dài đoạn thẳng AB AB = Tọa độ trung điểm I đoạn xI = thẳng AB Tọa độ trọng tâm G ∆ABC 11 12 (b1 , b2 , b3 = 0) (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 xA + xB ; yI = yA + yB xA + xB + x C x = G y = yA + yB + yC G z = zA + zB + zC G x + x A B + xC + xD Tọa độ trọng tâm G tứ diện xG = ABCD yA + yB + yC + yD z = zA + zB + zC + zD G 4 xA − k.xB xM = 1−k −−→ −−→ y M A = k M B ⇔ yM = A − k.yB 1−k z zM = A − k.zB 1−k yG = Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ 13 a2 = b a3 = b3 → − a2 a3 a1 = = b ⇔ b1 b2 b3 Hai vectơ phương 10 a1 = b số k Tích vơ hướng hai vectơ a) Định nghĩa → − − Cho hai vectơ → a = (a1 , a2 , a3 ) b = (b1 , b2 , b3 ) → − → − − − a , b , xác Tích có hướng hai vectơ → a b vectơ, kí hiệu → định sau: a2 a3 a3 a1 a1 a2 → − → − a, b = , , b2 b3 b3 b1 b1 b2 Bài giảng số Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Huỳnh Vĩnh Sang b) Tính chất → − → − → − − − i) → a b ⇔ → a, b = 0; → − → − → − − − − ii) → a, b ⊥→ a → a, b ⊥ b ; iii) → − → → − − b ,− a =− → a, b ; → − → − a, b iv) → − − − = |→ a | b sin → a ,b c) Ứng dụng STT Tên gợi nhớ Sự đồng phẳng ba vectơ Công thức → − − → − − → − − a , b ,→ c ⇔ → a , b → c =0 Điều kiện A, B, C, D tạo thành tứ diện −→ −→ −−→ AB, AC AD = Diện tích tam giác ABC SABC = −→ −→ AB, AC Diện tích hình bình hành ABCD SABCD = −→ −→ AB, AC Thể tích hình hộp ABCD.A B C D VABCD.A B C D = Thể tích tứ diện ABCD VABCD = 6 −→ −→ −−→ AB, AC AA −→ −→ −−→ AB, AC AD Một số ví dụ nâng cao → − − • Tính tọa độ tích có hướng → a, b → − − Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tính → a , b với: → − − a) → a = (2, −5, 3), b = (0, 2, −1); → − − b) → a = (3, 0, −6), b = (2, −4, m) với m tham số Bài giảng số Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Huỳnh Vĩnh Sang Giải −5 → − − a) → a, b = → − − b) → a, b = −4 , m , −1 −1 −6 , −6 m −5 , = (−1, −2, 4) 2 −4 = (−24, −12 − 3m, −12) • Tìm tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1, 3, 1), B(0, 1, 2), C(0, 0, 1) a) Tìm tọa độ trung điểm M, N, P cạnh AB, BC, CA tamg giác ABC ; b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Giải xA + xB = , yM = 2 ⇒M , 2, 2 ,N Tương tự ta có N 0, , 2 a) Ta có xM = yA + yB zA + zB = 2, zM = = 2 , ,1 2 b) Ta có xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC = , yG = = , zG = = 3 3 4 , , ⇒G 3 xG = • Diện tích tam giác, diện tích hình bình hành Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(3, 4, −1), B(2, 0, 3), C(−3, 5, 4) a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tính diện tích hình bình hành ABCD Giải Bài giảng số Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian −→ Huỳnh Vĩnh Sang −→ a) Ta có AB = (−1, −4, 4) AC = (−6, 1, 5) −→ −→ ⇒ AB, AC = (−24, −19, −25) ⇒ SABC −→ −→ AB, AC = = √ (−24)2 + (−19)2 + (−25)2 = 1562 b) Đặt D(x, y, z) −→ −−→ ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC −−→ Ta có DC = (−3 − x, − y, − z) Suy −1 = −3 − x −4 = − y 4=4−z ⇒ x = −2 y=9 z=0 Vậy D(−2, 9, 0) −→ −→ AB, AC c) SABCD = = √ 1562 • Thể tích tứ diện, thể tích hình hộp Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz , cho bốn điểm A(−1, −2, −4), B(−4, −2, 0), C(3, −2, 1), D(1, 1, 1) a) Chứng minh A, B, C, D khơng đồng phẳng b) Tính thể tích tứ diện ABCD Giải −→ −→ −−→ a) Ta có AB = (−3, 0, 4), AC = (4, 0, 5), AD = (2, 3, 5) −→ −→ −→ −→ −−→ ⇒ AB, AC = (0, 31, 0) ⇒ AB, AC AD = 93 = ⇒ A, B, C, D không đồng phẳng b) VABCD = Bài giảng số 1 −→ −→ −−→ 31 AB, AC AD = Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Huỳnh Vĩnh Sang • Tọa độ chân đường phân giác tam giác Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1, 2, −1), B(2, −1, 3), C(−4, 7, 5) Tính độ dài đường phân giác góc B Giải −→ Ta có BA = (−1, 3, −4) ⇒ BA = √ 26 √ −−→ BC = (−6, 8, 2) ⇒ BC = 26 Theo tính chất chân đường phân giác −−→ −−→ BC DC = = ⇒ DC = −2DA DA BA Suy xC − (−2)xA =− xD = − (−2) yC − (−2)yA 11 =− − (−2) z − (−2)zA zD = C =1 − (−2) yD = 11 ,1 3 Vậy D − , II Phương trình mặt cầu Phương trình tắc mặt cầu Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu có tọa độ tâm (x0 , y0 , z0 ), bán kính R có phương trình tắc (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 Phương trình tổng quát mặt cầu x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Cách xác định tâm bán kính từ phương trình tổng qt hệ số x hệ số y hệ số z - Tọa độ tâm: , , - Bán kính: R = √ −2 −2 a2 + b + c − d −2 Một số ví dụ nâng cao Bài giảng số Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Huỳnh Vĩnh Sang • Phương trình mặt cầu biết tâm bán kính Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I(1, 2, 3), bán kính R = √ Giải (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = • Phương trình mặt cầu biết đường kính Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4, −3, 7), B(2, 1, 3) Giải Gọi I trung điểm AB Ta có I(3, −1, 5), AB = Bán kính R = (2 − 4)2 + (1 + 3)2 + (3 − 7)2 = AB = 3, tâm điểm I Phương trình mặt cầu (x − 3)2 + (y + 1)2 + (z − 5)2 = • Phương trình mặt cầu qua điểm biết trước tọa độ tâm Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm A(5, −4, 1) qua điểm C(3, −3, 1) Giải Bán kính R = AC = (3 − 5)2 + (−3 + 4)2 + (1 − 1)2 = √ Phương trình mặt cầu (x − 5)2 + (y + 4)2 + (z − 1)2 = • Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (đi qua bốn đỉnh tứ diện) Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1, 1, 0), B(3, 1, 2), C(−1, 1, 2), D(1, −1, 2) Giải Cách Bài giảng số Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Huỳnh Vĩnh Sang Gọi I(a, b, c) tâm mặt cầu Ta có IA = IB IB = IC IC = IA Bán kính R = IA = ⇔ − 2a = − 6a + − 4c − 6a = + 2a 1 + 2a + − 2b = − 2a + + 2b ⇔ a=1 b=1 c = (1 − 1)2 + (1 − 1)2 + (0 − 2)2 = Phương trình mặt cầu (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = Cách Giải sử phương trình mặt cầu x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (a2 + b2 + c2 − d = 0) Mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D nên ta có −2a − 2b + d = −2 d = 2a + 2b − −6a − 2b − 4c + d = −14 −4a − 4c = −12 ⇔ 2a − 2b − 4c + d = −6 −2a + 2b − 4c + d = −6 4a − 4c = −4 4b − 4c = −4 ⇔ a=1 b = c=2 d = Phương trình mặt cầu x2 + y + z − 2x − 2y − 4z + = Bài giảng số ... − 6a = + 2a 1 + 2a + − 2b = − 2a + + 2b ⇔ a =1 b =1 c = (1 − 1) 2 + (1 − 1) 2 + (0 − 2)2 = Phương trình mặt cầu (x − 1) 2 + (y − 1) 2 + (z − 2)2 = Cách Giải... trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A (1, 1, 0), B(3, 1, 2), C( 1, 1, 2), D (1, 1, 2) Giải Cách Bài giảng số Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Huỳnh Vĩnh... = ( 1, −2, 4) 2 −4 = (−24, 12 − 3m, 12 ) • Tìm tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1, 3, 1) , B(0, 1, 2), C(0, 0, 1) a) Tìm