Bài giảng số 7: Phương trình lượng giác chứa tham số

A.. Hãy giải phương trình trong trường hợp đó.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang. 5.. Bài giảng được cung cấp [r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 7: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Phương trình dạng asinx b cosxc có nghiệm a2 b2 c2

 Cho phương trình f x m  ;  0 Ta thường biến đổi dạng F x m đặt ẩn phụ để đưa dạng G t m Sau đó, lập bảng biến thiên hàm số F x  G t  miền xác định dựa vào bảng biến thiên hàm số đề biện luận số nghiệm phương trình

 Nếu hàm số y f x  đồng biến hay nghịch biến a b;  phương trình f x   0 có tối đa nghiệm khoảng a b; 

 Định lý dấu tam thức bậc hai

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho phương trình: 2sin2 xsin cosx xcos2xm 1 

a) Tìm m cho phương trình có nghiệm b) Giải phương trình m  1

Giải

Ta có:  1 1 os2  1sin 11 os2 

2

c x x c x m

     

sin 2x 3cos 2x 2m

    

a) (1) có nghiệm   1 1 2m 2

4m 4m

   

10 10

2 m

 

  

Vậy với 10 10

2 m

 

  phương trình có nghiệm b) Khi m  1 ta phương trình: sin 2x3cos 2x3 1 

+) Nếu 2 1

x k  sin

os2

x

c x

 



  

(2)

+) Nếu 2 1

x k  cosx 0, đặt ttanx Khi  1 trở thành:

 2

2

3

1

t t



 

     

2

2t t t

     6t2 2t 0

3

t t

   

  tan

tan tan

x

x 

 

 

 

  

x k

k

x k



 

 

 

 





Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

4sin sin cos os os2

4 4

x x  x c x c  x m

     

Giải

Ta có:

 

4sin sinx x2 cos2x c os4x ;

 

4 cos os os os4 sin os4

4

x  c x  c x  c x x c x

     

      

       

       

;

 

2 1

os os sin

4 2

c  x   c  x   x

    

Do đó, phương trình cho tương đương với: 2 os2 sin  1sin 2 

2

c x x  xm 

Đặt os2 sin 2 os

tc x x c  x

  (điều kiện:  2 t 2)

Khi đó:

sin 4x2sin cos 2x xt  Phương trình (1) trở thành:

4 2

t  t m 

4 2

t t m

   

Đây phương trình hồnh độ giao điểm đường  d :y 2 2m  P :yt24t với  2 t

Trong đoạn  2; 2, hàm số yt2 4t đạt giá trị nhỏ 2 t   đạt giá trị lớn 2 t 

(3)

2 m 2

   

Vậy với 2 m2 phương trình cho có nghiệm

Ví dụ 3: Cho phương trình: 1 tan2  3 cos

m x m

x

    

a) Giải phương trình

2

m 

b) Tìm m để phương trình có nhiều nghiệm 0;

2        Giải

Điều kiện: cos

2

x  x k

Ta có:  3 1msin2 x2 cosx1 3 m c os2x0

    

1 m cos x cosx 3m cos x

      

2

4mcos x cosx m

     m4 cos2 x12 cosx1 2 cosx 1m2 cosx 1 1

    

a) Khi

2

m   3 trở thành: 2 cos cos

x  x 

 

1

cos os

2

x c 

  

 

2

x  k  k Z

     (thỏa mãn)

b) Khi 0,

x   

  cosx t 0,1 Ta có:  

    cos 0,1

2 cos

x t

m x m

           Yêu cầu tốn  3 có nghiệm 0;1 \

2       1 1 2 m m m m m                 

2

(4)

Ví dụ 4: Cho phương trình: 2  

os4 os sin

c xc xa x

a) Giải phương trình a 1

b) Tìm a để phương trình có nghiệm khoảng 0;

12



 

 

 

Giải

Ta có:  4 os4 11 os6  1 os2 

2

a

c x c x c x

    

   

2 cos 2x 1 cos 2x 3cos 2x a cos2x

      

 

   

os2

2 1

t c x t

t t t a t

  

 

      



 

os2

4 3

t c x t

t t t a t

  

 

     



 

      

os2

1 *

t c x t

t t a t

  

 

     



a) Khi a 1 phương trình (4) trở thành:

 

  

os2

1 4

t c x t

t t

  



    



 

os2

1

t c x t

t

  

    

os2

c x

   sin 2x02xk  

2

x k k Z

  

Vậy nghiệm phương trình  

2

xk kZ

b) Ta có: 0; 12

x  

  2x 0;6



 

  

 

3

cos ,1

2

x t  

    

 

 

Khi đó:

 * t14t23a1t  

4t a dot

   

Xét y4t2 3 P 3,1

 

 

 

3

8 ,1

2

y t t  

      

 

Do (4) có nghiệm 0; 12



 

 

  d :ya cắt  P

,1

 

 

 

 1

2

y  a y

   

 

0 a

  

(5)

Ví dụ 5: Cho phương trình: cos2xmcos2x tan x  5 Tìm m để phương trình có nghiệm 0,

3



 

 

 

Giải:

Đặt ttanx Khi (5) trở thành: 1t2 m 1t  5 (chia vế cho cos2x  ) 0 Khi

3

x 

  t0, 3  

Ta có:    

2

5 1

1

t

m t t

t



     



Xét hàm số: y1t 1 0, 3t   1 1  1 

2

t t

t

y t

t t

   

 

     

 

3

0 0,

2

t

y t

t

   



    

 



Do đó, phương trình có nghiệm 0,



 

 

  1 3 1 m1 Vậy với 1 3 1 m1 thỏa mãn yêu cầu đề

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho phương trình: 2sinx1 cos 2 x2 sinxm 3 cos2x

a) Giải phương trình m 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 0;  ĐS:

0

1

3

m

  

  

 



Bài 2: Cho phương trình: cos2x2m1 cos xm 1 2 

a) Giải phương trình

2

m  ĐS:

3

(6)

b) Tìm m để phương trình có nghiệm ,3 2

 

 

 

  ĐS: m   1; 0

Bài 3: Cho phương trình: cosx1cos2xmcosxmsin2 x

a) Giải phương trình m  2 ĐS: xk2

b) Tìm m cho phương trình có nghiệm 0,2



 

 

  ĐS:

1

2

m

  

Bài 4: Cho phương trình: cos4x6 sin cosx xm

a) Giải phương trình m 1 ĐS:

2

xk

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0,

4



 

 

  ĐS:

17

8

m

 

Bài 5: Cho phương trình: 4 cos5 xsinx4sin5xcosxsin 42 xm

a) Biết x nghiệm phương trình Hãy giải phương trình trường hợp ĐS:

4 0;

8

x k

m

x k



 

    

   

b) Cho biết

8

x  nghiệm phương trình Hãy tìm tất nghiệm phương trình thỏa mãn

4

3

x  x   ĐS: 2;

8

m  x 

Bài 6: Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 cos cos 2x x 1 cos2xcos3x

  

2

4 cos xcos3xmcosx 4m 1cos2x ĐS:

3

5

m m m m

  

    

  Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1 sin6xcos6xmsin 2x ĐS:

4

m 

2

6

2

os sin

2 tan os sin

c x x

m x

c x x





 ĐS:

1

m 

3 sin 4x c os4x4 sin 6xcos6xsin 42 xm ĐS: 1

8 m

  

(7)

5 sin6xcos6xmsin4xcos4x ĐS: 1

2m

6 2sinx cosx 1 m sinx 2cosx 3

 



  ĐS: a

1   

7 sin x2 (2m2) sin xcosx(m 1)cos x m ĐS:  2 m1

8 cosxmsinx2 ĐS: m 

9 3cos 26 xsin 24 xcos4xm2 cos 22 x 3cos 22 x1 ĐS: 0m1

10 cos x sin x m ĐS: 1 m2 1

11 sinxcosx 4 sin 2xm ĐS: 65

16

m

  

12 sin6xcos6xmsin 2x ĐS:

4

m 

Bài 8: Tìm m để phương trình: sin 4xmtanx có nghiệm xk ĐS:

2 m

  

Bài 9: Tìm m để phương trình: cos3x c os2xmcosx 1 có nghiệm , 2

 

 



 

 

ĐS: 1m3

Bài 10: Tìm m để phương trình: sin4 os4 sin 1sin2

4

m m

x c x x  x có hai nghiệm phân biệt

,

 

 

 

  ĐS:

1

2

m

  

Bài 11: Cho phương trình 2

3 sin

6 tan

sin tan

x x



 

 

   

 

 a) Giải phương trình

4



   ĐS: os

2

x    k c    

 

b) Tìm  để phương trình có nghiệm ĐS:  

4 k k

 

    

Bài 12: Khi m 0 m  phương trình: sin cos

2 cos sin

m x m x

 



  có nghiệm

20 , 30   ĐS: 10 nghiệm

(8)

a) Giải phương trình m  ĐS:

2

1

4

os

2

4

x k

c

x k

 

 



 

   



  

     

 b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: m

Bài 14: Cho phương trình: sin cos  1 tan cot 1

2 sin cos

m x x x x

x x

 

       

 

2

m  ĐS:

4

x  k

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0,

2



 

 

  ĐS: m   1 Bài 15: Cho phương trình: cos3xsin3xm

a) Giải phương trình m 1 ĐS:

2 2

x k

 



  

    

b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm , 4

x   

  ĐS:

1 m Bài 16: Cho phương trình: 12 cot2 tan cot 

os x m x x

c x    

2

m  ĐS:

4

x  k

b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS:

2

m 