Hàm số và phương trình lượng giác

- Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f.. Xét tính chẵn lẻ của hàm số..[r]

Hàm số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác

A Hàm số lượng giác: I Lý thuyết:

Hàm số: ycosx;ysinx;yt anx;ycot x Tính chất:

- Tập xác định, tập gí trị, tính chẵn – lẻ, tuấn hoàn, biến thiên đồ thị Hàm tuần hoàn:

- Hàm số y f x  xác định D gọi hàm tuần hồn có số T 0 cho  x Dta có:

D; D

x T  x T  f x T   f x 

- Số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kì hàm f II Bài tập:

1 Tìm tập xác định hàm số:

1 ycos x 2.y cosx

x



 sin 1 x y x  



2 cos sin x y x   

cos sin

x y

x 

 cot

cos

x y

x 

 y cot 2x 

 

   

  y tan 2x 

 

   

 

sin cos x y x  

 10

2 cos x y x  

 11 2 sin x y x   

12 tan y  x 

  13 2

5 sin cos x y x x  

 14 y = tanx + cotx 2 Tìm tập xác định hàm số:

1 s sin inx y x  



1 s sin inx y x  

 y = tan( x + 2)

1 sin y x         

5.y sinx 1 cos 5x tan

sin

y x

x

 



cos

cos sin x y

x x

 

sin

y

x

 tan y  x 

  10 y cot 2x 

 

   

 

Xét tính chẵn lẻ hàm số

y = xcos3x cos cos x y x  

 y = x

3

sin2x sin cos x x y x  

y cos 2x x

 y = x – sinx y cos x cos sin 2 y  x    x

 

y = cosx + sin2x 10 y = sin2x + cos2x 11 y = cot2x + 5sinx 12 tan y x

 

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

cos y x 

y = 4cos2x – 4cosx + y = sinx + cosx + 4sin2 sin cos

x

y  x x

y cos x2 3sin y  x 

  10 y2 cos x3 11 y = + 3cosx

12 y = – 4sin2xcos2x 13

2 cos

3

x

y  14 y = 2sin2x – cos2x 15.y 3 sinx

16 cos cos y x x 

  17

2

cos 2cos

y x x 18 2

5 2cos sin

y  x x

19 1sin cos

y  x x 20 y = sin6x + cos6x

B Phương trình lượng giác: I Lý thuyết:

Dạng bản:

1.1 Phương trình: sinx Cách giải: SGK

1.2 Phương trình: osxc 

Cách giải: SGK

1.3 Phương trình: t anx đk: osx ;

c   x  k k

Cách giải: SGK

1.4 Phương trình: cot x đk: sinx  0 x k;k Cách giải: SGK

1.5 Chú ý:

1 sin sin

2 u v k

u v

u v k



 

  

  

  

 ,k 2

2

cos cos

2 u v k

u v

u v k 

   

  

  

 ,k

3 tanutanv  u v k,k 4 cotucotv  u v k ;k

Dạng thường gặp:

2.1 Phương trình bậc hai HSLG:

a sin2xbsinx c 0 acos2xbcosx c

a tan2xbt anx c 0 acot2xbcot x c Cách giải:

đặt tsinx / osx -1c   t 1 tt anx / cot xt  ta phương trình bậc hai theo t

2.2 Phương trình bậc sinx cosx: a sinxbcosx = c a2b20 Cách giải:

 Chia hai vế phương trình cho a2+ b2 , ta được:

2 sin 2 cos 2

a b c

x x

a b a b a b

+ =

+ + +

Đặt

2 cos

a

a b

a

= +

;

2 sin

b

a b

a

= +

Khi đó:

 Pt(1) thành : ( )

2 2

sin cosx cos sinx c sin x c

a b a b

a + a = Û + a =

+ +

(2)

Pt(2) pt lượng giác dạng nên giải dễ dàng Nhận xét :

 Phương trình asinx+bcosx= c có nghiệm a2+b2³ c2

 Các phương trình asinx- bcosx= c, acosx± bsinx= c giải tương tự

2.3 Phương trình dẳng cấp bậc hai: asin2x+bsin cosx x+ccos2x= 0 (a2b2c2 0) Cách giải:

 Xét xem

x= p + kp có nghiệm phương trình khơng

 Với

x¹ p + kp (cosx ¹ 0), chia hai vế phương trình cho

cos x ( sin x2 ) ta phương

trình bậc theo tan x(hoặc cot x) Chú ý:

 Áp dụng công thức hạ bậc cơng thức nhân đơi ta đưa phương trình dạng bậc theo

sin 2x cos 2x

 Phương trình asin2x+bsin cosx x+ccos2 x= d xem phương trình đẳng cấp bậc hai

 2 

dd sin xcos x

 Làm tương tự cho phương trình đẳng cấp bậc n

2.4 Phương trình đối xứng: asinxcosxbsin x osxc  c 0 (a2b20) Cách giải:

Đặt  

2

1

sinx osx sin , sin x osx

4

t t c  x  t   c  

  ta phương trình bậc hai theo t

Chú ý:

 Phương trình asinx- osxc bsin x osxc  c 0 giải tương tự

 Phương trình atan2xcot2xbt anxcot x c 0(*)sinx, osxc 0

 Phương trình atan2xcot2xbt anx-cot x c giải tương tự

II Bài tập:

Các toán bản: 1.1 Giải phương trình :

1 sin sin

x  2sinx 0 sin 2 x 

4 sinx20osin 60o cos cos

x  2cos 2x 1

7 cos 2 15 

2

o

x   t an3

x  tan 4 x23

10 tan 2 x10otan 60o 11 cot 4x 12 cotx21

1.2.Giải phương trình :

1 sin sin

5

x   x

     

   

    cos 2 x 1 cos 2 x1

3 tan2 tan1

6

x  

sin 3xcos 2x

1.3 Giải phương trình sau :

1 cos 22

4

x 4cos 22 x 3

3 cos2 sin2

x  x

  

 

 

2

cos 3xsin 2x1

1.4 Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho :

1 2sin 2x 1 với 0 x  cotx 5 với    x 

1.5 Giải phương trình sau :

1 sinxcosx1 sin4xcos4x1

3 sin4xcos4x1 sin3xcosxcos3xsinx /

1.6 Giải phương trình sau :

1 cos2x sin cosx x0 cosxsin 2x0

3 8sin cos cos cos8

16 x x x  x

 

4

sin sin sin

2

x  x x

   

 

 

1.7 Giải phương trình :

3 cos xcos 2xcos3x0 sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2

1.8 Giải phương trình sau :

1 sin sin 5x xsin sin 4x x ; sinxsin 2xsin 3xsin 4x0 ;

3 sin2xsin 32 x2sin 22 x ; sinxsin 3xsin 5xcosxcos3xcos5x

1.8 Tìm tập xác định m i hàm số sau :

1 ytanx ycot 2x

3 cos cos

x y

x

 



  sin cos cos

x y

x x

 



5 tan tan

x y

x 



1 cot

y

x





1.9 Giải phương trình :

1 cos

1 sin x

x 



tan

0

2 cos

x x 





3 sin cotx x0 tan 3xtanx

1.10 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; ) phương trình 4cos3 cos 2x x2cos3x 1

2 Phương trình bậc hai HSLG: 2.1 Giải phương trình :

1 2cos2 x3cosx 1 cos2xsinx 1

3 2sin2x5sinx 3 cot 32 xcot 3x 2

2.2 Giải phương trình :

1 2cos2 x cosx 2 cos 2xcosx 1

3 cos 2x5sinx 3 tanx2cotx 3

2.3 Giải phương trình lượng giác sau :

1 sin2 cos

2

x x

- + = cos 5sin

x

x  

3 cos 4x- sin 2x- 1= cos 6x3cos3x 1

2.4 Giải phương trình :

1 tan2 x tan  x 30 tan2 x 1 tan x 1

3 cos 2x2 cos  x 2 30 12 2 tan

cos x  x  

2.5 Giải phương trình sau :

3

2

4sin 6sin 3cos cos

x x x

x

   

4

2 cos cos 10 cos cos

2 2

x

x    x  x

 

2.6 Giải phương trình :

1

3 tan

cos x

x

   2

2

1

cos cos

cos cos

x x

x x

  

3 5sin 2xsinxcosx 6 tan2xcot2 x2 tan xcotx6

2.7 Giải phương trình: 2 tan xsinx 3 cotxcosx 5

3 Phương trình bậc sinx,cosx:

3.1 Giải phương trình :

1 sinxcosx1 cos 3xsin 3x2

3 3cosx4sinx 5 sinx7 cosx7

5 2sin 2x2cos 2x sin 2x 3 cos 2x

3.2 Giải phương trình :

1 2sin2x sin 2x3 2cos2x sin 2x

3 2sin cos 2x x cos 4x 20 4sin2 x3 sin 2x2cos2 x4

3.3 Giải phương trình sau :

1 sin 3x cos 3x2cos 4x cos sin cos

x x  x

 

3 sin 2xcos 2x cosx sinx sin 8xcos 6x sin 6 xcos8x

3.4 Giải phương trình sau :

1 3sin 4sin 5sin

3 6

x  x  x 

        

     

     

2 2sin 4sin

4

x  x 

     

   

   

3.5 Giải phương trình sau :

1 3sinx cos 3x 1 4sin3x cos5x2sin cos 2x xsinx0

3

2

sin cos cos

2

x x

x

    

 

 

3

8cos

sin cos

x

x x

3.6 Tìm ,6

5

x   

  thỏa phương trình cos 7x sin 7x 2

3.7 Cho phương trình 2

2sin xsin cosx xcos xm

1 Tìm m để phương trình có nghiệm

2 Giải phương trình với m 1

3.8 Cho phương trình sin 2x2 cosm xsinx m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc

đoạn 0;3 

 

 

 

3.9 Giải phương trình:

1 8sin

cos sin

x

x x

  ; 2 sin tan

2 sin

x x

x

 



4 Phương trình đẳng cấp: 4.1 Giải phương trình sau:

1 sin2x2sinxcosx3cos2x0 6sin2xsinxcosxcos2x2 sin2x2sin2x2cos2x 2sin22x2sin2xcos2xcos22x2

5 cos( )

2 sin cos ) sin( cos sin

4   

  



 

 

    



 x x x x x

x    

6

2 cos cos sin sin

3 x x x 2x

4.2 Giải phương trình sau: 2sin3x4cos3x3sinx

2 

  

   

 

   



 

2 sin cos sin cos sin 2 cos sin

3 x  x x x x x x 

3 4sin3x3sin2xcosxsinxcos3x0

4 sin4x3sin2xcos2x4sin x osc 3x3 osc 4x0 5 Phương trình đối xứng:

Giải phương trình sau:

1 cotxtanxsinxcosx 2sinxcotx2sin2x1 cos3xsin3x1 |sinxcosx|4sin2x1

5 x x sin4x

2 cos sin

1   (1cosx)(1sinx)2

7 t anx 2 sinx osx sinx 10

osx sinx

c

c

   

9 sinxsin2xsin3xsin4xcosxcos2xcos3xcos4x 10 t anx7 t anx+ cot x+7 cot x 14    0

12 t anxtan2xcot xcot2x6

6 Các tốn khơng mẫu mực :

Giải phương trình sau:

1 sin (1 cos )x  x  1 cosxcos2x cos sin 10

cos sin

x x

x x

   

3 8sin

cos sin

x

x x

  cos

1 sin

x tg x

x

 



5 cotgx – tgx = sinx + cosx 5sinx 2 3(1 sin ) x tg x2 2(cos6 sin6 ) sin cos 0

2 sin

x x x x

x

 





3 2

sin x cos xsin cosx x sin x.cosx

9 cot sin 1 4

2

x gx x tgxtg 

 

10

2

4

2(cos ) 9( cos )

cos cos

x x

x x

    

11 tgxtg x2 tg x3 cotgx+cotg2x + cotg3x = 12 tgx + cotgx = 2(sinx + cosx)

13 sinx – 4sin3x + cosx = 14 cos3x + cos2x + 2sinx – = 15 cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + 3sinx = 16.(2cosx – 1)(sinx + cosx) =

17 sin cos 3 cos 2

2

x x

x

    

 

 

18 cos2x + cosx – 2sin2x = 2cos2x

19 4cos2x +

sin2x + 3sin2x – = 20 5sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 =

21 sinx + cosx – sin2x – = 22 – 3cosx + cos2x = 4cos2 x

23 sin2x + tgx – = 24 3sinx + cosx – tg

2

x+ =

25 cos4x + 2sin6x = cos2x 26 2cos3x + cos2x + sinx =

27 2tgx + cotgx = + s in2x

28 sin2x + 2cos2x = + sinx – 4cosx

29 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 30 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx –

31 cotgx – tgx + 4sin2x = s in2x

32 3(cotgx – tgx) = sin2x

33 sin3 cos3 cos 2 cos sin

x x

x

x x

 

 34

1

cosxs in2x s in4x 35 Tìm tổng nghiệm x  (1;70) phương trình : cos2x – tg2x =

2

cos cos

cos

x x

x

 

36 cotgx + sinx ( + tgxtg 2 x

) = 37 4

2

1 cos cos

2(sin cos ) cos

x x

x x

x

   

38 cos 2

cot sin s in2

1

x

gx x x

tgx

   

 39 cotgx – tgx + 4sin2x =

2 s in2x

46 sin8x + cos8x = 17cos 22

16 x

47 cos7x - sin5x = ( cos5x – sin7x)

48 2cosx cos2x = + cos2x + cos3x 49 3cosx + cos2x – cos3x + = 2sinxsin2x 50 cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x

51 5 sin sin cos3 cos 2 3,  0;2 2sin

x x

x x x

x 



    

  

  52

1 sin sin sin sin

4

x x x x

53 4cosx cos2x cos3x = cos6x 54 sinx + sin2x + sin3x – cosx – cos2x -1 = 55 cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos34x 56 3

cos cos sin sin

x x x x

57 sin5x = 5sinx 58

cos cos

3 x

x 

59 3sin5x = sin3x 60 sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 61 Tìm x 0;14 thoả phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – =

62 cos23x.cos2x – cos2x = 63 cos3x + cos2x – cosx – =

64 2sin22x + sin7x – = sinx3tg3x + cotg2x = 2tgx + sin 4x

65 sin cos 2 cos3

2 4

x  x  x

     

   

   

66 cos 3sin 2 cos

3 x x  x

 

67 sin 2 3cos 1 2sin

2

x  x  x

      

   

    x

 

   

 

 

68 sin3 2 sin

4

x  x

  

 

 

69 sin3 s in3 cos3 cos 3 1

8

6

x x x x

tg x  tg x 

  

     

   

   

70 2

sin cos

2

x x tg x          

71 4

sin cos cos sin

4

x x x   x  

    72

2006

2 cos cos s in3

3

x  x  x

      

   

   

73 3

sin 3sin

2 10 10

x   x

     

   

   

74 1 1 7

4 sin sin sin x x x                  

75 2 2.sin .cos 1

12

x  x

   

 

  76

3

2 2.cos 3cos sin

4

x  x x

    

 

 

7 Các toán đề thi ĐH – CĐ: 1 A_12. s in2x+cos2x=2cosx-1

2.B_12. 2(cosx sin ) cosx xcosx sinx1 3.D_12 sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x

4.A_11 1 sin 2cos 2 sin sin cot

x s x

x x

x

 





5.B_11 sin cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

6.D_11 sin cos sin

tan

x x x

x

   



7.A_10

1 sin cos sin

1

cos

1 tan

x x x

8.B_10 sin 2xcos 2xcosx2cos 2xsinx0 9.D_10 sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0

10.A_09 (1 2sin ) cos (1 2sin )(1 sin )

x x

x x

 

 

11.B_09 sinxcos sin 2x x cos 3x2(cos 4xsin3x)

12 D_09 cos5x2sin cos 2x xsinx0

13 CĐ_08 sin 3x cos 3x2sin 2x

14 A_08 1 4sin

sin

sin

2

x x

x



 

    



    

 

 

15.B_08 sin3x cos3xsin cosx 2x sin2xcosx

16.D_08 2sin (1 cos ) sin 2x  x  x 1 2cosx

17 A_07 (1 sin x) cosx (1 cos2x)sinx 1 sin 2x

18.B_07 2sin 22 xsin 7x 1 sinx

19.D_07

2

sin cos cos

2

x x

x

    

 

 

20.A_06

6

2(cos sin ) sin cos 2sin

x x x x

x

  



21.B_06 cot sin tan tan x x x  x 

 

22.D_06 cos3xcos 2xcosx 1 23.A_05 cos cos 22 x xcos2 x0

24.B_05 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

25.D_05 cos4 sin4 cos sin 3

4

x x x   x  

   

 

26.A_04 Tính ba góc ABC không tù, thoả mãn điều kiện cos 2A2 cosB2 cosC3 27.B_04 5sinx 2 3(1 sin ) tan x 2x

28.D_04 (2cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsinx

29.A_03 cot cos sin2 1sin

1 tan

x

x x x

x

   



30.B_03 cot tan 4sin 2 sin

x x x

x

  

31.D_03 2

sin tan cos

2

x x

x 

    

 

 

32.A_02 Tìm nghiệm x(0;2 ) phương trình: 5 sin cos sin cos 2sin

x x

x x

x 

   

  

33.B_02 sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x

34.D_02 Tìm x0;14 nghiệm phương trình: cos3x4cos 2x3cosx 4 0 CÁC ĐỀ DỰ BỊ

1.A_08 tanxcotx4cos 22 x

2.A_08 sin sin

4

x  x 

     

   

   

1.B_08 2sin sin

3

x  x 

     

   

   

2.B_08 3sin cos sin 4sin cos2 x x x x x

1.D_08 4(sin4xcos4x) cos 4 xsin 2x0

1.A_07 sin sin 1 cot

2sin sin

x x x

x x

   

2.A_07.2cos2x2 3sin cosx x 1 3(sinx 3cos )x

1.B_07 sin cos cos3

2 4

x  x  x

     

   

   

2.B_07 sin cos tan cot

cos sin

x x

x x

x  x  

1.D_07.2 sin cos 12

x  x

   

 

 

2.D_07 (1 tan )(1 sin ) tan x  x   x

1.A_06 3

cos cos sin sin

8 x x x x 

2.A_06 2sin 4sin

x  x

    

 

 

1.B_06 (2sin2x1) tan 22 x3(2cos2x 1)

2.B_06 cos 2x 1 2cosxsinxcosx0

1.D_06 cos3xsin3x2sin2x1

2.D_06 4sin3x4sin2x3sin 2x6cosx0

1.A_05 Tìm nghiệm khoảng (0; ) của phương trình: 4sin2 cos 2 cos2

2

x

x x 

     

 



2.A_05 2 cos3 3cos sin

x x x

    

 

 



1.B_05 sin cos 2x xcos2x(tan2x 1) 2sin3x0

2.B_05 tan tan2 cos 22

2 cos

x

x x

x 

   

 

 

1.D_05 tan sin

2 cos

x x

x

   

  

 



2.D_05 sin 2xcos 2x3sinxcosx 2 1.A _04 3

4(sin xcos x)cosx3sinx

2.A _04 sin x cos x 1

1.B _04.2 cos 1

4 sin cos

x

x x

   

 

 



2.B _04 sin sin 7x xcos3 cos 6x x

1.D _04 2sin cos 2x xsin cosx xsin cosx x

2.D _04 sinxsin 2x cos xcos 2x

1.A _03 cos 2xcosx2 tan2x 1 2.A _03 3 tan xtanx2sinx6cosx0

1.B _03

3cos 4x8cos x2cos x 3

2.B _03

 

2 cos 2sin

2

1

2 cos

x x

x

 

    

  





1.D _03    

2

cos cos

2 sin

sin cos

x x

x

x x



 



2.D _03 cot tan cos sin

x

x x

x

GV: Đinh Công Văn 13 ĐT: 01223.665.411 I Cung liên kết:

Cung đối: (cos đối)

1.1 cos( ) cos   1.2.sin( )   sin 1.3.tan( )   tan 1.4 cot( )  cot Cung bù: (sin bù)

1.1 cos(  )  cos 1.2 sin(  ) sin 

1.3 tan(  )  tan 1.4 cot(  ) cot

Cung phụ: (phụ chéo) 1.1 cos(  ) sin 

2 1.2 sin( 2  ) cos 

1.3 tan(  )  

2 cot 1.4 cot( 2  ) tan 

Cung :

1.1 cos(  )  cos 1.2 sin(  )  sin 1.3 tan(  ) tan  1.4 cot(  ) cot  II Công thức lượng giác:

1 Hằng đẳng thức lượng giác:

1.1 cos2sin2 1 1.2 



 12

1 tg = cos

1.3 



 12

1 cotg =

sin 1.4 tg cotg =   2.Công thức cộng:

1.1 cos(  ) cos cos  sin sin  1.2 cos(  ) cos cos  sin sin  1.3 sin(  ) sin cos  sin cos  1.4 sin(  ) sin cos  sin cos 

1.5    

 

 tg +tg tg( + ) =

1 tg tg

1.6    

 

 

 tg tg tg( ) =

1 tg tg 3 Công thức nhân đôi:

1.1 cos2 cos2sin2 2cos2  1 2sin2 1.2 sin22sin cos 

1.3  







2tan tan2

1 tan 4 Công thức nhân ba:

1.1 cos34cos33cos 1.2 sin 33sin4sin3 5 Công thức hạ bậc:

1.1 cos2 cos 2



   1.2 sin2 cos 2



  1.3 cos cos

tg  

  

GV: Đinh Công Văn 14 ĐT: 01223.665.411 1.1 coscos 2cos cos

2

1.2 coscos  2sin  sin 

2

1.3 sinsin 2sin  cos 

2

1.4 sinsin 2cos  sin 

2

1.5    

 



  sin( )

cos cos

tg tg 1.6    

 



  sin( )

cos cos

tg tg

7 Công thức biến tích tổng:

1.1 cos cos  1cos(  ) cos(   )

1.2 sin sin   1cos(  ) cos(   )

1.3 sin cos  1sin(  ) sin(   )

8 Một số công thức khác:

1.1 sin os  cos() sin()

4

c

1.2 sin os   cos() sin()

4

c )

1.3 cos4 sin4 cos 4



   

1.4 cos6 sin6 3cos

