Bài giảng số 1: Ứng dụng véc tơ trong các bài toán đại số

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM1[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Hotline: 0989189380

Bài giảng số 1: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Cho hai vectơ a b a   ,  0 Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b , phương k:bk a.

2 Tích vơ hướng

Cho vectơ a b , ta có: a b    a bcosa b , 

Hệ quả:

 a b   a  b  1

 Nếu a x y1; 1, bx y2; 2 thì:

 2 2

1 2 1 2

x x  y y  x y x y (Bất đẳng thức Bunhiacopxky)

Dấu “=” xảy khi: cosa b  ,  1a b , phương a b , ngược hướng

 a b  a  b  2

Dấu “=” xảy  a k b k.  0

 a b  a  b  3

Dấu “=” xảy  a k b k.  0

 a b  a  b  4

Dấu “=” xảy  a k b k.  0

 Từ    2 ,  4 , ta có bất đẳng thức đại số tương ứng:

 2  2  

2 2

1 2 2

x y  x y  x x  y y 

 2  2  

2 2

1 2 2

x y  x y  x x  y y 

 2  2  

2 2

1 2 2

x y  x y  x x  y y 

3 Điều kiện để a b là: a b   0 biểu thức tọa độ: x x1 2 y y1 2  0

(2)

Hotline: 0989189380

 Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình, bất phương trình sau:

a) x x 1 3x2 x21 b) x   1 x 2x322x2

Giải:

a Xét ux;1, v x1; 3x Khi phương trình (1a) tương đương với .u v  u v  Từ suy cos( ; )u v   1 ( ; )u v  00 u v , hướng

Vậy ta có 3 2

1 (3 )

x

x x

x x x

x x x x

              

3

x

x x x

 

  

   



b) Xét u x1;x3, v  1;1 Theo đề ta có u v  u v  Mặt khác ta có u v  u v 

Vậy suy u v  u v  Dấu xảy khicos( ; )u v   1 ( ; )u v  00 u v , hướng

 2

3

1

1 1

x

x x

x x x

x x                  

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

a)

4 4

2 2

1

2

x y z

           b)   2 2 2

3 8

x y y x z

x x y yz

x y xy yz x z

                     Giải:

a) Xét ux y z2; 2; 2, v  1;1; 2 Khi hệ vơ nghiệm

b) Hệ phương trình cho tương đương với hệ sau:

   

 2  2  2  2

0

1

4

x x y y y z

x x y z

x y y z x z

                     

Xét ux y; , vxy y; z, wx1; 2z1 Khi hệ trở thành:

   2

(3)

Hotline: 0989189380

Xét khả năng: v  0, u  w0 Trường hợp u v  , , w0u , w phương

 Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:

a) a2  a a2  a aR

b) x2xyy2  y2yzz2  z2zxx2  3xyz

c) Cho xy  Chứng minh rằng: z 2

2 2

1 1

82

x y z

     

Giải

a) Xét véc tơ ( 1; 3), (1 ; 3)

2 2

u a  v a

Áp dụng tính chất u  v  u v ta suy điều phải chứng minh

b) Xét ba véc tơ ( ; ), ( ; ), ( ; )

2 2 2

y y z z x z

u x  v y  w z  ta có

3

( ( ); ( ))

2

u   v w xyz x y z

Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  u   v w suy đpcm

c) Áp dụng bất đẳng thức u  v  w  u   v w với u x( ; ), ( ;1 v y 1), ( ; )w z

x y z

  

Ta có    

2

2 1

VT x y z x y z

x y z x y z

   

           

 

   

Tiếp theo xét hàm f t( ) t 81 (t 1)

t

   dùng bất đẳng thức cosi cho 82 số ta có đpcm

Ví dụ 4: Cho a b c  , , ab bc caabc Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2

3

b a c b a c

ab bc ca

  

  

(4)

Hotline: 0989189380

Ta có: VT 12 22 12 22 12 22

a b b c c a

     

Xét u 1;

a b

 

 

 



, v 1;

b c

 

 

 



, w 1;

c a

 

 

 



2

1 1 1

w w

u v u v

a b c a b c

   

                

   

     

Ví dụ 5: Giả sử hệ phương trình:

2

3 16

x xy y

y yz z

   

 

  

 

có nghiệm Chứng minh rằng: xyyzzx 8

Giải:

Xét ;

2

x

u y x

 

 3 3

3 ;

2

u  x y x

   

 



, ;

2

z v z y

 



3

u

   , v 

 

3

2

u v xy yz zx u v

        3.4

3

xy yz zx

    

Ví dụ 6: Cho số thực x x1, 2, ,x Chứng minh rằng: 8

 8 8

max x x x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x số không âm

Giải:

Trên hệ trục tọa độ Oxy xét điểm ,A B C D với , , A x x 1; 2, B x x 3; 4, C x x 5; 6, D x x 7; 8 Ta có: OA OB  x x1 3x x2 4, OB OC  x x3 5x x4 6, OC OD  x x5 7x x6 8,  OD OA x x1 7x x2 8,

3

OD OBx x x x

 

, OA OC  x x1 5x x2 6

Do OA OB OC OD   , , , chia góc 360 thành góc nên có góc nhỏ 90 Giả sử OA OB  ,  900

 

.cos ,

OA OB OA OB OA OB

       x x1 3x x2 0

Do số có số không âm

 8 8

max x x x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x x x; x x

       

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(5)

Hotline: 0989189380

a) x22x 5 x22x10  29 b) x24x 5 x210x50 5

c) x24y26x 9 x24y22x12y10

Bài 2: Giải bất phương trình sau:  x 1 3x 2x  3x26x10

Bài 3: Giải hệ phương trình sau:

1 1999

2000

1 1999

1999 1999

1 1999

1998

x x x



      

   

      

 

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) cos2 x.cos2 ysin2xy 4sin2x.sin2 ysin2xy b) x24y26x 9 x24y22x12y105 x y,

c) a2x22axcos  b2x22bxcos  a2b22abcos 

Bài 5: Cho a b  c 2, ax by cz Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

16a a x  16b b y  16c c z 10

Bài 6: Tìm số nguyên dương thỏa mãn hệ phương trình:

2 2 2

11

x xy y y yz z x xz z

x y z

        

 

   



Bài 7: Cho a a1, 2, ,a n n số thực tùy ý Chứng minh rằng:  12

1

2

2 n

i i

i

n

a a



  

 với quy ước

1

n

a  a

Bài 8: Cho 2n số thực x x1, 2, ,x , n y y1, 2, ,y cho n xixj 2 yiyj2 0  i j i j, 1,n Giả sử  1, 2, , n số thực khác cho n 12  n  Chứng minh rằng:

2

1 1

n n n

i i i i i i

i n i i

n

x y  x  y

  

  

   

     

      

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	234,55 KB