Bài giảng số 1: Các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong đề thi đại học

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị TrangA. Bài giảng số 01: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 01: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

 2 1

( ) ( ) ( ) k ( ) k f x g x  f x g  x



2

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) k

k f x g x f x g x

g x

 

  

 

 2k1 f x( )2k1g x( )  f x( )g x( )

 2k f x( ) 2k g x( )  f x( )g x( )0



2

;

0 A B

A B A B A B

B  

     

 

 A B A B (A B)

A B



  



 A B (A B)

A B

A B   



 2k f2k( )x  f x( ) ; 2k1 f2k1( )x  f x( )

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) x3  x

b) x2  x 2x3

Giải

a) Phương trình

2

3 (2 )

2

x x x x

x x

       

 

   

 

5 21

2

x

 

 



  

 



Vậy nghiệm phương trình là: 21 S   

 

 

b) Phương trình

2

1

3

2

2 x x

x x x

x x

   

     

  

  

 



1 17

2 .

2

2 x

x

 



 



  



 

(2)

Vậy nghiệm phương trình là: 17 S   

 

 

Ví dụ 2: Giải phương trình: x1(3x2 x 1) 3 x32x 1 (2)

Giải

Phương trình (2)

1(3 1)

x x x x x

       

2

1 1

x x x x x x x x

          

2

1( 1) ( 1)

x x x x x x

         

2

( x x)( x 3x 1)

      

2

1 (1) (2)

x x

   

 

   



Ta có:

2

1

(1)

0

x x x x

x x

      

     

  

 

(Vơ nghiệm)

Ta có: 21

3

x

  



 

  

(2) vơ nghiệm

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình: x2153x 2 x28 (3)

Giải

Ta có: (3) x215 x283x

2

15

3

15

x x

x

x x

  

  

   2

7

3 (*)

15

x

x x

  

  

(*)

 có nghiệm 2 x  x

Mặt khác: (1) x215 4 3x 3 x2 

2

1

3( 1)

15

x x

x

x x

 

   

   

2

1

( 1)

15

x x

x

x x

   

     

   

 

2

1

3 (**)

15

x

x x

  



  

   

    

(3)

Do

3

x  nên x2 154 x2 8 x  1

2

1

15

x x

 

 

   

(**) (**) VT

   vơ nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1

Ví dụ 4: Giải phương trình:

3x 1 6x3x 14x 8 (1)

Giải

Điều kiện: 6, x

   đó:

2

(2)( 3x 1 4) (1  6x) 3 x 14x 5

3 16

( 5)(3 1)

3

x x

   

     

   

3( 5)

( 5)(3 1)

3

x x

 

     

   

3

( 5)

3

x x

 

      

   

 

3

3 (*)

3

5 x

x x

x 

   



    



  

Theo điều kiện 3x  1 VT(*)  (*) vô nghiệm Do phương trình cho có nghiệm: x 5

Ví dụ 5: Giải phương trình: x x9 1x 4x (5)

Giải

Điều kiện: x 0

(1)x  x x x( 9) x   1 x (x1)(x4)

2 x x( 9) (x 1)(x 4)

     

2

4 x 9x x x( 9) (x 1)(x 4)

       

2

4 x 9x x x( 9) x 5x

       

4 x x( 9) 4x

   

2

( 9)

x x x

   x0

Vậy nghiệm phương trình (1) là: x 0

(4)

Ta đặt thức biểu thức làm ẩn phụ để đưa phương trình phương trình, hệ

phương trình đơn giản

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2

2 x 2x2 x 2x5

Giải

Đặt t  x22x20x22xt22

Phương trình 2 2 (tm) (l) t

t t t t

t  

          

  

Ta có: 2 2

3 x

t x x x x

x   

          

  Vậy nghiệm phương trình là: S   1;3 

Ví dụ 7: Giải phương trình: x 3 6x (x3)(6x) 3 (7)

Giải

Đặt

2

9

3 ( 3)(6 )

2 t t x  x x x  

Khi (1) trở thành:

2 1

9

3

t t

t

t    

   

 

Với t  1 x 3 6x   (vô nghiệm)

Với 3 3

6 x

t x x

x   

       

 

Vậy nghiệm phương trình (7) là: S   3; 

Ví dụ 8: Giải phương trình:

2 3x23 5 x 

Giải

Đặt 3

3 15 10

u x  xu   x u 

2

6 5

v  x  x v 

15x 18 (v v 0)

   

Ta có hệ phương trình: 3 28 3 22 (1)

5 15 (3 ) 24 (2)

u v v u

u v u v

    

 



 

    

 

Thế (1) vào (2) ta phương trình:

3

15u (8 ) u 24

2

(u 2)(15u 26u 20)

    

3

2

3 u

u x 

(5)

Vậy nghiệm phương trình là: x 2

Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 1x2 x1 1 x2 (1)

Giải

Điều kiện: x   1;1

Đặt xsin ,t với ; os

2 2

t t   c 

 

Ta có phương trình: cos t sin (1 cos )t  t

3 os os sin

2 2

t t t

c c

 

1

2

sin

2

1

t

x t



 

 

 



   



  

 

Vậy nghiệm phương trình là: 1;1 S  

 

Ví dụ 10: Giải phương trình: (4x1) x2 1 2x2 2x 1 (10)

Giải

Đặt t x21, (t0)x2 t2

Phương trình (10) trở thành:

(4x1)t2(t 1)2x

2

2t (4x 1)t 2x (1)

     

Ta có:  (4x1)28(2x1)16x224x 9 (4x3)2

Phương trình có nghiệm: (4 3)

4

x x

t     (4 3)

4

x x

t     x

Với

2

1

2

t x      

  (Vô nghiệm)

Với 2

0

2 (2 1) 4

3 x

t x x x x x

x   

         

  

Vậy nghiệm phương trình là: 0;4 S  

 

Dạng 3: Phương pháp đánh giá

Sử dụng bất đẳng thức tính đơn điệu hàm số để đánh giá

(6)

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với ( x1; 3x)  1;1 , ta có:

2

2 2

( 1.1 1) ( )(1 )

VT  x  x  x  x 

2

( ).2 2 (1)

VT x x VT

       

Dấu ‘=’ xảy

1

x x

x

 

   

2

2( 3) 2(( 1) 2) 2 (2)

VP x  x  x  

Dấu ‘=’ xảy  x1

Từ (1),(2), ta có phương trình có nghiệm x 1

Ví dụ 12: Giải phương trình: (x3) x 1 (x3) 1x2x0 (1)

Giải

Điều kiện: 1 1

1

x x

x

x x

     

    

 

   



Ta có: (1)(x1) x   1 x x 1 (1x) 1x  1 x 1x

  3 2   3 2

1 1 (*)

x x x x x x

           

Xét hàm số: y f x( )x3x2 2x

Có: f '( )x 3x22x 2  x R yx3x22x đồng biến R

Xét u x( ) x1 v x( ) 1x có miền giá trị 0; 

Mà f  x1  x1 3 x122 x 1 VT(*)

    3 2

1 1 (*)

(7)

   

(1) f x f x x 1 x

        

1

0

1

x x x

x

x x

   

 

   

  

 

Vậy (1) có nghiệm x 0

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải phương trình sau:

1 x 2x30 ĐS: x 3

x4 1x  2 x ĐS: x 0

3 2

2 x

x x  x x   ĐS: x1;x

2

3

x

x x

x     ĐS: x=1

3

1 2

x  x  x ĐS: 1; 2;

2 x x x

x2 x 1 x2 x 1 ĐS: 1;1 T   

 

7 3x4 2x 1 3x ĐS:

2 x  

8 ( 3)( 1) 4( 3)

3 x

x x x

x 

     

 ĐS: x 1 5;x 1 13

9 3

1 2

x   x ĐS: 1;

2 x   

10 x2 4x x26x11 ĐS: x 3

(8)

1 x2 x5 ĐS: 21; 17

2

x   

2 3

34

x  x  ĐS: x30;x 61

3 3 x x2  2 x x2 1 ĐS: x 

4 2x 3 x 1 3x2 2x25xx16 ĐS: x 3

5 3

1 2

x   x ĐS: 1;

2 x x 

6

12 36

x  x x  ĐS: x 3

7

5

x  x  ĐS: x2 2;x1

8

1

x  x  ĐS: x2;x10;x

9 4

18x x  ĐS: x2;x17

10 32x2 37x2 32x7x3 ĐS: x 6;x 1

11 x x2 1 x x2 1 ĐS: x 1 12 x 1 x24x ĐS: Vô nghiệm

Bài 3: Giải phương trình sau:

1 x2 12 x

x x

 

      

  ĐS: x 1

2 x2  x 2x2 x 3 x23x 5 2x24x9 ĐS: x 2 4

17

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	272,63 KB