Bài giảng số 2: Phương trình bậc hai và định lý viet

nên theo định lý Viet ta có:.. a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.. b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm kh[r]

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

BÀI GIẢNG SỐ 02: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ

Dạng 1: Biện luận phương trình bậc hai

Phương pháp:

1) a 0: Trở giải biện luận phương trình bx + c =

2) a 0:

  0: phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 b x

a    

  0: phương trình có nghiệm kép

b x

a  

  0: phương trình vơ nghiệm

Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình

a)

(m 1)x 2mxm 5 0 c) (k1)x1 ( x1)0

b)

2

2

( 1) ( 1)( 2)

x m

m x x m x x



 

   

Giải:

a)

(m 1)x 2mxm 5 0

Xét trường hợp m

Trường hợp 1: Nếu m = 1, ta có: (1) 2x 4 0x 2

Trường hợp 2: Với m 1, ta có:

' m (m 1)(m 5) 6m

      

Nếu ' 5

6

m m

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Nếu ' 5

6

m m

       pt (1) có nghiệm kép 0 5.( 6) 10

x    

Nếu ' 5

6

m m

       pt (1) có nghiệm phân biệt 1,2

m m

x

m

 





Kết luận:

Với m = 1, pt có nghiệm nhât x = -

Với

m  , pt có nghiệm kép x  0 10

Với

m  , pt có nghiệm phân biệt 1,2

m m

x

m

 





Với

m  , pt vô nghiệm

b)

2

2

2

4( )

x x m

xmx m  x m (1) Đk: x m

2

(1)8 (x x m )4 (x xm)m

2

12x 4mx m

   

Ta có: 2

' 4m 12m 16m

    

Nếu  ' 0m0, pt có nghiệm kép x 0 ( loại x m)

Nếu  0m0, pt có nghiệm phân biệt

1

2

12

2

12

m m m

x

m m m

x

 

 

 

 

  



c)

2

2

( 1) ( 1)( 2)

x m

m x x m x x



 

    (1)

Đk:

( 1) 0

2

( 1)( 2)

m x m

x x

m x x x

  

 

 

    

 

      

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

2

(1)x 2(m1)xm 2m 3

Có:  2  

' m m 2m

       

Do pt (1) có hai nghiệm phân biệt

2

1

3 x m

x m

  



  

Xét nghiệm x1m1 thỏa mãn đk

1

1

m

m    

 

   

2 m

m     

  

Xét nghiệm x2 m3 thỏa mãn đk:

3

3

m m

m m

   

 

 

   

 

Kết luận:

Với m = -3, pt có nghiệm x = -6 Với m = -2, pt có nghiệm x = -5 Với m = 1, pt có nghiệm x = Với m = 2, pt có nghiệm x = -3 Với m = 0, pt vô nghiệm

Với m    3; 2; 0;1, pt có nghiệm phân biệt

1

3 x m

x m

  



  

Dạng 2: Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai

Phương pháp: Với phương trình:

ax bx c Để tìm điều kiện tham số cho:

Loại 1: Phương trình vô nghiệm

 & 0 &

a b c

a

  



   



Loại 2: Phương trình nhận x làm nghiệm

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Loại 3: Phương trình có nghiệm

0

0 &

0 & a b c

a b

a

   



  



   



Loại 4: Phương trình có nghiệm

& 0 &

a b

a

 



    



Loại 5: Phương trình có nghiệm kép

0 a    

  

Loại 6: Phương trình có nghiệm phân biệt:

0 a    

  

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2( 1)

mx  m x  (1) Giải:

Nếu m = 0, pt (1)  -2x – = 0 x = -1 Nếu m 0, ta có: 2

' (m 1) 2m m

       nên pt (1) ln có nghiệm phân biệt Vậy với m = pt (1) có nghiệm x = -1

Ví dụ 3: Cho phương trình:

2( 2)

mx  m xm  (1) a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Giải:

a) Nếu m = 0, pt (1) 4x – = 0x =

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Để pt (1) có nghiệm  ' 0 m 4 0m4 Vậy với m 4 pt (1) có nghiệm

b) Để phương trình có nghiệm phân biệt

0

0

'

m m

m m

 

 

   

 

  

 

Ví dụ 4: Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác phương trình

 

2 2 2

0 (4)

a x  a b c x b  vô nghiệm

Giải:

Ta có:  2 22 2

4

a b c a b

    

  

   

    

2 2 2

2 2 2

2

0

a b c ab a b c ab

a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

      

   

    

   

         

Vậy phương trình vơ nghiệm

Dạng 3: Định lý Viet ứng dụng

Bài tốn 1: Tìm số biết tổng tích chúng

Phương pháp:

Nếu hai số u, v có: u v S uv P

   

 

Thì u, v nghiệm phương trình

0 (1) t StP

Chú ý: Nếu (1) có hai nghiệm t t1, 2 (điều kiện

4

S  P ) ta được:

2

&

& u t v t u t v t

 

 

 



Ví dụ 4:Giải hệ phương trình sau:

a) 2 22 10 x y x y

   

 



b)

3 4

27

x y

xy

  

 

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Giải:

a) 2 22 10 x y x y

   

 



2 2

2

( ) 10

x y x y x y

xy xy

x y xy

     

  

  

   

    



Khi x, y nghiệm phương trình:

2

2

3 t

t t

t        

 

Vậy nghiệm hệ 1;3 , 3; 1   

b)

3 4

27

x y

xy

  

 

  

Xét phương trình thứ hệ:

3

3 3 3

4 ( ) 64

x y   x y  3 3 3 

3 64

x y xy x y

     xy28

Vậy hệ có dạng: 28 27 x y

xy    

 

Khi x, y nghiệm phương trình:

2

1 28 27

27 t

t t

t  

    

 

Vậy nghiệm hệ cho 1; 27 , 27;1  

Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng hai nghiệm

Ví dụ 5: Gọi x , x1 2 nghiệm phương trình

x   x 0. Tính giá trị biểu thức

a)

2

x x

A

x x

  b) B x1x2 c) C(x12x )(x2 22x )1 Giải:

Vì x , x1 2 nghiệm phương trình

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

2

1

6 x x x x

 

 

  

a)

2

x x

A

x x

   

2

2

1 2

1

1 2

2 12 13

6

x x x x

x x

x x x x

 

 

    



b) B x1x2 B2  x1x22 x12x222x x1 2 x1x224x x1 2  1 2425

B

  ( B > 0)

c) C(x12x )(x2 22x )1  

2 2

1 2 2 2

x x x x x x x x x x

      

6x x1 22x1x222x x1 2 2x1x2210x x1 2

 

 2.1 10( 6)   62 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình

x 2mx 4 (1) có hai nghiệm phân biệt x , x1 2 thỏa mãn điều kiện 4

1

x x 4

Giải:

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2

' ( )

2 m m

m   

     

  Vì x , x1 nghiệm phương trình (1) nên theo định lý Viet ta có:

1

1

2

4

x x m

x x

 

 

 

Ta có: 4

1

x x 4.x12x2222x x12 22 4  

2

2 2 2

1 2 2

x x x x x x

 

    

 

 2

4m 2.16

    4m282 36

4m 16m

   

2 m

  

7; 1;

2 2

m    

     

   

   

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Phương pháp:

Để tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số( giả sử tham số m), ta thực bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

0 a    

  

Bước 2: Áp dụng định lý Viet, ta được:

2

( ) ( )

( )

x x f m I x x g m

 

 

 

Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta hệ thức cần tìm

Ví dụ 7: Cho phương trình:  2 2

1m x 2mx 1 m 0 (1)

a) Chứng minh với m > phương trình ln có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm mà không phụ thuộc vào m Giải:

a) Ta có:  2 2

' m m m m m 0, m

          

Vậy với m > phương trình (1) ln có hai nghiệm thỏa mãn:

1 2

2

1 2

2 1

m x x

m m x x

m 

 



 





 

 



b) Khử m từ hệ nhận xét:

   

2

2

2

1 2 2

2

1

1

m m

x x x x

m m

  

 

      

 

   

Vậy x1x22x x1 22 1 hệ thức cần tìm Ví dụ 8: Cho phương trình

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x1 2

b) Với m tìm câu a), tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x , x1 2 không phụ thuộc m Giải:

a) Để phương trình có hai nghiệm x , x1 2thì

 2

2

8

2 2 8

5

5

4 4( 2)( 2)

0

0 m

m m m

m

m m

m m m

m m

 

  

 

    

  

   

  



 

    

  

    

  

Khi phương trình ln có nghiệm x , x1 thỏa mãn:

1

1

4 (1) 2

(2)

m x x

m m x x

m  

 



 





 

 



b) Để khử m từ hệ phương trình trên, ta rút m từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) ta hệ thức liên hệ x1và x2

2(x1x2)x x1 2 3

Bài toán : Xác định dấu nghiệm phương trình

Phương pháp:

a) Phương trình có nghiệm trái dấu: ac <

b) Phương trình có nghiệm dấu: 0 P    

 

c) Phương trình có nghiệm dương:

0

0

0 P S    

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

d) Phương trình có nghiệm âm:

0

0

0 P S    

    

Ví dụ 9: Cho phương trình

mx 2(m 1)x m 3 0 Tìm m để phương trình a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dấu c) Có hai nghiệm dương d) Có hai nghiệm âm e) Có nghiệm dương g) Có nghiệm âm

h) Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương Giải:

Ta có:

' (m 1) m m( 3) m

      

a) Phương trình có nghiệm trái dấum m( 3)00m3 b) Phương trình có nghiệm dấu

1

'

1

0

3

3 m m

m m

m

m P

m m

       

   

 

    



   

  

 

c) Phương trình có nghiệm dương

1

'

0

3

3

2( 1) 0

0

1 m m

m m

m P

m m

m

m m

S

m m



 

 

    

 

   

 



 

    

 

 

 



  

 

 

 

 

d) Phương trình có nghiệm âm:

1

'

0

0

3

2( 1) 0 1

0 m m

m m

P m

m m

m m

S

m 

      

 

  

 

      

 

 



   



 

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Vậy khơng có giá trị m để pt có nghiệm âm e) Phương trình có nghiệm dương:

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Với m = 0, pt có dạng:

3

2

2

x x nghiệm phương trình

Trường hợp 2: Với m 0 Để pt có nghiệm dương

1

1

1

1

1

3

0 (0)

1

0

0

0 0 3

0

1

0 '

0

2 1

m m f

m S

x x m

x x

x x P m m

x x

m

x x m

S m

m  

 

   

  



  

   

 

           

   

  

           

  

 



 

  

  

 



   

Vậy m 0;3  1 pt có nghiệm dương f) Để phương trình có nghiệm âm

1

1

1

1

1

(0)

0

0

0 0 3

0

0 '

0

0

f m

S m

x x

x x

x x P m m

x x

x x m

S m



   

 

  

 

  

 

   

          

  



 

        

 





 

   

 

  

g) Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương Giả sử x10x2 Theo ta có: x1  x2

  

2 2 2

1 2 2

x x x x x x x x

        

1

0

0 x x x x

 

  

 



http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Theo Viet ta có:

1

1

2( 1)

0

0

3

0 m x x

m m

m

m m

x x

m  

  

   



   

 

   

  

 

Vậ với < m < thỏa mãn u cầu

Bài tốn 5: Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện K cho trước

Phương pháp:

Ta thực theo bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để tham số để phương trình có nghiệm x1, x2

' a    

  

Bước 2: Áp dụng định lý Viét ta được:



1

( )

( ) ( )

x x f m

I x x g m

 

 

 

Bước 3: Biểu diễn điều K thông qua hệ (I)

Ví dụ 10: Cho phương trình:    

1 2

m x  m m 

Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4x1x27x x1

Giải:

Phương trình có nghiệm x1, x2

 2   

1 1

1

3

' 1

m m

m m

m m m

 

   



     

 

       

 

(*)

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

 

1

1

2

1 m x x

m m x x

m  

 



 





 

 



Suy ra:

 2  

2

4 7

1

m m

x x x x m

m m

 

      

  ( thỏa mãn *)

Vậy với m = -6 thỏa mãn điều kiện đầu

Ví dụ 11:

a) Tìm m để phương trình

mx 2(m 1)x 3m 6 0 có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

1

x 2x 1

b) Cho parabol

yx 2xm (P) Tìm m để (P) cắt Ox hai điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện OA = 5OB

c) Tìm a b để phương trình

x ax b có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn x1x2 5

3

1

x x 35

Giải:

a) Để phương trình có hai nghiệm x1, x2

 2  

0

0

2 6

2

'

2

m

m m

m m

m m m m

  

  

 

    

   

       

  





(*)

Khi phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

1

1

1

2( 1) (1)

3

(2)

2 (3)

m x x

m m x x

m

x x

 

 

 

 

  

 

  

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

2

1

1

2 2( 1)

3

2

m

m x

x x m

m

m

x x x

m  

 

 

 

 



 



    

 



Thay vào (2) ta được:

   2

2

2

3 10

m m m

m m m m

m m

  

      

2

3 2

3 m

m m

m   

    

  

( thỏa mãn *)

Vậy với m 2

m  thỏa mãn yêu cầu tốn

b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) Ox là:

2 (1)

x  xm

Gọi A, B hai điểm phân biệt mà (P) cắt Ox A x 1; , B x 2; 0 với x x1, 2 nghiệm (1)x1 x2

Theo định lý Viet ta có: 2

2 (2)

(3) x x

x x m

 

 

 

Theo ta có 2

1 2

5 25

OA OB x  x  x  x (4)

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai   1 2

2 2

1 2

2 1 2 3

25 25

2 x x x x x x

x x x x

x x                                        Với 1 x x          m   Với 1 x x           m   

Vậy với 5; m  

  thỏa mãn u cầu tốn

c) Vì x1, x2 nghiệm phương trình x2ax b nên theo định lý Viet ta có:

1

1

(1)

(2)

x x a

x x b       

Theo ta có:

    

1 2

1 2

2

2

3 2

1 1 2

1 1 2 2

5 (3)

5

35

35 7 (4)

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

                                       t

hay (1),(2) vào (4) ta có:

7 a  b (5)

Từ (1), (3) ta có:

1 2 5 a x

x x a

x x a

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Thay vào (2) được:

2

2

25

4 25 (6)

a

b a b



    

Từ (5) (6) được:

2

7

1 25

a b b

a a b                 

Vậy a b ,  1; ,   1; 6

Dạng 4: Một số toán khác

Bài toán 1: Lập phương trình bậc hai

Ví dụ 12: Cho biết x , x1 2 nghiệm phương trình bậc hai

5x 7x 1 0 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là:

a)

x x 1

2

x

x 1 b)

3

1 x

1 x

Giải:

Vì x , x1 2 nghiệm phương trình

5x 7x 1 0 nên theo định lý Viet ta có:

2 5 x x x x          

a) Đặt

1 2 1 x t x x t x           

 22 2

1

1

2 1 2

1 2

1

2 1 2

49

2 25 5 5 74

1

1 1 65

1 5 7 25

1 1 65

1 5

x x x x x x

x x

t t

x x x x x x

x x x x

t t

x x x x x x

                                         

Vậy t1, t2 nghiệm phương trình

2 74

0 65 65

t  t  hay

65t 74t 7

b) Đặt

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

   

    

2

3

1 2 2

3

3 3

1 2 2

7 49 488

2

5 25 125

238 364

1 1

125 125 125

t t x x x x x x x x

t t x x x x x x

    

             

  

  

 

           

 

Vậy t1, t2 nghiệm phương trình 125t2488t3640

Ví dụ 13: Tìm m để phương trình x2 + 2(m + 1)x + 2m + = có hai nghiệm x1, x2 Khi lập phương trình có nghiệm sau:

a) -2x1 -2x2 b) 2

1

1

x 22 x Giải:

Để phương trình có nghiệm x1, x2

 2

' m 2m m 2 m

            

Vì x , x1 nghiệm phương trình x

2

+ 2(m + 1)x + 2m + = nên theo định lý Viet ta

có: 2

2( 1)

2

x x m

x x m

   

 

 



a) Đặt 1 2

2 2

2 2( ) 4( 1)

2 4(2 3)

t x t t x x m

t x t t x x m

       

 



 

    

 

Vậy t1, t2 nghiệm phương trình t24(m1)t4(2m3)

b) Đặt

1

1

2

2

1

1 t

x

t x 

       

     

   

   

2

2 2

1 2

1

1 2 2 2 2

1 2

1 2 2

1 2

2 2

1 4

2 3

1 1

2

x x x x m m

x x m m

t t

x x x x x x m m

t t

x x x x m

        

      



 

  

   

 



Vậy Vậy t1, t2 nghiệm phương trình    

2 2 2

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Bài tốn 2: Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung, hai phương trình tương đương Ví dụ 14: Cho hai phương trình

x  x m0 (1)

x mx 1 0.(2) a) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung

b) Tìm m để hai phương trình tương đương Giải:

a) Nếu hai phương trình có nghiệm chung x0

2

0 0

x x mx mx  1m x 0(1m)0

   0

1

1

1 x m x

m  

     

  

Nếu x 0

0 0

x x m m

Vậy hai phương trình có nghiệm chung m = m = -1

Ngược lại: Nếu m = dễ kiểm tra phương trình có nghiệm chung x = 1, cịn m = -1 hai phương trình trơ thành

1

x   x ( vô nghiệm) Vậy với m = thỏa mãn

b) Ta có:

1 ,m m

     

Hai phương trình tương đương

Trường hợp 1: 2

2

1

1 1

2

4

2

m m

m m

m      

   

    

 

   

   



Trường hợp 2: Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình (1)

3,

x x nghiệm phương trình (2)

Theo Viet ta có:

1

1

x x

x x m

   



  

3

x x m

x x

 

 

 

Vậy để hai phương trình tương đương

1

1

1

x x x x m

m

x x x x m

    

 

   

 

  

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Vậy với m 

   hai phương trình cho tương đương với

Bài tốn 3: Sử dụng đồ thị giải biện luận phương trình bậc hai:

Phương pháp:

Để biện luận theo tham số m, số nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = m ta đưa xét vị trí tương đối đường thẳng (d): y = m parabol (P): y = ax2 + bx + c

Ta thực theo bước sau:

Bước 1: Chuyển pt ban đầu dạng: ax2 + bx + c = g(m)

Bước 2: Vẽ (P): y = ax2 + bx + c

Bước 3: Khi đó, số nghiệm pt số giao điểm đường thẳng (d) parabol (P)

Bước 4: Bằng việc dịch chuyển đường thẳng (d) song song với Ox ta nhận kết luận tương ứng

Bước 5: Kết luận

Chú ý: Phương pháp đặc biệt hiểu với yêu cầu nghiệm thuộc  ;  cho trước

Ví dụ 15: Cho phương trình: x2 – 2x – m = Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm dương

b) Có nghiệm dương c) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải:

Viết lại phương trình dạng: x2 – 2x = m

Khi số nghiệm tậpD 0; phương trình số giao điểm đường thẳng (d) y = m với Parabol (P) y = x2 – 2x D Khi đó:

a) Phương trình có nghiệm dương m 1

b) Phương trình có nghiệm dương m

m      

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Ví dụ 16: Giải phương trình sau

a) (x 1)(x 3)(x2)(x6) 13 b)

x 2x 4x 3 0

Giải:

a) Ta có: (x 1)(x 3)(x2)(x6) 13

    

  

  

2

2

1 13

5 6 13

5 6 12 13 (1)

x x x x

x x x x

x x x x

     

     

      

Đặt

5

tx  x Khi

 1 t t 1213 12 13 13 t

t t

t  

     

  

Với 2 53

1

2 t x  x  x  x  x 

Với 2

13 13

t  x  x   x  x  ( vô nghiệm)

Vậy nghiệm phương trình 53 x 

b) Ta có:

x 2x 4x 3 0

  

2

1

1

1 ( )

x x x

x

x

x x vn

    

  

  

   

Ví dụ 17: Tìm m để phương trình

2x (2m 1)x 2mx 1 0 có ba nghiệm phân biệt Giải:

Ta có:

2x (2m 1)x 2mx 1 0 (1)  

1 (1 )

x  x m x 

      

2

1

2 (1 ) ( ) (1 ) (2)

x x

x m x g x x m x

  

 

 

        

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác

 2

1 2

1 2

1 4 2

1 2

4

(1) 2 1 2

2

2

g

m

m

m m m

m m

g m

m m

 

 

 

  

        

  

    



  

      

  

   



 

   BÀI TẬP

Bài 1: Giải biện luận phương trình sau:

a)

(m 3)x 4mx4m 5 0 c)  

1

m x  x 

b) (mx2)(2mx x 1)0 d)

4

x  xm 

ĐS: a) Nếu m = 3, pt có nghiệm 12 x 

Nếu 15 17 m

  , pt có nghiệm phân biệt 17 15

m m

x

m

 





Nếu 15 17

m  , pt vô nghiệm

b)Nếu m = 0, pt có nghiệm x =

Nếu

m  , pt có nghiệm x =

Nếu

0

1 m m

   

  

, pt có nghiệm 2,

2

x x

m m



 



c) Nếu m = 1, pt có nghiệm x 

Nếu

m   , pt vô nghiệm

Nếu

m , pt có nghiệm 2( 1)

m x

m

  





http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Nếu m 7, pt có nghiệm x 2 7m

Bài 2: Cho phương trình:

2

2

( 1) ( 1)( 2)

x m

m x x m x x



 

   

a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

ĐS: a) ko có m b) m    3; 2; 0;1; 2

Bài 3: Chứng minh với m pt sau luôn có nghiệm phân biệt

2

2( 1)

x  m x m m 

ĐS:

2

2

' 2 0,

2

m m m  m

          

 

Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

a) 3 31 x y x y

   

 



b)

 2 3

280 x y

x y x y

    

  

 

ĐS: a)

1 x

y   

  

b) x

y   

 

x

y   

 

Bài 5: Gọi x , x1 nghiệm phương trình

2x 7x 2 0. Tính giá trị biểu thức

a) 4

1

Ax x b) 6

1

Bx x

c)

2

2

2

1

x x

C

x x

  d) D x1  x2

ĐS: a) 1649

16 b) 66953

64 c) 1649

16 d) 11

2

Bài 6: Cho hàm số 2

y(x2)(x mxm 3)

a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

ĐS: a) 2

1 m

m    

  

b) x1x22x x1 3

Bài 7: Cho phương trình

x (2m 3)x 2mx 2

a) Chứng minh phương trình có nghiệm khơng phụ thuộc m

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khác nghiệm câu a) độc lập với m

ĐS: a) có nghiệm x = b) m

Bài 8: Cho phương trình

mx 2(m2)xm0 Tìm m để phương trình a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dấu c) Có hai nghiệm dương d) Có hai nghiệm âm e) Có nghiệm dương g) Có nghiệm âm

h) Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương

ĐS: a) ko có m b) m  1 c)  1 m0 d) m >

e) m = -1 f) m

m      

h) ko có m

Bài 9: Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m – = (1) Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:

a) Các số đối nghiệm phương trình (1) b) Các số nghịch đảo nghiệm pt (1)

c) Các bình phương nghiệm phương trình (1) d) Các nghịch đảo bình phương nghiệm pt (1)

ĐS: a)

( 1)

t  m tm  b) 1

0

4

m

t t

m m



  

 

c) 2

( 9) 16

t  m  tm  m  d)

   

2

2

9

0

4

m

t t

m m



  

http://edufly.edu.vn Phương trình, hệ phương trình quy bậc hai

Bài 10: Cho hai phương trình

x 2ax 3 0

x   x a

a) Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung b) Tìm a để hai phương trình tương đương

ĐS: a) ko có a b) 4a

Bài 11: Cho phương trình: x2 – 6x – – m = Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm thuộc D   ; 0  7;

b) Có nghiệm thuộc D c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc D

ĐS: a) m  7 b)  7 m0 c) m 0

Bài 12: Cho phương trình: x2 + 4x – m = Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm thuộc khoảng 3;1

b) Có nghiệm thuộc 3;1

c) Có nghiệm phân biệt thuộc 3;1